PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN BÜNYE DENKLEMLERİ

SEMİH DOĞRUKOL

Yüksek Lisans Tezi

MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI ISPARTA 2002

T.C. SÜLEYMAN DEMİREL ÜNİVERSİTESİ

FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ

PİEZOELEKTRİK MALZEMELERİN

BÜNYE DENKLEMLERİ

SEMİH DOĞRUKOL

YÜKSEK LİSANS TEZİ

MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI

ISPARTA, 2002

Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğüne Bu çalışma jürimiz tarafından MAKİNE EĞİTİMİ ANABİLİM DALI’nda YÜKSEK

LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir.

Başkan : ............................................................. Üye : ............................................................. Üye : ............................................................. ONAY Bu tez ..../....../ 2002 tarihinde Enstitü Yönetim Kurulunca belirlenen yukarıdaki

jüri üyeleri tarafından kabul edilmiştir.

...../....../ 2002 S.D.Ü. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MÜDÜRÜ Adı Soyadı : Prof. Dr. Orhan AYDEMİR İmza :

i

İÇİNDEKİLER

Sayfa

İÇİNDEKİLER..................................................................................................... i ÖZET.................................................................................................................... iii ABSTRACT......................................................................................................... iv ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR...................................................................................... v SİMGELER DİZİNİ............................................................................................. vi ŞEKİLLER DİZİNİ.............................................................................................. viii ÇİZELGELER DİZİNİ......................................................................................... ix 1. GİRİŞ................................................................................................................ 1 1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik......................................................................... 7 1.1.1. Elektriksel, mekanik ve termal sistemler arası etkileşim prosesleri........... 10 1.2. Elektromekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik

Yönleri........................................................................................................... 11

1.2.1 Lineer bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama katsayısının genel tanımı..........................................................................................................

12

1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması................................................ 15 1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler................................................................ 18 1.2.4. Bağlı sistemdeki termodinamik fonksiyonlar............................................. 21 1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi.................................................. 21 1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki............................. 25 1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler....................................................................... 26 1.2.5.1. (S,P) tipi ilişki.......................................................................................... 26 1.2.5.2. Çeşitli bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler........................... 28 1.2.6. Elektromekanik bağlantı katsayısı.............................................................. 31 1.2.6.1. Bağlantı katsayısı tanımları..................................................................... 31 1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı............................................ 36 1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi...................................................... 41 1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler................................ 47 1.2.8.1. Elektrostriksiyon...................................................................................... 47 1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler........................................................................... 48 1.3. Kristal Simetri ve Fiziksel Sabitler................................................................ 49 1.3.1. Kristollagrafik eksenler ve dörtgensel koordinatlar................................... 49 1.3.2. Kristollagrafik nokta grupları ve limitleme grupları.................................. 51 1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi...................................................................... 53 1.3.4. Tansör index kısaltmaları........................................................................... 55 1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi.................................................................. 58 1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret................................................ 61 1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı............................................................................... 61 1.3.6.2. Piezoelektrik işaret.................................................................................. 64 2. KAYNAK BİLGİSİ.......................................................................................... 65 3. MATERYAL ve METOD................................................................................ 69 3.1. Materyal......................................................................................................... 69 3.1.1. Elektromagnetizma..................................................................................... 69

ii

3.1.2. Enerji balansı.............................................................................................. 75 3.2. Metod............................................................................................................. 81 3.2.1. Bünye bağıntıları........................................................................................ 81 3.2.2. Piezoelektrik diferansiyel denklemler........................................................ 84 3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar........................... 86 4. BULGULAR.................................................................................................... 94 5. SONUÇLAR..................................................................................................... 105 6. KAYNAKLAR................................................................................................. 107 ÖZGEÇMİŞ.......................................................................................................... 110

iii

ÖZET

Son zamanlarda ve özellikle de günümüzde, mekanik ve malzeme bilimindeki ilerlemeler ve eşzamanlı olarak ortaya çıkan dizayn ve imalat teknolojilerindeki gelişmeler çok sayıda yeni ve ileri derecede mühendislik malzemesi üretti. Bu fonksiyonel malzemeler, mekanik, elektrik, magnetik alan veya ısınma gibi bir dış fiziksel olayın etkisinde kaldığı zaman şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme konusunda farklı özellikler ve kapasiteler sergiler. Akıllı bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen verilen bir görevi tüm kullanım süresi boyunca optimum şekilde yerine getirebilen malzemedir. En çok bilinen akıllı malzemeler piezolektrik ve magnetostriktif malzemeler, şekil hafızalı alaşımlar, elektro ve magneto reolojik akışkanlar ve polimer hidrojeller olarak sınıflandırılabilir. Akıllı maddesel sistemler ve fonksiyonel malzemeler yaygın bir şekilde yeni teknolojik alanlarda kullanılmaktadır. Bu teknolojik alanlar; genel ve yapısal alanda insan sağlığını takip eden tıbbi cihazlar, akıllı imalat sistemleri, aktif çatlak kontrolü, titreşim ve deformasyon kontrolü, sensör-uyarıcı sistemler için çok fonksiyonlu malzeme geliştirme, astronot ve havacılık uygulamaları, biyoteknoloji, esnek yapı teknolojileri, mikro elektromekanik sistemler, nano teknoloji, cerrahi cihazlar ve bilgisayar destekli cerrahi operasyonlar, iklimlendirme, gürültü kontrolü, sonar cihazlar, hidrofonlar, infrared dedektörler, savaş alanında askerlerin yaşam belirtilerini algılayabilen monitör ve cihazlar. Bu çalışma, modern algılama ve uyarma uygulamaları için gittikçe önem kazanan piezolektrik malzemelerin yapısal davranışları ile ilgili bir incelemedir. Önce bu malzemelerin temel özellikleri bağımsız bir değişkenler cümlesi ve değişik sabitler cinsinden ele alınmıştır. Daha sonra lineer olarak bağlantılı bir sistemde bünye bağıntısı ve kapling katsayısı termodinamik şartlar ve fenomolojik yaklaşımlar çerçevesinde belirlenmiştir. Çalışmanın devamında, fiziksel özelliklere ait simetriler, tansör index kısaltmaları ve tansörlerin geometrik simetrileri açıklanmıştır. Elektromagnetizmanın temel denklemleri, enerji balansı ve piezoelektrik malzemenin diferansiyel denklemleri yeni bir notasyonla açıklanmış gerektiğinde bu denklemlere ait matris formlara da yer verilmiştir. Son olarak teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla sonlu elemanlar metodunu (ANSYS 5.7 programı ile) kullanarak bir piezoelektrik malzeme olan PZT4 için yer değiştirme gerilme ve potansiyel farkı dağılımları elde edilmiştir. Kısa devre rezonans durumu ve açık devre anti-rezonans durumu için doğal frekans modları belirlenmiştir. Anahtar Kelimeler: Akıllı malzemeler, Birleşme katsayısı, Bünye bağıntısı, Doğal frekans, Piezolektrik malzemeler,Sonlu elemanlar metodu.

iv

ABSTRACT

In recent years and specially in our days, progress in mechanical and material scienses simultaneously developments in design and manufacturing technologies have produced a number of new advanced engineering materials. These functional materials also called smart or intelligent materials because these non-traditional materials offer the distinct features and capacity of changing shape or material properties when loaded to an external pyhsical phenomenon, such as mechanic, electric, magnetic field or heating. An intelligent material is a material which is able to react to changes within it self and its environment and perform a given task to an optimum degree over its entire lifetime. The wel-known intelligent materials are piezoelectric and magnetostrictive materials, shape memory alloys, electro and magneto rheological fluids and polymer hidrogels. Intelligent materials system and functional materials have been used extensively in the new technologies such as: structural helth monitoring, smart manufacturing, active fracture control, vibration and deformation control, multifunctional material development, for sensory actuators, astronautical and aeronautical applications, biotechnology, flexible manufacturing, micro electronic machine systems, nanofabrication, surgical instruments, computer asisted surgery operations, to control climate, noise attenuation, sonar arrays, hydrophones, infrared dedectors, to monitör vital signs for soldiers on the battlefield. The study deals with the constitutive modeling og piezoelectric materials which are of gaining importance for modern sensing and actuation applications. First the basic properties of these material will be discussed in terms of their various independent variable sets and various constant. Then contitutive relation and cupling coefficient in a linearly coupled system is looked at, considering thermodynamic considerations and phenomemological approchs. Next, symmetry of pysical properties, tensor index abbreviations and geometrical symmetry of tensors have been explained. Basic equations of electromagnetism, energy balance and differential equations of piezolectricity are demonstrated by using a new notation and required matrix formz finally, to demonstrate the applicability of the theory, numerical calcultions by finite element method (using ANSYS 5.7) are performed to give the displacement, stresses, potential ditrubitions etc., for piezoelectric material PZT4. The first two coupled mode natural frequencies for the shor circuit (resonance) case and open circuit (anti-resonance) case have been determined. Key Words: Coupling coefficent, Constitutive relation, Finite element method, Functional materials, Naturel frequency, Piezolectric materials, Smart or Intelligent materials, Stress.

v

ÖNSÖZ ve TEŞEKKÜR

Son yıllarda dünya endüstrisinde hızla yaygınlaşarak kullanılan akıllı malzemeler

gelecekteki yaşamda bugün kullanılan bir çok malzemenin yerini alacaktır. Bunlar

özellikle şekil hafızalı alaşımlar, polimer hidrojeller, magnetostriktif materyaller,

elektro ve magneto reolojik akışkanlar, piezoelektrik malzemeler olarak sıralanabilir.

Özellikle piezoelektrik malzemeler, kompozit malzemelerin ve yapıların

deformasyon , titreşim ve hasar mekanizmalarını kontrol etmek için kullanılan zeki

maddesel sistemlerde önemli bir unsurdur. Piezoelektrik malzemeler günümüzde

otomotiv teknolojisinde, biyoteknolojide, uzay teknolojisinde ve savunma

teknolojisinde yaygın olarak kullanılmaktadır.

Ülkemizde ise; piezoelektrik malzemeler konusunda yeterli sayıda çalışma

yapılamamıştır. Bunun en önemli nedeni, konu ile ilgili özellikle Türkçe kaynak

bulunamamasıdır. Bu çalışmanın piezoelektrik konusunda çalışma yapacak olan

araştırmacılara az da olsa yardımcı olmasını dilerim.

Böyle bir konuda çalışmamı öneren ve çalışmamın her safhasında çeşitli kaynak,

bilgi ve teşvikleri ile yardımlarını esirgemeyen kıymetli danışman hocam Yrd.Doç

Dr. M.Reşir USAL’ a şükranlarımı sunarım.

Bugünlere gelmemde desteğini esirgemeyen eşime ve mesai arkadaşlarıma

teşekkürlerimle.

vi

SİMGELER (KISALTMALAR) DİZİNİ

CE Katılık katsayısı

E Piezoelektrik sabit

k Kapling katsayısı

β , ε Dielektrik sabit

λ Enerji transmisyon katsayısı

εijk Rotasyon tansörü

C Özgül ısı

S Gerinme

T Gerilme

σ Entropi

Θ Sıcaklık

p Yoğunluk

c Elastik katılık sabiti

s Elastik uygunluk sabiti

E Elektrik alan

D Elektrik akı yoğunluğu

U İç enerji

PT Piroelektrik katsayı

PE Ters piroelektrik katsayı

H Entalpi

P Polarizasyon

Uelas Elastik enerji

Uint Etkileşim enerjisi

Uelec Elektrik enerjisi

α Sıcaklık genişleme katsayısı

βθ İzoterminol sıkıştırılabilirlik

T Basınç

µ Lame katsayısı

δ Entalpi

vii

[a ij] Dönüşüm matrisi

W Enerji, iş

F Kuvvet

V Voltaj

I Elektrik akımı

CKL , CKL-1 Green ve Piola deformasyon tansörleri

ckl , ckl-1 Cauchy ve Finger deformasyon tansörleri

G Gibbs serbest enerjisi

δα Adyabatik Sabit

δβ

)

İzoterm sabit

∇ Gradyan operatörü

( 3,2,1k,Kx,X kK = Maddesel ve uzaysal koordinatlar

η Birim kütle başına entropi yoğunluğu

mlkMLK , εε Maddesel ve uzaysal koordinatlarda permütasyon

tansörleri

l İkinci dereceden birim tansör bileşenleri kI

viii

ŞEKİLLER DİZİNİ

Sayfa

Şekil 1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler.............. 11 Şekil 1.2. Baskı altındaki piezoelektrik gövde de depolarize alan etkisi.............. 44 Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı-gerilme döngüsünün tanımı. 46 Şekil 1.4. Kristollagrafik eksenlere göre dörtgensel kooordinat sistemi.............. 50 Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar................................ 52 Şekil 1.6. GT- kristal kesimi................................................................................. 62 Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi......................................... 63 Şekil 4.1. Geometrik boyutlar............................................................................... 95 Şekil 4.2. Kirişin mesh yapılmış hali.................................................................... 95 Şekil 4.3. Serbetlik derecelerinin kaldırılması ve yükün uygulanması................. 96 Şekil 4.4. Toplam deformasyonlar........................................................................ 97 Şekil 4.5. Toplam potansiyel fark......................................................................... 97 Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu............................................................. 98 Şekil 4.7. Elektrik potansiyel değişiminin farklı açılardan ifadesi....................... 98 Şekil 4.8. Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görüntüleri......................... 99 Şekil 4.9. Elektrik alandaki değişim..................................................................... 99 Şekil 4.10. Gerilme dağılımı................................................................................. 100 Şekil 4.11. Gerinme dağılımı................................................................................ 100 Şekil 4.12. 10. moda ait toplam deformasyonlar.................................................. 102 Şekil 4.13. Potansiyel farkının değişimi............................................................... 102 Şekil 4.14. Toplam yer değiştirme (anti-rezonans)............................................... 103 Şekil 4.15. Elektrik potansiyel dağılımı................................................................ 104

ix

ÇİZELGELER DİZİNİ

Sayfa

Çizelge 1.1. Temel pizoelektrik ilişki tipleri........................................................ 29 Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki......................................................... 31 Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi sınırlama grupları............................................ 51 Çizelge 1.4. Sınırlama grupları............................................................................. 53 Çizelge 1.5. 1.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... 59 Çizelge 1.6. 2.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... 60 Çizelge 1.7. 3.Rank polar tensörlerin simetrisi..................................................... 60

1

1. GİRİŞ

Son on yıl içerisinde malzeme bilimindeki gelişmeler kaliteyi ve güvenilirliği

arttıran, maliyeti azaltan çok sayıda yeni ve ileri düzeyde malzemeler üretti. İleri

malzeme teknolojisinin etkileri malzeme seçimi ve modellemesi ile uğraşan dizayn

mühendislerinin de bakış açısını değiştirdi. Dizayn proseslerini yoğun bir şekilde

etkileyen yeni bir malzeme sınıfı ortaya çıktı ve fonksiyonel malzemeler olarak

adlandırıldı. Bu malzemeler, elektrik alan, magnetik alan veya ısınma gibi belirli

fiziksel olayların etkisinde kaldıkları zaman şeklini ve maddesel özelliklerini

değiştirme konusunda benzersiz ve olağan üstü kapasitelere sahiptir. Şekil hafızalı

alaşımlar ve plastikler, magnetostriktif ve piezoelektrik malzemeler ve

elektroreolojik akışkanlar fonksiyonel malzemelerin tipik örneklerini oluşturur. Aynı

zamanda, akıllı veya zeki malzemeler (intelligent or smart materials) şeklinde de

adlandırılan fonksiyonel malzemeler bir dizayn mühendisi için çok geniş kapsamlı

teknolojik fırsatların oluşturulabileceği ortamlar teşkil eder. Sensörler, optik fiberler

ve sinir ağları ile birlikte küçük tetikleyicilerden oluşmuş bir mekanizma fiziksel

şartları incelenen yapının kendine has özelliklerini çok rahat takip edebilir (Tani ve

Takogi 1998). Çok sayıda uygulamalar için büyük potansiyellerin varlığı literatürde

özetlenirken bu fırsatlardan bazıları günümüzde oldukça başarılı bir şekilde

insanlığın hizmetinde kullanılmaktadır. Fonksiyonel malzemelerin en çarpıcı özelliği

kuvvet ve konum kontrolünde çok basit ve anlaşılır düzeyde kullanım kolaylığı

göstermeleridir (Burman, 2000). Genellikle uygulanan etki tersinirdir yani malzeme

üzerindeki fiziksel etki kaldırıldığında malzeme orijinal durumuna dönecektir.

Konvensiyonel mühendislik malzemeleri genellikle destekleme, katılık sağlama,

bağlama v.b. gibi pasif yapısal fonksiyonlar üretme yeteneğine sahiptir. Başarılı bir

şekilde standardize edilmiş malzeme özelliklerini dikkate alarak konvensiyonel

mühendislik malzemelerinin seçimi az veya çok alışılmış ve bilinen bir prosedür

çerçevesinde gerçekleştirilir. Diğer taraftan, fonksiyonel bir malzeme seçiminde

dizayn mühendisi oldukça kompleks problemlerle karşı karşıya gelir. Pasif

fonksiyonlara ilave olarak şeklini ve maddesel özelliklerini değiştirme gibi aktif

fonksiyonlar da üreten bu malzemeler bir mekanik bileşenler topluğunun üstleneceği

2

görevleri de yapabilmelidir (Wang, 1992). Fonksiyonel malzemenin dizayncı

tarafından önerilen fonksiyonlara katkıda bulunup bulunamayacağını araştırmak için

gerekli olan malzeme özelliklerini belirleyecek olan kavramsal dizayn fazına

(aşamasına) önemli kaynaklar ayrılmalıdır.

Aktif fonksiyonu yerine getirecek yetenekleri tanımlayan malzeme özellikleri lineer

değildir ve genellikle de zamana bağlıdır (Daros ve Antes, 1999). Sonuç olarak,

standardize hale getirilmiş malzeme özellikleri ile birlikte fonksiyonel malzemelerin

kullanılma ihtimali zayıftır, ve gerçek dizayn problemi ile ilgili bilgi azdır, bazı

durumlarda güvenilmez durumdadır. Bu yüzden bir kavramın çalışma ilkesini

tanımlamak ve doğrulamak için dizayn mühendisine gerekli olan bilgi günümüzde

neredeyse yalnızca deneysel araştırmalarla sağlanabilmektedir. Bu kompleks seçim

prosesinin bir sonucu olarak fonksiyonel malzemeleri kullanan bir çok dizayn projesi

kavramsal dizayn aşamasından öteye geçememektedir.

Dizayn metodolojisi çerçevesinde önemli araştırma aktiviteleri mühendislik dizayn

proseslerinin alışılagelmiş modellerini elde etmek veya dizayn prosesinde kısalık

sağlamak için çok fazla sayıda teşebbüsleri gerçekleştirmişlerdir. Sıkı kurallar koyan

dizayn prosedürü modellerinin geliştirilmesindeki asıl amaç teklif edilen metotla

dizayn problemine nasıl yaklaşılacağına, ne kadar etkili olunacağına ve en iyi

sonuçların nasıl elde edileceğine ait bir teori geliştirmektir. Böyle bir modele

dayanarak dizayn prosedürünün yani dizayn fazının ana amaçlarını belirlemek ve

eğer gerekiyorsa, dizayn metotlarını ve dizayn tekniklerini geliştirmek için bu fazları

temel aktivitelere ayrıştırmak mümkündür.

Belirli bir dizayn görevine adapte olunduğu zaman, dizayn prosedürü modelleri

dizayncının neyi ne zaman yapacağını planlamasına yardımcı olmakla kalmaz aynı

zamanda dizayn işlemini nasıl gerçekleştirmesi konusunda da rehberlik eder. Açıkça

söylemek gerekirse dizayn prosedürü modelleri dizayncının verilen görevi nasıl

gerçekleştireceğini belirleyen esnek, subjektif ve kesinleşmemiş bir tabloyu dizayn

mühendisinin görüşlerine sunar. Nitekim bu modeller ana iskeletin oluşturulmasına

ve dizayn prosesine mükemmel bir temel yaklaşım ve öngörü sunduğu için,

3

mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemelerin karmaşası ortaya çıktığı zaman

çok daha fazla önem arz etmektedir. Modelin kendi kalitesinden başka bu dizayn

prosedürü modelleri, ürünün geliştirilmesi amacıyla teknik açıdan tercih edilmiş ve

yönlendirilmiş fonksiyonel malzemeler üzerine önemli bir bakış açısı getirdiği için

temel referans prosedürleri olarak göz önüne alınmalıdır.

Mühendislik dizaynında fonksiyonel malzemeleri tartışırken bir alternatif olarak zeki

veya akıllı malzemeler gibi terimlerde göz önüne alınmalıdır. Genel anlamda akıllı

bir malzeme kendi içerisindeki ve çevresindeki değişikliklere reaksiyon gösterebilen

ve verilen bir görevi tüm yaşamı süresince optimum şekilde yerine getiren bir

malzeme olarak tanımlanmaktadır (Craig ve Shankar, 1994). Zeki veya akıllı

malzemeler terimi malzeme biliminin belli alanlarında kabul görmesine rağmen bu

terimler çok dikkatli kullanılmalıdır. Çünkü bu malzemeler biyolojik malzemelerin

karakteristik özeliklerini göstermezler. Üstelik, dizayn prosesinde dizayncı için

önemli bir görev de malzemenin hangi fonksiyonlara katkıda bulunacağını

belirlemektir. Bu sebepten ve incelenen malzemenin hem aktif hem de pasif

özelliklere sahip olmasından dolayı bu gruptaki malzemeler daha öncede belirtildiği

gibi fonksiyonel malzemeler olarak isimlendirilmiştir. Bu kelimenin içerisinde

fonksiyonel malzeme kullanımının çok daha basit bir dizayn sağladığı görüşü de yer

almaktadır. Örneğin, fonksiyonel bir malzeme kullanan tetikleyicilerdeki mekanik

bileşenlerin sayısı aynı amacı yerine getiren elektromekanik tetikleyicilere yardımcı

olan mekanik bileşenlerin sayısından oldukça azdır (Ding ve Gou, 1999). Young

modülü, akma mukavemeti ve elektriksel direnç gibi yapısal malzeme özellikleri

konvensiyonel mühendislik uygulamalarında sabit değerler olarak göz önüne

alınmaktadır. Fonksiyonel malzemelerde, aktif fonksiyonu yerine getirmek için

malzemenin yeteneğini tanımlayan özellikleri de bünyesinde barındıran bu özellikler

operasyonel bir aralık üzerinde önemli ölçüde değişiklik gösterir. Kompleks

malzeme davranışına ve fonksiyonel malzemeleri kullanan dizayncının hangi

zorluklarla karşı karşıya geldiğini ifade edebilmek için yaygın olarak kullanılan üç

farklı malzemenin karakteristikleri ve dizayn prosedürü ile ilgili özellikleri bazı

detayları ile birlikte aşağıda verilmeye çalışılmıştır. Bunlar ; şekil hafızalı alaşımlar,

piezoelektrik malzemeler ve magnetostriktif malzemelerdir.

4

Difüzyonun yer almadığı martenzitik transformasyonlarla üretilirler. Şekil hafızalı

alaşımlar (shape memory alloys - SMA) belirli bir sıcaklık değişimine maruz

kaldıkları zaman önceden tanımlanmış bir şekil veya ölçüye dönmek yeteneğine

sahip malzemelerdir. Şekil hafızalı alaşımlar çok yüksek gerinme ve gerilme

değerleri gösterebilirler, ve tetikleyicilerde, tek çevrimli kaplinglerde ve bağlama

elemanlarında olduğu gibi nispeten büyük miktarlarda işi yerine getirmek için

uygulamalarda büyük potansiyellere sahip malzemelerdir. Tipik uygulamalarda, şekil

hafızalı alaşımlar nispeten düşük sıcaklıklarda deforme olurlar belirli bir sıcaklık

artışının etkisinde kaldıkları zaman orijinal şekillerine geri dönebilirler. Bu etkinin

kullanılmasını içeren bir dizayn görevinde başarılı olmak için ilk adımlardan biri ,

transformasyonun oluştuğu sıcaklıklar ile transformasyon tarafından oluşturulan

gerilme ve gerinme gibi şekil hafıza özelliklerinin belirlenmesini gerektirir. Zamanla

ve gerçekleştirilen transformasyonların sayısı ile değişmekle birlikte, termomekanik

çevrimden dolayı oluşan histerisis yüzünden bu özellikler birbirleri ile etkileşim

halindedir. Sonuç olarak, bir dizayn mühendisinin ana görevi zamanın ve

termomekanik çevrimlerin bir fonksiyonu olarak gerilme, -gerinme- ve sıcaklık

eksenleri boyunca histerisisin şeklini, büyüklüğünü ve yerini önceden tahmin

edebilmektir.

Piezoelektrik özellik malzemenin kristal yapı yöneliminin bir sonucudur. Bu özellik,

mekanik gerilmelerin etkisinde kaldığı zaman bir elektrik alanı üretebilen veya

tersine elektrik alana sokulduğu zaman deforme olabilen belirli kristal yapıdaki

malzemelerin bir yeteneği olarak ta tanımlanabilir (Tani ve Takogi, 1998).

Piezoelektrik malzemeler, gösterdikleri hızlı davranıştan dolayı titreşim kontrolü ve

aktif yapısal akustik kontrol gibi küçük strokların gerekli olduğu yüksek frekans

uygulamalarında tercihli bir şekilde kullanılmaktadırlar. Bir tetikleyicide veya

sensörde kullanılan piezoelektrik davranış bir elektrik alanın sebep olduğu gerinmeyi

hesaplayarak önceden tahmin edilebilir, veya bu prosesin terside kullanılabilir.

Genellikle, gerinme ve elektrik alan arasındaki bağıntı non-lineerdir ve çevrim

esnasında gerinme-elektrik alan düzleminde bir histerisis olarak gözlenir (Xiao ve

Bai, 1998). Bu bağıntıyı tesis etmek için, dizayncı zamanla, sürtünme etkisiyle,

5

yaşlanma ve piezoelektrik etkinin azalması ile değişen malzeme özelliklerini

belirlemek zorunda kalacaktır.

Magnetostriktif malzemeler, magnetik alanın etkisinde kaldığı zaman boyutsal

değişiklik gösterme yeteneğine sahip malzemeler şeklinde ifade edilebilir.

Magnetostriktif malzemeler, uygulanan alanla sıraya sokulduklarında mekanik bir

harekete neden olan, rast gele yönlenmiş kuzey-güney kutuplara sahip magnetik

domenlerden oluşmuş bir malzeme olarakta düşünülebilir (Pelrine ve Kornbluh,

1999). Magnetostriktif malzemeler şekil hafızalı alaşımlara göre çok daha küçük

stroklar gösterir ve mekanik davranışları piezoelektrik malzemelerden daha yavaştır.

Onların uygulama alanları transduser cihazlar ve ultrasonik ses üretim sistemleridir

(Suresh, 1999). Bu malzemelerde de gerinme ve magnetik alan arasındaki ilişki

lineer değildir. Histerisis karakteristiklerinden anlaşıldığı kadarıyla, bu tip

malzemeler kullanıldığında ortaya çıkan asıl dizayn problemleri homojen olmayan

magnetik alanların ve kenar (eddy) akımlarının üretilmesidir. Bu yan etkiler daha

sonra mekanik dalgaların ilerlemesine neden olabilir.

Fonksiyonel malzemelerin non-lineer ve zamana bağlı değişimlerinden, dizaynda

yapısal değişikliklerle birlikte kendi yapılarında da değişiklikler gösteren aktif

fonksiyonlara sahip bu malzemelerin asıl kullanım amaçlarından dolayı mühendislik

dizaynında bu malzemeleri kullanan bir dizayncının yeni problemlerle

karşılaşabileceği açıkça gözükmektedir. Fonksiyonel malzeme kullanan veya bu

malzemelerden oluşan elemanların çalışma ilkelerini belirlemeye çalışan bir

mühendis için asıl görev kavramsal dizayn fazını başarıyla yerine getirmektir (Kögl

ve Gaul, 2000). Fonksiyonel malzemelerin davranışı ile ilgili olan dizayn ilkeleri bu

aşamada malzeme özelliklerinin doğru bir şekilde belirlenmesi sayesinde önceden

tahmin edilebilir.

Bilindiği gibi çalışan sistemlerin , doğru çalışma peryodlarını sürdürebilmeleri için

dış parametrelerin değişimlerini en çabuk şekilde ve doğru algılayabilmeleri

6

gereklidir. Bu algılama sırasında kullanılan ve parametre değişikliklerini sisteme

uyarlayan elemanlara genel olarak algılayıcı ve tetikleyiciler adı verilir.

Dış parametrelerde meydana gelebilecek değişiklikleri ; algıladığı özelliğin dışında

başka bir özellikle sisteme aktarmak gerekliliği doğabilir. Örneğin mekaniksel bir

hareketin algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya ısıl bir değişim

algılanarak elektriksel bir uyarıya dönüştürülmesi veya elektriksel bir uyarı

algılanarak mekanik bir uyarı oluşturulması gibi. Tüm bu ve benzeri işlevleri yerine

getirmek amacıyla akıllı maddesel sistemler kullanılmaktadır (Haojing, ve Weigiu,

1997).

Akıllı maddesel sistemler (İntelligent Material Systems), bünyesinde barındırdıkları ;

algılayıcı, uyarıcı ve kontrol edici mekanizmaların özelliklerini kullanarak canlı

sistemlerinkine benzer uygulamalar ile dış veya iç parametrelerin değişmelerine göre

davranışlarını ayarlayabilen yapılardır (Kallenbach ve Kube, 1999).

Piezoelektrik malzemeler elektrik enerjisini mekanik enerjiye mekanik enerjiyi

elektrik enerjisine çevirme yeteneğine sahip malzemelerdir (Xu ve Rajapakse,

1999). Bu özelliklerden faydanılarak algılayıcı (sensör) ve tetikleyici (actuator)

olarak sıkça kullanılmaktadır. Elektrodlar yardımı ile bir gerilim uygulandığında

mekanik bir hareketle cevap vermesi veya mekanik bir baskı sonucunda bünyesine

bağlanan elektrodlardan gerilim elde edilmesi bu sert malzemelerin öncelikli olarak

yapısal sistemlerin üzerine araştırma yapılmasını ortaya çıkarmıştır (He ve Ng,

2000).

Yapısal olarak incelemeye başlandığında , bir piezoelektrik malzemenin Gerilme (T)

Gerinme (S) tansörleri ile Elektrik alan (E) ve Elektrik deplasman (D)

vektörlerindeki değişimler ilk olarak ele alınması gereken değerlerdir. Bu değerler

arasındaki ilişki aşağıdaki bünye denklemi ile tanımlanabilir.

T = S - E ][ EC Te ][

D = [ e ]S+ E ][ Sε

7

denklemlerde kullanılan ve sırasıyla katılık katsayısı , piezoelektrik

sabit , dielektrik sabittir.

][],[ eC E ][ Sε

Mekanik özellikleri ile dikkat çeken piezoelektrik malzemelerin yanısıra termal (ısı)

özellikleri ile önplana çıkan piroelektrik malzemeler de kontrol sistemlerinde

kullanılmaktadır.

Bu çalışmada mekanik ve elektrik etkileşimlerin sonucu olan piezoelektrik özelliğin

malzemede nasıl ortaya çıktığı bünye denklemleri yardımı ile ifade edilmektedir.

Ayrıca birbirinden farklı sistemler arasında etkileşimin oluşturulması açısından

bakıldığında birbiri ile bağlanan sistemler arasındaki enerji etkileşimi ve bağlantı

katsayısı denklemleri ortaya konmaktadır.

1.1. Piezoelektrik ve Piroelektrik

1824’te Brewster çeşitli türdeki kristallerin etkisini gözlemlemiş ve “Piroelektrik”

terimini bulmuştur. Lord Kelvin piroelektriğin sürekli kutuplaşmaya dayandığını

kaydetmiştir. Bu teoriye göre, Piroelektrik etki, bu kutuplaşmanın sıcaklık kat

sayısının basit bir görünümüdür. Dolayısıyla, bu etki elektriksel ve ısıl sistemlerin

arasındaki etkileşim olarak bilinir.

Piezoelektrik etki 1880’de Pierre ve Jacgues Curie tarafından keşfedilmiş, ve

önemsiz bir keşif gibi görünmüştür. Pierre Curie önceleri Piroelektrik ve kristal

simetrisi arasındaki ilgi üzerine çalışmıştır. Bu çalışma, kardeşleri sadece basınçtan

meydana gelen elektriklenmeyi aramak zorunda bırakmış, fakat tahmini olarak

basıncın ne yönde uygulanabileceği ve kristal sınıflarının etkisi açıklanmıştır. Aynı

fenomen (olay), turmalin ve Rochelle tuzu gibi birçok diğer kristalde de

bulunmuştur. Hankel “piezoelektrik” ismini önermiştir. Piezoelektrik elektriksel ve

mekanik sistemler arasındaki bir etkileşimdir. Doğrudan (direkt) piezoelektrik etki

mekanik gerilme tarafından üretilen elektrik kutuplanmasıdır. Bununla ilgili olarak,

8

bir elektrik alan uygulandığında ters etki vasıtasıyla kristal şekil değiştirmektedir

(genleşmektedir). Her iki etki de kristalin aynı temel özelliğinin yansımasıdır.

Doğrudan etkinin keşfini izleyen yılda, Lippmann ters etkinin varlığının

termodinamik temellerden kaynaklandığını tahmin etti. Onun tahmini 1881’in

sonunda önce Curie’ler tarafından doğrulandı. Sonrada kuvarsın piezoelektrik

katsayısının hem ters hem de doğrudan etki için aynı değere sahip olduğunu

gösterdiler.

Piro ve piezoelektrik arasındaki ilişki çok tartışıldı ve Woldemar Voight doğru ve

ters Piroelektrik arasında bir ayrım olmasına işaret etti.

Piezoelektriğin fenomensel teorisi, Lord Kelvin tarafından termodinamik prensiplere

dayanarak bildirdi. Piezoelektriğin formülasyonu Pierre Puhem ve F. Pockels

tarafından daha fazla detayla tamamlandı, fakat Voight bu alanda en etkili kişi

olduğunu kanıtladı. Kristal fizikte bugün kullandığımız formülasyonu 1910’da çıkan,

Voight’in anıtsal eseri Lehrbucholer Kristallphysic’e borçluyuz. Bir kafes –

dinamiksel teori de Max Born tarafından 1920’de verildi ve kuvars’da piezoelektrik

kutuplanmanın nitel açıklamalı bir atom modeli, 1925’te Bragg ve Gibbs’in çalıştığı

X – ışın analizi yardımıyla gösterildi.

1917’de Robert A Millikan liderliğinde Ulusal Araştırma Konsülü sponsorluğunda

bir konferans toplandı. Cady konferansa ilgi alanı olan ultrasonik dalgalar yardımıyla

denizaltı tespiti konusundan dolayı davet edildi, Paul Langevin, kuvars – çelik

sandviç transdüserler yardımıyla ultrasonik dalgaları oluşturduğunu bildirdi. Bu

Langevin – tipi transdüser olarak adlandırıldı ve ultrasonik mühendislikte orijinal

uygulamaya dönüştü.

Toplantı, Cady’nin ilgisini piezoelektriğe döndürdü. İlk olarak bir General Electric

grubu ile işbirliği yaparak kuvars ve Rochelle tuz kristalleri üzerinde çalıştı. 1921’de

piezoelektrik kuvars rezonatörünün bir frekans standardı veya bir filtre olarak

kullanabileceğini gösterdi.

9

Jaffe 1935’te Birleşik Devletlere gitti ve Cady’ye Rochelle tuzunu araştırmada

yardım etti. Bu çaba bir kristali kuvars gibi kararlı, sağlam ve Rochelle tuzu gibi

güçlü piezoelektrik yapmaya adaydı. ADP kristali bir cevap olarak bulundu.

Rochelle tuzu ferroelektrik kristallerin ilkiydi. Birçok yeni ferroelektrik kristal

başarıyla keşfedildi, örneğin KDP ve BaTiO çoğu ferroelektrik kristal kuvvetli

olarak Piroelektrik ve piezoelektriktir.

3

Yeni piezoelektrik malzemeler sık sık meydana çıkmaktadır. Bunların tümü, Warren

P. Mason tarafından başkanlık edilen Bell Telefon Laboratuarları Grubunun

aktivitesi olarak tüm niteliğiyle kaydedilebilmektedir. Suda çözünen kristallere

bakıldığında kuvars yerini keşfedilen EDT, DKT, vs’e bırakmıştır. Diğer elden,

hidrotermal yetiştirme (büyütme) tekniği kullanılarak kuvars kristallerin üretimini

arttırmak için çok fazla çaba sarf olunmuştur. Bugün, sentetik kuvars imalatı kendi

alanında bir endüstri olmuştur.

BaTiO3’ün ferrolektirk seramikleri piezoelektrik malzemeler alanı dışında İkinci

Dünya Savaşı’ndan sonra gelişmiştir. Yeni seramik malzemeler incelenmiş ve PbO3

ve ilgili malzemelerin gelişmesine yol açmıştır.

Yüzey-akustik-dalgalı cihazlarda kullanılan en önemli kristaller LiNbO ve

LiTaO

3

3’tür. Piezoelektrik yarı iletken film transdüserler ve piezoelektrik polimler de

ultrasonik elektriğinde hayati rol oynamaktadırlar.

Ön sayfada ifade edildiği üzere, bu çalışmanın amacı, piezoelektrik ve ilgili

konulardaki çalışmalar için makraskobik ve kristallografik metodolojiyi (metotları)

sunmaktır. Atomik yaklaşımlar, yukarıda kısaca özetlendiği üzere, bu çalışmanın

alanı dışındadır.

10

1.1.1. Elektriksel mekanik ve termal (ısıl) sistemler arasındaki etkileşim

prosesleri

Piezoelektrik, elektriksel ve mekanik sistemler arasındaki, Piroelektrik elektriksel ve

ısıl sistemlerin arasındaki bir lineer etkileşimdir.

Etkileşimli prosesler Şekil 1.1’de gösterildiği üzere elektriksel, mekanik ve ısıl gibi

iki veya üç sistem arasında mümkündür. Benzer diyagramlar kristal fizikle ilgili

birçok kitapta bulunabilir. Dıştaki üçgendeki büyüklükler yoğun değişkenleri, içteki

çizgiler daha esnek kendine özgü sistemleri göstermektedir. Bir çizgi her bir

göstergeyi kendine özgü değişkenlerle bağlamakta, burada asıl olmayan semboller

doğrudan (direkt) etkiyi ve asıl olanlar ise ters etkiyi göstermektedir.

Bu diyagramda gösterilen etkileşimli prosesler herhangi iki sistem arasındaki

doğrusal etkileşimlerdir. Buradan çeşitli kavramlar yapısal ilişkiler, kapling

katsayıları, sabitlerdeki durum spesifikasyonları, v.s. sıklıkla bu çalışmada

görülebilir, herhangi bir etkileşimli proseste yaygın olarak uygulanabilirliği vardır.

Bu çalışma bu konuların piezoelektrikle nasıl ilgili olduğunu göstermenin yanında,

lineer etkileşimli proseslerin genel olarak anlaşılmasına da, piezoelektrik

etkileşiminin bir çalışması olarak liderlik edebilir.

11

Şekil.1.1. Elektrik mekanik ve termal sistemler arasındaki etkileşimler (Ikeda, 1990)

1.2. Elektro Mekanik Etkileşim ve Piezoelektrik İlişkilerin Termodinamik

Yönleri

Bu bölümde bir lineer bağlı sistemde, yapısal ilişki ve bağlantı katsayısı öncelikle

tartışılmıştır. Piezoelektrik etkileşim için kristal fiziğinin formülasyonu olan temel

piezoelektrik ilişki, termodinamik değerlerden türemiştir. Elektromekanik bağlantı

katsayısı ve kutupsallığı bozulmuş (depolarize) alan etkisi detayla dikkate alınmıştır,

çünkü bir piezoelektrik ortamda elektro mekanik proseslerde ses ve titreşimin ele

alınmasında bunlar önemlidir.

12

1.2.1. Lineer (doğrusal) bağlı bir sistemde yapısal ilişki ve bağlama

katsayısının genel tanımı

Lineer bir sistemin, iki farklı lineer bağlı fenomeni için değişkenlerin tek olduğunu

düşünürüz.. Bu iki fenomen arasındaki enerji dönüşümü fiziksel durum

değişkenlerindeki bir çeşitlilik vasıtasıyla üretilebilir. Bu etkileşimli proses, enerji

dönüşüm formunun bir yarı – statik dönüşüm sınıflamasının kategorisi altında

meydana gelir.

Sistemdeki serbest enerji “F” tek olarak, iki bağlı sistemlerin durum değişkenlerine

tahsis edilmiş iki parametre ile açıkça belirtilir. Eğer bu değişkenleri ve x ile

gösterirsek F homojen kuadratik (karesel) ifade

η

( ) 22212

211 2

121, xaxaaxF ++= ηηη (1.1)

ile verilir.

Burada = x = 0 durumu bir eşitliktir. Bu F(0,0) = 0 olarak farz edilir. Burada η

ve x’in her ikisi de esnek değişkenlerdir. Genelleştirilmiş kuvvetleri yoğun

değişkenler η ve x ile bağlandığında H ve X ile gösterilir, sırayla kesin

diferansiyelleri ,

η

.XdxHddF += η (1.2a)

ile verilir.

Buna göre;

xFXandFH ∂∂=∂∂= // η (1.2b)

13

ile diferansiyeli alınırsa yapısal ilişkiye neden olur ve aşağıdaki gibi iki lineer

eşitlikle kurularak verilir.

.22121211 xaaXvexaaH +=+= ηη (1.3)

İlişkinin alternatif bir türetilmesi ise H ve X’in sırayla ve x üzerine Taylor açılımı

ile mümkündür. Böylece ikinci eşitlikteki terimi katsayısı X için şeklinde

yazılabilir. Bununla birlikte olduğu bilinir ve yukarıdaki termodinamik

argümanla kolayca ispat edilir. Başka bir deyişle, bu kesin diferansiyelin varlığının

sonucudur. ilişkisi karşıtlık kanununu gösterir.

η

η 21a

1221 aa =

2112 aa =

11a ve katsayıları sıraylaη ve x sistemlerinin ana sabitleridir. Hiçbir bağlantı

olmadığında, örneğin = 0 olduğunda söylenebilir ki her bir katsayı bir ters

hassasiyet veya bir sağlamlıktadır. Bağlı sistemde bununla birlikte ana sabitler ayrı

olarak belirtilmez, her bir engelleyici, sistemde durumların tarifi altında

belirlenmelidir. Yukarıdaki ilişkide sabit X (veya x=0) ve sabit η (veya η = 0)

durum arı için sırayla ve tespit edilmiştir. bu nedenle onları

olarak göstermek tercih olunur, burada x ve η üsleri ana sabitleri

ölçerken sabitlerin büyüklüklerini sabit tutmaya yarar.

22a

12a

l 11a 22aη

2211 avea x

Bağlantı magnitütünü göstermek için kapling katsayısı k tanımlanır. Bu

./ 22112

122 aaak = (1.4)

ile belirlenir.

Bağlantı katsayısı bununla birlikte bir dönüşüm verimini göstermez. Yarı – statik

enerji dönüşüm şeklinde prensipte net verim, eğer sistemden herhangi bir kayba

müsaade yoksa % 100’ dür (Zhu, 2000). Enerji çevirimi tamamlandığında

dönüştürülenden daha fazla enerji sağlamak gereklidir. Çevrim tamamlandığında

14

fazla enerji kaynağa geri döner. Buna göre k, enerjinin kullanılmayan veya verimsiz

kısmın küçüklüğünün bir ölçüsüdür.

Bir an için sistemi den x sistemine enerji dönüşümünü düşünelim. Çıkış enerjisi

E

η n

x’in giriş enerjisine oranının gösterimi , maksimum değeri kolayca ηλ HE x /−=

.1111112

21

2

2

21

2max

−

−+=

−−=

kkkkλ (1.5)

olarak bulunur.

Bu bir enerji transmisyon katsayısı olarak adlandırılır.

Eşitlik (1.3) de verilen yapısal ilişki ve x bağımsız değişkenleri ile açıklanır.

Parantez içinde açıkça belirtilerek bu bağımsız değişken grubunu ( ,x) tipi olarak

adlandıralım. Farklı değişken gruplarının seçimi diğer tipleri verir : ( ,x) , (H,X ). İlk

seçim ( ,x) ve x eksen değişkenlerinde en basit tipi olarak düşünülebilir ki ,bu

durum değişkenler için en uygunudur. Böylece sırayla ve x için

asal sabitler olarak düşünülebilir. (H,X ) tipi ilişki (1.3) eşitliğinin yeniden

düzenlenmesiyle kolayca bulunur :

η

η

η

η η

η2211 avea x η

xaaaH

aaXvex

aaH

a xxxx

−+=−=

11

212

2211

12

11

12

11

1 ηη (1.6)

İkinci eşitlikteki x teriminin katsayısı, sabit – H ( veya H = 0 ) durumu için x

sisteminin katılığıdır, ile gösterilir. Böylece Ha22

( 22211122222 1/ kaaaaa xxH −=−= ηη ). (1.7)

olur.

15

Özetle, lineer etkileşimli prosesin önemli özellikleri aşağıdaki gibi sıralanabilir:

1. Açıkça bağlı bir yada iki sistemin ana sistem sabitinin (Örn.Katılık) belirlenmesine

karşılık, diğer sistemin durumunun hal olarak kesinlikle belirtilmesi gerekir.

2. Hiçbir bağlantı yok iken bir ara sabit, asal sabitten daha büyük olamaz. Başka bir

deyişle, ortamda hiçbir etkileşimli proses olamaz.

3. Sabit, esnek değişkenlerin durumu için diğer sistemin asal sabiti bağlantı katsayısı

olarak kullanılan 1 - değişkeni ile ilişkilidir. 2k

Bu anlatım oldukça genel olmasına rağmen ana kısımlar tam olarak dikkatlice

belirtilmiştir. Esnek değişkenler, bağlı bir sistemin iç durumunu açıklamak için en

uygun durum değişkenleri olarak düşünülür: bu, ( , x) tipinin temel fo m olarak

alınmasıyla var olan bir ilişkidir. (H, X) tipi gibi yoğun tiple başlarsak, benzer bir

arguman mümkündür. Ana sabitler esnek olanlar veya hassas olanlardan sonradır. Bu

durumda sabit η için eksen olan sabit, sabit H için olandan daha küçüktür. Bu

sonuca yukarıdaki 2. madde ile aynıdır. Bununla birlikte sonraki tartışmalar

maddelerden orijinal görüntü tabanlıdır, örneğin hangi sabitlerin ve değişkenlerin

temel olarak alınacağına karar vermek gibi.

η r

Böylece bir esnek değişken grubunu belirlemek, ölçümü göz önünde tutmaya

başlamaktır.

1.2.2. Fiziksel büyüklüklerin tansörel açıklaması

Fiziksel değişkenler ve sabitler genellikle tansörlerle ifade edilir. Bu nedenle, tansör

cebrinin temelleri aşağıda kısaca açıklanmıştır.

Tansörler bir koordinat sisteminin dönüşüm ilişkisi ile belirtilebilir. Bir kartezyen

sisteminin lineer dönüşümü;

16

′′′−− 321321 00 xxxdenxxx ’ne ) (1.8) ( 3,2,1, ==′ jixax jiji

ile ifade edilir.

ija , dönüşümün matrisi ’nin elemanlarıdır. Einstein toplama uzlaşımı izlenirse,

1’den 3’e kadar olan toplam terimdeki tekrarlanan indislerden alınır.

[ ]ija

n. rankın bir kutupsal tansörü n’in alt indis olarak verildiği

tWaaaW pqntjqipnij ΚΛΚ =′ (1.9)

ile belirtilir. Bir skaler değer sıfırıncı rankın bir tansörüdür. Bir kutupsal vektör

(1.10) jiji PaP =′

benzetilerek dönüştürülen birinci ranktan tansördür. Koordinat dönüşümü için bu

(1.8) eşitliği ile aynı formdadır.Eğer dönüşüm matrisi ’nin determinantına A

dersek, onun özellikleri ;

[ ]ija

[ ]−+

==11

det ijaA (1.11)

olabilir +1 durumunda eşitliğin her iki tarafı değişebilir –1 durumunda her iki tarafı

değişmez.

“Eşitsizlik ” terimi, soldan sağa ve sağdan sola koordinat sistemini belirtir.

Eksenel bir tansör;

17

tpqmtjpipmij VaaaAV ΚΛΚ =′~

. (1.12)

ile verilir.

Böylece eksenel bir vektör;

j . (1.13) ij qaAq~~

=

ile ifade edilebilir.

Bu, bir ters işlem altında işaret değiştirilmez. ( ) ( )ii xx −→

İki vektörün sonucu için, ve ( ipp = ) ( )jqq = söylenebilir, üç çeşit bilinir: bir direkt

sonuç ; bir skaler (iç) sonuç S, ve bir vektör (dış) sonuç i bunlar aşağıdaki gibi

belirlidir:

ijV r

kjijkiijiij qprqpsqpv ε===~

,, . (1.14)

Rotasyon (döndürme) tansörü ijkε

−+

=esitseindisfazladahaveyaiki

içinnlarıpermütasyotekinindisleriniçinnlarıpermütasyoçiftinindislerin

ijk

03,2,113,2,11

ε (1.15)

Levicıvata rotasyonuyla belirlidir.

Sıradan vektör cebirinde s ve i r~

( )

[ ].,

,,.~

qpveyaqxpr

qpveyaqps

=

=

(1.16)

18

olarak açılabilir.

Kutupsal ve eksenel tansörlerin belirtilmesiyle, tüm tansör çeşitleri için vektörler de

dahil aşağıdaki şekilde açıklanabilir;

Kutupsal x Kutupsal = Kutupsal,

Eksenel x Eksenel = Kutupsal,

Kutupsal x Eksenel = Ekseneldir.

ijkε üçüncü rank eksenel tansör olduğundan, iki kutupsal vektörün bir vektör sonucu

ekseneldir. Görüntünün başka bir noktasından bir vektör sonucunun bileşenleri, bir

antisimetrik ikinci ranktan kutupsal tansörün çapraz olmayan bileşenlerine eşittir.

ijjiij qpqpV +−= , (1.17)

işareti indislerin kendi aralarında değiştiği, için değişir. jiij →

1.2.3. Bağlı sistemdeki fiziksel sabitler

Bağlı sistemin yapısal ilişkisini tartışmadan önce başka bir sistemle bağlantısı

olmayan her bir sistemin durum denklemi gözden geçirilmelidir.

Isıl sistemde, entropi (birim hacmindeki) esnek değişken farz edilmeli, ve sıcaklık

yoğun değişken olarak alınmalıdır (Li ve Dunn, 1998). Eğer sırayla ve

diferansiyelleri gösterilirse, ilişki

σ

Θ σδ Θδ

( ) ΘΘ=δσ /Cp δ (1.18)

olarak açıklanır, burada C birim kütledeki özgül ısı ve p yoğunluktur.

19

Mekanik sistemdeki değişkenler olan gerinme ve gerilme , her ikisi de ikinci

ranktan kutupsal tansörlerdir. Şekil değiştirme tansörü bileşenleri;

ijS ijT

∂∂

+∂

∂=

j

i

i

jij x

uxu

S21 (1.19)

ile ifade edilir, burada bir yer değiştirme vektörüdür. Buradaki yer değiştirme

mühendislikteki yer değiştirmeden farklı olarak, genellikle bu tansörel yer değiştirme

ile aynı olmayan, elastik tayf (sürem) mekaniğinde kullanılan yer değiştirme olup bu

daha sonra tartışılmıştır elastik ilişki;

( )iu

klijklijklijklij TsSveyaScT == (1.20)

ile verilir. c sabiti elastik katılık sabiti ve s elastik uygunluk katsayısıdır. Her ikisi

de döndürücü rank’tan tansörlerdir.

Elektriksel sistemde, yoğun değişken genellikle elektrik alan i ’dir, burada esnek

değişken tam elektrik akı yoğunluğu (veya elektrik yer değiştirmesi) i veya

kutuplaşma i ’dir. Kutuplaşma teorik işlem için uygundur, fakat i pratik analizde

daha uygun ve kullanışlıdır. Böylece yapısal ilişki;

E

D

P D

jijjjiji DEveyaED βε= = (1.21)

olur, burada ve dielektrik sabitlerdir ve dielektrik geçirmezlik, sırasıyla her

ikisinin ikinci ranktan tansörleridir.

ε β

Etkileşimli proseste yapısal ilişki üzerinden hareket edilirse, söylenebilir ki ısıl ve

mekanik sistemler arasında bir termomekanik etkileşim varsa, özgül ısı ve elastiste

bağımsız değildir. Yapısal ilişki bağlama terimlerini de içeren grup aşağıdaki

eşitliklerle verilir.

20

( ) klklT TpC αδδσ ′+ΘΘ= / (1.22a)

klijklijij TsS Θ+Θ= δα (1.22b)

burada ısıl genleşme katsayısı ve ′ ters etkiyi ifade eder. Zaten ve ′

arasındaki eşitlik genel olarak ters kabul edilir. Spesifik ısı sabit T durumunu

ifade eder, örneğin bir serbest kristal için. ise sabit içindir, örneğin bir

izoterm.

α α α αTC

Θs Θ

Bu ilişki tipinindir. Eğer ) tipi ilişkisi olarak yeniden düzenlenirse,

sabit S için veya sıkıştırılmış kristal için spesifik ısı ’i buluruz.

( T,Θδ ) ( S,Θδ

SC

Bir gaz için uygun spesifik sıcaklıklar ’dir; bunlar bir gaz içerisinde çok

büyük hacim değişiklikleri olduğunda ayrıca kullanılırlar. arasındaki

fark ihmal edilemez. arasındaki ilişki formüller yeniden

düzenlendiğinde kolayca belirlenebilir.

vp CveC

vp CveC

ST CveC

( )kCC TS −= ile verilir, burada k

termomekanik etki için kapling katsayısıdır ve

1

2 i j k l i j k lT

sk

p C

θα α −′ Θ

= (1.23)

ile verilir, burada , tansörünün bir tersidir. Böylece tansörüyle aynı

olur.

[ ]1−s [ ]s [ ]c

Elektriksel ve ısıl sistemler arasındaki etkileşim hem elektrokalorik hem de

piroelektriktir (Kalpakidis, 1992). Elektromekanik etkileşim piezoelektriktir. Bu

etkiler gelecek bölümlerde incelenecektir.

21

1.2.4. Bağlı sistem termodinamik fonksiyonları

1.2.4.1. Yapısal ilişkinin termodinamik türetimi

Şimdi ısıl, mekanik ve elektriksel sistemler arasında etkileşimli prosesler olduğunu

varsayalım. Yoğun değişkenler grubundan ve E ilk farz edilen bağımsız

değişkenlerdir. İlgili termodinamik fonksiyon birim hacmindeki Gibss serbest enerji

’dir. Bu

T,Θδ

( ETG ,,Θ )

nnijij DESTUG −−Θ−= σ (1.24)

ile ifade edilir, burada U iç enerjidir ve , S ve D’nin bir fonksiyonudur. Kesin

diferansiyelden;

σ

(1.25a) nnijij EdDTdSdGd −−Θ−= σ

olur ve

. (1.25b) ,,... T

nE

ijET

GDGSG

ΘΘ

Θ∂∂

−=

Θ∂∂

−=

Θ∂∂

=σ

elde edilir.

G fonksiyonu sırayla , ile lineer etkileşimlerin sahası ile genişletilirse, Θδ nij EveT

.21 G

EE

TT

EE

TTG

mm

klkl

nn

ijij

∂∂

+∂∂

+Θ∂∂

Θ

∂∂

+∂∂

+Θ∂∂

Θ= δδ (1.26)

elde edilir. Sonra aşağıdaki sabitler belirlenir.

22

,,,

2,

ΘΘ

Θ

∂

∂=

∂∂∂

−=Ekl

ij

Eklij

Eijkl T

STT

GS (1.27a)

Θ

Θ

∂∂

=

∂∂

∂−=

,,

2,

Tm

n

ETmn

Tnm E

DEE

Gε (1.27b)

,,,

2

2

ETET

T GpC

Θ∂∂

=

Θ∂∂

−=Θ

σ (1.27c)

,,,

2

ΘΘΘ

Θ

∂

∂=

∂∂

=

∂∂∂

−=Tn

ij

Eij

n

nijnij E

STD

ETGd (1.27d)

,,,

2

Θ

∂∂

=

Θ∂

∂=

Θ∂∂∂

−=EijET

ij

Eij

Eij T

ST

G αα (1.27e)

. (1.27f) ,,

2

Θ

∂∂

=

Θ∂∂

=

∂Θ∂

∂−=

TnET

n

Tn

Tn E

DE

Gp α

CS ,,ε ve sabitleri daha önceden belirtildiği anlamları taşırken, d bir piezoelektrik

sabit ve P bir Piroelektrik katsayısıdır. Bunların ilk üçü sıralı kendine özgü

sistemlerde ana sabitlerdir; sonraki üçü ise iki sistem arasındaki kapling sabitleridir.

α

G fonksiyonu eşitlik (1.25b)’e uygun diferansiyel edilirse ve yukarıdaki sabitler

kullanılırsa aşağıdaki denklemler bulunur:

( ) ,/,m

Tmij

Eij

ET EpTpC ++ΘΘ= αδδσ (1.28a)

,,mmijkl

Eijkl

Eijij EdTsS ΘΘ ++Θ= δα (1.28b)

23

. (1.28c) ,m

Tnmklnkl

Tnn ETdpD ΘΘ ++Θ= εδ

Bu üç eşitlik grubu kapıl sistemde bünye bağıntısını ifade eder. Burada daha önceden

ifade edilen dizayn esasları takip edilerek tipi ilişki olarak adlandırılır,

bunu izleyen şekillendirme Bölüm 1.2.1’de verilmiştir. Kapling sabitleri d , α ve p

sırayla elektromekanik, termomekanik ve termoelektrik etkilere uyar.

( ET ,,Θδ )

Fiziksel sabitler ilgili termodinamik fonksiyonun ikinci türevi olarak tanıtılmıştır.

Her bir kapling sabiti iki farklı değişkene göre ikinci dereceden bir türevidir ve

böylece türevin sırası değiştiği zaman kupling sabitlerin farklı anlamlar taşıdığı

düşünülebilir. Örneğin (1.27b) eşitliğinin tanımından iki çeşit piezoelektrik sabit

,,, Θ

Θ

Θ

Θ

∂

∂=′

∂∂

=Tn

ijnij

Eij

nnij E

Sdve

TDd (1.29)

türetilir.

İlk bahsedilen d birim gerilmeye karşı gelen elektrik akı yoğunluğunu gösterir,

sonraki d ise birim elektrik alana karşılık gerinmeyi gösterir. Bu sırayla uygun direkt

ve ters piezoelektrik etkilere dönüşür. Eşitlik (1.28c)’deki piezoelektrik bağlantı

terimi direkt etkiyi gösterirken; (1.28b) eşitliğindeki ters etkiyi ifade eder. Böylece

ters ve direkt etkilerin eşitliği kendince bellidir. Prosedür, Bölüm 1.1’in genel

argümanının içeriğidir. ve p sabitleri için benzer gerçekler bulunmuştur. (1.28a)

eşitliğindeki p

αE terimi, elektrokalorik etki olarak adlandırılan ters Piroelektrik etkiyi

ifade eder.

Yukarıdaki ilişki başka bir yolla türetilebilir. Bağımlı değişkenler , S ve D

basitçe aynı bağımsız değişkenlerle genişletilebilir. Bu durumda direkt ve ters

etkilerin eşitliği aynı termodinamik ilke üzerinde araştırılır.

σδ

24

Bu diğer yapısal ilişkilerle de mümkündür. Farklı bir grup bağımsız değişken için,

başka bir ilgili termodinamik fonksiyon seçilmek zorundadır. Örneğin, entalpi

, bir tipi ilişkiye yol açar. Şöyleki ( )ETH ,,α ( ET ,,αδ )

( ) ,/ ,m

Tmkl

Ekl

ET EbTapC ++Θ=Θ δδ (1.30a)

,,mmijkl

Eijkl

Eijij EdTsaS σσσδ ++= (1.30b)

. (1.30c) ,m

Tnmklnkl

Tnn ETdbD σσ εσδ ++=

Çeşitli tiplerdeki yapısal ilişkilerin tümü burada lineer düşünülmüştür; bununla

birlikte bir bağıntının transformasyonu bir diğer bağıntıya rehberlik eder. Böylece,

çeşitli sabitlerin arasındaki ilişkiler belirlenebilir. (1.28) ve (1.30) eşitliklerindeki

sabitler için

,/ ,ETEij

Eij pCa αΘ= (1.31a)

,/ ,ETTn

Tn pCpb Θ= (1.31b)

ETE

klE

ijE

ijklE

ijkl pCss ,,, /αασ Θ−= Θ (1.31c)

,/ ,ETEij

Tnnijnij pCpdd ασ Θ−= Θ (1.31d)

./ ,,, ETTm

Tn

Tnm

Tnm pCppΘ−= Θεε σ (1.31e)

25

1.2.4.2. Farklı durumlar için fiziksel sabitler arasındaki ilişki

Üç sistem arasındaki lineer etkileşim hakkındaki daha önceki tartışmalar dikkatleri

diğer sistemler için alt indisle gösterilen durumların iki türüne çeker. Herhangi iki

sistem arasında bir kapling sabiti bir üst indis ile gösterilirken, her bir sistemin asal

sabiti iki üs ile gösterilir. Örneğin iki üs E ve elastik sabit s’e mekanik sistemdeki

bir ana sabite elektriksel ve ısıl sistemlerdeki durumları göstermesi için eşitlik

(1.27a)’da görüldüğü üzere sırayla eklenir. Eşitlik ( 1.31c)’de farklı ısıl durumlar için

uygun sabitler arsındaki ilişkiler, örneğin sabit σ (adyabatik) ve sabit (izoterm)

için, verilmiştir. E indisi formüldeki tüm sabitler için ortaktır. Sıralı sabitler

arasındaki fark mekanikten ısıla etkileşim için bağlantı sabiti olan, ısıl genleşme

ile verilmiştir. Böylece elektriksel sistem sadece indirekt ilişkili değil, bilindiği

kadarıyla bu bağlantıyla ilişkilidir. Diğer bir deyişle üçüncü sistemden başka bir şey

değildir. Eğer

Θ

Θ

α

ΘSS /α = 1 – A oluşturulur ve A’yı aşağıdaki gibi ifade edersek sorun kalmaz

A = ( Direkt bağlı iki sistem arasındaki kapling katsayısı k ) 2

= (kapling sabiti) /[(bir sistemin asal sabiti)x(karşı sistemin asal sabiti)] (1.32) 2

Diğer taraftan piezoelektrik sabit d denklem (1.27d)’de üst indis ile belirtilmiştir.

Eşitlik (1.31d)’deki ilişki sabit ve sabit için geçerli olan durmlar arasındaki

farkı ifade eder. Elektriksel mekanik kapling ifade eden bu sabit d faktörüdür,

üçüncü sistemle ilişkili olan temel şartı ise ya yada sağlar. Eğer = 1 – B

ise, o zaman;

Θ

σ Θ

σ Θ Θdd /σ

B =[( Bir sistem ve üçüncü sistem arasındaki kapling sabiti ) x (zıt sistem ve üçüncü

sistem arasındaki kapling sabiti)] / (ilk sistem ve zıt sistem arasındaki kapling sabiti )

(1.33)

B’nin işareti belli olmadığı halde, A daima pozitiftir. Üçüncü sisteme olan bağlantılar

araştırılmadan B’nin ne işaretini ne de büyüklüğünü tahmin edemeyiz.

26

Başka iyi bir örnek piroelektrikte görülür. Elektriksel Gibss fonksiyonu

ile başladığında özgül ısı ve piroelektrik katsayısı bulunduğunda

tipi yapısal ilişki elde edilir. Bunlar yukarıda ve ile sırayla aşağıdaki gibi

ilişkilidir.

( )ESG ,,2 Θ

ESC , Snp ( )ET ,,δσ

ETC , Tnp

[ ] ,// ,1,, Ekl

Eijkl

Eij

Eij

Eij

ESET spCpC ααλα Θ−==Θ−Θ (1.34a)

[ ] ,,1 ΘΘ−Θ ==− nijE

klijE

klnklE

klS

nT

n dspp αα λ (1.34b)

İlk bahsedilen termomekanik kapling dikkate alınarak elde edilen 1 – A formunda

bir bağıntıdır. Sonraki ise 1 – B formundadır. Piroelektrik ilişki bir termoelektrik

kapling olup (1.34b) denklemi verilen fark üçüncü mekanik sistemden dolayı ortaya

çıkmıştır. büyüklüğü olayın asıl tabiatından kaynaklanır ve birincil veya doğru

piro elektrik etki olarak adlandırılır. Aksine termal gerinme tarafından

indüklenen piezoelektrik yükten doğan bir katkı olup ikincil veya ters piroelektrik

etki adını alır. Termomekanik bilgiye sahip olmadıkça, veya’nin hangisinin daha

büyük olduğunu ilk anda anlamamız imkansızdır.

α

SPTP

TP

1.2.5. Temel piezoelektrik ilişkiler

1.2.5.1. (S,P) Tipi ilişki

Şimdiki tartışmamızı bir elektromekanik bağlı sistem üzerine odaklayalım. Daha

önceki bölümde ısıl sistemin, üçüncü bir sistem olarak az veya çok derecede, elastik,

dielektrik ve piezoelektrik sabitlere etkilerini incelemiştik. Bununla birlikte, termal

şartın örneğin izoterm mi veya adyabatik mi olduğunu belirlemek gereklidir. Tüm

elektromekanik ölçümler bir alternatif alan veya gerilim altında yapıldığında,

gözlemlenen sabitler adyabatiktir. Diğer taraftan, katı hal fiziğinde faz dönüşümü

tartışması izoterm sabitler bilgisini gerektirir. Gerçekte, izoterm ve adyabatik sabitler

arasındaki ayırım nadir olarak verilir, çünkü elektrikselden ısıla ve mekanikten ısıla

bağlantılar çok az özel durum dışında oldukça zayıftır.

27

İç enerjiyle ile başlandığında, termodinamikten adyabatik sabitleri (sabit

- için) türetiriz bununla birlikte, Helmholtz serbest enerjisi F ( ,S,P) yi

incelediğimizde, sabitler izotermdir (sabit- için). Eğer dikkatle sadece mekanik ve

elektriksel sistemler üzerine odaklanırsak, sonuçlar temel olarak, sırayla S ve P ye

göre aynıdır. Bu nedenler izoterm sabitler üzerine konsantre olabilir ve indisini

ihmal edebiliriz.

( PSU ,,σ )σ Θ

Θ

Θ

İlgili termodinamik fonksiyon bir bağımsız değişken kümesinin seçimine bağlıdır. F

(S , P) ile başlayalım. Yukarıdaki argümanı izlediğimizde,

( ) ,21

21, nm

Smnijnnijklij

Pijkl PPSPaSScPSF χ+−= (1.35)

gibi açık ifadeleri bulmak mümkündür. Burada kapling teriminin negatif işareti d ve

e ile işaret tutarlılığı sağlamak içim gereklidir.

F’nin kesin diferansiyeli ise

.nnijij dPEdSTdF += (1.36a)

ile verilir.

,Sn

n

pijij P

FEveSFT

∂∂

=

∂∂

= (1.36b)

ifadeleri temel alınarak,(1.37a) denklemi yazılmıştır.Bünye bağıntısının bir kapıl

denklemler cümlesinden oluştuğunu tespit etmek kolaydır.

.klnklmS

nmnmmijklP

ijklij SaPEvePaScT −=−= χ (1.37a,b)

28

Bu ilişki bağımsız değişkenler S ve P terimleriyle açıklanır. Eşitliklerde görünen

piezoelektrik sabit ’dır, piezoelektrik sabit a ile gösterilecektir (1.37a) ve (1.37b)

eşitlikleri kümesi ile açılarak ilişki (S,P) tipi (a formunda)’nin temel piezoelektrik

ilişkisi olarak adlandırılır.

α

Değişik bağımsız değişken kümelerinin çeşitli seçimleri için benzer ilişkiler bulunur.

Diğer formlar (şekiller) aşağıda anlatılmıştır.

1.2.5.2. Değişik bağımsız değişken kümeleri için temel ilişkiler

Mekanik değişkenler genellikle gerinme S ve gerilme T’dir. Elektriksel değişkenler

olarak intensif değişken daima elektrik alan E olmasına rağmen ekstensif değişken

olarak ya polarizasyon P ya da akı yoğunluğu D seçilebilir.

Teorik olarak, P en çok tercih edilen seçimdir, bununla birlikte, ses ve titreşimin

pratik analizleri düşünüldüğünde D daha çok tercih sebebidir. Hem P’yi hem de D’yi

temel ilişkilerin serisinin geliştirilmesi için kullanabiliriz. Böylece bu ilişkiler iki tipe

bölünebilir: bir kutuplaşma şeması ve bir elektrik akı yoğunluğu şeması. Bundan

sonra, bunlar sırayla P – şeması ve D – şeması olarak anılacaktır.

Temel Bağıntıların sınıflandırılması Çizelge 1.1’de gösterilmiştir. Tüm eşitlikler

gerçekten tansörelken, kısalığı sağlamak amacıyla indisler ihmal edilmiştir.

29

Çizelge 1.1. Temel Piezoelektrik bağıntı tipleri

(a) Polarizasyon Şeması

________________________________________________________

Bağımsız Piezoelektrik Bağıntı Termodinamik Fonksiyon

Değişken

________________________________________________________

S , P

+−=+−=

−=

22

21

21 PaSPScFPaSE

EnerjisiSerbestHelmholtzaPScT

SPS

P

χχ

T , E

+−−=+=

−=

22

21

21 EkdTETsGEkdTP

EnerjisiSerbestGibssdETsS

TET

E

T , P

+−=+−=

−=

221 2

121 PbTPTsGPbTE

EnerjisiGibssElastikbPTsS

TPT

P

χχ

S , E

−−=+−=

−=

222 2

121 EkSEScGEkSP

EnerjisiGibssElektrikEScT

SES

E

λλ

λ

________________________________________________________

G = F – TS – EP, = TS, = F – EP 1G 2G

30

(b) Elektrik Akı Yoğunluğu Şeması (Elektrik Yer değiştirme Şeması )

__________________________________________________________

Bağımsız Tipi Piezoelektrik Bağıntısı Form (Şekil)

Değişken

__________________________________________________________

S , D Esnek h – Formu

+−=

−=

DhSEhDScT

S

D

β

T , E Yoğun d – Formu

+=

+=

EdTDdETsST

E

ε

T , D Karışık g – Formu

+−=

+=

DgTEgDTsS

T

D

β

S , E Karışık e – Formu

+=

−=

ESDEScT

S

E

ελ

λ

__________________________________________________________

Her bir tip ilişki kendine ait termodinamik fonksiyondan başlanarak, çizelgedaki P –

şemasında gösterildiği gibi türetilebilir. Bununla birlikte, farklı prosedürlerde

mümkündür. Örneğin elastik Gibss fonksiyonu olduğunda F’ten

türetilir. Bu yaklaşımın sonucu (T,P) tipi bir ilişkidir. Formüllerin bir alternatif

türetilmesi sadece bağıntının bir tipinden diğer bir tipine transformasyonu ile

sağlanır.Bununla birlikte, uygun eşitliğin yeniden düzenlenmesinde dikkatli

olunmalıdır; eşitlik bir katsayı ile bölünemeyebilir. Çünkü ifade tansöreldir. Bu

durumda bu katsayıya karşılık gelen tansörün tansörü ile çarpılması gereklidir. Farklı

bağıntılar arasındaki bunun gibi dönüşüm denemeleri ile çeşitli sabitler arasındaki

bağıntılar bulunmuştur. Bu gibi denemelerin sonuçları Çizelge 1.2’de gösterilmiştir.

ijij STFGG −=11;

Her bir bağıntının birinci ve ikinci denklemlerindeki kapling terimlerinin işareti

ekstensif ve intensif değişkenlerden ibaret olan karma tipteki terimlerin işaretine

terstir. Ancak onlar ya ekstensif ya da intensif küme için aynıdır.

31

Adyabatik sabitler hakkında kısa birkaç kelime söyleyelim. Başlangıçları öncelikle

termodinamik fonksiyonları gerektirir, yerine ısıl bağımsız değişken ’yı

içerirler. U , H , ve , sırayla F , G , ve için kullanılırlar, burada U iç

enerji U = F + , H entalpi H = G + vb.

Θ σ

1H 2H 1G 2G

αΘ αΘ

Çizelge 1.2. Çeşitli sabitler arasındaki ilişki

__________________________________________________________ E

klijnklmijT

nmnijnmpmnp sgd λ=== εδεβ

Eklijnklmij

Tnmnijmklnkl

Tnm

snp cdhhg ===− εββ λ

Dklijnklmij

Tnmnijmklnkl

snm

Tnm shdgd ===− βεε λ

( )( )D

klijnklmijs

nmnijklijpqklijpq cgdhsc === βδ

mklmijE

ijklD

ijkl hcc λ=−

mklmijD

ijklE

ijkl gdss =−

( ) ( )( )sssc ∆∆−== +− /11µλ

λµλµλµ

0, εεδχ −== nmnmnmlmnl kk

mijT

nmnijmklS

nmnijE

ijklP

ijkl bkdakacc ==−

mijS

nmnijmklT

nmnijP

ijklE

ijkl akbkbss ==− λ

__________________________________________________________

1.2.6. Elektromekanik kapling katsayısı

1.2.6.1. Kapling katsayısı tanımları

Bağlantı katsayısı Bölüm 1.2.1’de kısaca tanıtılmıştır. Bu bir lineer etkileşimli

sistemde efektif enerji dönüşümünün varlığını ifade eder. Burada, piezoelektrik

transdüserin elektromekanik bağlantı katsayısı (sık sık bağlantı faktörü olarak

adlandırılır) dikkate alınmaktadır.

32

Kapling katsayısını belirlemek için, kristal yönlenmeleri, giriş ve çıkış üzerine

düzenlemeler hakkında gerekli bilginin mevcut olduğu kabul edilmiştir.Transdüserin

statik limitinde ( ) titreşim moduna karşılık gelen modda bu katsayı

tanımlanmıştır. Kapling katsayısı k pek çok durumda yüzdelerle ölçülür. Bununla

birlikte onu enerji oranını gösteren karesi ile ele almak daha mantıklıdır.

OW →

2k

Elektromekanik kapling katsayısının fiziksel anlamını açıklamak için katsayıyı

tanımlamanın değişik yollarını araştırmak yeterlidir. Bizim ilgimiz sadece ortak

fikirsel yönler üzerinedir, çeşitli transdüserlerin gerçek detayları burada gerekli

değildir. Uygulamada kullanılan pratik örnekler genellikle ses ve titreşim analizleri

için dikkat çekicidir.

Tanımlar:

1. Aşağıdaki tanım Mason tarafından ileri sürülmüştür: 2k =(depolanan mekanik enerji)/(sağlanan elektrik enerjisi) (1.38a)

veya

2k = (depolanan elektrik enerjisi)/(sağlanan mekanik enerji ) (1. 38b)

2. Elastik, elektrik ve etkileşimli enerjilerin artışının sırayla , ve ile

gösterilmesiyle, toplam artış U = + + ile verilir. Kapling katsayısı

elasU elecU int2U

elasU int2U elecU

. (1.39) /2int

2elecelasUUUk =

ile tanımlanır.

Bu tanım IRE standardıdır (1958). U formülündeki terimler eşitlik (1.1)’deki sıralı

terimlere uyar, netice olarak bu tanımın sonucu eşitlik (1.4)’ün aynıdır.

33

3. Farklı elektriksel koşullar için elastik sabitler veya değişkenler, Bölüm 1.2.1’de

açıklandığı üzere her biri diğerine 1 - faktörü ile doğru ilişkilendirilmiştir. Bu

aynı zamanda dielektrik sabitler veya geçirmezlik durumu da için geçerlidir. Bu

yaklaşımla, katsayıları aşağıdaki gibi tanımlamak mümkündür.

2k

. (1.40) /,/,/,/1 2 STTSEDDE veyasscck ββεε=−

4 . Temel piezoelektrik ilişkisi bağımsız değişken terimler olarak açıklanan iki eşitlik

kümesi ile açıklanır. İlgili terimlerin katsayılarına dikkat edildiği zaman kapling

katsayısı aşağıdaki gibi tanımlanabilir,

2k = (etkileşim teriminin katsayısının karesi ) / [asal (diagonal) terimlerin

katsayılarının çarpımı] (1.41)

Bu çok basit bir metot olmasına rağmen, ilgili temel bağınıtıyı seçerken dikkatli

olunmalıdır. Karma tipte bir bağıntı bu tanıma uymaz.

5. Bir transdüserün gerçek düzenlenmesi verildiğinde dört uçlu bir ağ için, temel

ilişki integral formda bulunabilir. Benzer olarak, bir piezoelektrik birim için temel

bağıntı bir eşitlik kümesi olarak ;

EcFcqveEcFcx 22121211 +=+= (1.42)

gibi verilir, bu durum limit için geçerlidir. Burada x ve F sırayla mekanik

sınırındaki yer değiştirme ve kuvvet q ve E elektriksel sınırdaki yük ve alandır.

Kapling katsayısı aşağıdaki ifade ile tanımlanmıştır;

OW →

./ 22112

122 ccck = (1.43)

34

Bu durumda şunu vurgulamakta fayda vardır. (1.42) bağıntısı F matrisine benzer bir

ifadeye dönüştürülürse;

( ) ( ),xDCFqvexBAFE −+=−+= (1.44)

yazılabilir.

Hesaptaki AD – BC = 1 olduğu dikkate alınarak;

,/12 ADk = (1.45)

bulunur.

6. Piezoelektrik transdüserün analizi aşağıdaki gibi ifade edilen dört uçlu ifade ortaya

çıkarır.

,22121211 FyVyvveyaFyVyI +=+= (1.46)

burada I,V,v ve F sırasıyla elektrik akı, voltaj, yer değiştirme hızı ve kuvvettir. Eğer

tanım 4 entegre edilmiş bağlantıya uygulanırsa, bir tip kapling katsayısı;

. (1.47) / 22112

122 yyykv =

den bulunabilir. Düşük frekanslı limitini düşündüğümüzde

,lim 2

0

2vwv kk

→= (1.48)

transdüserün kapling katsayısı belirlenebilir. I = jwQ ve v = jwx göz önüne alınırsa,

denklem (1.46) Jw sapması ile bölündüğünde, iken denklem (1.42) ile

benzer bir form ortaya çıkar.

OW →

35

Admittans matrisi temelli olan ifade (1.46) temel ilişkinin intensif tipine uyar.

Eğer I ve v bağımsız değişkenler olarak seçilirse ekstensif tiple bileşke empedans –

matris bağıntısı k’ya benzer bir tanım için kullanılır. Tersine şebeke bağlantısı için

kullanışlı olan F-matris bağıntısı tanım-4’e göre k’yı tanımlamak için uygun değildir.

[ ]ijy

7. Piezoelektrik üzerine yeni bir standart IEEE (1978) tarafından sunulmuştur. IEEE

Standardı Tanım 2’de gösterilen etkileşim enerjisi temelli kapling katsayısını

terk etmiştir. Maddesel kapling faktörleri tanımlanmıştır çünkü bu faktörler bir tek

rezonans elemanı gibi kullanılan piezoelektrik bir katının elektriksel olarak tahrik

edilen titreşimleri için analitik çözümlerde doğal olarak kendiliğinden ortaya çıkar.

Diğer taraftan piezoelektrik bir katı statik olarak büyük bir rezonans yapının bir

kısmı gibi kullanıldığı zaman, kapling faktörü önceden tanımlanan gerinme-gerilme

çevriminde ortaya çıkan büyüklükler cinsinden tanımlanan bir oran üzerine

oturtulmuş olur, burada ideal elektrik yükü çevrimi tanımlamak için devreye

sokulmaktadır. Eğer uygulanan mekanik enerji ve yükleme esnasında kaybolan

elektrik enerjisi sırasıyla W ve W

intU

1 ile gösterilirse kapling faktörü aşağıdaki şekilde

tanımlanır;

WWk /12 = (1.49)

Bir elektromekanik bağlantı katsayısı fikri, bir transformatördeki indükif bağlantının

derecesini gösteren faktörden gelmiş gibidir. Bu, ( ) 21

21/ LLMkT = faktörü M’nın

giriş indüktansı ve çıkış indüktansı ’ye karşı ortak M endüktansının

performansının bir ölçüsüdür. Bir transformatör bir dört uçlu şebekeye basit bir

örnektir ve açıklaması Tanım 6’daki ’ye uyar.

1L 2L

2Tk

Kapling katsayılarının pek çok tanımlaması araştırılmıştır. Bunlardan, Tanım 5 ve

Tanım 6’da dört – uçlu şebeke ifadesinde integre edilmiş eşitlikler temel alınmıştır.

Herhangi bir pratik transdüserün analizi genel olarak bir entegre edilmiş eşitlik gibi

sunulacaktır. Eğer bu, herhangi bir sebepsiz tahmin veya yaklaşıma hiçbir yere

başvurmadan varıyorsa, Tanım 5 veya 6 ’nin bulunması için en anlamlı 2k

36

tanımlardır. Diğer taraftan, Tanım 3 ve 4 diferansiyel formunda temel piezoelektrik

ilişki ile ilgilidir. Transduser boyutlarını herhangi bir şekilde dikkate almadıkları için

onlar ’yi bir malzeme sabiti olarak tatışıldığı ortamlar için daha uygundur. 2k

Gerçek titreşim analizlerinde, Tanım 7’de önerildiği gibi, ardışık tranformasyon

denklemleri ile ilgili olarak doğal bir şekilde terimi ilgili denklemlerde yerini alır.

Buna göre tanım-3 de görüldüğü gibi 1 - ifadesi belirli bir şart için gerekli olan

asal sabiti bir diğer şartın asal sabiti ile irtibatlandıran diferansiyel bir taban gibi

davranmasında yatmaktadır.

2k2k

Tüm tanımlar yakın olarak birbiriyle bağlı olmasına rağmen, her bir tanımın kendi

özel niteliği vardır. Bu nedenle, verilen bir transdüserün işleyişine uygun kabul

edilen bir tanım ile başlayabilir. Bununla birlikte, diferansiyel formundaki bir

ilişki temel alınan tanım daha tercih ediliyor gibi görünebilir, çünkü tartışma

boyunca ’nin tanımı göz önüne alınmıştır. Böylece burada, ana olarak Tanım 3

veya 4’ü izleyeceğiz.

2k

2k

1.2.6.2. Bağlantı katsayısı ve enerji iletim katsayısı

Bağlantı katsayısı bir transdüserün performansı için bir çeşit karakteristik indeks

veya onun malzemesinin yararıdır. Gerçekte, k’nın yüksek bir değeri piezoelektrik

malzemenin uygulanabilirliğini önerir; değeri transdüser bant genişliğinin

büyüklüğünün bir ölçüsüdür. Enerji dönüşümünü dikkate almakla birlikte, dönüşüm

verimliliğinin doğrudan ölçümü gerekli değildir. Verimlilik sağlanan giriş enerjisine

oranı ile ölçülür. Bu oranın maksimumu genellikle Bölüm 1.2.1’de tanıtıldığı gibi

ile verilir. bir enerji dönüşüm sisteminin performansı ’den ziyade,

ile bire – bir uygun olduğunda, ile açıklanır.

2k

maxλ 2k maxλ 2k

maxλ

2k ’nin anlamını, ’la ilişki içerisinde açıklamak için, IEEE Standardı (1978)

tarafından verilen Tanım 7’yi deneriz. Tavsiye edilen gerilme – yer değiştirme

çevrimi aşağıdaki gibidir. Mekanik iş W, elektrik şartı E = O altında uygulanan

maxλ

37

gerilim ile sağlanır. Gerilme daha sonra farklı bir durum D = O altında kaldırılır.

Kalan yer değiştirme ideal elektrik yüküne bağlantı ile giderilir. (elimine edilir).

Böylece, çevrim tamamlanır. Eğer dağıtılan enerji ile gösterilirse; , =

ile tanımlanır. Bu son prosedürün gerekliliği, E = O ve D = O için sabitlerin

farklılığından meydana gelir.

1W 2k 2k

WW /1

Gerilme – yer değiştirme çevrimi örneğinde, , mekanik enerjinin W tarafından

sağlanan kısmı olan, depolanan elektrik enerjisidir. Bununla birlikte , çevrim

tamamlanmadan önce bilinmektedir, sadece bu çevirimin sonucundan sonra

gözlemlenebilir. Yukarıda söylendiği üzere IEEE Standardı (1978) Tanım 2’yi,

’ in gözlemlenebilir olmasından sonra terk etmiştir.

1W

1W

1W

intU

Benzer bir duruma Tanım 1 ile de rastlanır. Bir tür enerji (mekanik) sağlandığı anda,

giriş enerjisinin hangi kısmının başka bir enerji (elektrik) formundan depolandığına

daima söyleyemeyiz. Tanım 1, gerçek bir transdüserün değerini belirlemekte,

bağlantı katsayısının bir fikirsel resmine sahip olmasına rağmen etkili değildir ancak

kullanışlıdır.

2k

Yukarıdaki argüman termodinamikteki Carnot çevrimini hatırlatan gerilme – yer

değiştirme çevrimini içermektedir. Bununla birlikte, veya kavramları bir

termik makinenin veriminden farklıdır. Sonraki ise termodinamiğin ikinci kanunu ile

yakın olarak ilgilidir.

maxλ 2k

Karşıt olarak ,doğrusal etkileşim işlemi için λmax veya k2 sabitesi ortaya bağımlıdır .

Örnek olarak gazdan oluşmuş bir termomekanik çevirme sistemi göz önüne alalım.

Termal değişkenler şimdi δθ ve δσ mekanik değişkenler de δp ve δv yarı-durgun

dönüşme işlemi sırasında, değişim hafif olmasına rağmen, değişkenlerin denge

değerleri ilk değerden değiştirilmiştir. Bu değişimle beraber olarak sıcaklık sisteme

akarsa, giriş termal enerjisinin bir kesri, çıkış mekanik enerjisi olacaktır. λmax’ ın

bilgisi, net enerjinin ne kadarlık kesrinin uygun olduğunu tanımlamak için gereklidir.

Enerjiler burada -δθ δσ ve -δpδv olarak anılacaktır.

38

Bu yönde enerji çevrimi ele almak için maddeyi yapı denkleminin terimleri şeklinde

tartışmak daha uygun olacaktır , örnek olarak gazın yapı denklemi bu birim hacim

için aşağıdaki denklemlerle verilir.

δν/ν=βθ(-δp)+αδθ, (1.50a)

δσ=α −δp)+(pc( p/θ)δθ, (1.50b)

βθ izoterminol sıkıştırılabilirlik , cp sabit basınçta birim kütleye verilen sıcaklık ve

α da hacim sıcaklık genişleme katsayısıdır. Bu eşitlikler katılar için verilen

eşitlik (1.22b) ve (1.22a )‘ ya paraleldir. Bu sebepten λmax –e k2 sistemin fiziksel

sabitleridir. Örnek olarak

k2=α2/(βθδcp/θ) (1.51)

denklemi yukarıdaki bağıntıdaki sabitler kullanılarak bulunur. Tabi ki bu bağıntı

cv/cp=βσ/βθ=1−k2 (1.52)

cv için bulunur ki sabit hacimdeki belirli sıcaklıktır ve β ’ da ısısız sıkıştırılabilirliktir.

Eğer bağıntıyı δσ bazında vereceksek eşitlik şu şekilde değişir

δσ/ν=α(−δp)+(Cp/νθ)δθ, (1.50c)

Burada Cp sabit basınçtaki molar özgül sıcaklıktır ve ν ’ de molar hacimdir. 1 mol

ideal gaz ve ısısız işlem için;

pν=Rθ , Cp/Cv=γ , ve pvγ= sabit ( 1.53)

39

39

Her bir sabitte şöyle verilir:

βθ=1/p= v/ Rθ , α=1/θ=R/pv

(1.54)

Cp=Rγ/(γ -1) , Cv=R/(γ-1).

Eşleme sabitesi şöyle bulunur;

k2=α2/(βθCp/νθ)=R/Cp=(γ-1)/γ (1.55)

Eş olarak, eğer gaz molekülündeki serbestlerin derecesinin sayısı n ile işlemlenirse

(n= 3,5 veya 6) , o zaman γ=(n+2)/n ve sonuç olarak k2 = 2/ (n+2) elde edilir.

Sabitler ve kmaxλ 2 ilişkilendirildiği sürece, termodinamiğin ikinci kanunu etki etmez.

Bunlar durumdaki uygun denklemlerin içerisindeki sabitler yardımıyla tanımlanır.

Bu durum her doğrusal etkileşim işleminde aynıdır.

Her bir bağımsız değişken setindeki eşleme sabiti uygunluğu gerçek transdüserde

titreşim modu tanımlandığında, koordinat sisteminin doğru tercihi, titreşim işleyişini,

bağımsız değişkenler olan mekanik kısmı ve elektriksel kısmı ile sağlar. Bu durumda

Çizelge (1.2) ‘de listelenen bağıntılardan bizim bağımsız değişken setimize uygun bir

ana denklem seçebiliriz.

Misal olarak , bir çubuğun uzama modunu ele alalım. (Titreşim detaylarına burada

ihtiyaç yoktur çünkü amaç her k2 tanımlarının özelliklerini incelemektir) Uygun ana

denklem şimdi (T,E) tipleri ve (d-form) dan biridir.

S=sET+dE ve D=dT+εTE. (1.57)

40

40

İlk önce tanımlama 4’ ü uygulayarak

k2=d2/εTsE (1.58)

T=0 (Basınç-serbest) durumda elektrik alan E uygulanırsa tanımlama 1

½(dE)²/sE

k²=

½εTE²

şeklinde bir sonuç verir ki bu üstekiyle aynıdır. Eğer değişkenlerden biri, E veya T

elenirse diğer ana sabitler bulunur.

SD=SE -d²/ εT ve εs=εT-d²/sE (1.59a)

Tanım 3’ü uygulayarak:

1-k²=SD/SE=εS/ε (1.59b)

aynı k² ile sonuçlanır.

Sonuç farklı bir tip bağıntı (Örnek (S.D) tip) ile başlarsak aynı olacaktır. Her nasılsa

bazı istisnalar vardır. Şimdi (S,E) tip bir bağıntıyla başlayalım.

T=cES-eE ve D=eS+εsE (1.60)

Tanım 4 bir eşleme sabitesi önerir.

ke²=cD/cE=εT/εs, (1.61)

bu eşitlik (1.58)’den farklıdır. CE/Cp ve εS/εT oranları Tanım 4 de bulunup

kullanılırsa farklı bir bağıntı karşımıza çıkar.

41

1+ke²=cD/CE=εT/εs, (1.62)

Bu aynı zamanda (T,D) tip bağıntıdan besleme durumudur. Görüldüğü üzere istisna,

kullanılan bağıntı karışık tipse açığa çıkıyor. Derin veya yüzeysel tiple başlamak,

sebepli sonuçların ortaya çıkmasına yarar.

Bağıntının diğer tipini alarak, o tipe uygun olan değişik eşleşme sabitlerini buluruz.

Sonuçlar Şekil 1.2’de gösterilmiştir. Karışık tip için eşleşme sabitesi “expediend=

uygun” anlamına gelen “e” ile gösterilmiştir. Şekildeki oklar, değişik durumlar

(elektriksel, mekanik) için ana değişkenler arasındaki bağıntıyı gösterir, okun

kuyruğunda bulunan sabite okun üzerindeki faktör ile çarpıldığında ok’ un ucundaki

değer bulunur. Anlaşılır ki uygun eşleşme kat sayısının terimlerinde çarpım faktörü

1+ ke²’ dir. Aynı ok fakat ters durumdaki faktör 1-k² dir. O halde bağıntı :

ke²=k²/(1-k²) (1.63)

halindedir.Tanımlama 3’de anlatılan uygun eşleşme kat sayısı asıl durum için doğru

bir eşleşme kat sayı değildir. Mason’un kitabındaki açıklamadan sonra (Bechmann

,1955) de göstermiştir ki eşleşme kat sayısı:

kmixed²=khomog²/(1-khomog²),

burada khomog derin veya yüzeysel değişken setinden elde edilmiştir. Bu parametreler

khomog ve kmixed sırayla k ve ke’ye eşdeğerdir.

1.2.7. Elastik sabitlerde depolarize-alan etkisi

Ana elastik sabitteki elektriksel durum Sabit – D veya Sabit – E ile tanımlanır. Bu

nedenle elektriksel durumdaki fark depolarize alandakine uyacaktır. Depolarize–alan

etkisi piezoelektrik fenomeninde en önemli özelliktir.

42

42

İlk önce, transduser ayarlamasıyla ilgili düşüncelerin verilmediği, elektriksel

durumun Sabit “– E” veya Sabit “– D” ile olduğu, mekanik bir durum göz önüne

alalım. Bu durum eşitlik (1.57) ile verilen (T,E) tipini ana bağıntısı üzerine

kurulmuştur. Baskı T E= 0 olduğunda uygulanmıştır, gerilim artar.

σ=sET (1.64)

Sonra yukarıdaki durumla D= 0 durumların gerilmesini karşılaştıralım.İlk deneyde,

D= dT , D=0 durumunu anlamak için yeni bir ters akış yolunu ilavesi ile (D∋=-dt )

akım yoğunluğu yok edilmelidir ki bu yeni gerilmeye artış katan yeni bir elektriksel

alan olan E∋=(1/eT) D∋ nü oluşturur.

σ∋=dE∋=-(d²/εT)T. (1.65)

Sonuç olarak son gerilim (D =0 için)

S= σ + σ∋=(sE-d²/εT)T (1.66)

ile verilmiştir. Son durum aşağıdaki şemayla gösterilmiştir.

(E=0) sE

D=0 σ S

T D’ E’ σ’ (1.67)

-d 1/εT d

Yeni durumdaki uyulacak olan sD değeridir ve denklem (1.66)’ yı kullanarak

sD=sE-d² / εT (1.68)

43

bulunur. Orta halin her evresinde bu durum değişmesi homojen olarak sürecektir. Bu

yüzden değişik formdaki bir bağıntı üzerindeki yorumlama bu durum içinde uygun

olacaktır.

Depolarize alanı görsellemek için, sonlu transdüserdeki yüzey yük dağılımı

gözlemek yerinde bir karar olacaktır .

Şekil 1.2a’da gösterilen iki yüzü elektrotlu olan X-kesimli ve uzunluğu Y

doğrultusunda olan quartz çubuğu alalım. Kısa devre durumunda (E=0) yayılmış bir

T boşluğu uygulandığında yayılmış gerilme σ artar ve polarizasyon P Şekil (1.2b)’

deki gibi kalınlık yönünde indüklenir. Polarızasyon sarjı (-p/ε0)’dan dolayı olusan

alan ile kompanze edilir çünkü E=D/ε0-P=0’dır.toplam alan veya depolarize olmuş

alan bu sartlar altında belirir. Açık devre Durumunda (D=0), herhangi bir gerçek yük

elektrot üzerinde görülmez,alan yüzey sarjından dolayıdır. Bu sebepten depolarize

olmuş alan E =-p/ε0 bulunmaz (şekil 1.2 c). Sonuç gerilimi σ+σ’ dır. Buna bağlı

olarak D=0 durumu –P /ε0 depolarize olmuş alanına bir artış verir fakat E =0 durumu

bir depolarize olmuş alanla beraber değildir.

Elektriksel durum Maxwell denklemlerinin temeline dayanmaktadır. Yukarıda

gösterilen şemadaki yük davranışı da aynıdır çünkü bu şema, gerçek ve serbest

yükler cinsinden Maxwell denklemlerinin sonuçlarının ifadesidir.

Yukarıda ,biz ilk önce durum b ve durum c ‘yi ele aldık bu toplam gerilmede σ ve σ∋

‘nın oynadığı rollerin görülmesini kolaylaştırmıştır. Gerçek olarak,baskı devam

ederken durum b ‘de elektrodlar açık devre hale getirilmiş olsalar da durum c fark

edilememektedir. Baskı D=0 durumunda uygulandığında ve elektrodlar kısa devre

edildiğinde durum c ve durum b basarıyla gözlemlemiştir.

44

(T=0) (a)

E=0

Şekil 1.2. Baskı altında Piezoelektrik gövdedeki depolarize alan etkisi (Ikeda, 1990)

D P

E P

(b)

(c)

(d)

x Y

T

T

b

c

a

45

Şekil 1.2d’deki baskı gerilme diyagramında gösterilmiştir ki burada oklar a→c→b

rotasını gösterir.

T çıkarıldığında durum, ilk durum olan a’ya döner. ac ve ab gradientleri sD ve sE

ye duyarlılık vermektedir. İşlem c ab joule ısı dağlımı ile eş gitmektedir.T baskısı ile

toplam mekaniksel işi yarı miktarı getirir ki bu acb üçgeninin alanıdır .

Bu örnekleme, depolarize olmuş alan etkisinin değişik elektriksel durumla ve benzer

şekilde sD ve sE ‘nin farkıyla bağıntılı olduğunu göstermektedir. Diğer bir durumda

önceki bölümlerde açıklandığı gibi değişik durumlar için elastik sabitler eşlerine

eşleşme katsayısı ile bağlantılıdır.

sD/sE=cE/cD=1-k² (1.69)

bu yüzden depolarize olmuş akım etkisi eşleşme katsayısına ilişkilenmiştir.

Tekrar IEEE standardı (1978) ile ileri sürülmüş Tanım 7 deki baskı-gerilme

döngüsünü ele alalım. Yukarıdaki bu örneği kullanarak 0→A→B→0 Şekil 1.3

rotayla gösterilen döngü ile gösterilir. 0→A işlemi E=0 durumunda takip edilmekte,

bu yüzden A Şekil 1.2d’deki b ile eşleşmektedir. Uygulanan mekanik iş W dir.

Baskının çıkarılmasından önce, elektrotlar açık devre edilmiştir, o halde A→B işlemi

D=0 durumunda takip edilmektedir. Durum B de bir alan meydana getirilmektedir ve

artık gerilim OB oluşmaktadır. Bunlar bir ideal elektrik yükü kullanılarak elde edilir,

dağıtılmış elektrik enerjisi W1 dir ki bu OAB üçgenin alanına eşittir. Elektriksel

durum şekilde konulan çizimle gösterilmiştir. OA ve AB işlemleri herhangi bir

elektriksel işe ilişkilendirilmemiştir. Fakat BO işlemi W1 ile olmaktadır eşleşme kat

sayısı k2 =W1/W olarak tanım veri dayanağıyla tanımlanmıştır.

46

Şekil 1.3. Elektromekanik eşleşme sabitinin baskı gerilme döngüsünün tanımı (Ikeda,

1990).

Şekil 1.3 (T,E) tipi ilişkiye dayandırılmıştır. Benzer davranış diğer tip bağıntılar

içinde mümkündür, fakat bağımsız değişkenler gibi geniş değerleri içeren

bağıntılarla başlamak biraz güç olabilecektir çünkü dış büyüklükleri kontrol etmek

bayağı zor olacaktır.

Her nasılsa (S-P) tipi bağıntı üzerine kurulan tartışma bazen kullanışlıdır bilhassa

teorik tartışmalarda (S-P) tipi şema aşağıda gösterilmiştir.

(P=0) cP

E=0 τ T,

S → E’ → P ’→ τ’ (2.70)

a 1/χs -a

Burada τ ve τ’ baskılardır ve E’ = - E = aS bu yüzden

T=τ+τ’(cp-a²/χs)S=cES (2.71)

A

SE

SD

B A

B O E

O

47

E=0 durumu için ortaya çıkar.

1.2.8. Daha yüksek dereceli elektromekaniksel etkileşimler

1.2.8.1. Elektrostriksiyon

Pieozelektrik mekanik ve elektriksel değişkenler arasında çift çizgili bir eşleşmedir.

elektrostriksiyon yüksek dereceli elektromekanik eşleşmenin en yaygın olanıdır.

Pieozelektrik olmayan maddelerde, elektrik alanla arttırılan gerilmenin alan

kuvvetinin karesiyle orantılı olduğu biliniyordu. Bu elektromagnetik teorideki

dielektrik sabitinin gerilme bağımsızlığından açıklanmıştır. Elektrostriktive sabiti

4. derece tansördur ve bu yüzden izotropik ortamda bile bulunur.

Elektostriksiyon, kristal fiziğinde, bir enerji ifadesindeki elektrik değişkenlerinin

quadratik ürünleri ve mekanik bir değişkenler arasındaki terimlerin eşleşmesiyle

ortaya çıkarılır. Pieozelektrikle beraber, değişik elektrostriktif sabitler, bağımsız

değişken setlerinin seçimine bağımlı olarak oluşturulmuştur. (S-P) tipi setle

elektrosriktif enerji terimi

δijmnSijPmPn (1.72)

dir. Ve bağımsız enerjiye ilave edilir. Burada sabit δ isotermaldir. Fakat son θ,

piezoelektrik sabitlerden olduğu için ihmal edilir. G1, G2 ve G ilişkili termodinamik

fonksiyonlar olarak seçilirse enerji terimleri toplanarak

-QijmnTijPmPn, -dijmnSijEmEn, -qijmnTijEmEn, (1.73)

haline gelir. Elektrostriktif sabitlerin sembolleri piezoelektrik sabitler kadar çok

bilinen değildir.

Piezoelektrik olmayan bir madde ki temel elektrostriktif bağıntı ilişkili termodinamik

fonksiyonun diferansiyelinden elde edilebilir, piezoelektrik bağıntılarda da durum

aynıydı örneğin; (S-P) tipi için elektrostriktif bağıntı şu eşitliklerle verilir.

48

Tij=CijkiPSkl+δijmnPmPn , (1.74a)

En=XnmSPm+2δklmnSklPm (1.74b)

İkinci denklemdeki 2 nin sebebi aynı eşitliğin diferansiyelinin alınmasıyla

denklemde iki defa yer almasıdır.

1.2.8.2. Diğer nonlineer efektler

Elektrostriksiyon mekanik değişkenle lineer değiştiği halde elektriksel değişkenle

quadratiktir. Mekanik olarak yüksek derecede bir etki göz önüne alındığında sonsuz

gerilme Sij yerine sonlu bir gerilme olan σij yerine alınmalıdır.

Bu yüzden (G,P) tip bağıntı için serbest enerji şu şekilde verilir:

F=1/2 CijklPσijσkl+1/6Cijklrs

Pσijσklσrs+⋅⋅⋅

+1/2χmnσPmPn+1/6χmnp

σ PmPnPp+⋅⋅⋅

-anijPnσij+1/2δijmnσijPmPn+1/2ϕnijklPnσijσkl+⋅⋅⋅ (1.75)

Burada cijklp , χmnσ , anij ve δijmn öncekiyle aynı anlamdadır fakat Xmnpσ dielektirk

nonlinear sabite Cijklrsp göre nonlineerlik 3.derece piezoelektirik sabit ϕnijkl dir.

Sonlu bir gerilme şöyle açıklanır. Materyal nokta (ai)→(xi) ye deformasyon sonucu

değiştiğinde yer değiştirme şöyle olacaktır .

ui=xi-ai (1.76)

Burada ai Eulerian kordinaati ,xi de lagrangian kordinatıdır. Gerilme σ∋ şöyle

tanımlanır.

Dxidxi-daidai=2σjkdaidak (1.77)

49

Bunda dolayı ;

jkσ =21

∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂

∂

k

i

j

i

kj

k

au

au

au

a

u (1.78a)

Denklemi sonlu gerilme tansörunu verir. 3. terim ihmal edilirse σ→S haline

dönüşür.şu şekilde yazarsak ;

−

∂∂

∂∂

= jkk

i

j

ijk a

xax

δσ21 (1.78b)

Nonlineer gerilme efektlerinin sabitlerini tanımlamak gerekirse, ses hızları değişik

yönlerdeki tek eksenli vurgular şeklinde ölçülür. Sonlu büyüklükteki ses yayılması

sesin 2. harmoniğine artış verir.

1.3. Kristal simetri ve fiziksel sabitler

Etkileşim yöntemlerinin makroskopik çalışmaları için, simetri gruplarının (nokta ve

limit grupları) anlaşılması ve tansör cebrinin öğrenilmesi gereklidir. Bu konuda,

kristal fiziğin temellerini ve bununla alakalı konuları açıklayacağız. Bu açıklama

kristal grafik kordinatları, tansörel fiziksel özelliklerin geometrik simetrisini ve

kristal yönelmeleri içermektedir.

1.3.1. Kristallografik eksenler

Fiziksel büyüklükler ve sabitler her zaman tansörler yardımıyla belirtilir. Tansörler

koordinat sistem çevriminin temeliyle açıklanır. Buna göre kristal-fiziksel

özelliklerin ele alınması için dörtgensel korezyen koordinat sistemi temel olarak

tanımlanmalıdır. Koordinat sistemi, her bir kristal sistemindeki kristallografik

eksenler için IRZ standartları (1961) ve IEEE standartları (1978-1987) ile gösterilir.

50

50

1. Triclinic sistem: Kristallografik a,b ve c eksenleriyle kartezyen koordinat x,y,z

eksenleri arasındaki bağıntı Şekil (1.4)’ de canlandırılmış ve tanımlanmıştır. z ekseni

c ye paraleldir ve y eksenide ac düzleminin normalidir. X ekseni ac düzleminde c’ ye

diktir. Tabiki eksenler sağ el sistemine göredir.

2. Monoclinic sistem: Tek eksenin iki misli veya ayna düzlemini normal olan eksen b

ekseni olarak alınır. A ve c eksenleri b eksenine diktir ve eksen açısı β geniş açıdır.

(β > 90) eksenlerce b x ve y olarak alınır ve x sağ el sistemine göre alınır. Bu yüzden

pozitif x ac düzleminde β açısıyla uzanır.

3. Orthorombic Sistem: Kristollografik eksenler dörtgenseldir. c<a<b prensibine

göre alınır. a,b,c eksenleri sıra ile x,y,z olarak alınır.

4. Tetragonol Sistem: 4 misli eksen c’ dir ve b biribirine eşit ve c’ ye diktir.a,b,c

eksenleri x,y,z olarak alınır.

5. Trigonal (rhombohedral) Sistem: 3 misli eksen c olarak alınır. Olusan kafes

hexagonaldır.

6. Hexagonal Sistem: 6 kat eksen c’ dır.c’ ye diktır.düzlemde birbirleriyle 120° ile

bulunan a1,a2,a3 eş eksenleri vardır.a1,a2,a3 den biri x seçilir ,c ekseni z dir,y de sağ

el sistemine göre alınır .

7. Kübik Sistem: Eş a, b ve c eksenleri x,y,z olarak alınır.

β α

a b γ

Şekil 1.4. Kristallografik eksenlere göre dörtgensel koordinat sistemi (Ikeda, 1990)

51

Tam olarak olarak sağ el kuralı benimsense de kristallografık eksen yönelmesi kendi

basına tanımlanamaz. Bir pozitif yönelme, kendi piezoelektirik sabitini pozitif

yapmak için seçilir.

1.3.2. Kristallografik nokta grupları ve limitleme grupları

32 nokta gurubu kristal sınıflar, simetri elementlerin terimleri cinsinden kristal

simetrinin sınıflandırılmasıyla türetilir. Bunlar: Rotasyon ters çevirme, yansıma ve

bunların birleşimidir. Detaylar genelde kristallografi hatlarında verildiği için burada

daha fazla açıklama yapılmadan, sonuçlar Çizelge 1.3’de listelenmiştir.

Çizelge 1.3. Kristallerin simetrisi (Nokta grubu)

Nokta Grubu

Kristal Sistemi Schoenfli

es

Hermann-mauguin

Elementler

Piezoelektrik

Piroelektrik

Optik

Aktivite

Enantiomor

phism

C1 1 1 1 + + + +

Ci,S2 Ī Ī 2 - - - -

Triclinic

Cs,Ch m=2 m 2 + + + -

C2 2 2 2 + + + +

C2h 2/m 2/m 4 - - - -

Monoclinic

C2v 2mm,m2m

mm2

mm2 4 + + + -

D2,V 222 222 4 + - + +

D2h,Vh 2/m,2/m,2

/m

mmm 8 - - - -

S4 4 4 4 + - + -

C4 4 4 4 + + + +

Orthorombic

C4h 4/m 4/m 8 - - - -

D2d,Vd 42m,4m2 42m 8 + - + -

C4v 4mm 4mm 8 + + - -

D4 422 422 8 + - + +

D4h 4/m,2/m,2

/m

4/mmm 16 - - - -

C3 3 3 3 + + + +

Tetragonal

C3i,S6 3 3 6 - - - -

52

52

Nokta grupları. Genelde çizelgede gösterildiği üzere Schoenfies veya Hermann-

Mauguin sembolleri ile gösterilir. Aşağıdaki dört sütun fiziksel özellikleri işaretler,

artı işareti bu özellikte kristalin aktif olduğunu, eksi işaret ise aktif olmadığını

gösterir. Piezoelektrik, piroelektrik ve optik aktiviteler, 3. dercede polar tansör, polar

vektör ve ikinci derece axial tansör görünmediği için tanımlanmıştır.

Enantiomorfizm, ters çevirme ve ayna simetrilerin bulunmadığı sınıfta yer alır.

Centrosimetrik sınıflar piezoelektrikliği her zaman aktif olmayan gruptadır.

Enantiomorfus sınıflar her zaman optik olarak aktiftir. Optik olarak aktif olan 4 sınıf

vardır. Fakat bunlar enantiomorfus değildir: m, mm2, 4 ve 42m.herbir sınıf ayna

düzleminin dışında 2 zıt optik aktif eksen ihtiva eder.

∞2 ∞/m ∞/mmm

∞ ∞mm

∞/∞2 ∞/∞/mmm

Şekil 1.5. Sınırlama gruplarının simetrisini gösteren katılar (Ikeda, 1990).

53

Nokta gruplarının, fiziksel özellikleri simetrisi tartışılırken yeterli olmadığı açıkça

belirgin hale gelir. Her bir tansörun simetrisi ele almak için, dış hareket veya

izotropik gövde gibi nokta grup elemanlarından başka simetri elemanları da

gereklidir. Currie’nin sonsuz rotasyon simetrisi, sınıflandırıcı grubuna dikkat

çekmiştir. Sınırlama grubunda 7 tane sınıf olduğu bilinmektedir. ∞ , ∞mm, ∞/mmm,

∞/∞2, ∞/∞/mmm herbir sınıfın simetrisi, Şekil 1.5’deki yaklaşık diyagramla

gösterilmiştir, fiziksel özellikteki aktiflerde Çizelge 1.4’de listelenmiştir. Yarı-

sınırlayıcı gruplarının 5 tane daha sınıfı vardır. Fakat bunlar sadece sınırlama grubu

aH gruplarıdır. Bu yüzden bunların açıklanmasına gerek görülmemiştir. Zheludev

(1976)’ in kitabı daha ince detaylar için tavsiye edilmektedir. Sınırlama gruplarının

makroskobik metodolojideki faydaları açıklanmıştır.

Çizelge 1.4. Sınırlama grupları

Sınırlama grubu

Katı

Piezoelektricity

Piroelectricity

Optik

Aktivite

Enantiomorphism

∞ Dönen Koni + + + +

∞mm Sabit koni + + - -

∞2 Bükülmüş Silindir + - + +

∞/m Dönen Silindir - - - -

∞/mmm Sabit Silindir - - - -

∞/∞2 Simetri düzleminde

dönen küre

- - + +

∞/∞/mmm Simetri düzlemi küresi - - - -

1.3.3. Fiziksel özelliklerin simetrisi

Neumann ‘ ın ilkelerine göre, herhangi bir fiziksel özelliğin simetri elemanları,

kristal nokta grubunun simetri elemanlarını içermektedir. Diğer bir değişle, fiziksel

özellik çevirisi, kristalin kendi simetrisine her zaman eşit veya bu simetriden büyük

olmalıdır .

54

Her bir fiziksel özellik bir tansör vasıtasıyla temsil edilir. Simetri özelliği, bu yüzden,

karşılık gelen tansörun simetrisidir.

Tansör simetrisiyle ilişkili iki nokta vardır. Birincisi indislerin değiş tokuşuyla

ilgilenir ki bu kendi tansörü ile verilen fiziksel özelliğin doğruluğuna bağlıdır. Bu

gerçek (asal) simetri olarak adlandırılır.

Diğeri ise nokta veya sınırlama grubu simetrisi ile ilgili olan özellik tansör

simetrisidir ki bu, malzemenin ait olduğu nokta veya sınırlama grubunun simetri

elemanı işlemi altında tansör bileşen değişimi demektir. Bu geometrik simetri olarak

isimlendirilir.

Gerçek simetrinin gerilme ile alakalı bir örneği gösterilmiştir. Sij deki i ve j indisleri,

materyal simetrisini değiş tokuş önemsizliğidir. Bu ij ifadesiyle gösterilir. Bu

çalışmadaki örneklerde termal genişleme (ij), dielektirik özellikler (mn) piezoelektirik

özellikler n(ij),lineer elektrooptik özellikler (ij)n, elastik özellikler ((ij)(kl)),

elektrostriksiyon (ij)(kl) ve magnetik anizotropik (ijkl) olarak alınmıştır .

Herhangi fiziksel özellik tansörunun ele alınmasında IEEE standartlarına uyan

eksenlere dörtgensel koordinat sisteme uydurularak kullanılmıştır. Her nasılsa ,tansör

simetrisi aslında tansör özelliğidir ve koordinat sitemine bağımlı değildir. Eğer her

hangi bir koordinat alırsak ,karşılık gelen tansörü sonuç matrisi durumdan duruma

farklılık gösterecektir. Bu da gereksiz bir karmaşıklığa sebep olur. Bu yüzden uygun

koordinat sistemi yerleşimi yapılmalıdır.

İkinci derce Wij tansöru her zaman simetrik bir Sij= 1/2 ( Wij+Wji) tansöru ve anti

simetrik bir aij=1/2( Wij - Wji) tansörünün toplamıyla verilir. Her bir aij tansörünün

3∗3 lük matrisi incelenerek Sij için dört ve aij için bir tane form bulunur keyfi bir

simetrik ikinci derece tansör, uygun koordinat çevrimi ile köşegenleştirilebilir. Sij

nin dört formunda her biri bu köşegen matrislerin her birine karşılık gelir. Tansör Wij

nin simetrik kısmı köşegenleştildiğinde bu matris formuna tansör kanonik formu

denir. Bu yüzden ikinci dereceye tansörlar kendi kanonik formlarında sınıflandırılır.

55

Her nasılsa IEEE standart koordinat sistemleri her zaman ikinci derece tansörler

konanik formda ifade edemez.

1.3.4. Tansör index kısaltmaları

Değiş tokuş edebilen indexler bir set halinde meydana getirebildiği halde tansör

gösterimleri index kısaltmaları ile basit matris ifadelerine dönüştürülebilir.

i ve j indisleri değiş tokuş edilebilir olduğundan (ij) λ = 1- 6 olacak şekilde λ’ ya

kısaltılabilir. Şöyle ki

11→1,22→ 2, 33→3, 23→4, 31→5, 12→6 (1.78)

veya

λ=½(i+j)δij+[9−(i+j)](1−δij) (1.78b)

Kısaltma sembolleri tanımında ,eş tansör bileşenleri sembol bileşenleri halinde

düzenlenir. Bu yüzden karşılık gelen tansör bileşeni bir, tarihsel durumu ve pratik

adetler gözönüne alınarak şeçilir. Bu yüzden kısaltılmış bileşen her zaman karşılık

gelen tansör bileşeni ile uyuşmadığı için dikkat gösterilmelidir (Mikata, 1999).

Mesela mühendislik kurma gerilmesi s4 , s5veya s6 tansör gerilmesi olan s23,s31 ve

s12 ile uyuşmaz fakat sonucunun iki katıdır. Önemli sembollere karşılık gelen

tansörlerle aşağıda ki gibi eşleştirilir.

Vurgu: Tij+Tλ

Gerilme : Sij→Sλ for i=j(λ=1−3) ve 2Sij→Sλ for i≠j(λ=4−6)

Elektrostriktif sabite : genelde Qijkl→Qλµ (M=1-3 ve ,2Qijhl→Qλµ ve µ=4−6) λ ve µ

elektiriksel ve mekanik büyüklüklere karşılık gelir ve değiş tokuş edilemezler . Bazı

56

bilimciler her koşulda Qijkl→Qλµ sağlarlar. Bu yüzden tanımlamada bahsedilmesi ve

hangi durumun gözönüne alınacağı gösterilmektedir.

Elastik sertlik sabitesi : Cijkl→Cλµ

Elastik duyarlılık sabitesi : Sijkl→Sλµ for i=j ve k=l(λ,µ=1−3)

2Sijkl→Sλµ for i=j ve k≠l veya vice versa

(λ=1−3 ve µ=4−6 veya vice versa) ve

4Sijkl→Sλµ for i≠j ve k≠l (λ,µ=4−6)

koordinat transfer hesaplama işlemine ayrıca bir dikkat gösterilmesi gerekmektedir.

Kısaltmanın her zaman bir tansörü temsil etmediğini düşünüldüğünde, kısaltma

tansör cebrinde her zaman transfer kurallarına uyamayacaktır. Çevrilmiş kristal kesit

için kısaltma bileşenlerini bulmak ilk önce tansör kurallarına göre karşılık gelen

tansör bileşenleri bulmak ve daha sonra uygun katsayıları kullanarak onları yeni

sembol bileşenlerine uydurmak gereklidir.

Önceki konuda belirtildiği gibi kısaltmalar termodinamik enerji ifadeleri

basitleştirmek içinde kullanılmıştır. Örneğin Gibbs fonksiyonu veya serbest enerji

cinsinden elastik enerji terimleri şöyle gösterilir.

1/2CijklSijSkl→1/2CλµSλSµ veya 1/2SijklTijTkl→1/2SλµTλTµ

sonuç olarak oluşturulan bağıntı sadeleştirilmiş halde elde edilir örnek olarak eşitlik

(1.37a) ve (1.37b) ile verilen ana denklem

Tλ=CλµpSµ−amλPm (1.80a)

En=XnmsPm−anµSµ (1.80b)

Haline gelir ilk eşitlik λ=1−6 için ve ikinci n=1−3 içindir. Bu yüzden bağıntı 9

eşitlikten oluşur. Kısaltmaların en fazla etkisi matris hesabı uygulamalarında göz

57

57

önüne gelir. Kısaltmaların çoğu değişiklikler için iki indisle belirtilir. ij, iλ veya λµ

(i,j=1-3,ve λµ=1-6). Bu yüzden kazancın tüm değişken ve sabitleri 1x3, 3x1, 3x3,

1x6, 6x1, 3x6, 6x3 veya 6x6 matrisle ile ifade edilir. Buna bağlı olarak oluşturulan

bağıntı matris eşitlikleriyle verilir. Örneğin, (δθ,T,E)- tipi bağıntı gözönüne alınsın.

Kısaltmaların kullanım durumuna göre tek eşitlik (1.28a), 6 eşitlik (1.28b), 3 eşitlik

(1.28c) şeklinde verilebilir. Matris ifadeleri kullanılırken oluşturulacak bağıntıyı

vermek için aşağıdaki 3 eşitlik yeterlidir.

δσ=(ρCT,E/θ)δθ+atE+ptTE, (1.81a)

S=aEδθ+aE,θT+dtθE, (1.81b)

D=pTδθ+dθT+εT,θE, (1.81c)

D1 E1 P1 ε11 ε12 ε13

D= D2 E= E2 P= P2 ε = ε21 ε22 ε23

D3 E3 P3 ε31 ε32 ε33

S1 T1 α1

S2 T2 α2

S = S3 , T = T3 , α = α3

S4 T4 α4

S5 T5 α5

S6 T6 α6

S11 S12 S13 S14 S15 S16

S12 S22 S23 S24 S25 S26 d11 d12 d13 d14 d15 d16

S = S13 S23 S33 S34 S35 S36 d= d21 d22 d23 d24 d25 d26

S14 S23 S34 S44 S45 S46 d31 d32 d33 d34 d35 d36

S15 S25 S35 S45 S55 S56

S16 S26 S36 S46 S56 S66 ( 1.82)

58

Üst indis t matrisin transpozesi demektir. Bu yüzden form ve sabitler matris cebri

kullanılarak çevrilebilir. Örneğin s-1 matrisinin soldan çarpımı denklemde T’ yi verir.

Bu matris s matrisinin tersi veya karşıt matrisidir ve c‘ ye eşittir. O halde c=s –1 dir.

Bileşenler cinsinden yazılırsa;

cλµ = ( -1) µ+λ∆µλ

s/∆s, (1.83)

ki burada ∆ssµλ nin determinantı ∆µλs da s matrisinden µ . cü satır ve λ . sutun

çıkarılarak elde edilen minör matrisidir.

1.3.5. Tansörlerin geometrik simetrisi

Özel tansörlerin geometrik simetrisi, nokta ve sınırlama gruplarının simetri elemanı

işlemleri altında tansör bileşenlerinin değişimi gözlenerek denetlenmiştir. Gözlemin

değişik metodları vardır: direkt hesaba alma, analitik ve kuram grubu.

Simetri eleman işleminin iki ayrı metodu vardır. Birinde koordinat sisteminde bir

gözlemciyi bir simetri işlemine göre çevrilen kristal sabit dururken koordinat

sisteminde bulunan gözleyiciyi döndürülerek inceleme yapar. Koordinat sistemleri

durumuna uygun düştüğü için bu çalışmada sonucu gözlem açıklanacaktır.

Analitik denetim şu şekilde olur. Her bir simetri işlemine karşılıklı gelen bir aij

transfer matrisi tanımlanır. Tansör transfer kuralına göre çevrilen koordinat sistemine

uyan yeni bileşenler hesaplanır. Simetri işlemi değişmezliği yeni ve esas tansör

bileşenlerinin komple eşitliğine gerek duyar. Benzer prosedürler baz alınan

kristaldeki tüm nokta grup simetri elamanları için tekrarlanır. Sonuç olarak bazı

bileşenler kaybolur, yani daha az bileşen arasında bir bağıntı ortaya çıkar.

Bazı özel tensorlerdeki geometrik simetri Çizelge 1.5 ve Çizelge 1.6 da

gösterilmiştir. Sonuçlar yukarıda anlatılan denetleme metotlarına bağımlı değildir.

59

Bu çizelgeler çeşitli özel tansörların ders kitaplarındaki formları cinsinden

matrislerin kısaltmalarıyla listeler. Çizelge 1.5, 1.6 ve 1.7’de axial tansörlar

cinsinden gösterimini verir.

Piezoelektrik sabiti için, çizelge bağımsız olarak sonuçları diλ ve eiλ cinsinden

gösterir. Bunun sebebi bu sabitlerde çarpım faktörlerinin kısaltmalarında değişiklik

göstermesidir. Örnek olarak, 32. nokta grubunda e sabiti için e26=-e11 olduğu

bilinmektedir. Fakat d sabiti için d26=-2d11 ‘ dir. Elastik sabiti için c ve s ayrı olarak

gösterilmiştir. Bu buluşa göre, kitaplarda çok çeşitli göstergeler kullanılmıştır, örnek

olarak bazıları d ve s’i kullanılır fakat bazıları da e ve c’ yi kullanır. Bazı kişiler ise

d ve e veya s ve c’ yi aynı çizelgelarda kullanılmaktadır. Bu çalışmalarda ayrık

göstergeler kullanılmasının sebebi karmaşayı azaltmasıdır.

İzotropik maddelerin elastik sabitelerinde bir nokta daha not edilmelidir. İzotropik

bir ortam dolu ses ve titreşim tartışmaları her zaman c veya s sabitlerini kullanmaz

aşağıdaki sabitlerin herhangi ikisi kullanmak yeterlidir.

Young modülü E(=1/s11), sertlik modülü G(=1/s44) ,

Poisson oranı σ(= - s12/s11), hacim modülü: B(=c11+2c12), (1.84a)

Veya lame katsayıları aşağıdaki gibi oluşur.

λ(=c12), µ[=c44=1/2(c11c12)]. (1.84b)

Çizelge 1.5 1.Rank Polar tansörlerin simetrisi

Pn : 1 , 2 , m , diğerleri=0

•••

•.

.

•⋅•

•

•..

• •• •

•

4, 4mm, mm2 3, 3m, 6, 6mm,

60

60

ε

λie

:~λid

Çizelge 1.6 2. Rank Polar tansörlerin simetrisi

mn :1/1 , ,

•••

••

••.

.

••

•...

•••

mm2

222 mmm

3,3’,4,4’,4/m,6,6’,6 32,3m,3’m,422,4mm 622,6mmm,6’m2,6/

23, m2, 4’3m, 43

Çizelge 1.7 3. Rank po

:1

•••••••••••••••

m

•⋅•••⋅•⋅⋅⋅•⋅•••

mmmm

mm

//2

∞∞∞∞

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

2 2m 2/m

∞

••

•...

/m

,4’2m,4/mmm

mmm

2, m3m

••

•...

lar tansörlerin simetrisi

, 2 ,

•••

•⋅•⋅⋅⋅⋅•⋅••••⋅•⋅⋅⋅

⋅•⋅

, , diğerleri = 0

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅•

ο

⋅⋅⋅•••⋅•⋅⋅⋅••⋅⋅⋅

ο⋅

61

1.3.6. Kristal oryantasyon ve piezoelektrik işaret

1.3.6.1. Kristal kesim dizaynı

Kristal kesim oryantasyonunun dizaynı için gerekli bilgiler IEEE (1978,1987),

standartlarında verilmiştir.

İlk olarak x,y,z eksenlerine paralel olacak şekilde bir dikdörtgenler prizması referans

alınarak çizilir. Bu çizim değişik yörüngeler üzerinde çevirilerek son oryantasyona

ulaşılmaya çalışılır. Dizayn şu prosedürlerin tanımlanmasından gelmektedir.

Birinci olarak elimizdeki düzlemin kalınlığı ve uzama yönleri x,y,z harfleri

kullanılarak tanımlanır. Daha sonra başarılı dönüş yönünün eksenleri l,w ve t olarak

belirtilir (uzunluk, genişlik, kalınlık). Bu harfler parantezler içerisinde yazılır.daha

sonra, dönüş açıları sırasıyla yazılır. Genelde üç dönüş yaptıktan sonra son

oryantasyona ulaşılır. Bu yüzden notasyon ikiden beşe kadar parantez içi harflerden

ve de sıfırdan üçe kadar açıdan oluşmaktadır. Orijinden bakıldığı zaman eğer dönüş

yönü saat yönünün tersi ise (sol el kuralı) açının işareti pozitif olacaktır. Bu yüzden;

(YXlwt) ΨΘΦ //

eşitliği dönüşü tam olarak temsil etmektedir. Bu demektir ki: kendi kalınlığı y ekseni

üzerinde ve uzun kenarı x ekseni üzerinde bulunan bir dikdörtgenler prizması l

ekseni üzerinde açısıyla çevrilmesi, daha sonra w ekseni üzerinde açısıyla

çevrilmesi ve t ekseninde açısıyla çevrilmesidir. Bu prosedürlerde Eulerian

açılarının tanımlanmasındakine benzer uygulamalar kullanılmıştır. Fakat Eulerian

açılarında kullanılan dönüş prosedürleri tam olarak bunlara uymamaktadır.

Φ Θ

Ψ

62

62

Şekil 1.6. GT- kristali kesimi (Ikeda, 1990)

Bir dizayn örneği olarak Şekil 1.6’da GT–kesim bir kristali gösterilmiştir.

Hipotetihal kesim YX düzlemindedir ve l ve t eksenleri +x ve +y ile uyum

sağlayacak şekilde seçilmiştir. Düzlem l1 ekseni etrafında –510 çevrilmiştir ve daha

sonra t ekseni üzerinde 450 çevrilmiştir. Bu yüzden dizayn (Y*lt)-510/450 şeklinde

tanımlanmştır. Eğer kesim 2X ekseninde yapılacak olsaydı gösterim (2Xlt) 390/-450

olması gerekirdi.

Şimdiye kadar kullanışlı kesimler değişik adlarla isimlendirilmiştir. Bizim

metodumuzdaki şöyle özetlenebilir. X-kesim Y-çizgi (XY) kristalin AT kesimi (YXl)

-35.250 veya (YZw)-35.250

63

63

(a) (b)

Şekil 1.7. Kristaldeki dikdörtgensel koordinat sistemi. (a) Sol (b) Sağ (Ikeda, 1990)

64

1.3.6.2. Piezoelektrik işaret

Piezoelektrik sabit işareti, pozitif bir baskı altında, pozitif eksen yönünde, pozitif bir

şarj durumunda pozitif olarak alınmaktadır. Bu aynı zamanda kesim bileşeninin

durumudur. Mesela pozitif baskı T6 (.XOY açısını dar açı yapan) +Z yönünde pozitif

bir şarj yaparsa d36>0 tanımlanabilir. Bazen kristollografik eksen hassasiyeti tabiri

kullanılır bu tabir kullanıldığında piezoelektrik sabit pozitiftir.

Enantiomorfus kristal sınıflarında piezoelektrik işarete daha fazla dikkat edilmelidir.

Eğer sağ el kuralına göre koordinat sistemini sağ kristal, sol el kuralına göre

koordinat sistemini sol kristal için kullanıyorsak kristal fiziğinde yapılan tanımayla

aynı tanımlama yapmış olunur. Şekil 1.7’de görüldüğü üzere sağ kristalde –a ekseni

X ekseni olarak, sol kristalde +a ekseni X ekseni olarak alınmıştır ve burada sağ el

koordinat sistemi kullanılmıştır. X ekseni üzerindeki bir baskı sağ kristalde +X

yönünde pozitif şarjı gösterir. Bu sebeple d11,e11 ve e14 pozitif, d14‘ de negatif sağ

kristal işaretleri olur.

65

2. KAYNAK BİLGİSİ

Eringen (1963)., elektroelastostatiğin temelleri üzerine yaptığı çalışmada mekanik ve

elektrostatik balans denklemleri üzerinde durmuş ve dielektrik malzemelere ait

bünye denklemlerini sürekli ortamlar mekaniği çerçevesinde incelemiştir.

Geliştirdiği teoriyi örnek bir problem üzerinde açıklayan Eringen, gerilme ve

polarizasyona ait bünye denklemleri üzerinde oldukça kapsamlı ve doyurucu

açıklamalarda bulunmaktadır. Bu konuda İkeda (1990) ve Kalpakidis(1999)’ in

çalışmaları da oldukça dikkat çekici ve önemlidir.

Ding v.d., (2000)’ nin “ Transvers izotropik piezoelektrik malzemelerin piezo-termo-

elastisitesi için genel bir çözüm ve uygulamaları ” konulu çalışması dinamik piezo-

termo-elastik problemler için genel çözümler üzerinde durmaktadır. Atalet terimleri

göz ardı edilecek olursa genel çözüm yarı-statik problemlerin çözümlerine

indirgenmiş olur. Çalışmanın sonunda nümerik bir çözüm gerçekleştirilmiştir. Bu

çalışmanın sonunda; diferansiyel operatörlere ait cebirsel operasyonlar kullanılarak

6mm sınıfına ait kristal yapıların piezo-termo-elastisitesi için genel çözüm

üretilmiştir. Ayrıca, farklı karakteristik kökler durumunda ortaya çıkacak olan genel

çözüm de verilmiştir. Çok katlı karakteristik kökler durumu da benzer bir genel

çözüm prosedürü ile elde edilebilmektedir. Nümerik örnekte Cadmiyum selenide ait

gerçek değerler kullanılmıştır.

Heterojen piezoelektrik katılarda mikroyapısal alanların analizi konusunda Li ve

Dunn (1999) önemli bir araştırma yapmış ve bir teori geliştirmişlerdir. Bu teoride,

dış yükleme ve alanlardan kaynaklanan iç alanların ortalama değerleri ve değişimleri

için elde edilen ifadeler kullanılmaktadır. Elde edilen genel teori çok kristalli

seramiklere ve matris tabanlı kompozitlere de uygulanabilmektedir. Teori aynı

zamanda çok fazlı matris tabanlı kompozitlere de uygulanmış ve iki fazlı kompozitler

için kesin bağıntılar elde edilmiştir. Efektif termal özellikler ve efektif elastisite

modülü arasındaki kesin ilişkiler tesis edilmiş ve bu bağıntıların daha önceki benzer

çalışmalarla tutarlı olduğu kaydedilmiştir. Aynı zamanda, heterojen katılar için

depolanan entalpi efektif termo-elektro-elastik özelliklerin kesin bir fonksiyonu

66

olarak ifade edilmiştir. Sonuç olarak, teorinin uygulanabilirliğini göstermek

amacıyla, polimer bir matrise gömülü olan sürekli piezoelektrik fiberlerden oluşmuş

iki fazlı bir kompozit için ortalama alanlar ve alan değişimleri için sayısal sonuçlar

sunulmuştur.

Uyarlanabilen kompozit yapıların modellenmesi ve dizaynı konusunda Correia v.d.,

(2000)’ nin yaptığı incelemede; piezoelektrik tetikleyici ve sensörlerin dağılı

vaziyette yer aldığı adaptif kompozit yapılardaki en son gelişmeler verilmiş ve

araştırma gruplarının dikkati, kompozit piezoelektriklerden faydalanarak, ticari

kullanımı çok fazla olan titreşim sönümleme, gürültüyü azaltma, şekil kontrolü ve

kesin konum belirleme gibi konulara çekilmiştir. Adaptif tabakalı kompozitlerin

dizayn ve fabrikasyonundaki karmaşıklık onların maddesel özelliklerini ve mekanik

davranışlarını incelemek için güvenilir ve hassas modeller geliştirmek ihtiyacından

kaynaklanmaktadır. Bu aşamada, gömülü ve /veya bağlı piezoelektrik tetikleyiciler

ve sensörler içeren uygun kompozit yapıların mekaniğini incelemek için yüksek

dereceden sonlu elemanlar formülasyonu ve kapalı analitik çözümler geliştirilmeye

çalışılmaktadır. Adaptif kompozit yapıların optimizasyonu da tetikleyici

performansını maksimize etmek için önemli bir dizayn faktörü olarak karşımıza

çıkmaktadır. Bu çalışmada, tabaka kalınlığı, tetikleyicinin ölçüsü/büyüklüğü ve

yerinin dizayn değişkeni olarak seçildiği iki optimizasyon şeması göz önüne

alınmıştır. Önerilen modellerin geçerliliğini, faydasını ve verimliliğini açıklamak için

birkaç açıklayıcı örnek sunulmuş ve tartışılmıştır. Bu çalışmada, bazı piezoelektrik

malzemelere ait veriler sunulmakta ve sonlu eleman çözümleri ifade edilmektedir.

Piezoelektrik kompozitlerde birleşik etkilerin incelenmesi bir birim hücre modeline

dayandırılarak Pettermann ve Suresh (2000) tarafından verilmiştir. Bu makalede,

sürekli fiberlerin periyodik olarak sıralanmış vaziyette yer aldığı kompozitler için

herhangi bir yükleme durumu sonlu eleman birim hücre modeli ile incelenmiştir.

Mekanik ve elektriksel yüklemeden kaynaklanan genel deformasyonun bütün

modlarının simülasyonuna imkan tanıyan sınır şartlarının formülasyonu üzerine

oturtulmuş özel örnekler verilmiştir. Bu çalışmada kurulan model genel elastik,

dielektrik ve piezoelektrik kompozit malzemelere uygulanmıştır. Piezoelektrik

67

seramikler ve piezoelektrik fiberlerle takviye edilmiş polimer matrisli kompozitler

arasındaki farklar ve fiber düzenlemelerinin etkileri incelenmiştir.

Wu (2000), boşluklar içeren piezoelektrik malzemelerin elektro-elastik özelliklerini

mikro mekanik metodlarla incelemeye çalışmıştır. Boşluklar sıfır elastisite modülüne

sahip küresel şekiller olarak modele dahil edilmiştir. Boşlukları çevreleyen

malzemenin lineer piezoelastik ve transvers izotropik yapıda olduğu kabul edilmiştir.

Küresel boşluklar için elektroelastik Eshelby tansörleri faklı açılardan sayısal olarak

işlemlere dahil edilmiştir. Boşluklar ve matris yapı arasındaki etkileşimi dikkate

almak için Mori-Tanaka ortalama alan teorisi kullanılmış ve malzemelerin efektif

elektroelastik özellikleri elde edilmiştir. Sayısal örnekler de PZT-5H ve BaTiO3

kullanılmıştır. Malzeme özellikleri üzerinde boşlukların oranı ve hacımsal yüzdeleri

incelenmiştir. Malzemenin piezoelastik kapling etkisi özellikle vurgulanmaktadır.

Her iki malzeme için piezoelastik kapling malzemeler üzerinde katılaşma etkisi

sağlamakta, boşluk hacmı arttığında ve boşluk oranı azaldığında kaplingin etkisi çok

belirgin bir şekilde ortaya çıkmaktadır.

Holmes v.d., (2000) sensör uygulamaları için yeni piezoelektrik yapılar hakkında

ilginç araştırmalarda bulunmuşlardır. Bu araştırmalarda piezoelektrik seramik

cihazlar helisel bir yay şeklinde sinterlenmiş bir seramik tüp formunda oluşturulmuş,

tüpün iç ve dış yüzeyleri üzerine elektrodlar yerleştirilmiştir. Bu yapılar düşük elastik

uygunluk ve düşük doğal rezonans frekanslarına sahiptir. Cihazların rezonans

frekanslarını önceden belirleyebilen denklemler geliştirilmiş, bu denklemlerden elde

edilen sonuçların ölçülen değerlerle uyum içerisinde olduğu görülmüştür. İncelenen

cihazın frekans davranışı belirlenmiş ve klasik elektromagnetik jeofonlarla

kıyaslanmıştır. Klasik piezoelektrik sensörler piezoelektrik malzemeden yapılmış

bloklar veya diskler şeklindedir, hidrofonlarda veya ivme ölçerlerde basınç

dalgalarının ölçülmesi amacıyla kullanılırlar. Bu incelemenin asıl amacı sensör

uygulamaları için seramiklerin kesin şekli veya formu üzerinde bir inceleme yapmak

bu formların avantajlarını net bir şekilde belirlemektir. Kullanılan malzeme PZT

cinsinden bir piezoelektrik malzemedir.

68

Cohen (2000), Ferroelektriklerin teorisi üzerine bir inceleme yapmış ve gelecekte

bilim dünyasına ferroelektriklerden beklentilerini temel fiziksel kavramlar

çerçevesinde açıklamaya çalışmıştır. Bu çalışmada faz diyagramları, elektromekanik

ve elastik özellikler, kusurlar ve yüzeylerin özelliklerinin sayısal metodlarla

belirlenmesinin gereği vurgulanmaktadır. Dielektriklerde polarizasyonun anlaşılması

için geliştirilen yeni tekniklerden bahsedilmektedir. Bir literatür çalışması şeklinde

yapılan bu incelemede toplam enerji ve elektronik yapı kafes dinamiğinin lineer

davranışlarına ait ilkeler, periyodik sınır şartlarına polarizasyon yoğunluğu teorisi

piezoelektriklik, kusurlar, alan sınırları ve yüzeyler, relaksör sistemler yeni

piezoelektrik malzemeler ve dizayn ilkeleri hakkında yapılan çalışmalar

özetlenmektedir.

Tauchert v.d., (2000), akıllı kompozit yapılarla ilgili termo-piezo-elastisite

teorisindeki gelişmeler hakkında teorik incelemeleri gözden geçirmişlerdir. Piezo-

termo-elastik ortamın lineer davranışını yöneten denklemler belirlenmiş, potansiyel

fonksiyonlara dayalı bir genel çözüm prosedürü tanımlanmıştır. Önceden belirlenen

termal yükler ve elektriksel potansiyel dağılımlarının sonucunda sensör

uygulamalarının sonuçları belirlenmiş kiriş, plak ve kabuk gibi kompozit yapıların

piezoelektrik tetikleyicilerle nasıl kontrol edileceği anlatılmıştır.

Burny v.d., (2000), akıllı ortopedik implantlara ait dizayn, fabrikasyon ilkelerini ve

bu konudaki ilginç kavramları açıklayan bir çalışma yapmışlardır. Weston köprüsü

ile irtibatlandırılmış gerinme ölçen cihazların ortopedik implantların dizaynında

yaygın bir şekilde kullanıldığı belirtilmektedir. İmplantların deformasyonları direnici

gerinme ölçüm cihazları ile belirlenmekte imalat prosesleri için kişisel bilgisayarlara

sinyal bilgisi şeklinde aktarılmaktadır. Bu çalışmada implantların mekanik

karakterizasyonu, levhalar üzerinde statik eğilme testleri, kritik ara yüzeylerde

korozyon direncinin elektron mikroskopisi, spektroskopi ve atomik absorbsiyon

spektroskopisi ile nasıl belirlendiği detaylı bir şekilde açıklanmaktadır. Bu konuda

yapılan ilginç klinik uygulamalar ve proje çalışmaları, bu makalenin sonunda

özetlenmektedir.

69

3. MATERYAL VE METOT

3.1. Materyal

3.1.1. Elektromagnetizma

Quartz, Turmalin, Seignette tuzu gibi belirli kristaller gerilmenin etkisi altında

kaldığı zaman elektriksel olarak polarize olurlar. Bu basit piezoelektrik etkidir.

Tersine, bir dış elektromagnetik alan pizoelektrik bir kristalde deformasyon üretir.

Bu ters piezoelektrik etki H.G. Lippmann tarafından termodinamik şartlara

dayanarak belirlenmiş ve 1881 yılında J. ve P. Currie kardeşler tarafından deneysel

olarak doğrulanmıştır. Piezoelektrik malzemelerin lineer teorisi ise W. Voigt

tarafından oluşturulmuştur.

Piezoelektrik etkilerin en çok bilinen pratik uygulamaları ultrasonik dalgaların

üretilmesi, elektromagnetik enerjinin mekanik enerjiye dönüştürülmesi veya tersi

işlemlerin yapılması şeklinde ifade edilebilir.

Problemin elektromagnetik temellerini aşağıdaki gibi ifade edebiliriz:

rot H= D Jt

∂+

∂ , (3.1)

rot E = - Bt

∂∂

, (3.2)

Burada,

H Magnetik alan vektörü, E Elektrik alan vektörü, B Magnetik indüksiyon vektörü,

D Elektriksel yer değiştirme vektörü, J İletim akımı vektörü olarak verilmektedir.

Bir katıda alan vektörleri için aşağıdaki bünye bağıntılarının varlığı Elektromagnetik

teoriden çok iyi bilinmektedir.

70

D = PE0 +ε , (3.3)

B = (0µ H + M). (3.4)

P Elektriksel polarizasyon vektörü, M Magnetizasyon vektörü, , sırasıyla sabit

elektriksel ve magnetik permeabiliteleri göstermektedir. (3.1) ve (3.2) denklemleri

aşağıda verilen

0ε 0µ

div D = eρ , (3.5)

ve

div B = 0. (3.6)

Gauss denklemi ile tamamlanmak zorundadır. Burada,

eρ elektriksel yükleri tanımlar. (3.1) ve (3.5) denklemleri birlikte aşağıda ifade edilen

elektriksel yüklerin korunum denklemini verir.

t∂∂ λρ + divJ = 0 . (3.7)

İncelediğimiz Piezoelektrik malzemenin herhangi bir B bölgesini göz önüne alalım,

bu bölge B yüzeyi ile sınılandırılmış olsun. B bölgesinin iç kısımlarında B

elektromagnetik alanının varlığını kabu edelim. Bu elektromagnetik alan Elektrik

akımları ve Joule ısısı üretmektedir.

∂

(3.1) denklemini E ile, (3.2) denklemini H ile çarparak birbirinden çıkartıp elde

edilen ifadenin B bölgesi üzerinde integrasyonunu gerçekleştirirsek aşağıdaki ifadeyi

elde ederiz.

∫B

( E rot H – H rot E ) dv= ( ∫B

E⋅

D + H⋅

B )div + ∫B

E J dv . (3.8)

71

Vektör cebirinden faydalanarak

E rot H rotE = - div(E × H) ,

eşitliğini yazarız. Gauss transformasyonunu kullanarak (3.8) denkleminden aşağıdaki

ifadeyi elde ederiz.

- ∫∂B

n•h da = ( ∫B

E⋅

D + H⋅

B )dv + ∫B

E J dv

(3.9)

Burada Poynting vektörü olarak adlandırılan vektörü

h = E × H .

formunda yazabiliriz.

Denklem (3.9) Maxwell denklemlerinin matematiksel bir sonucudur ve fiziksel

olarak elektromagnetik enerji balansı şeklinde yorumlanabilir. Böylece, n•h terimi

B yüzeyi boyunca cisimden çevreye elektromagnetik enerji akısını ifade eder. ∂

E⋅

D + H⋅

B terimi ise Υ e elektromagnetik enerjinin zamana göre değişimini gösterir.

Sonuç olarak E J terimi ise Joule ısısını temsil eder.

Bu durumda (3.9) denklemi aşağıdaki formda yazılabilir.

t∂∂ ∫

BeΥ dv = - ∫

∂B

n • h da - ∫B

E•J dv ( 3.10 )

Yukarıda verilen (3.10) enerji balansı denklemine göre elektromagnetik enerjinin

zamana göre değişimi B yüzeyinden geçen enerji miktarı ile ısıya dönüşerek

kaybolan elektromagnetik enerjinin toplamına eşittir. Denklem (3.10)

elektromagnetik alan için enerjini korunumu yasasının global ifadesidir.

∂

72

İleride cismin deformasyonunu da dikkate alarak genelleştirilmiş enerji balasını

yeniden ifade edeceğiz. Maxwell denklemlerine geri dönelim. Denklem (3.6)

uyarınca B vektörü solenoidal bir vektördür bu yüzden, A0 vektörünün rotasyonu

cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

B = rot A0 (3.11)

Ancak (3.11) eşitliği A0 vektörünü benzersiz ve tek bir şekilde ifade etmeye yetmez.

Bu yüzden aşağıda verilen ifadeleri

B = rot A , A = A0 – grad ψ (3.12)

(3.2) numaralı denkleme taşıyarak

rot (E + .A 0) = 0 , rot (E +

.A ) = 0 , (3.13)

eşitliklerini elde ederiz. Bu ifadelerden faydalanarak

E = -.A 0– grad ϕ 0 E = -

.A - grad , (3.14) ϕ

Bağıntılarını yazabiliriz. Bu bağıntılarda yer alan , ϕ ϕ 0 , ψ ı aşağıda

verilen eşitlikle birbirleri ile irtibatlıdır.

ϕ - 0 = ϕt∂

∂ψ . (3.15)

Yukarıda verilen (3.12) ve (3.14) eşitlikleri dikkate alınarak Maxwell denklemlerini

vektörel potansiyel A ve skaler potansiyel cinsinden aşağıda verilen denklemlerle

ifade edebiliriz.

ϕ

rot H = .

D + J , (3.16)

73

B = rot A , (3.17)

E = - grad - ϕ.A (3.18)

(3.3), (3.4) bünye bağıntıları ve Gauss denklemi değişmeden kalacaktır.

h Poynting vektörü A ve potansiyelleri cinsinden aşağıdaki gibi ifade edilebilir. ϕ

h = E × H = (ϕ J + .

D ) - .A × H . (3.19)

Şimdi dielektrik malzeme olarak da ifade edilebilen piezoelektrik cisimleri göz

önüne alalım. Genellikle bu cisimler elektriksel olarak dengede olup, aynı miktarda

pozitif ve negatif yüklere sahip olduklarından akım iletmezler. Dielektrik bir

malzemenin elektromagnetik bir alana yerleştirilmesi durumu daha sonra

incelenecektir. Sonuç olarak E ve D vektörler paralel değildir ve polarizasyon

vektörü P kadar birbirlerinden fark gösterirler.

Piezoelektrik malzemeleri magnetize olamayan dielektrikler gibi düşünerek bazı

basitleştirmeleri aşağıdaki eşitlikler şeklinde yazabiliriz

J = 0 , = 0 ,eρ M = 0 . (3.20)

Bu kabuller altında (3.16) ve (3.18) Maxwell denklemleri aşağıdaki gibi yeniden

yazılabilir.

rot H =D (3.21)

B = rot A , (3.22)

E = - grad - ϕ.A . (3.23)

74

(3.3) nolu bünye bağıntısı değişmeden aynen kalır oysa (3.4) bağıntısı şimdi

aşağıdaki formda ifade edilmelidir.

B = 0µ H (3.24)

Serbest yükün bulunmadığı = 0 gerçeğini dikkate alırsak (3.6) denklemi homojen

bir denklem olup

eρ

div D = 0 . (3.25)

şeklinde ifade edilir. Bu durumda Poynting vektörü daha basit formda

h = ϕ.

D -.A × H . (3.26)

şeklinde yazılır. Daha ileri derecede bir basitleştirme (3.23) denklemindeki magnetik

terimi ihmal ederek (A=0) yapılabilir. Böylece aşağıdaki bağıntıya ulaşmış oluruz.

E = - grad (3.27) ϕ

Bu basitleştirmeler dielektrik yer değiştirmenin diverjansının sıfır olduğunu ortaya

çıkarır.

div D = 0 , (3.28)

Bu durumda bünye bağıntısı aşağıdaki formda yazılır.

D = 0ε E + P . (3.29)

Poynting vektörü ifadesinde magnetik terimi ihmal ettiğimiz zaman

h = ϕ.

D . (3.30)

75

eşitliğini yazabiliriz. Bu basitleştirmelerin doğruluğu deneysel olarak kanıtlanmış

olup Tiersten tarafından yayınlanan ilginç bir makalede takdim edilmiştir.

Bu basitleştirmeler elastik dalgalarla etkileşim halinde olmayan elektromagnetik

dalgalar için geçerlidir ve dalga uzunluklarının elastik dalgaların uzunluğuna çok

yakın olduğunu kabul ediyoruz (aynı frekanslı elektromagnetik dalgalardan çok daha

kısa olanlarını da dikkate almak mümkündür) .

Denklem (3.10) için verilen enerji balasına geri dönersek piezoelektrikler için B = 0 ,

J = 0 olduğunu dikkate alarak ve (3.30) daki poynting vektörü ifadesini de hesaba

katarak,

t∂∂∫B

e∂B

ϕΥ dv = - n∫ ί.

D ί da

yazabiliriz. Bu eşitliğin sağ tarafına Gauss transformasyonu uygulanarak aşağıdaki

ifade elde edilebilir.

t∂∂∫B

eB

i,Υ dv = - ∫ ϕ.

D ίdv (3.31)

Sonuç olarak aşağıdaki ifade yazılır.

t∂∂∫B

eB

Υ dv = E∫ ί.

D ίdv (3.32)

Şimdi ise enerji balansında cismin deformasyonunu göz önüne alacağız.

3.1.2. Enerji balansı

Zamanla değişen dış yükler ve elektromagnetik alandan dolayı cismin deformasyona

uğradığı kabul edelim aynı zamanda cismin içinde ısı kaynağı bulunmadığını ve

76

kondüksiyon vasıtasıyla ısı iletimi olmadığını kabul edelim. B yüzeyi ile

sınırlandırılmış cismin herhangi bir B bölgesine enerjinin korunumu ilkesi

uygulanırsa;

∂

t∂∂ ∫

B

( 21 ρ Υ

B ∂B B

vίvί+ ) dv = xίv∫ ί dv + pίvίda + E∫ ∫ ί.

D ίdv , (3.33)

Burada

K=21 v∫

B

ρ ίvίdv . (3.34)

Kinetik enerjiyi, iç (mekanik ve elektromagnetik ) enerjiyi ifade derken; Υ

L = xίvί dv + pίvίda (3.35) ∫B

∫∂B

Mekanik gücü temsil etmektedir. Denklem (3.33) deki son integral B yüzeyi

boyunca elektromagnetik enerji akışını ifade eder.

∂

D= - ∫∂B

ϕ.

D ί nίda = E∫B

ί.

D ίdv . (3.36)

Enerjinin korunumu ilkesine göre kinetik ve iç enerjilerin zamana göre değişimi dış

kuvvetlerin ve B yüzeyi boyunca akan elektromagnetik enerjinin gücüne eşittir. Bu

durumda denklem (3.33) aşağıdaki formda yazılabilir.

∂

dtd ( UK + )= L + D , U = dv , (3.37) ∫

B

Υ

Denklem (3.33) deki yüzey integralini bir hacim integraline dönüştürelim, bu

dönüşümü yaparken aşağıdaki bağıntıyı kullanalım,

77

p=σ ji ni (3.38)

Burada ni yüzeyden dışarıya doğru yönlenmiş birim normal vektörü göstermektedir.

Gauss tranformasyonunu da kullanırsak aşağıdaki denkleme ulaşırız.

∫B

.U dv = ( ∫

B

[ σ σ

U = σ σ

U = σ σ

σ

ji ,j + xi - i) vρ.v ί + ji vί,j + Eί

.D ί ] dv , (3.39)

Bu denklem cismin her kısmı için sağlanmak zorunda olan global korunum

denklemidir böylece enerjinin lokal korunum denklemini (3.39) denkleminden

istifade ederek aşağıdaki gibi yazabiliriz.

.

ji vί,j + ( ji ,j + xi - ρ.v i ) vί + Eί

.D ί (3.40)

(3.40) denkleminin cismin rijit hareketler altında invaryant kalacağını düşünerek ilk

önce öteleme hareketini aşağıdaki gibi göz önüne alalım.

vί→ vί + bi (3.41)

Burada bi herhangi bir sabit vektördür. , , Xi , ρ Υ σ ji , Eί büyüklüklerinin sabit

kaldığını kabul ediyoruz. (3.41) denklemini (3.40) denkleminde kullanacak olursak

.( vί + bi ) ( ji ,j + Xi - ρ

.v i + ) ji vί,j + Eί

.D ί , (3.42)

denklemini yazabiliriz. (3.42) denkleminden (3.41) denklemini çıkarırsak aşağıdaki

bağıntıyı elde ederiz.

bi ( ji ,j + Xi - ρ.v i ) = 0

78

Bu bağıntı herhangi bir bi vektörü için sağlanmak zorundadır. Böylece aşağıda

verilen hareket denklemine ulaşmış oluruz.

σ

U = σ

ji ,j + Xi = ρ.v i . (3.43)

Bu denklem basitçe enerji balansını aşağıdaki gibi ifade etmemize yardımcı olur.

.

ji vί,j + Eί.

D ί . (3.44)

Kabullerimiz uyarınca (3.44) ifadesi herhangi bir rijit rotasyona göre invaryant

olmak zorundadır. Böylece aşağıdaki transformasyonu göz önüne alarak

vί→ vί iklε XkΩ l , vi,j→ vi,j- l , iklε Ω Ω = const . (3.45)

ve bu transformasyonu (3.44) ifadesinde kullanarak .

U =σ ji vί,( j - iklε Ω l ) + Eί.

D ί (3.46)

denklemini yazarız. (3.46) denkleminde (3.44) ifadesini çıkarak ve , Υ σ ji , Eί

büyüklüklerinin invaryant olduğunu düşünerek aşağıdaki ifadeyi yazarız

σ

Ω l iklε σ jk = 0, (3.47)

Bu sonuç gerilme tansörünün aşağıda görüldüğü gibi simetrik olduğunu ifade eder.

ijkε σ jk = 0 , σ ji =σ ij . (3.48)

Sonuç olarak,

.

U = ji vi,j + Eί.

D ί . (3.49)

79

eşitliği yazılır. Ayrıca şimdi gerilme tansörünün simetrik bir tansör olduğunu da

biliyoruz. Elastisitedeki tanımlardan faydalanarak

ε ij = 21 u( i,j + uj,i ) , ω ij = 2

1 u( i,j - uj,i ) (3.50)

yazarız. Bu durumda,

vi,j = ε.

ij + .ω ij

yazılabilir. Burada sırasıyla simetrik gerinme ve antisimetrik rotasyon

tansörlerini ifade eder. Böylece

i j i jve wε

σ ijω ij = 0 yazabiliriz.

Yukarıda verilen enerji balansı (3.49) şimdi aşağıdaki formu alır.

Υ =σ ij .ε ij + Eί

.D ί (3.51)

Bu ifadeden görüleceği üzere sistemin enerjisi =Υ Υ ( ijε , Di ) şeklinde gerinme

tansörünün ve elektriksel yer değiştirmenin fonksiyonudur. Bu fonksiyonun türevini

alırsak

.U =

ijε∂∂Υ .

ε ij + iD∂

∂Υ .

D ί . (3.52)

elde ederiz. Böylece (3.51) ve (3.52) denklemleri dikkate alınarak aşağıdaki ifade

yazılabilir.

( σ ij - ijε∂

∂Υ ).ε ij + Eί - (

iD∂∂Υ )

.D ί = 0 (3.53)

80

Bu denklem i nin herhangi bir değeri için geçerli olmalıdır. Bu mantıkla

(3.53) nolu denklemden faydalanarak aşağıdaki eşitlikler yazılabilir.

,i j Dε &

σ ij = ijε∂

∂Υ , Eί= iD∂

∂Υ (3.54)

i j ive Dσ büyüklüklerinin , Eijε ί büyüklüklerine bağlı olarak ifade edilen bünye

bağıntılarını kullanmak uygun bir yaklaşımdır. Elektriksel entalpiyi

H = - Eί Di . (3.55) Υ

Eşitliği ile tanımlarız. (3.51) ve (3.55) ifadelerinden terimini elimine edersek

aşağıdaki ifadeyi elde ederiz.

U&

.H = σ ij ijε - Di i

.E (3.56)

(3.56) ifadesinden H H , E≡ ( ijε ί ) olduğunu görüyoruz.

.

H =i

Hε∂∂

ijε + iE

H∂∂ .

E i (3.57)

olduğundan (3.56) ve (3.57) denklemleri aşağıdaki ifadeyi yazmamıza imkan tanır.

( σ ij - ij

Hε∂∂ ) ijε - Di + (

iEH∂∂ ) .

E i =0 , (3.58)

Denklem (3.58) , i nin herhangi bir değeri için sağlanmak zorunda olduğundan ijε.E

σ ij = ij

Hε∂∂ , Di = -

iEH∂∂ . (3.59)

81

eşitliklerini yazarız. Bu bağıntılar daha sonra bünye denklemlerinin türetilmesinde

kullanılacaktır.

3.2. Metot

3.2.1. Bünye bağıntıları

Elektriksel entalpi H , E( ijε ί ) nin doğal durum ( ijε , Eί = 0 , Eί = 0) civarında

bir Mac Laurin serisine açılabildiğini ve ikinci dereceden daha yüksek terimlerin

ihmal edildiğini kabul edecek olursak homojen anizotropik bir cisim için aşağıdaki

açılımı yazabiliriz.

H ( , Eijε ί ) = 21 Cijkl ijε klε - ekij Eijε k - 2

1ijε Eί Ej (3.60)

Bu açılımda cisim içerisinde başlangıçta gerilme ve elektrik alanın bulunmadığını

kabul ediyoruz.

σ ij = ij

Hε∂∂ , Di = -

iEH∂∂ , (3.61)

Bağıntıları bizi aşağıdaki bünye denklemlerine götürür.

σ ij = Cijkl - eklε kij Ek , (3.62)

Di = eikl klε + Eikε k , (3.63)

Burada Ei j k l i j k lC C= elastik katılık tansörünün bileşenlerini, Eί=sabit, ekij

piezoelektrik sabitleri ve permitivite sabitlerini = sabit için göstermektedir.

(3.60) ve (3.61) ifadelerini göz önüne alarak aşağıdaki bağıntıları yazabiliriz.

ijε klε

82

ji

Hεε ∂∂

∂ 2

= ijkl

Hεε ∂∂

∂ 2

veya kl

ij

εσ∂

∂ =

ij

kl

εσ∂∂ , (3.64)

ji EEH∂∂

∂ 2

= ij EE

H∂∂

∂ 2

veya j

i

ED∂∂ =

ij

j

ED∂

∂ .

yukarıdaki bağıntılar

ijklC = , = . (3.65) klijC ijε jiε

eşitliklerinin yazılmasına yol açar. σ ij , ijε tansörlerinin simetrisini de dikkate alacak

olursak,

ijklC = jiklC ,ijklC =

C =

ijlkC ,ekij = ekji (3.66)

yazabiliriz. tansörü ve eijε kij polar tansörü j ve i indislerine göre simetriktir.

Triclinic kristal yapının genel durumunda matrisine ait elastik sabitlerin sayısı

21, Piezoelektrik matris e

ijklC

kij nin sabitlerinin sayısı 18 ve permitivite sabitlerinin

sayısı 6 dır.

ijε

Bir simetri merkezine sahip olmayan malzemelerde de piezoelektrik etkinin

oluşabileceği bilinmektedir ele alınan cisimde bir simetri merkezinin varlığı kabul

edildiğinde polar bir tansör olan nin etkisi yok olur, dolayısıyla bu terim

denklemlerde gözükmez.

kijε

İzotropik bir cismin özel bir durumunu göz önüne alalım. İzotropik tansörler için

aşağıdaki bağıntıların yazılabileceğini klasik tansör cebrinden biliyoruz:

ijkl ( + ) + , (3.67) µ jlikδδ jkilδδ λ klijδδ

ekij = e , = . kiε ijlε ijδ ∈

83

Burada antisimetrik Ricci tansörüdür. Yukarıda verilen (3.67) ifadelerini (3.62)

ve (3.63) denklemlerine taşıyacak olursak ,

kijε

ijσ = 2 + - e E , (3.68) µ ijε kkλε kijε

i = D eikl klε + , (3.69) kij Eδ

Denklemleri elde edilir. tansörleri simetrik j tansörü antisimetrik

olduğundan (3.68) ve (3.69) denklemlerindeki piezoelektrik terim ortadan kalkar.

Böylece,

,i j i jσ ε k ie

ijσ = 2 + , i = Eijµε ijλδ kkε D ε i . (3.70)

ifadelerini yazabiliriz. Şimdi tekrar elektriksel entalpi H = - ifadesine

dönelim ve bu ifadeyi

Υ iE iD

Υ = H + . (3.71) iD iE

şeklinde göz önüne alalım. (3.60) ve (3.63) numaralı denklemlerden faydalanarak Di

ifadesini uygun şekilde bu denklemlerde yerine yazarak aşağıda verilen denklemi

elde ederiz.

Υ = 21

j (3.72) iijklijijkl EEC εεε21

+

U ifadesi negatif olmayan skaler bir değer olduğundan (3.72) denkleminin sağ tarafı

pozitif tanımlı quadratik bir form olmak zorundadır, ancak bu şart sağlanırsa

çözümün kararlılığı garanti edilir.

84

3.2.2. Piezoelektriklerin diferansiyel denklemleri

Piezeelektrik malzemelere ait denklemleri ve bağıntıları bir araya getirecek olursak,

hareket denklemlerini ve elektrik alan denklemini

j + i i , (3.73) ji ,σ X =

D =

ρ ü

i = 0 . (3.74) iD ,

formunda ifade ederiz. Bu ifadeleri bünye denklemleri ile tamamlayacak olursak,

= - eijσ ijklC klε kijEk , (3.75)

i ρ ikl klε + , , (3.76) ikε kE kE = k,ϕ−

eşitliklerine ulaşırız. Yukarıdaki bağıntılarda yer alan gerinme tansörü aşağıdaki gibi

tanımlanmıştır.

ikε =21 ( j + i ) . (3.77) i,Υ j ,Υ

(3.75) ve (3.76) bağıntılarını (3.73) ve (3.74) diferansiyel denklemlerinde yerine

yazıp (3.77) ifadesi ile verilen tanımı kullanacak olursak, Ui yer değiştirme vektörü

ve potansiyelini bilinmeyen olarak kabul eden 4 adet skaler denklem elde ederiz.ϕ

ijklC Uk,lj + ekij ki,ϕ + i i (3.78) X = ρ ü

eiklUk,li- = 0 . (3.79) ikε ki,ϕ

85

Bu diferansiyel denklemler başlangıç ve sınır şartları ile tamamlanmak zorundadır.

Eğer cismin kısmı üzerinde yer değiştirmeler, tamamlayıcı kısmı üzerinde

gerilme vektörleri i ler belirlenmişse

1B∂ 2B∂

p

ui = i (Υ x , t) on , 1B∂ ip = jiσ jn = ip (x , t) on , = B (3.80) 2B∂ 1B∂ Υ 2B∂ ∂

ifadelerini yazabiliriz.

3B∂ üzerinde elektriksel potansiyel ve üzerinde yüzey yükleri aşağıdaki gibi

verilmiş olsun.

4B∂

ϕ = (Φ x , t) on , D3B∂ knk = - on , = B . (3.81) σ 4B∂ 3B∂ ∪ 4B∂ ∂

Eğer (3.78)-(3.79) denklem sisteminin çözümünü (ui,ϕ ) biliyorsak , Ek parametresini

Ek = formülünden başarılı bir şekilde belirleyebiliriz, (3.77) de verilen tanımı

kullanarak (3.75) ve (3.76) bünye bağıntılarından faydalanarak gerilme ve elektriksel

yer değiştirme de bulunabilir. Ei ve D

k,ϕ

i fonksiyonları hakkında elde edilen bilgiler

elektriksel polarizasyonu

Pi = Di - Ei , (3.82) 0ε

İfadesinden faydalanarak belirlememizi sağlar. Burada boşluğun permitivitesidir.

Piezoelektrik etkinin mevcut olmadığı durumda (3.78) numaralı denklem aşağıdaki

formu alır.

0ε

kliijkl uc = i (3.83) ρ ü .

Diğer taraftan piezeelektrik etki mevcut fakat deformasyon ihmal edilmişse (3.79)

denklemi aşağıdaki forma indirgenmiş olur.

ijε ij,ϕ = 0 . (3.84)

86

(3.83) numaralı denklem (3.80) ifadesinde verilen sınır şartları ile (3.84) numaralı

denklem ise, (3.81) da verilen sınır şartları ile tamamlanmıştır.

3.2.3. Yeni notasyonda piezoelektrik denklemler ve bağıntılar

Uygulamaya yönelik bir çok problemde indis karmaşasından kurtulmak ve daha

kullanışlı ifadeler elde etmek için; ij ve kl indisleri yerine, p ve q indislerini

kullanacağız. Burada i, j, k ve l indisleri 1, 2, 3 değerlerini alırken; p ve q indisleri

ise sırasıyla 1 den 6 ya kadar değerler alacaktır. Bu yaklaşıma göre

ijklC = e =

T = S - E ,

S +

e =

T =

pqC , , = = . (3.85) ikl iqe ijσ iT pT

eşitliklerini yazarız. Bu durumda daha önce verilen bünye denklemleri aşağıdaki

gibi yeniden ifade edilebilir.

p pqC q kpe k (3.86)

i = i,k = 1,2,3, p,q = 1,2,....,6 (3.87) D iqe q ikε kE

Burada ;

ije = eğer i= j , p= 1,2,3 ise (3.88) pS

2 eğer i j , p= 4,5,6 ise ij pS ≠

bu kısaltılmış notasyon kullanıldığında bünye bağıntılarında ortaya çıkan gerilme

bileşenleri aşağıdaki gibi ifade edilir.

1T = , = , , = 11T = 11σ 2T 22T = 22σ 3T = 33T = 33σ 4T = 23 23σ 32σ

87

5T = = , = 31T = 31σ 13σ 6T = 12T = 12σ 31σ

şimdi, daha önce verilen bünye bağıntıları matris formda ifade edilebilir.

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

= - (3.89)

665646362616

565545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCC

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

362616

352515

342414

332313

322212

312111

eeeeeeeeeeeeeeeeee

3

2

E

3

2

D

363534333231

262524232221

eeeeee

333231

232221

εεε

3

2

E

1

EE

ve

1

DD

= + (3.90)

161514131211

eeeeeeeeeeee

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

131211

εεεεεε

1

EE

(3.89) ve (3.90) grubunda yer alan ilk bağıntılar açıkça ifade edilecek olursa

aşağıdaki eşitlikler yazılır.

T1 = =c11σ 11 u1,1 + c12u2,2 + c13u3,3 + c14(u2,3+u3,2) + c15(u3,1+u1,3) + c16(u1,2+u2,1) +

e11 1,ϕ + e21 2,ϕ + e31 , 3,ϕ Ek = - k,ϕ (3.91)

T2 = . . . .

D1 = e11 u1,1 + e12u2,2 + e13u3,3 + e14(u2,3+u3,2) + e15(u3,1+u1,3) + e16(u1,2+u2,1) - -

- , (3.92)

11ε 1,ϕ

12ε 2,ϕ 13ε 3,ϕ

88

D2 = . . . .

En genel anizotropik malzeme durumunda

Cpq = Cqp , = ikε kiε

yazılabilir. Böylece, Cpq elastik sabitleri için 21 adet, dielektrik sabitler için 6

adet, E

ikε

kp piezoelektrik sabitler için 18 adet bağımsız sabit parametre söz konusudur.

Bunların toplamı olan 45 adet bağımsız maddesel sabitin belirlenmesi ancak

deneysel metodlarla mümkündür. Kristal yapı n inci mertebeden bir simetri eksenine

sahip olduğu zaman bu sayı daha da küçülür. X1 ekseninin diagonal eksen olarak

alındığı monoklinik kristal durumunda bünye denklemlerini matris formu aşağıdaki

gibidir.

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

= - (3.93)

6656

5655

44342414

34332313

24232212

14131211

00000000

000000

00

CCCC

CCCCCCCCCCCC

CCCC

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

3626

3525

14

13

12

11

00

00000000

eeee

eeee

3

2

E

3

2

D

3635

2625

0000 ee22 23

32 330 ε ε

3

2

E

1

EE

1

DD

= + (3.94)

14131211

000000

eeeeee

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

11 0 00ε

ε ε

1

EE

Bu konunun detaylarına girmeden gerek duyulan bilgileri J.F. Nye’nin meşhur

monografını referans veriyoruz. Şimdi yalnızca piezoelektrik malzemelerde yaygın

bir şekilde kullanılan (6mm) ve (622) hexagonal kristal sınıfı için bünye bağıntılarını

aşağıdaki gibi ifade etmekle yetiniyoruz

89

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

= - (3.95)

66

55

44342414

34332313

24232212

14131211

0000000000000000

00

CC

CCCCCCCCCCCC

CCCC

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

0000000

000000

15

15

33

32

31

ee

eee

3

2

E

3

2

D

000333231

15

eee22 23

32 330 ε ε

3

2

E

1

EE

1

DD

= + ,

0000000000 15

ee

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

11 0 00ε

ε ε

1

EE

C66= 21 (C11-C12) (3.96)

Beş elastik sabit, üç piezoelektrik sabit ve iki dielektrik sabit olmak üzere toplam 10

bağımsız sabitten oluşan bu sistem polarize olmuş seramik ferro elektrikler için

karakteristik bir yapı oluşturur.

Bu tip malzemeler güçlü piezoelektrik kuplinge sahip malzemelerdir. (622) kristal

sınıfı için bünye bağıntıları aşağıdaki formda yazılır.

6

5

4

3

2

1

TTTTTT

= - ,

66

55

44

331313

131112

131211

000000000000000000000

000

CC

CCCCCCC

CCC

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

−0000000000000000

14

14

ee

3

2

E

1

EE

C66 = 21 (C11-C12) (3.97)

90

3

2

D

000000

14

33

22

00 ε

3

2

E

1

DD

= + (3.98)

− 0000000000 14

ee

6

5

4

3

2

1

SSSSSS

11

0000

εε

1

EE

Burada da beş elastik sabit Cpq , yalnızca bir piezoelektrik sabit eip ve iki dielektrik

sabit söz konusudur. Yani toplam sekiz bağımsız maddesel sabit vardır. (6mm)

malzeme sınıfı için geçerli olan (3.95) ve (3.96) bünye bağıntılarını

ijε

Tji,j = ρ üij Di,j = 0 .

Şeklinde ifade edilen piezoelektrik denklemlere taşımaya çalışalım. Bu durumda

aşağıda ifade edilen dört denklemden oluşmuş bir skaler denklem sistemine ulaşırız.

C66 ∇ 21 u1 + (C66+ C12)(u1,11+u2,12) + C44u1,33 +

+( C13+ C44) u3,13 + (e31 + e15) 13,ϕ =∇ ü1 , (3.99)

C66∇ 21 u2 + (C66+ C12)(u1,12+u2,22) + C44u2,33 +

+( C13+ C44) u2,23 + (e15 + e31) 23,ϕ = ∇ ü2 , (3.100)

C44∇ 21 u3 + C33u3,33 +(C13+ C44)(u1,31+u2,32) +

e15∇ 21 + eϕ 33 33,ϕ = ü∇ 3 , (3.101)

e15(u3,11 + u3,22 + u1,31 + u2,32 ) + e31(u1,13 + u2,23) +

+ e15 u3,33 – ( + ) = 0 . (3.102) 11ε ρ 21 ϕ 33ε 33,ϕ

Burada

21∇ = + , C2

1∂22∂ 66 =

21 ( C11- C12 )

91

Şeklinde ifade edilmektedir.

Monoklinik bir ortamda bir düzlem dalgayı göz önüne alalım yer değiştirme ve

elektriksel potansiyelin yalnızca X2 ve t değişkenlerine bağlı olduğunu kabul ederek

aşağıdaki dört denklemi yazabiliriz.

C66 u1,31 + e31 2,2ϕ = üρ 1 (3.103)

C22 u1,31 + C24 u3,22 = üρ 2 (3.104)

C24 u2,22 + C44 u3,22 = üρ 3 (3.105)

C26 u1,22 - ∈ ϕ = 0 . (3.106)

Bu durumda yalnızca yer değiştirme u1 ve potansiyel kapıl durumda görünecektir.

u

ϕ

2=u3=0 olduğunu kabul ederek (3.103) ve (3.106) denklemlerine yoğunlaşmamız

gereklidir. İlk önce, sabit bir c hızıyla X2 yönünde hareket eden bir düzlem dalgayı

göz önüne alalım. (3.103) (3.106) denklemlerinde bu şartları kullanırsak

u1 = U0)( 2 ctxike − , = ϕ 0Φ )( 2 ctxike −

(3.107)

ifadelerini ve aşağıdaki denklemi elde ederiz.

( )2262 2

0 66 66 6622

ˆ 0e

U k c c cρωε

− = = + (3.108)

Burada aşağıdaki eşitliklerde kullanılmıştır.

C = 2/1

66

ρ

c , C = kω . (3.109)

Şimdi 2h kalınlığında bir tabakayı göz önüne alalım ve sınırlarda uygulanan bir

potansiyelden dolayı zorlanmış titreşimlerin gerçekleştiğini düşünelim.

92

ϕ = , x± 0ϕiwte−

2 = h için (3.110) ±

x2 = h sınırlarında gerilme vektörlerinin serbest olduğunu kabul ediyoruz. Böylece ±

21σ = T21 = (C66 u1 + e26 ϕ ), 2 = 0 . x2= h için (3.111) ±

(3.103) ve (3.106) denklemlerinde

u1 = U1(x2) , = (xiwte− ϕ φ 2) , (3.112) iwte−

ifadelerini kullanacak olursak, aşağıda görülen

( + ) U2∂ 2 n =2n 1 = 0 . 2 66

2

Ceω (3.113)

ve

2∂ 2 ( U1 - 26

22

e

ε ) = 0 . (3.114) Φ

denklemleri elde edilir. (3.113) ve (3.114) denklemlerinin çözümü

U1 = A cos η η

Φ = 22

26

εe U1 + C + x2D (3.115)

formunda ortaya çıkacaktır.

(3.110) da verilen sınır şartları (xΦ 2) fonksiyonunun antisimetrik olduğuna işaret

eder, böylece A=C=0 olur. (3.110) da verilen sınır şartı aynı zamanda X2=h için

aşağıdaki bağıntıyı ortaya çıkarır.

93

0ϕ = 22

26

εe B sin n h + Dh . (3.116)

(3.111) de verilen sınır şartını dikkate alacak olursak aşağıdaki denklemi elde ederiz.

26

66

eC η η (3.117)

(3.116) ve (3.117) denklemlerinden D sabitini elimine edecek olursak

B

− λε

λλ sincos22

226

66eC = - 0 λ eϕ 26 , = η (3.118)

Bağıntısına ulaşırız. (3.116) nolu ifade D sabitinin belirlenmesine hizmet eder.

Böylece çözüm tamamlanmış olur.

Rezonans durumunda,

tg = λ 226

2266

e

C ε (3.119)

olacaktır. Serbest ve zorlanmış titreşimleri ilgilendiren bazı problemler H.F. Tiersten

tarafından çözülmüş olup, Rayleigh yüzey dalgalarının ilerlemesi literatürde çok

yoğun bir şekilde araştırılmıştır.

94

4. BULGULAR

PZT-4 türünden bir piezoelektrik malzeme için şekli aşağıda görülen 100 mm

uzunluğunda ve 20X20 kesitinde bir kiriş eleman sol tarafındaki yüzeyinden ankastre

olarak mesnetlenmiş olup sağ tarafındaki yüzeyinin üst sınırında yer alan çizgisel

eleman üzerine – 50000 N’ lık mekanik yükle yüklenmiştir. Bu malzemeye ait

dielektrik matrise ait veriler her bir eleman için X10-9 F/m biriminde :

7.124 0 00 7.124 00 0 7.124

piezoelektrik matrise ait elemanlar ise C/m2 biriminde ;

−−

005,1005,100000

1,14001,4001,400

Katılık matrisine ait elemanlar da 10-10 N/m2 birimlerinde olmak üzere;

13.2 7.1 7.3 0 0 013.2 7.3 0 0 0

11.5 0 0 03.0 0 0

2.6 02.6

formunda verilmektedir.

95

İncelenen kiriş ANSYS sonlu elemanlar paket programının kütüphanesinde yer alan

ve katı model türündeki elemanları modellemek için kullanılan SOLID98 türünden

bir elemanla mesh jenerasyonuna tabi tutulmuştur. Kirişin geometrik ölçüleri ve

mesh yapılmış şekli aşağıda yer alan iki şekilde verilmektedir.

Şekil 4.1 Geometrik boyutlar

Şekil 4.2 Kirişin mesh yapılmış hali

96

Buraya kadar yapılan işlemler PREPROCESSİNG fazında yer alan işlemler olup,

yükleme işlemi SOLUTION modunda ele alınmaktadır. Yüklemenin yapıldığı durum

ise aşağıda gösterilmektedir.

Şekil 4.3. Serbestlik derecelerinin kısıtlanması ve mekanik yükün uygulanması

çözüm gerçekleştirildikten sonra ortaya çıkan yer değiştirmeler, potansiyel farkları,

elektrik alan değişimleri, gerilmeler ve gerinmeler aşağıda yer alan şekillerde

gösterilmektedir.

97

Şekil 4.4 Toplam deformasyonlar

Şekil 4.5. Toplam potansiyel farkı (volt)

98

Şekil 4.6. Toplam elektrik akı yoğunluğu

Şekil 4.7 Elektriksel potansiyeldeki değişimin simetrisi farklı açılardan ifade

edilmeye çalışılmaktadır.

99

Şekil 4.8 Elektrik akı yoğunluğunun değişik tarzda görünümleri

Şekil 4.9 Elektrik alandaki değişim

100

Şekil 4.10 Gerilme dağılımı( Von-Mises gerilmeleri)

Şekil 4.11 Gerinme ( Von-Mises) dağılımı

101

Aynı özelliklere sahip malzemenin her iki ucuna 1 voltluk bir gerilim uygulandıktan

sonra 10 doğal titreşim modunda yani rezonas halinde ki durumları incelenmiştir.

ANSYS programı bu modları aşağıdaki gibi belirlemiştir:

INDEX OF DATA SETS ON RESULTS FILE *****

SET TIME/FREQ LOAD STEP SUBSTEP CUMULATIVE

1 0.72603E-05 1 1 1

2 0.11603E-04 1 2 2

3 0.14715E-04 1 3 3

4 0.17275E-04 1 4 4

5 0.19502E-04 1 5 5

6 0.21500E-04 1 6 6

7 6.0903 1 7 7

8 6.3020 1 8 8

9 9.2182 1 9 9

10 14.472 1 10 10

En ilginç olan modlardan 10. moda ait deformasyon durumu aşağıda görülmektedir:

102

Şekil: 4.12 10. moda ait toplam deformasyonlar

Şekil 4.13 Potansiyel farkının dağılımı

103

Daha sonra bir uçtaki 1 voltluk gerilim kaldırıldı ve anti rezonans durumuna ait kritik

modlardan 7.’ ye ait olan sonuçlardan toplam yer değiştirme ve potansiyel dağılımı

aşağıdaki gibi elde edildi.

Şekil 4.14 Toplam yer değiştirme (anti-rezonans)

104

Şekil 4.15 Elektriksel potansiyel dağılımı

105

5. SONUÇLAR

Bu tez çalışmasında, teknolojide yaygın olarak kullanılmaya başlanan akıllı veya

zeki maddesel sistemlerin önemli bir sınıfını teşkil eden piezoelektrik malzemeler

incelenmektedir. Tezin akışı içerisinde de bahsedildiği gibi Elektro-mekanik

etkileşim ve piezoelektrik ilişkilerin termodinamik yönleri ele alınmış ve lineer bağlı

bir sistemde yapısal ilişki ve kuplaj katsayısının genel tanımı verilmiştir. Bu

bağlamda, lineer etkileşimli proseslerin önemli özellikleri açıkça ifade edilmiştir.

Temel piezoelektrik ilişki tipleri ve çeşitli sabitler arasındaki bağıntılar tablo halinde

sunulmuştur. Bağlantı katsayıları ile birlikte enerji iletim katsayıları tanımlanmış ve

Elastik sabitlerde depolarize alan etkisi açıklanmıştır. Yüksek mertebeden

elektromekanik etkileşim olan Elektrostriksiyon ve diğer non-lineer etkiler hakkında

bilgi verilmiştir. Kristal simetrisi , kristallografik eksenler, kristallografik nokta

grupları, tensörlerin fiziksel simetrisi ve piezoelektrik işaret detaylı bir şekilde ifade

edilmiştir.

Elektromagnetizmanın temel ilkeleri ve enerji balansı ifade edildikten sonra, gerilme

ve elektriksel yer değiştirmeye ait bünye bağıntıları verilmiştir. Piezoelektrik

malzemelere ait diferansiyel denklemler ve gerekli görülen matris formlar

yazılmıştır.

Tezin bulgular kısmı teorinin uygulanabilirliğini göstermek amacıyla hazırlanmış bir

bölüm olup, temelde sonlu elemanlar yöntemini kullanan bir paket program olan

ANSYS 5.7 den faydalanılmıştır. Piezoelektrik bir malzeme olan PZT-4 türünde ve

belli geometriye sahip bir malzeme seçilmiş, şekillerde gösterildiği gibi negatif y-

ekseni doğrultusunda 50.000 N lık bir yükle yüklenmiştir. Bu malzemey ait katılık,

dielektrik ve piezoelektrik sabitler matris formda ifade edildiği haliyle programa

tanıtılmıştır. Mesh jenerasyonu yapabilmek için kapıl sistemlerde çözüm üretme

yeteneğine sahip ve özellikle piezoelektrik malzemeler için geliştirilen eleman

ailesinden olan SOLID98 kullanılmıştır.

106

Elde edilen sonuçlar grafik ortamda sunulmaktadır. Bu şekillerde, mekanik

yüklemeden kaynaklanan toplam deformasyon , toplam potansiyel farkı ve toplam

elektrik akı yoğunluğu açıkça ifade edilmektedir. Toplam elektrik akı yoğunluğu bir

anlamda polarizasyon etkisini de ifade ettiğinden değişik açılardan ifade edilmiştir.

Elektrik akı yoğunluğu simetrik bir şekilde mesnetlenmiş bölgeye yakın yerlerde

maksimuma ulaşmaktadır. Elektrik alandaki değişim de ilginç bir görünüm arz

etmekte ve doğal olarak antisimetrik bir form sergilemektedir. Ayrıca, mekanik

yükleme halinde piezoelektrik malzemede ortaya çıkan ortalama gerilme ve gerinme

dağılımları Von-Mises gerilme ve gerinmeleri şeklinde ifade edilmiştir.

Son olarak, özellikleri daha önce belirtilen piezoelektrik malzeme üzerindeki bütün

mekanik yükler ve kısıtlamalar kaldırılarak, kiriş iki ucundan 1 voltluk potansiyelle

yüklenmiş ve 10 tane doğal titreşim modundaki durumu incelenmiştir. Bu doğal

frekanslar tablo halinde verilmiş ve ilginç olan modlara ait çıktılar grafik halinde

sunulmuştur. Daha sonra bir uçtaki gerilim kaldırılarak anti rezonans durumuna ait

sonuçlar elde edilmiştir.

Gerek teorisi ve gerekse uygulamaları açısından ilginç bir konu olan piezoelektrik

malzemeler günümüzdeki ileri teknolojinin bir çok alanında kullanıldığı için daha

ileri boyutlarda araştırılması gerekmektedir. Bu çalışma piezoelektrik malzemeleri

bazı detayları ile ele alarak daha kapsamlı çalışmalara ışık tutmak amacını

taşımaktadır. Piezoelektrik malzemeler gösterdikleri mekanik ve elektriksel davranış

ile özellikle tetikleyici ve uyarıcı olarak rahatlıkla kullanılabilirler. Sayısal örnekten

de anlaşılacağı üzere gösterdikleri deformasyon, gerilme ve polarizasyon alanları

mikro-elektro-mekanik cihazlar içinde uygun görülmektedir.

107

6. KAYNAKLAR

Arafa, M., ve Baz, A., 2000. Dynamics of Active Piezoelectric Damping Composites. Composites, 31, 255-264.

Burman, A., 2000. On the Infulance of Functional Materials on Engineering Design.

Research in Engineering Design,12, 39-47. Burny, F., ve Dankerwolcke, M., 2000. Concept, Design and Fabrication of Smart

Orthopedic İmplants. Medical Engineering & Physics, 22,469-479. Cohen, R. E., 2000. Theory of Femoelectrics: A Vision for the Next. Decade and Beyond.

Journal of Physics and Chemistry of Solid, 61,139-146. Correia,V. M. ve Gomes, M.A., 1999. Modelling and Design of Adaptive Composite

Structures. Comput. Methods Appl.Mech.Eng.,185,325-346 Craig, L. H., ve Shankar, N., 1994. A finite Element Method for Electrostrictive Ceramic

Devices. Journal of the European Ceramic Society, 0020, 7683. Daros, C. H., ve Antes, H., 1999. On Strong Ellipticity Conditions for Piezoelectric

Materials Crystal Clasess 6 MM and 622. WaveMotion, 31, 237-253. Ding, H. J., Hou, P. F., ve Gou, F., 1999. The Elastic and Electric Field for Three

Dimensional Contact for TransVersely İsotropic Piezoelectric Materials. Solid and Structure, 37, 3201-3229.

Ding, H. J., ve Hou, P. F., 1999. A General Solution for Piezothermoelasticity. International

Journal of Engineering Science, 38, 1415-1440. Eringen, A. C., 1963. On the Fondations of Electroelastostatics. Int. J. Engng, 1, 127-153. Haojing, D., ve Weigiu, C., 1997. A Boundary Integrel Formulation and 2D Fundamental

Solution for Piezoelectric Media. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 158, 65-80

He, X.A. ve Ng, T.Y., 2000. Active Control of FGM Plates with Integrated Piezoelectric

Sensor and Actuators. Solids and Structures, 38, 1641-1655. Holmes, J. E., 2000. Novel Piezoelectric Structures for Sensor Applications. Journal of the

European Ceramic Society, 20-2701. Ikeda, J., 1990. Fundamental of Piezoelectricity. Oxford University Prees, 257 p, Tokyo. Kallenbach, E., ve Kube, H., 1999. New Polarized Electromagnetics Actuators as Integrated

Mechatronic Components Design and Application. Mechatronics, 9, 769-784.

108

Kalpakidis, V.K., 1992. Theory of Thermoelectroelasticity: an Extension. Int. J. Engng, 31, 157-164.

Kögl, M., ve Gaul, L., 2000. A Boundary Element Method for Transient Piezoelectric

Analysis. Engineering Analysis with Boundary Element, 24, 591,-598. Li, J.Y., ve Dunn, M.L., 1998. Analysis of Microstructural Field in Heterogeneous

Piezoelectric Solids. Int. Journal of Engineering Science, 37, 665-685. Mikata, Y., 1999. Determination of Piezoelectric Eshelby Tensor in Transversely Isotropic

Piezoelectric Solid. Int. Journal of Engineering Science, 38, 605-641. Peery, A., ve Bowen, C.R., 1999. Finite Element Modelling of 3-3 Piezocomposites. Scripta,

41, 1001-1007. Pelrine, R., ve Kornbluh, R., 1999. High Field Deformation of Elastometric Dielectrics for

Actuators. Materials Siciences and Engineering, 11, 89-100. Petterman, H. E., ve Suresh, S., 1999. A Comprenshive Unitcell Model: A study of Compled

Effect in Piezoelectric 1-3 Composites. Solid and Structure, 37, 5447-5464. Shafer, R., 2000. Dowain in Extremely Soft Magnetics Materials. Journal of Magnetism and

Magnetics Materials, 215-216, 652-663. Suresh, S., 1999. Theory of Indetation of Piezoelectric Materials. Acta Mat., 47, 7, 2153-

2164. Tani, J., ve Takogi T., 1998. Intelligent Materials System: Application of Functional

Materials. ASME, 51, 8. Tauchert, T.R., 1999. Developments in Thermopiezo Elasticity with Relevance to Smart

Composite Structure. Composite Structures, 48, 31-38. Tiersten, H.F., 1971. On the Nonlinear Equtions of Thermo Electroelasticity. Int. J. Engng,

9, 587-604. Usal, M.R., 1994. Fiber Takviyeli Elastik Dielektrik Ortamların Elektro Termomekanik

Davranışlarına ait Matematiksel Bir Model. Erciyes Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü, Doktora Tezi, 108s, Kayseri.

Wang, B., 1992. Effective Behavior of Piezoelectrics Composites. Solid and Structures, 29,

293. Wu, T., 1999. Micromechanics Determination of Electroelastic Properties of Piezoelectric

Materials Containing Voids. Materials Science and Engineering, A280, 320-327.

109

Xiao, Z. M., ve Bai, J., 1998. On Piezoelectric Inhomogenity Related Problem Part II: A Close from Solution for the Stress Field Antside A circular Piezoelectric in Homogenity. Int. Journal of Engineering Science, 37, 945-959.

Xu, X.L., ve Rajapakse, R.K., 1999. On Signalatuties in Composite Piezoelectric Wedges

and Junctions. Solid and Structures, 37, 3253-3275. Zhu, X., 2000. Microdisplacement Characteristics and Microstructures of Fuctionally

Graded Piezoelectric Ceramic Actuator. Material and Design, 21, 561-566.

ÖZGEÇMİŞ

Adı Soyadı : Semih DOĞRUKOL

Doğum Yeri : Eskişehir

Doğum Yılı : 09.07.1971

Medeni Hali : Evli

Eğitim ve Akademik Durumu :

Lise : 1985-1988 Eskişehir Atatürk End.Mes.Lisesi

Lisans : 1988-1992 Gazi Üniversitesi Teknik Eğitim Fakültesi

Elektrik-Elektronik Eğitimi Bölümü

Yabancı Dil : İngilizce

İş Deneyimi :

1992-1996 Milli Eğitim Bakanlığı (Öğretmen)

1996-........ Süleyman Demirel Üniversitesi Uluborlu M.Y.O

(Öğretim Görevlisi)