persamaan pembentuk aliran governing equ

Upload: ezief-muhammad-fahmi

Post on 02-Mar-2018

228 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    1/19

    Persamaan Pembentuk Aliran

    (Governing Equations)

    Persamaan pembentuk aliran yang mendasar untuk aliran fluida dan perpindahan

    panas adalah dikembangkan dari tiga hukum kekekalan dalam fisika. Hukum kekekalan

    tersebut adalah, kekekalan massa, kekekalan momentum, dan kekekalan energi. Hukum-

    hukum kekekalan ini akan dibahas dalam bidang koordinat Kartesius.

    2.1.1 Hukum Kekekalan Massa

    Dengan menganggap sebuah elemen kecil dari fluida dalam bidang dua dimensi

    dengan dimensi xdan y seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1. Konsep utama dalam

    hal ini adalah bahwa kenaikan laju aliran massa pada volume kontrol adalah sama dengan

    laju aliran massa netto yang melewati pada bagian saluran masuk dan saluran keluar.

    dalam hal ini M adalah massa yang tersimpan didalam elemen fluida dan adalah laju

    aliran massa yang melewati permukaan dari elemen tersebut.

    Gambar 2.1 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan massa dalam dua dimensi

    Dengan menggunakan simbol-simbol pada gambar diatas, persamaan dapat diperluas

    menjadi

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    2/19

    Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan ukuran elemen xy,

    sehingga

    Untuk mengembangkan persamaan yang sama untuk aliran tiga dimensi, elemen

    yang sama dari fluida seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.2. Pada gambar komponen

    kecepatan pada sumbu-z disebut w. Dengan menggunakan konsep seperti yang

    digambarkan pada gambar, persamaan (2.1) memberikan

    Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan ukuran elemen xy z

    yaitu

    Dengan menggunakan operator divergensi, persamaan (2.5) dapat dituliskan sebagai berikut

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    3/19

    Gambar 2.2 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan massa dalam tiga dimensi

    Persamaan hukum kekekalan massa seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (2.5)

    dapat dituliskan sebagai berikut

    Dengan menggunakan persamaan berikut yang didefenisikan sebagai

    Dan dengan menggunakan operator divergensi,

    Persamaan (2.7) dapat dituliskan menjadi bentuk yang sederhana yakni sebagai berikut

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    4/19

    Persamaan diatas adalah bentuk umum dari hukum kekekalan massa atau juga dikenal

    dengan persamaan kontinuitas. Dalam hal aliran inkompresibel, yang berarti bahwa variasi

    temporal dan spasial dalam rapat massa adalah diabaikan, persamaan ini dapat

    disederhanakan dengan menghilangkan D/Dtdari persamaan. Sehingga, persamaan

    kontinuitas dapat dituliskan sebagai berikut ini

    denganxi, i= 1,2,3 menunjuk pada sumbux,y,z

    2.1.2 Hukum Kekekalan Momentum

    Hukum ini juga dikenal sebagai hukum kedua Newton. Hukum tersebut

    mengatakan bahwa gaya resultan yang bereaksi pada objek sama dengan percepatan

    dikalikan dengan massa objek tersebut. Sebuah elemen fluida kecil dalam bidang dua

    dimensi dengan dimensi xdanyseperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.3. Pada bidang

    dua dimensi, gaya hanya berada pada sumbu-x dan sumbuy. Pada gambar tersebut, hanya

    gaya pada sumbu-x yang ditampilkan. Gaya bereaksi pada elemen yakni gaya padapermukaan dan gaya pada body elemen. Gaya pada permukaan diakibatkan oleh distribusi

    tekanan, tegangan normal, dan tegangan geser.Gaya pada body dinotasikan sebagaif, yang

    didefenisiskan sebagai gaya per unit massa yang bereaksi pada pusat dari elemen fluida.

    Pada keadaan yang sebenarnya gaya ini dapat berupa gaya gravitasi, listrik, dan gaya

    magnet.

    Gambar 2.3 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan momentum dalam dua dimensi

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    5/19

    Hukum kedua Newton pada arahx dapat dituliskan sebagai berikut

    Fx= max

    , Fx dan ax adalah gaya-gaya resultan dan percepatan pada arah-x. Dengan mensubstitusi

    semua gaya-gaya yang berada di gambar dan dengan menggunakan defenisi daripercepatan ax =Du/Dt, persamaan (2.11) dapat dijabarkan sebagai berikut

    Dengan menyelesaikan persamaan ini dan mensubstitusi massa m=xy sehingga

    Dengan membagi persamaan diatas dengan xy, kita mendapatkan persamaan seperti

    yang ada dibawah ini :

    Untuk menghasilkan persamaan momentum yang lebih lengkap dari sebuah elemen

    fluida maka dapat dilakukan pada bidang tiga dimensi seperti yang ditunjukkan oleh gambar

    2.4. Pada gambar hanya gaya-gaya pada arah-x yang ditunjukkan. Sebagai catatan bahwadalam tiga dimensi, ada enam gaya normal dan gaya geser yang bekerja pada permukaan

    elemen. Gaya-gaya ini, dua buah gaya berasal dari distribusi tekanan dan gaya yang berasal

    dari dalam elemen fluida tersebut seperti yang tergambar pada gambar tersebut.

    Dengan mensubstitusi gaya-gaya ini kedalam defenisi dari hukum kedua Newton

    pada persamaan (2.11) yaitu

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    6/19

    Dengan menyelesaikan persamaan ini dan membaginya dengan xyz,diperoleh hasil yang

    lebih lengkap sebagai berikut :

    Gambar 2.4 Sebuah elemen fluida untuk hukum kekekalan momentum dalam tiga dimensi

    Dengan menggunakan cara yang sama, persamaan

    dan,

    Persamaan diatas diperoleh dari elemen fluida yang bergerak dengan aliran atau dikenal

    sebagai bentuk yang tidak kekekalan momentum. Persamaan diatas dibentuk dari turunan

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    7/19

    yang harus dikonversikan kedalam bentuk persamaan yang kekekalan momentum. Untuk

    lebih mudahnya, proses pengkonversian Du/Dt yang ditunjukkan oleh berikut ini.

    Dengan mengembangkan persamaan turunan tersebut dan menggunakan identitasdivergensi dari sebuah produk skalar yakni

    dan

    Dengan mensubstitusi persamaan (2.19) dan persamaan (2.20) kedalam persamaan (2.18)

    menghasilkan

    yang kemudian dapat disusun menjadi persaman berikut

    Istilah lain dari persamaan ini adalah sama dengan nol seperti yang ditujukkan oleh

    persamaan (2.6). Sehingga persamaan (2.22) dapat dituliskan sebagai berikut

    Dengan mensubstitusi persamaan (2.23) kedalam persamaan (2.17) menghasilkan bentuk

    persamaan kekekalan momentum searah sumbu-x

    Dengan cara yang sama, persamaan dalam arah sumbu-y dan sumbu-z yaitu

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    8/19

    Persamaan (2.24) juga dikenal sebagai persamaan Navier-Stokes dalam bentuk konservasi.

    Jika kurva tingkat fluida stress versus strain diplot, ada dua fenomena yang dapat

    ditarik(diketahui). Ada fluida dengan kurva linear dan satunya lagi dengan kuva non linear.

    Fluida dengan kurva linear dikenal dengan fluida Newtonian, sebagai contoh air. Fluida

    dengan kurva non linear di kenal dengan fluida non- Newtonian,sebagai contoh

    darah.Dalam disertasi ini kita hanya mempertimbangkan fluida Newtonian. Untuk fluida ini,

    tegangan normal dapat dirumuskan sebagai berikut.

    Dan tegangan geser

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    9/19

    Dimana adalah gradien kurva laju stress versus strain atau dikenal dengan viskositas

    molekul (sangat dikenal dengan viskositas dinamis) dan adalah viskositas kedua. Kedua

    viskositas ini berkaitan dengan viskositas bulk (k) dengan persamaan k=2

    3+ (2.27)

    Secara umum , diyakini bahwa viskositas bulk diabaikan kecuali dalam studi struktur

    gelombang kejut dan penyerapan dan redaman dari gelombang akustik. Dengan kata lain,

    untuk hampir semua fluida viskositas bulk sama dengan nol atau k= 0 . Jadi viskositas kedua

    menjadi =2

    3(2.28).

    Sebagai catatan hipotesis ini diperkenalkan oleh Stokes pada tahun 1845. Meskipun

    hipotesis masih belum pasti dikonfirmasi,bagaimanapun, sering digunakan untuk saat ini.

    Karya ini disertakan. Mengganti hipotesis dan persamaan tegangan normal dan geser ke

    dalam persamaan (2.24) kita memperoleh persamaan lengkap Navier-Stokes.

    Persamaan ini dapat ditulis dengan lebih lengkap dengan menggunakan persamaan tensor.

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    10/19

    Dimana i,j,k = 1,2,3 menunjukkan x,y,z, masing-masing sumbu.

    2.1.3 The Law conservation of energy ( Konservasi Hukum Energi)

    Pada bagian ini, prinsip fisik ketiga yaitu energi yang di konservasi diterapkan.

    Menyatakan perubahan tingkat energi di dalam (E) sebuah elemen adalah sama dengan

    jumlah dari fluks panas bersih (Q) kedalam elemen dan tingkat kerja yang dilakukan Wpada

    elemen oleh bodydan kekuatan permukaan. Hukum ini di tuliskan E= Q+ W (2.31)

    Tingkat pekerjaan yang dilakukan pada elemen oleh body dan kekuatan permukaan akan

    dievaluasi pertama. Perhatikan elemen kecil dari fluida seperti ditunjukkan pada Gambar

    2.5. Perhatikan di sini ada gaya akibat daerah tekan karena tekanan normal dan geser dan

    karena gaya body. Sebagai catatan definisi tingkat kerja yang dilakukan pada elemen adalah

    gaya dikalikan dengan kecepatan. Dengan demikian semua gaya di tunjukkan di sini. Namun

    akan sangat jelas jika semua gaya di gambarkan pada elemen yang sama. Untuk

    membuatnya sederhana, hanya gaya di sumbu x yang di tunjukkan pada gambar. Gaya-gaya

    ini akan di evaluasi terlebih dahulu dan cara yang sama akan digunakan untuk mengevaluasi

    kerja oleh gaya pada sumbu y dan sumbu z.

    Gambar 2.5 Kerja yang dilakukan di elemen oleh gaya pada sumbu x

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    11/19

    Dengan menggunakan definisi, tingkat kerja oleh gaya di sumbu x dihitung dengan

    menggunakan persamaan berikut.

    ( ((2.32)

    Dengan mensubstitusi semua kekuatan yang ditunjukkan pada gambar di atas maka.

    Memecahkan persamaan ini dan mendefinisikan

    Cara yang sama memberikan tingkat kerja oleh gaya di sumbu y dan sumbu z.

    Secara total, tingkat net kerja yang dilakukan pada elemen fluida adalah jumlah dari

    persamaan ini. Dengan demikian tingkat net kerja adalah

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    12/19

    Bagian berikutnya adalah tingkat net fluks panas menjadi elemen fluida. Ada dua sumberfluks panas ini. Yang pertama adalah karena panas generasi di dalam elemen, seperti

    adsorpsi panas, reaksi kimia, atau radiasi. Yang kedua adalah perpindahan panas ke elemen

    di permukaan karena perbedaan suhu. Menentukan panas volumetrik yang dihasilkan di

    dalam elemen sebagai qdan kecepatan perpindahan panas di seluruh permukaan sumbu x

    , y, z dan masing-masing qx , qy, qz . Semua sumber ini ditunjukkan pada Gambar 2. 6.

    Dengan menggunakan semua sumber-sumber yang ditunjukkan pada gambar, sehingga

    tingkat net fluks panas ke elemen dapat dihitung sebagai

    Memecahkan persamaan ini menghasilkan

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    13/19

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    14/19

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    15/19

    (2.42a)

    Menggunakan cara yang sama untuk momentum di arah y- dan z-

    (2.42b)

    (2.42c)

    Dengan menjumlahkan semua persamaan (2.42) dan menggunakan definisi V2

    = u2+ v

    2+ w

    2

    menghasilkan sebuah persamaan. Dengan cara pengurangan persamaan yang didapat dari

    persamaan energi dalam bentuk umum dari persamaan (2.40) adalah :

    (2.43)

    Persamaan energi diatas adalah persamaan dalam bentuk non konservasi dan pada ruas kiri

    hanya mengandung energi dalam saja. Dengan kata lain, energi kinetik dan gaya berat

    dikeluarkan. Namun, tegangan normal dan tegangan geser tetap muncul didalam

    persamaan. Akan lebih sederhana jika mengubah persamaan ini ke dalam bentuk komponen

    kecepatan. Digunakanlah hubungan dalam persamaan (2.25) dan (2.26) untuk fluida

    Newtonian. Maka, persamaan (2.43) dikonversi menjadi :

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    16/19

    (2.44)

    Dengan mensubstitusi tegangan normal dan tegangan geser, didapat :

    (2.45)

    Agar semakin menyederhanakan persamaan ini, semua efek viskos dikelompokkan menjadisebuah faktor. Faktor ini dikenal sebagai fungsi dissipasi , yang bisa dituliskan dalam

    persamaan :

    (2.46)

    Menggunakan fungsi ini, persamaan energi berkembang dan dapat dituliskan sebagai :

    (2.47)

    Persamaan diatas masih dalam bentuk non-konservasi, maka bentuk konservasinya dapat

    ditulis sebagai :

    (2.48)

    Untuk mengubah persamaan ini sehingga terkandung unsur temperatur didalamnya,

    digunakanlah persamaan yang menunjukkan hubungan antara energi dalam dan

    temperatur. Singkatnya, kita gunakan persamaan dasar dari energi dalam i = cT, dimana c

    adalah kapasitas thermal fluida. Subtitusikan persamaan ini, maka didapat persamaan :

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    17/19

    (2.49)

    Sebagai catatan, tujuan dari menyelesaikan persamaan energi adalah untuk mendapatkan

    distribusi temperatur pada aliran fluida. Oleh karena itu, persamaan ini harus ditunjukkan

    dalam bentuk persamaan temperatur.

    Persamaan energi pada persamaan (2.49) dapat dituliskan dengan menggunakan persamaan

    tensor :

    (2.50)

    Dimana i, j, k = 1,2,3 sebagai sumbu x, y, z. Jika beberapa asumsi direncanakan, maka

    sebagian bentuk persamaan energi (2.50) akan menghilang. Singkatnya, jika kekentalan

    fluida konstan atau fluida inkompressibel, bentuk p ui/xi akan sama dengan nol.

    Selanjutnya, jika dissipasi viskos diabaikan, bentuk akan dikeluarkan dari persamaan.

    Begitu juga jika panas yang masuk kedalam elemen adalah nol, akan dikeluarkan dari

    persamaan pula.

    2.1.4 Kesimpulan dari Persamaan Pembentuk Aliran

    Walaupun hasil dari persamaan ini terlihat rumit, namun sebenarnya persamaan ini

    didapat dari 3 hukum dasar konservasi, massa, momentum, dan energi. Pada kasus analisis

    3 Dimensi, hukum ini menghasilkan 5 persamaan differensial. Persamaan ini merupakan

    persamaan differensial parsial nonlinear yang sangat sulit diselesaikan secara analitis. Tidak

    ada penyelesaian secara umum dari persamaan ini. Beberapa orang mungkin saja

    mengatakan bahwa penyelesaian persamaan ini belum ditemukan dan belum di

    publikasikan. Dengan kata lain, hal ini bukan berarti tidak ada penyelesaian secara umum

    yang belum ditemukan tetapi para peneliti belum mendapatkan penyelesaian yang terbaik

    dari persamaan tersebut. Persamaan-persamaan ini merupakan permasalahan tanpa

    penyelesaian secara umum yang sudah hampir 200 tahun belum terpecahkan.Clay

    Mathematics Institute, sebuah lembaga pemerintah non-profiy yang berlokasi di Cambridge,

    Massachusetts telah menetapkan bahwa persamaan Navier-Stokes sebagai salah satu dari

    tujuh permasalahan terpenting yang harus dipecahkan dalam bidang matematika. Lembaga

    ini menawarkan 1 Miliar Dollar Amerika untuk sebuah penyelesaian atau sebuah contoh

    yang berlawanan. Sampai hari ini, belum ada seorang pun yang telah dianugerahi

    penghargaan ini. Penyelesaian secara analitis masi terbuka bagi semua orang. Metodealternatif dalam penyelesaian masalah ini adalah dengan menggunakan metode numerikal

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    18/19

    yang merupakan fokus utama dari bab ini. Dengan metode ini, persamaan-persamaan akan

    diselesaikan secara iteratif dengan tujuan menemukan penyelesaian sedekat mungkin

    dengan penyelesaian sejatinya. Bagaimana metode ini bekerja akan dibahas pada bab

    selanjutnya.

    Sekarang kita akan menyimpulkan semua persamaan pembentuk aliran. Ada

    beberapa bentuk yang bisa digunakan untuk menyajikan persamaan pembentuk aliran.

    Beberapa bentuk ini sudah digunakan pada bagian sebelumnya. Bentuk lain yang mungkin

    dapat digunakan untuk menyimpulkan persamaan ini. Dalam Fluida Newtonian transien 3

    Dimensi, bentuknya dijabarkan sebagai berikut.

    Persamaan Kontinuitas

    (2.51)

    Persamaan Momentum

    (2.52a)

    (2.52b)

    (2.52c)

    Persamaan Energi

    (2.53)

    Dimana Su, Sv, dan STadalah sumber yang berhubungan dengan u, v, w, dan T. Sumber ini

  • 7/26/2019 Persamaan Pembentuk Aliran Governing Equ

    19/19

    bisa dikalkulasikan dengan membandingkan persamaan-persamaan ini dengan bentuk

    persamaan sebelumnya.

    Tujuan utama mengubah bentuk persamaan menjadi bentuk diatas adalah untuk

    mengeluarkan sifat umum persamaan tersebut. Mengamati persamaan (2.51) sampai (2.53)

    dengan jelas menunjukkan hal tersebut. Jika kita menunjukkan sebuah variabel umum

    bentuk konservatif dari semua persamaan pembentuk aliran bisa ditulis dalam bentuk :

    (2.54)

    Dengan kata lain jumlah dari persentase kenaikan dari elemen fluida dan persentase

    aliran keluar dari elemen fluida adalah sama dengan persentase jumlah kenaikan karena

    difusi dan persentase kenaikan akibat sumber. Persamaan (2.54) dikenal sebagai

    persamaan pindahan untuk sifat . Sehingga dengan jelas dapat dilihat bahwa persamaan

    tersebut bisa dibagi menjadi empat bentuk, yaitu perubahan aliran transien, bentuk

    konvektif, bentuk diffusif ( adalah koefisien difusi), dan bentuk sumber. Mengakhiri bab ini

    bisa kita simpulkan menyelesaikan persamaan (2.54) secara numerik bisa digunakan untuk

    menyelesaikan seluruh bentuk dari persamaan pembentuk aliran. Metode untuk

    menyelesaikan persamaan ini akan dibahas pada bab berikutnya.