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Perspectiva de la Didáctica 1

PERSPECTIVA DE LA DIDÁCTICA DE LASMATEMÁTICAS COMO DISCIPLINA

CIENTÍFICA

Juan D. Godino

Curso de doctorado,

Teoría de la Educación Matemática


ÍNDICE

1. Educación matemática. Relaciones con otras disciplinas.2. La didáctica de la matemática como disciplina científica.3. Principales líneas de investigación en didáctica de lasmatemáticas4. La didáctica de la matemática como saber científico,tecnológico y técnico5. Paradigmas, problemas y metodologías de investigaciónen didáctica de las matemáticas6. Consolidación de la didáctica de la matemática.


1. EDUCACIÓN MATEMÁTICA. RELACIONESCON OTRAS DISCIPLINAS

DIDÁTICA DE LAS MATEMÁTICAS:

Es la disciplina científica y el campo de investigacióncuyo fin es identificar, caracterizar, y comprender losfenómenos y procesos que condicionan la enseñanza yel aprendizaje de las matemáticas.

EDUCACIÓN MATEMÁTICA:

Es el sistema social complejo y heterogéneo queincluye teoría, desarrollo y práctica relativa a laenseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Incluye ala Didáctica de las Matemáticas como unsubsistema.


2. LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMODISCIPLINA CIENTÍFICA

Disciplina científica:

1. Grupo de investigadores con intereses comunes

2. Identificación de fenómenos (descripción, explicación yprediccion)

3. Marco conceptual y metodológico compartido


DIALÉCTICA TEORIAS GENERALES YTEORÍAS ESPECÍFICAS

Insuficiencia de las teorías psicopedagógicasgenerales

Descripciones vagas de fenómenos complejos

El matemático, reflexionando sobre los propiosprocesos de creación y comunicación de lamatemática, se ha visto obligado a practicar el oficiode epistemólogo, psicólogo, sociólogo,... esto es, eloficio de didacta.


3. PRINCIPALES LÍNEAS DE INVESTIGACIÓNEN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

3.1. Teoría y filosofía de la educación matemática.

3.2. Psicología de la educación matemática.

3.3. Didáctica fundamental (aproxim. matemática).

3.4. El interaccionismo simbólico.

3.5. La fenomenología didáctica de Freudenthal.

3.6. Otras teorías y líneas de investigación relevantes.


3.1. Teoría y filosofía de la educaciónmatemática.

STEINER, Theory of MathematicsEducation,

ICME, Adelaida (Australia), 1984

A) Identificación y formulación de problemas básicos,orientación, fundamento,metodología y organización dela EM como disciplina.

B) Desarrollo de una perspectiva global y sistémica(investigación desarrollo y práctica)

C) Organización de la investigación (meta-conocimiento yautoreflexión)

CINCO Conferencias internacionales (1984, 85, 88, 90, 91)


ERNEST, Philosophy of MathematicsEducación

Newsletter, 1990 (8 ejemplares)

POME (Revista electrónica, 8 números), Julio2002, nº 16.

http://www.ex.ac.uk/%7EPErnest/

Red internacional abierta de personas, intercambio yavance de ideas sobre perspectivas filosóficas de laeducación matemática.

Comunicación informal, diálogo y cooperacióninternacional entre profesores, investigadores .


Lectura complementaria:

SIERPINSKA, A. y LERMAN, S. (1996).Epistemologías de las matemáticas y de la educaciónmatemática. En: A. J. Bishop et al. (eds.), InternationalHandbook of Mathematics Education, 827-876.[Traducción de Juan D. Godino]


3.2. Psicología de la educación matemática

Teorías psicológicas generales: Piaget, Vygostky, Ausubel,(vaguedad y generalidad)


CONFREY, J. (1994). Una teoría del desarrollo intelectual.For the Learning of Mathematics 14 (3): 2-8 (Part I); 15 (1):38-48 (Part II); 15 (2): 36-45 (Part III)


Enfoques psicológicos específicos:

GRUPO PME, Psychology of Mathematics Education

27 Reunión Anual en 2004.

OBJETIVOS DEL PME:

Promover contactos internacionales e intercambio deinformación científica sobre la Psicología de la EducaciónMatemática.

Promover y estimular investigación interdisciplinar en esteárea con la cooperación de psicólogos, matemáticos y profesoresde matemáticas.

Fomentar una comprensión más profunda y correcta de losaspectos psicológicos de la enseñanza y aprendizaje de lamatemática y sus implicaciones.


DOMINIOS DE INVESTIGACIÓN (CATEGORÍAS)

1. Pensamiento matemáticoavanzado2. Factores afectivos3. Pensamiento algebraico4. Valoración y evaluación5. Creencias6. Ordenadores, calculadoras yotros recursos tecnológicos7. Aprendizaje en personasadultas8. Sentido numérico en losprimeros niveles9. Epistemología10. Funciones y gráficas11. Cuestiones de género12. Pensamiento geométrico yespacial13. Visualización e imaginación14. Lenguaje y matemáticas

15. Modelización matemática16. Medición17. Modelos mentales18. Metacognición19. Métodos de prueba20. Probabilidad y combinatoria21. Resolución de problemas22. Números racionales yproporción23. Estudios socioculturales24. Razonamiento numérico noelemental25. Formación de profesores ydesarrollo profesional26. Teorías del aprendizaje27. Tratamiento de datos(estadística)

NIVELES EDUCATIVOS TIPOS DE INVESTIGACIÓN

31. Preescolar (edad inferior a 7años)32. Elemental ( edades 5-12)33. Secundaria (edades 10-16)34 Post-secundaria (super. a 16)

41. Empírica/ Experimental42. Estadística43. Estudio de casos44. Etnográfica /Interpretativa45. Teórica /Filosófica


FISCHBEIN (1990):

La Psicología de la Educación Matemática tiende a convertirse enel paradigma de la Educación Matemática.

La mera aplicación de principios generales a un dominio prticularno conduce usualmente a descubrimientos significativos.

Incluso dominios de la psicología fuertemente relacionados con laEducación Matemática - resolución de problemas, memoria,estrategias de razonamiento, creatividad, representación, eimaginación - no pueden producir directamente sugerencias útiles yprácticas para la Educación Matemática y no pueden representar porsí mismas la fuente principal de problemas en este campo.

Incluso la teoría de los estadios de Piaget y sus descubrimientossobre el desarrollo de los conceptos matemáticos (número, espacio,azar, función, etc.) no pueden ser directamente trasladados entérminos de currículo.


APRENDIZAJE MATEMÁTICO YCONSTRUCTIVISMO

Vergnaud (1990): la mayoría de los psicólogosinteresados hoy por la Educación Matemática sonen algún sentido constructivistas.

Piensan que las competencias y concepcionesson construidas por los propios estudiantes.



ERNEST, P. (1994). Variedades de constructivismo:Sus metáforas, epistemologías e implicacionespedagógicas. Hiroshima Journal of MathematicsEducation 2: 1-14. [Traducción de Juan D. Godino]


3.3. Didáctica fundamental

Brousseau, define la concepción fundamental de laDidáctica de la Matemática como:

"una ciencia que se interesa por la producción ycomunicación de los conocimientos matemáticos, en lo queesta producción y esta comunicación tienen de específicosde los mismos".

Objetos particulares de estudio:

- las operaciones esenciales de la difusión de losconocimientos matemáticos, las condiciones de esta difusióny las transformaciones que produce, tanto sobre losconocimientos como sobre sus utilizadores;

- las instituciones y las actividades que tienen por objetofacilitar estas operaciones.


C. Laborde:

(1) ¿Cómo podemos caracterizar las condiciones que debenimplementarse en la enseñanza para facilitar un aprendizajeque reúna ciertas características fijadas a priori?

(2) ¿Qué elementos debe poseer la descripción de unproceso de enseñanza para asegurar que pueda serreproducido desde el punto de vista del aprendizaje queinduce en los alumnos?

Experiementación en interacción dialéctica con la teoría(ingeniería didáctica)


ENFOQUE SISTÉMICO:

Sistema didáctico:

Profesor, Alumno, Saber, Medio,

Noosfera


GASCÓN, J. (1998). Evolución de la didáctica de lasmatemáticas como disciplina científica. Recherches enDidactique des Mathématiques, Vol. 18/1, nº 52, pp. 7-33.


Teoría de Situaciones Didácticas

Contrato didáctico

Los obstáculos y sus tipos

Lectura complentaria:

BROUSSEAU, G. (1986). Fundamentos y métodos de ladidáctica de las matemáticas. Recherches en Didactiquedes Mathématiques, 7 (2): 33-115. [Traducción de JuliaCenteno, Begoña Melendo y Jesús Murillo].


Teoría antropológica


CHEVALLARD, Y. (1999). El análisis de las prácticasdocentes en la teoría antropológica de lo didáctico.Recherches en Didactique des Mathématiques, 19 (2):221-266.[Traducción de Ricardo Barroso].


Teoría de los campos conceptuales


VERGNAUD, G. (1990). La teoría de los camposconceptuales. Recherches en Didactiques desMathématiques, 10 ( 2, 3): 133-170. [Traducciónde Juan D. Godino]


3.4. El interaccionismo simbólico

Problemática de partida:

¿Cómo llegan el profesor y los estudiantes a compartirsignificados matemáticos de modo que el flujo de la clasecontinúe de forma viale?

¿Cómo comprende un estudinte las intervenciones delprofesor?

Importancia de la constitución interactiva delsignificado en las aulas

Relaciones entre las características sociales de losprocesos de interacción, el pensamiento del profesor y elde los estudianes.


Para el Interaccionismo Simbólico,

Las dimensiones culturales y sociales no soncondiciones periféricas del aprendizaje matemático sinoparte intrínseca del mismo.

Se enfatiza como foco de estudio las interacciones entreindividuos dentro de una cultura, en lugar de sobre elindividuo.

Construcción subjetiva del conocimiento a través de lainteracción; los procesos culturales y sociales son parteintegrante de la actividad matemática.


Supuestos básicos de la perspectivainteraccionista:

- el profesor y los estudiantes constituyen interactivamentela cultura del aula,

- las convenciones y convenios tanto en lo relativo alcontenido de la disciplina, como en las regularidadessociales, emergen interactivamente, y

-el proceso de comunicación se apoya en la negociación ylos significados compartidos.

-No se trata de elaborar teorías para la intervencióndidáctica, sino describir y discutir las diferentesposibilidades.


PROBLEMAS CENTRALES:

¿Cómo se constituyen interactivamente los significadosmatemáticos en las diferentes culturas de la clase dematemáticas?

¿Cómo se estabilizan estos significados?

¿Cómo son estos significados y cómo dependen del tipode cultura de la clase en que evolucionan?

ALGUNAS NOCIONES TEÓRICAS:

Dominios de experiencia subjetiva

Patrones de interacción

Normas sociales y sociomatemáticas



GODINO, J. D. y LLINARES, S. (2000). Elinteraccionismo simbólico en educación matemática.Educación Matemática, 12 (1): 70-92.


3.5. La fenomenología didáctica de Freudenthal

Fenomenología de un concepto o estructura matemática esdescribir este noumeno (objeto de pensamiento) en surelación con los fenómenos para los cuales sirve comomedio de organización.

Si se presta atención a cómo se adquiere esa relación enun proceso de enseñanza-aprendizaje se habla defenomenología didáctica.

Constitución de objetos mentales, no adquisión deconceptos.


En un enfoque tradicional de la enseñanza se pretendeque el alumno aprenda matemáticas, reducidas a unavisión cultural, como producto terminado y fijadodiscursivamente. En ese proceso de enculturación de losobjetos matemáticos se ha perdido su origen comorecursos para la resolución de problemas, externos ointernos.

Freudenthal defiende poner por delante lafenomenología, o sea, las situaciones problemas queinducen a la acción matemática, al desarrollo de manerasde actuar, que en una fase posterior se regularán medianteel discurso teórico correspondiente.



FREUDENTHAL, H. (1983). Fenomenologíadidáctica de las estructuras matemáticas. Traduccióny Notas de L. Puig. México: Departamento deMatemática Educativa del CINVESTAV-IPN, 1995.


3.6. Otras teorías y líneas de investigaciónrelevantes

Currículo matemático:

Indagación para comprender o mejorar:

a) la selección y estructuración de las ideas matemáticasa enseñar;

b) la presentación de esas ideas a los alumnos;

c) la evaluación de la efectividad del programa y delrendimiento de los alumnos.

Se interesan por comprender las combinaciones decontenido, secuenciación, estrategias y sistemas deimpartición más efectivos para distintos perfiles de aptitudesde los alumnos.


Pensamiento del profesor

Niveles de razonamiento geométrico de VanHiele



FONT, V. (2002). Una organización de losprogramas de investigación en Didáctica dela Matemática. Revista EMA, 7 (2): 127-170.


4. LA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA COMOSABER CIENTÍFICO, TECNOLÓGICO Y

TÉCNICO

La Didáctica de las Matemáticas,

¿Se trata de un saber meramente práctico, unatecnología fundada y dependiente de otras ciencias, o, por elcontrario, existen problemas cuyas características requierenun nivel de análisis teórico y una metodología propias de unverdadero saber científico?

Posiciones extremas:

La didáctica como arte

Enfoque pluridisciplinar aplicado

La didáctica como disciplina científica autónoma


CONEXIÓN TEORÍA – PRACTICA

La relación entre “teoría didáctica” y la “práctica de laenseñanza” debe ser la correspondiente a “ciencia” y“técnica”, no de prescripción y reproducción.

No se puede confiar a los expertos en didácticaresponsabilidades por encima de sus posibilidades

La mejora de la educación matemática depende defactores muy diversos, ajenos a la propia investigación(políticos, económicos, sociales, etc.)

Es razonable pensar que el desarrollo de lainvestígación aportará conocimientos que capacitarán alos profesores para afrontar mejor su trabajo.



GODINO, J. D. y BATANERO, C. (1996). Relacionesdialécticas entre teoría, desarrollo y práctica eneducación matemática: Un meta-análisis de tresinvestigaciones. En: N. Malara (Ed), An InternationalView of Didactics of Mathematics as a ScientificDiscipline(pp. 13-22). Universidad de Módena.


5. PARADIGMAS, PROBLEMAS YMETODOLOGÍAS DE INVESTIGACIÓN EN

DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS

5. 1. La perspectiva sistémica

5.2. Concepciones de didáctica de la matemática yproblemas de investigación

5.3. El dilema teoría-aplicación en las concepciones de ladidáctica

5.4. Paradigmas de investigación

5.5. Elementos para una perspectiva de síntesis


5. 1. La perspectiva sistémica

Empleo de la teoría de sistemas (sentido débil)

El funcionamineto global de un conjunto de elementosno puede se explicado por el simple agregado de losmismos

El comportamiento de los elementos queda modificadopor su inclusión en un sistema

Sistema de enseñanza, sistemas conceptuales, sistemasdidácticos

El carácter sistémico se muestra en cada problemaparticular del campo de la Educación Matemática (Steiner)


Michèle ARTIGUE: La aproximación sistémicaes esencial, ya que:

Muestra que la Didáctica de la Matemática seencuentra en el corazón de interacciones múltiples y debe,como consecuencia, desarrollar sus propias problemáticas ymetodologías, aunque sin despreciar los aportes de lasdisciplinas conexas, en particular la psicología y laepistemología.

Muestra, reagrupándolas en el seno de una estructuracomún, lo que liga entre si a las didácticas de las diversasdisciplinas pero, al mismo tiempo, indica lo que las separa:saberes diferentes cuya apropiación y transmisión planteaproblemas que son, en sí mismos, específicos delconocimiento planteado.


5.2. Concepciones de didáctica de lamatemática y problemas de investigación

Dependencia de los problemas de investigación de losparadigmas y concepciones de la didáctica.

Concepción tecnicista: la investigación se consideracomo medio de mejora de la planificación de los curriculos y laformación de profesores.

Concepción pluridisciplinar: los problemasfundamentales vienen determinados con frecuencia por laciencia desde la que se contempla el proceso didáctico.

Concepción matemática: El verdadero objetivo de ladidáctica es la construcción de una teoría de los procesosdidácticos que nos proporcione dominio práctico sobre losfenómenos de la clase.


5.3. El dilema teoría-aplicación en lasconcepciones de la didáctica

Posición teórica:

Lo esencial es conocer cómo funciona el sistema ydescribir leyes de carácter general que expliquen sudinámica

Posición tecnicista /aplicada:

Hay un problema que resolver aquí y ahora y no es posibleesperar a que la ciencia teórica descubra los principiosgenerales que explique esta clase de fenómenos


5.4. Paradigmas de investigación

Noción de paradigma:

Conjunto o red de hipótesis teóricas generales, leyes y técnicas parasu aplicación, compartidas por los miembros de una comunidadcientífica, implicando una cierta coincidencia en sus juiciosprofesionales.

Dos polos extremos (Shulman) :

- Enfoque positivista o proceso-producto: encontrar leyes y deconfirmar hipótesis acerca de las conductas y procedimientos quese asocian con ganancias en el rendimiento de los alumnos.

- Enfoque interpretativo: búsqueda del significado personal de lossucesos, el estudio de las interacciones entre las personas y elentorno, así como los pensamientos, actitudes y percepción de losparticipantes.


Rasgos metodológicos de la concepciónfundamental de la didáctica:

Reconocimiento de,

La complejidad de los fenómenos, que hace necesarioun estudio holístico y de casos, así como disponer detécnicas múltiples de recogida de datos.

La especificidad respecto al saber matemático, que haceposible la generación de hipótesis previas, a partir delestudio de dicho saber y de su génesis epistemológica.


Rasgos del paradigma positivista -experimental:

Hay un tratamiento: se preparan con cuidado laslecciones, los profesores, las situaciones, la forma detrabajar, con la finalidad de provocar efectos específicos;

Se formulan hipótesis previas generadas a partir de unateoría general y del estudio "a priori" de la situación, lacual, a su vez, se construye basada en la teoría;

Se apoyan fuertemente en los métodos estadísticos,especialmente las técnicas del análisis multivariante dedatos, aunque dichos datos sean esencialmente de tipocualitativo. Se intenta contrastar o verificar las hipótesisiniciales.


Rasgos del paradigma ecológico- etnográfico:

Enfoque holístico: estudio sistémico y global del fenómeno;

Datos de tipo cualitativo, interés en las variables de proceso yen las interrelaciones entre los componentes del sistema;

Posibilidad de generar nuevas hipótesis en el transcurso dela investigación;

Estudio de casos. No se usa el muestreo aleatorio. Se describecon detalle el grupo estudiado;

Técnicas de recogida de datos múltiples, muchas de ellas detipo etnográfico, como es la observación.

Uso de técnicas de análisis de datos cualitativos: definiciónde categorías, aunque con el propósito de cuantificación yanálisis estadístico.



(Enfoque psicológico)

SCHOENFELD, A. H. (2000). Propósitos y métodos deinvestigación en educación matemática. Notices of the AMS,Volume 47, Number 6; June/July 2000. [Traducción ycomentarios de Juan D. Godino]


6. CONSOLIDACIÓN DE LA DIDÁCTICA DE LAMATEMÁTICA

Tesis:

• La didáctica de la matemática ha logrado en laactualidad una posición consolidada desde el punto devista institucional, incluso en España.

• Existe una gran confusión en las agendas deinvestigación y en los marcos teóricos y metodológicosdisponibles, situación propia de una disciplinaemergente.

• Existe un divorcio muy fuerte entre la investigacióncientífica que se está desarrollando en el ámbitoacadémico y su aplicación práctica a la mejora de laenseñanza de las matemáticas.


LECTURAS COMPLEMENTARIAS:

FONT, V. (2002). Una organización de los programas deinvestigación en Didáctica de la Matemática. Revista EMA,7 (2): 127-170.

FREUDENTHAL, H. (1983). Fenomenología didáctica delas estructuras matemáticas. Traducción y Notas de L.Puig. México: Departamento de Matemática Educativa delCINVESTAV-IPN, 1995.

GASCÓN, J. (1998). Evolución de la didáctica de lasmatemáticas como disciplina científica. Recherches enDidactique des Mathématiques, Vol. 18/1, nº 52, pp. 7-33.


GODINO, J. D. y BATANERO, C. (1996). Relacionesdialécticas entre teoría, desarrollo y práctica en educaciónmatemática: Un meta-análisis de tres investigaciones. En:N. Malara (Ed), An International View of Didactics ofMathematics as a Scientific Discipline(pp. 13-22).Universidad de Módena.

SCHOENFELD, A. H. (2000). Propósitos y métodos deinvestigación en educación matemática. Notices of theAMS, Volume 47, Number 6; June/July 2000. [Traduccióny comentarios de Juan D. Godino]

SIERPINSKA, A. y LERMAN, S. (1996). Epistemologíasde las matemáticas y de la educación matemática. En: A. J.Bishop et al. (eds.), International Handbook ofMathematics Education, 827-876.

perspectiva de la did ctica de las matem ticas como ... · 19. métodos de prueba 20. probabilidad...

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