ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA ELEKTROTECHNIKY

Aspekty výpočtu čísla PI Úloha 3 v předmětu P01SAA

Vypracoval: Ing. Ladislav Prskavec leden 2003

Úvod Úloha 3 má toto zadaní: Porovnejte numerickou náročnost a přesnost výpočtu čísla PI (π) pomocí

• částečných součtů řad

( ) 1

2 21 1

11 .n

n nresp

n n

+∞ ∞

= =

−∑ ∑

• pomocí numerického výpočtu

20

1 , 1,2,1 n nx

∞

=+∫ 3

• případně najděte další možnosti Kromě zadání jsem se do práce zahrnul něco o historii výpočtu čísla PI od starověku až po současnost, zmíním některé další metody výpočtu čísla PI, které jsem našel v literatuře. Na konci jsou uvedeny odkazy na literaturu a zdroje na internetu ze kterých jsem čerpal.

Historie čísla PI První teoretická kalkulaci uskutečnil Archimedes ze Syracus (287-212 p.n.l.). Docílil této aproximace čísla PI: 223/71 < PI < 22/7 Další matematici, kteří se problému výpočtu PI věnovali jsou v tab.1 a tab.2, mě zaujmul: Tsu Ch'ung Chi (430-501 n.l.) byl čínský matematik a astronom. Jeho odhad PI byl 355/113 (3,141592), což bylo přesně na šest desetinných míst. V astronomii dospěl k přesnému času slunovratu pomocí měření stínu slunce v poledne kolem slunovratu.

Matematik Datum Dest. místa KomentářRhind papyrus 2000 BC 1 3,16045Archimedes 250 BC 3 3,1418Vitruvius 20 BC 1 3,125 (= 25/8)Chang Hong 130 1 3,1622 (=√10)Tsu Ch'ung Chi 480 7 3,141592920 (= 355/113)Aryabhata 499 4 3,1416 (=62832/2000)Fibonacci 1220 3 3,141818Al-Kashi 1430 14 3,141592654Viète 1593 9 3,141592654Van Ceulen 1596 35 3,141592654Newton 1665 16 3,141592654Sharp 1699 71Takebe 1723 41Rutherford 1853 440Shanks 1874 707 jen 527 správnýchFerguson 1946 620

Tab. 1

V tab.1 jsou uvedeni někteří další matematici, kteří se výpočtu PI věnovali. V tab.2 jsou uvedeny výsledky, které se podařilo docílit pomocí počítačů.

Matematik Datum Dest. místa PočítačFerguson Jan 1947 710 Desk calculatorSmith, Wrench 1949 1120 Desk calculatorReitwiesner et al. 1949 2037 ENIACGenuys Jan 1958 10000 IBM 704Guilloud, Filliatre 1966 250000 IBM 7030Guilloud, Dichampt 1967 500000 CDC 6600Tamura, Kanada 1982 4194288 HITACHI M-280HKanada, Yoshino, Tamura 1982 16777206 HITACHI M-280HBailey Jan 1986 29360111 CRAY-2Kanada, Tamura Oct 1986 67108839 HITACHI S-810/20Kanada, Tamura Jan 1988 201326551 HITACHI S-820/80Chudnovskys May 1994 4044000000Kanada, Takahashi Aug 1997 51539600000 HITACHI SR2201Kanada, Takahashi Sept 1999 2,06158E+11 HITACHI SR8000

Tab. 2

Dnes je rekord stále z 20.9.1999, kdy výpočet trval 37h:31m:4s. Použitý algoritmus byl Gauss-Legendre a kontrola se provedla pomocí Borweina algoritmu 4-tého řádu (trvala 46:07:10). Výpočet byl proveden na HITACHI SR8000 (obr.1)[14].

Obr. 1

Numerickou náročnost a přesnost výpočtu čísla PI Pomocí integrálu:

6 60 0

3 3,1 1

k

kdy platíx x

π∞

=+ +∫ ∫

Pomocí řady:

22 2

1 1

6 6,k

n nkdy platí

n nπ

∞

= =

=∑ ∑

INTEGRÁL ŘADA

Pik Výsledek Čas[s] k Výsledek Čas[s]1 2.71131532124631614053 1 2.449489742783178098202 97449019850091872 2 2.738612787525830567283 3.13912505597564091929 3 2.857738033247041114564 3.1 678110277199741 4 2.922612986125030319475 3.14140065917501649133 5 2.963387701038570934476 3.141 49384769072926 6 2.991376494748418212447 3.14155695431676002726 7 11773947846214116338 3.14157434307466779332 8 3.027297856657842987559 3.14158249254579899392 9 3.0395075895610532497310 3.14158665359252050943 10 3.0493616359820696317911 3.14158892806281077564 23 3. 6973013951778645212 3.1415 4232472819776 600 3.1 0020270364579646116 3.14159 138521889746 1611 3.14 00257864873819826 3.141592 09059187347 10307 3.141 000806581155517 18.92745 3.1415926 382563794264 3.14159265 09996937093 3.141592653 54772589

9528 3.1415926535897932384 0.07

3.14159265358979323846

3.122

4100

5153.0

100902 40208 100603 50503303503

6Tab. 3

Výpočet PI

0

5

10

15

20

0 2000 4000 6000 8000 10000

k [cykl]

Pi [

mis

ta]

Řada Integrál

Graf 1

Další metody výpočtu čísla PI V této části se zmíním o dalších algoritmech, myslím že nejlepší shrnutí všech důležitých algoritmů se nalezne v [11] a velmi zajímavé pojednání je [12]. Digit-extraction algorimus spočívá v možnosti získání určitého desetinného místa bez nutnosti výpočtu předchozích míst. Bailey-Borwein-plouffe algoritmus pro PI je

nejlepší známý příklad takového algoritmu, ale existuje obdobný algoritmus pro výpočet Eulerova čísla e.

Bailey-Borwein-Plouffe Algorithm Digit-extraction algoritmus pro výpočet desetinných míst je dán tímto vzorcem:

4 2 1 1 1( ) 168 1 8 4 8 5 8 60

nn n n nn

π∞

= − − −∑+ + + +=

( )

Leibnizova řada 11 3 51

53tan ...x x x x− = − + +

dosazením za x=1 dostaneme

Gregoryho vzorec

1 11 ...

4 3 5π= − + +

Pi a Fibonacciho čísla Fibonacciho čísla se dají využít pro výpočet PI. Dle Eulerova vzorce je dokázáno:

1 1arctan( ) arctan( )

4 2 3π= +

pro výpočet PI je dobré, že hodnoty arctan jsou menší než 1. (Menší hodnoty tangenty v Gregoryho vzorci znamenají rychlejší konvergenci a tím méně práce při nalezení PI.)

Metoda MonteCarlo Máme jednotkovou kružnici (poloměr=1) vepsanou ve čtverci jehož strany se rovnají dvěma (viz. obr.2).

Obr. 2

Pokud si vezme náhodný bod (x,y) kde x a y jsou v hodnotách mezi -1 a 1 pak pravděpodobnost že náhodný bod leží uvnitř kruhu je dána poměrem plochy mezi jednotkovou kružnicí a čtvercem.

2 2( 1)4

SkruhP x ySčtverec

π+ < = =

Když vezmeme náhodný bod N-krát a M-krát leží bod uvnitř jednotkové kružnice, pravděpodobnost že náhodný bod leží uvnitř je dána:

2 2( 1) MP x yN

ο + < =

kde Po znamená, že se jedná o diskrétní rozdělení (protože M a N jsou celá čísla). Ale pokud N je velmi velké (teoreticky nekonečno), jsou tyto dvě pravděpodobnosti stejné a můžeme psát:

4 MN

π ⋅=

Literatura: [1] Calculating Pi The open source project for calculating Pi, [on-line],

[cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://projectpi.sourceforge.net/.

[2] Otanoshimi Page -Pi-, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.hepl.phys.nagoya-u.ac.jp/~mitsuru/pi-e.html.

[3] Pi history-, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/ ~history/ HistTopics/ Pi_through_the_ages.html.

[4] Pi to 10 000 decimal places, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.ex.ac.uk/cimt/general/pi10000.htm.

[5] Yahoo! Science Mathematics Numerical Analysis Numbers Specific Numbers Pi Calculating Pi, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://dir.yahoo.com/Science/Mathematics/Numerical_Analysis/ Numbers/Specific_Numbers/Pi/Calculating_Pi/.

[6] EARTH MYSTERIES Notes on Pi (¼ ) , [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://witcombe.sbc.edu/earthmysteries/EMPi.html.

[7] Pi and the Fibonacci Numbers, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/ Fibonacci/fibpi.html.

[8] Pi chronology, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/ Pi_chronology.html.

[9] The Monte Carlo Method, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.daimi.aau.dk/~u951581/pi/MonteCarlo/pimc.html.

[10] Introduction to Monte Carlo Methods, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://csep1.phy.ornl.gov/mc/mc.html.

[11] Pi formulas, [on-line] [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html.

[12] Victor Adamchik, Stan Wagon, Pi: A 2000-Year Search Changes Direction, [on-line], [cit.3.1.2003], Dostupné na internetu (v Mathematica notebooku): http://mathworld.wolfram.com/notebooks/Constants/PiFormulas.nb.

[13] Peter Borwein: Pi and Other Constants, [on-line] [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein.

[14] HITACHI SR8000 Series Super Technical Server, [on-line], [cit.12.11.2002], Dostupné na internetu: http://www.hitachi.co.jp/Prod/comp/hpc/eng/ sr81e.html.