phƯƠng phÁp thÊm ĐiỂm -...

Thầy Quang Baby – Thayquang.edu.vn

CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG

PHƯƠNG PHÁP THÊM ĐIỂM

Nội dung phương pháp : Khi chứng minh 3 điểm A,B,C thẳng hàng , khi đã biết

mối quan hệ nào đó của C,D,E . Ví dụ như C là trung điểm của DE chẳng hạn , ta

sẽ thêm một điểm C’ là giao của AB với một đường DE đã chứa điểm C . Ta sẽ

tìm cách chứng minh C’ cũng là trung điểm của DE , tức là C’ trùng với C. Đó là

điều phải chứng minh , phương pháp thêm điểm là như vậy . Dưới đây là hình

minh họa và các ví dụ để các em tiện theo dõi nhé .

BÀI TOÁN MINH HỌA :

Bài 1:

Cho tam giác ABC, về phía tam giác ABC vẽ tam giác ABD vuông cân tại A.

Vẽ AH vuông góc với BC tại H. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DE. Chứng minh rằng ba

điểm M,A,H thẳng hàng.

Lời giải:


Vẽ EK AH tại K, DN AH tại N, AH cắt DE tại M

Xét tam giác HAB 0( 90 )AHB và tam giac NDA 0( 90 )DNA có:

AB = AD ( tam giác ABC vuông cân tại A)

BAH NDA ( cùng với góc DAN)

Do đó HAB NDA ( cạnh huyền – góc nhọn)

Tương tự KAE HCA ( cạnh huyền – góc nhọn) KE AH

Ta có DN = KE = AH

,KE AH DN AH KE // DN

Xét tam giác /M DN và tam giác /M EK có : / / / /, ,NDM KEM DN KE DNM EKM

Do đó / / / /( . . )M DN M EK g c g M D M E

M là trung điểm của DE nên M/ = M

Vậy ba điểm M,A,H thẳng hàng.

Bài 2:

Cho tam giác ABC,đường thẳng d song song với BC cắt các cạnh AB, AC lần lượt ở D, E.

Trên các đoạn thẳng BC, DE lần lượt lấy các điểm M, N sao cho BC = 3BM, DE = 3DN.

Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi N/ là giao điểm của AM và DE


Xét tam giác ABC có DE // BC (gt) DE AD

BC AB

Xét tam giác ABM có DN/ // BC /DN AD

BM AB

Do đó: /DE DN

BC BM , mà BC = 3BM (gt), DE = 3 DN (gt)

DE DN

BC BM

Nên có /

/DN DNN N

BM BM

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng.

Bài 3:

Cho hai đường tròn (O;R) và (O/;R) tiếp xúc ngoài nhau tại A. BC, DE là các tiếp tuyến chung

ngoài của hai đường tròn (O) và (O/) (B, D ( )O ; /( ))E O . Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của BC và DE.

Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi / /,M N lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến chung trong tại A của hai đường tròn (O) và (O/)

với BC, DE.


Ta có / / / /,M C M A M A M B ( Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau )

/ /M C M B

Do đó /M M . Tương tự /N N

Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 4:

Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O), vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến AEF (E nằm giữa A

và F, AFB FAC ). Vẽ đường thẳng qua E vuông s BC góc với OB cắt BC tại M, BF tại N.

Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh rằng ba điểm F, M, I thẳng hàng.

Lời giải:

Vẽ OK EF tại K => K là trung điểm của EF.

090ABO AKO ACO

, , , ,A B K C O cùng thuộc một đường tròn.

BAK MCK

Mà , / /AB OB EN OB AB EN BAK MEK

Ta có ( )MCK MEK BAK

tứ giác EMKC nội tiếp

ECM EKM

Mà ECM EFB , nên EKM EFB MK // BN

Tam giác EFN có KM // NF, EK = KF => EM = MN


Gọi I/ là giao điểm của FM và AB

/ /

/ / /

EM MN FMAI I B

AI I B FI

. Vậy I = I/

Do đó: F, M, I thẳng hàng.

Bài 5:

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao BD, CE. Gọi M là

giao điểm của các tiếp tuyến vẽ từ B, từ C của đường tròn (O), N là trung điểm của đoạn thẳng

DE.

Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng.

Lời giải:

Qua M vẽ đường thẳng song song với DE cắt AB, AC lần lượt ở K, S.

Gọi Cx là tia đối của tia CM. Ta có 090BEC BDC

Tứ giác BEDC nội tiếp

,ADE ABC AED ACB

Mà ,ADE MSC AED BKM ( đồng vị và DE // KS)

Ta có ACx ABC ( hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)


ACx MCS ( đối đỉnh )

Do đó MCS MSC

MCS cân tại M

MC = MS

Tương tự MB = MK

Mà MB = MC ( MB, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O))

Do đó MK = MS

Gọi M/ là giao điểm của AN và KS

/AKM có EN // KM/ / /

EN AN

KM AM

/ AM S có ND // M/S / /

ND AN

SM AM

Nên / / /

EN ND AN

KM SM AM

Mà EN = ND, do đó KM/ = SM/. Ta có M/ = M

Vậy A, M, N thẳng hàng.

Bài 6:

Cho tam giác nhọn ABC nọi tiếp đường tròn (O;R). AD, BE là các đường cao của tam giác

ABC. Các tiếp tuyến tại A, B của (O) ắt nhau ở M, N là trung điểm của DE.

Chứng minh rằng ba điểm M, N, C thẳng hàng.

Lời giải:


Qua M vẽ đương thẳng song song với DE cắt BC, AC lần lượt ở K, I.

Gọi Bx là tia đối của tia BM

090AEB ADB

Tứ giác ABDE nội tiếp

CDE BAE

CDE BKM (KI //AB)

,BAC CBx CBx MBK

Do đó BKM MBK

MKB cân tại M => MB = MK

Tương tự MA = MI mà MA = MB

Do vậy MI = MK (1)

Gọi N/ là giao điểm của CM và DE

Tam giác CMI có N/E // MI / /N E CN

MI CM (2)

Tam giác CKM có N/D // KM / /N D CN

MK CM (3)

Từ (1), (2), (3) có N/ E // N/D

Do đó N/ = N

Vậy ba điểm M, N, C thẳng hàng.

Bài 7:

Cho đường tròn (O;R) , A là điểm nằm trên đường tròn (O), H là điểm ở bên trong đường tròn

(O) sao cho AH = R 2 . Đường thẳng vuông góc với AH tại H cắt đường tròn (O) tại B, C.

Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt ở D, E ( khác A).

Chứng minh rằng D, E, O thẳng hàng.

Lời giải:


Xét đường tròn đường kính AH có 090 ,AEH ADE AHE

Mà

AHE C ( cung phụ với góc EHC) do đó

ADE C

Mặt khác

1

2C AOB và OA = OB (= R)

tam giác OAB cân tại O

0190

2DAO AOB

Nên 090DAO ADE AO DE (1)

Vẽ AK DE tại K

Xét tam giác AED và tam giác ABC có:

EAD ( chung ), ADE ACB

Do đó ( . )EAD ABC g g

Bán kính đường tròn (AED) là 2

2

R

Bán kính đường tròn (ABC) là R.

Nên ta có 2AK

AH R . Mà 2( )AH R gt AK R (2)

Từ (1) và (2) ta có K = O

Vậy D, E, O thẳng hàng.


Bài 8:

Cho tam giác ABC ( AB > AC) nội tiếp đường tròn (O). Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho

BD = AC. Đường thẳng qua D song song với BC cắt AC tại H. Tia phân giác góc BAC cắt

đường tròn (O) tại E và cắt DH tại F ( E khác A). Gọi M là trung điểm củ AD. Tia CF cắt đường

tròn (O) tại N. Chứng minh rằng :

a) E, D, N thẳng hàng.

b) C, M, N thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có: ADF ABC (đồng vị và DH // BC)

mà ANF ABC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

Do đó: ADF ANF => Tứ giác AFDN nội tiếp

FND FAD

Mà CAE FAD (AE là tia phân giác của góc BAC)

Và CAE CNE ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Do đó: FND CNE Hai tia ND, NE trùng nhau

Vậy ba điểm E, D, N thẳng hàng.

b) Gọi K là giao điểm của CN và AB


Tam giác ACK có AF là đường phân giác KF AK

CF AC (1)

Tam giác KBC có DF // BC KF KD

CF BD ( định lý Talét) (2)

Mà AC = BD (gt)

Từ (1), (2) và (3) có AK = KN => K là trung điểm của AD nên K = M.

Vậy C, M, N thẳng hàng.

Bài 9:

Cho tam giác ABC (AB < BC) nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cạnh BC sao cho

MC = AB. Vẽ đường thẳng qua M song song với AC cắt AB tại N, cắt tia phân giác của góc

ABC tại I. Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BM. Chứng minh rằng ba điểm A, I, K thẳng

hàng.

Lời giải:

Gọi T là giao điểm của AI và BC.

Tam giác TAC có MI // AC TI TM

AI MC (1)

Tam giác BAT có BI là đường phân giác (gt) TI BT

AI AB (2)

Mà MC = AB (3)


Từ (1), (2) và (3) ta có BT = TM => T là trung điểm của BM nêm T = K

Vậy ba điểm A, I, K thẳng hàng.

Bài 10:

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến. Một đường thẳng song song với BC cắt AB,

AC lần lượt tại D và E, BE cắt CD tại O. Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của AM và DE, N là giao điểm của OM và DE

Tam giác ABM có DN // BM AN DN

AM BM

Tam giác ACM có NE // MC AN NE

AM MC

Mà BM = MC. Do đó DN = NE => N là trung điểm của DE.

Mặt khác xét tam giác OMC có DK // MC DK OK

MC OM

Tam giác OBM có KE // BM KE OK

BM OM

Do đó DK = KE => K là trung điểm của DE. Do vậy N = K

Ta có A, N, O, M thẳng hàng.


Bài 11:

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn (O) đường kính

AB và các tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến cắt Ax, By

theo thứ tự tại C và D. Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Gọi E là trung điểm của MH.

Chứng minh rằng ba điểm B, E, C thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi K là giao điểm của MH và BC

CA, CM là các tiếp tuyến của nửa đường tròn (O)

CA = CM, CO là tia phân giác góc ACM.

Tam giác CAM cân tại C, CO là đường phân giác nên cũng là đường cao CO AM

Tam giác MAB nội tiếp đường tròn đường kính AB

MAB vuông tại M.

Ta có: ,CO AM BM AM CO // BM.

Xét tam giác HBM và tam giác AOC có:

090 ,BHM OAC MBH COA (OC // BM)

Do đó: ( . )MH BH

HBM AOC g gAC OA


Tam giác ABC có AC // KH (AC A , )KH BH

B KH ABAC AB

AB = 2OA nên 2 2 2

KH BH MH MHKH

AC OA AC nên K là trung điểm của MH

Ta có K = E. vậy ba điểm B, E, C thẳng hàng.

Bài 12:

Cho đường tròn…tâm O. Từ 1 điểm P nằm ngoài …, ta kẻ đến … hai tiếp tuyến PA và PB.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên đường kính BC. M là trung điểm AH.

Chứng minh rằng ba điểm P, C, M thẳng hàng.

Lời giải:

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng CA và BP.

P/ là giao điểm của hai đường thẳng CM và BI.

Như vậy, để chứng minh ba điểm P, C, M thẳng hàng, ta chỉ việc chứng minh P = P/.

Thật vậy, ta có: 090BAC

Suy ra: 090BAI

Tam giác BAI vuông tại A, nên: 090AIB ABI BAI

AIB ABI BAP PAI

AIB PAI (vì tam giác PAB cân tại P)


Suy ra AP = PI

Mặt khác: AP = PB, nên PI = PB

Như vậy: P là trung điểm BI (1)

Lúc này ta cần chứng minh P/ cũng là trung điểm BI.

Thật vậy, ta có: / / / /

,AM CM MH CM AM MH

CP CPP I P B P I P B

Mặt khác: AM = MH, do đó : P/I = P/B

Như vậy, P/ là trung điểm BI (2)

Từ (1) và (2) ta nhận được P = P/

Kết luận: ba điểm P, C, M thẳng hàng.

Bài 13:

Cho đường tròn (O;R), điểm A ở ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai

tiếp điểm) và cát tuyến AMN ( AM < AN). Vẽ dây BD của đường tròn (O) và BD song song với

MN. Gọi I là tring điểm của MN. Chứng minh rằng C, I, D thẳng hàng.

Lời giải:

Cách 1:

I là trung điểm của MN OI MN . Ta có 090ABO AIO ACO

B, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA

A, B, I, O, C cùng thuộc một đường tròn


AIB ACB

Ta có BD // MN (gt) IBD BIA

Và OI MN , BD // MN

OI BD

OI đi qua trung điểm của BD

Do đó OI là đường trung trực của đoạn thẳng BD

tam giác IBD cân tại I

IDB IBD

Mà BDC BCA , do vậy BDI BDC

Hai tia DI, DC trùng nhau.

Vậy C, I, D thẳng hàng.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN :

Bài 14 :

Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa đường tròn

(O) vẽ nửa đường tròn (I) đường kính OA. C là điểm trên nửa đường tròn (I). Tia OC cắt nửa

đường tròn (I) ở D. Đường thẳng qua D vuông góc với AB cắt AC tại E. Đường tròn ngoại tiếp

tam giác ODE cắt nửa đường tròn (O) ở M (M khác D). Chứng minh rằng A, E, M thẳng hàng.

phƯƠng phÁp thÊm ĐiỂm -...

Documents