phuong trinh ham

PHƯƠNG TRÌNH HÀM - BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ

VĂN PHÚ QUỐC GV. Trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm 0982 333 443 1

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH HÀM THI QUỐC GIA, QUỐC TẾ VĂN PHÚ QUỐC I. PHƯƠNG PHÁP THẾ BIẾN 1. Tồn tại hay không hàm :f sao cho với mọi ,x y ta có:

, min ,f xy max f x y f y x ?

2. (Australia 1992). Tìm tất cả các hàm số 2:3

\f

thỏa mãn:

22 9963 2

xf x f xx

, 2

3\x

.

3. (VMO 2000 , bảng B). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn điều kiện: 2 41 2 , x f x f x x x x

4. Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn các điều kiện:

0 2012 ; 20132

2 cos ,

f f

f x y f x y f x y x y

.

5. (Belarus 1995). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn

, ,f f x y f x y f x f y xy x y . 6. (VMO 2005). Xác định tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

, ,f f x y f x f y f x f y xy x y .

7. (Australia 1995). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn các điều kiện sau:

112

f ; 3 3 , ,f xy f x f f y f x yy x

.

8. (CAMO 2000). Tìm tất cả các hàm f xác định trên thỏa mãn:

2 2 22 , ,f x y x yf x f y x y .

9. (USAMO). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

2 2f x y xf x yf y , ,x y . 10. (Shortlist IMO 1979). Cho hàm số :f thỏa mãn điều kiện: , ,f xy x y f xy f x f y x y .

Chứng minh: f x y f x f y , ,x y . 11. Tìm tất cả các hàm :f sao cho với mọi , ,m n k ta đều có:

1f km f kn f k f mn .

12. Có hay không một hàm số :f thỏa mãn:

sin sin 2f x y x y , ,x y

13. (VMO 2002 B). Tìm tất cả các hàm f x xác định trên và thỏa mãn điều kiện:



2002 2001 , ,f y f x f x y yf x x y .

14. (Mathematical and Youth 9/361). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn điều kiện

3 2 22 3 , ,f x y y f x y f y f x x y .

15. (AMM). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn điều kiện: 2 2f và

,f x f yx y

f xx y f x f y

y

.

16. (Korea 2003). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn

, ,f x f y f x xf y f f y x y

II. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP 1. Tìm tất cả các hàm số :f thỏa: 1 1f x f x ; 2 2f x f x , x .

2. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

2 2 ,f x y f x y f x f y x y .

3. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn: 2 ,f x y f x f y xy x y .

4. (BMO 1979). Tìm tất cả các hàm :f thỏa: , ,f x f y f x f y x y .

Chứng minh f là hàm hằng.

5. (TST 2005). Tìm tất cả các hàm :f thỏa: 3 3 3 3 3 3f x y z f x f y f z .

6. (China 1996). Cho hàm số :f thỏa mãn điều kiện:

3 3 2 2 , ,f x y x y f x f x f y f y x y .

Chứng minh rằng 1996 1996f x f x , x .

III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ÁNH-TOÀN ÁNH-SONG ÁNH

CỦA HÀM SỐ.

1. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn các điều kiện:

2; 1 1 4; 0 1f f n n f f n n f n .

3. Tồn tại hay không hàm :f thỏa mãn điều kiện: f x f y f x y ,x y ?

4. Cho * *:f thỏa mãn các điều kiện: 2 * ,f m f n mnf m m n .



Chứng minh rằng nếu 22003f a thì a là số nguyên tố.

5. ( Việt Nam TST 1988). Xác định hàm số :f thỏa mãn điều kiện:

,f f n f m n m n m .

6. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn các điều kiện:

(i) f f n f n

(ii) f f m f n f m n

(iii) f nhận vô số giá trị.

7. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện: 3 3 ,f x f y y f x x y .

8. Chứng minh rằng tồn tại vô số các hàm số * *:f thỏa mãn các điều kiện:

(i) f f n n *n (ii) f n n *n .

9. (Irish 2002). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện: f x f y f x y ,

,x y .

10. Chứng minh rằng không tồn tại song ánh *:f thỏa mãn điều kiện:

*3 ,f mn f m f n f m f n m n

11. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện: 2 3 8 ,f f n f n n n .

12. (Balkan 1997). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

2 , ,f xf x f y f x y x y

13. ( Việt Nam TST 2002). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn:

2 , ,f f x y x f f y x x y .

14. (IMO 1992). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn điều kiện:

2 2 , ,f x f y f x y x y .

15. ( Việt Nam TST 2004). Tìm tất cả các giá trị của a sao cho tồn tại duy nhất một hàm

:f thỏa mãn điều kiện: 2 2f x y f y f x ay , ,x y .

16. ( Đề nghị IMO 2002). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn:



2f f x y x f f y x , ,x y .

17. (Indonesia TST 2010). Xác định tất cả các số thực a sao cho có một hàm số thỏa mãn: . ,x f y a f y f x với mọi ,x y . 18. (MEMO 2009). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn đẳng thức:

f xf y f f x f y yf x f x f y , với mọi ,x y . 18. (Journal of Mathematical and youth 5/ 2011). Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập , lấy giá trị trong và thỏa mãn phương trình:

2f x y f y f f x y , với mọi ,x y . 19. (Iran TST 2011). Tìm tất cả các song ánh :f sao cho:

2 2 2f x f x f y f x f y ,với mọi ,x y .

20.(Journal of Mathematical and youth 01/2011).Với mỗi *n , kí hiệu na là số tất cả các song ánh : 1, 2,3,..., 1, 2,3,...,f n n thỏa mãn điều kiện với mọi 1,2,3,...,k n thì

f f k k . Chứng minh:

a) na là số chẵn với mọi 2n ; b) Với mọi 10n và 3n thì 9 3n na a . 21. Xét tất cả các hàm đơn ánh :f thỏa mãn điều kiện: 2f x f x x , với mọi x . Chứng minh rằng hàm số f x x là một song ánh.(19) 22. Xét tất cả các hàm , , :f g h sao cho f là đơn ánh và h là song ánh thỏa mãn điều kiện f g x h x , với mọi x .Chứng minh rằng g x là một hàm song ánh.

23. Xét tất cả các hàm : 0f thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

(i) f x y f x f y , với mọi , 0x y

(ii) Số phần tử của tập hợp 0, 0x f x x là hữu hạn. Chứng minh rằng f là một hàm đơn ánh. IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1. Tìm tất cả các hàm đơn điệu :f thỏa mãn , ,f x f y f x y x y .

2. (Journal of Mathematical and youth T8/295). Tìm tất cả các hàm số : 1; 1;f

thỏa mãn: , , 1;f xf y yf x x y .

3. (Greece 1997). Giả sử : 0;f thỏa mãn ba điều kiện:

(i). f tăng nghiêm ngặt (ii). 1 , 0f x xx

(iii). 1 1, 0f x f f x xx

.

Tính 1f .



4. Hãy tìm các hàm tăng thực sự :f thỏa mãn 2 , ,f xf y yf x x y .

5. (IMO 2002). Tìm tất cả các hàm :f thỏa:

f x f z f y f t f xy zt f xt yz .

6. (Bulgaria 1996). Tìm tất cả các hàm tăng thực sự :f thỏa mãn:

2

, xf x xf x

.

7. (Iran 1997). Cho hàm số :f là hàm giảm thỏa mãn:

f x y f f x f y f f x f y f y f x , x .

Chứng minh rằng: , f f x x x .

V. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

1. Tìm tất cả các hàm f x xác định trên sao cho:

a) 2012 ,f x f x x ; f x liên tục tại 0.

b) 2 ,1

xf x f xx

; f x liên tục tại 0.

2. Tìm tất cả các hàm f C và thỏa mãn điều kiện:

4 9 2 6f x f x f x , x

3. Tìm tất cả các hàm f x xác định trên , liên tục tại 1 và 2012 ,f x f x x .

4. Tìm tất cả các hàm f C và thỏa mãn điều kiện sin ,f x f x x .

5. Tìm f C và thỏa điều kiện: 2012 ,xf f x e x .

6. (Bulgaria 1997). Tìm :f liên tục và thỏa mãn: 2 1 ,4

f x f x x

.

7. (VMO 2001). Cho hàm số 2

21

xg xx

. Hãy tìm các hàm f x xác định, liên tục trên khoảng

1;1 và thỏa mãn hệ thức 22 21 1 . , , 1;1x f g x x f x x y .

8. Cho a . Tìm tất cả các hàm f x xác định và liên tục trên sao cho:

, ,f x y f x f y axy x y



9. Tìm f C thỏa mãn: 1 1f ; 2 2 , ,f x y f x f y x y .

10. Tìm f C sao cho f xy f x f y , ,x y .

11. Tìm tất cả các hàm f x xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiện

, ,xf f x f y x yy

.

12. Tìm tất cả các hàm f x xác định, liên tục trên 1;1 và thỏa mãn điều kiện

2 21 1 1;1, ,f x f y f x y y x x y .

13. Tìm tất cả các hàm f x xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiện:

, ,

2 2f x f yx yf x y

.

14. Tìm tất cả các hàm f x xác định và liên tục trên và thỏa mãn điều kiện:

, ,

2f x f y

f xy x y .

15. Tìm hàm f x xác định và liên tục trên thỏa mãn điều kiện:

2 , ,1 1f xy x y

f x f y

.

16. Tìm tất cả các hàm f x xác định và liên tục trên * thỏa mãn điều kiện:

2 2 , , ,1 1 1 1 0f x y x y

x y f x f y

.

17. (KOMAL- A.286, Hungary 2002). Tìm tất cả các hàm liên tục :f thỏa mãn:

, , ,11 1

0f x f yx yf x y xy

xy xy

.

18. (Bulgaria 1998). Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0;1 sao cho:

(i). 0 1 0f f (ii). 2 , , 0 12 ;33

x yf x f y f x y

.



19. (Romania 1997). Tìm tất cả các hàm liên tục : 0;1f sao cho:

2 2 2 2 2f x y f x y f xy , ,x y

20. Tìm tất cả các hàm liên tục : 0,1f thỏa 1 1 , 0,12 2 2

x xf x f f x .

21. Tìm tất cả các hàm :f liên tục thỏa mãn:

sin sin cos , ,f x y f x f y x y x y x y ..

22. Cho f là hàm xác định và liên tục trên 0;1 sao cho với mỗi 0;1x tồn tại h với

0 1x h x h và 2

f x h f x hf x

. Tìm hàm số f .

23. (VMO 2006, bảng B). Tìm tất cả các hàm f x xác định, liên tục và nhận giá trị trong

thỏa mãn điều kiện: 8 0, , ,f x y f y z f z x x y z .

24. Tìm tất cả các hàm :f liên tục tại 0x và thỏa mãn nf nx f x nx

( trong đó 1n là số tự nhiên cố định nào đó).

VI. PHƯƠNG SỬ DỤNG ĐẠO HÀM

1. (VMS 1999). Xác định hàm số f x thỏa mãn điều kiện:

2 , 0f x h h x hf x h

2. Tìm f x D thỏa 2.sin cos sin f x x f x x x x .

4. (VMS 2000). Tìm f D thỏa: 2 , ,f x y f x f y xy x y

5. Tìm tất cả các hàm f x D thỏa mãn điều kiện:

,1

f x f yf x y x y

f x f y

.

6. (VMS 2003). Tìm tất cả các hàm f xác định trên đoạn 0;1 , khả vi trên khoảng 0;1 thỏa:

(i). 0 1 1f f ; (ii). 2003 2004 2004 0;1f x f x x .

7. Tìm tất cả các hàm :f có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn:

3 2 3 f x f x x .

8. Tìm tất cả các hàm f xác định trên thỏa mãn điều kiện:

2 3 , ,xf x f y y x y



9. Tìm f D thỏa , ,f x f y f y f x x y .

10. Cho : 0;f khả vi tại 1 và 1 , 0f xy f f x f y x y .

Chứng minh rằng: f x khả vi và tìm f x .

11. Tìm tất cả các hàm : 1;1f khả vi và thỏa mãn:

, 1

; , 1 1x yf x f y f x yxy

12. Tìm tất cả các hàm f x xác định và khả vi 3 lần trên thỏa: 0 0f , 1 2f e ,

11f e và 0 f x f x x .

13. Tìm hàm khả vi f x sao cho 2 30; 3 1x f x fx x x và 1 1f , 2 1f .

14. Giả sử 2 ,f x C với ,x h bất kỳ ta có đồng nhất thức:

2hf x h f x hf x

. Chứng minh rằng: 2f x ax bx c .

15. Cho a . Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn:

(i). f có đạo hàm trên ; (ii). 1

f x f yf ax a y

x y

yx .

16. (VMS 1995). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn các điều kiện sau:

(i). ,f x f yx xf y y (ii).

0lim 1x

f xx

.

17. Tìm tất cả các hàm , : 0;f g thỏa mãn các điều kiện sau:

(i). f có đạo hàm trên (ii). g xf x

x ;

0f x

g x xx

.

18. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn:

(i). f có đạo hàm trên (ii). ,f x y f x y y f x y f x y x y .

19. Tìm tất cả các hàm ,f x g x C thỏa mãn điều kiện:

2 , ,mM yf y f x f x y x x x y

trong đó ,M m là hai số dương cho trước.



20. Tìm f x C thỏa mãn điều kiện: thỏa mãn điều kiện:

2003f a f f cd f b với bộ bốn số , , ,a b c d theo thứ tự lập thành một cấp số

cộng.

VII. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA HÀM SỐ 1. (IMO 1983). Tìm hàm số :f thỏa mãn hai điều kiện sau:

lim 0x

f x

và , ,f xf y yf x x y .

2. (IMO 1994). Giả sử S là tập hợp các số thực lớn hơn 1 . Tìm tất cả các hàm :f S S sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:

(i). f x f y xf y y f x yf x x S

(ii). f xx

là hàm tăng thực sự trên các khoảng 1;0 , 0; .

3. (IMO 1996). Tìm tất cả các hàm số :f sao cho

,f m f n f f m f n m n .

4. (AMM, E984). Tìm tất cả các hàm :f sao cho 2 2,f f x x x . 5. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn:

(i). , ,f f x y xf y f f x f y x y (ii). f có một điểm bất động.

6. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn: 1. , ,f yf x y f x e x y . VIII. BẤT ĐẲNG THỨC HÀM 1. Tìm hàm số :f thỏa mãn điều kiện: 2012 , ,x yf x y f x f y x y . 2. (VMO 1994). Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn:

1 1 1 , , ,2 2 4

f xy f xz f x f yz x y z .

3. (VMS 2004). Tìm tất cả các hàm số f x xác định trên tập và thỏa mãn các điều kiện:

(i) 2004 , x xf ex (ii) , ,f x f y xf y yx . 4. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn hai điều kiện: (i) , x xf x (ii) , ,g x g yx xf y y . 5. (Russia 2000). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện: 3 2 3 , , ,f x yf x y f y z z x y zf z x

6. (Eotvos - Kurschak 1979). Cho hàm số :f thỏa: f x x và , ,f x fx y xf y y .

Chứng minh rằng: ,f x x x . 7. (Crux 2003 - Canada). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:



33 ,x f x f xf x x x .

8. (Bulgaria 1997). Tìm hàm số : 0; 0;f thỏa mãn bất đẳng thức hàm:

2 , , 0;f x y f f xf y yx x .

9. (Japan 2007). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn hai điều kiện sau đây:

(i). 2

f x f yf x y

; (ii).

, ,f x y

x yx y

f x f yx y

10. Cho hàm số :f thỏa mãn điều kiện: ,yf x y f x x yx

.

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 1

12 2

2

nn i

i

n nf f

.

IX. PHƯƠNG PHÁP THÊM BIẾN 1. (Idia 2004). Tìm các hàm số :f thỏa mãn điều kiện: sin sin , ,f x y f x f y c x y x y , c là hằng số lớn hơn 1.

2. ( Đề nghị IMO 2005). Tìm tất cả các hàm : 0; 0;f thỏa mãn điều kiện:

2 , , 0f x f y f x yf x x y . 3. (Đề nghị OLP 30/4/2009). Cho hàm số f liên tục trên và thỏa mãn điều kiện: sin sin , ,f x f y f x y x y x y .

Chứng minh rằng:

1 1 1 21 2 1 4 1 6f x f x f x

.

4. (OLP 30/4/2011). Tìm tất cả các hàm : 1; 1;f thỏa mãn điều kiện:

, , 1;f xf y yf x x y . 5. (OLP 30/4/2004). Tìm tất cả các hàm liên tục :f thỏa:

, ,f xf y yf x x y X. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện: 2 3 ,f f n f n n k n

( k là số tự nhiên cho trước) 2. Tìm tất cả các hàm :f sao cho với mọi n :

6 3 4 2013f f f n f n f f n n .

3. (Balkan 2002). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn với mọi n sao cho:

2 2011f f n f n n hoặc 2 2012f f n f n n .

4. Cho :f thỏa mãn điều kiện: 0 1; ,f f f x x f x x .

Tìm mọi số nguyên 1n sao cho 0nf chia hết cho 20 . Ở đây 1n nf x f f x .

5. Tìm tất cả các hàm :f thỏa:



2012 2012 2013 20132011 2011 2012 .2012f f x f x x , x . 6. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

, , ,f n f m f m n f mn m m n n .

7. (IMO Shortlist 1992). Cho ,a b . Tìm tất các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

,f f x af x b a b x x .

8. Tìm tất cả các hàm : 0;1 0;1f thỏa mãn điều kiện: 2 , 0;1f x f x x x . XI. PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TẬP HỢP 1. (Romania 1986). Cho :f là một toàn ánh và :g là một đơn ánh. Biết rằng

f n g n với mọi n . Chứng minh rằng: f g . 2. Cho song ánh :f . Chứng minh rằng tồn tại bộ ba số , , ,a c b cb a sao cho

2f a f c f b . 3. (IMO 1999). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

1f x f y f f y xf y f x , ,x y .

4. (Korea 1999). Tìm tất cả các hàm * *:f biết rằng tồn tại *0

n sao cho

01f n và f n f n f n với mọi *n .

XII. PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP ( ĐÁNH GIÁ BẤT ĐẲNG THỨC) 1. (Baltic MO). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: (i). 0 0f , 1 1f ; (ii). 20 1 ...f ff ;

(iii). 2 2 2 *2 , ,f x y f x f y x y

2.(Austrian 2002). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: (i). 22f x f x (ii). *2 2 , ,f x y f x f y x y .

3. (Cono Sur Olympiad 1995). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: (i). Nếu x y thì f x f y (ii). *2 , ,f yf x x f xy x y . 4. (Korea 1996). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn: (i). 2 2 2 22 f m n f m f n ,m n (ii). 2 2f m f n nm .

5. Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: 1997 98 232f n f n n

với ...m

m

f n f f f n

.

6. Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn:

(i). 2 2f ;

(ii). *, ,f mn f m f n m n thỏa ; 1m n ;



(iii). f m f n , m n .

7. Cho hàm số * *:f thỏa mãn:

(i). f xy f x f y (ii). f x x (iii). 1995 95f f .

Tìm giá trị nhỏ nhất của 135f .

8. Tìm tất cả các hàm số * *:f thỏa mãn với mọi *; ;x y z :

1f xy f xz f x f yz .

9. Đặt 1 52

q và gọi :f là hàm số thỏa mãn điều kiện 1 f n qn n

q .

Chứng minh rằng f f n f n n n .

XIII. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN 1. (IMO 1997). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: 1f f n f n n . 2. (Canada 2002). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn:

2 2 , ,xf y yf x x y f x y x y .

3. Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa 3 2 2 2 22 f m n f m f n f m f n .

4. Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn điều kiện:

f m f n f f m f n , ,m n .

XIV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG SỐ HỌC 1. Tìm tất cả các hàm :f sao cho 2f x y chia hết cho 2x f y *,x y .

2. (Iran TST). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn: tồn tại số *k và số nguyên tố p sao cho với mọi n k , f n p f n và nếu n chia hết cho m thì 1f n chia hết cho

1f m .

3. (IMO Shortlist 2004). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: 2 2m n chia hết cho 2f m f n .

4. Cho hàm số f n xác định trên tập hợp các số nguyên dương * thỏa mãn các điều kiện:

(i) 1f p nếu p nguyên tố.

(ii) * ,f mn mf n nf m m n

Hãy tìm giá trị n sao cho f n n .

5. Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn: 2 2x f y f x y với mọi *,x y .

6. (Iran TST 2005). Tìm tất cả các hàm :f thỏa mãn tồn tại số k và một số

nguyên tố p sao cho với mọi n k , f n p f n và nếu m n thì 1 1f m f n .

7. (IMO Shortlists 2004). Tìm tất cả các hàm * *:f thỏa mãn



22 2f m f n m n với mọi *,m n

8. (USA TST). Cho p là một số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả các hàm số :f thỏa mãn

đồng thời: (i). f m f n nếu modm n p (ii). f mn f m f n với ,m n .

9. Tìm tất cả các số nguyên không âm n nhỏ nhất sao cho tồn tại hàm số : 0;f

khác hằng số thỏa mãn: (i). f xy f x f y (ii). 2 2 0;1;...2 ;f x y f x f ny , ,x y

Với số n tìm được, tìm mọi hàm số thỏa mãn. XV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG HÀM SỐ VÀ CƠ SỐ ĐẾM 1. (IMO 1988). Xác định f trên tập hợp các số nguyên dương như sau: (i). 1 1, 3 3f f

(ii). 2 , 4 1 2 2 1 , 4 3 3 2 1 2f n f n f n f n f n f n f n f n .

2. (IMO Shortlist 2000). Cho hàm * *:f thỏa mãn: (i). 4 2f n f n f n (ii). 4 2 4 1f n f n (iii). 2 1 2 1f n f n 3. Cho hàm số *:f thỏa mãn các điều kiện:

1 1f và 1

1 , 2 12

1 , 22

nf n m

f nn

f n m

Hãy tìm các giá trị của n sao cho 2004f n .

4. Cho hàm số * *:f thỏa mãn các điều kiện:

(i). 1 1f (ii). 2f n f n (iii). 2 1 2 1f n f n .

Tìm giá trị lớn nhất của f n với 1 1994n .

5. (IMO 1988) Cho hàm f xác định trên tập các số nguyên dương * sao cho:

1 1; 3 3; 2 ; 2 2f f f n f n f n

4 1 2 2 1 ; 4 3 3 2 1f n f n f n f n f n .

Hãy xác định các số nguyên dương 1988n sao cho f n n .

phuong trinh ham

Documents