Vlny

Peter Marko²

UJFI FEI STU Bratislava

Bratislava 12. jún 2013

Abstrakt

Stru£ný preh©ad fyzikálnych problémov, ktoré nás zaujímaliv rokoch 2008-2012.Tomá² Váry, Tereza Skor²epová, Ivan Lapin, Martin Rudolf,Gergely Kajtár, Hanka Jan£inová . . .

Obsah

1. Opakovanie: EM vlna v homogénnom prostredí

2. EM vlny na rozhraniach

I Úplný odraz, Goos-Hänchenov javI Povrchové EM vlnyI Lokalizované plazmóny

3. Fotonické kry±tály

I Zakázaný pásI írenie EM v poruchách

4. Fanove rezonancie v nehomogénnych ²truktúrach

5. Elektromagnetické metamateriály

Elektromagnetická vlna vo vákuu (opakovanie)

E

H

S

λ = c

z

x

y/ ν

Frekvencia ν = ω/2πPerióda T = 1/ν

~E ⊥ ~H

Poyntingov vektor:

~S = ~E × ~H ‖ ~k

Vlnová d¨ºka λ = c/ν

Elektrická permitivita �0 Magnetická permeabilita µ0

Rýchlos´ svetla: c =1

√�0µ0

≈ 3× 108 m/s

Impedancia:E0

H0=

√µ0�0≈ 377 Ω

Materiálové prostredie: Dielektriká

n1 n2 "biele svetlo"

I permitivita slabo závisí od frekvencie

I zanedbate©ne malé absorp£né straty

Elektrická permitivita �0� Index lomu n =√�

v =c

n

Materiálové prostredie: Kovy

I záporná permitivita

I absorpcia

�(ν) = 1−ν2p

ν(ν + iγ)ν2p =

ne2

(2π)2�0m

νp ≈ 2000 THz, γ ≈ 4− 10 THz

10-4

10-2

100

102

104

ν [THz]

-2

-1

0

1

2

10−10εi

10−5εr

ν=νp

102

103

104

ν [THz]

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

εi

εr

ν=νpn

1 KOV

2. EM pole na rozhraní: rovinná vlna a vlnový balík

ǫ1 µ1 ǫ2 µ2

~k+1

~k−1

~k+2

~k−2

~E+1

~E−1

~E+2

~E−2

~H+1

~H−1

~H+2

~H−2

bc

bc

bc

bc

x

zθ1

θ2

2.1 Úplný odraz: Goos-Hänchenov jav

EM vlna sa neodráºa z toho istého bodu, do ktorého dopadla.

Video [M. Rudolf: bak 2010]

2.2 Rozhranie kov-dielektrikum: Povrchová EM vlna

z

k||

EM vlna sa ²íri pozd¨º rozhrania

Ez(x) ∝ e ik‖x−iωt

Surface plasmon polariton - SPPexponenciálne klesá so vzdiale-nos´ou od rozhrania.

Ez(z) ∝

e−κd z z > 0

e+κmz z < 0

Disperzný zákon:

�dκd

+�mκm

= 0

κd > 0 aj κm > 0.

Preto (TM) povrchová vlna existuje len na rozhraní, kde permitivita �skokom mení svoje znamienko: kov - dielektrikum.

Disperzný zákon

0 1 2 3 4 5k

|| / k

p

0

0.2

0.4

0.6

0.8

ω /

ω p

�d = 1

k‖ =ω

c

√�d�m�d + �m

Povolené frekvencie:

�d + �m < 0

Pre Drudeho permitivitu

�m = 1−ω2pω2

ω ≤ ωp√1 + �d

Dôleºité: disperzná krivka ω = ω(kx) leºí mimo svetelného kuºe©a.Preto sa SPP neviaºe na vonkaj²ie EM pole, ani nemôºe by´ excitovanýEM ºiarením dopadajúcim na povrch kovu.

Excitácia SPP: �1 > �2 - kov Otto

ε1

ε2=1θ

vzduch

KO

V

l

R

dopada

juca vln

a

odrazena vlna

ε(ω

)x

z

0 0.5 1k

|| / k

p

0

ω/ωp

θ=π/

3

θ=π/

6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

1

1/2

1/4

1/8

1/16θ1=π/3

/ λp

ell

ω/ωp

Musíme vyuºi´ úplný odraz,pretoºe kSPP > kPW.V hranole s �1 > �2 narastie vl-nový vektor EM vlny, preto môºenasta´ väzba medzi rovinnou vl-nou a SPP a excituje sa plazmón.

Pri danom uhle θ meníme ω dovtedy, kým k‖1 = k‖2 = kSPP

Excitácia SPP: �1 - kov - �2 < �1 Kretschman

Monochromatické svetlo (laser, λ = 632,8 nm) prechádza sklenýmhranolom. Na rozhraní sklo-vzduch dochádza k úplnému odrazu, pretoR = 1. To ale neplatí, ak otá£aním hranola dosiahneme väzbu medzievanescentnou vlnou a SPP. Vtedy sa excituje SPP a R → 0.

R = 1

kov

(Ag,

Au, C

u)Sklo

vzduch

ε1

ε3

SPP

R = 0

Otá£aním hranola dosiahneme kritický uhol, pri ktorom sa excituje SPP[J. Chlpík]

[T. Skor²epová: bak. 2010]

Krátka doba ºivota

SPP ºije krátko, pretoºe:

I absorpcia v kove

I presakovanie (leaky mode)

I radiácia pri rozptyle naprekáºke

Krátka doba ºivotaSPP sa ²íri len na vzdialenosti∼ 100 µm, v ideálnom prípade ∼ cm

ε1

reflected wave

θ

KO

Vincomin

g wave

leaky wave

ε(ω

)

x

z

SPP po excitácii presahujenaprie£ vrstvou spä´ do hranola,kde sa viaºe s rovinnou vlnoua vyºiari sa

Presakovanie � leaky mode

Rozptyl vlnového balíka na tenkej kovovej vrstve.

Balík prichádza z prostredia s vysokou permitivitou, odráºa sa od kovovejvrstvy a na jej opa£nej strane excituje povrchový plazmón.Ten �presakuje� spa´ do ©avého prostrediaDo©ava odchádza odrazená vlna a presiaknutý leaky mód

[M. Rudolf: VO 2010]

Prechod SPP cez rozhranie

2 4 6 8 10ε

b/ε

a

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R, T

, S

RT

S

Pro�l povrchovej vlny závisí od permitivity dielektrika. Preto nie je moºnýprechod vlny z jedného dielektrika do druhého bez radia£ných strát.Energia sa vyºiari ako rovinné vlny.

[T. Váry: dipl. 2008, PhD 2011]

Citlivos´ SPP na vonkaj²ie parametre I

SPP

R = 0

0.46 0.48 0.5 0.52 0.54 0.56θ/(π/2)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

R

Ag 0.086Au 0.075Cu 0.067

Uhlová závislos´ koe�cientu odrazuhrúbka vrstvy / vlnová d¨ºka

0.48 0.481 0.482 0.483 0.484 0.485 0.486θ/(π/2)

10-2

10-1

100

R

Ag 0.086

∆ θ

írka minima pre R = 0, 1 je len

∆θ = 0, 045o

Citlivos´ SPP na vonkaj²ie parametre II

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ/(π/2)0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

R

ε3 = 1ε3 = 1.3ε3 = 1.5ε3 = 3

ε1 = 1kov

= -10.66 + 1.37 iε

L = / 20λ

Uhlová závislos´ koe�cientuodrazu pre ²tyri rôzne permitivityvonkaj²ieho prostredia.sklo � kov - vonkaj²ie prostredieMalá zmena permitivity spôsobíve©kú zmenu kritického uhla.(Senzory zne£istenia.)

Permitivita tenkej kovovej vrstvy je iná, ako objemová permitivita[Johnson and Christy, PRB 1972]

Povrchové plazmóny viazané na tenkej kovovej vrstve

SPP na tenkej vrstve

0 2 4 6 8 10

kp a

0.46

0.48

0.50

0.52

0.54

0.56

0.58

ω/ωp

-1 0 1 2

z / a

-0.05

0

0.05

kx=k

p

U£ebnicový príklad väzby dvoch viazaných stavov.

2.3 Lokalizované plazmónové excitácie

Interakcia dopadajúcej EM vlny s kovovou nano£asticou (gu©ô£ka)

φ(~r) = −E0z +~p~r

4π�0�mr3

~p = 4π�0�da3�(ω)− �m�(ω) + 2�m

~E0

Rezonancia:

�(ω) + 2�m = 0

Platí v statickej limite λ� a, napríklad ak λ = 500 nm a ∼ 10 nm.

EM odozva izolovanej kovovej gu©ô£ky

T

Absorp£né maximum ¤aleko odstatickej limity λ0 ≈ 239 nmDôvod: nano£astica je ve©ká (a =48, 3 nm)

Pre malé nano£astice nepoznáme permitivitu.[T. Váry: PhD 2011]

EM odozva retiazky

Potvrdzuje dipólový charakter excitovaného po©a

b . . . vzdialenos´ medzi nano£as-ticami. r = 25 nm.Posuv rezonan£nej frekvencie zá-visí od polarizácie EM vlny.Potvrdená dipól-dipólová interak-cia ∼ b−3

[T. Váry: PhD 2011]

3. Fotonické kry²tályPeriodický v rovine xyHomogénny v zPermitivita

�(~r +~a) = �(~r)

I dielektrické ty£ky

I otvory v dielektrikuZakázaný pás [Joannopoulos]

3.1 H©adanie zakázaného pásu

Umiestnime do FK zdroj ºiarenia:

Zdroj ºiari len jednu periódu:

asový vývoj po©a pre rôznuperiódu vyºarovania zdroja:

[I. Lapin, bak 2010]

H©adanie zakázaného pásu

I £asový vývoj toku energie cez vyzna£neú hranicu

I Fourierova transforacia toku

I frekvencie zodpovedajúce zakázanému pásu budú chýba´

[I. Lapin, bak 2010]

3.2 Poruchy periodickej ²truktúry

Príklad: Fotonické vláknoAplikácia lokálnej poruchy: Vlákno je homogénne v smere z , ales fotonickou ²truktúrou v priereze

Viazaný mód, ktorý nemôºe uniknú´ do okolitého prostredia, lebo máfrekvenciu v zakázanom páse.Vlna z neho neunikne, ani ke¤ sa vlákno ohne.

Prechod EM vlny lineárnou kavitou

Zdroj umiestnený vo vnútri kavity ºiari na vlastnej frekvencii.

Program FDTD (Finite Diference Time Domain)Ke¤ odznejú prechodové javy súvisiace so zapnutím zdroja, ²íri sa vlastnýmód len vo vnútri poruchy.

[M. Rudolf: Diplomová práca (2012)]

Prechod EM vlny lineárnou kavitou

Tok

ener

gie

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

Čas0 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

x=700

Tok

ener

gie

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Čas0 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

x=795

Energia: EM vlna sa odráºa od vyústenia kavity do vo©ného priestoru,preto tok energie mení znamienko vo vnútri kavity.

Vlnovod

EM vlna sleduje poruchu. V mieste zlomu sa môºe odrazi´, ale nemôºeuniknú´ do okolia, pretoºe vlastná frekvencia je v zakázanom páse (narozdiel od optických vlákien: ohyb vlákna spôsobí únik energie).

V závislosti od ²írky kavity je moºné vytvori´ jedno- dvoj- a viacmódovévlnovody.

Rozde©ova£

Tunelovanie cez fotonický kry²tál

4. Fano rezonancie: Fotonická vrstva

EM prechádzajúca naprie£ fotonickou vrstvou.

rt

z

yx

a0 1 2 3 4

a / 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

λ

a

Koe�cient prechodu: Fano rezonancie na pozadí Fabry-PerotovýchosciláciíFano rezonancie súvisiaca s excitáciou leaky módov vo fotonickej vrstve.

Analytická teória

a(t)

Ψ1+

Ψ1−

Ψ2+

0 1 2 3 4

a / 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

T

λ

a

Mód a(t) viazaný na prímes má kone£nú dobu ºivota. Rozpadá sa dvomakanálmi (v©avo a vpravo). môºeme ho excitova´ dopadajúcou vlnou Ψ+

1

∂a

∂t= −iω0a−

a

τ1− aτ2

+

√2τ1

Ψ+1

Ψ−1

= r Ψ+1

+

√2τ1a

Ψ+2

= t Ψ+1

+

√2τ2a

r a t sú amplitúdy odrazu a prechodu ²truktúry bez rezonátora(vlastného stavu ²truktúry).

Prechod EM vlny cez fotonickú vrstvu

E

kφ

ψ

θ

z

x

y

zz

Koe�cient odrazu EM vlnyako funkcia λ a uhla dopadu

Uhol dopadu [stupen]

Vln

ová

då

ka

[n

m]

0 10 20 30 40 50 60 70 80400

450

500

550

600

650

700

750

800

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

Dopadajúca EM vlna excituje vlastné stavy fotonickej vrstvy:

Porovnanie vlastného numerického programu s komer£ným softvérom.

[G. Kajtár, PhD 2011�]

Lineárna porucha periodickej ²truktúry

Polohu prímesného stavu identi�kujeme z koe�cientu prechodu v smerekolmom na poruchuVlastná frekvencia závisí od uhla ²írenia EM vlny

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

a / 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ0.2 0.22 0.24 0.26 0.28

a / 10

-25

10-20

10-15

10-10

θ = 0θ = 0.1 πθ = 0.15 πθ = 0.2 πθ = 0.25 πθ = 0.3 πθ = 0.4 π

λ

Lineárna porucha � disperzný vz´ah

Vlastná frekvencia závisí od uhla ²írenia EM vlny

0.2 0.22 0.24 0.26 0.28

a / 10

-25

10-20

10-15

10-10

θ = 0θ = 0.1 πθ = 0.15 πθ = 0.2 πθ = 0.25 πθ = 0.3 πθ = 0.4 π

λ

Disperzný vz´ah

ω = ω(k‖)

0 0.2 0.4 0.6 0.8

k|| / k

0

0.22

0.24

0.26

0.28

a / λ

Grupová rýchlos´

vg =∂ω

∂k‖

k‖ . . . vlnový vektor rovnobeºný s poruchou

[G. Kajtár, PhD 2011�]

5. Metamateriály

I pripravené v laboratóriu

I ²truktúra je prispôsobená poºadovaným elektromagnetickýmvlastnostiam

I nové fyzikálne vlastnosti:

I záporný index lomuI priestorovo premenný index lomuI magnetická odozva pri optických frekvenciách

Ná² príspevok k vývoju metamateriálov (2002-2005)numerické simulácie prechodu EM v¨n cez metamateriály umoºnili

I overenie vlastností metamateriálov

I výpo£et ich efektívnych parametrov (záporný index lomu).

I návrh nových ²truktúr

Metamateriály vs kompozity

Kompozity

Efektívna permitivita je �priemerom�permitivít zloºiek.

�‖e�

=`a�a + `b�b`a + `b

�⊥e� =`a + `b

`a�b + `b�a

Ex

Ex

Ex

Ex

Dz

Dz

Dz

Dz

a b a b

l lz

x

a b

Metamateriály

�e� a µe� sú dané rezonan£nouodozvou metamateriálu.

Efektívne parametre môºu by´úplne iné ako parametre zloºiek.

Analógia s chémiou:

Na + Cl → NaCl2H2 + O2 → 2H2O

Prvky majú úplne iné vlastnostiako zlú£enina.

Záporná permitivita: Mrieºka tenkých kovových drôtov

Efektívna permitivita:

� = 1−ω′

2

p

ω(ω + iγ)

4 6 8 10 12 14Frekvencia [GHz]

−15

−10

−5

0

5

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

ε’’eff

ε’eff

ω′p . . . plazmová frekvencia, daná²truktúrou

[PM, C. Soukoulis: Opt. Lett. (2003)]

Materiál so zápornou permeabilitou

H 0 cos

ωt

Efektívna permeabilita:

µ(ω) = 1 +Fω2

ω20− ω2 − iωγ

0.5 1 1.5 2ω/ω0

-10

-5

0

5

10

Real

Imag µ

µ

Real µ = 0

Rezonan£ná frekvencia ω0 je opä´ daná parametrami ²truktúry.

Left-handed materiál

Tenké kovové drôty + preru²ené prstence = left-handed materiál

X Z

Y

Koe�cient prechoducez jednotlivé ²truktúry:

6 7 8 9Frekvencia [GHz]

10−18

10−16

10−14

10−12

10−10

10−8

10−6

10−4

10−2

100

Tra

nsm

isia

Len drotyprstenceLHM

[PM, C. Soukoulis, Phys. Rev. B (2002)]

Efektívna permitivita a permeabilita

rt

ε2

µ2

l

Metamateriál povaºujme zahomogénne médium.

λ� rozmer el. bunky

Amplitúdy prechodu a odrazu pre prechod EM vlny cez homogénnuplanárnu vrstvu:

1t

= cos nk`− i2

[z + z−1

]sin nk`,

r

t= − i

2

[z − z−1

]sin nk` (1)

Efektívny index lomu n =√�e�µe�

Efektívna impedancia z =√µe�/�e�

I Predpoklad homogenity λ� nehomogenita ²truktúryI Nejednozna£nos´ rovníc (1) - viac rie²ení n, z pre dané t a r .

[D. Smith, S. Schultz, PM, C. Soukoulis, Phys. Rev. B (2002)]

Efektívna permitivita a permeabilita

Numericky nájdený efektívny index lomu:

I Index lomu je komplexný

I Reálna £as´ je záporná

I Imag. £as´ je malá � maléabsorp£né straty

Left-handed materiál naozaj má záporný index lomu.

Záporný index lomu

teflon

MM

n = 1.3 n = -1

[H. Jan£inová, bak. 2012]

Rezonancia spriahnutých oscilátorov

E E

Dopadajúca EM vlna vyvolá oscilácie elektrónovEfekty blízkeho po©a: vzájomná väzba oscilácií

I Symetrický mód - záporná permitivita

I Antisymetrický mód � záporná permeabilita

Elektromagnetická odozva metametriálov je daná rezonanciami vo vnútriich ²truktúry.

Metamateriály:

1. S©ubujú v²emoºné aplikácie:dokonalá ²o²ovka, absorpcia, materiály s premenným (aj nulovým)indexom lomu, manipulácia svetla . . .

2. Motivujú k ²túdiu interakcií elektromagnetických v¨ns fotonickými ²truktúrami:

I povrchové plazmóny na rozhraní kov - dielektrikumI lokalizované plazmóny v kovových £asticiach rôznych tvarovI vlastné stavy vo fotonických vrstvách

3. In²pirujú k ²túdiu netradi£ných fotonických ²truktúr:

I vlnovody z metamateriálovI rozhranie metamateriál - dielektrikumI fotonické kry²tály s metamateriálmi

Literatúra

I P. Marko² and Costas M. Soukoulis: Wave Propagation: FromElectrons to Photonic Crystals and Left-Handed Materials.

Princeton University Press, Princeton and Oxford (2008)

I P. Marko²: Moderná fyzika. Skriptá, STU Bratislava (2012)

I P. Marko²: Fotonické kry²tály a metamateriály. Ko²ice (2013)

Po¤akovanie

I tudentom:Tomá² Váry, Tereza Skor²epová, Ivan Lapin, Martin Rudolf,Gergely Kajtár, Hanka Jan£inová . . .

I Kolegom:J. Chlpík, M. Drºík, P. Die²ka, P. Bokes, J. Cirák, R. Hlubina . . .

I Grantovým agentúram: APVV, VEGA