全学体験ゼミナール

リベラルアーツとしての音楽

音楽と物理学

－音楽・楽器を物理学で理解する－

教養学部統合自然科学科

（物質基礎科学コース）

前田 京剛（MAEDA, Atsutaka）

時間割コード：30314 2016年夏学期月曜５限 513教室

前田研究室HP： http://maeda3.c.u-tokyo.ac.jp

自己紹介

物質科学の本質

物質の構成要素 → well known

NHKスペシャル 「神の数式」（全２回） （2013.9.21-22 放送）

物質の世界の複雑さ，多様性，意外性

「森羅万象全てを一つの数式で表現する」

素粒子物理学： 「標準理論」，「統一場理論」，「超弦理論」 etc.

物質の構造 → well known

構成要素が従う方程式→ well known

それでも，誰も，銅酸化物で高温超伝導が発現することを予言できなかった！

現代の物質科学：対象の更なる広がり生体，高分子，複雑系，人工量子構造，原子と光の相互作用 etc.

（２） 規準振動－弦・気柱・膜等の振動－（振動・波動論の「復習」）

（３） 音律

（４） 擦弦楽器－ヴァイオリンの音はどうして出るか？－

outline

（６） 金管楽器－技術書は正しいか？－

（５） ピアノ－弦をたたく力・引っ張っている力はどのくらいか？－

（1） 音楽とは

（８） 太鼓・ティンパニ－膜や立体の規準振動－

（７） 木管楽器－円筒vs円錐，指孔の効果－

（A） デジタルサンプリング

音律についての解説が主。あまり面白くない。

（２） 「新版 音楽の科学」：ホアン・G・ローダラー著／高野光司・安藤四一訳（2014，音楽の友社）

音の物理学的特性と心理学・生物学的結びつきを科学的に検証・議論。

参考書

楽器の物理学の決定版。非常に面白い。

（３） 「楽器の物理学」：N.H.フレッチャー・T.D.ロッシング著／岸憲史・久保田秀美・吉川茂訳（2002，シュプリンガー・フェアラーク東京）

（1） 「音楽の物理学」：ウッド著／石井信生訳（1976，音楽の友社）

（４） 様々なWebサイト

§1. 音楽とは？

人の耳に音として聞こえるのは空気の振動が伝わってくるもの：波動

音楽制作技術メモ（芳川よしの）

大きさ：波の振幅

kHz2020可聴音：

音楽とは？

波の波長

波の振動数

波の速度

fvfv

音の三要素

音楽の三要素

音色： 倍音の混ざり具合

高さ： 波の振動数

ハーモニーメロディーリズム

http://yosshibox-tech.hatenablog.com/entry/2013/10/16/1901451).「物理現象に人間が規則性や芸術性といった“美”を見出して楽しむ為の物」ただし、1)の他に、作為的に生み出された音も音楽と呼びたい。2).「気持ちを自然言語以外で伝えるコミュニケーションのための音、言語。」3). 「2).を達成する為の機能性をもった音」

→日本の多くのリスナーが求めているのは 2). と 3).ただし 1). が分からないミュージシャンは大切な何かを失っています！ミュージシャンは美を追求する存在！

音とは？“新編 物理基礎”（東京書籍）

色々な音

“音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

“音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

“音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

§2. 規準振動－弦・気柱・膜等の振動－

（５） 弦鳴楽器（ピアノ等）：ハンマーで弦をたたく→弦の振動

（１） 気鳴楽器（金管楽器）：管の中の気柱の振動

（８） 体鳴楽器（木琴・鉄琴）：木・金属とパイプの中の気柱の振動，ピッチあり

（７） 膜鳴楽器（ティンパニ）：膜とケルト内の空気の振動→明確なピッチ感

（６） 膜鳴楽器（太鼓）：膜の振動，ピッチなし

（３） 弦鳴楽器（撥弦楽器）：弦の振動（ギター，リュートetc.）

（１０） 電鳴楽器：様々な電子楽器等

様々な楽器 （音大のコース：鍵盤楽器・管楽器・弦楽器・打楽器・声楽）

気鳴楽器・弦鳴楽器・膜鳴楽器・体鳴楽器・電鳴楽器

振動体による分類 （E. von Hornbostel and C. Sachs）

（９） 体鳴楽器（トライアングル等）：金属の振動，ピッチなし

（２） 気鳴楽器（木管楽器）：管の中の気柱の振動（リードの有無，指孔）

（４） 弦鳴楽器（擦弦楽器）：弦の振動（ヴァイオリンetc.）

弦の振動

xx xx

)(xu )( xxu

T

'T

2

22

2

2 ),(),(x

txuvt

txu

2/1

Tv

弦の規準振動

張力の大きさ:T線密度:

位相速度

（例）長さＬ，両端固定の場合

xktAtxu mmmmm sin)cos(),(

mL

km

mm vk

波動方程式

mm k

2 波長

mL

m2

定常波の「波長」の倍

境界条件 @ x=x0

0),( 0 txu固定端：

0),( 0

x

txu自由端：

index:モードのm

波動方程式の一般解（D’Alembert）

)()(),( vtxGvtxFtxu 任意の関数:,GF

で進む波軸の正方向に速さvxvtxF :)(

で進む波軸の負方向に速さvxvtxG :)(

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%90%86%E7%A7%91_%E7%89%A9%E7%90%86I_%E6%B3%A2/%E9%9F%B3%E6%B3%A2%E3%81%A8%E6%8C%AF%E5%8B%95

一般の振動は規準振動の重ね合わせ

定常状態で生き残る波（定在波・定常波）

Fourier 級数展開

記号クロネッカー :,nm

（直交性）

きる。）は，次の様に展開で（周期なる滑らかな周期関数一般に， )()( zFzF

10

2cos2sin)(n

nn znBznABzF

zezFCz

z

zni

n d)(1 0

0

2

zznzFBz

zn d2cos)(2 0

0

nm

z

zzzmzn

,2d2cos2cos0

0

nm

z

zzzmzn

,2d2sin2sin0

0

0d2sin2cos0

0

zzmznz

z

指数関数を用いた表現

zni

nneCzF

2

)(

zzFBz

zd)(1 0

00

mn

z

z

zminizee ,

22

d0

0

zznzFAz

zn d2sin)(2 0

0

（直交性）

m=1 m=2 m=3 m=4 m=5

m=6 m=7 m=8 m=9 m=10

An example of Fourier series expansion of a periodic function

(ex)

弾いた弦の振動

）初期条件（ 0t)()0,( xfxu

)()0,( xgtxu

vyx

vtxxg

vvtxfvtxftxu )(

21)()(

21),(（given）

0)( xg)(xf

（D’Alembertの解）

（規準振動の重ね合わせ）

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

続弾いた弦の振動

（D’Alembertの解）

（規準振動の重ね合わせ）

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

音色

“音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ） “音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

“音楽の物理学”（A. ウッド著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

トピックス：細い棒の振動

4

42

2

2 ),(),(x

txuEKt

txu

ヤング率:E

回転半径:K

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

気柱の振動

気柱の運動：やはり一次元の波動方程式になる（導出略）

ただし，空気の分子の動きの方向は，波の進む方向と同じ（縦波・粗密波）

“振動・波動”（有山正）（裳華房 ）

August A. Kundt (1839-1894)（図はWikidedia）

Kundt の実験 （1866）

一定間隔でコルク粉末がヒダ状の図形を作る

音速の測定が目的

https://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%AB%98%E7%AD%89%E5%AD%A6%E6%A0%A1%E7%90%86%E7%A7%91_%E7%89%A9%E7%90%86I_%E6%B3%A2/%E9%9F%B3%E6%B3%A2%E3%81%A8%E6%8C%AF%E5%8B%95

気柱の規準振動

（片端開管） （両端開管）

基本振動数の整数倍基本振動数の奇数倍

§３. 音律

１オクターヴ：２倍

自然倍音列

（図：Wikipedia）

倍音の周波数と平均律の音程を視覚的に現した図。赤色が平均律、青色と数字が倍音の次数を現している。渦巻きの１周が1オクターブに対応する。（後出）

完全５度：３/２倍

長３度：5/4倍

C=（log(R) / log(2)）*1200セント値：半音を100等分

完全５度を2:3，長３度を4:5に取って長音階を，完全５度を2:3，短３度を5:6に取って短音階を得る方法。

音律入門：http://mvsica.sakura.ne.jp/eki/ekiinfo/tuning/just.pdf

純正律

物理法則：規準振動は基本周波数とその整数倍の高調波の重ね合わせ

周波数の比が単純な整数である純正音程のみを用いて規定される音律から始まる

(Just intonation) C=（log(R) / log(2)）*1200セント値：半音を100等分

物理 vs 数学音階をつくる

C-D D-E E-F F-G G-A A-H H-C音程比 8:9 9:10 15:16 8:9 9:10 8:9 15:16セント値 204 183 112 204 182 204 112

A-H H-C C-D D-E E-F F-G G-A音程比 8:9 15:16 9:10 8:9 15:16 8:9 9:10セント値 204 112 182 204 112 204 182

構成音 音程比

I C-E-G 4:5:6II D-F-A 27:32:40III E-G-H 10:12:15IV F-A-C 4:5:6V G-H-D 4:5:6VI A-C-E 10:12:15VII H-D-F 45:54:64

構成音 音程比

I A-C-E 10:12:15II H-D-F 135:160:192III C-E-G 4:5:6IV D-F-A 10:12:15V E-G-H 10:12:15VI F-A-C 4:5:6VII G-H-D 108:135:160

純正律ハ長調長音階

純正律イ単調自然短音階

純正律ハ長調長音階各和音の音程比 純正律イ単調自然短音階各和音の音程比

主要三和音はうなり無し

全音２種類，半音４種類

ハ長調に調律した鍵盤楽器ではニ短調が演奏できない，ニ短調に転調できない。平行調（イ短調）にすら，転調できない。

属調・下属調への転調が好まれる。（cf）ソナタ，ソナタ形式

https://sites.google.com/site/messiahhirakata/zakkityou/mathphys

4:5:6の３個の正弦波の合成 10:11の2個の正弦波の合成

うなり

(Beat)振動数がわずかに異なる2つの波が⼲渉して，振幅がゆっくり周期的に変わる合成波を⽣ずる現象

⾚︓110 Hzの波，緑︓104 Hzの波，⻘︓重ね合わせ波

（図：Wikipedia）

平均率 (Equal temperament)

C-D D-E E-F F-G G-A A-H H-C平均律 音程比 1.1225 1.1225 1.0595 1.1225 1.1225 1.1225 1.0595

セント値 200 200 100 200 200 200 100純正律 音程比 1.125 1.1111 1.0667 1.125 1.1111 1.125 1.0667

セント値 204 183 112 204 182 204 112

１オクターヴを12等分する

倍音の周波数と平均律の音程を視覚的に現した図。赤色が平均律、青色と数字が倍音の次数を現している。渦巻きの１周が1オクターブに対応する。（後出）

（図：Wikipedia）

主要三和音の音程比

4 ： 5.0396842… ： 5.9932283…

（100セント）半音： 2 1.0595… .

１自由度系の単振動

滑らか

k mkx

dtxdm 2

2

020

xx mk

0固有振動数

)cos()( 0 tAtx ：振幅A

：初期位相 積分定数は初期条件から決まる

tDtCtx 00 sincos)(

復元力と慣性の比で決まる

22 )()()( 振動数振幅単振動のエネルギー

一般のポテンシャル U(x) の平衡点近傍の運動

x0x

)(xU20

22

0)(1

dxxdU

m の単振動になる

単振動は自然現象に極めて普遍的な運動

titi FeEe 00

m

§４. 擦弦楽器－ヴァイオリンの弦は何故鳴るか？－

１自由度系の減衰振動

dtdxmkx

dtxdm 2

2

抵抗（ダンピング）

k m

)0(

020

xxx

振動解があるのは，ダンピングが小さい時のみ（それ以外は振動せずに減衰）

0

ダンピングの効果

（１）固有振動数を下げる

（２）やがては停止してしまう（不可逆な過程：振動解でない場合も含めて全て）

寿命（時定数）

21

)cos()( 1 tAetx t

2201

力学的エネルギー E の散逸

)0(22

xmEdtd

１自由度系の強制振動

tFdtdxmkx

dtxdm cos2

2

抵抗（ダンピング）

k m

)0(

振動外力 tF cos

tiemFzzz

20

)Re(zx 一般解

同次の一般解重要でない

非同次の特解これが重要

)()cos()( 1 txtAetx st

非同次の特解

)cos(sincos)(

tA

mFtAtA

mFtx abels

外力と同位相in phase

外力と逆位相out of phase abA

ダンピングがあると位相がずれる

定常状態では， )()( txtx s F

x

“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

定常状態で振動を持続させるためには，振動外力が必要

１自由度系の強制振動

共鳴

22220

2 4)(

1

A

20

2

2tan

外力の振動数が固有振動数に近くなると振幅が非常に大きくなる

0

が吸収するエネルギー： abA)P(

220

2

0 )()()(

PP

Lorentzian

位相振幅Ａ

2/)( は実はこの図の中の注

“振動と波動”（吉岡大二郎）（東大出版会 ）

多くの楽器では共鳴を利用して大きな音を出している

スティック・スリップ運動

「強制振動」で学んだこと：定常状態で振動を持続させるためには，振動外力が必要

では，ヴァイオリン，ヴィオラ，チェロ，コントラバスといった擦弦楽器はどうやって定常的な振動を持続している？（奏者は一定の力で弓を引いているだけ）

スティック（くっつき）－スリップ（すべり）運動：摩擦力が速度の増加で減少することが重要

Hermann L. F. von Helmholtz (1821-1894)（写真はWikidedia）

弦の変位は三角形状速度は二つの値しかとらない

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

理系学生のための演習問題

関連キーワード：自励振動・緩和振動

2/1

Tv

§５. ピアノ－弦をたたく力・引っ張っている力はどのくらいか？

fv

［問］ ピアノで低いC音（65Hz）を鳴らす。ピアノ線の長さが2mであり，その線質量密度が 5g/cmであれば，ワイヤの張力はどれほどか？

mL

m2

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

ハンマーが加える力： 0.8-30 N 程度 (0.1 – 3 kg重程度)

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

1ポンド = 453.59237g 200”ポンド” = 90.718 kg重

ホルンの自然倍音列

“ホルンのテクニック”（G. ミュラー著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

“ホルンのテクニック”（G. ミュラー著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

浜松市楽器博物館のHPより§６. 金管楽器－技術書は正しいか？－

ナチュラルホルンとボーゲン

（片端開管）

（両端開管）

基本振動数の奇数倍

基本振動数の整数倍

管内の気柱が振動

浜松市楽器博物館のHPより

http://www.tcgakki.com/items02/tc025734.html

ナチュラルホルンでは，出ない音がある。モダンホルンでは，それをバルブで補う。

ベートーヴェン：エロイカ交響曲

第一楽章冒頭第二楽章冒頭

ブラームス：交響曲第１番

第一楽章冒頭

両端開管は本当か？

“ホルンのテクニック”（G. ミュラー著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

“ホルンのテクニック”（G. ミュラー著，石井信生訳）（音楽の友社 ）

浜松市楽器博物館のHPより

実は，片側閉管（奇数倍音）とホーンの形状の効果で 1/0.75

閉管 プラス ベル（ホーン）の効果

気柱振動と金管楽器

リヒャルト・シュトラウス 英雄の生涯（冒頭） リヒャルト・シュトラウス ティル・オイレンシュピーゲルの愉快ないたずら（冒頭）

§７. 木管楽器－円筒vs円錐，指孔の効果－

木管楽器vs金管楽器

金管楽器：唇をふるわせて演奏する管楽器（マウスピースのいるもの）

フルート・オーボエ・ファゴット・クラリネット・サキソフォーンetc.

トランペット・トロンボーン・ホルン・チューバetc.

木管楽器：息を吹き込むだけで演奏できる管楽器

指孔をもつ楽器の形状の制約

指孔で音程を変化させる→指孔の位置によって，音質が変化しないようにする必要あり

解析の結果，この要求を満たす形状は，円筒または円錐に限られることがわかる

円筒vs円錐，両端開vs片端開

基本振動数の整数倍

「基本振動数の奇数倍」に近い

基本振動数の整数倍（解析の結果）

オーボエ：片端開円錐

クラリネット：片端開円筒

フルート：両端開円筒

管長が同程度だが，クラリネットのほうがフルートよりも約１オクターブ低い

管長が同じだが，円錐形故オーボエのほうがクラリネットよりも約１オクターブ高い

表は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

図は“楽器の科学”（柳田益造編，サイエンス・アイ新書，ソフトバンク・クリエイティブ，2013，東京）

指孔の効果図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

開いた穴を持つ管の音響的長さの減少分

=ℓ

:端補正Δ

穴の面積とパイプの面積を等しいととれば∆2∆

Δはパイプの直径の約0.3倍，Dはパイプの直径よりも大きいので

円錐形楽器：基本音と次の倍音は１オクターブ→12半音を指孔で出す必要

円筒形楽器：基本音と次の倍音は12度→20半音を指孔で出す必要

「オクターブ・キー」の存在が不可欠

矩形膜の振動

“振動・波動”（有山正）（裳華房 ） “振動・波動”（有山正）（裳華房 ）

節線

2

2

2

22

2

2

yu

xuv

tu

2/1

Tv 張力の大きさ:T

面密度:位相速度

二次元の波動方程式

変数分離法で求める規準振動 :)cos(sinsin),,(

11nmnm

mnm

nt

bym

axnAtyxu

2222

bm

anvnm

図形が出現ことによりさまざまな

（縮退）同じ固有振動数を持つ

がとのとき， ),(),( nmmnba

（cf）「大人の科学」付録 音の万華鏡

§８. 太鼓・ティンパニ－膜や立体の振動－

円形膜の振動

2

2

22

22

2

2 11u

rru

rruv

tu

変数分離法で求める２次元極座標で表し，規準振動 :

nm

cosrx sinry

),,( truu

2

2

22

22

2

2

2

2 11rrrr

vyx

関数次Bessel:)( nxJn

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

)cos()(),,(11

nmnmim

nm

nmn

terv

JAtru

ティンパニの振動

図は“楽器の物理学”（N.H.フレッチャー,T.D.ロッシング(岸・久保田・吉川訳）（Springer ）

ケルト内の空気も含めた振動

ティンパニのピッチ感をもたらす

波束 (wave packet) 現実の波：時間的，空間的な広がりは有限

波束は，無限個の正弦波（三角関数）の重ね合わせで表現できる（Fourier積分）

り実空間での波束の拡が:x波数空間での拡がり:k 2

1 kx・

り実時間での波束の拡が:t周波数空間での拡がり: 2

1 ・t

（（古典的）不確定性）

波束は，群速度で伝わる（情報も然り）k

vg dd

群速度：

dkekcxu ikx

)()( dxexukc ikx

)(21)(

（Fourier級数の，非周期関数への拡張）

kv 位相速度：

量子論の不確定性関係

をかければ両辺にプランク定数

)0)()()( uuxu十分滑らかな関数

“振動と波動”（吉岡大二郎）（東大出版会 ）

)(xux

§A. デジタルサンプリング

Fourier 変換 d)()(

iePC

d)(

21)(

ieCP

f 2“スペクトル解析”（日野幹雄 （朝倉書店，1977 )） より

)(tx

2/

2/d)()(1lim)(

T

TTttxtx

TC

Wiener-Khintchine の定理 d)()(

tieXtx

TX

PT

2)(2lim)(

アナログ変調

振幅変調 (Amplitude Modulation (AM))

周波数変調 (Frequency Modulation (FM))

位相変調 (Phase Modulation (PM))

図はWikipedia

tVV cc 00 sin搬送波：

tVV sss cos0信号波：

振幅変調波：

tVVV cSAM 00 sin)(

tVtVtV ss

ss

c 00

00

00 sin2

sin2

sin

の帯域が必要または ss 2

デジタル・サンプリング

tf

121

max

sampling theorem

“スペクトル解析”（日野幹雄）（朝倉書店 ）

“最新オーディオ技術”（加藤・藤本・島田・君塚共編）（オーム社 ）

Wikipedia４ビットのPCM

パルス符号変調(Pulse Code Modulation (PCM))

衛星放送