Physik 4, Formelsammlung, Prof. Förster

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Inhaltsverzeichnis

1 Brechung 31.1 Licht als Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Einzelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Optische Instrumente 52.1 Matrizenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Eigenschaften des Mikroskops . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 Strahlensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Thermodynamik 83.1 Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz . . . . . . . . . . . . 83.2 diverse Formeln zur Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.3 Energie von Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Lorentzverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.5 Elektron im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.6 De Broglie Wellenlänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.7 Impulsunschärfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.8 Röntgenbremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.9 Kristallgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Wärmeleitung 114.1 Der Formkoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Wärmeübergangskoeffizient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.3 thermischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.4 Wärmekapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5 Quantenmechanik 125.1 Schrödingergleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Energieniveaus eins Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4 Wellen an Potenzialbarrieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.5 Teilchen im dreidimensionalen Potenzial: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.6 Transfermatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.7 Verhalten des Elektrons im Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.8 Zeemann Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1

C. Hansen 2

5.9 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

C. Hansen 3

1 Brechung

Das Brechungsgesetz nach Snellius ist:

sin(α)sin(θ)

=n1

n2

Zusammenhang geometrische und optische Wellenlänge:

∆geo = L

∆opt = L · n

Für den Phasenunterschied, müssen wir den optischen Weg einfach noch mit der Wellenzahl multi-plizieren:

φ = L · n ·2πλ

=4πnLλ

Phasensprünge:

Phasensprünge treten immer dann auf, wenn das Licht wenn das Licht von einem optisch dünnerenMedium (1), in ein optisch dichteres Medium (2) wechselt⇒ n1 < n1.

1.1 Licht als Welle

Warum wird Licht gebrochen?

Eine Lichtwelle erzeugt ein elektrisches Wechselfeld, wodurch jeden Atom im Ausbreitungsmaterialzu einem Dipol wird. Dadurch entsteht eine Sekundärwelle, die sich mit der Primärwelle zu einerresultierenden Welle vereinigt. Wegen der Dipoleigenschaften der Atom wird die resultierende elek-trische Welle ein klein wenig abgelenkt. Wie stark die Welle abgelenkt wird, hängt davon ab wieviel Energie in die Dipolentstehung gesteckt werden kann. Damit hängt die Ablenkung als von derFrequenz des Lichtes ab, denn je höher die Frequenz, desto höher die Energie, desto höher dieAblenkung.

Dispersion

Normale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz ansteigt.Anormale Dispersion bedeutet, wenn der Brechungsindex mit der Frequenz abfällt.

Brechungsindex in Abhängigkeit der Resonanzfrequenz

n =

√1 +

Nq2e

ε0 · me·

1ω2

0 − ω2

die Dämpfungskonstante γ ist hier Null

Totalreflexion

Der Winkel ist:

θc = arcsin(n2

n1

)

C. Hansen 4

1.2 Einzelspalt

Intensität in Abhängigkeit des Winkels

I(φ) = I0sin2(φ/2)φ2/4

mit φ =2πλ

d sin(θ)

Minima und Maxima

Die Bedingung für Minima ist:

d · sin(θmin) = mλ

Für Maxima gilt:

d · sin(θmax) = (2m + 1)λ

2

Mit d als Breite des Spalts.

1.3 Doppelspalt

Intensität in Abhängigkeit des Winkels

I(α) = I0

(sin γγ

)2

cos2 δ

mit γ = k2 b sinα und δ = k

2 a sinα

Minimum und Maximum

Die Bedingung für Minima ist:

a · sin(θmax) = (m +12

)λ

Für Maxima gilt:

a · sin(θmin) = mλ

Mit a als Abstand der Spalte.

1.4 Gitter

Gangunterschied:

d = n · λ = g · sin(φ)

C. Hansen 5

φ ist hierbei der Ablenkwinkel und n die Ordnung des Hauptmaximums. Für Hauptmaxima giltdann:

λ =g · sin(φ)

n

Das Auflösungsvermögen berechnet sich so:

λ

∆λ= nN

Dabei ist n wieder die Ordnung des Maximums und N die Anzahl der ausgeleuchteten Linien.

Auflösungsvermögen optischer Instrumente

α = 1.22(n · λ

d

)Kohärenzlänge

Unter Kohärenzlänge versteht man die Länge auf der zwei Wellenzüge synchron zueinander verlau-fen und noch interferieren können. Man schreibt: lc = τc · c und lc = λ2

∆λ

Frequenzbandbreite

∆ f =c∆λ

λ2

2 Optische Instrumente

Brennpunkt eines Hohlspiegels

x =R2

1√1 − y2

R2

Mit R als Radius des Spiegels und y als Abstand des Strahls von der optischen Achse.

Linsenschleiferformel

D =1f

= (n − 1)(

1R1−

1R2

)Bei einer sphärischen Linse ist der Radius R2 negativ. Bei einer Zerstreuungslinse ist der Radius R1negativ.

Zusammenhang Gegenstand-, Bild, und Brennweite (dünne Linsen)

1f

=1b

+1g

⇔ b =g f

g − f⇔ f =

gbb + g

Es gilt zudem:

1f

=1f1

+1f2

+ · · · +1fn

C. Hansen 6

Vergrößerung einer Linse

M =f

f − S 1dabei ist S 1 der Abstand des Gegenstandes von der Linse

Es gilt auch:

M = −bg

=BG

Linsenfehler

1) Chromatische AberrationVerschiedenfarbige Anteile eines Lichtstrahls werden unterschiedlich stark gebrochen

2) sphärische AberrationStrahlen am Linsenrand werden stärker gebrochen als Strahlen in der Linsenmitte

3) Vignettierungan den Bildrändern ist weniger Licht als in der Bildmitte. Die Bildränder erscheinen abgeschat-tet, dunkler.

2.1 Matrizenoptik

ungehinderte Ausbreitung über Distanz d:

T =

(1 d0 1

)Brechung an ebener Fläche:

B =

(1 00 n1

n2

)Dabei entsprechen n1, n2 den Brechzahlen vor und nach der Grenzfläche.

sphärisch gekrümmte Fläche

R =

1 0(n1n2− 1

)1r

n1n2

r ist hier der Krümmungsradius der Fläche.

dünne Linse

L =

(1 0− 1

f 1

)f > 0 falls die Linse fokussiert und f < 0, wenn die Linse defokussierend wirkt.

ebener Spiegel

S =

(1 00 1

)

C. Hansen 7

sphärischer Spiegel

K =

(1 02r 1

)

2.2 Eigenschaften des Mikroskops

a) die nummerische Apertur ist mit für die minimale Auflösung des Teleskops verantwortlich, diesich nach der Formel dmin = 1.22λ

2ANberechnet. Je besser, also je größer die nummerische

Apertur ist, desto besser ist die Auflösung des Mikroskops.

b) der Objektivdurchmesser verändert die Auflösung

c) Eine Feldlinse wir in einem Fernrohr verwendet und am Ort des Zwischenbildes installiert. Sielenkt die zusätzlich die äußersten Strahlen des Zwischenbildes ins Auge und trägt somit zurSchärfung und zur Verbreiterung des Sichtfeldes bei. Siehe Abbildung 1

Abbildung 1:

Dioptrien

Dioptrien ist der Kehrwert der Brennweite. Es gilt D = 1f .

2.3 Strahlensatz

manchmal hilfreich:

Abbildung 2:

C. Hansen 8

3 Thermodynamik

3.1 Stephan-Bolzmann-Gesetz und Newtonsches Abkühlugsgesetz

Das Stephan-Bolzmann-Gesetz lautet:

P = εσAT 4

ε gibt an wie viel Prozent die Fläche tatsächlich absorbiert. In den meisten Fällen wir mit ε = 1gerechnet. σ ist die Stephan-Bolzmann-Konstante 5.6703 · 10−8

Das Newton’sche Abkühlungsgesetz gilt nur für Temperaturen nah der Umgebungstemperatur undlautet:

T = TU + (TA − TU) · e−tτ

C. Hansen 9

3.2 diverse Formeln zur Thermodynamik

Ich glaube zwar nicht, das wir diese Formeln brauchen, aber ich packe sie mal dazu:

3.3 Energie von Photonen

E = hν =hcλ

mit λ =cν

3.4 Lorentzverteilung

Diese Verteilung braucht man bei folgendem Szenario:

Man hat ein Messgerät, das auf eine bestimmten Frequenz eingestellt ist, aber auch einen Fehlerhat. Man erhält mit der Verteilung dann eine Kurve, die abhängig vom Fehler beschreibt wie genauman bei der eingestellten Frequenz messen kann. Dazu nutzt man folgende Formel:

L =s

π(s2 + (x − x0)2

)

C. Hansen 10

s beschreibt den Fehler und x0 die eingestellte Frequenz. Das Integral von −∞ bis ∞ ist normiert.Zwischen Messwert und der Lorentzverteilung gibt es folgenden Zusammenhang:

Messwert =

∫ ∞

−∞

Mν · L dν

=2hsc2

∫ ∞

−∞

x3

s2 + (ν − x)2 ·(e

kxkT − 1

) dx

3.5 Elektron im Magnetfeld

Ein Ladung, das sich im Magnetfeld kreisförmig bewegt verliert Energie durch Strahlung. DieseEnergie ist pro Umlauf:

∆E =q4v2B2

6π · ε0 · m2 · c3

3.6 De Broglie Wellenlänge

Für beliebige Teilchen gilt:

λ =hp

p ist dabei der relativistische Impuls:

p =mv√

1 −(

vc

)2p =

Ec

3.7 Impulsunschärfe

Die Impulsunschärfe ist direkt an das plank’sche Wirkungsquantum gekoppelt und lautet:

∆E · ∆t ≥ h

3.8 Röntgenbremsstrahlung

Es gilt:

Ekin = e · U

e ist die Elementarladung und U die Bremsspanung. Die minimale Wellenlange ist dann:

λmin =hceU

3.9 Kristallgitter

Ich empfehle sich hier nochmal die Aufgabe 3 von Aufgabenblatt 7 anzuschauen!!

C. Hansen 11

Die reziproken Gittervektoren ergeben sich aus den Basisvektoren nach dieser Formel:

g1 = 2πa2 × a3

V

g2 = 2πa3 × a1

V

g3 = 2πa1 × a2

VDabei ist V das Volumen, das durch die Basisvektoren aufgespannt wird.

Eine bestimmte Ebene im Kristallgitter wird so bestimmt: m1 : m2 : m3 = 1h : 1

k : 1l Es wird dabei auf

die Länge der Basisvektoren normiert.

4 Wärmeleitung

Die Wärmemenge die ein Stoff aufnimmt erhält man so:

Q = m · cw · ∆T

Der Wärmestrom ist einfach die Wärmemenge, die über einen bestimmten Zeitraum fließt.

Die Wärmeleitfähigkeit, hängt vom Wärmestrom, der Länge, der Fläche und der Temperaturdifferenzab:

λ =Q̇ · l

A · ∆T

4.1 Der Formkoeffizient

Es gibt viele Formen in denen es schwierig ist eine einfache Gleichung für den Wärmestrom aufzu-stellen. Dort kann man sehr einfach mit dem Formkoeffizienten rechnen:

Q̇ = −λF∗(Ti − Ta)

Der Formkoeffizient eines Rohres ist z.B. F∗R = l · 1

ln(

rari

)

4.2 Wärmeübergangskoeffizient

Q = αA · (T1 − T2) · ∆t ⇔ Q̇ = αA · (T1 − T2)

Der Wärmeübergangswiderstand ergibt sich so:

RS =1αA

mehrere Schichten hintereinander:

1R

=1

R1+ · · · +

1Rn

innerhalb eines Mediums ist der Wärmeübergangskoeffizient (auch Wärmeduchlasswiderstand)

α =lλ

Die Wärmemenge ist dann:

Q = R · A · t · ∆T

C. Hansen 12

4.3 thermischer Widerstand

Aus dem Wärmestrom kann man den thermischen Wiederstand einfach zusammensetzen:

Rth =∆TQ̇

4.4 Wärmekapazität

Die Wärmekapazität ergibt sich aus der spezifischen Wärmekapazität des Stoffes, dem Volumenund der Dichte:

C = csp · V · ρ

Die Zeit nach der sich ein thermisches Gleichgewicht einstellt, berechnet sich so:

τ = Rth ·C

5 Quantenmechanik

5.1 Schrödingergleichungen

Die zeitunabhängige Schrödigergleichung lautet:

Eψ = −~2

2m∂2ψ

∂x2 + V0ψ

Die zeitabhängige Schrödigergleichung lautet:

i~∂ψ

∂t= −~2

2m∂2ψ

∂x2 + V0ψ

5.2 Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden

Um sinnvolle Berechnungen über Aufenthaltswahrscheinlichkeiten anzustellen muss man die Wel-lenfunktion normieren. Die normierte Funktion sieht so aus:

ψn(x) =

√2L· sin

(nπL

x)

Eine Kurve, die die Aufenthaltswahrscheinlichkeit beschreibt, erhalten wir indem wir das Quadratdieser Funktion über den fraglichen Bereich integrieren:

P =

∫ b

a

√

2L· sin

(nπL

x)2

C. Hansen 13

5.3 Energieniveaus eins Teilchens

Die Energie eines Teilchens ist in der Quantenmechanik gequantelt. Das heißt, dass das Teilchennur bestimmte Energienniveaus annehmen kann. Die Energie ist dann:

En =~2

8mT · l2n2

Dabei gibt l die Länge bzw Breite des Potenzials an und n das Niveau.

5.4 Wellen an Potenzialbarrieren

Wenn eine Welle auf ein Potenzial V0 trifft, dann wird sie entweder verstärkt (Potenzial negativ) oderabgeschwächt (Potenzial positiv). Dabei tritt in jedem Fall eine Reflexion und eine Transmission auf.Dazu muss man die Wellenvektoren kennen:

Wellenvektor vor der Barriere: k1 =

√2mT · E~2

Wellenvektor nach der Barriere: k2 =

√2mT · (E − V0)

~2

Der Trans- bzw. Reflexionskoeffizient ist dann:

R =

∣∣∣∣∣k1 − k2

k1 + k2

∣∣∣∣∣2T = 1 − R

Die Geschwindigkeit und des Ort eine Teilchens können wir in der Quantenmechanik nur mit derheisenberg’schen Unschärferelation bestimmen:

x = ∆x · ∆p

Für x wird so wie der Wert besser passt entweder 12~ oder 1

2 h eingesetzt. Die Energie kann mandann so berechnen:

E =∆p2

2mT

5.5 Teilchen im dreidimensionalen Potenzial:

Das Teilchen hat hier mehr Freiheitsgrade und es können mehrere Teilchen gleichzeitig verschie-dene Energieniveaus n1−3 belegen. Daraus resultiert die sogenannte „Entartung“. Diese gibt anwie viele Kombinationen es mit den gegebenen Energieniveaus gibt. Die Energie berechnet sichnach:

En = (n21 + n2

2 + n23) ·

~2

8mT · l2

Die Wellenfunktion ändert sich dann zu folgendem:

ψ = Cn1,n2,n3︸ ︷︷ ︸Normierungs f aktor

· sin(n1πx

a

)· sin

(n2πya

)· sin

(n3πza

)

C. Hansen 14

In diesem Zusammenhang kann auch die Teilchenstromdichte s als auch die Stromdichte j vonBedeutung sein:

s = ρ · v

j = n · q · v

5.6 Transfermatrizen

Mit der Hilfe von Transfermatrizen kann man sehr einfach bestimmen wie sich, bei einer bestimmteneingegangen (oder ausgegangenen) Welle, die ausgehende (oder eingehende) Welle verhält.

Bei einer einfachen Barriere müssen wie Wellenfunktionen und Ableitungen stetig sein:

(1) ψI(0) = ψII(0) ψ′I(0) = ψ′II(0) Für den ersten Übergang

(2) ψII(a) = ψIII(a) ψ′II(a) = ψ′III(a) Für den zweiten Übergang

Aus den beiden Gleichungen von (1) können wir nun dieses Gleichungssystem aufstellen:

A + B = C + D

ik1A − ik1B = −κC + κD

aus (2) stellen wir äquvalent auf:

Ce−κa + Deκa = Feik1a + Ge−ik1a

−κCe−κa + κDeκa = ik1Feik1a − ik1Ge−ik1a

Die Matrizen lauten dann:

m1

(AB

)=

(eik1 x e−ik1 x

ik1eik1 x −ik1eik1 x

) (AB

)

Die Transfermatrix für(CD

)erhalten wir aus dem linken Teil der Gleichungen (2):

m2

(CD

)=

(e−κx eκx

−κe−κx κeκx

) (CD

)

Die Transfermatrix für(FG

)erhalten wir aus dem rechten Teil der Gleichungen (2):

m3

(FG

)=

(eik1 x e−ik1 x

ik1eik1 x −ik1eik1 x

) (FG

)Wir stellen die Matrizen wie die Gleichungen auf:

m1|x=0

(AB

)= m2|x=0

(CD

)m2|x=a

(CD

)= m3|x=a

(FG

)

C. Hansen 15

Wir formen um, sodass wir einsetzen können:(AB

)= m−1

1 |x=1 · m2|x=0

(CD

)(

cD

)= m−1

2 |x=1 · m3|x=0

(FG

)Durch einsetzen erhalten wir:(

AB

)= m−1

1 |x=1 · m2|x=0 · m−12 |x=1 · m3|x=0︸ ︷︷ ︸

T M1

(FG

)

Damit haben wir unsere Transfermatrix T M1.

5.7 Verhalten des Elektrons im Potential

Wie beeinflusst man die Zeit des Elektrons im Potential? Dazu gibt es drei Faktoren, die man beein-flussen kann:

1) Breite des Potential zwischen den BarrierenWenn die Barrieren weiter auseinander sind, dann ist die Wahrscheinlichkeit, das sichdas Elektron in der Nähe der Barriere aufhält geringer. Man muss allerdings darauf ach-ten, das man sie nicht zu weit auseinander stellt (einige nm), da es sonst keine Resonanz-Tunnelstruktur mehr ist.

2) Breite der BarriereWenn die Barriere an sich breiter wird (Wellenfunktion „sinkt“darin mit e−cx), dann sinktdamit die Wahrscheinlichkeit, dass das Elektron überhaupt auf die andere Seite der Bar-riere tunneln kann.

3) Energie des Elektron an sichWenn man ein Elektron mit sehr hoher Energie (hohe Amplitude in der Wellenfunktion)hat, dann kann es entweder sein, das es das Quantenbauteil überhaupt nicht mitbe-kommt und einfach hindurchfliegt oder es wird in einem sehr hochenergetischen Energie-niveau gefangen. In letzterem Fall kann die Amplitude sehr viel weiter gesenkt werden,bis sie auf Null ist. Dadurch ist die Wahrscheinlichkeit von Elektronen mit einer hohenEnergie durch die Barriere zu tunneln höher als von Elektronen mit niedrigerer Energie.

Berechnen können wir die Zeit mit der Unschärferelation

∆t =~

2∆E

Wenn wir Γ0 als Unsicherheitsfaktor der Lorentzfunktion betrachen, dann können wir die Zeit auchso berechnen:

∆t =~

2Γ0

5.8 Zeemann Effekt

Die Energie beim Zeemann Effekt ergibt sich aus:

Emag = −~ ·q

2mq· B · ml

C. Hansen 16

Dabei gilt folgender Zusammenhang zwischen dem Niveau l und der magnetischen Quantenzahlml:

Wenn l = x, dann ist ml = (−x, ..., 0, ...x)

Bei einer Aufspaltung gelten folgende Regeln für Übergange von einem Niveau l = 1 auf ein anderesz.B. l = 0:

• ∆l = ±1

• ∆ml = ±1 oder ∆ml = 0

5.9 Quantenzahlen

Bei den Quantenzahlen gelten folgende Zusammenhänge:

l = n − 1

|m| < l