physik mechanik 3 - dhbw mosbach · schwingungen begrifflichkeiten anhand mechanischer systeme...
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(1)
© H.Neuendorf
Schwingungsarten1. Freie ungedämpfte Schwingung
Keine Reibung, innere Rückstellkraft proportional zur Auslenkung
2. Freie gedämpfte SchwingungGeschwindigkeitsproportionale innere Reibungskraft
3. Erzwungene SchwingungEinwirkende äußere periodische Kraft treibt Schwingung an
Schwingungen Begrifflichkeiten anhand mechanischer Systeme entwickelt. Jedoch auf andere Bereiche übertragbar, zB Schwinkreise in ET
-x0 0 +x0 x
F = - k·x(t)
km
SchwingungPeriodische Zustandsänderung – periodische Energieumwandlung
Reproduktion des Zustands nach fester Zeit T
T = Periode f = 1/T = Frequenz ωωωω = 2π⋅π⋅π⋅π⋅f
)(txkF ⋅−=
Schwingung : Einzelnes schwingfähiges Element (Oszillator)
Wellen :Vielzahl gekopplelter schwingfähiger Elemente Energietransport im Raum
)()( Ttxtx +=
)()( tvctxkF ⋅−⋅−=
)cos()()( 0 tFtvctxkF ⋅Ω⋅+⋅−⋅−=
(2)
© H.Neuendorf
Freie ungedämpfte Schwingung Harmonischer Oszillator, Bsp Federkraft
Schwingfähiges System = OszillatorPeriodische Energieumwandlung zwischen Ek und Ep ohne dissipative Energieverluste
Konstante Amplitude Durch System-Parameter bestimmt
Anzahl Zyklen je Zeiteinheit =
Frequenz f0
Eigenfrequenz ππππωωωω2
1 0
00 ==
Tf
Amplitude = Scheitelwert
(3)
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Freie ungedämpfte Schwingung Harmonischer Oszillator, Federkraft
Bereits gelöst bei Behandlung der Bewegungsgleichungen
-x0 0 +x0 x
F = - k·x(t)
km
Kraft wirkt Auslenkung stets entgegen und ist ihr proportional
Eindimensionales Problem Nur x-KoordinateRandbedingungen t = 0s : x(t = 0s) = x0 v(t = 0s) = v0
mk
smx
dtxd
smx
mk
dtxd
xkdt
xdmamxFrF
==⋅+
=⋅+
⋅−=⋅=⋅==→→
02202
2
22
2
2
2
0
0
)()(
ωωωωωωωωPhysik : Periodischer Vorgang !Mathe : Funktion deren zweite Ableitung gleich Negativen der Funktion selbst ist mit Vorfaktor ω2
Lösungsansatz : Cosinus und Sinus - Harmonische Bewg. Testen durch Einsetzen in DGL
)()sin()cos()(
)cos()sin()(
)sin()cos()(
200
2020
201
002001
0201
txtctctx
tctctx
tctctx
⋅−=⋅⋅−⋅⋅−=
⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅+⋅⋅=
••
•
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
Vernachlässigung von Reibung umso eher gerechtfertigt, je größer m (Trägheit) und k (Antreibende Kraft)
(4)
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Freie ungedämpfte Schwingung
Definition Periode T : Nach ∆∆∆∆ t = T hat System kompletten Zyklus durchlaufen
Sinus, Cosinus hat Periodizität 2ππππ : cos(α) = cos( α + 2ππππ )
Schwingungsdauer umso länger, je schwerer die Masse und je weicher die Feder
Bestimmung Faktoren c1 und c2 aus Randbedingungen für t = 0s :
Speziell : Masse bei t = 0s mit x0und v0 = 0 m/s
x(t) = x0 cos (ωωωω0t)
( )( ) ( )( )( ) ( )
000
00000
00000
0201
212
)2sin(sinsin)sin(
)2cos(coscos)cos(
)()()sin()cos()(
ωωωωππππππππωωωω
ππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
ωωωωωωωω
===⋅
+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅
+⋅=⋅+⋅=+⋅=⋅
+=⋅⋅+⋅⋅=
fTT
tTtTtt
tTtTtt
Ttxtxtctctx
)sin()cos()(
)0()0(
)0(
00
000
0
02002
01
tvtxtx
vcvcstxstv
xcstx
⋅⋅+⋅⋅=
==⋅====
===
•
ωωωωωωωω
ωωωω
ωωωωωωωω
(5)
© H.Neuendorf
=
+=
+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
0
000
2
0
020
00
00
000
arctan
)sin(
)sin()cos()(
vxvxA
tA
tvtxtx
ωωωωϕϕϕϕωωωω
ϕϕϕϕωωωω
ωωωωωωωω
ωωωω
Freie ungedämpfte SchwingungKompaktere Formulierung der Lösung mittels Additionstheoremen für Sinus + Cosinus :
Summe harmonischer Schwingungen ist wieder harmonische Schwingung
Spe
ziel
lv0
= 0
m/s
:
ar
ctan
(∞) =
ϕ0
= π
/2
x(
t) =
x0
cos
( ωω ωω0t
)
Bedeutung : Start mit v0 ≠ 0 m/s
Masse hat zusätzlichekinetische Energie
Vergrößerte Amplitude A Phasenverschiebung
gegenüber Cosinus-Verlauf
PhasenverschiebungEffektive Amplitude
ωωωω0 ist unabhängig von v0
Test :Einsetzen von v0 = 0 m/s liefert wieder einfachen Cosinus-Verlauf
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Freie ungedämpfte Schwingung
Energie der Schwingung ist konstant - da keine Reibungsverluste !
constAkAm
vxmvmxmvmxkE
=⋅=⋅⋅=
+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅+⋅=
2220
2
0
020
20
20
20
202
020
22
22222
ωωωω
ωωωωωωωωωωωω
Periodische Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie
Periodischer Energieaustausch mit doppelter Systemfrequenz
Energie des Oszillators wächts quadratischmit Amplitude und Frequenz
(7)
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)(
)sin()(
)cos()(
)sin()(
20
0020
000
00
tx
tAta
tAtv
tAtx
⋅−=
+⋅⋅⋅−=
+⋅⋅⋅=
+⋅⋅=
ωωωω
ϕϕϕϕωωωωωωωω
ϕϕϕϕωωωωωωωω
ϕϕϕϕωωωωFreie ungedämpfte Schwingung
Effekt unterschiedlicher Anfangsgeschwindigkeiten v0
a) Vergrößerte Amplitude A
b) Phasenverschiebung ϕϕϕϕgegenüber reinem Cosinus
4,0,
4
/1,/0,/1
1/11
0
0
10
ππππππππϕϕϕϕ
ωωωω
+−=
+−=
=== −
smsmsmv
smNkkgm
Beschleunigung + Kraft! ist proportional und entgegengesetzt zur Verschiebung x(t)
(8)
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Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall
Wirkende Kräfte :
1. Federkraft Fk = - k·x(t) wirkt Auslenkung stets entgegen
2. Zusätzliche Reibungskraft FR = - c·v(t) proportional v
Randbedingungen t = 0s : x(t = 0s) = x0 v(t = 0s) = v0
22
2
2
2
0
)()(
smx
mk
dtdx
mc
dtxd
tvctxkFFFdt
xdm Rk
=⋅+⋅+
⋅−⋅−=+==⋅
Beobachtung :System schwingt harmonisch
Amplitude nimmt mit der Zeit exponentiell ab
Ansatz für x(t) :Produkt aus Dämpfungsterm und Schwingungsterm
( ))sin()cos()( 21 tctcetx t ⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− ωωωωωωωωδδδδ
-x0 0 +x0 x
F = - k·x(t) - c·v(t)
km
Dämpfungskonstante c[kg / s]
Einhüllende der Schwingung fällt exponentiell ab
System verliert permanent mechanische Energie durch Dissipation …..[ δδδδ ] = [1 / s]
(9)
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Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall
Bestimmung von ωωωω und δδδδ aufwändiger :
ωωωωδδδδωωωωδδδδ 00
2021
01
)0()0(
)0(
xvcvcctxstv
xcstx
⋅+==⋅+⋅−====
===
•
Bestimmung Vorfaktoren c1 und c2 aus Randbedingungen für t = 0 s :
mk
mc
mk
mc =≠−=−== 0
2202
2
42ωωωωδδδδωωωωωωωωδδδδ
Resultat :1. Gedämpfter Oszillator schwingt mit geringerer Eigenfrequenz (langsamer) als der
ungedämpfte Oszillator (Unterschied wächst mit zunehmender Reibung)
2. Exponentieller Abfall der Amplitude - umso rascher, je kleiner m und je größer
Dämpfungskonstante c3. Ansatz funktioniert nur für kleine Dämpfung c dh :
Für größere Dämpfung c wird Frequenz ωωωω imaginär !Bedeutung : Keine Schwingung mehr !
4. Verlustleistung durch Reibung :
δδδδωωωω ≥⇔≥ 02
2
4mc
mk
Herleitung durch Ansatz e-Funktion als genereller Lösung einer HLDGL …
2vcdtvvcdtddxvc
dtdW
dtdP RR ⋅=⋅⋅=⋅==
(10)
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Freie gedämpfte Schwingung - schwache Dämpfung : Schwingfall
Gesamtlösung für kleine Dämpfung = SchwingfallKompakte Formulierung :
Für c = 0 kg/s bzw δδδδ = 0/s erhält man Ausdrücke der ungedämpften Schwingung
Durch Dämpfung verliert System mechanische Energie als Reibungswärme
Energie nicht konstant - fällt exponentiell ab :
Konstantes Verhältnis aufeinanderfolgender Amplituden ∆∆∆∆ t = T :
"Logarithmisches Dekrement" δδδδ ·TBestimmung von c aus δδδδ T
i
i eAA
AA
AA ⋅
+==== δδδδ
13
2
2
1
δδδδττττ
ττττ
δδδδ
21
)0(
2/
22
=
⋅==
⋅⋅=
−
⋅⋅−
t
t
estE
eAkE
δδδδωωωω ≥⇔≥ 02
2
4mc
mk
( )
⋅+⋅=
⋅++=
+⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=
⋅−
⋅−
00
00
2002
0
0
000
arctan
sin
)sin()cos()(
xvxxvxA
teA
txvtxetx
t
t
δδδδωωωωϕϕϕϕ
ωωωωδδδδ
ϕϕϕϕωωωω
ωωωωωωωωδδδδωωωω
δδδδ
δδδδ
220
2
2
4
2
δδδδωωωω
ωωωω
δδδδ
−=
−=
=
mc
mk
mc
Zeitkonstante
(11)
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Freie gedämpfte Schwingung - starke Dämpfung : Kriechfall
Starke Dämpfung : Keine Schwingung mehr !
Oszillator nähert sich direkt asymptotisch der Ruhelage
Starke Dämpfung verhindert jede Schwingung !
2202
2
4δδδδωωωωωωωω −=−=
mc
mk
Fälle :
1. Aperiodischer Grenzfall → ωωωω = 0 rad/s
2. Kriechfall → ωωωω wird imaginär
02
2
4ωωωωδδδδ ≥⇔≤
mc
mk
Keine Schwingung mehr wenn :
2
2
4mc
mk =
2
2
4mc
mk <
Im aperiopdischen Grenzfall erreicht das System am schnellstendie Ruhelage
(12)
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Freie gedämpfte Schwingung - Starke Dämpfung
Dämpfung verhindert jede Schwingung
Lösungen x(t) :
1. Aperiodischer Grenzfall → ωωωω = 0 rad/s
Aus Lösung für Schwingfall herleitbar für ω→0 rad/s :
( )( )txvxe
txvtxetx
t
t
⋅⋅++⋅=
=
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=
⋅−
⋅−→
000
000
0)sin()cos(lim)(
δδδδ
ωωωωωωωωδδδδωωωω
δδδδ
δδδδωωωω
2. Kriechfall → ωωωω wird imaginärMathematisch aufwendiger
Aus Lösung für Schwingfall "herleitbar" →Für imaginäre Werte gehen harmonische Funktionen in hyperbolische Funktionen über :
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅= ⋅− )sinh()cosh()( 000 tq
qxvtqxetx t δδδδδδδδ
Lösungsfunktionen enthalten keineschwingenden, dh periodischen Funktionen mehr !
mk
mcq −= 2
2
4
Lösungen ebenfalls durch generellen Ansatz einer e-Funktion herleitbar ….
(13)
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Erzwungene Schwingung Freie Schwingungen : Einmaliger kurzfristiger Eingriff - dann sich selbst überlassen
Erzwungene Schwingung : Durch ständig einwirkende äußere Kraft F(t)
Äußere Kräfte kompensieren Energieverluste durch Reibung
Erzwungene Schwingung solange äußere Kraft einwirkt
Wichtigster Fall : Harmonische äußere Kraft F(t) = F0 · cos(ΩΩΩΩ ·t)
ΩΩΩΩ = Kreisfrequenz der erregenden Kraft
ResonatorenKeine starre sondern schwingfähige Ankopplung
Durch Kopplung wird dem Resonator die Frequenz ΩΩΩΩ der äußeren Kraft aufgezwungen !
Frage : Wie groß ist die sich ergebende Amplitude = Stärke der System-Response
Wie gut kann das träge System dem Stimulus folgen = Phasenverschiebung ?
(14)
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)cos(
)cos()()(
02
2
02
2
tFxkdtdxc
dtxdm
tFtvctxkFFFFdt
xdm aRk
⋅Ω⋅=⋅+⋅+⋅
⋅Ω⋅+⋅−⋅−=++==⋅
Erzwungene Schwingung Bewegungsgleichung :
Äußere Kraft liefert zusätzlichen Term : Fördert die Bewegung positives Vorzeichen
Kräfte = Federkraft + Dämpfungskraft + Äußere Kraft
Lösungsansatz gemäß SchwingverhaltenNach einiger Zeit (Abklingen Einschwingvorgang!) herrschen stationäre Verhältnisse :
1. System schwingt nicht mit Eigenfrequenz ωωωω sondern mit aufgezungener Frequenz ΩΩΩΩder erregenden Kraft F(t)
2. Schwingung des Systems läuft um Phase ϕϕϕϕ verschoben hinter erregender Kraft her Lösungsansatz für die stationäre Schwingung :
Einsetzen Ansatz in DGL liefert Bedingung für Amplitude A und Phasenverschiebung ϕϕϕϕSystemparameter (m, k, c, F0 ) bestimmen nur Größe von A und ϕϕϕϕ
Inhomogene DGLRechte Seite ≠ 0
)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtx
Unregelmäßige Einschwingphase muss gesondert behandelt werden !
(15)
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)cos()()(
02
2tFtxk
dttxdm ⋅⋅=⋅+⋅ ΩΩΩΩ
Resonanz : Erzwungene Schwingung ohne ReibungDGL ohne Reibungskraft :
Einsetzen x(t)-Ansatz in DGL liefert Amplitudenausdruck A :
Naiver Lösungs-Ansatz ohneBerücksichtigung Phasenverschiebung :
)cos()( tAtx ⋅⋅= ΩΩΩΩ
( )( ) ( ) ( )22
0
022
0
0
022
0
020
20
2
02
/
)cos()cos()cos(
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ
−=
−⋅=
=⋅−⋅⋅
=⋅⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅−
⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−
ωωωωωωωω
ωωωω
ωωωω
mFm
FA
FmmA
FAmAmFAkAm
tFtAktAm 20
20
ωωωω
ωωωω
⋅=
⇔=
mk
mk
Diskussion des charakteristischen A-Verlaufs :
kF
mFAe
mAdmAc
mAbAa
020
0
0
00
0)
0)0)
0))
=⋅
→→
→∞→<>
><∞→=
ωωωω
ωωωω
ωωωωωωωω
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
Bedeutung A-Verlauf :a) Resonanzkatastrophe mit unendlicher Amplitude bei ΩΩΩΩR = ωωωω0
b) A hat gleiches Vorzeichen wie F(t) : Resonator kann niedrigen Anregungs-frequenzen verzugslos folgen. Resonator und Anregung im Gleichtakt mit ϕϕϕϕ = 0c) A hat entgegengesetztes Vorzeichenwie F(t) : Bei hoher Anregungsfrequenz kann Resonator nur phasenverschobenfolgen : Gegentakt mit ϕϕϕϕ = ππππd) Resonator kann nicht mehr folgen. Kein Energieübertrag, keine Anregung
e) Statische Verhältnisse. Hooksches-Gesetz für konstante äußere Kraft
(16)
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Bedeutung :1. Amplitude A umso höher + schärfer je größer F0 / m und je kleiner Dämpfung c
2. Für Dämpfung c = 0 kg/s divergiert Amplitude A →∞→∞→∞→∞ wenn ΩΩΩΩ2 = k / m3. Für Dämpfung c = 0 kg/s ϕϕϕϕ = 0 oder ππππ →→→→ Kraft und Oszillator im Gleich- oder Gegentakt
Resonanz →→→→ Erreichen der maximalen Amplitude ABedingung : Nenner von A wird mimimal
Erzwungene Schwingung Lösung der allgemeinen Bewegungsgleichung :Bedingungen für Amplitude und Phasenverschiebung
Ω−
Ω⋅=
Ω⋅+
Ω−
=
−⋅Ω⋅=
2222
0
arctan
)cos()(
mkmc
mc
mk
mF
A
tAtx
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
!02 2
2
224
2
2222 =
ΩΩ+Ω−Ω+=
Ω⋅+
Ω−=ddn
mc
mk
mk
mc
mkn
!02 2
2
>−mc
mkBedingung für
Resonanz-maximum
Warum spielen die Rand-bedingungen x0 und v0 zur Zeit t = 0s keine Rolle ? …….
2202
2
22
δδδδωωωω −=−=Ωmc
mk
R
(18)
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Grund :Die so formulierten Ausdrücke gelten für alle Resonanzphänomene – egal ob mechanischer oder elektrotechnischer Natur …
Erzwungene Schwingung
Formulierung Zusammenhänge ohne direkten mechanischen Bezug
durch Verwendung der allgemeinen Größen ωωωω0 und δδδδ :
( ) ( )
Ω−Ω⋅=
Ω⋅+Ω−=
−⋅Ω⋅=
220
22220
0
2arctan
2
)cos()(
ωωωωδδδδϕϕϕϕ
δδδδωωωω
ϕϕϕϕ
mF
A
tAtx
δδδδδδδδ
ωωωω
22
20
==
=
mc
mc
mk
220 2δδδδωωωω −=Ω R
(19)
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Resonanz Eigenschaften Amplitude A :1. Maxima Resonanzkurve liegen
unterhalb ωωωω0 = (k / m)1/2
2. Maxima umso höher + schmaler je kleiner
Dämpfungskonstante c3. Für große Reibung existiert kein Maximum
4. Für ΩΩΩΩ →→→→ 0 ist Amplitude stets F0 / k5. Für ΩΩΩΩ →→→→ ∞∞∞∞ geht A→→→→ 0 m:
Anregung so schnell, dass träger Oszillator
nicht folgen kann auch keine E-Aufnahme
Eigenschaften Phasenverschiebung ϕϕϕϕ :1. Für ΩΩΩΩ << ωωωω0 ist ϕϕϕϕ klein : Erreger schwingt
langsam Oszillator kann folgen
Schwingen im Gleichtakt2. Für ΩΩΩΩ →→→→ ∞∞∞∞ geht ϕϕϕϕ →→→→ ππππ : Erreger schwingt
schnell Oszillator kann nicht folgen
Schwingen im Gegentakt3. Für ΩΩΩΩ = ωωωω0 ist stets ϕϕϕϕ = ππππ / 2
Maximale Leistungsaufnahme Resonator!
Energieresonanz
Resonanz-katastrophe
( )cA ,Ω
( )c,Ωϕϕϕϕ
Resonanzkurven
Phasenverschiebungen
c = 0 kg/s ϕϕϕϕ - Sprung
kF0
0ωωωω≤Ω R
0ωωωω
(20)
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Resonanz
Resonanzkurven
0ωωωωΩ
71.02
1
21
2
02
02
0
20
2
220
220
220
≈<
>
>
>−
>−=Ω
ωωωωδδδδ
ωωωωδδδδ
δδδδωωωω
δδδδωωωω
δδδδωωωωs
radR
220 2δδδδωωωω −=Ω R
Nur unter diesen Bedingungen tritt ein Resonanz-Maximum aufBei zu starker Dämpfung fällt die Amplitude ohne Maximum monoton über gesamten Frequenzbereich ab
Resonanzmaximum tritt auf
Resonanzmaximum durch hohe Dämpfung unterdrückt
(21)
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Erzwungene Schwingung : Leistungsaufnahme P(ΩΩΩΩ) Durch äußere Kraft wird Energie auf Resonator übertragen - Ausgleich aller Energieverluste
Energieverlust durch Reibung →→→→ Verlustleistung :Idee : Energieübertrag vom Erreger auf Resonator gleicht alle zeitlichen Energieverluste durch Reibung aus !
Bewegung ist periodisch mit der Periode T. Energiefluss auch periodisch.
Pro Periode zu- und abgeführte Energie identisch bei stationären Verhältnissen !
2vcdtvvcdtddxvc
dtdW
dtdP RR ⋅=⋅⋅=⋅==
( )ϕϕϕϕ−⋅⋅⋅⋅=
⋅=⋅= tAcdt
tdxcvctP ΩΩΩΩΩΩΩΩ 2222
2 sin)(
)(
Zeitliche Mittelung über eine Periode T :
−⋅⋅⋅⋅⋅=
−⋅⋅⋅⋅==
T
s
T
s
T
s
dttAcT
dttAcT
dttPT
P
0
222
0
222
0
__
)(sin1
)(sin1
)(1
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtxEinsetzen von x(t) :
Zeitliche Mittelung über eine kontinuierliche Größe bedeutet Aufsummation = Integration der Werte über einen Zeitraum geteiltdurch diesen Zeitraum ......
Mittelwert von sin 2 ist 1/2. Somit liefert Integral = Fläche unter Kurve zwischen 0 und T den Wert 1/2 T 0 T t
sin 21/2
1
(22)
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Erzwungene Schwingung : Leistungsaufnahme P(ΩΩΩΩ)
Mittelung über Periode T :
( )2
2220
220
2__
22
22
0
222__
/2
2211
)(sin1
Ω⋅+Ω−⋅Ω⋅=
⋅Ω⋅=⋅⋅Ω⋅⋅⋅=−⋅Ω⋅Ω⋅⋅⋅=
mc
mFcP
AcTAcT
dttAcT
PT
s
ωωωω
ϕϕϕϕ
0
20
max 2ωωωω=
⋅= ΩΩΩΩfür
cFP
Maximale Leistungsübertragung bei ΩΩΩΩ = ωωωω0unabhängig von Dämpfung !
Grund : Für diese Frequenz hat man Phasen-verschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 zwischen Kraft F(t) und Auslenkung x(t)
F(t) und Geschwindigkeit v(t) in Phase
Maximaler Leistungsübertrag P = F·v
Einsetzen der Funktion A(ΩΩΩΩ)
Lorentz-Kurve
P(ΩΩΩΩ)
ωωωω0 ΩΩΩΩ
Breite der Resonanz :FWHM
Pmax (ΩΩΩΩ = ωωωω0)
Pmax / 2
FWHM = Full Width at Half MaximumFläche unter Kurve = Oszillatorenstärke
(23)
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Erzwungene Schwingung : Einschwingvorgang Beobachtung : Stationäre Verhältnisse herrschen nicht sofort, sondern erst nach einiger Zeit
Nach "Einschalten" der äußeren Kraft variiert Amplitude A stark
Erreicht erst nach Einschwing-Zeit ihren konstanten endgültigen Wert
Stationäre stabile Verhältnisse stellen sich erst nach Einschwingvorgang ein
Stationäre Lösung x(t) ist "nur die halbe Wahrheit"dh : nicht allgemein genug !
Beschreibung incl. Einschwingvorgang → Theorie der DGL:
)cos(
0
02
2
22
2
tFxkdtdxc
dtxdm
smxk
dtdxc
dtxdm
⋅Ω⋅=⋅+⋅+⋅
=⋅+⋅+⋅ Zugehörige
Homogene DGL Gedämpfte Schwingung
Inhomogene DGL Erzwungene Schwingung
↓
Lösungen sind bekannt und zur allgemeinen Gesamtlösung der ILDGL kombinierbar !!
)cos()( ϕϕϕϕ−⋅Ω⋅= tAtxGilt exakt erst nach
Einschwingzeit !
Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL =
= Allgemeine Lösung der homogenen DGL + Spezielle Lösung der inhomogenen DGL
Erst nach der Einschwingzeit dominiert die äußere Kraft das Systemverhalten
Lösungen linearer DGL bilden einen linearen Vektorraum ……
(24)
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Einschwingvorgang
Zusammenbau der allgemeinen Lösung → Bsp: Fall kleiner Dämpfung
Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL =
= Allgemeine Lösung der homogenen DGL + Spezielle Lösung der inhomogenen DGL
−
⋅=
⋅+
−
=
2
222
0
arctanΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩΩΩΩΩ
mkmc
mc
mk
mF
A
ϕϕϕϕ
Bedingungen für A und ϕϕϕϕ nach Einschwingvorgang unverändertKonstanten c1, c2 folgen aus Randbedingungen für t = 0 s :
( )[ ])sin()cos(1
)cos(
)sin()cos(
002
01
21010
ϕϕϕϕϕϕϕϕδδδδωωωω
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕωωωωδδδδϕϕϕϕ
⋅⋅−⋅−⋅+⋅=
⋅−=
−⋅⋅−⋅+⋅−=⋅+=
ΩΩΩΩ
ΩΩΩΩ
AAxvc
Axc
AccvAcx
Beschreibt Eigenschwingverhalten, fällt mit t exponentiell ab, "verschwindet" rasch
( ) )cos()sin()cos()( 21 ϕϕϕϕωωωωωωωωδδδδ −⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅= ⋅− tAtctcetx t ΩΩΩΩ
Nach einiger Zeit bleibt nur stationäre Lösung "übrig"Äußere Kraft hat Kontrolle übernommen
Je nach Dämpfung muss Schwingfall, Kriechfall oder aperiodischer Grenzfall eingesetzt werden !
Unterschiedliche Gesamtlösungen und Konstantenwerte je nach Dämpfung bzw je nach Eigenverhalten im Schwingfall, Kriechfall oder aperiodischem Grenzfall !
Randbedingungen gehen in Einschwingvorgang ein !
(25)
© H.Neuendorf
Einschwingvorgang
( )
)cos(
)sin()cos(
)(
21
ϕϕϕϕ
ωωωωωωωωδδδδ
−⋅Ω⋅
+
⋅⋅+⋅⋅⋅
=
⋅−
tA
tctce
tx
t
Überlagerung der Eigenschwingung und der
stationären erzwungenen Schwingung
Anfängliche Eigenschwingungen sterben mit Zeit aus = EinschwingvorgangDanach verbleibt die regelmäßige erzwungene Schwingung mit konstanter Frequenz und Amplitude = stationäreVerhältnisseÄußere Kraft kontrolliert das System nun vollständig
)(tx
)(tx
)(tx
Eigenschwingung
Äußere Erregung
Schwingvorgang
(26)
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Schwingungen: Charakteristische Kreisfrequenzen
Eigenfrequenz des ungedämpften Oszillators
Eigenfrequenz des gedämpften Oszillators
Resonanzfrequenz = Frequenz maximaler Amplitude
Frequenz der äußeren erregenden Kraft
R
R mc
mk
mc
mk
mk
Ω>>
Ω
⋅−=−=Ω
−=−=
=
ωωωωωωωω
δδδδωωωω
δδδδωωωωωωωω
ωωωω
0
2202
2
2202
2
0
22
4
Behandlung der Schwingungen führte auf typische Kreisfrequenzen : mc⋅
=2
δδδδ
Unterschiedliche Größe umso ausgeprägter je stärker die Dämpfung des Systems ist
(27)
© H.Neuendorf
Schwingungen : Übersicht
x(t) x(t)
x(t)x(t)
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
(28)
© H.Neuendorf
Mechanische und elektrische Schwingungen Analoge Verhältnisse und völlige mathematische Äquivalenz
Schwingkreiselemente : L, C, R und äußere Wechselspannungsquelle U(t) = U0 ·cos(ΩΩΩΩ·t)Statt Masse wird Ladung bewegt - Kirchhoffsche Maschenregel :
)cos(02
2tFxk
dtdxc
dtxdm ⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ΩΩΩΩ
)cos(1
)cos(1
02
2
0 tUQCdt
dQRdt
QdLtUQC
IRdtdIL ⋅⋅=⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅ ΩΩΩΩΩΩΩΩ
LR
mc
LCmk
QC
ExkEILEvmE
tIdt
tdQtvdt
tdxtQtx
UFCkRcLm
elekpmagk
221
21
222
)()(
)()(
)()(
/1
00
2222
00
=↔==↔=
⋅=↔⋅=⋅=↔⋅=
=↔=↔
↔↔↔↔
δδδδδδδδωωωωωωωω
Auch alle anderen Ausdrücke der Schwingungstheorie lassen sich entsprechend übersetzen !
L RCU(t)
(32)
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Überlagerung harmonischer Schwingungen Natur: Auftreten vieler gleichzeitiger Schwingungen, die sich überlagern = addierenBsp: Geräusche, Sprache, Musik
Signalerzeugung durch Addition von Schwingungen = Fourier-Synthese
Betrachtung einfachster Fall : Überlagerung von 2 Schwingungen1. Parallele Schwingungen
2. Orthogonale Schwingungen
1. Parallele Schwingungen
)cos()cos()()()(
)cos()()cos()(
221121
222111
ϕϕϕϕωωωωωωωω
ϕϕϕϕωωωωωωωω
−⋅⋅+⋅⋅=+=
−⋅⋅=⋅⋅=
tAtAtxtxtx
tAtxtAtx
Drei Fälle :
a) Parallele Schwingung mit ωωωω1 = ωωωω2 = ωωωωb) Parallel Schwingung mit ωωωω1 ≠≠≠≠ ωωωω2
c) Parallele Schwingung mit A1 = A2 = A und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2
Berechnung der resultierenden Summen-Schwingung mittels Additionstheoremen für trigonometrische Funktionen oder komplexen e-Funktionen
Einzelschwingungen addierensich zur Gesamtschwingung
Superpositionsprinzip
Winkel ϕϕϕϕ ist die relativePhasenverschiebungzwischen den beiden Schwingungen
Wichtigster Fall : Harmonische Schwingungen
(33)
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x(t)
Überlagerung harmonischer Schwingungen
Superpositionsprinzip : Direkte Addition der momentanen Auslenkungen
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
Abbildung der Schwingung auf Kreisbewegung
Projektion der Auslenkungen x(t) auf Kreis
Darstellung der Auslenkung durch umlaufenden Zeiger im Kreis mir r = Amplitude
Addition zweier Schwingungen entspricht vektorielle Addition zweier Zeiger
Hilfsmittel zur mathematischen Berechnung der Auslenkungssumme: Zeigerdiagramm
Phasenverschiebung zwischen den Teilschwingungen
Teilschwingungen in Phase
(34)
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Überlagerung harmonischer Schwingungen
)cos()sin(
)tan(
)cos(2
)cos()cos()cos()(
21
2
2122
21
2211
ϕϕϕϕϕϕϕϕββββ
ϕϕϕϕ
ββββωωωωϕϕϕϕωωωωωωωω
⋅+⋅=
⋅⋅⋅++=
−⋅⋅=−⋅⋅+⋅⋅=
AAA
AAAAA
tAtAtAtx
Parallele Schwingungen mit ωωωω1 = ωωωω2 = ωωωω: Zeitlich konstante Phasendifferenz ϕϕϕϕSumme ist wieder harmonische Schwingung mit gleicher Frequenz ωωωω
Zeigerdiagramm :
Darstellung der Schwingung durch umlaufenden VektorLänge des Vektors = Amplitude
Überlagerung = VektorsummeSonderfälle : Konstruktive / Destruktive Überlagerung
x1(t)
x2(t)
x1(t) + x2(t)
ϕϕϕϕ
( )
( ) ||1)cos()12(
1)cos(2
212
21
212
21
AAAAAn
AAAAAn
−=−=−=⋅+=
+=+==⋅=
ϕϕϕϕππππϕϕϕϕ
ϕϕϕϕππππϕϕϕϕ Eleganter :Verwendung komplexer e-Funktionen
Übung …..
Auftreten Interferenzterm : Zusätzlich zu einfacher Addition der Einzelterme. Typisch für Addition phasenbehafteter Größen
ββββ
(35)
© H.Neuendorf
Überlagerung harmonischer Schwingungen
))(cos(2
)()(
2122
21
2121
tAAAAA
tttt
δδδδ
ωωωωωωωωωωωωωωωωδδδδ
⋅⋅⋅++=
⋅−=⋅−⋅=
Parallele Schwingungen mit ωωωω1 ≠≠≠≠ ωωωω2 : Nichtkonstante Phasendifferenz ϕϕϕϕ
Summe ist keine harmonische Schwingung mehr → Anharmonisch !
Zeitliche Modulation der Amplitude zwischen Extremwerten:
Ünerschaubar Periodisch nur bei einfachem rationalem Frequenzverhältnis : m,n ∈ N und sind kleine Zahlen
[ ]||,)( 2121 AAAAtA −+=
TnTnTmm
nmnm
=⋅=⋅=⋅=⋅
==
221
1
212
1
22ωωωωππππ
ωωωωππππ
ωωωωωωωωωωωωωωωω
Kleines gemeinsames Vielfaches = Überschaubar kurze Periode T existiert !
Resultierende Phasendifferenzist nicht konstant sondern durchläuft zyklisch alle möglichen Werte zwischen 0 und 2ππππ. Somit ist auch die Amplitude nicht konstant
(36)
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Überlagerung harmonischer Schwingungen Parallele Schwingungen mit A1 = A2 und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2 : Schwingung mit periodisch veränderlicher Amplitude = reine SchwebungAmplitude variiert langsam zwischen Null und Maximum
Bsp : t = 0s, 12s, 24s, ...
Beide Schwingungen mit vollem Ausschlag in die gleiche Richtung ergibt Verstärkung
Bsp : t = 6s, 18s, 30s, ...
Beide Schwingungen mit vollem Ausschlag in entgegengesetzteRichtung ergibt Auslöschung
Mathematische Darstellung
→ AdditionstheoremAnwendung auf Addition der beiden Schwingungen
+⋅
−⋅=+2
cos2
cos2)cos()cos(yxyxyx
Einhüllende
Langsame Modulation der Amplitude
Amplitude der reinen Schwebung ist doppelt so groß wie die der Ausgangsschwingungen
(37)
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Überlagerung harmonischer Schwingungen : Schwebung
⋅+⋅
⋅−⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅ ttAtAtA2
cos2
cos2)cos()cos( 212121
ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
Langsame Einhüllende:Modulation mit geringer Frequenz
Ist Schwingung überlagert
Bewirkt Modulation der Amplitude zwischen 0 und 2A
Schnelle Schwingung :Summen-Schwingung mit mittlerer Frequenz ωωωω = (ωωωω1 + ωωωω2) / 2 ≈≈≈≈ ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2
Wird durch Einhüllende moduliert
Schwebungsfrequenz:
2121
21 4,
2 ωωωωωωωωππππωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω
−⋅=<<−= ss T
Schwebungsperiode ist umso größer (länger), je dichter die Frequenzen ωωωω1 und ωωωω2 beieinanderliegen.
Die Modulation erfolgt mit der deutlich kleineren Frequenz ωωωω = (ωωωω1 - ωωωω2) / 2.
Der Modulationsterm stellt die Einhüllende der Schwingung dar und moduliertdie Amplitude der Schwingung.
Der Term variiert bei der reinen Schwebung langsam zwischen 0 und 2A und ist für die Schwebungserscheinung verantwortlich.
(38)
© H.Neuendorf
Unreine Schwebung
Überlagerung von 2 Schwingungen mit unterschiedlichen Amplituden :
A1 ≠≠≠≠ A2 und ωωωω1 ≈≈≈≈ ωωωω2
Schwingungen können sich nicht mehr völlig auslöschen !
Resultierende Amplitude A(t) fällt bei Modulation nicht mehr auf Null ab
Variiert langsam zwischen :
[ ]||,)( 2121 AAAAtA −+=
Modulierte Amplitude variiert langsam zwischen einem minimalen und maximalen Wert =
Differenz bzw. Summe der Amplituden der beiden Einzelschwingungen
Beobachtung : Durch Überlagerung zahlreicher Schwingungen unterschiedlicher Frequenz können auch sehr unregelmäßige Verläufe dargestellt werden :
Findet systematische Anwendung im Bereich der Fourier-Analyse und -Synthese ...........
(39)
© H.Neuendorf
Anwendung : Fourier- Reihen
Überlagerung harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen : Fourier-Theorem
Jeder periodische Verlauf x(t) darstellbar als Summe harmonischer Schwingungen
Frequenzen ωωωωn = n · ωωωω = Ganzzahlige Vielfache = Oberschwingungen der Grundfrequenz ωωωω
Relatives Gewicht der Einzelschwingungen = Amplituden = Entwicklungskoeffizienten
( )∞
=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=
0
)sin()cos()(n
nn tnBtnAtx ωωωωωωωω
Zerlegung x(t) = Fourier-AnalyseAuftragung An Bn gegen ωωωωn = Fourier-Spektrum Signaldarstellung = Fourier-Synthese
Behandlung in Vorlesung Signale & Systeme
+−+= ...5cos51
3cos31
cos2
2)( xxxAAxf
ππππ
(40)
© H.Neuendorf
Überlagerung harmonischer Schwingungen Orthogonale Schwingungen ωωωωx , ωωωωy
Zwei Fälle : 1. ωωωωx = ωωωωy 2. ωωωωx ≠≠≠≠ ωωωωy
1. ωωωωx = ωωωωy = ωωωωSchwingungen in x- und y-Richtungen : x(t) und y(t)
Im allgemeinen Fall liegt Phasenverschiebung ϕϕϕϕ vor
)cos()(
)()cos()cos()(
ϕϕϕϕωωωω
ωωωωωωωω
−⋅⋅=
=⋅⋅⋅=
tAty
AtxttAtx
y
xx
mk x
k x
k y
k y
x
y
Mit Additionstheoremen folgt für y(t) :
( )
)(sin)cos(2
)sin()(
1)cos()()(
)sin()(
1)cos()(
)sin()sin()cos()cos()(
22
2
2
22
2
ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕωωωωϕϕϕϕωωωω
=⋅−+⋅
−=⋅−
⋅
−+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅⋅=
yxyxxxy
xxy
y
AAxy
Ay
Ax
Atx
Atx
Aty
Atx
AtxA
ttAty
Gleichung einer Ellipse : Senkrechte Überlagerung führt zu Bewegung auf Ellipse
x
y
A yy0
(41)
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Orthogonale Schwingungen 1. ωωωωx = ωωωωy = ωωωω Spezialfälle :a) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = 0 (Gleichtakt)
)()(
02
)(sin)cos(2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
txAA
ty
Ay
Ax
AAxy
Ay
Ax
AAxy
Ay
Ax
x
y
yxyxyxyxyx
⋅=
=
−=−+=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ
Geradengleichung :
Masse schwingt auf Geraden
Linear polarisierte Schwingungx
yA y
A x
b) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 (Gegentakt)
1)()(
)(sin)cos(2
2
2
2
2
22
2
2
2
=+
=⋅−+
yx
yxyx
Aty
Atx
AAxy
Ay
Ax ϕϕϕϕϕϕϕϕ
Ellipsengleichung :
Masse schwingt auf Ellipse mit Hauptachsen parallel zu x- und y-Achse
Elliptisch polarisierte Schwingung
x
yA y
A x
Die Spezialfälle sind auch bei der Beschreibung der Polarisation von Wellen interessant ….
(42)
© H.Neuendorf
Orthogonale Schwingungen
Geradengleichung :
Masse schwingt auf Geraden mit negativer Steigung
Linear polarisierte Schwingung
c) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ / 2 (Gegentakt) und Ax = Ay = A
2222
2
2
2
22
2
2
2
)()(1
)(sin)cos(2
AtytxAy
Ax
AAxy
Ay
Ax
yxyx
=+=+
=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ
Kreisgleichung : Masse schwingt auf Kreis
Zirkular polarisierte Schwingung
x
yA y
A x
d) Phasenverschiebung ϕϕϕϕ = ππππ ("Negativer" Gleichtakt)
)()(
02
)(sin)cos(2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
txAA
ty
Ay
Ax
AAxy
Ay
Ax
AAxy
Ay
Ax
x
y
yxyxyxyxyx
⋅−=
=
+=++=⋅−+ ϕϕϕϕϕϕϕϕ
x
yA y
A x
(43)
© H.Neuendorf
Orthogonale Schwingungen 2. ωωωωx ≠≠≠≠ ωωωωy Spezialfälle :
a) Einfaches Rationales Frequenzverhältnis ωωωωx / ωωωωy = m / n
Geschlossene Bahnen in der xy-Ebene = Lissajous-Figuren
Periode T der Bahn:
Nach T : m ganze Schwingungen in x-Richtung +
n ganze Schwingungen in y-Richtung
b) "Irrationales" Frequenzverhältnis ωωωωx / ωωωωy ≠≠≠≠ m / n
Nicht durch kleine ganze Zahlen ausdrückbar
Keine geschlossenen Bahnen in xy-Ebene
Bahnkurven füllen im Lauf der Zeit erreichbaren
Teil der xy-Ebene immer dichter aus
TTnTmTT
nm
yxx
y
y
x =⋅=⋅==ωωωωωωωω
Lissajous-Figuren für verschiedene Frequenz-Verhältnisse ωωωωx / ωωωωy = 1:2, 1:3, 1:4 und für verschiedene Phasenverschiebungen zwischen den beiden orthogonalen Schwingungen …..