pertemuan 7 - integral
DESCRIPTION
KALKULUSTRANSCRIPT
INTEGRAL 1
INTEGRAL• Anti Turunan• Luas Daerah di Bawah Kurva• Integral Tentu• Teorema Dasar Kalkulus• Integral Taktentu• Aturan Substitusi• Teknik Integrasi• Penerapan Integral
INTEGRAL 2
AntiturunanDefinisi. Fungsi disebut antiturunan dari padainterval jika ( ) ( ) untuk semua dalam .
Teorema. Jika antiturunan dari pada interval ,maka antiturunan dari pada yang paling umumad
F fI F x f x x I
F f If I
′ =
alah: ( ) dengan konstanta sebarang.F x C C+
INTEGRAL 3
Tabel Rumus Antiturunan
1
2
Fungsi Antiturunan khusus( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( 1)1
cos sin sin -cos sec tan
sec tan sec
nn
cf x cF xf x g x F x G x
xx nn
x xx xx x
x x x
+
+ +
≠ −+
INTEGRAL 4
Contoh:
2
2
1. Carilah antiturunan yang paling umum dari fungsi-fungsi berikut. (a) ( ) 6 8 3 (b) ( ) 3 cos 4 sin 2. Carilah fungsi jika (a) ( ) 6 12 (b) ( ) cos
f x x xf x x x
ff x x xf x
= − += −
′′ = +′′ = x
INTEGRAL 5
Luas Daerah di Bawah Kurvay
a b
y=f(x)
Sx
INTEGRAL 6
x0=a x1 x2 x3
yy=f(x)
1i ix x x −∆ = −
Sx
xn-1 xn=b
1 2
H am piran un tuk luas daerah S m enggunakan batas kanan selang bagian :
( ) ( ) ( )n nR f x x f x x f x x= ∆ + ∆ + + ∆L
INTEGRAL 7
x0=a
yy=f(x)
S1i ix x x −∆ = −
xx1 x2 x3 xn-1 xn=b
0 1 1
Hampiran untuk luas daerah S menggunakan batas kiri selang bagian:
( ) ( ) ( )n nL f x x f x x f x x−= ∆ + ∆ + + ∆L
INTEGRAL 8
x0=a
yy=f(x)
S1i ix x x −∆ = −
xx1 x2 x3 xn-1 xn=b
[ ]*1
* * *1 2
Hampiran untuk luas daerah S menggunakan , , 1, 2, , .
Hampiran luas ( ) ( ) ( )i i i
n
x x x i n
f x x f x x f x x−∈ =
= ∆ + ∆ + + ∆
K
L
Integral Tentu
[ ]
0 1 2
Jika fungsi kontinu yang didefinisikan untuk , kita bagi selang , menjadi selang-
bagian berlebar sama ( ) / . Kita misalkan( ), , , , ( ) berupa titik ujung selang-
bagian ini dan
fa x b a b n
x b a nx a x x x b
≤ ≤
∆ = −= =K
[ ]
* * *1 2*
1
*
1
n kita pilih titik sampel , , ,
di dalam selang-bagian ini, sehingga , . Maka integral tentu dari sampai adalah:
( ) lim ( ) .
n
i i i
nb
iain
x x x
x x xf a b
f x dx f x x
−
=→∞
∈
= ∆∑∫
K
INTEGRAL 9
INTEGRAL 10
Sifat-sifat Integral Tentu
[ ]
1. ( ) ( ) , dengan
2. ( ) 0
3. ( ) dengan konstanta sebarang
4. ( ) ( ) ( ) ( )
a b
b a
a
a
b
a
b b b
a a a
f x dx f x dx b a
f x dx
c dx c b a c
f x g x dx f x dx g x dx
= − >
=
= −
± = ±
∫ ∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
INTEGRAL 11
5. ( ) ( ) ( )
6. Jika ( ) 0, , maka ( ) 0
7. Jika ( ) ( ) untuk , maka
( ) ( )
8. Jika ( ) untuk , maka
( ) ( ) ( )
b c b
a a cb
a
b b
a a
b
a
f x dx f x dx f x dx
f x a x b f x dx
f x g x a x b
f x dx g x dx
m f x M a x b
m b a f x dx M b a
= +
≥ ≤ ≤ ≥
≥ ≤ ≤
≥
≤ ≤ ≤ ≤
− ≤ ≤ −
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫
∫
INTEGRAL 12
Contoh:
( )
12
11 1
0 01 4
0 0
4 3
3 1
1. Hitung cos .
12. Jika ( ) , hitunglah 5 6 ( ) .3
3. Jika ( ) 2 ( ) 6, dan
( ) 1, carilah ( ) .
x x dx
f x dx f x dx
f t dt f t dt
f t dt f t dt
= −
= = −
=
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
INTEGRAL 13
Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1
[ ]
[ ]( )
Jika kontinu pada , , maka fungsi yang
didefinisikan oleh: ( ) ( ) ,
adalah kontinu pada , dan terdiferensialkan
pada , dan ( ) ( ).
Dengan notasi Leibniz: ( ) ( ).
x
a
x
a
f a b g
g x f t dt a x b
a b
a b g x f x
d f t dt f xdx
= ≤ ≤
′ =
=
∫
∫
INTEGRAL 14
Contoh:
( )2
22
0
1 33
20 1 3
Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 1untuk mencari turunan fungsi berikut.
(a) ( ) 1 2 (b) ( ) cos
(c) ( ) 1 (d) ( )1
x
x
x
x
g x t dt F x t dt
uh x r dr H x duu−
= + =
= + =+
∫ ∫
∫ ∫
INTEGRAL 15
Teorema Dasar Kalkulus Bagian:
[ ]Jika kontinu pada , , maka
( ) ( ) ( )
dengan antiturunan sebarang dari , yakni suatu fungsi sedemikian sehingga .
b
a
f a b
f x dx F b F a
F fF f
= −
′ =
∫
INTEGRAL 16
Contoh:
3 25
41 1
2 4
50
Gunakan Teorema Dasar Kalkulus Bagian 2untuk menghitung integral berikut.
3(a) ( 1) (b)
, 0 1(c) ( ) dengan ( )
, 1 2
x dx dtt
x xf x dx f x
x x
−
+
⎧ ≤ <= ⎨
≤ ≤⎩
∫ ∫
∫
INTEGRAL 17
Integral Taktentu
3 32 2
Integral taktentu adalah anti-turunan dari , atau
( ) ( ) bermakna ( ) ( ).
Contoh:
karena .3 3
f
f x dx F x F x f x
x d xx dx C C xdx
′= =
⎛ ⎞= + + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫
∫
INTEGRAL 18
Tabel Integral Taktentu
1
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
( 1)1
nn
k dx kx C
k f x dx k f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
xx dx C nn
+
= +
=
± = ±
= + ≠ −+
∫∫ ∫∫ ∫ ∫
∫
INTEGRAL 19
Tabel Integral Taktentu …
2
2
sin cos
cos sin
sec tan
csc cot
sec tan sec
csc cot csc
x dx x C
x dx x C
x dx x C
x dx x C
x x dx x C
x x dx x C
= − +
= +
= +
= − +
= +
= − +
∫∫∫∫∫∫
INTEGRAL 20
Contoh:
( )( )
2
2
2
1. Periksa kebenaran rumus berikut dengan pendiferensialan.
(a) 11
(b) cos sin cos
2. Carilah bentuk umum integral taktentu berikut.
(a) 1 2
x dx x Cx
x x dx x x x C
t t dt
= + ++
= + +
− +
∫
∫
∫sin 2 (b) sin
x dxx∫
INTEGRAL 21
Aturan Substitusi pada Integral Taktentu
Jika ( ) adalah fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang dan kontinu pada , maka
( ( )) ( ) ( )
u g xI f
I
f g x g x dx f u du
=
′ =∫ ∫
INTEGRAL 22
Formula Integral Parsial…Jika ( ) dan ( ), maka turunannyaadalah ( ) dan ( ) . Dengan demikian, menurut Aturan Substitusi, rumus pengintegralan parsial menjadi:
u f x v g xdu f x dx dv g x dx
u dv uv v du
= =′ ′= =
= −∫ ∫
INTEGRAL 23
Contoh: Tentukan integral berikut ∫ dxxln
Cxxxdxx
xxx
duvuvdvudxx
xvdxx
du
dxdvxu
dvudxx
+−=−=
−==
==
==
=
∫
∫∫∫
∫∫
ln1.ln
ln
1ln
ln
INTEGRAL 24
Contoh: Tentukan integral berikutJawab:
INTEGRAL 25
Pengintegralan Fungsi Rasionaldengan Fraksi ParsialTeknik ini digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi rasional dengan menyatakannya sebagai jumlah dari fraksi yang lebih sederhana,yang dinamai fraksi parsial, yang telah kitaketahui bagaimana mengintegralkannya.
INTEGRAL 26
Tahapan Pengintegralan( )Misalkan fungsi rasional ( ) , dimana( )
dan adalah fungsi polinom. Jika derajat kurang dari derajat , maka disebut fungsi rasional sejati. Jika sebaliknya, maka dilakukanpembagian se
P xf xQ x
P Q PQ f
=
( )
hingga dapat dinyatakan sebagaipenjumlahan fungsi polinom dan fungsi rasionalsejati ( ) ( ) .
f
R x Q x=
INTEGRAL 27
Contoh: Tentukan
Jawab:
INTEGRAL 28
Kasus 1 dari R(x)/Q(x)
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1 2 2
1 2
1 2
1 1 2 2
Jika ( ) adalah hasil kali faktor linear yang berbeda, atau
( ) ,maka terdapat konstanta , , , sehingga
( )( )
k k
k
k
k k
Q x
Q x a x b a x b a x bA A A
AR x A AQ x a x b a x b a x b
= + + +
= + + ++ + +
L
K
L
INTEGRAL 29
Contoh: Tentukan
Jawab:
INTEGRAL 30
INTEGRAL 31
Contoh: Tentukan
Jawab:
INTEGRAL 32
INTEGRAL 33
Kasus 2 dari R(x)/Q(x)
( ) ( ) ( )
1 2
1 22
Jika ( ) adalah berupa faktor linear yangberpangkat , atau
( ) ( )maka terdapat konstanta , , , sehingga
( )( )
r
r
rr
Q xr
Q x a x bA A A
R x A A AQ x ax b ax b ax b
= +
= + + ++ + +
K
L
INTEGRAL 34
Kasus 3 dari R(x)/Q(x)
2 2
2
Jika ( ) adalah mengandung faktor kuadratikyang tak dapat diuraikan, atau
( ) , dengan 4 0,maka terdapat konstanta dan sehingga
( ) .( )
Q x
Q x a x bx c b acA B
R x Ax BQ x a x bx c
= + + − <
+=
+ +
INTEGRAL 35
Contoh: TentukanJawab:
INTEGRAL 36
INTEGRAL 37
Contoh: TentukanJawab:
INTEGRAL 38
INTEGRAL 39
Luas antara Kurva denganPenyekatan pada Sumbu-x
[ ]
[ ]
Luas , suatu daerah yang dibatasi oleh kurva( ), ( ), dan garis , ,
dengan dan kontinu dan ( ) ( ) untuksemua pada selang , adalah
( ) ( )b
a
Ay f x y g x x a x b
f g f x g xx a b
A f x g x dx
= = = =≥
= −∫
INTEGRAL 40
INTEGRAL 41
Cari luas daerah yang dibatasi olehkurva dan
Jawab:
INTEGRAL 42
INTEGRAL 43
Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan x = 5
Jawab:
INTEGRAL 44
INTEGRAL 45
Cari luas daerah yang dibatasi oleh kurvadan
Jawab:
INTEGRAL 46
INTEGRAL 47
Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah
( ) ( )
Luas daerah di antara kurva ( ), ( ), dan antara , adalah
( ) ( )
b
a
y f x y g xx a x b
A f x g x dx
x f y x g yy a y b
A f y g y d
= == =
= −
= == =
= −
∫
b
a
y∫
Kesimpulan:
INTEGRAL 48