physik a – vl26 (07.12.2012)vl26 (07.12.2012) · j. ingenhousz (1730 – 1799) r. brown (1773 –...
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Physik A – VL26 (07.12.2012)Physik A VL26 (07.12.2012)
Thermodynamik (Wärmelehre) III – kinetische Gastheoriey ( )
• Thermische Bewegung – Die kinetische Gastheorie
• Mikroskopische Betrachtung des Druckes
• Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gasesg g
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Thermodynamik IIIWärme und Bewegung
• Wärme ist kinetische Energie kleinster Bewegungen von Molekülen◦ Diese Bewegung ist nicht sichtbar, aber die makroskopische Folge ist Wärme
Wärme und Bewegung
g g , p g
◦ historisch: von J. Ingenhousz 1785 entdeckt, von R. Brown 1828 “wiederentdeckt” (Pollenbewegung)
◦ kaum beachtete Entdeckung („Störeffekt“, Rauschen)
J. Ingenhousz(1730 – 1799)
R. Brown(1773 – 1858)
(„ ff , )
◦ G.L. Guoy (1889): Brown’scheBewegung ist Beweis derkontinuierlichen Molekülbewegungkontinuierlichen Molekülbewegung
◦ A. Einstein (1905): quantitative Analyse: mathematische Gesetze beschreiben die Bewegung der Moleküle, auf der Basis der Prinzipen der kinetisch-molekularen Theorie der Wärme
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A. Einstein(1879 – 1955)
Thermodynamik IIIWärme und Bewegung
• Die Brown‘sche Molekularbewegung◦ die in Wasser schwimmenden Polystyrolkügelchen führen „Zitterbewegungen“ aus
Wärme und Bewegung
y y g f g g
↔ Die Bewegung von Atomen oderMolekülen wird auf größere Körperübertragen, diese vollführen ruck-übertragen, diese vollführen ruckartige, “zitternde” Wegänderungen
! Der Weg der Bewegung ist zufällig
◦ Bedeutung der Brown‘schen Molekularbewegung
http://www.physics.emory.edu/~weeks/squishy/BrownianMotion.html
g g g z f g
F tkö i d t- Festkörper sind starrN Atome oder Moleküle in festen Abständen⇒ nur 3 räumliche Freiheitsgrade ⇒ keine Statistik notwendig
M l kül B R S h- Moleküle: Bewegung, Rotation, Schwingung⇒ zusätzliche Freiheitsgrade der Bewegung
- Gase: N Moleküle führen statistisch unabhängige Bewegungen aus
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⇒ N Bewegungsgleichungen zur Beschreibung⇒ allgemeine, statistische Beschreibung (ideales Gas!) sinnvoll
Thermodynamik IIIWärme und Bewegung
◦ es gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (Newton’sche Axiome)
• Eigenschaften eines idealen Gases – Annahmen
Wärme und Bewegung
◦ es gelten die Gesetze der klassischen Mechanik (Newton sche Axiome)
◦ alle auftretenden Geschwindigkeiten sind klein gegen die Lichtgeschwin-digkeit: v ≈1000 m/s, ß = v/c ≈ 3·10-6
◦ die Teilchenzahl ist sehr groß: N >>> 1
◦ der mittlere Abstand der Teilchen >> Durchmesser der Teilchenittle e bsta d de eilc e⇒ die Ausdehnung der Teilchen ist vernachlässigbar
◦ die Wechselwirkung (Anziehungs- und Abstossungskräfte) zwischen den g ( g g f )Gasteilchen kann vernachlässigt werden⇒ kinetische Energie >> potentielle Energie der Teilchen
⇒ Gasteilchen führen im wesentlichen nur elastische Stöße mit den Wänden und untereinander aus
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Thermodynamik IIIWärme und Bewegung
• Eigenschaften eines idealen Gases – mechanisches Modell des idealen Gases
Wärme und Bewegung
◦ Druck im idealen Gas: Folge des Aufpralls von Teilchen auf Fläche des Stempels
⇒ im mechanischen Modell: mit zunehmenderkinetischer Energie der Stahlkugeln wird derStempel weiter nach oben geschoben !
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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Betrachtung einer Einzelsituation:
◦ ein Teilchen (Masse m) trifft auf den Stempel (Masse M M >> m) und wird
Mikroskopische Betrachtung des Druckes
y◦ elastischer Stoß: Anwendung von
◦ ein Teilchen (Masse m) trifft auf den Stempel (Masse M, M >> m) und wird dort reflektiert
y
xvmEnergie- und Impulserhaltungssatzfür Komponente in x-Richtung
E i h lt vryv◦ Energieerhaltung:(Annahmen → nur kinetische Energien)
222 1'11 M+x
v′r vr222
2'
22 Sxx Mvmvmv +=
◦ Impulserhaltung: v svM
◦ Impulserhaltung:
Sxx Mvmvmv += '
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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Geschwindigkeit vx aus Energieerhaltungssatz in Impulserhaltungssatz einsetzen ( Mechanik – elastischer Stoß):
Mikroskopische Betrachtung des Druckes
vmv =2
• auf den Stempel übertragene EnergiexS v
Mmv ⋅
+=
2411 m m422
2
)(4
21
21
xSkin vMm
mMMvE+
== TeilchenkinE
MmM
m2
1
4
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
=
21 mv• Berücksichtigung von: Stempelmasse M >>> m
⎠⎝2 xmv
042 =⎞⎛
= Teilchenkinkin E
m
mE
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅
MmM
⇒ Es wird (näherungsweise) keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen:
⇒ Durch die Stöße der Teilchen auf den Stempel entsteht trotzdem eine Kraft
⇒ Es wird (näherungsweise) keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen:
xxS vvv −=⇒= '0
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ß f p f
↔ Impulsübertrag beachten
Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Impulserhaltungssatz:
Mikroskopische Betrachtung des DruckesStempel
xxx Pmvmv += '
aus Stoßgesetz (vorehrige Betrachtung): vv'aus Stoßgesetz (vorehrige Betrachtung): xx vv −=
Teilchenxx
Stempelx pmvP 22 ==⇒ mittlere Kraft
• 2. Newton‘sches Gesetz: t
PFdtPdF
Δ=⇒=
rr
rr
• Übertragung auf eine große Teilchen-Zahl N:◦ alle Teilchen, die sich in der Schicht mit
der Dicke tvs Δ⋅=vor dem Stempel befinden, treffen innerhalb der Zeit Δt auf den Stempel.
tvs x Δ⋅=
hll h ⎤⎡◦ Definition der Teilchendichte
AsVmitVolumen
hlTeilchenzaVNn
⋅=
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
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tAnvVnN xΔ=⋅=⇒ Teilchenzahl N im Volumen
Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Berechnung der Kraft auf den Stempel aus dem Impulsübertragund der Zahl der Teilchen
Mikroskopische Betrachtung des Druckes
TeilchenStempel pmvP 22
∑⋅Δ
=⊥Teilchen
StempelxP
tF 1 ∑ ⋅⋅
Δ=
Teilchen
Teilchenxp
t21 ∑⋅
Δ=
Teilchenxv
tm2
xxp
x pmvP 22 ==
xx vNAnvN
mF ⋅⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=⇒ ⊥12 Anv
NttAnvNx
x =Δ⇔Δ=
N ⎠⎝AnmvF x22=⇒ ⊥
b h d TeilchenEF 42 2⊥• Der Druck ergibt sich daraus zu: Teilchenkinx nEnmv
Ap 42 2 === ⊥
TeilchenkEnp 4= kinEnp 4=
1 Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit v• Schwächen und unrealistische Annahmen der Herleitung der Formel:
9
1. Die Teilchen haben nicht alle dieselbe Geschwindigkeit vx . 2. Nur Teilchen mit vx > 0 tragen zum Druck bei.
Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
◦ Das Geschwindigkeitsquadrat wird durch das mittlere Geschwindigkeits
• Verbesserung der Berechnung:
Mikroskopische Betrachtung des Druckes TeilchenkinEnp 4=bisher
◦ Das Geschwindigkeitsquadrat wird durch das mittlere Geschwindigkeits-quadrat aller Teilchen ersetzt:
∑=→N
ixxx vvv 222 1 ∑=i
ixxx N 1,
◦ Von den N Teilchen im Volumen V bewegen sich nur N/6 auf die Wand zu(zur Erinnerung:(zur Erinnerung: Gasteilchen = 3 Translationsfreiheitsgrade mit je 2 Richtungen,
nur 1 Freiheitsgrad in 1 Richtung führt zur Kollision m.d. Wand)
1
da die Geschwindigkeitsverteilung isotrop ist.
22
61 vvx
r⋅=⇒
⇒ nur 1/6 des Impulses wird pro Volumen an die Wand übertragen
g g p
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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Verbesserung der Berechnung:
Mikroskopische Betrachtung des Druckes TeilchenkinEnp 4=bisher
1◦ mittlere kinetische Energie der Teilchen: 2
21 vmETeilchen
kinr
=
◦ mittlerer Druck hervorgerufen durch die Teilchen:mittlerer Druck hervorgerufen durch die Teilchen:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=== Teilchen
kinx Em
mnvmnvmnp 2612
6122 22 r
TeilchenkinEnp
32
=⇒
◦ Die Teilchendichte n = N/V ist, also folgt:
l h 22Ekin : mittlere kinetische Energie
des gesamten Gaseskin
Teilchenkin EENpV
32
32
==⇒
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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des Druckes
• Verbesserung der Berechnung:
Mikroskopische Betrachtung des Druckes
Ekin : mittlere kinetische Energiedes gesamten GaseskinEpV
32
=
◦ da im idealen Gas keine Kräfte der Teilchen untereinander wirken, istdie gesamte gemittelte potentielle Energie des Gases vernachlässigbar.
⇒ Die innere Energie U des Systems ist gleich der kinetischen Gesamtenergie aller Teilchen im Gas
kinTeilchenkin EENU =⋅=
Zustandsgleichung des idealen GasesUpV
32
=⇒
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Thermodynamik IIIMikroskopische Betrachtung des DruckesMikroskopische Betrachtung des Druckes
EUpV 22== TkNpVE 33
==⇒
• jeder Translations-Freiheitsgrad hat eine Energie von 0,5 kBT
kinEUpV33
== TkNpVE Bkin 22==⇒
• Diese Gleichung gilt in guter Näherung nur für ...◦ einatomige Gase (z B Edelgase wie He Ne Xe)
j g g , B
einatomige Gase (z.B. Edelgase, wie He, Ne, Xe)◦ mittlere Temperaturen, d.h. etwa Zimmertemperatur.
In der Nähe des absoluten Nullpunktes kondensieren viele Gase, bei Temperaturen > 1000°C ionisieren sie
• wenn die innere Energie bei einem idealen Gas konstant ist, dann ist auch die Temperatur T konstant
bei Temperaturen > 1000 C ionisieren sie.
p
• Temperatur T ∝ zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !
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⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !
Thermodynamik IIIMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen GasesMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases(Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
• Experiment: Geschwindigkeitsverteilung von Kugeln
◦ Kugeln werden aus mechanischem Modell herausgeschleudert
ΔN/ΔvAnteil der Molekülemit Geschwindigkeitim Intervall Δv.
v14
v
Thermodynamik IIIMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen GasesMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases(Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
∝mvvTvfdN exp)(
22ΔN/Δv ⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝−⋅∝=
TkvTvf
dv B2exp),(ΔN/Δv
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Thermodynamik IIIMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen GasesMaxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases(Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
∝mvvTvfdN exp)(
22ΔN/Δv ⎟
⎟⎠
⎜⎜⎝−⋅∝=
TkvTvf
dv B2exp),(ΔN/Δv
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Zusammenfassung• Stöße mit der Wand (z B Kolben) in einem idealen GasStöße mit der Wand (z.B. Kolben) in einem idealen Gas
Gasmoleküle⇒ Es wird keine kinetische Energie auf den Stempel übertragen
⊥F⇒ durch die Stöße der Teilchen auf den Stempel entsteht aber eine Kraft
⇒ ImpulsübertragStempel mit
der Fläche AZylinder:Volumen V(x)
p g
• Mittelung über viele Teilchen: mittleres Geschwindigkeitsquadrat
kinEUpV32
32
== TkNpVE Bkin 23
23
==⇒
• Temperatur T ∝ zur mittleren kinetischen Energie der Gasmoleküle⇒ Definition der Temperatur über obige Formel !
• Maxwell‘sche Geschwindigkeitsverteilung (Maxwell-Boltzmann-Verteilung)
⎟⎞
⎜⎛ mvdN 2
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⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅∝=
TkmvvTvf
dvdN
B2exp),( 2