pirkovskii - Спектральная теория

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

А.Ю.Пирковский

Спектральная теория

и функциональные исчисления

для линейных операторов

МоскваИздательство МЦНМО

2010

УДК 517.98ББК 22.162

П33

Научный редактор А.Я.Хелемский.

Пирковский А.Ю.П33 Спектральная теория и функциональные исчисления для ли-

нейных операторов.|М: МЦНМО, 2010.|176 c.ISBN 978-5-94057-573-3

Книга представляет собой записки семестрового курса лекций по спек-тральной теории, прочитанного автором в Независимом московском уни-верситете в весеннем семестре 2003 г. Ее можно рассматривать как допол-нение к стандартному университетскому курсу функционального анализа.Особое внимание уделяется построению функциональных исчислений (отголоморфного до L∞-исчисления) и доказательству спектральной теоремыв ее различных формулировках. Включено также изложение теории кратно-сти в терминах измеримых гильбертовых расслоений. Для книги характереналгебраический подход, при котором линейные операторы трактуются какпредставления функциональных алгебр.

Для студентов и аспирантов математических и физических специаль-ностей.

ББК 22.162

Алексей Юльевич Пирковский

Спектральная теория и функциональные исчислениядля линейных операторов

Подписано в печать 18.11.2009 г. Формат 60× 90 1/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Печ. л. 11. Тираж 1000 экз. Заказ Ђ 189.

Издательство Московского центранепрерывного математического образования119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ООО «Принт Сервис Групп».Москва, 2-й Лихачевский пер., д. 7.

ISBN 978-5-94057-573-3 c© Пирковский А.Ю., 2010

Светлой памяти Дмитрия Петровича Желобенко|выдающегося математика и замечательного человека

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Введение: задача о функциональном исчислении . . . . . . . . . 8

2. Спектр и его простейшие свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 15§ 2.1. Алгебры и спектры их элементов . . . . . . . . . . . . . . . . 15§ 2.2. Банаховы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр . . . . . . . . . . . . . . 25§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления . . . . . . . . . . 29§ 2.5. Спектральный радиус . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Части спектра линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . 36§ 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры. Операторы

умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига . . . . . . . . . . . . . . . 39§ 3.3. Еще несколько частей спектра . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Голоморфное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50§ 4.1. Полинормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 50§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства . . . . . . . 54§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях . . . . . . . 63Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5. Преобразование Гельфанда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67§ 5.1. Максимальные идеалы и характеры . . . . . . . . . . . . . . . 67§ 5.2. Слабая и слабая* топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70§ 5.3. Топология на спектре и преобразование Гельфанда . . . . . . 74§ 5.4. Преобразование Гельфанда: примеры . . . . . . . . . . . . . . 76§ 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда . . . . 79Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

6. C∗-алгебры и непрерывное исчисление . . . . . . . . . . . . . . . 87§ 6.1. Операторы в гильбертовом пространстве и C∗-алгебры . . . 87

Оглавление 5

§ 6.2. Спектры элементов C∗-алгебр. Первая теорема Гельфан-да|Наймарка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

§ 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства . . . . . . . 95Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7. Борелевское исчисление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100§ 7.1. Операторы и полуторалинейные формы . . . . . . . . . . . . . 100§ 7.2. Комплексные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102§ 7.3. Слабо-мерная топология на B(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 105§ 7.4. Слабо-операторная топология на B(H) . . . . . . . . . . . . . 107§ 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства . . . . . . . . 108Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8. Спектральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115§ 8.1. Спектральные меры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116§ 8.2. Регулярные спектральные меры и представления алгебры

C(X). Спектральная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Римана|Стил-

тьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9. Функциональные модели нормальных операторов . . . . . . . . . 127§ 9.1. Модули, банаховы модули, гильбертовы модули . . . . . . . . 127§ 9.2. Функциональная модель ∗-циклического оператора . . . . . . 131§ 9.3. Функциональная модель: общий случай . . . . . . . . . . . . . 135§ 9.4. L∞-функциональное исчисление. Скалярная спектральная

мера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

10. Теория кратности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы . 152§ 10.2. Разложение гильбертова C(X)-модуля в прямой интеграл . 160§ 10.3. Теорема о классификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164Литературные указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящая книга представляет собой записки семестрового курсалекций по спектральной теории, прочитанного автором в Независимоммосковском университете в весеннем семестре 2003 г. Помимо материа-ла, излагавшегося на лекциях, в текст включено доказательство теоре-мы о классификации представлений коммутативных C∗-алгебр в сепа-рабельных гильбертовых пространствах (на лекциях эта теорема быласформулирована без доказательства из-за недостатка времени).

Основной принцип, которого мы старались придерживаться в этихлекциях, состоит в том, чтобы рассматривать линейные операторы какпредставления различных алгебр, состоящих из функций, определен-ных на подходящих подмножествах комплексной плоскости (или, чтоэквивалентно, как модули над этими алгебрами). Такой алгебраиче-ский подход к теории операторов зачастую позволяет более нагляднопредставить себе геометрическую картину, стоящую за тем или инымоператором, делает формулировки и доказательства многих классиче-ских результатов более прозрачными и компактными и, в конечномитоге, открывает широкие возможности для различных обобщений|в том числе на многомерный случай. В качестве примера эффективно-сти указанного подхода отметим теорему Дж.Тэйлора (см. [45]) о голо-морфном исчислении от набора коммутирующих операторов на их со-вместном спектре (само определение которого далеко не очевидно и по-требовало развития адекватной алгебраической техники). Другой не-давний пример|уже из теории «одного оператора»|решение Ж.Пи-зье (см. [44]) известной проблемы П.Халмоша о том, всякий ли поли-номиально ограниченный оператор в банаховом пространстве подобенсжатию. При решении этой проблемы существенно использовался тотфакт, что полиномиально ограниченные операторы|это то же самое,что представления дисковой алгебры A (D), в то время как операторы,подобные сжатию, | это в точности так называемые вполне ограни-ченные представления этой алгебры.

Впрочем, все эти недавние результаты в книгу по понятным причи-нам не вошли. Наша более скромная цель состоит в том, чтобы позна-комить читателя с классическими результатами спектральной теории(полученными в первой половине XX в.), используя при этом современ-ный язык и современную терминологию, и подготовить его тем самымк восприятию более специальной литературы по данному предмету.

Предисловие 7

Главным инструментом, позволяющим смотреть на линейные опе-раторы как на представления функциональных алгебр, являются все-возможные теоремы о функциональных исчислениях | голоморфном,гладком, непрерывном, борелевском и т. п. Чем более богатым функ-циональным исчислением обладает оператор, тем он «лучше» с точкизрения спектральной теории. В этих лекциях мы старались по возмож-ности двигаться в направлении убывания общности|от теоремы о го-ломорфном исчислении, справедливой для любого ограниченного опе-ратора в банаховом пространстве, до теорем о борелевском и L∞-исчи-слениях для нормального оператора в гильбертовом пространстве.

Последние три главы посвящены одному из основных результатовклассической спектральной теории | спектральной теореме для нор-мального оператора в ее различных формулировках. В частности, в по-следней главе, посвященной теории кратности, мы обсуждаем геоме-трическую модель нормального оператора (или, более общим образом,гильбертова модуля над коммутативной C∗-алгеброй), определяемуюв терминах измеримых гильбертовых расслоений (т. е. измеримых по-лей гильбертовых пространств) и их прямых интегралов, и даем пол-ную классификацию таких операторов с точностью до унитарной экви-валентности.

Помимо теорем о функциональных исчислениях и спектральной те-оремы, составляющих ядро курса, мы также включили в лекции разно-образный материал, необходимый (а иногда формально не являющийсянеобходимым, но полезный) для понимания этих теорем. К такому ма-териалу относятся базовые сведения о банаховых и C∗-алгебрах и спек-трах их элементов, полинормированных (т. е. локально выпуклых) про-странствах и алгебрах, категориях и функторах и т. д. Принцип, кото-рым мы руководствовались при отборе этого материала, состоял в том,чтобы не жалеть времени и места на общематематические концепции,используемые по ходу дела, поскольку они зачастую помогают видетьто общее, что есть в разных областях математики.

Автор выражает глубокую благодарность А.Я.Хелемскому, научив-шему его функциональному анализу и многим другим вещам и любезнопредоставившему в распоряжение автора записки своих тогда еще неопубликованных лекций [30], которые были существенно использованыпри подготовке данного курса. Автор также признателен всем своимслушателям за внимание, проявленный интерес, терпение и поддерж-ку. Любые замечания и предложения по поводу содержания книги будутс благодарностью приняты по адресу [email protected].

1. ВВЕДЕНИЕ: ЗАДАЧА О ФУНКЦИОНАЛЬНОМИСЧИСЛЕНИИ

Во многих областях математики и математической физики прихо-дится иметь дело с функциями от линейных операторов. Вот простей-ший пример, знакомый вам со второго курса: чтобы решать системылинейных дифференциальных уравнений, полезно уметь брать экспо-ненту от оператора. Другой источник таких задач | квантовая ме-ханика. В математической модели квантовой механики, предложеннойфон Нойманном в 30-х гг. прошлого века, линейные операторы играютроль наблюдаемых (т. е. тех или иных физических характеристик иссле-дуемой системы, которые мы хотим измерить, таких как координата,импульс, энергия и т. п.) Часто бывает так, что одна наблюдаемая явля-ется функцией от другой или нескольких других (например, энергиявыражается через координату и импульс). Вот и приходится подста-влять в качестве аргументов функции не числа, а операторы. Основнаясложность в том, что операторов обычно несколько и они не коммути-руют. Мы будем иметь дело с функциями от одного оператора; но ужеи в этом случае, как мы вскоре увидим, есть много интересных задач.

Говоря нестрого, задача о функциональном исчислении состоитв том, чтобы научиться придавать смысл выражению f(T ), где T : E→→ E|линейный оператор в комплексном1 линейном пространстве E,а f | функция, заданная на каком-либо подмножестве комплекснойплоскости.

Вы, конечно, хорошо знаете, что от любого линейного оператораможно «брать многочлены»: если p ∈ C[t]|многочлен, p(t) = ant

n + : : :: : : + a1t + a0, то p(T ) | это оператор anT

n + : : : + a1T + a01E (здесьи далее 1E|тождественный оператор в E). Какие еще функции можнобрать от T? Чтобы разобраться в этом вопросе, посмотрим на двапростых, но важных примера.

Пример 1.1. Пусть E = Cn, и пусть оператор T записывается в ка-ком-либо базисе диагональной матрицей:

T =

�1 0. . .

0 �n

:

1В дальнейшем все события будут разворачиваться над полем комплексных чисел.

1. Введение: задача о функциональном исчислении 9

Легко проверить, что для любого многочлена p ∈ C[t] оператор p(T )записывается в том же базисе так:

p(T ) =

p(�1) 0. . .

0 p(�n)

:

Правая часть последнего равенства имеет смысл, если вместо много-члена p в нее подставить любую функцию f ,|лишь бы она была опре-делена в �1; : : : ; �n. Поэтому для любого подмножества M ⊂ C, содер-жащего �1; : : : ; �n, и любой функции f : M → C можно положить поопределению

f(T ) :=

f(�1) 0. . .

0 f(�n)

:

Какими свойствами обладает построенное «функциональное исчи-сление» от T , имеет ли оно право так называться и что следует называтьфункциональным исчислением в общем случае (т. е. для произвольно-го T )? Общепринятый подход к понятию функционального исчислениявыглядит следующим образом. Обозначим через L (E) пространствовсех линейных операторов, действующих в E, и рассмотрим отображе-ние p : C[t]→L (E), сопоставляющее каждому многочлену p операторp(T ). Это отображение называется полиномиальным исчислением от T .Очевидно, отображение p обладает следующими свойствами:

1) p линейно;2) p(fg) = p(f) p(g) для любых f; g ∈ C[t];3) p(1) = 1E ;4) p(t) = T (где t ∈ C[t]| «независимая переменная»).

Условия 1)|3) означают в точности, что p | гомоморфизм алгебр,а условие 4) однозначно определяет этот гомоморфизм. Простейший, новесьма полезный принцип, лежащий в основе алгебраического подходак теории операторов, состоит в следующем.

Задать линейный оператор T : E→ E|это все равно, что задатьгомоморфизм C[t]→L (E).

В самом деле, каждый оператор T задает гомоморфизм p : C[t]→L (E),и обратно, любой гомоморфизм ' : C[t]→L (E) является полиномиаль-ным исчислением от оператора T = '(t).

Теперь мы можем сформулировать задачу о функциональном ис-числении более строго. Пусть M ⊂ C, и пусть A|какая-либо алгебра

10 1. Введение: задача о функциональном исчислении

функций наM (относительно поточечных операций), содержащая огра-ничения наM всех многочленов. Обозначим через r : C[t]→A гомомор-физм ограничения: r(p) = p|M . Задача о функциональном исчисленииставится так.

Существует ли гомоморфизм A : A→L (E), делающий диаграмму

C[t] p //

r

��

L (E)

A

A

;;ww

ww

w

(1.1)

коммутативной?

Обозначим через F (M) алгебру всех комплекснозначных функцийна множестве M ⊂ C. Результат, полученный в примере 1.1, теперьможно переформулировать следующим образом.

Предложение 1.1. Пусть E = Cn. Предположим, что оператор T ∈∈ L (E) в некотором базисе записывается диагональной матрицейс числами �1; : : : ; �n на диагонали. Тогда для любого множестваM ⊂ C, содержащего �1; : : : ; �n, задача (1.1) разрешима для A= F (M).

Упражнение 1.1. Покажите, что условие M ⊃ {�1; : : : ; �n} не толькодостаточно, но и необходимо для разрешимости задачи (1.1) сA=F (M).

Множество {�1; : : : ; �n}, фигурирующее выше, | это не что иное,как спектр �(T ) оператора T . Напомним, что спектром линейногооператора T ∈L (E), действующего в конечномерном векторном про-странстве E, называется множество его собственных значений, т. е. та-ких чисел � ∈ C, что Tx= �x для некоторого ненулевого вектора x ∈ E.(Для произвольного векторного пространства E спектр определяетсяпо-другому; об этом|чуть позже.) Ситуация, описанная в предложе-нии 1.1 и упражнении 1.1, совершенно типична для теории операторов;она указывает на взаимосвязь понятий спектра и функционального ис-числения. Утверждения типа «такой-то оператор T обладает функ-циональным исчислением для такой-то алгебры A на множестве Mтогда и только тогда, когда M содержит �(T )», встретятся нам напротяжении курса неоднократно.

Итак, нам предстоит иметь дело с задачами типа (1.1). В качестве Eу нас будет выступать бесконечномерное банахово (или даже гильбер-тово) пространство, а операторы будут ограниченными (так что вме-сто L (E) в диаграмме (1.1) будет стоять алгебра B(E) ограниченныхоператоров в E). Алгебры A и B(E), как правило, будут снабжаться


какими-либо топологиями; при этом мы будем требовать, чтобы гомо-морфизм A был непрерывным.

По сравнению с ситуацией, рассмотренной в примере 1.1, в беско-нечномерном случае возникает целая серия вопросов. Во-первых, на-до дать «правильное» определение спектра оператора: дело в том, чтособственных значений у оператора в бесконечномерном пространствеможет попросту не оказаться. Далее, если мы решим строить функ-циональное исчисление по аналогии с примером 1.1, то надо выяснить,какие операторы приводятся к «диагональному виду», и вообще, чтотакое «диагональный вид» оператора.

Один из центральных результатов классической спектральной тео-рии| спектральная теорема|как раз и позволяет приводить самосо-пряженные операторы в гильбертовом пространстве к «диагональномувиду», придает точный смысл последнему понятию и заодно дает воз-можность строить функциональные исчисления для таких операторов.Чтобы приблизительно представить себе ее формулировку, полезно за-писать оператор из примера 1.1 в бескоординатной форме.

Итак, пусть H = Cn, и пусть T | оператор в H, про которыйдополнительно известно, что в некотором ортонормированном бази-се он записывается диагональной матрицей с действительными чи-слами на диагонали. (Это означает в точности, что оператор само-сопряжен.) Пусть �1; : : : ; �k | его различные собственные значения.Упорядочим их по возрастанию: �1 < : : : < �k. Для каждого � ∈ Rпусть H(�) = {x ∈ E : Tx = �x}| соответствующее собственное под-пространство. Далее, положим H� =

⊕�6�

H(�) и обозначим через E� ор-

тогональный проектор на H�. Мы получаем цепочку подпространств{H�}�∈R, вложенных друг в друга: H� ⊂ H� при � 6 �. Кроме того,H� = 0 при � < �1 и H� = H при � > �k. Отметим, что простран-ство H� не меняется на полуинтервале [�i; �i+1) (там оно совпадаетс H�i), а в каждом собственном значении �i оно делает «скачок»: к немудобавляется прямое слагаемое H(�i). Тогда тот факт, что оператор Tдиагонализируется, означает в точности, что

T =k∑j=1

�j(E�j − E�j−1) (1.2)

(здесь мы полагаем E�0 = 0). Функциональное исчисление, построенноев примере 1.1, задается формулой

f(T ) =k∑j=1

f(�j)(E�j − E�j−1):


Спектральная теорема представляет собой обобщение двух по-следних формул на случай бесконечномерного гильбертова простран-ства H. В гл. 8 мы ее сформулируем и докажем, а сейчас ограни-чимся несколькими нестрогими заявлениями рекламного характера.Для любого самосопряженного оператора T в гильбертовом простран-стве H будет построено некое неубывающее семейство подпространств{H�}�∈R (возрастающее, однако, уже не «скачкообразно», а более илименее произвольным образом), такое, что оператор T представляетсяв виде

T =∫

R� dE�;

где интеграл можно понимать как предел интегральных сумм ви-да (1.2). Функциональное исчисление от T задается формулой

f(T ) =∫

Rf(�) dE�:

В отличие от конечномерного случая, последний интеграл существуетне для всех функций, определенных на спектре оператора T (что и по-нятно|не любую же функцию можно интегрировать!), но все же длявесьма широкого их класса.

Как и многие другие важные утверждения в математике, спек-тральная теорема имеет несколько формулировок, по сути эквивалент-ных друг другу. Упомянем (опять-таки в рекламных целях) еще ободной. Снова вернемся к конечномерному случаю H = Cn. Тот факт,что оператор T ∈L (H) диагонализируется, означает в точности, чтоH =

⊕�∈R

H(�). Сам оператор при этом разлагается в прямую сумму

скалярных (т. е. кратных тождественному) операторов

T =⊕�∈R

�1H(�);

а функциональное исчисление приобретает вид

f(T ) =⊕�∈R

f(�)1H(�):

Оказывается, и эти формулы обобщаются на бесконечномерный слу-чай, только в них вместо прямой суммы будет стоять так называемый


«прямой интеграл»:

T =∫ ⊕

R�1H(�) d�(�);

f(T ) =∫ ⊕

Rf(�)1H(�) d�(�):

Конечно, пространства H(�) уже больше не обязаны быть собственны-ми подпространствами оператора T (напомним|собственных подпро-странств вообще может не быть); более того, они не являются, строгоговоря, подпространствами в H. Одна из целей нашего курса| при-дать смысл всем этим пока что весьма туманным заявлениям.

Итак, от самосопряженных операторов в Cn можно брать любыефункции, определенные на спектре. Что можно сказать про несамосо-пряженные операторы|опять-таки, для начала, в Cn? Посмотрим наследующий пример.

Пример 1.2. Пусть оператор T ∈L (C2) записывается в каком-либобазисе матрицей

T =(0 10 0

):

Ясно, что �(T ) = {0}. По аналогии с примером 1.1 хотелось бы научить-ся брать от нашего оператора функции, определенные в нуле, | хотябы непрерывные. Но, как видно из следующего упражнения, проблемывозникают уже с простейшей функцией f(t) =

√t.

Упражнение 1.2. Пусть T|оператор из примера 1.2. Докажите, что1) не существует такого оператора S ∈L (C2), что S2 = T ;2) более общим образом, при n> 2 не существует такого оператора

S ∈L (C2), что Sn = T ;3) для оператора T задача (1.1) неразрешима (даже) для A= C(R).

Оказывается, единственное препятствие состоит в том, что функ-ция n

√t не дифференцируема в нуле. Чтобы в этом убедиться, сделайте

следующее упражнение.

Упражнение 1.3. 1) Докажите, что для оператора T из примера 1.2задача (1.1) разрешима для A= C1(U), где U ⊂ R|любая окрестностьнуля.

2) Пусть T ∈ L (Cn). Предположим, что �(T ) ⊂ R. Докажите, чтодля любого открытого множества U ⊂ R, содержащего �(T ), зада-ча (1.1) разрешима для A= Cn−1(U).


Пример 1.2 показывает, что от операторов в Cn можно брать лишьдостаточно гладкие функции. Забегая вперед, скажем, что от огра-ниченных операторов в банаховом пространстве можно брать, вообщеговоря, только аналитические функции. Чем оператор «лучше» (c точ-ки зрения спектральной теории), тем больше запас функций, которыеможно к нему применять.

2. СПЕКТР И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА

§ 2.1. Алгебры и спектры их элементов

Само понятие спектра носит чисто алгебраический характер и име-ет смысл не только для линейных операторов, но и для элементов про-извольных ассоциативных алгебр. Напомним следующее определение.

Определение 2.1.Алгеброй (точнее, комплексной ассоциативной ал-геброй) называется векторное пространство A над полем C, снабженноебилинейным оператором A × A→ A, (a; b) 7→ ab, удовлетворяющим то-ждеству (ab)c= a(bc) для всех a; b; c ∈ A. Если ab= ba для всех a; b ∈ A,то алгебра A называется коммутативной. Элемент 1 ∈ A называетсяединицей, если 1 · a = a · 1 = a для всех a ∈ A. Алгебра, обладающаяединицей, называется унитальной.

Как всегда, когда мы имеем дело с неким классом множеств с допол-нительной структурой, нужно ввести отображения, которые эту струк-туру «уважают».

Определение 2.2. Пусть A;B|алгебры. Отображение ' : A→B на-зывается гомоморфизмом, если оно линейно, и '(ab) = '(a)'(b) для всехa; b ∈A. В случае, когда алгебры A и B унитальны, а 1A и 1B|их еди-ницы, гомоморфизм ' называется унитальным, если '(1A) = 1B .

Алгебры, с которыми нам в дальнейшем предстоит иметь дело, мож-но условно разделить на два класса: алгебры функций и операторныеалгебры. По сути дела, функциональные исчисления от операторов|это гомоморфизмы из первых во вторые. Вот несколько базовых при-меров.

Пример 2.1 (алгебры «функций»). 1. Алгебра многочленов1 C[t].2. Алгебра F (S) (обозначаемая также через CS), состоящая из всех

функций на множестве S, снабженная поточечным умножением.3. Ее подалгебра `∞(S), состоящая из ограниченных функций.

Если на множестве S введена какая-либо дополнительная структу-ра, то в F (S) появляется подалгебра, состоящая из функций, которые

1Как учат в курсе алгебры, многочлен| это не функция, а некое «формальноевыражение». Но поскольку наше основное поле C бесконечно, мы всегда будем ото-ждествлять многочлен с соответствующей функцией на C.

16 2. Спектр и его простейшие свойства

с этой структурой согласованы. Приведем три типичных примера та-ких алгебр.

4. Алгебра C(˙) непрерывных функций на топологическом про-странстве ˙.

5. Алгебра C∞(M) гладких функций на гладком многообразии M .6. Алгебра O(V ) голоморфных функций на комплексном многообра-

зии V .

Следующие две алгебры состоят, строго говоря, не из функций, ноимеют с алгебрами функций много общего.

7. Алгебра C(t) рациональных функций.8. Алгебра C[[t]] формальных степенных рядов. Напомним, что она

состоит из формальных выражений вида∞∑n=0

antn (где an ∈ C|любые

числа), а умножение задается формулой(∑nant

n)(∑

nbnt

n)=

∑ncnt

n,

где cn =∑

i+j=naibj (так что C[t] является подалгеброй в C[[t]]).

Пример 2.2 (алгебры операторов). На первых порах нам хватит сле-дующих двух примеров.

1. Алгебра L (E) всех линейных операторов в линейном простран-стве E.

2. Алгебра B(E) всех ограниченных линейных операторов в норми-рованном линейном пространстве E.

Определение 2.3. Пусть A|унитальная алгебра. Элемент a ∈A на-зывается обратимым, если существует такой элемент a−1 ∈ A, чтоaa−1 = a−1a= 1. Элемент a−1 называется обратным к a.

Упражнение 2.1. Докажите, что если элемент a обратим, то у негоесть только один обратный элемент.

Множество всех обратимых элементов алгебры A образует группупо умножению. В самом деле, если элементы a; b обратимы, то элементb−1a−1 является обратным к ab. Группа обратимых элементов алге-бры A обозначается через Inv(A).

Иногда приходится иметь дело со следующим свойством «односто-ронней обратимости».

Определение 2.4. Пусть A|унитальная алгебра. Элемент a ∈A на-зывается обратимым слева (соответственно обратимым справа), ес-ли существует такой элемент a−1` ∈ A (соответственно a−1r ∈ A), чтоa−1` a= 1 (соответственно aa−1r = 1).

§ 2.1. Алгебры и спектры их элементов 17

Упражнение 2.2. 1. Пусть элемент a обратим слева. Обязательно лиэлемент a−1` единственный?

2. Докажите, что если элемент a обратим и слева, и справа, то онобратим и a−1` = a−1r = a−1.

3. Докажите, что если алгебра A конечномерна и элемент a ∈A обра-тим слева (или справа), то он обратим.

4. Верно ли предыдущее утверждение для произвольной алгебры A?

Посмотрим, как выглядят обратимые элементы в рассмотренныхвыше примерах.

Пример 2.3. 1. В алгебрах C и C(t) любой ненулевой элемент обра-тим.

2. Многочлен p ∈ C[t] обратим⇔ deg p = 0 (т. е. p| постояннаяфункция).

3. Формальный степенной ряд a=∞∑n=0

antn ∈C[[t]] обратим⇔ a0 6= 0

(проверьте!).4. Элемент f ∈ F (S) обратим ⇔ f(x) 6= 0 ни для какого x ∈ S. То же

самое верно и в алгебрах C(˙), C∞(M) и O(V ).5. Элемент f ∈ `∞(S) обратим⇔ существует такое " > 0, что

|f(x)|> " для всех x ∈ S.6. Оператор T ∈L (E) обратим ⇔ он биективен.7. Пусть E | банахово пространство. Оператор T ∈ B(E) обра-

тим ⇔ он биективен.

Замечание 2.1. В отличие от п. 6, который тривиален, п. 7 | этоследствие (на самом деле эквивалентная формулировка) теоремы Ба-наха об обратном операторе: если линейный ограниченный оператормежду банаховыми пространствами биективен, то обратный оператортоже ограничен.

Упражнение 2.3. Верно ли утверждение из п. 7, если E | (всеголишь) нормированное пространство?

Вот, наконец, основное определение.

Определение 2.5. Пусть A| унитальная алгебра, и пусть a ∈ A.Спектром элемента a называется множество

�A(a) = {� ∈ C : элемент a− �1 необратим}:


Пример 2.4. Пусть A = F (S), и пусть f ∈ A. С учетом примера2.3 (4) мы видим, что

� ∈ �(f) ⇐⇒ f − �1 необратим ⇐⇒ ∃x ∈ S : (f − �1)(x) = 0 ⇐⇒⇐⇒ ∃x ∈ S : f(x) = � ⇐⇒ � ∈ f(S):

Таким образом, �(f) = f(S) (спектр функции совпадает с множествомее значений). Очевидно, аналогичная ситуация имеет место в алгебрахC(˙), C∞(M) и O(V ).

Замечание 2.2. Из предыдущего примера видно, что спектр элемен-та алгебры может быть любым непустым подмножеством в C. В самомделе, если дано подмножество S ⊂ C, S 6=∅, то S = �A(a) для A= F (S)и функции a(t) = t.

Упражнение 2.4. Пусть f ∈ `∞(S). Докажите, что �`∞(S)(f) = f(S)(замыкание множества f(S)).

Упражнение 2.5. 1. Опишите спектры элементов алгебр C[t], C(t)и C[[t]].

2. Придумайте алгебру A и элемент a ∈A, спектр которого пуст.Пример 2.5. Пусть A = L (E), где E | конечномерное векторное

пространство, и пусть T ∈L (E). Тогда

�(T ) = {� ∈ C : Ker(T − �1E) 6= {0}}

|множество собственных значений оператора T . Это сразу следует изтого факта, что инъективный оператор в конечномерном пространствеобратим.

Упражнение 2.6. Покажите, что в случае бесконечномерного про-странства E это, вообще говоря, не так.

Замечание 2.3. Конечно, собственные значения оператора всегдапринадлежат его спектру, вне зависимости от того, конечномерно про-странство E или нет (неинъективный оператор не может быть обрати-мым).

Посмотрим, как ведут себя спектры под действием гомоморфизмов.

Предложение 2.1. Пусть ' : A→B|унитальный гомоморфизм.(1) Если элемент a ∈ A обратим, то и элемент '(a) ∈ B обратим

и '(a)−1 = '(a−1).(2) Для любого a ∈A справедливо включение �B('(a))⊂ �A(a).

Доказательство (набросок). Утверждение (1) тривиально, а для до-казательства (2) достаточно применить (1) к элементу a− �1.

§ 2.1. Алгебры и спектры их элементов 19

Замечание 2.4. Как следствие из предыдущего предложения, еслиA|унитальная алгебра, а B ⊂ A|подалгебра, содержащая единицуалгебры A, то �A(b) ⊂ �B(b) для любого b ∈ B. При этом может ока-заться, что �A(b) 6= �B(b) (ср. упражнение 2.4 и пример 2.4).

Определение 2.6. Пусть A|унитальная алгебра, а B ⊂ A|подал-гебра, содержащая единицу A. Тогда подалгебра B называется напол-ненной, если каждый ее элемент, обратимый в A, обратим и в B.

Предложение 2.2. Пусть A|унитальная алгебра, B|ее наполнен-ная подалгебра. Тогда �A(b) = �B(b) для любого b ∈B.

Например, если ˙| топологическое пространство, то C(˙) | на-полненная подалгебра в F (˙). С другой стороны, для любого бесконеч-ного множества S подалгебра `∞(S) ⊂ F (S) наполненной не является(см. пример 2.4 и упражнение 2.4).

Еще одно любопытное свойство спектра состоит в том, что спектрпроизведения «почти» не зависит от порядка сомножителей. Пусть,по-прежнему, A|унитальная алгебра.

Лемма 2.1. Элемент 1− ab обратим ⇔ элемент 1− ba обратим.

Наводящее соображение. Предположим, что A = C, и забудем, чтоумножение в C коммутативно. Предположим также, что |a|< 1 и |b|< 1,

и положим c= (1− ab)−1. Тогда c=∞∑n=0

(ab)n. С другой стороны,

(1− ba)−1 =∞∑n=0

(ba)n = 1 + b(1 + ab+ (ab)2 + : : :)a= 1 + bca:

Доказательство. Пусть элемент 1 − ab обратим и c = (1 − ab)−1.Положим d = 1 + bca. Прямая проверка показывает, что d(1 − ba) == (1− ba)d= 1, т. е. d= (1− ba)−1.

Предложение 2.3. Для любых a; b ∈A справедливо равенство �(ab) ∪∪ {0}= �(ba) ∪ {0}.

Доказательство. Пусть � =∈ �(ab) и � 6= 0. Тогда элемент 1− �−1abобратим. По лемме 2.1 элемент 1− �−1ba обратим. Поэтому и элементba− �1 обратим, т. е. � =∈ �(ba).

Упражнение 2.7. 1. Постройте пример такой алгебры A и таких эле-ментов a; b ∈A, что �(ab) 6= �(ba).

2) Докажите, что если алгебра A конечномерна, то �(ab) = �(ba) длялюбых a; b ∈A.


§ 2.2. Банаховы алгебры

Итак, в чисто алгебраической ситуации спектр элемента алгебрыможет быть любым непустым подмножеством комплексной плоскости(замечание 2.2), а может быть и пустым (упражнение 2.5). С другойстороны, мы видели, что спектр любого элемента алгебры `∞(S) ком-пактен и непуст (упражнение 2.4). Наша ближайшая цель| показать,что последнее свойство имеет место в любой банаховой алгебре.

Определение 2.7. Нормированная алгебра|это нормированное про-странство A над C, снабженное структурой алгебры так, что ‖ab‖ 66 ‖a‖‖b‖ для всех a; b ∈A. Если алгебра A унитальна, то дополнительнотребуется, чтобы выполнялось условие ‖1‖= 1. Банахова алгебра|этополная нормированная алгебра.

Условие ‖ab‖ 6 ‖a‖‖b‖ (называемое субмультипликативностью, аиногда просто мультипликативностью нормы) может показаться напервый взгляд довольно неестественным, не говоря уже об условии‖1‖ = 1. (Иногда бывает так, что сразу и не скажешь| есть в алге-бре единица или нет...) Оказывается, можно добиться выполнения этихдвух условий, заменив норму на эквивалентную,|лишь бы умножениев алгебре A было непрерывно.

Напоминание 2.1. Пусть E;F |нормированные пространства. Ли-нейный оператор T : E → F непрерывен тогда и только тогда, когдаон ограничен, т. е. существует такое C > 0, что ‖Tx‖ 6 C‖x‖ для всехx ∈ E. Наименьшее C с таким свойством называется нормой операто-ра T .

Упражнение 2.8. Пусть E;F;G|нормированные пространства. До-кажите, что билинейный оператор R : E × F → G непрерывен ⇔ онограничен, т. е. существует такое C > 0, что ‖R(x; y)‖ 6 C‖x‖‖y‖ длявсех x ∈ E, y ∈ F .

Как следствие, умножение в нормированной алгебре непрерывно.

Напоминание 2.2. Пусть ‖ · ‖1 и ‖ · ‖2 | две нормы на векторномпространстве E. Говорят, что норма ‖ · ‖1 мажорирует норму ‖ · ‖2(и пишут ‖ · ‖1 � ‖ · ‖2 или ‖ · ‖2 ≺ ‖ · ‖1), если существует такая кон-станта C > 0, что ‖x‖2 6 C‖x‖1 для каждого x ∈ E. Нормы ‖ · ‖1 и ‖ · ‖2эквивалентны (‖ · ‖1 ∼ ‖ · ‖2), если ‖ · ‖1 ≺ ‖ · ‖2 и ‖ · ‖2 ≺ ‖ · ‖1.

Пусть Ti|топология на векторном пространстве E, порожденнаянормой ‖ · ‖i (i= 1; 2). Тогда

‖ · ‖1 � ‖ · ‖2 ⇐⇒ топология T1 не слабее, чем T2.

§ 2.2. Банаховы алгебры 21

Как следствие, нормы эквивалентны⇔ они задают одну и ту же топо-логию.

Предложение 2.4. Пусть A|алгебра, снабженная нормой, причемоператор умножения A × A→ A непрерывен. Тогда на A существу-ет субмультипликативная норма ‖ · ‖′, эквивалентная исходной. Еслиалгебра A унитальна, то эту норму можно выбрать так, чтобы вы-полнялось равенство ‖1‖′ = 1.

Доказательство. Ввиду упражнения 2.8 существует такое C > 0,что ‖ab‖6 C‖a‖‖b‖ для всех a; b ∈ A. Тогда, как легко проверить, нор-ма ‖ · ‖′′ = C‖ · ‖ субмультипликативна. Предположим теперь, что ал-гебра A унитальна. Для a ∈ A рассмотрим оператор La : (A; ‖ · ‖′′)→→ (A; ‖ · ‖′′), La(b) = ab, и положим ‖a‖′ = ‖La‖. Непосредственная про-верка показывает, что норма ‖ · ‖′ обладает нужными свойствами.

Посмотрим теперь на несколько основных примеров банаховых ал-гебр, с которыми нам предстоит работать.

Пример 2.6. Основной для нашего курса пример|это алгебраB(E)ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве E. Вви-ду теоремы Банаха об обратном операторе B(E)| наполненная под-алгебра в L (E).

Пример 2.7. Алгебра `∞(X), где X|произвольное множество, яв-ляется банаховой относительно равномерной нормы ‖f‖∞ = sup

x∈X|f(x)|.

Пример 2.8. Пусть ˙| компактное топологическое пространство.Тогда алгебра непрерывных функций C(˙) | замкнутая подалгебрав `∞(˙) и, как следствие, банахова алгебра. Отметим, что C(˙)|на-полненная подалгебра в `∞(˙).

Пример 2.9. Пусть Cn[a; b] | алгебра n раз непрерывно дифферен-цируемых функций на отрезке [a; b]. Она наделяется нормой ‖f‖ == max

06k6n‖f (k)‖∞, задающей равномерную сходимость со всеми (вплоть

до n-й) производными. Следующее упражнение показывает, что еслинемного «подправить» норму, то Cn[a; b] становится банаховой алге-брой.

Упражнение 2.9. 1. Докажите полноту алгебры Cn[a; b] относитель-но введенной нормы, а также непрерывность умножения.

2. Укажите субмультипликативную норму на Cn[a; b], эквивалент-ную исходной.


Пример 2.10 (алгебры измеримых функций). Пусть X|произволь-ное множество, 2X |семейство всех его подмножеств. Напомним, чтосемейство множеств A ⊂ 2X называется �-алгеброй, если оно обладаетследующими свойствами:

1) X ∈A ;2) если S ∈A , то X \ S ∈A ;3) если {Sn}∞n=1 ⊂A , то

⋃nSn ∈A .

Пусть A |�-алгебра подмножеств X. Напомним, что функция f : X →→ C называется A -измеримой, если f−1(U) ∈A для любого открытогомножества U ⊂ C. Обозначим через BA (X) множество всех A -измери-мых ограниченных функций на X. Из свойств измеримых функций,обычно доказываемых в курсе теории меры, следует, что BA (X)|за-мкнутая наполненная подалгебра в `∞(X) и, следовательно, банаховаалгебра относительно равномерной нормы.

Выделим один важный частный случай. Пусть X|топологическоепространство, а A |�-алгебра его борелевских подмножеств, т. е. наи-меньшая �-алгебра, содержащая все открытые множества. В этомслучае A -измеримые функции называются борелевскими, а алгебруBA (X) мы будем обозначать просто B(X).

Другой важный частный случай возникает, когда на A задана �-ад-дитивная положительная мера, т. е. функция � : A → [0;+∞), облада-

ющая тем свойством, что �( ∞⋃n=1

Sn

)=

∞∑n=1

�(Sn) для любой последо-

вательности {Sn} ⊂ A попарно не пересекающихся множеств. Трой-ка (X;A ; �) называется пространством с мерой. В этом случае суще-ствует стандартный способ «расширить» (точнее, «пополнить») �-алге-бру A , добавив к ней все �-измеримые множества. Полученная �-алге-бра M содержит A , и мера � единственным образом продолжается до�-аддитивной меры на M. Функции на X, измеримые относительно M,обычно называют �-измеримыми или просто измеримыми. Соответ-ствующая банахова алгебра BM(X) ограниченных измеримых функцийсодержит алгебру BA (X), но не совпадает с ней при M 6= A . В част-ности, для отрезка [a; b], снабженного мерой Лебега, B[a; b] 6= BM[a; b](поскольку измеримых по Лебегу множеств больше, чем борелевских).

Пример 2.11 (алгебра L∞(X;�)). Пусть (X;�) = (X;A ; �) | про-странство с мерой. Напомним, что измеримые функции f; g : X → Cназываются �-эквивалентными (или просто эквивалентными), еслиони совпадают почти всюду, т. е. если �{x ∈X : f(x) 6= g(x)}= 0. Классэквивалентности функции f временно обозначим через [f ]. Измеримаяфункция f : X → C называется существенно ограниченной, если она

§ 2.2. Банаховы алгебры 23

ограничена на некотором множестве E ⊂X, удовлетворяющем условию�(X \ E) = 0. (По-другому можно сказать и так: функция существен-но ограничена, если она эквивалентна ограниченной.) Существеннойверхней гранью функции f называется величина

ess sup |f |= inf{‖f |E‖∞ : E ⊂X; �(X \ E) = 0}:

Очевидно, ни свойство быть существенно ограниченной, ни величинаess sup |f | не меняются при замене функции на эквивалентную. Про-странство L∞(X;�) состоит по определению из классов эквивалентно-сти существенно ограниченных измеримых функций на X. При этомневажно, рассматривать ли M-измеримые или только A -измеримыефункции: дело в том, что любая M-измеримая функция эквивалентнаA -измеримой. Нетрудно проверить (проверьте, если никогда раньшеэтого не делали), что L∞(X;�)|банахово пространство относительнонормы, корректно определенной равенством ‖[f ]‖ = ess sup |f | для лю-бого представителя f ∈ [f ]. Также легко проверяется, что L∞(X;�)|банахова алгебра относительно поточечного умножения. В дальнейшеммы, как обычно, будем допускать некую вольность речи и говоритьо «функциях из L∞(X;�)», подразумевая при этом, конечно, что речьидет о классах эквивалентности.

Чтобы выяснить взаимосвязь алгебр из двух предыдущих примеров,нам понадобится понятие факторалгебры. Вначале напомним чисто ал-гебраическое определение.

Определение 2.8. Пусть A | алгебра. Линейное подпространствоI ⊂ A называется левым идеалом (соответственно правым идеалом),если ab ∈ I для любых a ∈ A и b ∈ I (соответственно для любых a ∈ Iи b ∈ A). Подпространство, являющееся одновременно и левым, и пра-вым идеалом, называется двусторонним идеалом.

Если I ⊂ A| двусторонний идеал, то факторпространство A=Iявляется алгеброй относительно умножения, корректно определенногоформулой (a+ I)(b+ I) = ab+ I.

Пусть теперь E|банахово пространство, а E0 ⊂ E|замкнутое ли-нейное подпространство. На факторпространстве E=E0 имеется нор-ма, заданная формулой ‖x + E0‖ = inf{‖x + y‖ : y ∈ E0}. Иными сло-вами, норма класса эквивалентности x + E0 равна расстоянию от не-го до нуля. Топология, задаваемая этой нормой,| это фактортополо-гия, т. е. сильнейшая топология, в которой отображение E → E=E0,x 7→ x + E0, непрерывно. Относительно введенной нормы E=E0 явля-ется банаховым пространством (проверьте!).


Наконец, пусть A| банахова алгебра, а I ⊂ A| замкнутый дву-сторонний идеал. Тогда A=I | это алгебра и одновременно банаховопространство.

Упражнение 2.10. Докажите, что норма на A=I субмультипликатив-на. Кроме того, докажите, что если алгебра A унитальна и ‖1A‖ = 1,то и ‖1A=I‖= 1.

Таким образом, факторалгебра A=I банаховой алгебры A по любомузамкнутому двустороннему идеалу I сама является банаховой алгеброй.

Упражнение 2.11. Пусть (X;�) | пространство с мерой. ПоложимI0 = {f ∈BA (X) : f = 0 почти всюду}. Проверьте, что I0|замкнутыйидеал в BA (X) и что факторалгебра BA (X)=I0 изометрически изо-морфна L∞(X;�).

Предложение 2.5. Существенно ограниченная функция f : X → Cявляется обратимым элементом алгебры L∞(X;�) тогда и толькотогда, когда �(f−1(U)) = 0 для некоторой окрестности нуля U ⊂ C.

Доказательство. Очевидно, f |обратимый элемент L∞(X;�) то-гда и только тогда, когда функция 1=f определена и ограничена на не-котором подмножестве E ⊂X, удовлетворяющем условию �(X \ E) = 0.Последнее условие эквивалентно тому, что для некоторого " > 0 всю-ду на E справедливо неравенство |f(x)|> ". Следовательно, в качественужной окрестности U подойдет "-окрестность нуля в C. Обратно, еслиокрестность U с указанным свойством существует, то можно положитьE =X \ f−1(U).

Определение 2.9. Пусть f : X→C|измеримая функция. Точка �∈Cназывается существенным значением функции f , если �(f−1(U)) > 0для любой окрестности U 3 �, U ⊂ C.

Следствие 2.1. Пусть f ∈ L∞(X;�). Тогда спектр этой функции�(f) совпадает с множеством ее существенных значений.

Упражнение 2.12. Убедитесь, что множество существенных значе-ний существенно ограниченной измеримой функции | непустой ком-пакт в C.

Из примеров, приведенных в этом и предыдущем параграфах, вид-но, что для многих функциональных алгебр спектры их элементов илисовпадают, или «почти совпадают» с множествами значений соответ-ствующих функций. Скоро мы увидим, что это «почти» можно убрать,если надлежащим образом «подправить» область определения функции.

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр 25

А сейчас посмотрим на пример алгебры, в которой, на первый взгляд,это совсем не так.

Пример 2.12 (две алгебры аналитических функций). Пусть K |компактное подмножество в C, IntK|его внутренность. Рассмотримследующие замкнутые подалгебры в C(K):

P(K) = {p|K : p ∈ C[t]} (замыкание в C(K));

A (K) = {f ∈ C(K) : функция f |IntK голоморфна}:

Очевидно, P(K)⊂A (K), и A (K)|наполненная подалгебра в C(K).Положим D = {z ∈ C : |z| < 1} и T = {z ∈ C : |z| = 1}. Алгебра A (D)

называется дисковой алгеброй.

Упражнение 2.13. Проверьте, что1) P(D) =A (D);2) P(T) 6=A (T);3) алгебры P(T) и A (D) изометрически изоморфны.

Упражнение 2.14. Покажите, что спектр �P(T)(f) функции f ∈P(T)не совпадает с множеством f(T), если только f не постоянна. Какследствие, подалгебра P(T)⊂ C(T) не является наполненной. Опишитемножество �P(T)(f).

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр

Прежде чем говорить о спектрах, посмотрим на некоторые общиесвойства группы обратимых элементов в банаховой алгебре.

Теорема 2.1. Пусть A|унитальная банахова алгебра.(1) Если a ∈ A, и ‖a‖< 1, то элемент 1− a обратим и (1− a)−1 =

=∞∑n=0

an.

(2) Множество обратимых элементов Inv(A) открыто в A.(3) Отображение Inv(A)→ Inv(A), a 7→ a−1, непрерывно.

Доказательство. (1) Посколькуn∑k=0

‖ak‖ 6n∑k=0

‖a‖k, а алгебра A

полна, мы видим, что указанный в (1) ряд сходится в A при ‖a‖ < 1

к некоторому b ∈ A. Для каждого n положим Sn =n∑k=0

ak. Легко ви-

деть, что (1 − a)Sn = Sn(1 − a) = 1 − an+1. При n → ∞ получаем(1− a)b= b(1− a) = 1, т. е. b= (1− a)−1, как и требовалось.


(2) Для каждого a ∈ Inv(A) отображение La : A→ A, b 7→ ab, явля-ется гомеоморфизмом алгебры A на себя и переводит Inv(A) в Inv(A).Поэтому если множество U ⊂ Inv(A) открыто в A и содержит единицу(а такое множество U существует в силу (1)), то La(U) открыто в Aи содержит a.

(3) Проверим, что отображение a 7→ a−1 непрерывно в единице. Дляэтого надо показать, что для любого " > 0 найдется такое � > 0, чтопри ‖a− 1‖< �, a ∈ Inv(A) выполнено неравенство ‖a−1 − 1‖< ".

Возьмем сперва произвольный элемент b ∈ A, удовлетворяющий

условию ‖b‖ < 1. Тогда из (1) следует, что (1 − b)−1 = 1 +∞∑n=1

bn, от-

куда получаем

‖(1− b)−1 − 1‖6∞∑n=1

‖b‖n = ‖b‖1− ‖b‖ : (2.1)

Пусть � > 0 таково, что � < 1 и �=(1− �)< ". Тогда если ‖a− 1‖< �, то,подставляя b = 1 − a в неравенство (2.1), мы получаем ‖a−1 − 1‖ < ",как и требовалось. Таким образом, отображение a 7→ a−1 непрерывнов единице. Остается воспользоваться следующим общим фактом.

Упражнение 2.15. Пусть G|группа, снабженная топологией, при-чем операция умножения G × G→ G непрерывна, а операция взятияобратного элемента G→G непрерывна в единице. Докажите, что опе-рация взятия обратного элемента непрерывна на G. �

В качестве забавного приложения установим один результат об «ав-томатической непрерывности». Вначале напомним следующее опреде-ление.

Определение 2.10. Пусть A| алгебра над C. Гомоморфизмы из Aв C называются ее характерами.

Замечание 2.5. Заметим, что ненулевой характер унитальной алге-бры унитален (поскольку он сюръективен).

Следствие 2.2. Любой характер унитальной банаховой алгебры не-прерывен, и его норма не превосходит единицы.

Доказательство. Если характер � : A→ C разрывен, или же еслион непрерывен, но ‖�‖> 1, то существует такой элемент a ∈A, ‖a‖< 1,что �(a) = 1. По теореме 2.1 элемент 1 − a обратим. Следовательно,таков же и элемент �(1 − a) ∈ C. Но последний элемент равен нулю.Противоречие.

§ 2.3. Спектры элементов банаховых алгебр 27

Замечание 2.6. Для сравнения напомним, что на любом бесконеч-номерном нормированном пространстве существует разрывный линей-ный функционал.

Упражнение 2.16. Какие утверждения из теоремы 2.1 сохраняют си-лу для нормированных алгебр? Сохраняет ли силу следствие 2.2?

Теперь обратимся к спектрам.

Теорема 2.2. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈ A| ееэлемент. Тогда

(1) �(a)|компактное подмножество в C;(2) если � ∈ �(a), то |�|6 ‖a‖.

Доказательство. Начнем с (2). Если |�|> ‖a‖, то ‖�−1a‖< 1, поэто-му элемент 1 − �−1a обратим по предыдущей теореме. Значит, и эле-мент a− �1 обратим, т. е. � =∈ �(a). Это доказывает (2) и, как следствие,ограниченность спектра �(a). Осталось доказать его замкнутость. Дляэтого рассмотрим отображение ' : C → A, '(�) = a − �1, и заметим,что множество C \ �(a) = '−1(Inv(A)) открыто ввиду непрерывностиотображения ' и предыдущей теоремы. Следовательно, множество �(a)замкнуто, как и требовалось.

Итак, спектр любого элемента в банаховой алгебре компактен. По-кажем теперь, что он непуст. Для этого введем следующее понятие.

Определение 2.11. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈A|ее элемент. Резольвентной функцией a называется функция

Ra : C \ �(a)→A; Ra(�) = (a− �1)−1:

Лемма 2.2. Функция Ra непрерывна на C \ �(a), и lim�→∞

Ra(�) = 0.

Доказательство. Непрерывность функции Ra сразу следует из не-прерывности взятия обратного элемента в Inv(A) (теорема 2.1). Далее,

‖Ra(�)‖= ‖(a− �1)−1‖= |�|−1 ‖(1− �−1a)−1‖:

Первый сомножитель в последнем выражении стремится к нулю при�→∞, а второй|к единице в силу непрерывности взятия обратногоэлемента. Дальнейшее очевидно.

Оказывается, резольвентная функция не только непрерывна, нои голоморфна в следующем смысле.

Определение 2.12. Пусть E|банахово пространство, а U ⊂ C|от-крытое множество. Функция ' : U → C называется голоморфной, если


для каждого z0 ∈ U существует предел limz→z0

'(z)− '(z0)z − z0

. Этот предел

называется производной функции ' в точке z0 и обозначается '′(z0).

Замечание 2.7. Если ' : U → E|голоморфная функция, то для лю-бого непрерывного линейного функционала f ∈ E∗ функция f ◦ ' : U →→ C голоморфна в обычном смысле и (f ◦ ')′(z) = f('′(z)) для всехz ∈ U . Верно и обратное утверждение (т. е. из голоморфности функцииf ◦ ' для всех f ∈ E∗ следует голоморфность функции '), но оно намне понадобится.

Предложение 2.6 (тождество Гильберта). Резольвентная функцияудовлетворяет тождеству Ra(�)−Ra(�) = (�− �)Ra(�)Ra(�).

Доказательство. Достаточно домножить обе части равенства слевана a− �1 и справа на a− �1.

Отсюда и из непрерывности резольвентной функции немедленноследует такой результат.

Предложение 2.7. Резольвентная функция Ra голоморфна на допол-нении C \ �(a), и R′a(z) =Ra(z)2 для любого z ∈ C \ �(a).

Напоминание 2.3. Прежде чем доказывать непустоту спектра, на-помним одно важное следствие из теоремы Хана|Банаха: если E|нормированное пространство, то для любого x ∈ E, x 6= 0, найдетсятакой функционал f ∈ E∗, что f(x) 6= 0.

Теорема 2.3. Спектр любого элемента ненулевой унитальной бана-ховой алгебры непуст.

Доказательство. Предположим противное; пусть �(a) = ∅. Зафик-сируем функционал f ∈ A∗ и положим 'f = f ◦ Ra : C → C. Из пред-ложения 2.7, замечания 2.7 и леммы 2.2 следует, что 'f | это целаяфункция, стремящаяся к нулю на бесконечности. По теореме Лиувил-ля 'f ≡ 0. Поскольку функционал f произволен, вышеупомянутое след-ствие из теоремы Хана|Банаха влечет за собой равенство Ra(�) = 0для всех � ∈ C. С другой стороны, элемент Ra(�) обратим. Противо-речие.

Вот одно любопытное приложение.

Теорема 2.4 (Гельфанд, Мазур). Пусть A|ненулевая банахова ал-гебра с делением (т. е. унитальная банахова алгебра, в которой любойненулевой элемент обратим). Тогда алгебра A изоморфна C.

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления 29

Доказательство. Возьмем произвольный элемент a ∈A. Поскольку�(a) 6=∅, элемент a− �1 необратим для некоторого � ∈ C. Но A|алге-бра с делением; значит, a − �1 = 0, т. е. a = �1. Ввиду произвольностиэлемента a ∈A получаем A= C1, как и требовалось.

Упражнение 2.17. Верна ли теорема Гельфанда|Мазура для норми-рованных алгебр?

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления

Вернемся ненадолго из функционального анализа в чистую алгебру.Пусть A|унитальная алгебра, a ∈A|фиксированный элемент.

Следующее понятие уже упоминалось во введении в контексте ли-нейных операторов.

Определение 2.13. Полиномиальным исчислением от a называетсяунитальный гомоморфизм p : C[t] → A, удовлетворяющий условию p(t) = a.

Предложение 2.8. Для любого a∈A полиномиальное исчисление от aсуществует и единственно.

В дальнейшем для любого f ∈ C[t] вместо p(f) мы будем иногдаписать f(a).

Теорема 2.5 (об отображении спектра). Если �(a) 6=∅, то �(f(a)) == f(�(a)) для любого f ∈ C[t].

Для доказательства теоремы понадобится следующая лемма.

Лемма 2.3. Пусть a1; : : : ; an ∈ A|коммутирующие элементы. То-гда элемент a1 : : : an обратим ⇔ все элементы a1; : : : ; an обратимы.

Упражнение 2.18. Докажите эту лемму.

Упражнение 2.19. 1. Покажите, что для некоммутирующих элемен-тов a1; : : : ; an утверждение леммы перестает быть верным.

2. Покажите, что при dimA<∞ лемма верна и для некоммутирую-щих элементов a1; : : : ; an.

Доказательство теоремы. Случай deg f = 0 тривиален (почему?).Пусть deg f > 0. Возьмем произвольное � ∈ C и разложим многочленf − � на множители: f(t)− �= c(t− �1) : : : (t− �n), где c 6= 0. Очевидно,{�1; : : : ; �n}= f−1(�). Поскольку f(a)− �1 = c(a− �11) : : : (a− �n1), из


леммы 2.3 следует, что

� ∈ �(f(a)) ⇐⇒ элемент f(a)− �1 необратим ⇐⇒⇐⇒ ∃i : элемент a− �i1 необратим ⇐⇒⇐⇒ �(a) ∩ f−1(�) 6=∅ ⇐⇒ � ∈ f(�(a));

как и требовалось.

Упражнение 2.20. Докажите следующие утверждения.1. В унитальной банаховой алгебре не существует элементов a; b,

коммутатор которых [a; b] = ab− ba равен 1.2. Тем не менее, элементы с указанным свойством существуют в ал-

гебре L (E), где E|подходящее (а на самом деле|любое) бесконеч-номерное векторное пространство.

Замечание 2.8. Во введении уже упоминалось, что наблюдаемыев квантовой механике интерпретируются как самосопряженные опера-торы в гильбертовом пространстве. При этом оказывается, что коор-дината частицы q и ее импульс p должны быть связаны соотношением[q; p] = i~1, где ~|постоянная Планка. Последнее соотношение назы-вается коммутационным соотношением Гейзенберга и отражает тотфакт, что координата и импульс не могут быть одновременно точноизмерены («принцип неопределенности»). Из предыдущего упражненияследует, что ограниченных операторов с таким свойством не существу-ет. Поэтому для нужд квантовой механики приходится использоватьнеограниченные операторы (причем, как правило, не всюду определен-ные), а с ними намного сложнее работать...

Вот еще одно полезное свойство спектра.

Упражнение 2.21. 1. Пусть A|унитальная алгебра, a ∈ A|обра-тимый элемент. Докажите, что �(a−1) = {�−1 : � ∈ �(a)}. (Или, болеекоротко, �(a−1) = �(a)−1.)

2. Пусть E|банахово пространство, T ∈B(E)| обратимый изо-метрический оператор. Докажите, что �(T )⊂ T.

Перейдем теперь от полиномиального исчисления к рациональному.Для произвольного подмножестваM ⊂ C обозначим через R(M) подал-гебру в C(t), состоящую из рациональных функций с полюсами вне M .Иначе говоря,

R(M) = {f ∈ C(t) : ∃p; q ∈ C[t]; f = p=q; q(z) 6= 0 ∀z ∈M}:

Пусть, как и прежде, A|унитальная алгебра, a ∈A|фиксирован-ный элемент.

§ 2.4. Полиномиальное и рациональное исчисления 31

Определение 2.14. Рациональным исчислением от a на M называет-ся унитальный гомоморфизм r : R(M)→A, удовлетворяющий условию r(t) = a.

Если рациональное исчисление от a на M существует, то оно явля-ется продолжением полиномиального в очевидном смысле. Поэтому дляf ∈R(M) вместо r(f) обычно пишут просто f(a).

Теорема 2.6. Рациональное исчисление от a на M существует то-гда и только тогда, когда �(a)⊂M ; при этом оно единственно.

Доказательство (набросок). Предположим, что �(a)⊂M . Возьмемфункцию f ∈R(M) и представим ее в виде f = p=q, где p и q|полино-мы и q не обращается в нуль наM . Из теоремы об отображении спектраследует, что элемент q(a) ∈A обратим. Положим r(f) = p(a)q(a)−1. Не-посредственная проверка показывает, что r : R(M)→ A|корректноопределенный гомоморфизм. Единственность гомоморфизма r очевид-на (см. предложение 2.1 (1)). Необходимость условия �(a)⊂M проверь-те сами в качестве упражнения.

Замечание 2.9 (для знакомых с основами коммутативной алгебры).Заметим, что алгебраR(M)|это в точности кольцо частных C[t] отно-сительно мультипликативной системы S = {q ∈ C[t] : q(z) 6= 0∀z ∈M}.Поэтому существование и единственность рационального исчислениясразу следуют из универсального свойства колец частных с учетом то-го, что элемент p(q) обратим в алгебре A для любого q ∈ S.

Следующая теорема| это, по сути, тривиальная переформулиров-ка теоремы 2.6. Польза от такой переформулировки в том, что онапозволяет взглянуть на теорему о рациональном исчислении не с «ин-дивидуальной», а с «коллективной» точки зрения.

Теорема 2.7. Пусть A|унитальная алгебра, M ⊂ C|произволь-ное подмножество. Существуют канонические биекции

{a ∈A : �(a)⊂M} �

{унитальные гомоморфизмы

R(M)→A

}:

Здесь стрелка, действующая слева направо, сопоставляет элементуa ∈ A его рациональное исчисление на M , а стрелка, действующаясправа налево, сопоставляет гомоморфизму � : R(M) → A элемент�(t), где t(z) = z для любого z ∈M .

Каждой функции f ∈ R(M) можно присвоить значение в произ-вольной точке z ∈ M . Для этого представим f в виде f = p=q, гдеp; q ∈ C[t] и q не обращается в нуль на M , и положим по определению


f(z) = p(z)=q(z). Получаем «настоящую» функцию ~f на M , заданнуюпо правилу ~f(z) = f(z) для всех z ∈M . Сопоставление f 7→ ~f являетсяунитальным гомоморфизмом из R(M) в CM . Отметим, что этот гомо-морфизм инъективен тогда и только тогда, когдаM бесконечно; в этомслучае R(M) можно считать подалгеброй в CM .

Упражнение 2.22 (теорема об отображении спектра). Пусть ∅ 6=6= �(a) ⊂ M . Докажите, что �(f(a)) = f(�(a)) для любой функцииf ∈R(M).

Замечание 2.10. Очевидно, f является обратимым элементом алге-бры R(M) тогда и только тогда, когда f(z) 6= 0 ни в одной точке мно-жества M , т. е. когда ~f|обратимый элемент алгебры CM . Поэтому

�R(M)(f) = �CM ( ~f) = f(M):

А теперь положим в предыдущем упражнении M = �(a). С учетом ска-занного выше равенство �(f(a)) = f(�(a)) можно переписать так:

�A( r(f)) = �R(�(a))(f):

Иными словами, гомоморфизм r «сохраняет спектр» (напомним, чтов общем случае гомоморфизм «не увеличивает спектр»; ср. предложе-ние 2.1 (2)). С явлениями такого рода мы встретимся еще неоднократно.

§ 2.5. Спектральный радиус

Пусть A| унитальная банахова алгебра, a ∈ A|фиксированныйэлемент.

Определение 2.15. Число r(a) = sup{|�| : � ∈ �(a)} называется спек-тральным радиусом элемента a ∈A.

Поскольку �(a)|непустой компакт в C, спектральный радиус лю-бого элемента определен и конечен. Кроме того, из теоремы 2.2 (2)сразу следует, что r(a)6 ‖a‖.

Пример 2.13. Легко видеть, что в алгебре A = `∞(X) для любогоa ∈ A справедливо равенство r(a) = ‖a‖. То же самое верно и в любойее наполненной подалгебре|в частности в алгебрах C(˙) и BA (X).

Упражнение 2.23. Верно ли, что r(a) = ‖a‖ в алгебре L∞(X;�)?А в алгебре Cn[a; b]?

§ 2.5. Спектральный радиус 33

Упражнение 2.24. Пусть A = B(Cn), где Cn снабжено евклидовойнормой. Предположим, что оператор T ∈B(Cn) записывается в неко-тором ортонормированном базисе диагональной матрицей. Докажите,что r(T ) = ‖T‖.

Пример 2.14. Пусть A = B(C2), а оператор T записывается матри-

цей T =(0 10 0

)(см. пример 1.2). Тогда �(T ) = {0}, поэтому и r(T ) = 0;

с другой стороны, ‖T‖ 6= 0.

Кстати, как видно из следующего упражнения, примеров такого ро-да можно построить довольно много.

Упражнение 2.25. Пусть A|произвольная унитальная алгебра, a ∈∈A|нильпотентный элемент (т. е. an = 0 для некоторого n). Докажи-те, что �(a) = {0}.

Напоминание 2.4. Прежде чем доказывать следующую теорему, на-помним одно следствие из теоремы Банаха|Штейнгауза.

Пусть E | нормированное пространство, M ⊂ E | подмноже-ство. Предположим, что для любого f ∈ E∗ множество f(M) ⊂ Cограничено. Тогда и M ограничено.

Теорема 2.8 (формула Бёрлинга). Пусть A|унитальная банаховаалгебра, и пусть a ∈A. Тогда

r(a) = limn→∞

‖an‖1=n = infn‖an‖1=n:

Доказательство. Достаточно установить, что r(a) 6 infn‖an‖1=n

и r(a) > limn‖an‖1=n; отсюда будет следовать как существование ука-

занного в формулировке предела, так и его совпадение с r(a).Если � ∈ �(a), то �n ∈ �(an) ввиду теоремы об отображении спектра.

Поэтому |�n| 6 ‖an‖ и |�| 6 ‖an‖1=n. Взяв inf по n ∈ N, а затем sup по� ∈ �(a), получаем неравенство r(a)6 inf

n‖an‖1=n.

Для доказательства второго неравенства возьмем круг D = {� ∈ C :|�| < 1=r(a)} (если r(a) = 0, то D = C), зафиксируем функционалf ∈ A∗ и рассмотрим функцию f (�) = f((1 − �a)−1), заданную на D.Напомним, что функция � 7→ (1 − �a)−1 = −�−1Ra(�−1) голоморфнавD \ {0} и стремится к 1 при �→ 0 (см. предложение 2.7 и теорему 2.1).Следовательно, функция f голоморфна в D (по теореме об устрани-мой особенности) и поэтому разлагается в ряд Тейлора: f (�) =

∑ncn�

n

для всех � ∈D.


Если |�|< 1=‖a‖, то (1− �a)−1 =∑n(�a)n (см. теорему 2.1). Поэтому

f (�) =∑nf(an)�n для всех таких �. Пользуясь единственностью ряда

Тейлора, заключаем, что cn = f(an) для всех n.Зафиксируем произвольное � ∈D, � 6= 0. Поскольку ряд

∑nf(an)�n

сходится, последовательность {f(an)�n} ограничена. Но это вернодля любого f ∈ A∗, поэтому из теоремы Банаха|Штейнгауза следу-ет, что последовательность {�nan} ограничена в A, т. е. ‖�nan‖ 6 Cдля некоторого C > 0 и всех n. Переписывая полученное неравенствов виде ‖an‖1=n 6 C1=n=|�| и переходя к верхнему пределу, получаемlimn‖an‖1=n 6 1=|�|. Ввиду произвольности точки � ∈ D \ {0} отсюда

следует, что limn‖an‖1=n 6 r(a), как и требовалось.

Итак, оба нужных неравенства установлены, и теорема доказана.

Следствие 2.3. (Ср. упражнение 2.25.) Равенство �(a) = {0} экви-валентно тому, что lim

n‖an‖1=n = 0.

Определение 2.16. Элемент a ∈A называется квазинильпотентным,если он удовлетворяет условию предыдущего следствия.

Упражнение 2.26. В каких банаховых алгебрах из приведенных ра-нее примеров существуют квазинильпотентные элементы, не являющи-еся нильпотентными?

Напомним, что спектр элемента может уменьшиться, если его рас-сматривать как элемент некоторой большей алгебры. Тем не менее, издоказанной теоремы следует, что спектральный радиус уменьшитьсяне может.

Следствие 2.4. Пусть A|унитальная банахова алгебра, B ⊂ A|замкнутая подалгебра, 1A ∈B. Тогда rB(b) = rA(b) для любого b ∈B.

Следующее упражнение усиливает это следствие. В дальнейшем длякаждого подмножества M ⊂ C символом @M мы будем обозначать егограницу.

Упражнение 2.27. В условиях предыдущего следствия докажите, что@�B(b)⊂ @�A(b) для любого b ∈B.

Определение 2.17. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈ A.Объединение спектра �(a) и всех ограниченных компонент связностиего дополнения называется полным спектром элемента a и обознача-ется �f (a).

§ 2.5. Спектральный радиус 35

С геометрической точки зрения, �f (a) получается из �(a) «заклеи-ванием дыр».

Упражнение 2.28. В условиях следствия 2.4 докажите, что �f;B(b) == �f;A(b) для любого b ∈B.

Полезно посмотреть, во что превращается результат последнегоупражнения при A=A (K) и B =P(K) (например, для K = T и функ-ции a(z) = z).

Литературные указания

Большая часть материала этой главы содержится в книге А.Я.Хе-лемского [29]; см. также его недавний учебник [30]. Хорошее, крат-кое и доступное введение в теорию банаховых алгебр | дополнениеВ.М.Тихомирова к книге [15]. Добротное (хотя и несколько педантич-ное) изложение есть в книге Бурбаки [4]. Классическая монографияпо банаховым алгебрам, до сих пор не утратившая своего значения,|книга М.А.Наймарка [21]. Банаховы алгебры аналитических функ-ций A (K) и P(K) (см. пример 2.12) подробно обсуждаются в книгеТ. Гамелина [5]. По поводу основных понятий теории банаховых алгебрсм. также [26, 20, 10].

3. ЧАСТИ СПЕКТРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА

§ 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры.Операторы умножения

От общих банаховых алгебр перейдем теперь к алгебре ограничен-ных операторов B(E), где E|банахово пространство, и посмотрим,как устроены спектры некоторых «классических» операторов.

Пример 3.1 (диагональный оператор). Пусть E| это либо `p (где1 6 p 6∞), либо c0 (напомним, что c0 |это пространство всех стре-мящихся к нулю последовательностей, снабженное sup-нормой). Такимобразом, элементы пространства E|это последовательности x= (xn),удовлетворяющие тем или иным условиям. Каждой ограниченной по-следовательности � ∈ `∞ соответствует оператор M� ∈B(E), действу-ющий по правилу M�(x) = (�nxn) для всех x= (xn) ∈ E.

Упражнение 3.1. Докажите, что отображение ' : `∞ → B(E), � 7→7→M�, является изометрическим унитальным гомоморфизмом банахо-вых алгебр. В частности, установите, что ‖M�‖= ‖�‖∞ = sup

n|�n|.

Предложение 3.1. Гомоморфизм ', описанный в предыдущем уп-ражнении, «сохраняет спектр»: �B(E)('(�)) = �`∞(�). Иными словами,�(M�) = {�n}n∈N.

Доказательство. Достаточно показать, что Im'| наполненнаяподалгебра в B(E), т. е. что для любого необратимого элемента � ∈ `∞оператор M� необратим.

Для каждого n ∈ N обозначим через en ∈ E последовательностьс единицей на n-м месте и нулем на остальных и заметим, чтоM�en = �nen. Если элемент � ∈ `∞ необратим, т. е. 0 ∈ {�n}n∈N, то воз-можны следующие случаи.

1) Существует такое n, что �n = 0. В этом случаеM�en = 0, поэтомуоператор M� не инъективен, а значит, не обратим.

2) Для каждого n имеем �n 6= 0. В этом случае существует подпосле-довательность {�nk} ⊂ {�n}, стремящаяся к нулю. Поэтому M�(enk) == �nkenk → 0 при k→∞. Но обратимый оператор, будучи гомеомор-физмом, не может переводить последовательность векторов единич-ной длины в последовательность, стремящуюся к нулю. Поэтому опе-ратор M� необратим.

§ 3.1. Точечный, непрерывный и остаточный спектры 37

Пример 3.2 (оператор умножения на функцию). Пусть (X;�)|про-странство с мерой, и пусть E = Lp(X;�) (где 16 p6∞). Каждая изме-римая существенно ограниченная функция f : X → C задает операторMf ∈B(E), действующий по правилу (Mfg)(x) = f(x)g(x).

Упражнение 3.2. Докажите, что отображение ' : L∞(X;�)→B(E),f 7→Mf , является изометрическим унитальным гомоморфизмом бана-ховых алгебр. В частности, установите, что ‖Mf‖= ‖f‖= ess sup |f |.

Упражнение 3.3. Докажите, что гомоморфизм ', описанный в пре-дыдущем упражнении, «сохраняет спектр»: �B(E)('(f)) = �L∞(X;�)(f).Иными словами, установите, что �(Mf )|это множество существенныхзначений функции f .

Посмотрим еще раз на доказательство предложения 3.1. На этомпримере хорошо видно, что спектр оператора естественно разбить нанесколько частей в зависимости от того, по какой причине соответ-ствующий оператор T − �1 необратим.

Вообще, пусть S|произвольный ограниченный оператор в E. По-чему он может оказаться необратимым? Во-первых, может оказать-ся, что KerS 6= 0 (в конечномерном случае этим все и исчерпывает-ся|инъективный оператор в конечномерном пространстве обратим).Во-вторых, возможен случай, когда KerS = 0, но ImS 6= E (приведитепример!). Его удобно разбить на два подслучая: либо образ ImS пло-тен в E, либо нет. В применении к оператору S = T − �1 это приводитк следующему определению.

Определение 3.1. Точечным спектром оператора T ∈B(E) называ-ется множество

�p(T ) = {� ∈ C : Ker(T − �1) 6= 0}:

Непрерывным спектром оператора T называется множество

�c(T ) = {� ∈ C \ �p(T ) : Im(T − �1) = E; Im(T − �1) 6= E}:

Наконец, остаточным спектром оператора T называется множество

�r(T ) = {� ∈ C \ �p(T ) : Im(T − �1) 6= E}:

Очевидно, �(T ) = �p(T ) t �c(T ) t �r(T ). Заметим, что точечныйспектр �p(T )| это в точности множество собственных значений опе-ратора T . Если пространство E конечномерно, то �(T ) = �p(T ), а �c(T )и �r(T ) пусты. Посмотрим, что происходит в бесконечномерном случае.

38 3. Части спектра линейного оператора

Предложение 3.2. Пусть E = `p (где 16 p <∞) или E = c0, и пустьM� ∈ B(E)| оператор умножения на ограниченную последователь-ность �∈`∞ (см. пример 3.1). Тогда �p(M�)={�n}, �c(M�)={�n}\{�n}и �r(M�) =∅.

Доказательство. Поскольку M�en = �nen, справедливо включение{�n} ⊂ �p(M�). С другой стороны, если � ∈ C и � 6= �n ни для ка-кого n, то M� − �1 =M�−�1 | это оператор умножения на последо-вательность � − �1 = (�n − �) ненулевых чисел. Поэтому, очевидно,Ker(M� − �1) = 0 и � =∈ �p(T ). Наконец, пусть � ∈ �(M�) = {�n}, но� 6= �n ни для какого n. Тогда вектор en = (�n − �)−1(M� − �1)enлежит в Im(M� − �1) для всех n. Но линейная оболочка векторовen (n ∈ N) плотна в E; значит, и образ Im(M� − �1) плотен в E,т. е. � ∈ �c(M�).

Упражнение 3.4. Найдите �p(M�), �c(M�) и �r(M�) в случае, когдаE = `∞.

Упражнение 3.5. Пусть E = Lp(X;�) (где 1 6 p <∞), и пусть Mf ∈∈B(E)| оператор умножения на существенно ограниченную измери-мую функцию f : X → C (см. пример 3.2). Докажите, что �p(Mf ) == {� ∈ C : �(f−1(�))> 0}, �c(Mf ) = �(Mf ) \ �p(Mf ) и �r(Mf ) =∅.

Замечание 3.1. Важный частный случай упражнения 3.5|операторумножения на «независимую переменную» Mt, действующий в L2[0; 1]по правилу (Mtg)(x) = xg(x). У него �(Mt) = �c(Mt) = [0; 1], а точечныйи остаточный спектр пусты.

Кстати, полезно представлять себе, какова связь между понятиямизначения и существенного значения функции. Чтобы в этом разобрать-ся, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 3.6. 1. Пусть f|непрерывная функция на отрезке. До-кажите, что множество ее существенных значений| это в точностимножество ее значений.

2. Пусть f ∈ L∞(X;�); верно ли, что каждое значение функции fявляется ее существенным значением?

3. Обратно, верно ли, что каждое существенное значение функцииf ∈ L∞(X;�) является ее значением?

Упражнение 3.7. Найдите �p(Mf ), �c(Mf ) и �r(Mf ) в случае, когдаE = L∞(X;�).

§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига 39

§ 3.2. Двойственность. Операторы сдвига

Чтобы находить спектры ограниченных операторов, часто бываетудобно использовать соображения двойственности.

Напоминание 3.1. Пусть E;F | банаховы пространства, T : E →→ F | ограниченный оператор. Отображение T ∗ : F ∗ → E∗, действу-ющее по правилу T ∗f = f ◦ T , называется сопряженным операторомк T . Этот оператор также линеен, ограничен и ‖T ∗‖= ‖T‖.

Если вы не встречались раньше со следующим фактом, обязательнодокажите его в качестве упражнения.

Упражнение 3.8. Докажите, что оператор T ∈B(E;F )| топологи-ческий изоморфизм тогда и только тогда, когда T ∗|топологическийизоморфизм.

Замечание 3.2. Разумеется, импликация ⇒ в предыдущем упражне-нии тривиальна (почему?) и верна также для неполных нормированныхпространств. А вот обратная импликация существенно использует пол-ноту пространств E и F (постройте соответствующий контрпример).

Поскольку (T − �1E)∗ = T ∗ − �1E∗ для любого T ∈B(E), справед-ливо следующее утверждение.

Следствие 3.1. Пусть T ∈B(E); тогда �(T ) = �(T ∗).

Итак, спектры операторов T и T ∗ совпадают. А что можно сказатьпро части спектра|непрерывный, точечный и остаточный? Для этогонам понадобится следующий несложный факт.

Упражнение 3.9. Пусть T ∈B(E;F )|ограниченный оператор меж-ду банаховыми пространствами. Докажите, что

1) ImT = F ⇔ KerT ∗ = 0;2) ImT ∗ = E∗ ⇒ KerT = 0;3) обратная импликация верна, если E рефлексивно, а в общем слу-

чае|нет.

Применяя результат этого упражнения к оператору T − �1 (гдеT ∈B(E)), получаем следующие соотношения.

Предложение 3.3. Пусть T ∈B(E). Тогда1) �p(T )⊂ �p(T ∗) ∪ �r(T ∗);2) �c(T )⊂ �c(T ∗) ∪ �r(T ∗);3) �r(T )⊂ �p(T ∗);4) �p(T ∗)⊂ �p(T ) ∪ �r(T );5) �c(T ∗)⊂ �c(T );


6) �r(T ∗)⊂ �p(T ) ∪ �c(T ).Если же пространство E рефлексивно, то

7) �c(T ) = �c(T ∗);8) �r(T ∗)⊂ �p(T ).

Посмотрим на несколько классических примеров.

Пример 3.3 (левый и правый сдвиги). Пусть E = `p (где 16 p6∞)либо E = c0. Оператор правого сдвига Tr ∈B(E) действует по прави-лу Tr(x) = (0; x1; x2; : : :) для x = (x1; x2; : : :) ∈ E. Очевидно, он изоме-тричен, поэтому ‖Tr‖= 1. Оператор левого сдвига T` ∈B(E) задаетсяформулой Tr(x) = (x2; x3; : : :). Он, конечно, не изометричен (посколькуимеет ненулевое ядро), но все же ‖T`‖= 1 (почему?).

Напоминание 3.2. Пусть 16 p <∞ и q таково, что 1=p+ 1=q = 1 (ес-ли p= 1, то q =∞). Тогда оператор

`q→ (`p)∗; y 7→ fy; fy(x) =∑i

xiyi;

является изометрическим изоморфизмом. Аналогичным образом опре-деляется изометрический изоморфизм `1→ (c0)∗.

С другой стороны, важно помнить следующее.

Упражнение 3.10. Докажите, что пространства (`∞)∗ и `1 не явля-ются топологически изоморфными.

Упражнение 3.11. Докажите, что пространства `p рефлексивны при1< p <∞, а пространства c0, `1 и `∞|нет.

Если отождествить (`p)∗ и `q при помощи описанного выше изо-морфизма, то оператор, сопряженный к левому сдвигу, «превратится»в правый сдвиг и наоборот. Чтобы сказать это более строго, надо дого-вориться о том, какие операторы считать «одинаковыми». Тут есть дваподхода: все зависит от того, какие банаховы пространства мы счита-ем «одинаковыми»|топологически изоморфные или же изометрическиизоморфные1.

Определение 3.2. Пусть S ∈B(E) и T ∈B(F )| ограниченные опе-раторы в банаховых пространствах. Они называются подобными (соот-ветственно изометрически эквивалентными), если существует такой

1Для ценителей общематематических концепций: все зависит от того, в какойкатегории банаховых пространств мы работаем.


топологический изоморфизм (соответственно изометрический изомор-физм) U : E→ F , что диаграмма

ES //

U��

E

U��

FT // F

коммутативна.

Упражнение 3.12. Докажите, что если операторы S ∈ B(E) и T ∈∈B(F ) подобны, то �(S) = �(T ) и то же самое верно для �p, �c, �r.

Упражнение 3.13. Пусть 16 p <∞ и 1=p+ 1=q = 1. Пусть Tr|пра-вый сдвиг в `p (соответственно в c0), а T`|левый сдвиг в `q (соответ-ственно в `1). Докажите, что (Tr)∗ и T` изометрически эквивалентны.Сформулируйте и докажите аналогичное утверждение об операторах(T`)∗ и Tr.

Предложение 3.4. Пусть 1 < p < ∞ и Tr; T` ∈ B(`p)| операторыправого и левого сдвига. Тогда

1) �(Tr) = �(T`) = D;2) �p(Tr) =∅, �c(Tr) = T, �r(Tr) = D;3) �p(T`) = D, �c(T`) = T, �r(T`) =∅.

Доказательство. Во-первых, заметим, что спектры наших опера-торов лежат в D, поскольку их нормы равны 1. Найдем вначале ихточечные спектры. Заметим, что

Trx= �x ⇐⇒ (0 = �x1)&(xn = �xn+1 ∀n) ⇐⇒ x= 0;

поэтому �p(Tr) =∅. С другой стороны,

T`x= �x ⇐⇒ xn+1 = �xn ∀n ⇐⇒ xn = x1�n−1 ∀n;

поэтому вектор x 6= 0 является собственным для T` с собственным зна-чением � тогда и только тогда, когда последовательность (�n−1) лежитв `p, т. е. когда |�|< 1. Следовательно, �p(T`) = D.

Обозначим временно наши операторы через T (p)r и T

(p)` соответ-

ственно. Пусть 1=p+ 1=q = 1; тогда из предложения 3.3 следует, что

D= �p(T(q)` )⊂ �p(T (p)

r ) ∪ �r(T (p)r ) = �r(T (p)

r )⊂ �p(T(q)` ) = D:

Значит, �r(Tr) = D. С учетом замкнутости спектра отсюда сразу сле-дует, что �(Tr) = D и что �c(Tr) = T. Ясно, что это верно как в `p,так и в `q; поэтому из следствия 3.1 и предложения 3.3 мы заключаем,


что �(T`) = D и �c(T`) = T. Оставшееся равенство �r(T`) = ∅ теперьочевидно.

Замечание 3.3. Полезное упражнение | доказать это предложение«в лоб», т. е. не используя соображений двойственности. Задача вполнерешаемая, но, согласитесь, с двойственностью все выглядит куда прощеи красивее.

Упражнение 3.14. Найдите спектры и его части (т. е. непрерывный,точечный, остаточный спектры) операторов левого и правого сдвига,действующих в c0, `1 и `∞.

Пример 3.4 (сдвиги на группах). Операторы, о которых пойдет речьниже, строятся по следующей общей схеме. Пусть G|группа, E|не-которое пространство функций на G, g ∈G|фиксированный элемент.Оператор сдвига Tg : E→ E задается формулой (Tgf)(h) = f(g−1h) дляf ∈ E, h ∈ G. Разумеется, чтобы оператор был корректно определен,нужно, чтобы пространство E было «инвариантно относительно сдви-гов». Нас будут интересовать следующие случаи.

Случай 1: G= Z, E = `p(Z) (где 16 p6∞) или же E = c0(Z). Опера-тор двустороннего сдвига1 Tb ∈B(E) определяется формулой (Tbx)n == xn−1 для x= (xn)n∈Z ∈ E. Очевидно, он изометричен и обратим.

Случай 2: G = T | группа комплексных чисел, равных по моду-лю 1, относительно операции умножения. Введем на T меру «длинадуги, деленная на 2�» и положим E = Lp(T) (где 1 6 p 6 ∞) или жеE = C(T). Для каждого � ∈ T определим оператор T� ∈B(E) формулой(T�f)(z) = f(�−1z) для f ∈ E, z ∈ T. Очевидно, он изометричен (вви-ду инвариантности нашей меры относительно «поворотов») и обратим;обратным оператором является T�−1 .

Случай 3: G= R, E = Lp(R) (где 16 p6∞) или же E = C0(R) (про-странство непрерывных функций на R, стремящихся к нулю на беско-нечности, снабженное sup-нормой). Для каждого s ∈ R определим опе-ратор Ts ∈B(E) формулой (Tsf)(t) = f(t− s) для f ∈ E, s ∈ R. Очевид-но, он также изометричен (ввиду инвариантности меры Лебега отно-сительно сдвигов) и обратим; обратным оператором является T−s.

Поскольку все три оператора изометричны и обратимы, их спектрысодержатся в единичной окружности T (см. упражнение 2.21).

Чтобы найти спектры и части спектра операторов сдвига, обсудимодин общий метод, который устанавливает взаимосвязь между опера-

1Не очень удачное название: на самом деле сдвигает этот оператор вправо, толь-ко последовательности (xn) ∈ E теперь, в отличие от предыдущего примера, «дву-сторонние».


торами сдвига и умножения на функцию (см. примеры 3.1 и 3.2). Этотметод лежит в основе целой науки | абстрактного гармоническогоанализа.

Предложение 3.5. 1. Оператор двустороннего сдвига Tb ∈ `2(Z) иоператор умножения Mz ∈ B(L2(T)), (Mzf)(z) = zf(z), изометриче-ски эквивалентны.

2. Оператор сдвига на окружности T� ∈ L2(T) и диагональныйоператор M(�−n) ∈ B(`2(Z)), M(�−n)(x) = (�−nxn)n∈Z, изометрическиэквивалентны.

Доказательство. В обоих случаях нужную изометрическую экви-валентность осуществляет оператор U : L2(T) → `2(Z), сопоставляю-щий каждой функции f ∈ L2(T) последовательность ее коэффициентовФурье относительно тригонометрической системы: (Uf)n = 〈f; zn〉 ==

ZTf(z)z−n dz.

Поскольку спектры операторов умножения нам уже известны (см.упражнение 3.5), для нахождения спектров операторов сдвига остаетсявоспользоваться результатом упражнения 3.12.

Следствие 3.2. Пусть Tb∈B(`2(Z))|оператор двустороннего сдви-га. Тогда �(Tb) = �c(Tb) = T.

Следствие 3.3. Пусть T� ∈B(L2(T))|оператор сдвига на окруж-ности. Тогда �p(T�) = {�n}n∈Z и �r(T�) =∅. Кроме того,

1) если �|корень из единицы, то �(T�) = {�n}n∈Z;2) если � не является корнем из единицы, то �(T�) = T.

Доказательство. Если �|корень из единицы, то множество {�n}n∈Zконечно и потому замкнуто. Если же � не является корнем из единицы,то это множество всюду плотно на окружности. Остальное следует изпредложений 3.1 и 3.2.

Упражнение 3.15. Докажите следующие утверждения:1) оператор сдвига Ts ∈B(L2(R)) и оператор умножения Me−ist ∈

∈ B(L2(R)), заданный формулой (Me−istf)(t) = e−istf(t), изометриче-ски эквивалентны.

2) �(Ts) = �c(Ts) = T.Указание. Воспользуйтесь преобразованием Фурье.

Упражнение 3.16. Найдите спектр и его части (непрерывный, точеч-ный, остаточный) для операторов сдвига из примера 3.4, действующихв соответствующих `p- или Lp-пространствах при p 6= 2, а также в c0(Z)или (смотря по смыслу) C0(R), C(T).


Предложение 3.5 и упражнение 3.15 показывают, что у операторовсдвига в пространствах `2(Z), L2(T) и L2(R) есть функциональные мо-дели|операторы умножения на функцию или последовательность. На-личие у оператора функциональной модели|свойство весьма удобное,позволяющее глубже понять природу этого оператора, узнать, какиеу него есть инвариантные подпространства и т. п. Мы еще вернемсяк функциональным моделям, когда доберемся до спектральной тео-ремы. А сейчас давайте убедимся, что функциональная модель естьи у оператора правого сдвига в `2.

Определение 3.3. Пространство Харди | это замкнутое подпро-странство в L2(T), определяемое следующим образом:

H2 = {f ∈ L2(T) : 〈f; zn〉= 0 ∀n < 0}:Иными словами, H2 состоит в точности из тех функций f ∈ L2(T),

у которых коэффициенты Фурье с отрицательными номерами равнынулю.

Как показывает следующее упражнение, то же самое пространствоможно определить как некое пространство аналитических функций.

Упражнение 3.17. Для каждой непрерывной функции f на открытомединичном круге D⊂ C и каждого 0< � < 1 положим

‖f‖� =(

1

2�

∫ �

−�|f(�eit)|2 dt

)1=2

:

Докажите, что определение пространства H2, данное выше, эквива-лентно следующему:

H2 = {f : D→ C : f голоморфна и ‖f‖= lim�→1

‖f‖� <∞}:

Указание. Установите взаимосвязь между тригонометрическимирядами Фурье и рядами Тейлора.

Упражнение 3.18. Докажите, что оператор правого сдвига в `2 изо-метрически эквивалентен оператору умножения Mz (см. предложение3.5 (1)) в H2.

Что же касается оператора левого сдвига, то он, несмотря на кажу-щуюся схожесть с оператором правого сдвига, никакой разумной функ-циональной моделью не обладает. Но это уже гораздо более сложныйфакт, выходящий за рамки нашего курса.

Спектры операторов из примеров 3.3 и 3.4 (за исключением сдвигана окружности), а также части их спектров обладают одним любопыт-ным свойством: они «круглые». Это означает, что если какая-то точка

§ 3.3. Еще несколько частей спектра 45

попала в спектр или в одну из его частей, то туда же попадает и всяокружность с центром в нуле, проходящая через эту точку. Чтобы по-нять, почему так происходит, введем еще одно общее понятие.

Определение 3.4. Пусть S ∈B(E) и T ∈B(F )| ограниченные опе-раторы в банаховых пространствах. Они называются слабо подобны-ми (соответственно слабо изометрически эквивалентными), если су-ществуют такие топологические изоморфизмы (соответственно изоме-трические изоморфизмы) U1; U2 : E→ F , что диаграмма

ES //

U1��

E

U2��

FT // F

коммутативна.

Разумеется, если операторы подобны, то они слабо подобны, и ана-логичное утверждение справедливо для изометрической эквивалентно-сти. Обратное, конечно, неверно: посмотрите на тождественный опе-ратор 1E . Тот же пример показывает, что спектры слабо подобныхоператоров вовсе не обязаны совпадать. Тем не менее, легко проверить(проверьте!), что свойства «быть обратимым», «быть инъективным»,«иметь плотный образ» и т. п. не меняются при замене оператора наслабо подобный.

Упражнение 3.19. Пусть T | любой из операторов из примера 3.3или 3.4, кроме сдвига на окружности, и пусть � ∈ T. Докажите, чтооператоры T − 1 и T − �1 слабо подобны. Как следствие, установите,что � ∈ �(T ) ⇔ 1 ∈ �(T ) и то же самое верно для �p, �c и �r.

§ 3.3. Еще несколько частей спектра

Определение 3.5. Оператор T ∈ B(E;F ) между банаховыми про-странствами называется топологически инъективным, если T : E →→ ImT |гомеоморфизм.

Упражнение 3.20. Докажите следующие утверждения.1. Оператор T топологически инъективен ⇔ он ограничен снизу,

т. е. существует такое c > 0, что ‖Tx‖> c‖x‖ для всех x ∈ E.2. Оператор T топологически инъективен ⇔ он инъективен и его

образ ImT замкнут.Верны ли предыдущие утверждения для операторов в нормирован-

ных пространствах?


Определение 3.6. Аппроксимативным точечным спектром опера-тора T ∈B(E) называется множество

�ap(T ) = {� ∈ C : T − �1 не является топологически инъективным}:

Спектром сюръективности оператора T называется множество

�su(T ) = {� ∈ C : Im(T − �1) 6= E}:

Спектром сжатия оператора T называется множество

�com(T ) = {� ∈ C : Im(T − �1) 6= E}:

Отметим несколько очевидных свойств этих частей спектра.

Предложение 3.6. Справедливы соотношения1) �p(T ) ∪ �su(T ) = �(T ),2) �ap(T ) ∪ �com(T ) = �(T ),3) �p(T )⊂ �ap(T ),4) �com(T )⊂ �su(T ).

Доказательство. В комментарии нуждается лишь второе из пере-численных соотношений. Оно следует из того факта, что топологическиинъективный оператор имеет замкнутый образ, поэтому топологиче-ски инъективный оператор с плотным образом обратим.

Итак, у нас набралось уже шесть частей спектра. Чтобы понять,как все они связаны друг с другом, удобно нарисовать1 следующуюкартинку:

1

3

2

4

5

�ap �com

�p(T ) = 1 ∪ 2

�ap(T ) = 1 ∪ 2 ∪ 3 ∪ 4

�com(T ) = 2 ∪ 4 ∪ 5

�r(T ) = 4 ∪ 5

�c(T ) = 3

�su(T )⊃ 2 ∪ 3 ∪ 4 ∪ 5

Левый круг в этой картинке| это �ap(T ), его верхняя половина|�p(T ), а правый круг| �com(T ). Остальные соотношения, указанныев правой части рисунка, вытекают непосредственно из определений.

1По совету П.Халмоша; см. [28].


Посмотрим теперь, как �ap, �com и �su реагируют на переход к со-пряженному оператору (ср. предложение 3.3). Для этого нам понадо-бится следующий факт.

Упражнение 3.21. Пусть E;F | банаховы пространства, T : E →→ F |ограниченный оператор. Докажите, что

1) оператор T топологически инъективен ⇔ T ∗ сюръективен;2) оператор T сюръективен ⇒ T ∗ топологически инъективен;3)∗ верно и обратное утверждение.

Применяя результат последнего упражнения к оператору T − �1(где T ∈B(E)), получаем следующие соотношения.

Предложение 3.7. Пусть T ∈B(E). Тогда1) �ap(T ) = �su(T ∗);2) �su(T ) = �ap(T ∗);3) �com(T ) = �p(T ∗);4) �p(T )⊂ �com(T ∗).

Если же пространство E рефлексивно, то5) �p(T ) = �com(T ∗).

Упражнение 3.22. Найдите �ap, �com и �su для диагонального опера-тора, операторов умножения и сдвига.

Мы уже знаем, что точечный спектр, непрерывный спектр и оста-точный спектр оператора могут быть незамкнутыми, а могут бытьи пустыми (см., в частности, предложения 3.2 и 3.4) | в отличие отвсего спектра, который всегда компактен и непуст. А вот с аппрокси-мативным точечным спектром, а также со спектром сюръективноститаких неприятностей не бывает. Точнее, справедлив следующий резуль-тат.

Предложение 3.8.Аппроксимативный точечный спектр �ap(T ) опе-ратора T ∈B(E) замкнут и содержит границу спектра @�(T ). То жесамое верно и для спектра сюръективности �su(T ). Как следствие,�ap(T ) и �su(T )|непустые компактные подмножества в C.

Доказательство (набросок). Вначале сделайте следующие упраж-нения.

Упражнение 3.23. Докажите следующие утверждения:1) множество всех топологически инъективных операторов открыто

в B(E).2) аппроксимативный точечный спектр �ap(T ) замкнут.


Упражнение 3.24. Пусть A|унитальная банахова алгебра. Докажи-те следующие утверждения:

1) если элемент a∈A обратим и ‖b‖< 1

‖a−1‖ , то элемент a−b обратим;

2) если a ∈A и � =∈ �(a), то ‖(a− �1)−1‖>1

�(�; �(a)), где �(�; �(a))|

расстояние от � до �(a).

С учетом равенств �(T ) = �(T ∗) и �su(T ) = �ap(T ∗), нам осталосьустановить, что @�(T ) ⊂ �ap(T ). Возьмем � ∈ @�(T ) и выберем после-довательность {�n} так, чтобы �n → � и �n =∈ �(T ) при всех n. Изп. 2 упражнения 3.24 следует, что ‖(T − �n)−1‖ →∞ при n→∞. По-этому существует такая последовательность {xn} ⊂ E, что ‖xn‖ = 1и ‖(T − �n)−1xn‖→∞ при n→∞. Положим

yn =(T − �n)

−1xn‖(T − �n)−1xn‖

;

тогда ‖yn‖= 1 и (T − �n)yn→ 0 при n→∞. Отсюда получаем, что

(T − �)yn = (T − �n)yn − (�− �n)yn→ 0 (n→∞):

Следовательно, � ∈ �ap(T ), как и требовалось.Упражнение 3.25. Докажите часть последнего предложения, касаю-

щуюся �su(T ), не используя при этом результат п. 3 упражнения 3.21.Указание. Вначале докажите, что множество всех сюръективных

операторов открыто в B(E) и что �ap(T ∗)⊂ �su(T ).

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть T ∈B(E)| ограни-ченный оператор и F ⊂ E| замкнутое подпространство, инвариант-ное относительно T (т. е. такое, что T (F ) ⊂ F ). Тогда ограничениеT |F |оператор в F . Что больше| �(T |F ) или �(T )? Несложные при-меры (приведите их!) показывают, что в одних случаях �(T |F )⊂ �(T ),а в других | наоборот. Напомним, однако, о полном спектре �f (T )(см. определение 2.17), который получается из �(T ) «заклеиваниемдыр». Оказывается, справедливо следующее утверждение.

Предложение 3.9. Пусть T ∈B(E)|ограниченный оператор и F ⊂⊂ E|замкнутое подпространство, инвариантное относительно T .Тогда �(T |F )⊂ �f (T ).

Доказательство (набросок). Положим U = C \ �f (T ); из определе-ния �f (T ) следует, что это область (открытое связное множество) в C.Если � ∈ U и |�|> ‖T‖, то

(T − �1)−1 =−�−1(1− �−1T )−1 =−∑n

�−(n+1)Tn


(см. теорему 2.1). Отсюда следует, что (T − �1)−1x ∈ F для всех ука-занных � и для любого x ∈ F .

Лемма 3.1 («векторнозначная теорема единственности»). Пусть U⊂⊂C|область, E|банахово пространство, F ⊂ E|замкнутое под-пространство, f : U → E|голоморфная функция. Предположим, чтоf(M) ⊂ F для некоторого подмножества M ⊂ U , имеющего предель-ную точку в U . Тогда f(U)⊂ F .

Упражнение 3.26. Докажите эту лемму.

Чтобы завершить доказательство предложения, остается применитьлемму к функции f(x) = (T − �1)−1x (где x ∈ F |фиксированный век-тор). Действительно, тогда (T − �1)−1x ∈ F уже для всех � ∈ U , поэто-му оператор T |F − �1F обратим в B(F ) для всех � ∈ U , т. е. для всех� =∈ �f (T ).

Пример 3.5. Используя предложение 3.9, можно получить еще одно(уже третье) доказательство того, что спектр оператора двусторонне-го сдвига Tb ∈B(E) (где E ∈ {`p; c0}) совпадает c единичной окружно-стью T. В самом деле, положим

F = {x ∈ E : xn = 0 ∀n6 0};

тогда оператор T |F подобен оператору Tr правого сдвига, у которого�(Tr) = D (см. предложение 3.4). Поэтому из предложения 3.9 следу-ет, что D|это компонента связности множества C \ �(Tb). С другойстороны, Tb|изометрический изоморфизм пространства E на себя,поэтому �(Tb) ⊂ T (см. упражнение 2.21). Сопоставляя последние дваутверждения, получаем равенство �(Tb) = T.


Конкретные примеры операторов, встречающиеся в этой главе,а также материал о точечном, непрерывном и остаточном спектрахсодержатся в книге [30]; см. также учебник У.Рудина [26], в кото-ром очень подробно изложена теория двойственности в банаховых про-странствах. О пространстве Харди можно прочесть в книгах [5, 8].Аппроксимативный точечный спектр, спектр сжатия и спектр сюръек-тивности обсуждаются в недавней монографии К.Лаурсена и М.Ной-манна [43]; там же рассматриваются спектры ограничений операторовна инвариантные подпространства. По поводу частей спектра см. так-же книгу П.Халмоша [28].

4. ГОЛОМОРФНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Мы уже знаем, что от любого элемента любой унитальной алгебрыможно «брать рациональные функции», определенные на спектре этогоэлемента (см. § 2.4). В общем случае, т. е. для произвольной алгебры, ни-какого более содержательного функционального исчисления построитьнельзя. Однако если A|банахова алгебра, то положение дел меняет-ся: от любого ее элемента можно «брать» не только рациональные, нои голоморфные функции.

Чтобы придать строгий смысл выражению «голоморфная функцияот элемента банаховой алгебры», нам придется ненадолго отвлечь-ся от классической «банаховой» науки и поговорить о более общихвещах.

§ 4.1. Полинормированные пространства

Многие векторные пространства, встречающиеся в различных обла-стях математики, обладают естественной топологией, которая не за-дается никакой нормой. Таковы, в частности, многие пространствагладких и голоморфных функций, а также пространства обобщенныхфункций (т. е. непрерывных функционалов на пространствах гладкихфункций), играющие важную роль в теории уравнений с частными про-изводными. В теории операторов тоже не удается обойтись однимилишь банаховыми пространствами. Поэтому наша ближайшая цель|познакомиться с некоторыми ненормируемыми пространствами, кото-рые нам вскоре понадобятся.

Определение 4.1. Функция ‖ · ‖ : E → [0;+∞) на векторном про-странстве E называется полунормой (или преднормой), если она обла-дает следующими свойствами:

1) ‖�x‖= |�|‖x‖ для всех � ∈ C, x ∈ E;2) ‖x+ y‖6 ‖x‖+ ‖y‖ для всех x; y ∈ E.

Таким образом, полунорма| это «почти норма», только ей разре-шается обращаться в нуль на ненулевых векторах.

Определение 4.2. Векторное пространство E, снабженное семей-ством полунорм {‖ · ‖i : i ∈ I} (где I |произвольное множество), на-зывается полинормированным пространством.

§ 4.1. Полинормированные пространства 51

Если E|полинормированное пространство, то на нем можно вве-сти топологию примерно тем же способом, что и на нормированномпространстве. А именно, для каждых x ∈ E, " > 0 и i ∈ I рассмотрим«шар»

Ui(x; ") = {y ∈ E : ‖x− y‖i < "}: (4.1)

Определение 4.3. Самая слабая топология на E, в которой открытывсе множества вида (4.1), называется топологией, порожденной семей-ством полунорм {‖ · ‖i : i ∈ I}.

Замечание 4.1. ЕслиX|произвольное множество, а P|произволь-ное семейство его подмножеств, то на X существует слабейшая топо-логия, в которой открыты все множества из P . Базой этой топологииявляются всевозможные конечные пересечения множеств из P , а самосемейство P при этом называется предбазой этой топологии.

Упражнение 4.1. Докажите, что топология на E, порожденная се-мейством полунорм {‖ · ‖i : i ∈ I}, может быть определена любым изследующих эквивалентных способов:

1) это самая слабая топология, инвариантная относительно сдвигов,в которой все полунормы ‖ · ‖i непрерывны;

2) базу этой топологии образуют всевозможные множества вида

Ui1;:::;in(x; ") = {y ∈ E : ‖x− y‖ik < " ∀k = 1; : : : ; n} (4.2)

(где x ∈ E, n ∈ N, i1; : : : ; in ∈ I).

Следующее упражнение показывает, что топология, порожденнаясемейством полунорм, согласована с алгебраической структурой.

Упражнение 4.2. Докажите, что в полинормированном простран-стве E операции сложения E×E→E и умножения на скаляр C×E→Eнепрерывны.

Замечание 4.2. Векторное пространство, снабженное топологией,в которой операции сложения и умножения на скаляр непрерывны,называется топологическим векторным пространством. Естественноспросить, все ли топологические векторные пространства получаютсяописанным способом, и если не все, то какие именно. Ответ на этот во-прос таков: топология на топологическом векторном пространстве Eпорождается некоторым семейством полунорм тогда и только тогда,когда оно локально выпукло. Это означает, по определению, что в Eсуществует база окрестностей нуля, состоящая из выпуклых множеств.Проверьте в качестве несложного упражнения, что все множества ви-да (4.2) действительно выпуклы.

52 4. Голоморфное исчисление

Важное свойство локально выпуклых пространств, выделяющее ихиз класса всех топологических векторных пространств, состоит в том,что на них (при условии хаусдорфовости; см. ниже упражнение 4.4),благодаря теореме Хана|Банаха, имеется достаточно много непре-рывных линейных функционалов. Поэтому при изучении локально вы-пуклых пространств можно использовать соображения двойственно-сти, что часто бывает весьма удобно. С другой стороны, на произволь-ном топологическом векторном пространстве вообще может не суще-ствовать ненулевых непрерывных линейных функционалов, даже еслионо хаусдорфово.

Всюду далее (E; {‖ · ‖i : i ∈ I})|полинормированное пространство,снабженное топологией по указанному выше рецепту.

Упражнение 4.3. Докажите, что последовательность {xn} ⊂ E схо-дится к x ∈ E тогда и только тогда, когда ‖x− xn‖i→ 0 для всех i ∈ I.

Упражнение 4.4. Докажите, что пространство E хаусдорфово тогдаи только тогда, когда для каждого ненулевого x ∈ E найдется такоеi ∈ I, что ‖x‖i > 0.

Примеры полинормированных пространств будут у нас появлятьсяпо мере необходимости. Вот пример, который нам понадобится в пер-вую очередь.

Пример 4.1. Пусть U ⊂ C|открытое множество, O(U)|простран-ство голоморфных функций на U . Для каждого компакта K ⊂ U вве-дем полунорму ‖ · ‖K на O(U), полагая ‖f‖K = sup

z∈K|f(z)|. Топология,

порожденная этим семейством полунорм, называется компактно-от-крытой. Из упражнения 4.3 видно, что последовательность fn сходит-ся к f в этой топологии тогда и только тогда, когда она сходится к fравномерно на каждом компакте в U . Поэтому классическую теоремуРунге об аппроксимации голоморфных функций рациональными можнопереформулировать так.

Теорема (Рунге). Для любого открытого множества U ⊂ C алге-бра R(U) плотна в O(U).

Отображения между полинормированными пространствами, уважа-ющие имеющиеся на этих пространствах алгебраическую и топологиче-скую структуры,| это, конечно, непрерывные линейные отображения(операторы). Как и в случае операторов между нормированными про-странствами, свойство непрерывности можно переформулировать «наязыке неравенств» следующим образом.

§ 4.1. Полинормированные пространства 53

Упражнение 4.5. Пусть (E; {‖ · ‖i : i ∈ I}) и (F; {‖ · ‖j : j ∈ J})| по-линормированные пространства, T : E → F |линейный оператор. До-кажите, что следующие условия эквивалентны:

1) оператор T непрерывен;2) для каждого j ∈ J найдутся такое C > 0 и такой конечный набор

i1; : : : ; in ∈ I, что ‖Tx‖j 6 Cmax{‖x‖i1 ; : : : ; ‖x‖in} для всех x ∈ E.

Часто бывает так, что одну и ту же топологию на векторном про-странстве можно задать несколькими разными семействами полунорм.

Определение 4.4. Семейства полунорм {‖ · ‖i : i ∈ I} и {‖ · ‖j : j ∈ J}на векторном пространстве E называются эквивалентными, если онипорождают одну и ту же топологию.

Упражнение 4.6. Сформулируйте и докажите критерий эквивалент-ности двух семейств полунорм «на языке неравенств».

Пример 4.2. Пусть DR = {z ∈ C : |z| < R}| круг радиуса R. (ПриR =∞ мы полагаем DR = C.) Каждая функция f ∈ O(DR) разлагаетсяв DR в ряд Тейлора: f(z) =

∑ncnz

n. (Обратите внимание на то, что он

сходится в компактно-открытой топологии на O(DR), описанной в при-мере 4.1.) Для каждого 0 < r < R положим ‖f‖r =

∑n|cn|rn; очевидно,

‖ · ‖r|полунорма на O(DR).

Упражнение 4.7. Пусть {rn} | возрастающая последовательностьположительных чисел, стремящаяся к R. Докажите, что семейства по-лунорм

{‖ · ‖K : K ⊂ DR|компакт}; {‖ · ‖r : 0< r < R} и {‖ · ‖rn : n ∈ N}

на O(DR) эквивалентны.

Из последнего упражнения видно, что компактно-открытая тополо-гия на O(U), где U = DR, может быть задана счетным набором полу-норм (кстати, докажите, что это так для любого открытого множе-ства U). А нельзя ли обойтись конечным набором?

Упражнение 4.8. Докажите, что хаусдорфово полинормированноепространство (E; {‖ · ‖i : i ∈ I}) нормируемо тогда и только тогда, ко-гда существует такое конечное подмножество I0 ⊂ I, что система по-лунорм {‖ · ‖i : i ∈ I0} эквивалентна исходной.

Упражнение 4.9. Докажите, что пространство O(U) ненормируемо.

Замечание 4.3. Можно показать (мы этим заниматься не будем), чтодля хаусдорфова пространства E наличие счетного (точнее, не более


чем счетного) подмножества I0 ⊂ I, задающего ту же топологию, экви-валентно метризуемости этого пространства.

Если на полинормированном пространстве введено умножение, пре-вращающее его в ассоциативную алгебру, то естественно требовать,чтобы умножение было непрерывно. Однако по техническим причинамобычно требуют, чтобы оно было лишь раздельно непрерывно.

Определение 4.5. Полинормированная алгебра | это полинормиро-ванное пространство A, снабженное структурой алгебры так, что длякаждого a ∈A операторы

La : A→A; b 7→ ab; и Ra : A→A; b 7→ ba;

непрерывны. Если же непрерывно отображение A×A→A, (a; b) 7→ ab,то A называется полинормированной алгеброй с совместно непрерыв-ным умножением.

Впоследствии нам встретятся примеры полинормированных алгебр,умножение в которых не является совместно непрерывным (так чтотребование раздельной непрерывности| это вынужденная необходи-мость). А пока сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.10. Докажите, что O(U)| полинормированная алге-бра с совместно непрерывным умножением.

§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства

Теперь мы в состоянии строго определить, что такое голоморфноеисчисление в банаховой алгебре, и построить это исчисление. Итак,пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈ A|ее элемент, U ⊂ C|открытое множество. Напомним, что через O(U) обозначается алгебраголоморфных функций на U , снабженная компактно-открытой тополо-гией. Через t ∈ O(U) обозначим функцию t(z) = z.

Определение 4.6. Голоморфным исчислением от a на U называетсянепрерывный унитальный гомоморфизм h : O(U)→ A, удовлетворяю-щий условию h(t) = a.

Предложение 4.1. Предположим, что голоморфное исчисление hот a на U существует. Тогда

1) оно является продолжением рационального (т. е. h|R(U) = r);2) �(a)⊂ U ;3) голоморфное исчисление единственно.

§ 4.2. Голоморфное исчисление: построение и свойства 55

Доказательство. Первое утверждение следует из соотношения h(t) = a, а второе|из первого и из свойств рационального исчисления.Наконец, утверждение о единственности вытекает из непрерывности hи теоремы Рунге.

Построить голоморфное исчисление проще всего в случае, когдаU|круг с центром в нуле или вся комплексная плоскость.

Предложение 4.2. Пусть DR = {z ∈ C : |z| < R}| круг радиуса R,содержащий спектр �(a) элемента a ∈ A. (При R = ∞ мы полага-ем DR = C.) Тогда голоморфное исчисление от a на DR существуети единственно.

Доказательство. Возьмем произвольную функцию f ∈ O(DR) и раз-ложим ее в ряд Тейлора: f(z) =

∑ncnz

n. Покажем, что ряд∑ncna

n схо-

дится в A. Для этого зафиксируем любое � так, чтобы выполнялось не-равенство r(a)< � < R; тогда из формулы спектрального радиуса (см.§ 2.5) следует, что найдется такое N ∈ N, что ‖an‖1=n < � при n > N .Следовательно, C := sup

n‖an‖=�n <∞. Поэтому

∑n

|cn|‖an‖6 C∑n

|cn|�n (4.3)

и ряд∑ncna

n абсолютно сходится. Обозначим его сумму через h(f).

Простые вычисления со степенными рядами показывают, что постро-енное отображение h : O(DR)→ A является унитальным гомоморфиз-мом, причем h(t) = a. Наконец, из неравенства (4.3) следует, что‖ h(f)‖ 6 C‖f‖� для всех f ∈ O(DR) (см. пример 4.2), поэтому гомо-морфизм h непрерывен.

Из предыдущего предложения следует, в частности, что от любо-го элемента унитальной банаховой алгебры можно «брать целые функ-ции». В частности, для любого a ∈ A определена экспонента exp(a) =

=∞∑n=0

an=n!.

Если U ⊂ C|произвольное открытое множество, содержащее �(a),то строить голоморфное исчисление от a на U тем же способом, чтои выше, не получается: ведь не любая же голоморфная в U функцияразлагается в ряд Тейлора на U . С другой стороны, для голоморф-ных функций в U существует удобное представление в виде интегралаКоши.


Напоминание 4.1. Пусть V ⊂ U | ограниченное открытое подмно-жество, содержащееся в U вместе со своим замыканием V и такое, чтоего граница @V состоит из конечного числа гладких кривых. Тогдадля любой функции f ∈ O(U) и любого z ∈ V справедлива интеграль-ная формула Коши

f(z) =1

2�i

∫@V

f(�)

� − zd� (4.4)

(интегрирование по @V ведется, как положено, с учетом ориентации).

С учетом формулы Коши естественно попытаться построить голо-морфное исчисление от элемента a ∈A следующим образом: подберем Vтак, чтобы выполнялись включения �(a)⊂ V ⊂ V ⊂ U , подставим a вме-сто z в правую часть формулы (4.4) и возьмем получившееся выражениев качестве определения элемента f(a) = h(f). Конечно, чтобы придатьэтому определению смысл, нужно сперва договориться, что называтьинтегралом от функции со значениями в банаховом пространстве.

Отступление: интегрирование векторнозначных функций

Пусть E|банахово пространство, f : [a; b]→ E|функция. Инте-

грал РиманаZ b

af(t) dt можно определить, как и для скалярных функ-

ций, как предел интегральных сумм. А можно сделать еще проще и по-ступить следующим образом.

Определение 4.7. Элемент x ∈ E называется интегралом от f по

[a; b] (и обозначается черезZ b

af(t) dt), если для любого ! ∈ E∗ функ-

ция ! ◦ f : [a; b]→ C интегрируема по Риману и !(x) =Z b

a!(f(t)) dt.

Конечно, если интеграл от f существует, то он единственный (по-чему?).

Упражнение 4.11. Докажите следующие утверждения.1. Если функция f : [a; b]→ E непрерывна, то она интегрируема и∥∥∥∥∫ b

a

f(t) dt∥∥∥∥ 6

∫ b

a

‖f(t)‖ dt6 ‖f‖∞(b− a);

где ‖f‖∞ = supt∈[a;b]

‖f(t)‖.

2. Если T ∈B(E;F ), то T(Z b

af(t) dt

)=

Z b

aT (f(t)) dt для любой не-

прерывной функции f : [a; b]→ E.


Определение 4.8. Пусть `| гладкая ориентированная кривая в C,параметризованная при помощи отображения : [a; b]→ C класса C1.Для произвольной непрерывной функции f : `→ E положим по опреде-

лениюZ`f(z) dz =

Z b

af( (t)) ′(t) dt.

Как и для скалярных функций, интеграл от f по кусочно гладкойкривой определяется как сумма интегралов по ее «гладким кускам». На-конец, если V ⊂ C|ограниченное открытое множество, граница @Vкоторого состоит из конечного числа кусочно гладких кривых, то ин-теграл от f по @V определяется как сумма интегралов по этим кривым,ориентированным согласованно с ориентацией V .

∗ ∗ ∗

Перейдем к построению голоморфного исчисления в общем случае.

Теорема 4.1. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈ A| ееэлемент, U ⊂ C|открытое множество, содержащее �(a). Тогда су-ществует единственное голоморфное исчисление h : O(U)→ A от aна U .

Доказательство. Выберем открытое ограниченное множество Vс границей @V , состоящей из конечного числа кусочно гладких кри-вых, так, чтобы выполнялись включения �(a)⊂ V ⊂ V ⊂ U . Для каждойфункции f ∈ O(U) положим

h(f) =1

2�i

∫@V

f(�)(�1− a)−1d�:

Очевидно, отображение h : O(U)→A корректно определено (посколь-ку под знаком интеграла стоит непрерывная функция) и линейно. Кро-ме того, легко видеть (проверьте!), что существует такое C > 0, что‖ h(f)‖ 6 C‖f‖@V для любой функции f ∈ O(U). Следовательно, ото-бражение h непрерывно.

Таким образом, нам остается показать, что h|унитальный гомо-морфизм и что h(t) = a. Заметим, что для этого достаточно проверитьдва тождества:

(1) h(1) = 1;(2) h((t− �)f) = (a− �1) h(f) для всех f ∈ O(U), � ∈ C.В самом деле, из этих тождеств по индукции легко следует, что

h(f) = f(a) для любого многочлена f ; в частности, h(t) = a. Далее, ес-ли � =∈ U , то (a− �1)n h((t− �)−n) = h(1) = 1, поэтому h((t− �)−n) == (a − �1)−n для всех n ∈ N. Разлагая произвольную рациональную


функцию f ∈R(U) в сумму простейших дробей, мы видим, что h сов-падает на R(U) с рациональным исчислением r; в частности, h|R(U)|гомоморфизм. Отсюда с учетом теоремы Рунге и совместной непре-рывности умножения в O(U) и A следует, что h|гомоморфизм. Дей-ствительно, пусть f; g ∈ O(U), и пусть {fn} и {gn}|последовательно-сти в R(U), сходящиеся к f и g соответственно. Тогда fngn→ fg в O(U)и h(fn) h(gn)→ h(f) h(g) в A, поэтому

h(fg) = limn h(fngn) = lim

n h(fn) h(gn) = h(f) h(g);

так что h|гомоморфизм. Итак, нам остается проверить выполнениеусловий (1) и (2).

Для проверки условия (1) фиксируем произвольный функционал! ∈ A∗ и возьмем такое R > 0, что R > ‖a‖ и V ⊂ DR. Функция� 7→ !((�1 − a)−1) голоморфна в окрестности области DR \ V , поэто-му ее интеграл по ориентированной границе этой области равен нулю.Отсюда следует, что

!( h(1)) =1

2�i

∫@V

!((�1− a)−1) d� =1

2�i

∫@DR

!((�1− a)−1) d�: (4.5)

С другой стороны, при � ∈ @DR мы имеем

(�1− a)−1 = �−1(1− �−1a)−1 =∞∑n=0

�−n−1an

(см. теорему 2.1), причем ряд сходится равномерно на @DR. Поэтомуцепочку равенств (4.5) можно продолжить следующим образом:

: : :=∞∑n=0

!(an)1

2�i

∫@DR

�−n−1d� = !(1):

Ввиду произвольности функционала ! ∈ A∗ отсюда следует равен-ство (1).

Теперь проверим равенство (2):

h((t− �)f)− (a− �1) h(f) =

=1

2�i

∫@V

(� − �)f(�)(�1− a)−1d� − (a− �1)1

2�i

∫@V

f(�)(�1− a)−1d� =

=1

2�i

∫@V

f(�)[(� − �)1− (a− �1)](�1− a)−1d� =

=1

2�i

∫@V

f(�)(�1− a)(�1− a)−1d� =1

2�i

∫@V

f(�) d� · 1 = 0;


поскольку функция f голоморфна в U . Таким образом, равенство (2)доказано. Как уже было замечено выше, отсюда следует, что h|го-моморфизм.

Следующее упражнение показывает, что голоморфные исчисленияна разных открытых множествах согласованы.

Упражнение 4.12. Пусть �(a)⊂ V ⊂ U , где U; V |открытые подмно-жества C. Обозначим через rUV : O(U)→ O(V ) гомоморфизм, сопоста-вляющий каждой голоморфной функции в U ее ограничение на V . Пусть Uh и Vh |голоморфные исчисления от a на U и V соответственно. До-кажите, что следующая диаграмма коммутативна:

O(U)

rUV

��

Uh

''OOOOOO

A

O(V ) Vh

77oooooo

Поскольку голоморфное исчисление является продолжением рацио-нального и не зависит от выбора открытого множества, содержащегоспектр, мы вправе вместо h(f) писать просто f(a) для любой голо-морфной функции f , определенной в некоторой окрестности спектра�(a).

Довольно часто голоморфное исчисление от того или иного элемен-та какой-нибудь «классической» банаховой алгебры удается описать«в явном виде», т. е. не прибегая к контурному интегрированию. Чтобыв этом убедиться, сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.13. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈A|ее элемент, f | голоморфная функция, определенная в окрестностиспектра �(a). В каждом из перечисленных ниже случаев укажите, чтотакое f(a):

1) A= C(˙), a ∈A|любой элемент;2) A= `∞, a ∈A|любой элемент;3) A= L∞(X;�), a ∈A|любой элемент;4) A=B(`p) или B(c0), a=M�|диагональный оператор;5) A=B(Lp(X;�)), a=Mf |оператор умножения;6) A=B(`2(Z)), a= Tb|оператор двустороннего сдвига;7) A=B(`2), a= Tr|оператор правого сдвига.

Вместо того чтобы говорить о «голоморфном исчислении в произ-вольной окрестности спектра», удобно говорить о «голоморфном ис-числении на спектре». Для этого нам понадобится еще одна полинор-


мированная алгебра, а именно алгебра ростков голоморфных функций.Определяется она следующим образом.

Пусть K|компакт в C. Рассмотрим множество всех пар (U; f), гдеU ⊃K|открытое множество и f ∈ O(U). На этом множестве введемотношение эквивалентности, полагая (U; f) ∼ (V; g), если существуеттакая окрестность W ⊃K, что W ⊂ U ∩ V и f |W = g|W . Класс эквива-лентности называется ростком голоморфной функции на K, а множе-ство всех ростков обозначается через O(K). Нетрудно проверить, чтоO(K) становится алгеброй, если определить алгебраические операциинад ростками как поточечные операции над их представителями.

Как и в случае алгебры рациональных функций R(M) (см. § 2.4),каждому ростку f ∈ O(K) можно приписать значение f(z) в произволь-ной точке z ∈ K, взяв в качестве f(z) значение в точке z любого егопредставителя. Получаем функцию ~f : K → C, ~f(z) = f(z). Отображе-ние O(K)→ CK , f 7→ ~f , является, очевидно, унитальным гомоморфиз-мом. Отметим, что он инъективен тогда и только тогда, когда K несодержит изолированных точек (почему?). Тем не менее, как показыва-ет следующее упражнение, этот гомоморфизм всегда сохраняет спектр(ср. замечание 2.10).

Упражнение 4.14. 1. Докажите, что элемент f ∈ O(K) обратим то-гда и только тогда, когда элемент ~f ∈ CK обратим, т. е. f(z) 6= 0 длялюбого z ∈K.

2. Докажите, что �O(K)(f) = �CK ( ~f) = f(K) для любого элементаf ∈ O(K).

Топология на O(K) вводится следующим образом. Для каждойокрестности U компакта K обозначим через rUK : O(U)→ O(K) го-моморфизм «ограничения», определяемый очевидным образом. Назо-вем полунорму ‖ · ‖ на O(K) допустимой, если для любой окрестно-сти U ⊃K полунорма f 7→ ‖rUK(f)‖ непрерывна на O(U). ПревратимO(K) в полинормированное пространство, снабдив его семейством всехдопустимых полунорм.

Замечание 4.4. Указанный способ введения топологии встречаетсядовольно часто; по-научному он называется «индуктивный предел». Приэтом используется следующее обозначение: O(K) = lim−→

U⊃KO(U). При по-

мощи той же конструкции вводится топология, например, на простран-стве D гладких функций с компактным носителем на прямой, играю-щем важную роль в теории обобщенных функций.

Упражнение 4.15. Пусть E|полинормированное пространство. До-кажите, что линейный оператор T : O(K)→E непрерывен тогда и толь-


ко тогда, когда для любой окрестности U⊃K оператор T ◦rUK : O(U)→→ E непрерывен.

На самом деле указанное в последнем упражнении свойство полно-стью характеризует топологию на O(K). Точнее, справедлив следую-щий результат.

Упражнение 4.16. Пусть O(K) снабжено каким-либо семейством по-лунорм таким образом, что выполнено свойство, указанное в предыду-щем упражнении. Докажите,что топология, порожденная этим семей-ством, совпадает с топологией, порожденной семейством всех допусти-мых полунорм на O(K).

Упражнение 4.17∗. Докажите, что O(K)|хаусдорфова полинорми-рованная алгебра с совместно непрерывным умножением.

Теорема 4.2. Пусть A|унитальная банахова алгебра, a ∈ A| ееэлемент, K ⊂ C | компакт, содержащий �(a). Существует един-ственный непрерывный унитальный гомоморфизм Kh : O(K)→A, удо-влетворяющий условию Kh (t) = a.

Доказательство. Пусть f ∈ O(K)|произвольный росток, и пустьg ∈ O(U) (где U ⊃ K) | некоторый его представитель. Положим поопределению Kh (f) = Uh (g). Из упражнения 4.12 легко выводится,что Kh |корректно определенный унитальный гомоморфизм, причем Kh (t) = a и Kh ◦ rUK = Uh для любой окрестности U ⊃K. Непрерыв-ность гомоморфизма Kh следует из упражнения 4.15, а единствен-ность | из единственности голоморфного исчисления в окрестностиспектра (см. предложение 4.1, п. 3).

Определение 4.9. Гомоморфизм Kh : O(�(a))→ A, описанный в пре-дыдущем предложении, называется голоморфным исчислением от эле-мента a ∈A на компакте K ⊃ �(a).

Утверждения теорем 4.1 и 4.2 удобно переформулировать следую-щим образом (ср. теорему 2.7).

Теорема 4.3. Пусть A|унитальная банахова алгебра, U ⊂ C|не-пустое открытое множество, K ⊂ C | непустой компакт. Суще-ствуют канонические биекции{

a ∈A : �(a)⊂ U}

�{ унитальные непрерывныегомоморфизмы O(U)→A

}{a ∈A : �(a)⊂K

}�

{ унитальные непрерывныегомоморфизмы O(K)→A

}


Здесь стрелки, действующие слева направо, сопоставляют элементуa ∈A его голоморфное исчисление на U (соответственно K), а стрел-ки, действующие справа налево, сопоставляют гомоморфизму � эле-мент �(t), где t(z) = z для любого z ∈ U (соответственно любогоz ∈K).

Разумеется, наименьший компакт, для которого справедлива теоре-ма 4.2, | это сам спектр �(a). В этом случае говорят о голоморфномисчислении на спектре. В дальнейшем вместо �(a)h (f) мы будем, когдаэто удобно, писать f(a).

Теорема 4.4 (об отображении спектра). Для любой функции f ∈∈ O(�(a)) справедливо равенство �(f(a)) = f(�(a)).

С учетом упражнения 4.14 эту теорему можно переформулироватьтак.

Теорема 4.4′. Гомоморфизм �(a)h : O(�(a))→A сохраняет спектр.

Доказательство. Достаточно доказать, что гомоморфизм �(a)h

(обозначаемый далее просто ) переводит необратимые элементы в не-обратимые. Пусть элемент f ∈ O(�(a)) необратим; тогда f(�) = 0в некоторой точке � ∈ �(a). Из свойств голоморфных функций сле-дует, что f = (t − �)g для некоторого g ∈ O(�(a)). Следовательно, (f) = (a − �1) (g). Но элемент a − �1 необратим, поэтому и элемент (f) необратим (см. лемму 2.3).

Следствие 4.1. Для любого a ∈A элемент exp(a) обратим.

Естественно поинтересоваться, справедлив ли аналог теоремы оботображении спектра для его частей. Чтобы ответить на этот вопрос,сделайте следующее упражнение.

Упражнение 4.18. Пусть T ∈B(E)|ограниченный оператор. Верноли равенство �p(f(T )) = f(�p(T )), если

1) f ∈ C[t];2) f ∈R(M) (где M ⊃ �(T ));3) f ∈ O(U) (где U ⊃ �(T )|область);4) f ∈ O(U) (где U ⊃ �(T )|открытое множество).

Ответьте на тот же вопрос для �c(T ), �r(T ), �ap(T ), �su(T ), �com(T ).

Вот еще два важных свойства голоморфного исчисления.

Упражнение 4.19 (перестановочность с гомоморфизмами). Пусть' : A→B|унитальный гомоморфизм банаховых алгебр, и пусть a ∈A.Докажите, что '(f(a)) = f('(a)) для любой функции f ∈ O(�(a)).

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях 63

Упражнение 4.20 (теорема о композиции). Пусть a ∈ A, f ∈ O(�(a))и g ∈ O(�(f(a))). Докажите, что g(f(a)) = (g ◦ f)(a).

Обсудим теперь некоторые полезные применения голоморфного ис-числения.

Упражнение 4.21. Пусть �(a) не пересекается с некоторым лучом,выходящим из начала координат. Докажите, что

1) для любого n ∈ N существует такой элемент b ∈A, что bn = a;2) существует такой элемент b ∈A, что exp(b) = a.

Поскольку спектр любой (n× n)-матрицы конечен, мы получаем сле-дующий результат.

Следствие 4.2. Если a∈Mn(C)|обратимая матрица, то a=exp(b)для некоторой матрицы b ∈ Mn(C). Иными словами, отображениеexp: Mn(C)→ Inv(Mn(C))|сюръекция.

Упражнение 4.22. Справедлив ли аналог предыдущего утвержденияв алгебрах B(E)? C[a; b]? C(T)? `∞? L∞(X;�)?

Чтобы получить более подробную информацию об образе экспо-ненциального отображения exp: A→ Inv(A), обозначим через Inv0(A)связную компоненту единицы группы Inv(A) и заметим, что exp(A) ⊂⊂ Inv0(A) ввиду связности алгебры A.

Упражнение 4.23. Пусть A|унитальная банахова алгебра. Докажи-те, что

1) Inv0(A)|нормальная подгруппа в Inv(A);2) exp(A) порождает Inv0(A) как группу;3) Inv0(A) = exp(A), если алгебра A коммутативна.

Упражнение 4.24∗ (для любителей топологии). Пусть A = C(˙) |алгебра непрерывных функций на компакте ˙. Докажите, что фактор-группа Inv(A)= exp(A) изоморфна первой группе когомологий H1(˙;Z).

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях

Теорема о голоморфном исчислении применима, в частности, к ал-гебре B(E) ограниченных операторов в банаховом пространстве. Та-ким образом, полиномиальное исчисление p : C[t] → B(E) от любо-го оператора T ∈ B(E) продолжается до рационального исчисления r : R(�(T ))→ B(E), а рациональное | до голоморфного исчисления h : O(�(T ))→B(E). Естественно спросить, нельзя ли расширить го-ломорфное исчисление на какую-нибудь большую алгебру, состоящую


из функций (или ростков функций) на спектре:

C[t] //

p

!!CCCC

CCCC

CCC

R(�(T )) //

r

��

O(�(T ))

h

{{wwwwwwwwwwww// A

?

vvl l l l l l l l l l l

B(E)

С точки зрения теории операторов желательно, чтобы алгебра A быладостаточно большой для того, чтобы допускать разбиения единицы.Это позволило бы лучше понять «устройство» оператора T , в частностипостроить для него большое семейство инвариантных подпространств.

Следующее упражнение показывает, что для некоторых операторовтакое исчисление действительно существует.

Упражнение 4.25 («научно-исследовательское»). На какие функцио-нальные алгебры можно продолжить голоморфное исчисление от сле-дующих операторов:

1) диагональный оператор M� ∈B(`p);2) оператор умножения Mf ∈B(Lp(X;�));3) оператор двустороннего сдвига Tb ∈B(`2(Z))?

Пожалуй, «самая маленькая» из «классических» функциональных ал-гебр на каком-либо открытом множестве U ⊂ C, допускающая разбие-ния единицы,|это алгебра гладких функций C∞(U). На этой алгебреесть каноническая топология, задающая равномерную сходимость накомпактах со всеми частными производными. Эту топологию можноописать при помощи полунорм следующим образом.

Пусть U ⊂ Rn|открытое множество. Для каждого набора (мульти-индекса) �= (�1; : : : ; �n) ∈ Zn+ положим, как обычно, |�|= �1 + : : :+ �n

и D�=@|�|

@x�11 : : : @x�nn. Для каждого компакта K⊂U и мультииндекса �∈

∈Zn+ введем полунорму ‖ · ‖K;� на C∞(U), полагая ‖f‖K;�=supx∈K

|D�f(x)|.

Система всех полунорм указанного вида превращает C∞(U) в полинор-мированное пространство. Очевидно, оно хаусдорфово (почему?).

Упражнение 4.26. 1. Докажите, что C∞(U) | полинормированнаяалгебра с совместно непрерывным умножением.

2) Докажите, что если U ⊂ C, то компактно-открытая топология наалгебре голоморфных функций O(U) совпадает с топологией, унасле-дованной из C∞(U).

Следующее определение принадлежит Ч.Фойяшу.

§ 4.3. О неаналитических функциональных исчислениях 65

Определение 4.10. Оператор T ∈B(E) называется обобщенным ска-лярным оператором, если существует непрерывный унитальный гомо-морфизм : C∞(C)→B(E), удовлетворяющий условию (t) = T (где,как обычно, t(z) = z|«независимая переменная»).

Замечание 4.5. Раз уж есть обобщенные скалярные операторы, то,конечно, есть и «просто» скалярные. Но определяются они несколькосложнее, и их мы рассматривать не будем.

Упражнение 4.27. Пусть T ∈B(E)|обобщенный скалярный опера-тор. Верно ли, что гомоморфизм из предыдущего определения един-ственный?

Приятное свойство обобщенных скалярных операторов состоитв том, что их поведение можно «локализовать» следующим образом.

Упражнение 4.28. Пусть T ∈B(E)|обобщенный скалярный опера-тор. Докажите, что для любого покрытия C = U ∪ V двумя открыты-ми множествами U; V существуют замкнутые T -инвариантные подпро-странства F;G⊂ E, удовлетворяющие условиям �(T |F )⊂ U , �(T |G)⊂ Vи F +G= E.

Указание. Воспользуйтесь разбиением единицы, подчиненным это-му покрытию.

Замечание 4.6. Операторы, обладающие свойством, указанным впредыдущем упражнении, называются разложимыми (по Фойяшу).

Вот простейший пример.

Упражнение 4.29. Докажите, что любой оператор в конечномерномпространстве является обобщенным скалярным.

Для следующего примера нам понадобится алгебра C∞(T) глад-ких функций на единичной окружности T ⊂ C. Топология на этой ал-

гебре вводится при помощи системы полунорм ‖f‖n = supt∈R

∣∣∣ dndtn

f(eit)∣∣∣

(n ∈ Z+). Нетрудно проверить (проверьте!), что гомоморфизм ограни-чения C∞(C)→ C∞(T), f 7→ f |T, непрерывен.

Упражнение 4.30. Пусть T ∈ B(E) | сюръективный изометриче-ский оператор. Докажите, что существует непрерывный унитальныйгомоморфизм : C∞(T)→ B(E), удовлетворяющий условию (t) = T .Как следствие, T |обобщенный скалярный оператор.

Указание. Любая функция f ∈ C∞(T) разлагается в ряд Фурье постепеням независимой переменной t.


А вот и контрпример.

Упражнение 4.31∗∗. Докажите, что операторы правого и левогосдвига в `2 не являются обобщенными скалярными.


По поводу полинормированных пространств см. книгу [30]. От-метим, что как сам термин «полинормированное пространство», таки представленный в книге [30] подход к этому понятию (которому мыследуем в этих лекциях) не является самым распространенным. Какправило, в литературе по топологическим векторным пространствампервичной структурой является именно топология на векторном про-странстве, а не система полунорм, задающая эту топологию. В соот-ветствии с этим и термин «полинормированное пространство» встреча-ется в литературе существенно реже, чем термин «локально выпуклоепространство» (см. замечание 4.2). Более подробно о топологическихвекторных пространствах можно почитать в учебниках У.Рудина [26],Р. Эдвардса [32] и двух Робертсонов [25].

Теорема о голоморфном исчислении в окрестности спектра содер-жится в книге [29]; см. также [26]. Алгебра ростков голоморфныхфункций и голоморфное исчисление на спектре обсуждаются в лекцияхА. Гишарде [39]. Про обобщенные скалярные и разложимые операторыможно прочитать в книге [43]; кое-что об этом есть в третьем томемонографии Н.Данфорда и Дж.Шварца [11].

5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГЕЛЬФАНДА

В предыдущей главе мы убедились, что любой ограниченный опера-тор обладает голоморфным исчислением в произвольной окрестностиспектра. Для некоторых классов операторов удается добиться больше-го и научиться применять к ним не только голоморфные, но и гладкие,непрерывные, а иногда и некоторые разрывные функции (см. упражне-ние 4.25). В ближайшем будущем мы познакомимся с несколькими важ-ными результатами о существовании неаналитических функциональ-ных исчислений для «хороших» операторов. Для этого нам придется навремя отвлечься от операторов и поговорить об алгебрах, состоящихиз функций.

Преобразование Гельфанда, о котором пойдет речь ниже,|это не-кий универсальный способ «превратить» коммутативную банахову ал-гебру в алгебру, состоящую из непрерывных функций на некоторомкомпакте.

§ 5.1. Максимальные идеалы и характеры

Пусть A|(пока произвольная) унитальная алгебра.

Определение 5.1. Левый идеал I ⊂A называется максимальным, ес-ли он собственный (т. е. I 6= A) и не содержится ни в каком другомсобственном левом идеале.

Предложение 5.1. Любой левый идеал I ⊂ A содержится в некото-ром максимальном левом идеале.

Доказательство. Рассмотрим множество M , состоящее из всевоз-можных собственных левых идеалов в A, содержащих I. Это множество(частично) упорядочено по включению: J1 ≺ J2, если J1 ⊂ J2. Легко про-верить, что оно удовлетворяет условиям леммы Цорна. В самом деле,пусть C ⊂M |линейно упорядоченное подмножество; тогда, очевид-но, J =

⋃{K : K ∈ C}| левый идеал в A. Поскольку 1 =∈ K для всех

K ∈ C, мы также имеем 1 =∈ J , а значит, J|собственный идеал. Сле-довательно, J|верхняя грань для C. Таким образом, условия леммыЦорна выполнены, и в M есть максимальный элемент. Это и есть мак-симальный идеал, содержащий I.

Замечание 5.1. Для неунитальных алгебр указанное свойство, вооб-ще говоря, не выполняется (попробуйте привести пример). Ситуацию

68 5. Преобразование Гельфанда

удается исправить, если рассматривать не все, а только так называе-мые модулярные идеалы. Нам же для наших целей вполне хватит и уни-тальных алгебр.

Предложение 5.2. Пусть A|унитальная банахова алгебра. Тогдалюбой максимальный левый идеал в A замкнут.

Доказательство. Если I ⊂ A|левый идеал, то и его замыкание Iтоже левый идеал. Поэтому если идеал I максимален и I 6= I, то I =A.Это значит, что I пересекается с любым непустым открытым подмно-жеством в A, в частности с множеством Inv(A) всех обратимых элемен-тов (см. теорему 2.1). Отсюда следует, что I =A. Противоречие.

Упражнение 5.1. Верно ли предыдущее утверждение в алгебрахO(U)? C∞(U)? O(K)?

Разумеется, все, что говорилось выше, переносится на правые иде-алы и на двусторонние идеалы.

Упражнение 5.2. Пусть A | унитальная коммутативная алгебра.Докажите, что идеал I ⊂A максимален⇔ факторалгебра A=I|поле.

Начиная с этого момента и до конца главы мы будем рассматриватьтолько коммутативные алгебры. Каждой коммутативной унитальнойалгебре A можно сопоставить следующие два важных множества.

Определение 5.2. Максимальным спектром (далее | просто спек-тром) алгебры A называется множество ˙(A) всех ее максимальныхидеалов. Пространством характеров алгебры A называется множе-ство X (A) всех ее ненулевых характеров.

Между ˙(A) и X (A) имеется тесная взаимосвязь. А именно, рас-смотрим отображение κ : X (A)→ ˙(A), � 7→Ker�.

Упражнение 5.3. Докажите, что отображение κ инъективно.

Часто κ оказывается биекцией. Вот простейший пример такой си-туации.

Упражнение 5.4. Пусть A = C[t] | алгебра многочленов. Каждойточке z∈C сопоставим «вычисляющий» характер �z∈X (A), �z(f)=f(z).Докажите, что полученное отображение � : C → X (A) и отображе-ние κ|биекции.

Впрочем, «часто»| это еще не «всегда». Чтобы в этом убедиться,сделайте следующее упражнение.

§ 5.1. Максимальные идеалы и характеры 69

Упражнение 5.5. 1. Придумайте пример коммутативной унитальнойалгебры A, для которой κ не биекция.

2. Опишите X (A), ˙(A) и κ для алгебр C(t), C[[t]], R(M), C∞(T)и C[t]=(t2).

3∗. Сделайте то же самое для алгебры O(K).4. Опишите X (A) для алгебр O(U) и C∞(U).

А теперь от алгебр, не снабженных топологией (или снабженныхненормируемой топологией), перейдем к банаховым алгебрам.

Предложение 5.3. Пусть A|унитальная коммутативная банахо-ва алгебра. Тогда отображение κ : X (A)→˙(A), � 7→Ker�,|биекция.

Доказательство. Пусть I ∈ ˙(A) | максимальный идеал. Ввидупредложения 5.2 он замкнут, поэтому A=I|банахово поле (см. упраж-нение 5.2). По теореме Гельфанда|Мазура, A=I ∼= C. Композиция фак-торотображения A → A=I и изоморфизма A=I → C | это характер� ∈X (A), у которого Ker�= I. Следовательно, κ|сюръекция, и оста-ется применить результат упражнения 5.3.

Следствие 5.1. Пусть A| унитальная коммутативная банаховаалгебра. Элемент a ∈A обратим ⇔ �(a) 6= 0 для любого � ∈X (A).

Доказательство. Импликация ⇒ тривиальна.Докажем импликацию⇐: если элемент a ∈A необратим, то главный

идеал Aa, будучи собственным, содержится в некотором максимальномидеале I, а он является ядром характера.

А теперь, как и было обещано, изготовим из A алгебру функций.

Определение 5.3. Пусть A| унитальная коммутативная алгебра.Преобразованием Гельфанда элемента a ∈ A называется функцияa : X (A)→C, определяемая формулой a(x)= x(a) для любого x∈X (A).

Непосредственно проверяется (проверьте), что отображение A→→ CX (A), a 7→ a,|унитальный гомоморфизм алгебр.

Определение 5.4. Гомоморфизм À : A→ CX (A), À(a) = a, называ-ется преобразованием Гельфанда алгебры A.

Замечание 5.2. Из определения следует, что

Ker À =⋂{Ker� : � ∈X (A)}:

Итак, преобразование Гельфанда сопоставляет каждой унитальнойкоммутативной алгебре A алгебру функций ImÀ на множестве X (A).Эта конструкция, а также некоторые ее разновидности, оказалась чрез-


вычайно полезной, и не только в функциональном анализе, но и в другихнауках. Если «забыть» про ядро преобразования Гельфанда, то мож-но сформулировать следующий принцип (строго говоря, неверный, нополезный): коммутативные алгебры| это алгебры функций на неко-торых «пространствах». Этому утверждению можно придать полнуюстрогость, только для этого нужно заменить X (A) на некоторое боль-шее множество, а также несколько расширить смысл понятия «функ-ция». Это делается в теории схем А.Гротендика.

Развитие и осмысление этих идей привело к появлению новой идео-логии| некоммутативной геометрии. В широком понимании неком-мутативная геометрия| это не область математики, а, скорее, точказрения, согласно которой произвольные (некоммутативные) алгебрыили кольца следует представлять себе как «кольца функций на некомму-тативных пространствах»(пространствах, которых на самом деле нет).При этом в зависимости от того, какие именно алгебры и какие их «гео-метрические» свойства изучаются, возникает целая серия наук|неком-мутативная алгебраическая геометрия, некоммутативная дифференци-альная геометрия, некоммутативная топология, некоммутативная тео-рия меры... В некотором смысле к некоммутативной геометрии можноотнести алгебраическуюK-теорию и теорию квантовых групп. Мы ещевернемся к этой теме, когда будем говорить о C∗-алгебрах.

Упражнение 5.6. Опишите преобразование Гельфанда для алгебрC[t], C[[t]], R(M), O(U), C∞(U), O(K) и C[t]=(t2).

Отметим, что для произвольной унитальной коммутативной алге-бры A пространства X (A) и ˙(A)|это «всего лишь» множества. Ока-зывается, если A|банахова алгебра, то существует канонический спо-соб ввести топологию на множестве X (A) (которое в этом случае со-впадает с ˙(A); см. предложение 5.3) так, что преобразования Гельфан-да элементов из A будут непрерывными функциями относительно этойтопологии. Чтобы описать эту топологию, вернемся ненадолго к поли-нормированным пространствам.

§ 5.2. Слабая и слабая* топологии

Пусть E|банахово пространство. Для каждого функционала f ∈E∗

введем полунорму ‖ · ‖f на E, полагая ‖x‖f = |f(x)| для каждого x ∈ E.

Определение 5.5. Топология на E, задаваемая системой полунорм{‖ · ‖f : f ∈ E∗}, называется слабой топологией на E и обозначается�(E;E∗).

§ 5.2. Слабая и слабая* топологии 71

А теперь применим двойственную конструкцию: возьмем векторx ∈ E и введем полунорму ‖ · ‖x на E∗ по правилу ‖f‖x = |f(x)| длякаждого f ∈ E∗.

Определение 5.6. Топология на E∗, задаваемая системой полунорм{‖ · ‖x : x ∈ E}, называется слабой* топологией на E∗ и обозначается�(E∗; E).

Замечание 5.3. Отметим, что последовательность {xn} ⊂ E сходит-ся к некоторому элементу x ∈ E в топологии �(E;E∗) тогда и толь-ко тогда, когда f(xn)→ f(x) для любого f ∈ E∗ (см. упражнение 4.3).В этом случае говорят, что {xn} слабо сходится к x. Точно так же по-следовательность {fn} ⊂ E∗ сходится к некоторому f ∈ E∗ в топологии�(E∗; E) тогда и только тогда, когда fn(x)→ f(x) для любого x ∈ E.

Упражнение 5.7. Докажите, что топологии �(E;E∗) и �(E∗; E) хаус-дорфовы.

Следующее упражнение объясняет, почему слабые топологии такназываются.

Упражнение 5.8. 1. Докажите, что слабая топология �(E;E∗) несильнее, чем исходная топология на E, и совпадает с ней при dimE <∞.

2. Докажите, что слабая* топология �(E∗; E) не сильнее, чем топо-логия на E∗, задаваемая нормой ‖f‖ = sup

‖x‖61|f(x)|, и совпадает с ней

при dimE <∞.

Более того, справедливо следующее утверждение.

Упражнение 5.9. Докажите, что топологии �(E;E∗) и �(E∗; E) не-нормируемы, если E бесконечномерно. Как следствие, в этом случаетопология �(E;E∗) строго слабее, чем исходная топология на E, а топо-логия �(E∗; E) строго слабее, чем топология на E∗, задаваемая нормой‖f‖= sup

‖x‖61|f(x)|.

Следующее свойство пригодится нам в дальнейшем.

Упражнение 5.10. Пусть X|топологическое пространство.1. Докажите, что отображение ' : X → (E; �(E;E∗)) непрерыв-

но тогда и только тогда, когда для каждого f ∈ E∗ отображениеf ◦ ' : X → C непрерывно.

2. Докажите, что отображение ' : X → (E∗; �(E∗; E)) непрерывнотогда и только тогда, когда для каждого y ∈ E отображение X → C,x 7→ '(x)(y), непрерывно.


Замечание 5.4 (необязательное). Полезно сравнить результат пре-дыдущего упражнения с упражнением 4.15: там имела место «двой-ственная» ситуация. Дело в том, что слабая и слабая* топологии|эточастные случаи так называемой проективной топологии, а топологияна O(K)|частный случай индуктивной топологии. Более подробно обэтом можно прочитать, например, в книге [25].

Итак, слабая топология на E, как правило, слабее, чем исходная. По-этому и функционалов на E, непрерывных в слабой топологии, должнобыть меньше или, по крайней мере, не больше, чем в исходной. На самомделе, как показывает следующее упражнение, их ровно столько же.

Упражнение 5.11. Докажите, что линейный функционал f : E → Cнепрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в слабой топо-логии; иными словами, (E; �(E;E∗))∗ = E∗.

Так что слабая топология хоть и слабее исходной, но «не намного».Вот еще одна иллюстрация того же явления.

Упражнение 5.12. Докажите, что линейное подпространство F ⊂ Eзамкнуто тогда и только тогда, когда оно замкнуто в слабой топологии.

Справедливы ли аналогичные утверждения про слабую* топологию?Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним некоторые стандартныефакты из функционального анализа.

Напоминание 5.1. Каноническое вложение iE : E → E∗∗ задаетсяформулой

iE(x) = Fx; где Fx(f) = f(x) для любого f ∈ E∗:

Каноническое вложение всегда изометрично. Если оно сюръективно(а значит, является изометрическим изоморфизмом между E и E∗∗),то пространство E называется рефлексивным.

Примеры-упражнения. 1) Докажите, что пространства `p и Lp(X;�)рефлексивны при 1 < p <∞, и что гильбертово пространство рефлек-сивно,

2) Докажите, что пространства c0, `1, `∞, C[a; b], L1[a; b], L∞[a; b]нерефлексивны.

Теперь мы можем описать функционалы на E∗, непрерывные в сла-бой* топологии.

Упражнение 5.13. Докажите, что линейный функционал F : E∗→ Cнепрерывен в слабой* топологии тогда и только тогда, когда он име-

§ 5.2. Слабая и слабая* топологии 73

ет вид Fx для некоторого (единственного) x ∈ E; иными словами,(E∗; �(E∗; E))∗ = Im iE .

Следствие 5.2. Следующие свойства банахова пространства E эк-вивалентны:

1) E рефлексивно;2) линейный функционал F : E∗ → C непрерывен по норме тогда

и только тогда, когда он непрерывен в слабой* топологии.

Упражнение 5.14. Докажите, что банахово пространство E нере-флексивно тогда и только тогда, когда в E∗ существуют замкнутыепо норме, но не слабо* замкнутые линейные подпространства.

Вот полезное применение слабой* топологии. Пусть T ∈B(E;F )|ограниченный оператор между банаховыми пространствами. Напо-мним, что в общем случае утверждения «оператор T инъективен»и «оператор T ∗ имеет плотный образ» неэквивалентны (см. упражне-ние 3.9). Тем не менее, справедлив следующий результат.

Упражнение 5.15. Докажите, что оператор T ∈B(E;F ) инъективентогда и только тогда, когда его образ ImT ∗ слабо* плотен в E∗.

Пожалуй, наиболее для нас важным свойством слабой* топологиибудет следующее.

Теорема 5.1 (Банах|Алаоглу). Для любого банахова пространст-ва E замкнутый единичный шар сопряженного пространства UE∗ == {f ∈ E∗ : ‖f‖6 1} компактен в слабой* топологии.

Доказательство (набросок). Рассмотрим множество DUE , состоя-щее из всевозможных отображений из замкнутого единичного шараUE = {x ∈ E : ‖x‖ 6 1} в замкнутый единичный диск D ⊂ C. Это мно-жество|компакт в тихоновской топологии. Рассмотрим отображениеUE∗ → DUE , сопоставляющее каждому функционалу его ограничениена UE . Нетрудно проверить (проверьте!), что оно топологически инъ-ективно и имеет замкнутый образ. Следовательно, шар UE∗ гомеомор-фен замкнутому подмножеству компактного пространства и поэтомукомпактен.

Замечание 5.5. Для сравнения напомним, что единичный шар в бес-конечномерном нормированном пространстве некомпактен в исходнойтопологии.

Следствие 5.3. Замкнутый единичный шар UE∗ замкнут и в слабой*топологии.


Упражнение 5.16. Докажите, что замкнутый единичный шар UE⊂Eкомпактен в слабой топологии �(E;E∗) тогда и только тогда, когдапространство E рефлексивно.

§ 5.3. Топология на спектре и преобразование Гельфанда

Теперь мы в состоянии определить топологию на спектре униталь-ной коммутативной банаховой алгебры A. Напомним (см. предложе-ние 5.3), что существует каноническая биекция между пространством(ненулевых) характеров X (A) и максимальным спектром ˙(A), кото-рая сопоставляет каждому характеру его ядро. Поэтому в дальнейшеммы будем отождествлять X (A) и ˙(A).

Определение 5.7. Ограничение слабой* топологии �(A∗; A) на мно-жество X (A) ⊂ A∗ называется гельфандовой топологией на X (A) == ˙(A).

Предложение 5.4. Спектр ˙(A)|компакт в гельфандовой топо-логии.

Доказательство. Напомним, что X (A) ⊂ UA∗ (см. следствие 2.2).Ввиду теоремы Банаха|Алаоглу нам достаточно доказать замкну-тость X (A) в UA∗ . Возьмем произвольный функционал f ∈X (A) (гдезамыкание берется в слабой* топологии) и покажем, что он являетсяхарактером. Для этого фиксируем a; b ∈ A и " > 0 и подберем харак-тер � ∈X (A) так, чтобы он лежал в слабой* окрестности Ua;b;ab(f; ")функционала f . Напомним: это означает, что значения f и � на ка-ждом из элементов a, b и ab отличаются друг от друга менее чем на ".Следовательно,

|f(ab)− f(a)f(b)|6 |f(ab)− �(ab)|+ |�(a)�(b)− �(a)f(b)|++ |�(a)f(b)− f(a)f(b)|< "+ ‖a‖"+ ‖b‖":

В силу произвольности " > 0 получаем f(ab) = f(a)f(b), т. е. f | ха-рактер. Осталось показать, что f 6= 0. Для этого подберем �′ ∈X (A)так, чтобы выполнялось неравенство |�′(1) − f(1)| < 1=2. Поскольку�′(1) = 1, отсюда следует, что f(1) 6= 0. Следовательно, f |ненулевойхарактер, т. е. элемент множества X (A).

Итак, топология на ˙(A) введена. Следующая теорема показывает,что преобразование Гельфанда (см. определения 5.3 и 5.4) замечатель-ным образом с ней согласовано.

§ 5.3. Топология на спектре и преобразование Гельфанда 75

Теорема 5.2. Пусть A|унитальная коммутативная банахова ал-гебра. Справедливы следующие утверждения:

(1) a ∈ C(˙(A)) для любого a ∈A;(2) À : A→ C(˙(A))|унитальный гомоморфизм нормы 1;(3) ‖a‖= r(a) для любого a ∈A;(4) �A(a) = a(˙) для любого a ∈A (т. е. À сохраняет спектр);(5) Ker À =

⋂{I : I ∈ ˙(A)}= {a ∈A : �(a) = 0}.

Доказательство. (1) Из определения функции a следует, что онаявляется ограничением на X (A) ⊂ A∗ функционала Fa = iA(a) ∈ A∗∗,который непрерывен в слабой* топологии (см. упражнение 5.13).

(4) Если элемент a ∈ A необратим, то a(�) = �(a) = 0 для некото-рого � ∈X (A) (см. следствие 5.1), так что a|необратимый элементв C(˙(A)). Таким образом, À переводит необратимые элементы в не-обратимые, а значит, сохраняет спектр.

(3) Утверждение следует непосредственно из п. (4) и определенияsup-нормы на C(˙(A)).

(2) Из п. (3) следует, что ‖a‖= r(a)6 ‖a‖ для любого a ∈A.(5) Утверждение следует из п. (3), замечания 5.2 и предложе-

ния 5.3.

Ядро преобразования Гельфанда, описанное в п. (5) предыдущейтеоремы, носит специальное название.

Определение 5.8. Пусть A|унитальная коммутативная алгебра. Еерадикалом Джекобсона называется множество RadA=

⋂{I : I ∈˙(A)}.

Алгебра A называется полупростой, если RadA= {0}.

Замечание 5.6. На самом деле радикал Джекобсона можно опреде-лить для произвольных (неунитальных и некоммутативных) колец. По-дробности см., например, в книге [16].

Таким образом, из предыдущей теоремы следует, что каждую по-лупростую унитальную банахову алгебру можно реализовать как алге-бру, состоящую из непрерывных функций на некотором компакте|еемаксимальном спектре.

В качестве упражнения докажите еще один результат об «автома-тической непрерывности» (ср. следствие 2.2).

Упражнение 5.17. Пусть A и B|унитальные коммутативные бана-ховы алгебры, причем алгебра B полупроста. Докажите, что любойунитальный гомоморфизм из A в B непрерывен.


§ 5.4. Преобразование Гельфанда: примеры

Посмотрим теперь, как выглядят спектр и преобразование Гельфан-да для некоторых «классических» банаховых алгебр. Начнем с алгебрыC(X) непрерывных функций на компакте X. Для этого напомним вна-чале один стандартный факт из общей топологии, утверждающий, чтона любом компакте имеется «достаточно много» непрерывных функ-ций.

Теорема 5.3. Пусть X | хаусдорфов компакт. Тогда для любыхx; y ∈X, x 6= y, найдется такая функция f ∈ C(X), что f(x) 6= f(y).

Доказывать эту теорему мы не будем; отметим, впрочем, что дляметризуемых компактов она очевидна: достаточно взять функциюz 7→ �(x; z).

Свойство алгебры C(X), указанное в теореме 5.3, обычно формули-руют так: алгебра C(X) разделяет точки пространства X.

Предложение 5.5. Пусть X|хаусдорфов компакт, A= C(X)|ал-гебра непрерывных функций на X. Тогда отображение

�X : X → ˙(A); x 7→ �X;x; �X;x(f) = f(x);

является гомеоморфизмом.

Доказательство. Утверждение об инъективности отображения �Xявляется переформулировкой теоремы 5.3. Сюръективность вытекаетиз следующей ключевой леммы.

Лемма 5.1 («о нулях»). Пусть I ⊂ C(X)|собственный идеал. Тогдасуществует такая точка x ∈X, что f(x) = 0 для любой f ∈ I.

Доказательство. Предположим противное; тогда для любого x ∈Xнайдется такая функция fx ∈ I, что fx(x) 6= 0. Ввиду непрерывностифункции fx существует такая окрестность Ux 3 x, что fx(y) 6= 0 длялюбого y ∈ Ux. Пользуясь компактностью пространства X, подберемx1; : : : ; xn ∈ X так, чтобы выполнялось условие Ux1 ∪ : : : ∪ Uxn = X,

и положим f =n∑i=1

|fxi |2 =n∑i=1

—fxifxi . Тогда f ∈ I и f(x) 6= 0 ни в одной

точке x ∈X. Таким образом, идеал I содержит обратимый элемент fи поэтому совпадает со всей алгеброй. Противоречие.

Из леммы 5.1 следует, в частности, что каждый максимальный идеалI ⊂A содержится в Ker �X;x для некоторого x ∈X, а значит, совпадаетс Ker �X;x ввиду максимальности. Тем самым �X|сюръекция.

§ 5.4. Преобразование Гельфанда: примеры 77

Непрерывность отображения �X вытекает из упражнения 5.10. В са-мом деле, для любого f ∈ A отображение X → C, x 7→ �X(x)(f), совпа-дает с f и потому непрерывно.

Итак, �X | непрерывная биекция между компактными простран-ствами X и ˙(A). Следовательно, �X|гомеоморфизм.

Замечание 5.7. Обратите внимание на сходство предложения 5.5и упражнения 5.4. На самом деле довольно часто оказывается, чтомаксимальный спектр той или иной алгебры функций на каком-либомножестве X совпадает с X. Из доказательства предложения 5.5 вид-но, что для этого нужно: во-первых, алгебра должна разделять точкипространства X, а во-вторых, для нее должен быть справедлив ана-лог «леммы о нулях». Кстати, эта лемма справедлива и для алгебрымногочленов C[t1; : : : ; tn] от нескольких переменных; соответствующееутверждение|это слабая форма знаменитой теоремы Гильберта о ну-лях (Nullstellensatz). С ее доказательством (которое заметно сложнее,чем для C(X) или C[t]) можно познакомиться, например, по книжке[24].

Опишем теперь преобразование Гельфанда алгебры C(X). Оказы-вается, при отождествлении X и ˙(C(X)) оно становится тождествен-ным отображением. Чтобы сформулировать это более строго, введемследующие обозначения.

Пусть X и Y |компактные топологические пространства, ' : X →→ Y |непрерывное отображение. Рассмотрим отображение

'• : C(Y )→ C(X); '•(f) = f ◦ ' (f ∈ C(Y )):

Легко видеть, что '•|унитальный гомоморфизм нормы 1. Будем го-ворить, что гомоморфизм '• индуцирован отображением '.

Вот некоторые простейшие свойства индуцированных гомоморфиз-мов.

Предложение 5.6. (1) Если ' : X → Y и : Y → Z | непрерывныеотображения компактных пространств, то ( ')• = '• •.

(2) Справедливо равенство (1X)• = 1C(X).(3) Если '|гомеоморфизм, то '•|изометрический изоморфизм.

Доказательство. Прямая проверка (убедитесь!).

С помощью понятия индуцированного гомоморфизма легко описатьпреобразование Гельфанда алгебры C(X).

Предложение 5.7. Пусть X |компактное хаусдорфово простран-ство, A= C(X)|алгебра непрерывных функций на X. Тогда преобра-


зование Гельфанда À : A→ C(˙(A))| изометрический изоморфизми обратным к нему является �•X .

Доказательство. Покажем, что композиция отображений

AÀ−−→ C(˙(A))

�•X−−→ C(X) (5.1)

| тождественное отображение A= C(X) в себя. В самом деле,

[�•XÀ(f)](x) = À(f)(�X;x) = �X;x(f) = f(x)

для всех f ∈ C(X), x ∈X. Следовательно, �•XÀ = 1A. Кроме того, �X|гомеоморфизм (см. предложение 5.5), поэтому �•X | изометрическийизоморфизм (см. предложение 5.6). Отсюда следует, что À тоже изо-метрический изоморфизм и À = (�•X)

−1.

Замечание 5.8. Из доказательства видно, что если A|это какая-ли-бо подалгебра в A = C(X), снабженная не менее сильной нормой, чемравномерная, то композиция �•XÀ | это тождественное вложение Aв C(X). Поэтому если �X |гомеоморфизм X на ˙(A) (а мы уже вы-яснили, когда это так), то образ преобразования Гельфанда À алге-бры A|это сама алгебра A.

Итак, с алгеброй C(X) все ясно. Чтобы находить спектр и преобра-зование Гельфанда некоторых других банаховых алгебр, полезно вы-яснить, как понятие гельфандова спектра связано с понятием спектраэлемента алгебры.

Упражнение 5.18. Пусть A| унитальная коммутативная банаховаалгебра, порожденная (как банахова алгебра) элементом a ∈ A (этоозначает, что A совпадает с замыканием линейной оболочки мно-жества {1; a; a2; : : :}). Докажите, что множество значений функцииa : ˙(A)→ C совпадает с �(a) и a осуществляет гомеоморфизм ˙(A)на �(a).

В качестве иллюстрации сделайте следующее упражнение.

Упражнение 5.19. Опишите спектр и преобразование Гельфанда ал-гебр Cn[a; b] и A (D).

Из приведенных примеров видно, что довольно часто спектр функ-циональной алгебры совпадает, с точностью до гомеоморфизма, с обла-стью определения функций из алгебры (см. замечание 5.8). Но иногдаобласть определения приходится немного «подправить». Вот пример та-кой ситуации.

§ 5.5. Категорная интерпретация преобразования Гельфанда 79

Упражнение 5.20. Пусть K ⊂ C |компакт, K | объединение ком-пакта K и всех ограниченных компонент связности его дополнения.Докажите, что спектр алгебры P(K) (см. пример 2.12) совпадает с K.

Указание. Кроме некоторых стандартных фактов из комплексногоанализа можно воспользоваться, например, векторнозначной теоремойединственности (лемма 3.1).

В предыдущем примере область определения функций из алгебрыпришлось расширить. А иногда ее бывает нужно «склеить»|например,как в следующем упражнении.

Упражнение 5.21. Пусть A| алгебра всех непрерывных 2�-перио-дических функций на прямой, снабженная sup-нормой. Опишите ˙(A).

Замечание 5.9. В § 2.2 мы сделали следующее неформальное наблю-дение: спектр функции как элемента функциональной алгебры| этомножество значений функции на «подправленной» области определе-ния. Теперь понятно, что это означает: если алгебра A состоит из функ-ций на каком-нибудь множестве X, то спектр функции a ∈ A совпада-ет с множеством значений функции a на гельфандовом спектре ˙(A)(см. теорему 5.2, п. 4).

Замечание 5.10. Спектры алгебр вида L∞(X;�)|это, как правило,нечто довольно экзотическое. Например, спектр алгебры `∞ (который,как нетрудно проверить, содержит множество N с дискретной тополо-гией) совпадает с так называемой стоун-чеховской компактификацией�N пространства N.

Еще одно полезное свойство преобразования Гельфанда|его согла-сованность с голоморфным исчислением.

Упражнение 5.22. Пусть A | унитальная коммутативная банахо-ва алгебра, a ∈ A| ее элемент, U ⊂ C | окрестность спектра �(a)и f ∈ O(U)|голоморфная функция. Докажите, что f(a) = f ◦ a.

§ 5.5. Категорная интерпретацияпреобразования Гельфанда

У понятий гельфандова спектра и преобразования Гельфанда естьодно чрезвычайно важное свойство: они носят естественный харак-тер (причем не только в житейском смысле, но и в математическом).Для того чтобы говорить о «естественных» математических явлениях,существует очень удобный язык|язык категорий и функторов.


Реклама. Понятия категории и функтора носят фундаментальныйобщематематический характер и относятся к разряду понятий из серии«Это должен знать каждый» (математик). Они помогают восприниматьматематику как единую систему, а не как совокупность изолированныхнаук.

Определение 5.9. Говорят, что задана категория C , если1) задан класс ObC (элементы которого называются объектами ка-

тегории C );2) для каждой пары объектов X;Y категории C задано множество

hC (X;Y ) (элементы которого называются морфизмами из X в Y ); вме-сто ' ∈ hC (X;Y ) часто пишут ' : X → Y или X

'−→ Y ;3) для каждых X;Y; Z ∈ObC задано отображение

hC (Y;Z)× hC (X;Y )→ hC (X;Z);

образ пары ( ;') при этом отображении обозначается ◦ ' и называ-ется композицией морфизмов и '.При этом требуется, чтобы закон композиции морфизмов обладал сле-дующими свойствами:

а) для любых морфизмов X'−→ Y , Y

−→ Z и Z�−→W выполнено соот-

ношение (� ◦ ) ◦ '= � ◦ ( ◦ ');б) для каждого X ∈ ObC существует такой морфизм 1X (назы-

ваемый локальной единицей или тождественным морфизмом), чтодля любых морфизмов ' : X → Y и : Y → X выполнены равенства' ◦ 1X = ' и 1X ◦ = .

Определение 5.10. Морфизм : Y →X называется обратным к мор-физму ' : X→Y (и обозначается через '−1), если ◦'=1X и '◦ =1Y .Морфизм, обладающий обратным, называется изоморфизмом.

Определение 5.11. Категория A называется подкатегорией катего-рии B, если ObA ⊂ObB, для любых X;Y ∈ObA выполнено включе-ние hA (X;Y )⊂ hB(X;Y ) и закон композиции, а также локальные еди-ницы в A те же, что в B. Если к тому же hA (X;Y ) = hB(X;Y ) длялюбых X;Y ∈ObA , то говорят, что A | полная подкатегория.

Приведем несколько примеров.

Пример 5.1. Категория множеств Set. Ее объекты | множества,морфизмы|отображения, композиция|обычная композиция отобра-жений, локальная единица|тождественное отображение. Изоморфиз-мы в Set|это биективные отображения.


Многие важные категории состоят из «множеств с дополнительнойструктурой»; в качестве морфизмов при этом берутся те отображения,которые эту структуру сохраняют.

Пример 5.2. Категория групп G r: объекты|всевозможные группы,морфизмы|гомоморфизмы групп.

Аналогичным образом строятся и другие алгебраические катего-рии: категория колец, векторных пространств, ассоциативных алгебр,алгебр Ли, ... (список продолжите сами).

В топологии|свои категории.

Пример 5.3. Категория Top: объекты| топологические простран-ства, морфизмы| непрерывные отображения. Особенно важной длянас будет ее полная подкатегория Comp, объекты которой | ком-пактные хаусдорфовы пространства. Отметим, что изоморфизмы какв Top, так и в Comp|это в точности гомеоморфизмы.

Пример 5.4. Одна из основных категорий функционального ана-лиза | категория Ban, объекты которой | банаховы пространства,а морфизмы| ограниченные ( = непрерывные) линейные операторы.Изоморфизмы в Ban|это топологические изоморфизмы, т. е. линей-ные операторы, являющиеся гомеоморфизмами (ввиду теоремы Банахаэто то же самое, что биективные ограниченные операторы).

Пример 5.5. Наряду с категорией Ban удобно также рассматри-вать ее (неполную) подкатегорию Ban1, объекты которой те же, чтои в Ban, а морфизмы|линейные сжатия, т. е. линейные операторы,норма которых не превосходит 1. Изоморфизмы в Ban1|это изоме-трические изоморфизмы, т. е. биективные линейные операторы, сохра-няющие норму.

Пример 5.6. Банаховы алгебры и их непрерывные гомоморфизмытакже образуют категорию, обозначаемую через BA . Ее подкате-горию, состоящую из унитальных коммутативных банаховых алгебри непрерывных унитальных гомоморфизмов, мы будем обозначать че-рез CBA .

Пример 5.7. Приведем теперь пример категории, не являющейсякатегорией «множеств со структурой». Пусть C | произвольная ка-тегория. Эндоморфизмом объекта X ∈ Ob(C ) называется произволь-ный морфизм X → X. Категория эндоморфизмов End(C ) определяет-ся следующим образом: ее объекты| это пары (X;'), где X ∈ Ob(C )и ' ∈ hC (X;X), а морфизм из (X;') в (Y; ) | это такой морфизм


u : X → Y в C , что диаграмма

X' //

u

��

X

u

��Y

// Y

(5.2)

коммутативна. Как нетрудно проверить, диаграмма (5.2) задает изо-морфизм в End(C ) тогда и только тогда, когда u|изоморфизм в C .В этом случае говорят, что эндоморфизмы ' и подобны. В частности,для C = Ban мы получаем отношение подобия линейных операторов,а для C = Ban1|их изометрическую эквивалентность (см. определе-ние 3.2).

Пример 5.8. Для каждой категории C ее дуальная категория C ◦

определяется так: ObC ◦ = ObC и hC◦(X;Y ) = hC (Y;X). Композицияморфизмов в C ◦|это композиция морфизмов в C , взятых в обратномпорядке.

В разных областях математики часто возникает понятие «индуци-рованного отображения». Это происходит в тех ситуациях, когда не-которая общая конструкция определена не только на объектах, но и наморфизмах между ними. Формальное определение таково.

Определение 5.12. Пусть C и D | категории. Говорят, что заданковариантный функтор F : C →D , если

1) каждому объекту X ∈Ob(C ) сопоставлен объект F (X) ∈Ob(D);2) для каждых объектов X;Y ∈Ob(C ) задано отображение

F : hC (X;Y )→ hD(F (X); F (Y ));

удовлетворяющее условияма) F ('◦ )=F (')◦F ( ) для любых морфизмов : X→Y и ' : Y →Z;б) F (1X) = 1F (X) для любого объекта X.

Иногда бывает так, что «индуцированное отображение» F (') смо-трит в противоположном направлении. В такой ситуации говорят, чтозадан контравариантный функтор.

Определение 5.13. Контравариантный функтор из C в D |это ко-вариантный функтор из дуальной категории C ◦ в D .

Чтобы получить прямое определение, нужно в п. 2 из определенияковариантного функтора заменить фигурирующее там отображениена отображение hC (X;Y )→ hD(F (Y ); F (X)), а условие а) заменить наусловие F (' ◦ ) = F ( ) ◦ F (').


Вот простейшее, но очень важное свойство функторов.

Предложение 5.8. Если F : C → D |функтор (ковариантный иликонтравариантный), а '|изоморфизм в C , то F (')|изоморфизмв D .

Функторы встречаются в математике буквально на каждом шагу.Довольно часто взаимосвязи, существующие между различными обла-стями математики, выражаются при помощи того или иного функтора;при этом свойство функторов сохранять изоморфизмы (см. предыду-щее предложение) дает удобный способ сводить задачи из одной обла-сти математики к задачам из другой области. Это широко использует-ся, например, в алгебраической топологии, которая изучает топологи-ческие пространства при помощи разнообразных функторов, действу-ющих из топологических категорий в алгебраические. Более подробнооб этом написано во введении к книге [22].

Из-за недостатка времени и места мы не будем задерживатьсяна многочисленных примерах функторов (см. литературные указанияв конце главы). Приведем лишь несколько примеров, необходимых намдля дальнейшего.

Пример 5.9. Контравариантный функтор сопряжения ∗ : Ban →→Ban сопоставляет каждому банахову пространству E его сопряжен-ное пространство E∗, а каждому ограниченному оператору T : E→F|сопряженный оператор T ∗ : F ∗→ E∗. Этот же функтор можно рассма-тривать как функтор из Ban1 в Ban1.

А теперь опишем два функтора, имеющих непосредственное от-ношение к коммутативным банаховым алгебрам. Первый из них ужевстречался нам в § 5.4.

Пример 5.10. Контравариантный функтор C : Comp→ CBA сопо-ставляет каждому компактуX банахову алгебру C(X), а непрерывномуотображению ' : X → Y |гомоморфизм '• : C(Y )→ C(X), f 7→ f ◦ '(см. предложение 5.6).

Пример 5.11. Контравариантный функтор ˙: CBA → Comp, назы-ваемый функтором спектра, сопоставляет каждой унитальной комму-тативной банаховой алгебре A ее гельфандов спектр ˙(A), а каждомуунитальному непрерывному гомоморфизму : A→ B| непрерывноеотображение ˙( ) : ˙(B)→˙(A), переводящее характер � ∈ ˙(B) в ха-рактер � ◦ ∈ ˙(A). Иными словами, ˙( )| это просто ограничениесопряженного оператора ∗ : B∗→A∗ на ˙(B).

Упражнение 5.23. Как ˙( ) действует на максимальные идеалы?


Итак, у нас есть два функтора C и ˙, действующие во встречныхнаправлениях. Мы уже знаем (см. предложение 5.5), что если подейство-вать на какой-нибудь компакт X функтором C, а потом применить ˙,то получится, с точностью до гомеоморфизма, исходный компактX. Насамом деле можно сказать больше: гомеоморфизмы X ∼=˙(C(X)), рас-смотренные для всевозможных компактов X, согласованы друг с дру-гом. Чтобы сформулировать это более строго, введем еще одно важноепонятие.

Пусть C , D |категории и F;G : C →D |ковариантные функторы.

Определение 5.14. Естественное преобразование (или функторныйморфизм) � : F → G| это семейство морфизмов �X : F (X) → G(X)в D , заданных для каждого X ∈ Ob(C ), обладающее тем свойством,что для любого морфизма ' : X → Y в C диаграмма

F (X)F (') //

�X

��

F (Y )

�Y

��G(X)

G(') // G(Y )

коммутативна.Если �X | изоморфизм для любого X ∈ Ob(C ), то � называется

естественной эквивалентностью (или функторным изоморфизмом).

Пример 5.12. Рассмотрим два ковариантных функтора, действую-щих в категории Ban банаховых пространств: тождественный функ-тор 1Ban и функтор «двойного сопряжения» ∗∗ : Ban→Ban, определя-емый как композиция функтора сопряжения (см. пример 5.9) с самимсобой. Для каждого банахова пространства E рассмотрим канониче-ское вложение iE : E→ E∗∗. Нетрудно проверить (проверьте!), что се-мейство

{iE : E→ E∗∗ : E ∈Ob(Ban)}

| морфизм функторов 1Ban → ∗∗. Если ограничить наши функторына полную подкатегорию RBan, состоящую из рефлексивных про-странств, то мы получаем естественную эквивалентность между то-ждественным функтором и функтором «двойного сопряжения». (Этообъясняет, почему естественный изоморфизм между конечномернымлинейным пространством и его вторым сопряженным, о котором обыч-но рассказывают в курсе линейной алгебры, называется «естествен-ным».)


Замечание 5.11. Интересно, что язык категорий и функторов былпридуман специально для того, чтобы ввести понятие естественнойэквивалентности, т. е. чтобы математически строго описать многочи-сленные ситуации, когда «что-то естественно изоморфно чему-то». Всеэти понятия (категория, функтор, естественное преобразование, есте-ственная эквивалентность, ...) ввели С.Эйленберг и С.Маклейн в 1945 г.(см. [38]).

А теперь вернемся к функторам C и ˙.

Упражнение 5.24. Докажите, что семейство гомеоморфизмов

{�X : X → ˙(C(X)) : X ∈Ob(Comp)}

является естественной эквивалентностью тождественного функтора1Comp и функтора ˙ ◦ C : Comp→ Comp.

Упражнение 5.25. Докажите, что семейство гомоморфизмов

{`A : A→ C(˙(A)) : A ∈Ob(CBA )}

| естественное преобразование из тождественного функтора 1CBA

в функтор C ◦ ˙: CBA → CBA .

Можно пойти еще дальше и установить следующий факт.

Упражнение 5.26∗. Докажите, что для каждой унитальной комму-тативной банаховой алгебры A и каждого компакта X существует би-екция hComp(X;˙(A)) ∼= hCBA (A;C(X)). Эта биекция естественна поA и X (придайте строгий смысл последней фразе и докажите).

Замечание 5.12. Свойство функторов ˙ и C, указанное в предыду-щем упражнении, означает, что эти функторы сопряжены друг другу.


Базовая информация о преобразовании Гельфанда содержится вомногих учебниках по банаховым алгебрам и теории операторов (см. ли-тературные указания к гл. 2). Мы следовали в основном книге [29];в частности, оттуда взята категорная интерпретация преобразованияГельфанда. Теорема 5.3 доказана, например, в учебнике Дж.Келли [13].По поводу дальнейшей информации о коммутативных банаховых алге-брах см. книги [4, 39, 21] и в особенности [5].

Наиболее полное руководство по теории категорий|недавно пере-веденная книга С.Маклейна [17]; см. также учебник И.Букура и А.Де-ляну [3]. Одно из лучших введений, снабженное большим количеством


примеров, | вторая глава книги С.И. Гельфанда и Ю.И.Манина [7],а также добавление к лекциям Ю.И.Манина [18]. О категориях, типич-ных для функционального анализа, см. [30]. Основные сведения о ка-тегориях и функторах есть также в любой книге по алгебраическойтопологии.

По поводу слабой и слабой* топологии см. [30] или какую-либо изкниг о топологических векторных пространствах (см. литературныеуказания к гл. 4).

6. C∗-АЛГЕБРЫ И НЕПРЕРЫВНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Теперь мы уже знаем достаточно о коммутативных банаховых алге-брах и можем вернуться к нашему разговору о функциональном исчи-слении от ограниченного оператора. Наша следующая цель| постро-ить непрерывное функциональное исчисление, т. е. научиться приме-нять к оператору непрерывные функции, определенные на его спектре.На примерах мы убедились, что это возможно не всегда: произвольныйограниченный оператор может не обладать даже гладким исчислением(а уж непрерывным| и подавно). Тем не менее, существует важныйкласс операторов, к которым можно применять непрерывные (и да-же некоторые разрывные) функции. Это так называемые нормальныеоператоры в гильбертовом пространстве, к изучению которых мы и пе-реходим.

§ 6.1. Операторы в гильбертовом пространствеи C∗-алгебры

Напоминание 6.1. Пусть H|гильбертово пространство. Существу-ет каноническое отображение

JH : H →H∗; JH(y) = fy; где fy(x) = 〈x; y〉 для всех x ∈H;

которое антилинейно и, ввиду теоремы Рисса, биективно и изометрич-но. Пусть теперьH1 иH2|гильбертовы пространства, T∈B(H1;H2)|ограниченный оператор, T ∗ ∈B(H∗

2 ; H∗1 )|его сопряженный. Эрмито-

во сопряженным к T называется оператор T+ : H2→H1, определяемыйпри помощи коммутативной диаграммы

H∗1 H∗

2T∗oo

H1

JH1

OO

H2

JH2

OO

T+oo

Иначе говоря, T+=J−1H1T ∗JH2

. Оператор T+ линеен, ограничен, и ‖T+‖== ‖T‖. Эквивалентным способом оператор T+ может быть определенкак единственное отображение из H2 в H1, удовлетворяющее тожде-ству 〈Tx; y〉= 〈x; T+y〉 для всех x ∈H1, y ∈H2.

88 6. C∗-алгебры и непрерывное исчисление

В дальнейшем, говоря об операторах между гильбертовыми про-странствами, вместо T+ мы будем (как это обычно и делается) писатьT ∗ и называть этот оператор сопряженным к T (опуская слово «эрми-тово»). В оставшейся части лекций «обычные» сопряженные операторынам больше не встретятся.

Рассматривая операторы, действующие в каком-то одном гиль-бертовом пространстве H, мы получаем операцию ∗ : B(H)→ B(H),T 7→ T ∗, на алгебре B(H). Посмотрим, какими свойствами она обла-дает.

Предложение 6.1. Пусть S; T ∈B(H) и �; � ∈ C. Тогда1) (�S + �T )∗ = —�S∗ + —�T ∗;2) (ST )∗ = T ∗S∗;3) T ∗∗ = T ;4) ‖T ∗‖= ‖T‖;5) ‖T ∗T‖= ‖T‖2.

Доказательство. Свойство 4 уже упоминалось выше, а доказатель-ство свойств 1|3|простое упражнение. Докажем свойство 5. С однойстороны, ‖T ∗T‖6 ‖T ∗‖‖T‖= ‖T‖2 ввиду свойства 4. С другой стороны,

‖Tx‖2 = 〈Tx; Tx〉= 〈T ∗Tx; x〉6 ‖T ∗Tx‖‖x‖6 ‖T ∗T‖‖x‖2

для всех x ∈H. Отсюда следует противоположное неравенство.

Эти свойства операции «звездочка» служат мотивировкой для сле-дующего определения.

Определение 6.1. Пусть A|алгебра. Отображение ∗ : A→A, a 7→a∗,называется инволюцией, если оно обладает свойствами 1|3 из предло-жения 6.1. Алгебра, снабженная инволюцией, называется инволютив-ной алгеброй. Инволютивная банахова алгебра|это банахова алгебра,снабженная инволюцией, обладающей свойством ‖a∗‖ = ‖a‖ для всехa ∈ A. Инволютивная банахова алгебра называется C∗-алгеброй, еслив ней выполняется тождество ‖a∗a‖ = ‖a‖2 (a ∈ A). Само это тожде-ство называется C∗-тождеством.

Сразу же введем отображения, уважающие инволюцию.

Определение 6.2. Гомоморфизм ' : A → B между инволютивнымиалгебрами называется инволютивным (или ∗-гомоморфизмом), если'(a∗) = '(a)∗ для всех a ∈A.

Ясно, что класс всех инволютивных алгебр (инволютивных бана-ховых алгебр, C∗-алгебр) и инволютивных (инволютивных ограничен-ных) гомоморфизмов образует категорию.

§ 6.1. Операторы в гильбертовом пространстве и C∗-алгебры 89

Вот несколько примеров.

Пример 6.1. Поле C становится C∗-алгеброй, если в качестве инво-люции взять комплексное сопряжение.

Пример 6.2. Как следует из предложения 6.1, B(H)|C∗-алгебра.

Пример 6.3. Пусть X | хаусдорфов компакт. Определим инволю-цию на C(X) по формуле f∗(x) = f(x) (x ∈X). Легко видеть, что C(X)становится C∗-алгеброй.

Пример 6.4. Аналогичным образом, если (X;A ; �) | пространствос мерой, то алгебра BA (X) A -измеримых ограниченных функцийи алгебра L∞(X;�) являются C∗-алгебрами относительно инволюцииf∗(x) = f(x) (x ∈X).

Пример 6.5. Алгебра Cn[a; b]| инволютивная банахова алгебра от-носительно инволюции f∗(x) = f(x) (x ∈ [a; b]).

Пример 6.6. Алгебра A (D)|инволютивная банахова алгебра отно-сительно инволюции f∗(z) = f(—z) (z ∈ D).

Упражнение 6.1. Докажите, что если n> 1, то1) алгебра Cn[a; b] не является C∗-алгеброй;2) алгебра Cn[a; b] не изоморфна никакой C∗-алгебре как инволю-

тивная банахова алгебра (т. е. не существует непрерывного биективно-го ∗-изоморфизма алгебры Cn[a; b] ни на какую C∗-алгебру A);

3) алгебра Cn[a; b] не изоморфна никакой C∗-алгебре как банаховаалгебра;

4) алгебра Cn[a; b] не изоморфна никакой C∗-алгебре как алгебра;5) то же самое верно и для алгебры A (D).

Приведем теперь типичный пример ∗-гомоморфизма между C∗-ал-гебрами.

Пример 6.7. Пусть (X;�) | пространство с мерой, и пусть H ==L2(X;�). Отображение ' : L∞(X;�)→B(H), переводящее f∈L∞(X;�)в оператор умножения Mf ∈B(H), является унитальным изометриче-ским ∗-гомоморфизмом. В самом деле, соотношение M∗

f = M —f легкопроверяется (проверьте!), а остальное следует из упражнения 3.2.

Таким образом, алгебра L∞(X;�) изометрически вкладывается(с сохранением инволюции) в алгебру B(H). Оказывается, то же са-мое верно для любой C∗-алгебры.


Теорема 6.1 (вторая теорема Гельфанда|Наймарка). Для любойC∗-алгебры A существуют гильбертово пространство H и изометри-ческий ∗-гомоморфизм A→B(H).

Мы не будем доказывать эту теорему, поскольку это увело бы насв сторону от нашей основной темы и потребовало бы много времени,но все же знать о ней стоит.

Пусть теперь A|инволютивная унитальная алгебра.

Определение 6.3. Элемент a ∈ A называется самосопряженным, ес-ли a∗ = a. Множество всех самосопряженных элементов в A обознача-ется Asa.

Следующее предложение показывает, что самосопряженные элемен-ты играют роль «действительных чисел».

Предложение 6.2. Для любого a ∈ A существует единственная па-ра самосопряженных элементов b; c ∈ Asa, удовлетворяющих условию

a= b+ ic. При этом a=1

2(a+ a∗), b=

1

2i(a− a∗).

Доказательство. Прямая проверка (убедитесь!).

Определение 6.4. Элемент u ∈A называется унитарным, если uu∗ == u∗u= 1 (т. е. если он обратим и u∗ = u−1).

Определение 6.5. Элемент a ∈A называется нормальным, если aa∗ == a∗a.

Отметим, что любой самосопряженный элемент нормален и любойунитарный элемент нормален.

Определение 6.6. Элемент p ∈ A называется ортопроектором, еслиp∗ = p2 = p.

Следующее упражнение объясняет геометрический смысл введен-ных понятий.

Упражнение 6.2. 1. Докажите, что оператор U ∈B(H) унитарен ⇔⇔ он биективен и 〈Ux;Uy〉= 〈x; y〉 для всех x; y ∈H.

2. Докажите, что оператор P ∈B(H)|ортопроектор ⇔ существу-ет такое замкнутое линейное подпространство H0 ⊂H, что Px= x длявсех x ∈H0 и Px= 0 для всех x ∈H⊥

0 .

Упражнение 6.3. Докажите, что операторы сдвига на группах (см.пример 3.4) в соответствующих L2-пространствах унитарны.

§ 6.2. Спектры элементов C∗-алгебр 91

Пример 6.8. Пусть (X;�) | пространство с мерой, f ∈ L∞(X;�),Mf ∈B(L2(X;�))| оператор умножения на f . Из соотношения M∗

f ==M —f (см. пример 6.7) легко следует, что

1) оператор Mf нормален;2) оператор Mf самосопряжен ⇔ f(x) ∈ R для почти всех x ∈X;3) оператор Mf унитарен ⇔ f(x) ∈ T для почти всех x ∈X;4) оператор Mf | ортопроектор ⇔ f(x) ∈ {0; 1} для почти всех

x ∈X.

Замечание 6.1. Вскоре мы увидим, что Mf |это больше чем про-сто пример нормального оператора; окажется, что любой нормальныйоператор в гильбертовом пространстве изометрически эквивалентеннекоторому оператору Mf (для подходящих (X;�) и f).

Упражнение 6.4. Исследуйте, какие из операторов, упоминавшихсяв гл. 3, нормальны, а какие|нет.

§ 6.2. Спектры элементов C∗-алгебр.Первая теорема Гельфанда|Наймарка

Наша ближайшая цель | доказать первую теорему Гельфанда|Наймарка, которая, говоря неформально, утверждает, что коммута-тивные унитальные C∗-алгебры| это то же самое, что компакт-ные топологические пространства. Попутно мы установим некоторыеполезные спектральные свойства элементов C∗-алгебр, которые приго-дятся нам впоследствии.

Предложение 6.3. Пусть A| унитальная инволютивная алгебра,a ∈A|ее элемент. Тогда

1) элемент a обратим ⇔ элемент a∗ обратим; при этом (a∗)−1 == (a−1)∗.

2) �(a∗) = {—� : � ∈ �(a)}.

Доказательство. Упражнение.

Предложение 6.4. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, u ∈ A|уни-тарный элемент. Тогда ‖u‖= 1 и �(u)⊂ T.

Доказательство. Поскольку ‖u‖2 = ‖u∗u‖= ‖1‖= 1, мы также име-ем ‖u‖= 1. Поэтому если � ∈ �(u), то |�|6 1 (см. теорему 2.2). С другойстороны, �−1 ∈ �(u−1) (см. упражнение 2.21). Но элемент u−1 тоже уни-тарен, поэтому и |�−1|6 1. Значит, |�|= 1, как и требовалось.


Упражнение 6.5. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, p ∈ A| орто-проектор. Найдите ‖p‖ и �(p).

Предложение 6.5. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, a ∈A|само-сопряженный элемент. Тогда элемент eia унитарен.

Для доказательства нам понадобится следующий несложный факт.

Упражнение 6.6. Пусть A|унитальная банахова алгебра.1. Докажите, что если a; b ∈A коммутируют, то ea+b = eaeb.2. Докажите, что (ea)−1 = e−a для любого a ∈A.

Доказательство предложения. С учетом предыдущего упражненияполучаем

(eia)∗ =∑n

((ia)∗)n

n!=

∑n

(−ia)n

n!= e−ia = (eia)−1: �

Предложение 6.6. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, a ∈A|само-сопряженный элемент. Тогда �(a)⊂ R.

Доказательство. Если � ∈ �(a), то ei� ∈ �(eia) по теореме об ото-бражении спектра. Из предыдущих двух предложений следует, что|ei�|= 1, а это возможно только при � ∈ R.

Предложение 6.7. Пусть A | унитальная C∗-алгебра. Тогда ка-ждый ее характер � : A→ C| ∗-гомоморфизм.

Доказательство. Пусть вначале a ∈ Asa. Тогда �(a) ⊂ R, поэто-му и �(�(a)) ⊂ R, т. е. �(a) ∈ R. Если элемент a ∈ A произволен, тоa = b + ic, где b; c ∈ Asa (см. предложение 6.2). Поэтому �(b); �(c) ∈ Rи �(a∗) = �(b− ic) = �(b)− i�(c) = (�(b) + i�(c)) = �(a), как и требова-лось.

Предложение 6.8. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, a ∈ A|нор-мальный элемент. Тогда ‖a‖= r(a).

Доказательство. Для любого b ∈ Asa имеем ‖b‖2 = ‖b2‖. Применяяэто равенство к элементу b = a∗a и пользуясь нормальностью элемен-та a, получаем

‖a‖4 = ‖a∗a‖2 = ‖(a∗a)2‖= ‖(a2)∗a2‖= ‖a2‖2:

Следовательно, ‖a‖2 = ‖a2‖. По индукции отсюда легко выводится, что‖a‖2n = ‖a2n‖ для любого n. Поэтому r(a) = lim

n‖a2n‖

12n = ‖a‖.

Упражнение 6.7. Какие из предыдущих предложений сохраняют си-лу для произвольных унитальных инволютивных банаховых алгебр?

§ 6.2. Спектры элементов C∗-алгебр 93

Теперь у нас все готово для доказательства первой теоремы Гель-фанда|Наймарка. Еще один стандартный факт, которым мы будемпользоваться|это теорема Стоуна|Вейерштрасса. Приведем ее фор-мулировку (без доказательства).

Теорема 6.2 (Стоун|Вейерштрасс). Пусть X|компактное хаус-дорфово пространство, B ⊂ C(X)|подалгебра со следующими свой-ствами:

1) 1 ∈B;2) если f ∈B, то и —f ∈B;3) B разделяет точки пространства X (т. е. для любых x; y ∈X,

x 6= y, существует такая функция f ∈B, что f(x) 6= f(y)).Тогда подалгебра B плотна в C(X).

Теорема 6.3 (первая теорема Гельфанда|Наймарка). Пусть A|унитальная коммутативная C∗-алгебра. Тогда преобразование Гель-фанда À : A→ C(˙(A))|изометрический ∗-изоморфизм.

Доказательство. Для любого a ∈ A и любого x ∈ ˙(A) = X (A)с учетом предложения 6.7 имеем

À(a∗)(x) = x(a∗) = x(a) = À(a)(x) = À(a)∗(x):

Это означает, что À| ∗-гомоморфизм. Если a ∈Asa, то из предложе-ния 6.8 и свойств преобразования Гельфанда следует, что ‖À(a)‖ == r(a) = ‖a‖. Если же элемент a ∈A произволен, то

‖À(a)‖2 = ‖À(a)∗À(a)‖= ‖À(a∗a)‖= ‖a∗a‖= ‖a‖2:

Следовательно, отображение À изометрично и, в частности, имеет за-мкнутый образ. Наконец, легко видеть, что подалгебра B = ImÀ ⊂⊂ C(˙(A)) удовлетворяет условиям теоремы Стоуна|Вейерштрасса(проверьте!) и поэтому плотна в C(˙(A)). Дальнейшее очевидно.

Замечание 6.2. Итак, никаких других коммутативных унитальныхC∗-алгебр, кроме алгебр вида C(X), не бывает. А как же `∞? На са-мом деле никакого противоречия здесь нет: алгебра `∞ изометрическиизоморфна C(X), где X =˙(`∞) = �N|стоун-чеховская компактифи-кация множества N, наделенного дискретной топологией (см. замеча-ние 5.10).

Таким образом, если мы договоримся отождествлять гомеоморф-ные компакты и изометрически ∗-изоморфные C∗-алгебры, то, говорянесколько нестрого, соответствиеX ↔ C(X)|это биекция между ком-пактными пространствами и коммутативными унитальными C∗-алге-


брами. Но на самом деле можно сказать больше: это соответствие по-зволяет отождествить не только объекты, но и морфизмы соответству-ющих категорий. Такие ситуации встречаются в математике довольночасто, и для их описания существует специальный термин.

Определение 6.7. Пусть C и D | категории, F : C → D | ковари-антный функтор. Говорят, что F осуществляет эквивалентность (илиявляется эквивалентностью) между C и D , если существует такойфунктор G : D → C , что функтор F ◦G изоморфен 1D , а G ◦ F изомор-фен 1C . При этом функтор G называется квазиобратным к F .

Если F : C → D |контравариантный функтор, то говорят, что оносуществляет антиэквивалентность категорий C и D , если соответ-ствующий ковариантный функтор F : C ◦→D |эквивалентность.

Сформулируем теперь первую теорему Гельфанда|Наймарка в бо-лее полной и правильной форме. Обозначим через C∗A lg категориюунитальных C∗-алгебр и непрерывных унитальных ∗-гомоморфизмов,а через CC∗A lg| ее полную подкатегорию, состоящую из коммута-тивных унитальных C∗-алгебр.

Теорема 6.4 (первая теорема Гельфанда|Наймарка). ФункторC : Comp → CC∗A lg является антиэквивалентностью категорий.Квазиобратным к нему служит функтор ˙: CC∗A lg→ Comp. Приэтом � : 1Comp → ˙ ◦ C и `: 1CC∗A lg → C ◦ ˙|функторные изомор-физмы.

Доказательство. Утверждение следует из теоремы 6.3 и упражне-ний 5.24 и 5.25.

На первый взгляд может показаться, что в этой формулировке мыпотеряли часть информации: ведь `A : A→ C(˙(A))|это не просто не-прерывный биективный ∗-изоморфизм, а еще и изометрия. На самом де-ле, как мы сейчас увидим, изоморфизм в C∗A lg (а значит, и в CC∗A lg)автоматически является изометрией.

Предложение 6.9. Пусть A|инволютивная унитальная банаховаалгебра, B|унитальная C∗-алгебра, ' : A→B|унитальный ∗-гомо-морфизм. Тогда гомоморфизм ' непрерывен и ‖'‖= 1.

Доказательство. Пусть вначале a ∈ Asa; тогда '(a) ∈ Bsa, поэтому‖'(a)‖ = r('(a)) 6 r(a) 6 ‖a‖ (см. предложение 6.8). Если же элементa ∈ A произволен, то, применяя только что доказанное неравенствок элементу a∗a, мы получаем

‖'(a)‖2 = ‖'(a)∗'(a)‖= ‖'(a∗a)‖6 ‖a∗a‖6 ‖a∗‖‖a‖= ‖a‖2:

§ 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства 95

Следовательно, ‖'(a)‖6 ‖a‖ для любого a, т. е. ‖'‖6 1. Противополож-ное неравенство следует из того, что '(1) = 1.

Следствие 6.1. Любой унитальный ∗-изоморфизм между униталь-ными C∗-алгебрами изометричен.

Замечание 6.3. Неформальный смысл первой теоремы Гельфанда|Наймарка состоит в том, что изучать компакты| это то же самое,что изучать унитальные коммутативные C∗-алгебры. Поэтому на про-извольную (т. е. некоммутативную) унитальную C∗-алгебру можно смо-треть как на «алгебру непрерывных функций на некоммутативном ком-пактном пространстве» (или, выражаясь еще более вольно, как на «не-коммутативное компактное пространство»). Идею рассматривать те-орию C∗-алгебр как «некоммутативную топологию» первым система-тически начал развивать А.Конн. Интересно, что такая точка зренияпринесла (и продолжает приносить) большую пользу обеим наукам|как топологии, так и теории операторных алгебр. См. литературныеуказания в конце главы.

Вот еще одно полезное спектральное свойство C∗-алгебр, котороевскоре нам понадобится.

Теорема 6.5. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, B ⊂ A|замкну-тая ∗-подалгебра, содержащая единицу A. Тогда �B(b) = �A(b) для лю-бого b ∈B.

Доказательство. Достаточно доказать, что B|наполненная под-алгебра, т. е. что каждый элемент b ∈ B, обратимый в A, обратими в B. Итак, пусть b ∈ B ∩ Inv(A); тогда b∗b ∈ Bsa ∩ Inv(A), поэто-му �B(b∗b) ⊂ R (предложение 6.6). Значит, для любого t ∈ R эле-мент b∗b + it1 обратим в B. Рассмотрим теперь (b∗b + it1)−1 ∈ Bи (b∗b)−1 ∈ A как элементы алгебры A. Устремляя t к нулю и пользу-ясь замкнутостью подалгебры B, мы видим, что (b∗b)−1 ∈B. Поэтомуэлемент (b∗b)−1b∗ ∈ B|левый обратный для b. Применяя аналогичноерассуждение к элементу bb∗, мы получаем, что элемент b обратим спра-ва в B. Следовательно, b ∈ Inv(B), как и требовалось.

§ 6.3. Непрерывное исчисление: построение и свойства

А теперь, как и было обещано, мы докажем, что нормальные опе-раторы в гильбертовом пространстве (а на самом деле| нормальныеэлементы любых C∗-алгебр) обладают непрерывным исчислением.


Пусть A|унитальная инволютивная банахова алгебра, a ∈ A|еенормальный элемент, K ⊂ C|компакт. Как и раньше, через t ∈ C(K)обозначим функцию t(z) = z.

Определение 6.8. Непрерывным исчислением от a на K называетсянепрерывный унитальный ∗-гомоморфизм c : C(K)→A, удовлетворя-ющий условию c(t) = a.

Предложение 6.10. Если непрерывное исчисление от a на K суще-ствует, то оно единственно.

Доказательство. Пусть P ⊂ C(K)|унитальная подалгебра, поро-жденная функциями t и —t (т. е. множество всех полиномов от t и —t).Из теоремы Стоуна|Вейерштрасса следует, что подалгебра P плот-на в C(K); с другой стороны, отображение c однозначно определенона P .

Упражнение 6.8. Докажите, что если непрерывное исчисление от aна K существует, то �(a)⊂K.

Если не налагать на A никаких условий, то непрерывного исчисле-ния может и не существовать. Чтобы в этом убедиться, сделайте сле-дующее упражнение.

Упражнение 6.9. Приведите пример унитальной инволютивной ба-наховой алгебры A и нормального элемента a ∈A, не обладающего не-прерывным исчислением ни на каком компакте.

Теорема 6.6. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, a ∈ A|нормаль-ный элемент. Тогда для любого компакта K ⊂ C, содержащего �(a),существует единственное непрерывное исчисление c : C(K)→A от aна K. Если K = �(a), то отображение c изометрично.

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай K = �(a) (по-чему?). Пусть B ⊂ A| унитальная C∗-подалгебра, порожденная эле-ментом a (т. е. B = span{am(a∗)n : m;n ∈ Z+}). Очевидно, подалге-бра B коммутативна. Пусть ˙ = ˙(B)|ее максимальный спектр. В си-лу первой теоремы Гельфанда|Наймарка преобразование Гельфанда`B : B → C(˙)| изометрический ∗-изоморфизм. Рассмотрим отобра-жение ' : ˙→ �B(a), '(x) = a(x) для всех x ∈ ˙. Из свойств преобразо-вания Гельфанда следует, что '|сюръекция; кроме того, �B(a) = �(a)ввиду теоремы 6.5. Из сюръективности отображения ' вытекает, чтоиндуцированный гомоморфизм '• : C(�(a))→ C(˙), f 7→ f ◦ ', изоме-тричен. Определим теперь c : C(�(a))→ A как единственное отобра-


жение, делающее следующую диаграмму коммутативной:

B � � // A

C(˙)

`−1B

OO

C(�(a))'•

oo

c

OO

(здесь верхняя стрелка|вложение B в A). Из сказанного выше следу-ет, что c|изометрический ∗-гомоморфизм. Далее, для любого x ∈ ˙мы имеем '•(t)(x) = t('(x)) = a(x), поэтому c(t) = `−1B '•(t) = a. Сле-довательно, c|непрерывное исчисление от a на K = �(a).

Упражнение 6.10. Докажите, что на самом деле отображение ' : ˙→→ �(a), участвующее в доказательстве теоремы, не просто сюръектив-но, а является гомеоморфизмом (ср. упражнение 5.18). Следовательно,'• : C(�(a))→ C(˙)|изометрический ∗-изоморфизм.

Теорему 6.6 можно переписать в следующем виде (ср. теоремы 2.7и 4.3).

Теорема 6.7. Пусть A|унитальная C∗-алгебра, K ⊂ C|непустойкомпакт. Существуют канонические биекции{ нормальные

элементы a ∈A:�(a)⊂K

}�

{ унитальные∗-гомоморфизмы

C(K)→A

}:

Здесь стрелка, действующая слева направо, сопоставляет элементуa ∈A его непрерывное исчисление на K, а стрелка, действующая спра-ва налево, сопоставляет гомоморфизму � : C(K)→ A элемент �(t),где t(z) = z для любого z ∈K.

Итак, непрерывное исчисление построено. Посмотрим теперь на егосвойства. Всюду далееA|унитальная C∗-алгебра, a ∈A|нормальныйэлемент.

Во-первых, непрерывное исчисление, как и следовало ожидать, со-гласовано с голоморфным.

Упражнение 6.11. Пусть h и c|голоморфное и непрерывное ис-числения от a на �(a). Докажите, что следующая диаграмма коммута-тивна:

O(�(a))

��

h

((QQQQQQ

A

C(�(a)) c

66mmmmmm


(здесь вертикальная стрелка|канонический «гомоморфизм ограниче-ния», определяемый очевидным образом).

Упражнение 6.12. Сформулируйте и докажите согласованность не-прерывных исчислений на разных компактах (ср. упражнение. 4.12).

Благодаря результатам двух последних упражнений мы можем, ко-гда удобно, вместо c(f) писать просто f(a) для любой непрерывнойфункции f на любом компакте, содержащем �(a) (как мы и делалираньше для полиномиального, рационального и голоморфного исчисле-ний).

Упражнение 6.13 (теорема об отображении спектра). Докажите,что для любой функции f ∈ C(�(a)) справедливо равенство �(f(a)) == f(�(a)).

Упражнение 6.14 (теорема о композиции). Докажите, что если f ∈∈ C(�(a)) и g ∈ C(�(f(a))), то g(f(a)) = (g ◦ f)(a).

Упражнение 6.15 (перестановочность с гомоморфизмами). Пусть' : A → B | унитальный ∗-гомоморфизм C∗-алгебр. Докажите, что'(f(a)) = f('(a)) для любой функции f ∈ C(�(a)).

Следствие 6.2 (согласованность с преобразованием Гельфанда). Ес-

ли алгебра A коммутативна, то f(a) = f ◦ a для любой функции f ∈∈ C(�(a)).

Доказательство. Достаточно применить результат предыдущегоупражнения, взяв в качестве ' любой характер алгебры A.

Как и в случае голоморфного исчисления (см. упражнение 4.18),естественно спросить, верна ли теорема об отображении спектра дляего частей. Впрочем, как видно из следующего упражнения, у спектранормального оператора этих частей не так уж и много.

Упражнение 6.16. Пусть T ∈ B(H) | нормальный оператор. Дока-жите, что

�r(T ) =∅; �ap(T ) = �su(T ) = �(T ); �p(T ) = �com(T ):

Указание. Вначале докажите следующее:1) KerT =KerT ∗T для любого оператора T ∈B(H);2) если оператор T нормален, то KerT =KerT ∗ = (ImT )⊥.

Упражнение 6.17. Пусть T ∈ B(H) | нормальный оператор, f ∈∈ C(�(T )). Верно ли, что �p(f(T )) = f(�p(T ))? Ответьте на тот же во-прос для �c.


Теперь разберитесь с «модельным примером» нормального операто-ра (ср. замечание 6.1).

Упражнение 6.18. Пусть (X;�) | пространство с мерой, и пустьf ∈ L∞(X;�). Опишите непрерывное исчисление от оператора умно-жения Mf , действующего в L2(X;�).

Интересно, что многое из того, что было только что доказано (илипредложено в качестве упражнения), переносится на случай «несколь-ких переменных». Чтобы в этом убедиться, сделайте следующее упраж-нение.

Упражнение 6.19 («научно-исследовательское»). Пусть A|униталь-ная C∗-алгебра, a1; : : : ; an ∈ A|попарно коммутирующие нормальныеэлементы. Придумайте определение совместного спектра �(a1; : : : ; an)так, чтобы он был непустым компактом в Cn и для n = 1 превращал-ся в обычный спектр элемента. Сформулируйте и докажите теоремуо непрерывном функциональном исчислении от a1; : : : ; an и теорему оботображении спектра.


Одно из лучших введений в теорию C∗-алгебр, недавно переведенноена русский язык,|книга Дж.Мёрфи [20]. Более глубокие результатыо представлениях C∗-алгебр содержатся в монографииЖ.Диксмье [12].См. также [29, 30, 26, 21]. В частности, в любой из этих книг (кроме[30]) можно найти доказательство второй теоремы Гельфанда|Най-марка (теорема 6.1). О физических приложениях операторных алгебр(в частности, C∗-алгебр) см. монографию У.Браттели и Д.Робинсо-на [2]. Теорема Стоуна|Вейерштрасса (теорема 6.2) доказана в учеб-никах [26] и [23].

С некоммутативной геометрией можно познакомиться по осново-полагающей книге А.Конна [34]; более доступные источники| книгаДж.Ланди [42] или лекции Н.Хигсона и Дж.Роу [41].

7. БОРЕЛЕВСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

В предыдущей главе мы выяснили, что любой нормальный элементунитальной C∗-алгебры обладает непрерывным исчислением на любомкомпакте в C, содержащем его спектр. Наша очередная задача|про-должить непрерывное исчисление с алгебры непрерывных функций наболее широкую алгебру, состоящую из всех ограниченных борелевскихфункций на этом компакте. В произвольной C∗-алгебре сделать это,вообще говоря, нельзя; тем не менее, мы покажем, что в нашей «глав-ной» C∗-алгебре| алгебре B(H) | любой нормальный элемент обла-дает борелевским исчислением. Для этого нам понадобится некотораяподготовка. Для начала мы установим несколько общих фактов об опе-раторах в гильбертовом пространстве.

§ 7.1. Операторы и полуторалинейные формы

Пусть H|векторное пространство (как всегда, над C).

Определение 7.1. Отображение � : H × H → C называется полуто-ралинейной формой, если для любых �; � ∈ C и любых x; y; z ∈H выпол-нены равенства

1) �(�x+ �y; z) = ��(x; z) + ��(y; z);2) �(x; �y + �z) = —��(x; y) + —��(x; z).

Полуторалинейная форма � называется эрмитовой, если �(x;y)=�(y;x)для любых x; y ∈H.

Отображение H → C, x 7→ �(x; x), называется квадратичной фор-мой, ассоциированной с �.

Следующая полезная формула показывает, что полуторалинейнаяформа полностью восстанавливается по своей квадратичной форме.

Упражнение 7.1. Докажите, что если �|полуторалинейная форма,то справедливо тождество поляризации

�(x; y) =1

4

3∑k=0

ik�(x+ iky; x+ iky):

Упражнение 7.2. Докажите, что полуторалинейная форма � эрми-това тогда и только тогда, когда �(x; x) ∈ R для любого x ∈H.

§ 7.1. Операторы и полуторалинейные формы 101

Пусть теперь H | гильбертово пространство. Каждому линейно-му (не обязательно ограниченному) оператору T : H → H сопоста-вим полуторалинейную форму �T на H по правилу �T (x; y) = 〈Tx; y〉(x; y ∈H).

Следующее упражнение показывает, что как форма �T , так и соот-ветствующая ей квадратичная форма полностью определяют оператор.

Упражнение 7.3. Докажите, что если S; T : H →H|линейные опе-раторы, то S = T ⇔ �S = �T ⇔ 〈Sx; x〉= 〈Tx; x〉 для всех x ∈H.

Замечание 7.1. Обратите внимание на то, что над R это не так: до-статочно рассмотреть поворот на 90◦ на плоскости.

Упражнение 7.4. Докажите следующие утверждения:1) оператор T ∈ B(H) самосопряжен ⇔ форма �T эрмитова ⇔

⇔ 〈Tx; x〉 ∈ R для всех x ∈H;2) оператор T ∈B(H) изометричен ⇔ T ∗T = 1;3) оператор U ∈B(H) унитарен⇔ он изометричен и сюръективен.

Замечание 7.2. Конечно, п. 2 и 3 из последнего упражнения справед-ливы и для операторов, действующих между двумя разными гильберто-выми пространствами. Напомним в этой связи об отношении изометри-ческой эквивалентности операторов (см. гл. 3). Поскольку изометриче-ский изоморфизм гильбертовых пространств автоматически унитарен(т. е. сохраняет скалярные произведения), для операторов, действую-щих в гильбертовых пространствах, вместо термина «изометрическаяэквивалентность» обычно употребляют термин «унитарная эквивалент-ность».

Мы уже видели, что такие свойства оператора, как «быть унитар-ным», «быть ортопроектором», «быть изометрией», могут быть опреде-лены как в геометрических терминах, так и в алгебраических. Вот ещедва таких свойства.

Определение 7.2. 1. Оператор T ∈B(H) называется коизометрией,если TT ∗ = 1.

2. Оператор V ∈ B(H) называется частичной изометрией, если(V ∗V )2 = V ∗V .

Упражнение 7.5. Дайте геометрическое определение коизометриии частичной изометрии.

Итак, каждому оператору T в H соответствует полуторалинейнаяформа �T . Посмотрим теперь, какие формы соответствуют ограничен-ным операторам.

102 7. Борелевское исчисление

Определение 7.3. Полуторалинейная форма � на гильбертовом про-странстве H называется ограниченной, если существует такое C > 0,что |�(x; y)|6 C‖x‖‖y‖ для всех x; y ∈H. Точная нижняя грань таких Cназывается нормой формы � и обозначается ‖�‖.

Нетрудно проверить, что так определенная норма действительноявляется нормой на пространстве всех ограниченных полуторалиней-ных форм на H. Впрочем, это будет легко следовать из доказаннойниже теоремы 7.1.

Пример 7.1. Легко видеть, что для любого ограниченного операто-ра T в H форма �T ограничена и ‖�T ‖6 ‖T‖.

Следующая теорема показывает, что других ограниченных полуто-ралинейных форм не бывает.

Теорема 7.1. Отображение

B(H)→{ пространство ограниченныхполуторалинейных форм на H

}; T 7→ �T ;

|изометрический изоморфизм.

Доказательство. Инъективность отображения T 7→ �T следует изупражнения 7.3.

Пусть �| ограниченная полуторалинейная форма. Зафиксируемy ∈ H и рассмотрим функционал �y : H → C, x 7→ �(x; y). Ясно, что�y ∈ H∗ и ‖�y‖ 6 ‖�‖‖y‖. Поэтому существует единственный век-тор S(y) ∈ H, удовлетворяющий условию �(x; y) = 〈x; S(y)〉 для лю-бого x ∈ H. Из полуторалинейности формы � и скалярного произ-ведения следует, что S : H → H | линейный оператор; кроме того,‖S(y)‖ = ‖�y‖ 6 ‖�‖‖y‖ для любого y ∈ H, т. е. оператор S ограни-чен и ‖S‖ 6 ‖�‖. Положим T = S∗; тогда � = �T , так что отображе-ние T 7→ �T |сюръекция. Наконец, изометричность этого отображе-ния сразу следует из цепочки неравенств ‖T‖= ‖S‖6 ‖�T ‖6 ‖T‖.

§ 7.2. Комплексные меры

Для построения борелевского исчисления нам понадобятся некото-рые факты из теории меры. Некоторые из них совсем простые (и будутпредложены в качестве упражнений); остальные мы приведем без до-казательства.

Пусть X|множество, A ⊂ 2X| �-алгебра его подмножеств.

§ 7.2. Комплексные меры 103

Определение 7.4. Отображение � : A → C называется комплексноймерой, если для любого конечного набора попарно не пересекающихсямножеств A1; : : : ; An ∈A справедливо равенство

�

( n⊔i=1

Ai

)=

n∑i=1

�(Ai):

Если аналогичное равенство выполнено и для счетных семейств, то ме-ра � называется �-аддитивной.

Определение 7.5. Говорят, что мера � имеет ограниченную вариа-цию, если существует такое C > 0, что для любого конечного набора{Ai}ni=1 попарно не пересекающихся множеств из A выполнено нера-

венствоn∑i=1

|�(Ai)|6 C.

Очевидно, любая неотрицательная мера имеет ограниченную вари-ацию.

Утверждение 7.1. Любая �-аддитивная мера имеет ограниченнуювариацию.

Определение 7.6. Пусть �|мера ограниченной вариации на A . Еевариацией называется функция |�| : A → [0;+∞), заданная формулой

|�|(A) = sup{ n∑i=1

|�(Ai)| : A=n⊔i=1

Ai; Ai ∈A

}:

Утверждение 7.2. Функция |�| является мерой на A .

Обозначим черезMA (X) множество всех комплексных мер ограни-ченной вариации на A . Очевидно,MA (X)|векторное пространство.

Утверждение 7.3. Функция � 7→ ‖�‖ = |�|(X) является нормой наMA (X). Относительно этой нормы MA (X) является банаховымпространством.

Напомним (см. пример 2.10), что через BA (X) мы обозначаем ба-нахову алгебру всех ограниченных A -измеримых функций на X. Длякаждого подмножества A ⊂X через �A обозначим его характеристи-ческую функцию (индикатор). Положим

SA (X) = span{�A : A ∈A } ⊂BA (X):

Функции из SA (X) будем называть A -простыми. Легко убедиться(убедитесь), что SA (X)|подалгебра в BA (X).

Упражнение 7.6. Докажите, что подалгебра SA (X) плотна вBA (X).


Упражнение 7.7. Докажите, что для любой меры � ∈MA (X) суще-ствует единственный функционал I� ∈BA (X)∗, удовлетворяющий усло-вию I�(�A) = �(A) для любого A ∈A .

Определение 7.7. Для любой функции f ∈BA (X) величина I�(f) на-зывается интегралом функции f по мере � и обозначается

ZXf(x) d�(x).

Теорема 7.2 (Хильдебрандт, Канторович). Отображение

MA (X)→BA (X)∗; � 7→ I�;

|изометрический изоморфизм банаховых пространств.

Пусть теперь X | компактное хаусдорфово топологическое про-странство, A = Bor(X) | �-алгебра его борелевских подмножеств.В этом случае вместо BA (X), SA (X) иMA (X) мы будем писать B(X),S(X) и M(X) соответственно.

Определение 7.8. Борелевская мера на X|это комплексная мера наBor(X).

Определение 7.9. Борелевская мера � на X называется регулярной,если для каждого B ∈Bor(X) и каждого " > 0 найдутся такое откры-тое множество U ⊃B и такой компакт K ⊂B, что |�|(U \K)< ".

Утверждение 7.4. Регулярная борелевская мера на компакте �-ад-дитивна.

Замечание 7.3. Для метризуемых компактов верно и обратное: лю-бая �-аддитивная борелевская мера регулярна.

Обозначим через M(X)⊂M(X) подмножество, состоящее из регу-лярных мер.

Утверждение 7.5. Подмножество M(X) | замкнутое векторноеподпространство в M(X) (и, следовательно, является банаховымпространством).

Вот ключевая теорема, которой мы в дальнейшем будем неодно-кратно пользоваться.

Теорема 7.3 (Рисс, Марков, Какутани). Отображение

M(X)→ C(X)∗; � 7→ I�;

|изометрический изоморфизм банаховых пространств.

§ 7.3. Слабо-мерная топология на B(X) 105

Замечание 7.4. Обозначим через jM : M(X)→M(X) и jC : C(X)→→B(X) тождественные вложения. В силу теорем Хильдебрандта|Кан-торовича и Рисса|Маркова|Какутани сопряженный оператор j∗C дей-ствует изM(X) вM(X). Можно показать, что j∗C ◦ jM = 1M(X). Отсю-да следует, чтоM(X)|дополняемое подпространство вM(X), а j∗C|проектор изM(X) на M(X). (Этот проектор в некотором смысле «ре-гуляризует» произвольную борелевскую меру ограниченной вариации.)

§ 7.3. Слабо-мерная топология на B(X)

Пусть по-прежнему X |компактное хаусдорфово топологическоепространство. Каждой функции f ∈ B(X) сопоставим функционалFf ∈ M(X)∗, действующий по формуле Ff (�) =

ZXf d�. Полученное

отображение B(X)→M(X)∗ обозначим через κ. Если отождествитьM(X) с C(X)∗, то легко видеть, что κ : B(X)→ C(X)∗∗|продолжениеканонического вложения iC(X) : C(X) ,→ C(X)∗∗. С другой стороны, мыможем отождествить M(X) с B(X)∗, и тогда Ff ∈M(X)∗|это огра-ничение на M(X) функционала iB(X)(f) ∈M(X)∗, где iB(X) : B(X) ,→,→B(X)∗∗ =M(X)∗|каноническое вложение (см. диаграмму):

B(X)iB(X) //

κ

++WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW B(X)∗∗ ∼ M(X)∗

j∗M��

C(X)

jC

OO

iC(X) // C(X)∗∗ ∼M(X)∗

Из сказанного следует, что ‖κ(f)‖6 ‖f‖ для любой функции f ∈B(X).На самом деле, как видно из следующего упражнения, можно сказатьбольше.

Упражнение 7.8. Докажите, что κ : B(X)→M(X)∗|изометрия.Указание. Примените κ(f) к мере, сосредоточенной в одной точке.

Упражнение 7.9. Найдите ошибку в следующем «доказательстве»изометричности отображения κ:

«Для любой функции f ∈B(X) имеем κ(f) ∈ C(X)∗∗, а C(X)∗∗ изо-метрически вкладывается в B(X)∗∗, поэтому κ(f) лежит в B(X)∗∗ и,очевидно, совпадает с образом функции f при каноническом вложе-нии B(X) ,→ B(X)∗∗. Поскольку последнее изометрично, мы получаем‖κ(f)‖= ‖f‖».

Итак, κ инъективно отображает B(X) вM(X)∗. Это позволяет датьследующее определение.


Определение 7.10. Слабо-мерной топологией на B(X) называетсяпрообраз слабой* топологии �(M(X)∗;M(X)) при вложении κ : B(X)→→M(X)∗.

Слабо-мерную топологию на B(X) мы будем обозначать симво-лом wm. По определению эта топология задается семейством полунорм{‖ · ‖� : � ∈M(X)}, где ‖f‖� =

∣∣∣ZXf d�

∣∣∣.Упражнение 7.10∗. Докажите, что последовательность fn ∈ B(X)

сходится к f ∈ B(X) в wm⇔ она равномерно ограничена и сходитсяк f поточечно.

Напомним, что для любого банахова пространства E его образ приканоническом вложении iE : E → E∗∗ замкнут в E∗∗ по норме (и ужподавно не плотен там, если только E не рефлексивно). Однако в E∗∗

есть и другая топология, а именно, �(E∗∗; E∗). Оказывается, верно сле-дующее.

Упражнение 7.11. Докажите, что образ Im iE плотен в E∗∗ относи-тельно топологии �(E∗∗; E∗).

Следовательно, образ Im iE плотен и в любом «промежуточном» под-пространстве F ⊂ E∗∗, его содержащем. В применении к C(X) это при-водит к следующему результату.

Следствие 7.1. Подпространство C(X) плотно в B(X) относи-тельно слабо-мерной топологии.

Напомним, что на C(X) и на B(X) есть инволюция, заданная фор-мулой f∗(x) = f(x). Относительно этой инволюции C(X) и B(X) явля-ются инволютивными банаховыми алгебрами (и даже C∗-алгебрами;см. примеры 6.3 и 6.4).

Определение 7.11.Инволютивная полинормированная алгебра|этополинормированная алгебра, снабженная непрерывной инволюцией.

Предложение 7.1. Алгебра B(X)|инволютивная полинормирован-ная алгебра относительно слабо-мерной топологии.

Доказательство. Зафиксируем функцию f ∈ B(X) и покажем, чтооператор умножения Lf : B(X) → B(X), g 7→ fg, непрерывен в сла-бо-мерной топологии. Для произвольной меры � ∈M(X) определим бо-релевскую меру f · � формулой (f · �)(A) =

ZAf d�. Из регулярности

меры � и очевидной оценки |(f · �)(A)| 6 |�|(A)‖f‖∞ следует регуляр-ность меры f · �. Далее, для любой простой функции g ∈ S(X) мы имеем

§ 7.4. Слабо-операторная топология на B(H) 107ZXfg d� =

ZXg d(f · �). Поскольку обе части последнего равенства не-

прерывно зависят от g ∈B(X) (по равномерной норме), а S(X) плотнов B(X), мы видим, что это равенство выполнено и для любой функ-ции g ∈B(X). Отсюда следует, что ‖fg‖� = ‖g‖f ·� для любой функцииg ∈B(X), поэтому оператор Lf : g 7→ fg непрерывен в слабо-мерной то-пологии (см. упражнение 4.5). Следовательно, (B(X); wm) | полинор-мированная алгебра. Непрерывность инволюции следует из равенства‖f∗‖� = ‖f‖—�.

Упражнение 7.12. Докажите, что если пространство X бесконечно,то умножение в (B(X); wm) не является совместно непрерывным. По-кажите, что оно, тем не менее, является секвенциально совместно не-прерывным (т. е. если fn→ f и gn→ g в wm, то fngn→ fg в wm).

§ 7.4. Слабо-операторная топология на B(H)

Пусть H|гильбертово пространство. Для каждых x; y ∈H опреде-лим полунорму ‖ · ‖x;y на B(H), полагая ‖T‖x;y = |〈Tx; y〉| для каждогооператора T ∈B(H).

Определение 7.12. Топология на B(H), задаваемая системой полу-норм {‖ · ‖x;y : x; y ∈H}, называется слабо-операторной топологиейи обозначается через wo.

Упражнение 7.13∗. Обозначим через F (H) пространство всех огра-ниченных операторов в H с конечномерным образом. Постройте изо-морфизм (B(H); wo)∗ ∼=F (H).

Предложение 7.2. Алгебра B(H)|инволютивная полинормирован-ная алгебра относительно слабо-операторной топологии.

Доказательство. Для любых S; T ∈ B(H) и любых x; y ∈ H спра-ведливы равенства ‖ST‖x;y = |〈STx; y〉|= ‖S‖Tx;y. Отсюда следует, чтооператор правого умножения RT : B(H)→B(H), S 7→ST , непрерывен вслабо-операторной топологии. С другой стороны, ‖ST‖x;y=|〈Tx; S∗y〉|== ‖T‖x;S∗y, поэтому и оператор левого умножения LS : B(H)→B(H),T 7→ ST , непрерывен в слабо-операторной топологии. Наконец, непре-рывность инволюции вытекает из равенства ‖T ∗‖x;y = ‖T‖y;x.

Упражнение 7.14. Докажите, что если пространство H бесконечно-мерно, то умножение в (B(H); wo) не является совместно непрерывным.

Теперь, наконец, у нас все готово для построения борелевского ис-числения от нормального оператора.


§ 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства

Пусть H | гильбертово пространство, T ∈ B(H) | нормальныйограниченный оператор, K ⊂ C | компактное подмножество. Как ираньше, через t ∈B(K) обозначим функцию t(z) = z (z ∈K).

Определение 7.13. Борелевское исчисление от T на K | это не-прерывный унитальный ∗-гомоморфизм b : (B(K); wm)→ (B(H); wo),удовлетворяющий условию b(t) = T .

Вот простейшие свойства борелевского исчисления.

Предложение 7.3. Пусть борелевское исчисление от T на K суще-ствует. Тогда

(1) оно единственно;(2) K ⊃ �(T );(3) b|C(K) = c (т. е. борелевское исчисление продолжает непре-

рывное);(4) отображение b : B(K)→B(H) непрерывно по норме и ‖ b‖= 1.

Доказательство. Утверждение (4) следует из того, что b| ∗-го-моморфизм между C∗-алгебрами (см. предложение 6.9).

Утверждения (3) и (2) следуют из утверждения (4) и свойств непре-рывного исчисления.

Утверждение (1) следует из утверждения (3) и плотности подалге-бры C(K) в (B(K); wm) (см. следствие 7.1).

Для доказательства существования борелевского исчисления мысперва докажем более общее утверждение о продолжении представле-ний коммутативных C∗-алгебр, а потом применим его к непрерывномуисчислению от заданного оператора.

Теорема 7.4. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство, � : C(X)→B(H)|унитальный ∗-гомоморфизм. Тогдасуществует единственный непрерывный унитальный ∗-гомоморфизм~� : (B(X); wm)→ (B(H); wo), продолжающий �:

C(X) � //

jC

��

B(H)

B(X)

~�

;;vv

vv

v

Доказательство. Зафиксируем произвольные x; y ∈ H и зададимфункционал Fx;y на C(X) формулой Fx;y(f) = 〈�(f)x; y〉. По теоре-

§ 7.5. Борелевское исчисление: построение и свойства 109

ме Рисса|Маркова|Какутани существует единственная мера �x;y ∈∈M(X), удовлетворяющая условию

〈�(f)x; y〉=∫X

f d�x;y для каждой функции f ∈ C(X): (7.1)

При этом ‖�x;y‖ = ‖Fx;y‖ 6 ‖�‖‖x‖‖y‖ = ‖x‖‖y‖ (см. предложение 6.9).Кроме того, легко видеть, что

��x+�y;z = ��x;z + ��y;z и �x;�y+�z = —��x;y + —��x;z (7.2)

для любых x; y; z ∈H и любых �; � ∈ C.Теперь воспользуемся тем, что правая часть равенства (7.1) имеет

смысл не только для непрерывной, но и для любой борелевской огра-ниченной функции f . А именно, возьмем любую функцию f ∈ B(X)и положим

�f (x; y) =∫X

f d�x;y (x; y ∈H):

Из тождеств (7.2) следует, что �f |полуторалинейная форма на H.Кроме того, для любых x; y ∈H выполнены неравенства

|�f (x; y)|6 ‖f‖∞‖�x;y‖6 ‖f‖∞‖x‖‖y‖;

поэтому форма � ограничена. Следовательно, ввиду теоремы 7.1 суще-ствует единственный оператор ~�(f) ∈ B(H), удовлетворяющий усло-вию

〈~�(f)x; y〉= �f (x; y) =∫X

f d�x;y (x; y ∈H): (7.3)

Правая часть последнего равенства линейно зависит от f ∈ B(X),поэтому построенное отображение ~� : B(X) → B(H) линейно. Да-лее, из формулы (7.3) видно, что для любых x; y ∈ H мы имеем‖~�(f)‖x;y = ‖f‖�x;y . Следовательно, отображение ~� непрерывно отно-сительно слабо-мерной топологии на B(X) и слабо-операторной топо-логии на B(H).

Чтобы доказать, что ~�|∗-гомоморфизм, воспользуемся следующейлеммой.

Лемма 7.1. Пусть A;B|инволютивные полинормированные алге-бры, A0 ⊂A|плотная подалгебра, ' : A→B|непрерывное линейноеотображение, ограничение которого на A0 является ∗-гомоморфиз-мом. Тогда '| ∗-гомоморфизм.

Доказательство. Как обычно, для каждого a ∈ A обозначим черезLa; Ra : A→ A операторы левого (соответственно правого) умножения


на a. Мы знаем, что

'(ab) = '(a)'(b) для любых a; b ∈A0:

Это означает, что

(' ◦ La)|A0= (L'(a) ◦ ')|A0

для любого a ∈A0:

Поскольку оба отображения из последнего равенства непрерывны на A,а A0 плотно в A, эти отображения должны совпадать всюду на A. Итак,

' ◦ La = L'(a) ◦ ' для любого a ∈A0;

или, эквивалентно,

'(ab) = '(a)'(b) для любого a ∈A0 и (уже!) любого b ∈A:

Последнее равенство можно переписать так:

(' ◦Rb)|A0= (R'(b) ◦ ')|A0

для любого b ∈A:

Как и выше, отсюда следует, что участвующие в последнем равен-стве отображения совпадают на всей алгебре A, а это и означает, что'(ab) = '(a)'(b) для любых a; b ∈ A, как и требовалось. Итак, '|го-моморфизм алгебр. Наконец, отображения a 7→ '(a∗) и a 7→ '(a)∗ из Aв B по условию совпадают на A0, а значит (ввиду их непрерывности),и на всей алгебре A. Следовательно, '| ∗-гомоморфизм.

Применяя только что доказанную лемму к нашей ситуации, мы по-лучаем, что ~�| ∗-гомоморфизм. Его единственность следует из плот-ности C(X) в (B(X); wm). Тем самым теорема доказана.

Замечание 7.5. Чтобы лучше уяснить суть доказательства послед-ней теоремы, полезно взглянуть на следующие картинки:

C(X)jC //

F

��===

====

===

B(X)

~F��

��

��

C

C(X)jC //

�

!!BBB

BBBB

BBBB

Fx;y

��111

1111

1111

1111

1111

1B(X)

~�

}}||

||

||

~Fx;y

��

B(H)

"x;y

��C


Левая картинка показывает, что любой непрерывный функционал Fна C(X) продолжается (единственным образом) до wm-непрерывно-го функционала на B(X). А именно, мы берем меру � ∈M(X), соот-ветствующую F , и полагаем по определению ~F (f) =

ZXf d� для лю-

бой функции f ∈B(X). В доказательстве теоремы, проиллюстрирован-ном на правой картинке, аналогичная процедура применяется уже нек функционалам, а к представлениям. В этой картинке через "x;y обо-значен функционал на B(H), сопоставляющий оператору T ∈B(H) его«матричный элемент» "x;y(T ) = 〈Tx; y〉. Процедура продолжения пред-ставления � устроена так: по заданному представлению � строитсяфункционал Fx;y = "x;y ◦ T на C(X), затем он продолжается до функ-ционала ~Fx;y на B(X) (см. левую картинку), а потом все функционалы~Fx;y «склеиваются» в представление ~� при помощи соответствия междуоператорами и полуторалинейными формами.

По-другому теорему 7.4 можно переформулировать так.

Теорема 7.5. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство. Существуют канонические биекции{ унитальные

∗-гомоморфизмыC(X)→B(H)

}�

{ унитальные непрерывные∗-гомоморфизмы

(B(X); wm)→ (B(H); wo)

}:

Здесь отображение, действующее справа налево, сопоставляет ка-ждому гомоморфизму � : B(X) → B(H) его ограничение на C(X),а отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждо-му гомоморфизму � : C(X)→ B(H) его каноническое продолжение ~�на B(X).

В качестве следствия мы получаем теорему о существовании боре-левского исчисления от нормального оператора.

Теорема 7.6. Пусть T ∈ B(H)| нормальный оператор в гильбер-товом пространстве H, K ⊂ C|компакт, содержащий �(T ). Тогдасуществует единственное борелевское исчисление b : B(K)→ B(H)от T на K.

Доказательство. Достаточно применить предыдущую теорему,взяв в качестве � непрерывное исчисление c : C(K) → B(H) от Tна K.

С учетом теорем 6.7 и 7.5 мы можем переформулировать теоремуо борелевском исчислении следующим образом.


Теорема 7.7. Пусть H|гильбертово пространство, K ⊂ C|не-пустой компакт. Существуют канонические биекции{ нормальные

T ∈B(H) :�(T )⊂K

}�

{ унитальные∗-гомоморфизмыC(K)→B(H)

}�

�


(B(K); wm)→ (B(H); wo)

}:

Здесь стрелки, действующие между первым и вторым множествамите же, что и в теореме 6.7, а между вторым и третьим множества-ми|те же, что и в теореме 7.5.

Замечание 7.6. Последняя теорема|это еще одна «вариация на те-му» простейшего алгебраического принципа (см. гл. 1): линейные опе-раторы|это представления алгебры многочленов C[t]. С этой точкизрения, «хорошие» линейные операторы|это «хорошие» представленияалгебры C[t], которые продолжаются на ту или иную алгебру функций,содержащую C[t]. В частности, ограниченные операторы в банаховомпространстве E|это в точности непрерывные представления в E алге-бры целых функций O(C), а ограниченные операторы в E со спектромв компакте K | это непрерывные представления в E алгебры рост-ков O(K) (см. гл. 4). Что же касается теоремы 7.7, то она показывает,представлениям каких алгебр отвечают нормальные ограниченные опе-раторы в гильбертовом пространстве.

Чтобы лучше понять, как устроено борелевское исчисление, попро-буйте описать его для следующих «конкретных» операторов.

Упражнение 7.15. Пусть (X;�)|пространство с мерой, ' : X→C|ограниченная измеримая функция. Опишите борелевское исчислениедля оператора умножения M', действующего в L2(X;�). При этомобратите внимание на следующие частные случаи:

1) диагональный оператор M� в `2;2) оператор умножения на «независимую переменную» Mt в L2[a; b],

действующий по правилу (Mtf)(x) = xf(x).

Упражнение 7.16∗ (для любителей гармонического анализа). Опи-шите борелевское исчисление для операторов сдвига в пространствах`2(Z), L2(T) и L2(R).

Указание. Сдвиг|это свертка с �-функцией.


Посмотрим теперь, какими общими свойствами обладает борелев-ское исчисление. Первое из следующих свойств вполне предсказуемо(ср. упражнения 4.12 и 6.12).

Упражнение 7.17. Пусть K;L⊂ C|компакты и �(T )⊂K ⊂ L. Обо-значим через Kb и Lb борелевские исчисления от T на K и L соот-ветственно, а через rLK : B(L)→ B(K) | гомоморфизм ограничения.Докажите, что следующая диаграмма коммутативна:

B(L)

rLK

��

Lb((QQQQQQ

B(H)

B(K) Kb

66mmmmmm

Поскольку борелевское исчисление продолжает непрерывное и не за-висит от выбора компакта, содержащего �(T ), мы в дальнейшем будемвместо b(f) использовать уже привычное обозначение f(T ) (для любойограниченной борелевской функции f на �(T )).

Напомним, что как для голоморфного, так и для непрерывного ис-числения справедливы две важные теоремы: теорема об отображенииспектра и теорема о композиции (см. § 4.2 и 6.3). Кроме того, непре-рывное исчисление на спектре изометрично (теорема 6.6). Естественнопоинтересоваться, справедливы ли аналогичные утверждения для боре-левского исчисления.

Упражнение 7.18. 1. Является ли изометричным борелевское исчи-сление b : B(�(T ))→B(H)?

2. Верно ли, что �(f(T )) = f(�(T )) для любой f ∈B(�(T ))?3. Пусть K ⊃ �(T ) | компакт, f ∈ B(K), L ⊃ f(K) | другой ком-

пакт, и g ∈B(L). Верно ли, что g(f(T )) = (g ◦ f)(T )?

Замечание 7.7. Левая часть последнего равенства имеет смысл, по-скольку �(f(T )) = �( b(f))⊂ �(f) = f(K)⊂ L.

Вот еще одно полезное приложение борелевского исчисления (ср.упражнение 4.21).

Упражнение 7.19. Пусть U ∈B(H)|унитарный оператор. Докажи-те, что существует такой самосопряженный оператор T ∈B(H), чтоU = exp(iT ).

Следующее упражнение показывает, что для обратимых неунитар-ных операторов аналогичное утверждение, вообще говоря, неверно.


Упражнение 7.20∗. Докажите, что существуют гильбертово про-странство H и обратимый оператор U ∈B(H), не представимый в видеexp(T ) ни для какого T ∈B(H).

Указание. В качестве H подойдет пространство L2(V ) ∩ O(V ) длянекоторой классической области V ⊂ C. (См. также более простоеупражнение 4.22.)


Материал о соответствии между операторами и полуторалинейны-ми формами стандартен и есть почти в любом учебнике по функцио-нальному анализу; мы следовали, в основном, книге [30]. Про комплекс-ные меры можно прочитать, например, в книгах [9, 31]; мы пользова-лись также лекциями Р.Эдвардса [37]. Термин «слабо-мерная тополо-гия» принадлежит А.Я.Хелемскому; см. [30]. Слабо-операторная топо-логия|одна из стандартных топологий, давно используемых в теорииоператорных алгебр. Отметим, что, кроме нее, на B(H) есть еще покрайней мере пять важных ненормируемых топологий. О некоторых изних см. [29, 30, 20, 2]. При изложении теоремы о борелевском исчислениимы следовали, в основном, книге [29]. Несколько другое доказательство(для случая самосопряженного оператора) приведено в учебнике [30].См. также [14, 23, 26, 10].

8. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА

Спектральная теорема | это, в сущности, не одна теорема, а не-сколько тесно взаимосвязанных утверждений, описывающих строениепроизвольного нормального оператора в гильбертовом пространстве.Какое именно из этих утверждений следует называть «спектральнойтеоремой»|дело вкуса1. Чтобы лучше понять смысл спектральной те-оремы, полезно вначале выяснить, как она выглядит в конечномерномслучае.

В курсе линейной алгебры обычно доказывают, что каждая эрмито-ва матрица диагонализируется в подходящем ортонормированном ба-зисе. На языке операторов это означает, что каждый самосопряженныйоператор T ∈ B(H) в конечномерном гильбертовом пространстве Hимеет вид

T =m∑k=1

�kEk;

где Ek | проекторы на попарно ортогональные подпространства.Спектральная теорема является обобщением этого утверждения на бес-конечномерный случай. Она утверждает, говоря неформально, что лю-бой самосопряженный (и, более общим образом, любой нормальный)оператор T в гильбертовом пространстве H можно в некотором смысле«разложить по проекторам». Существенное отличие от конечномерногослучая состоит в том, что это разложение уже не является конечнойлинейной комбинацией проекторов и даже не является суммой ряда.Дело в том, что если какой-то оператор T представим в указанном вы-ше виде, то проектор Ek обязан быть проектором на его собственноеподпространство, отвечающее собственному значению �k. Но, как мыуже знаем, у T может вообще не быть собственных значений.

Выход из этой ситуации таков. Вспомним доказательство теоремыо борелевском исчислении (см. предыдущую главу). В доказательствеучаствовали некоторые комплексные меры �x;y, занумерованные пара-ми векторов x; y ∈ H. Напомним (см. формулу (7.3)), что для любойограниченной борелевской функции f на �(T ) оператор f(T ) однознач-но определяется равенством

〈f(T )x; y〉=∫�(T )

f(�) d�x;y(�):

1См. по этому поводу обсуждение в книге [23].

116 8. Спектральная теорема

В частности, при f(�)≡ � мы имеем

〈Tx; y〉=∫�(T )

� d�x;y(�):

Эта формула наводит на следующую мысль: а нельзя ли сам оператор Tпредставить в виде некоторого (на этот раз | операторнозначного)интеграла

T =∫�(T )

� d(?)(�)

(понимаемого в каком-либо разумном смысле, например как предел ин-тегральных сумм)? Оказывается, можно. В этом как раз и состоитспектральная теорема (точнее, один из ее вариантов). Чтобы придатьсмысл последней формуле, нужно сперва определить, что в ней долж-но стоять вместо вопросительного знака, т. е. по какой мере беретсяинтеграл. Меры, участвующие в формулировке спектральной теоре-мы, принимают значения в множестве проекторов и называются спек-тральными мерами.

§ 8.1. Спектральные меры

ПустьH|гильбертово пространство. Обозначим через PR(H) мно-жество всех ортопроекторов в H. Очевидно, имеется биекция междуPR(H) и множеством всех замкнутых векторных подпространств в H,сопоставляющая каждому проектору его образ. При этом оказывает-ся, что многие геометрические соотношения между подпространства-ми можно переписать в виде алгебраических соотношений между про-екторами. Вот несколько иллюстраций.

Определение 8.1. Будем говорить, что проекторы P;Q ∈ PR(H) ор-тогональны (и писать P ⊥Q), если ImP ⊥ ImQ.

Упражнение 8.1. Докажите, что P⊥Q⇔ PQ=0⇔ QP=0⇔ P+Q∈∈ PR(H), и что при этом Im(P +Q) = ImP ⊕ ImQ.

Упражнение 8.2. Пусть P;Q∈PR(H). Докажите, что PQ∈PR(H) ⇔⇔ PQ=QP , и что при этом Im(PQ) = ImP ∩ ImQ.

В дальнейшем нам также понадобится следующее свойство ортого-нальных проекторов.

§ 8.1. Спектральные меры 117

Упражнение 8.3. Пусть P1; : : : ; Pn ∈ PR(H) и Pi ⊥ Pj при i 6= j. До-кажите, что ∥∥∥∥ n∑

k=1

�kPk

∥∥∥∥= max16k6n

|�k|

для любых �1; : : : ; �n ∈ C.

Пусть теперь X|множество, A | �-алгебра его подмножеств.

Определение 8.2. Отображение E : A → PR(H) называется спек-тральной мерой, если

1) E(∅) = 0;2) E(X) = 1H ;

3) E( n⊔k=1

Ak

)=

n∑k=1

E(Ak) при условии, что Ai ∩Aj =∅ при i 6= j;

4) E(A ∩B) = E(A)E(B) для любых A;B ∈A .

Заметим, что из последнего свойства следует, что E(A)⊥ E(B) приA ∩B =∅. Ясно также, что свойство 1 следует из свойства 3.

Упражнение 8.4. Докажите, что свойство 3 в определении спек-тральной меры следует из свойства 4.

Упражнение 8.5. Пусть �-алгебра A содержит все одноэлемент-ные подмножества множества X. Опишите все спектральные мерыA → PR(C).

Предложение 8.1. Пусть E : A → PR(H)|спектральная мера. Длялюбых x; y ∈ H и любого A ∈ A положим Ex;y(A) = 〈E(A)x; y〉. ТогдаEx;y ∈MA (X) и ‖Ex;y‖6 ‖x‖‖y‖.

Доказательство. Очевидно, Ex;y |мера на A . Чтобы доказать,что она имеет ограниченную вариацию, возьмем любой конечный на-бор {Ai}ni=1 ⊂ A попарно не пересекающихся множеств и для ка-ждого k = 1; : : : ; n подберем �k ∈ C так, чтобы выполнялись условия|〈E(Ak)x; y〉|= �k〈E(Ak)x; y〉 и |�k|= 1. С учетом упражнения 8.3 полу-чаемn∑k=1

|〈E(Ak)x; y〉|=n∑k=1

�k〈E(Ak)x; y〉=⟨ n∑k=1

�kE(Ak)x; y⟩

6

6

∥∥∥∥ n∑k=1

�kE(Ak)∥∥∥∥‖x‖‖y‖6 ‖x‖‖y‖:

Иначе говоря, Ex;y имеет ограниченную вариацию, и |Ex;y|(A)6 ‖x‖‖y‖для любого A ∈A . Дальнейшее очевидно.


Пример 8.1. Пусть (X;A ; �)| пространство с мерой, и пусть H == L2(X;�). Для каждого A ∈A положим E(A) =M�A (оператор умно-жения на характеристическую функцию множества A). Тогда, очевид-но, E| спектральная мера на A . Если мера � конечна, то функция,тождественно равная 1, лежит в L2(X;�) и �= E1;1.

Вот чуть более общий пример.

Пример 8.2. Пусть � : BA (X) → B(H) | унитальный ∗-гомомор-физм. Тогда

E� : A → PR(H); E�(A) = �(�A);

|спектральная мера на A .

Оказывается, других спектральных мер и не бывает. Точнее, спра-ведлив следующий результат.

Теорема 8.1. Пусть E : A → PR(H)|спектральная мера на �-ал-гебре A ⊂ 2X . Тогда существует единственный унитальный ∗-гомо-морфизм IE : BA (X)→B(H), удовлетворяющий условию IE(�A)=E(A)для любого A ∈A . При этом

〈IE(f)x; y〉=∫X

f dEx;y (8.1)

для любой функции f ∈BA (X) и любых x; y ∈H.

Доказательство. Зафиксируем f ∈BA (X) и для любых x; y ∈H по-ложим

�f (x; y) =∫X

f dEx;y:

Их определения меры Ex;y следует, что �f |полуторалинейная формана H. Кроме того, с учетом предложения 8.1 получаем

|�f (x; y)|6 ‖f‖‖Ex;y‖6 ‖f‖‖x‖‖y‖;

поэтому форма �f ограничена и ‖�f‖ 6 ‖f‖. Следовательно, суще-ствует единственный оператор IE(f) ∈B(H), удовлетворяющий усло-вию (8.1). Легко видеть, что полученное отображение IE : BA (X)→→B(H) линейно и ‖IE(f)‖= ‖�f‖6 ‖f‖ для любой функции f ∈BA (X).Из равенства (8.1) следует также, что IE(�A) = E(A) для любогоA ∈A ,поэтому

IE(�A�B) = IE(�A∩B) = E(A ∩B) = E(A)E(B)

для любых A;B ∈ A . Следовательно, ограничение отображения IE наалгебру SA (X) простых функций| гомоморфизм. Из непрерывности

§ 8.1. Спектральные меры 119

отображения IE и плотности подалгебры SA (X) в BA (X) мы за-ключаем, что IE : BA (X)→B(H)|гомоморфизм. Отсюда же следуетутверждение о единственности гомоморфизма IE . Наконец, посколькуEy;x = Ex;y для любых x; y ∈H, мы получаем

〈IE( —f)x; y〉=∫X

—f dEx;y =∫X

f dEy;x =

= 〈IE(f)y; x〉= 〈x; IE(f)y〉= 〈IE(f)∗x; y〉:

Следовательно, IE| ∗-гомоморфизм. Теорема доказана.

Определение 8.3. Для любой функции f ∈BA (X) оператор IE(f) на-зывается интегралом функции f по спектральной мере E и обознача-ется через ∫

X

f(�) dE(�):

Замечание 8.1. Вы, наверное, заметили, что доказательство послед-ней теоремы похоже на доказательство теоремы 7.4 о продолжениипредставлений с C(X) наB(X): в обоих случаях применяется один и тотже прием «склеивания» при помощи полуторалинейных форм.

С учетом примера 8.2 последнюю теорему можно переформулиро-вать следующим образом.

Теорема 8.2. Пусть X|множество, A ⊂ 2X | �-алгебра его под-множеств. Существуют канонические биекции{ спектральные меры

A → PR(H)

}�

{унитальные ∗-гомоморфизмы

BA (X)→B(H)

}:

Здесь отображение, действующее справа налево, сопоставляет гомо-морфизму � : BA (X)→B(H) спектральную меру E� (см. пример 8.2),а отображение, действующее слева направо, сопоставляет спек-тральной мере E : A → PR(H) гомоморфизм IE : BA (X)→B(H).

Применяя эту теорему к борелевскому исчислению от нормальногооператора, получаем следующий результат.

Следствие 8.1. Пусть T ∈B(H)|нормальный оператор, K ⊂ C|компакт, содержащий �(T ). Тогда существует такая спектральнаямера E : Bor(K)→ PR(H), что

T =∫K

� dE(�): (8.2)


При этом для любой функции f ∈B(K) справедлива формула

f(T ) =∫K

f(�) dE(�): (8.3)

§ 8.2. Регулярные спектральные меры и представленияалгебры C(X). Спектральная теорема

Следствие 8.1 можно рассматривать как некий «суррогат» спек-тральной теоремы. Почему «суррогат»? Дело в том, что спектральнаямера, о которой здесь идет речь, определяется соотношением (8.2) не-однозначно (хотя, конечно, более сильное условие (8.3) влечет за собойравенство E(A) = �A(T ) и полностью определяет меру E). Однако бо-релевское исчисление| это не просто унитальный ∗-гомоморфизм изB(X) в B(H), он еще и непрерывен относительно слабо-мерной топо-логии wm на B(X) и слабо-операторной топологии wo на B(H). По-этому, чтобы добиться желаемого взаимно однозначного соответствиямежду операторами и спектральными мерами, естественно попытатьсявыяснить, какие спектральные меры отвечают гомоморфизмам, непре-рывным относительно этих «ослабленных» топологий.

Итак, пусть теперь X |компактное хаусдорфово топологическоепространство.

Определение 8.4. Говорят, что спектральная мера E : Bor(X) →→ PR(H) регулярна, если для любых x; y ∈ H комплексная мера Ex;yрегулярна.

Предложение 8.2. Спектральная мера E : Bor(X) → PR(H) регу-лярна ⇔ гомоморфизм IE : B(X) → B(H) непрерывен относительнослабо-мерной топологии на B(X) и слабо-операторной топологии наB(H).

Доказательство. (⇒) Если мера E регулярна, то для любых x; y ∈Hи любой f ∈B(X) выполнены равенства

‖IE(f)‖x;y = |〈IE(f)x; y〉|=∣∣∣∣∫X

f dEx;y

∣∣∣∣= ‖f‖Ex;y :Отсюда следует непрерывность гомоморфизма IE относительно ука-занных топологий.

(⇐) Зафиксируем произвольные x; y ∈H. Из wm-wo-непрерывностигомоморфизма IE следует, что найдутся �1; : : : ; �n ∈M(X) и C > 0,

§ 8.2. Регулярные спектральные меры и представления C(X) 121

удовлетворяющие условию

‖IE(f)‖x;y 6 C max16k6n

‖f‖�k (8.4)

для любой функции f ∈ B(X). Положим � =n∑k=1

|�k|; тогда � ∈M(X)

и �> 0. Подставляя в неравенство (8.4) вместо f функцию �B , получаем

|Ex;y(B)|= |〈E(B)x; y〉|6 C max16k6n

|�k(B)|6 C�(B):

Следовательно, для любого разбиения B =m⊔k=1

Bk мы имеем

m∑k=1

|Ex;y(Bk)|6 Cm∑k=1

�(Bk) = C�(B);

поэтому |Ex;y|(B) 6 C�(B) для любого борелевского множества B. Изэтого неравенства и регулярности меры � немедленно следует регуляр-ность меры Ex;y.

Подведем итоги.

Теорема 8.3. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство. Существуют канонические биекции{ унитальные

∗-гомоморфизмыC(X)→B(H)

}�


(B(X); wm)→ (B(H); wo)

}�

�

{ регулярныеспектральные мерыBor(X)→ PR(H)

}:

Биекции между первым и вторым множествами описаны в теоре-ме 7.5, а биекции между вторым и третьим множествами| в те-ореме 8.2.

Наконец, объединяя последнюю теорему с теоремой 7.7, мы получа-ем следующее утверждение.

Теорема 8.4. Пусть H|гильбертово пространство, K ⊂ C|не-пустой компакт. Существуют канонические биекции{ нормальные операторы

T ∈B(H) :�(T )⊂K

}�

{ унитальные∗-гомоморфизмыC(K)→B(H)

}�

�


(B(K); wm)→ (B(H); wo)

}�

{ регулярныеспектральные мерыBor(K)→ PR(H)

}:


Вот, наконец, и спектральная теорема в ее традиционной формули-ровке.

Теорема 8.5 (спектральная теорема для нормального оператора).Пусть H|гильбертово пространство, T ∈B(H)|нормальный опе-ратор, K ⊂ C|компакт, содержащий �(T ). Тогда существует един-ственная регулярная спектральная мера E : Bor(K)→ PR(H), удовле-творяющая условию

T =∫K

� dE(�): (8.5)

При этом для любой функции f ∈B(K) справедлива формула

f(T ) =∫K

f(�) dE(�):

Доказательство. Достаточно воспользоваться биекцией между пер-вым и последним множествами в предыдущей теореме.

Упражнение 8.6. В условиях теоремы 8.5 докажите, что E(B) == E(B ∩ �(T )) для любого борелевского множества B ⊂K (иначе гово-ря, мера E «сосредоточена» на �(T )).

Определение 8.5. Спектральная мера E, фигурирующая в формули-ровке спектральной теоремы, называется разложением единицы опе-ратора T , а проекторы E(B) (для всевозможных борелевских подмно-жеств B ⊂K)| его спектральными проекторами. Формула (8.5) на-зывается спектральным разложением оператора T .

Упражнение 8.7. Опишите разложение единицы для операторов ум-ножения и сдвига из упражнений 7.15 и 7.16∗.

В заключение посмотрим, как в терминах разложения единицы мож-но описать собственные подпространства и точечный спектр нормаль-ного оператора.

Предложение 8.3. Пусть T∈B(H)|нормальный оператор, и пустьE : Bor(K)→ PR(H)|его разложение единицы. Тогда

1) Ker(T − �1) = ImE({�}) для любого � ∈ �(T );2) �p(T ) = {� ∈ �(T ) : E({�}) 6= 0}.

Доказательство. Очевидно, в алгебре B(K) справедливо равен-ство (t − �)�{�} = 0 (здесь, как и прежде, через t обозначена функ-ция t(z) = z). Применяя борелевское исчисление b, получаем, что(T − �1)E({�}) = 0, т. е. ImE({�}) ⊂ Ker(T − �1). Докажем противо-положное включение.

§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Стилтьеса 123

Упражнение 8.8. Докажите что для любого S ∈ B(H) справедливоравенство KerS = KerS∗S. Как следствие, если оператор S нормален,то KerS =KerS∗.

Из этого упражнения следует, что Ker(T − �1) = Ker(T ∗ − —�1). Сле-довательно, для любого x ∈Ker(T − �1) и любых m;n ∈ Z+ выполненоравенство

Tn(T ∗)mx= �n—�mx: (8.6)

Обозначим через P ⊂ B(K) унитальную подалгебру, порожденнуюфункциями t и —t. Тогда из равенства (8.6) следует, что f(T )x = f(�)xдля любой функции f ∈ P .

Теперь зафиксируем произвольный вектор y ∈H. Из свойств боре-левского исчисления следует, что отображения

f 7→ 〈f(T )x; y〉 и f 7→ f(�)〈x; y〉

являются непрерывными линейными функционалами на полинормиро-ванном пространстве (B(K); wm). Как было отмечено выше, они совпа-дают на подалгебре P ⊂B(K). Но эта подалгебра плотна в (B(K); wm)(почему?), так что эти функционалы совпадают на всей алгебре B(K).Ввиду произвольности y ∈H мы заключаем, что f(T )x= f(�)x для лю-бой функции f ∈ B(K) и любого x ∈Ker(T − �1). Полагая в последнейформуле f = �{�}, мы получаем E({�})x= x, т. е. x ∈ ImE({�}). С уче-том сказанного выше это доказывает утверждение 1. Утверждение 2|это прямое следствие утверждения 1.

§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интегралаРимана|Стилтьеса

Обсудим теперь несколько иной подход к спектральной теореме,основанный на понятии операторнозначного интеграла Римана|Стил-тьеса. Хотя этот подход менее общий, чем предыдущий, и дает менеесильные результаты, у него есть и определенные достоинства|в пер-вую очередь конструктивность. Кроме того, он технически проще, по-скольку не опирается на общую теорию меры.

Напомним вначале классическое определение интеграла Римана|Стилтьеса. Пусть ' : [a; b] → R | некоторая неубывающая функция.Возьмем какое-либо разбиение

a= �0 < �1 < : : : < �n = b

отрезка [a; b] и на каждом отрезке разбиения [�i−1; �i] выберем точ-ку �i. Полученное размеченное разбиение обозначим через P (�; �); его


диаметром называется число d = max16i6n

(�i − �i−1). Возьмем функцию

f : [a; b]→ C и каждому размеченному разбиению P (�; �) сопоставиминтегральную сумму

S(f; P (�; �)) =n∑i=1

f(�i)('(�i)− '(�i−1)):

По определению число I ∈ C называется интегралом Римана|Стил-тьеса функции f по отрезку [a; b] относительно ', если для любого " > 0существует такое � > 0, что для любого размеченного разбиения P (�; �)с диаметром меньше � выполнено неравенство |S(f; P (�; �)) − I| < ".При этом пишут

I =∫ b

a

f(�) d'(�):

Если '(�)≡ �, то мы получаем обычное определение интеграла Римана.Как и в случае интеграла Римана, можно показать, что любая непре-рывная на [a; b] функция интегрируема по Риману|Стилтьесу.

Аналогичное определение можно дать и в том случае, когда '|неубывающая функция со значениями в PR(H). Конечно, для того что-бы слово «неубывающая» имело смысл, надо сперва ввести отношениепорядка в PR(H).

Упражнение 8.9. Пусть H | гильбертово пространство, и пустьP;Q ∈ PR(H) | проекторы. Докажите, что следующие условия экви-валентны:

1) ImP ⊂ ImQ;2) PQ=QP = P ;3) 〈Px; x〉6 〈Qx; x〉 для любого x ∈H;4) Q− P ∈ PR(H).

Определение 8.6. Если проекторы P;Q∈PR(H) удовлетворяют этимусловиям, то говорят, что P не превосходит Q, и пишут P 6Q.

Упражнение 8.10. Пусть E : [a; b]→ PR(H), E(�) = E�|неубываю-щая функция, удовлетворяющая условиям Ea = 0, Eb = 1H .

1. Пусть f : [a; b]→ C. Дайте определение интеграла Римана|Стил-

тьесаZ b

af(�) dE� как ограниченного оператора в H и докажите, что

он существует, если функция f непрерывна.

2. Положим T =Z b

a� dE�. Докажите, что T ∗ = T , �(T )⊂ [a; b] и для

любой функции f ∈ C[a; b] выполнено равенство f(T ) =Z b

af(�) dE�.

§ 8.3. Спектральная теорема в терминах интеграла Стилтьеса 125

Таким образом, каждой неубывающей функции E : [a; b]→ PR(H)

соответствует самосопряженный оператор T =Z b

a� dE� ∈B(H). Опи-

шем теперь обратную конструкцию, которая по заданному самосопря-женному оператору T ∈B(H) выдает такую функцию E.

Итак, пусть T = T ∗ ∈B(H). Напомним, что �(T )⊂ R (см. предложе-ние 6.6), и возьмем какой-нибудь полуинтервал (a; b], содержащий �(T ).Рассмотрим функции

t+(�) =

{�; �> 0;0; � < 0;

и t−(�) =

{−�; �6 0;0; � > 0:

Для каждого � ∈ [a; b] положим H� = Ker(t − �)+(T ) и обозначим че-рез E� ортопроектор на H�.

Определение 8.7. Построенная выше функция E : [a; b]→ PR(H) на-зывается спектральной функцией оператора T .

Упражнение 8.11. Пусть E′ : Bor([a; b])→ PR(H)|разложение еди-ницы оператора T . Докажите, что E� = E′([a; �]) для любого � ∈ [a; b].

Замечание 8.2. Благодаря этому свойству спектральной функции еесаму часто называют разложением единицы оператора T .

Упражнение 8.12 (спектральная теорема). Докажите, что1) Ea+� = 0 для некоторого � > 0 и Eb = 1H ;2) E : [a; b]→ PR(H), E(�) = E�|неубывающая функция;3) для каждого x ∈ H функция [a; b] → H, � 7→ E�x, непрерывна

справа;

4) T =Z b

a� dE�;

5) функция E : [a; b]→ PR(H) со свойствами 1)|4) единственна;

6) f(T ) =Z b

af(�) dE� для любой функции f ∈ C[a; b].

Указание к п. 5. Пусть E|какая-то функция со свойствами 1, 2и 4, и пусть E′ |разложение единицы оператора T из п. 4. Вначаледокажите, что E� 6 E′([a; �]) 6 E� при � < �, а затем воспользуйтесьп. 3.


Упражнение 8.13. Докажите, что для любой неубывающей функ-ции E : [a; b] → PR(H) свойство 3, указанное в предыдущем упраж-нении, эквивалентно непрерывности справа отображения E : [a; b] →→ (PR(H); wo).

Полученные результаты удобно переформулировать следующимобразом.

Теорема 8.6. Существуют канонические биекции

{ самосопряженныеоператоры T ∈B(H) :

�(T )⊂ (a; b]

}�

неубывающие функцииE : [a; b]→ PR(H):

∃� > 0: Ea+� = 0, Eb = 1H ,и функция � 7→ E�x

непрерывна справа ∀x

:

Здесь стрелка, действующая из первого множества во второе, сопо-ставляет оператору T его спектральную функцию, а стрелка, дей-ствующая из второго множества в первое, сопоставляет функции E

операторZ b

a� dE�.

Следующее упражнение объясняет происхождение термина «непре-рывный спектр».

Упражнение 8.14. Пусть T ∈ B(H) | самосопряженный оператор,E : [a; b]→ PR(H) | его спектральная функция, �0 ∈ �(T ). Докажите,что

�0 ∈ �c(T ) ⇐⇒ функция � 7→ E�x непрерывна в точке �0для любого x ∈H:


Спектральная теорема| одна из вершин классического функцио-нального анализа, и в том или ином виде она присутствует в большин-стве учебников по функциональному анализу и операторным алгебрам.Мы следовали главным образом книгам [29, 30, 20] (в первой и тре-тьей из них спектральная теорема доказана в терминах спектральныхмер, а во второй| еще и в терминах интеграла Римана|Стилтьеса;ср. § 8.3). См. также [14, 10, 23, 26].

9. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИНОРМАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Мы уже упоминали, что спектральная теорема представляет собойсовокупность близких друг к другу результатов о строении нормаль-ных операторов. Сейчас нам известны два таких результата|теоремао борелевском исчислении и теорема о спектральном разложении. На-ша следующая цель|доказать еще одну разновидность спектральнойтеоремы, утверждающую, что любой нормальный оператор в гильбер-товом пространстве унитарно эквивалентен оператору умножения M'

на измеримую ограниченную функцию ', действующему в простран-стве L2(X;�). Иными словами, у любого нормального оператора естьфункциональная модель. Напомним, что пользу от функциональных мо-делей мы уже почувствовали, исследуя спектры операторов сдвига нагруппах (см. гл. 3).

§ 9.1. Модули, банаховы модули, гильбертовы модули

Вначале напомним несколько алгебраических определений. Мы ужемного раз убеждались, что говорить об операторах|это все равно, чтоговорить о представлениях тех или иных функциональных алгебр. Вы,вероятно, знаете, что представления какой-либо алгебры | это при-мерно то же самое, что модули над этой алгеброй. В дальнейшем языкмодулей для нас будет более удобен, чем язык представлений, поэтомунапомним вкратце, что это такое.

Пусть A|алгебра (как всегда, над C), M |векторное простран-ство. Говорят, что наM задана структура левого A-модуля, если заданобилинейное отображение A ×M →M , (a; x) 7→ a · x, удовлетворяющееусловию (ab) · x= a · (b · x) для всех a; b ∈A, x ∈M . Если алгебра A уни-тальна и 1 · x= x для всех x ∈M , то модульM называется унитальным.

Пусть M|левый A-модуль. Для каждого a ∈A рассмотрим опера-тор La : M →M , x 7→ a · x. Легко видеть, что отображение A→L (M),a 7→ La, | гомоморфизм алгебр, т. е. представление алгебры A в век-торном пространстве M . Обратно, если M | векторное простран-ство, а � : A→ L (M) | представление алгебры A в M , то M стано-вится левым A-модулем относительно операции a · x = �(a)x (a ∈ A,x ∈ M). Очевидно, эти две конструкции («модуль → представление»и «представление→ модуль») обратны друг к другу. При этом если ал-

128 9. Функциональные модели нормальных операторов

гебра A унитальна, то унитальным модулям соответствуют униталь-ные представления, и наоборот.

Определение 9.1. Пусть A|банахова алгебра. Левый банахов A-мо-дуль|это банахово пространство M , снабженное структурой левогоA-модуля так, что отображение A×M →M , (a; x) 7→ a · x, непрерывно.

Напомним (см. упражнение 2.8), что непрерывность в этом опре-делении эквивалентна существованию такой константы C > 0, что‖a · x‖ 6 C‖a‖‖x‖ для любых a ∈ A и x ∈ M . Это, в свою очередь,означает, что все операторы La ∈ L (M) ограничены и ‖La‖ 6 C‖a‖для всех a ∈ A. Таким образом, получаем непрерывный гомоморфизмA→B(M), a 7→ La, т. е. непрерывное представление алгебры A. Обрат-но, если задано непрерывное представление � : A→B(M) алгебры Aв банаховом пространствеM , тоM становится левым банаховым A-мо-дулем относительно операции a · x= �(a)x (a ∈A, x ∈M).

Определение 9.2. Если M;N | левые банаховы A-модули, то мор-физмом из M в N называется непрерывный оператор ' ∈ B(M;N),удовлетворяющий условию '(a · x) = a · '(x) для всех a ∈ A, x ∈ M .(Иными словами, морфизм банаховых A-модулей|это их морфизм какA-модулей, который непрерывен.)

Очевидно, левые банаховы A-модули и их морфизмы образуют ка-тегорию; она обозначается A-mod. Через A-mod1 обозначается подка-тегория в A-mod, объекты которой те же, что в A-mod, а морфизмы|только те морфизмы банаховых модулей, норма которых не превосхо-дит 1:

hA-mod1(M;N) = {' ∈ hA-mod(M;N) : ‖'‖6 1}:

Изоморфизмы в A-mod1|это в точности изометрические изоморфиз-мы модулей (ср. пример 5.5).

Предположим теперь, что A | инволютивная банахова алгебра.В этом случае разумно выделить класс банаховых A-модулей, которыеявляются гильбертовыми пространствами и должным образом реаги-руют на инволюцию.

Определение 9.3. Пусть A|инволютивная банахова алгебра. Левыйгильбертов A-модуль|это гильбертово пространство H со структу-рой левого A-модуля, превращающей его в банахов A-модуль, в которомвыполнено тождество 〈a · x; y〉= 〈x; a∗ · y〉 для всех x; y ∈H, a ∈A.

Легко видеть, что последнее равенство в этом определении означаетв точности, что A→B(H), a 7→ La, | ∗-гомоморфизм. Обратно, если

§ 9.1. Модули, банаховы модули, гильбертовы модули 129

H|гильбертово пространство, то каждый непрерывный ∗-гомомор-физм A→B(H) превращает H в левый гильбертов A-модуль.

Замечание 9.1. Мы используем термин «гильбертов модуль» в томсмысле, в каком это обычно принято в теории операторов (см. [36]). Неследует путать это понятие с понятием гильбертова C∗-модуля. Грубоговоря, гильбертов C∗-модуль| это банахов модуль M над C∗-алге-брой A, норма которого порождается A-значным скалярным произведе-нием 〈·; ·〉 : M ×M →A. Как правило, гильбертов C∗-модуль не являет-ся гильбертовым пространством. Гильбертовы C∗-модули играют важ-ную роль в некоммутативной геометрии, но в нашем курсе они нам невстретятся. О них можно почитать в книгах [19] и [27].

Гильбертовы модули над инволютивной банаховой алгеброй A обра-зуют полную подкатегорию вA-mod, обозначаемую черезA-Hmod. Ана-логично определяется полная подкатегория A-Hmod1 ⊂A-mod1.

Поскольку нам предстоит иметь дело в основном с унитальнымимодулями над унитальными алгебрами, мы не будем вводить специаль-ных обозначений для категорий унитальных модулей. В дальнейшемдля унитальной алгебры A символы A-mod, A-Hmod и т. д. будут обо-значать категории левых унитальных банаховых (гильбертовых) A-мо-дулей; к путанице это не приведет.

С точки зрения теории операторов язык гильбертовых модулей удо-бен, в частности, по следующей причине. Напомним (см. теорему 6.7),что нормальные операторы в гильбертовых пространствах со спек-тром в заданном компакте K ⊂ C|это то же самое, что инволютив-ные унитальные представления алгебры C(K), т. е. объекты категорииC(K)-Hmod:

нормальные операторы Tв гильбертовыхпространствах,

у которых �(T )⊂K

�

� Ob(C(K)-Hmod) = Ob(C(K)-Hmod1): (9.1)

Помимо объектов, в категориях гильбертовых C(K)-модулей есть мор-физмы и, в частности, изоморфизмы. Следующее упражнение показы-вает, что изоморфизмы гильбертовых C(K)-модулей нам уже встреча-лись «под другим соусом».

Упражнение 9.1. Пусть S ∈B(H1) и T ∈B(H2)| нормальные опе-раторы, K ⊂ C | компакт, содержащий их спектры, U : H1 → H2 |


ограниченный оператор. Докажите, что следующие условия эквива-лентны:

1) оператор U унитарен и осуществляет унитарную эквивалент-ность S и T , т. е. диаграмма

H1S //

U

��

H1

U

��H2

T // H2

коммутативна;2) U|изоморфизм в C(K)-Hmod1.

Таким образом,

нормальные операторыS ∈B(H1) и T ∈B(H2)унитарно эквивалентны

⇐⇒ H1∼=H2 в C(K)-Hmod1

Посмотрим теперь на некоторые примеры банаховых и гильберто-вых модулей.

Пример 9.1. Если A|(банахова) алгебра, то она очевидным обра-зом является левым (банаховым) A-модулем относительно операцииa · b= ab.

Пример 9.2. Для любой алгебры A пространство An = A ⊕ : : : ⊕ Aявляется левым A-модулем относительно операции a · (a1; : : : ; an) == (aa1; : : : ; aan). Любой A-модуль, изоморфный An, называется свобод-ным конечно порожденным A-модулем. Если A|банахова алгебра, то

An | банахов A-модуль относительно нормы ‖(a1; : : : ; an)‖ =n∑i=1

‖ai‖

(разумеется, вместо∑iможно брать max

i|получится эквивалентная

норма). Отметим, что если X | компактное хаусдорфово топологи-ческое пространство и A = C(X), то модуль An изоморфен модулюC(X;Cn) непрерывных функций на X со значениями в Cn.

Пример 9.3 (для любителей топологии). Пусть по-прежнему X |компактное пространство, � : E → X | векторное расслоение над X.Пространство его сечений

`(X;E) = {f : X → E : f непрерывно и � ◦ f = 1X}

является C(X)-модулем относительно поточечных операций. Известнаятеорема из топологии утверждает, что для любого расслоения E над X

§ 9.2. Функциональная модель ∗-циклического оператора 131

найдется такое расслоение F над X, что расслоение E ⊕ F тривиально,т. е. изоморфно расслоению вида X × CN для некоторого N . Поэтому

`(X;E)⊕ `(X;F )∼= `(X;X × CN )∼= C(X;CN )∼= C(X)N :

Модуль P над произвольной алгеброй A называется проективнымконечно порожденным модулем, если он изоморфен прямому слага-емому свободного конечно порожденного A-модуля. Таким образом,`(X;E)|проективный конечно порожденный C(X)-модуль. Знамени-тая теорема Серра|Суона утверждает, что любой проективный ко-нечно порожденный C(X)-модуль имеет такой вид; более того, функ-тор сечений ` осуществляет эквивалентность категории векторныхрасслоений над X и категории конечно порожденных проективныхC(X)-модулей. Эта теорема несет примерно ту же «идеологическую»нагрузку, что и первая теорема Гельфанда|Наймарка; в свое время(в 60-х гг. прошлого века) она послужила стимулом для появления но-вой дисциплины| алгебраической K-теории.

Забегая вперед, скажем, что вскоре нам предстоит познакомитьсяс «измеримыми аналогами» модулей `(X;E)|модулями «квадратичноинтегрируемых сечений измеримых полей гильбертовых пространств»,или, по-другому, «прямыми интегралами гильбертовых пространств».

Пример 9.4. Пусть X | компактное хаусдорфово топологическоепространство, � ∈ M(X) | неотрицательная регулярная борелевскаямера. Тогда пространство L2(X;�) является гильбертовым C(X)-мо-дулем относительно поточечных операций.

Пример 9.5. Предыдущий пример можно обобщить следующим об-разом. Пусть по-прежнему X|компактное хаусдорфово топологиче-ское пространство, (X ;A ; �)|пространство с мерой, ' : X →X|из-меримое отображение (относительно A и Bor(X)). Для каждой функ-ции f ∈C(X) и каждой функции g∈L2(X ; �) определим f ·g∈L2(X ; �)формулой (f · g)(x) = f('(x))g(x). Тогда, как нетрудно проверить (про-верьте!), L2(X ; �) становится гильбертовым C(X)-модулем. Мы будемобозначать его через L2(X ; �)'.

Наша ближайшая цель|доказать, что других гильбертовых моду-лей над C(X), кроме описанных в примере 9.5, не бывает.

§ 9.2. Функциональная модель ∗-циклического оператора

Прежде чем приступать к решению задачи, сформулированнойв конце предыдущего параграфа, мы разберемся с частным случаем|


примером 9.4. Оказывается, он также описывает весьма широкий классгильбертовых C(X)-модулей.

Определение 9.4. Пусть A|банахова алгебра, M |левый банаховA-модуль, x ∈M . Замкнутый подмодуль

Ax= {a · x : a ∈A}

называется циклическим подмодулем, порожденным элементом x. Ес-ли существует такой элемент x ∈M , что M = Ax, то M называетсяциклическим модулем, а x| циклическим вектором для M .

Пример 9.6. Пусть X | компактное хаусдорфово топологическоепространство, � ∈ M(X) | неотрицательная регулярная борелевскаямера. Стандартная теорема из теории меры утверждает, что кано-нический образ пространства C(X) плотен в L2(X;�) (см., напри-мер, [15], где этот факт доказан в предположении метризуемости про-странства X). Поэтому гильбертов C(X)-модуль L2(X;�), описанныйв примере 9.4, является циклическим: в качестве циклического вектораподойдет функция x≡ 1.

Упражнение 9.2. Является ли циклическим гильбертов C(X)-модульL2(X;�)⊕ L2(X;�)?

Оказывается, пример 9.6 описывает все (с точностью до изометри-ческого изоморфизма) циклические гильбертовы C(X)-модули. Чтобыдоказать это, введем некоторые обозначения.

Пусть X|компактное хаусдорфово топологическое пространство,и пусть H|гильбертов C(X)-модуль. Соответствующее ∗-представле-ние � : C(X)→ B(H) канонически продолжается до ∗-представления~� : B(X)→B(H), непрерывного относительно слабо-мерной топологиина B(X) и слабо-операторной топологии на B(H) (см. теорему 7.4).Разумеется, оно будет непрерывно и по норме (как и любое ∗-пред-ставление инволютивной банаховой алгебры; см. предложение 6.9). По-этому H становится гильбертовым B(X)-модулем. Обозначим черезE : Bor(X)→ PR(H) соответствующую регулярную спектральную ме-ру (см. § 8.2); напомним, что E(B)x = �B · x для любого борелевскогоподмножества B ⊂X и любого x ∈H. Зафиксируем x ∈H и определиммеру �x ∈M(X) формулой

�x(B) = 〈E(B)x; x〉 (B ∈Bor(X)): (9.2)

Иными словами, �x|это в точности мера Ex;x из § 8.1. Отметим, что�x(B) = ‖E(B)x‖2, так что мера �x неотрицательна. Напомним также,

§ 9.2. Функциональная модель ∗-циклического оператора 133

что

〈~�(f)x; x〉=∫X

f d�x (f ∈B(X)) (9.3)

(см. теорему 8.1 и определение 8.3).В следующем предложении для любой �x-измеримой функции f наX

символом [f ] мы будем обозначать ее класс эквивалентности относи-тельно �x.

Предложение 9.1. Существует единственный морфизм гильберто-вых C(X)-модулей jx : L2(X;�x)→ H, для которого jx([1]) = x. Приэтом морфизм jx изометричен и Im jx = C(X)x.

Доказательство. Легко видеть, что каноническое отображение

B(X)→ L2(X;�x); f 7→ [f ];

| морфизм банаховых C(X)-модулей. Обозначим через B2(X;�x) ⊂⊂ L2(X;�x) его образ. Ясно, что он является плотным подмодулемв L2(X;�x) (объясните почему).

Из формулы (9.3) следует, что

〈~�(f)x; ~�(g)x〉= 〈~�(f—g)x; x〉=∫X

f—g d�x (9.4)

для любых f; g ∈B(X). Полагая f = g, мы видим, что если f = 0 �x-п. в.,то ~�(f)x= 0. Следовательно, оператор

B(X)→H; f 7→ ~�(f)x;

«пропускается» через B2(X;�x). Это означает, что существует един-ственный линейный оператор j0x : B

2(X;�x) → H, удовлетворяющийусловию j0x([f ]) = ~�(f)x для любой функции f ∈ B(X). Очевидно, j0x|морфизм C(X)-модулей; кроме того, из формулы (9.4) следует, чтоон изометричен. Следовательно, j0x продолжается до изометрическо-го морфизма C(X)-модулей jx : L2(X;�x)→H. Поскольку [1] являетсяциклическим вектором для L2(X;�x), вектор x = jx([1]) циклическийдля Im jx. Отсюда же следует утверждение о единственности морфиз-ма jx.

В качестве следствия мы получаем теорему о функциональной мо-дели циклического гильбертова C(X)-модуля.

Теорема 9.1. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство и H|циклический гильбертов C(X)-модуль. Тогда су-ществует такая мера � ∈ M(X), � > 0, что модуль H изоморфенL2(X;�) в C(X)-Hmod1.


Перейдем теперь от гильбертовых модулей к нормальным операто-рам.

Определение 9.5. Нормальный оператор T ∈B(H) называется ∗-ци-клическим, если существует такой вектор x ∈H, что

H = span{Tn(T ∗)mx : n;m ∈ Z+}:

Вектор x при этом называется ∗-циклическим вектором для T .

Замечание 9.2. Если в пространстве H существует такой оператор,то оно с необходимостью сепарабельно.

Упражнение 9.3. Докажите, что нормальный оператор T ∈ B(H)является ∗-циклическим ⇔ H | циклический гильбертов C(�(T ))-мо-дуль.

С учетом вышеупомянутого соответствия между нормальными опе-раторами и гильбертовыми модулями мы получаем следующий резуль-тат.

Теорема 9.2. Пусть T ∈B(H)| ∗-циклический нормальный опера-тор. Тогда существуют мера � ∈M(�(T )), �> 0, и унитарный опера-тор U : H → L2(X;�), осуществляющий унитарную эквивалентностьмежду T и оператором Mt умножения на «независимую переменную»:

HT //

U��

H

U��

L2(�(T ); �)Mt // L2(�(T ); �)

Здесь оператор Mt действует по формуле (Mtf)(x) = xf(x).

Доказательство. Достаточно воспользоваться теоремой 9.1 и уп-ражнениями 9.1 и 9.3.

Посмотрим на некоторые примеры.

Пример 9.7. (Ср. пример 9.6.) Пусть K ⊂ C|компакт, снабженныйобычной мерой Лебега, Mt ∈B(L2(K))| оператор умножения на «не-зависимую переменную». Тогда Mt| ∗-циклический оператор, а функ-ция x ≡ 1| ∗-циклический вектор для Mt. Соответствующая мера �1совпадает с мерой Лебега.

Пример 9.8. Оператор двустороннего сдвига Tb ∈B(`2(Z)) ∗-цикли-ческий. Вектор e0 ∈ `2(Z) (впрочем, как и любой другой вектор en изстандартного базиса пространства `2(Z)) ∗-циклический для Tb.

§ 9.3. Функциональная модель: общий случай 135

Упражнение 9.4. В обозначениях предыдущего примера опишитемеру �e0 .

Упражнение 9.5.Докажите, что если нормальный оператор T∈B(H)является ∗-циклическим, то все его собственные значения однократны;если же пространство H конечномерно, то верно и обратное.

Замечание 9.3. По этой причине ∗-циклические нормальные опера-торы иногда называют операторами с простым спектром или опера-торами со спектром кратности 1. Вскоре мы обсудим вопрос о крат-ности спектра в более общей ситуации.

Упражнение 9.6. При каких условиях диагональный оператор M� ∈∈B(`2) является ∗-циклическим?

Упражнение 9.7. При каких условиях операторы сдвига в L2(R)и L2(T) являются ∗-циклическими?

§ 9.3. Функциональная модель: общий случай

Перейдем теперь к построению функциональной модели произволь-ного (т. е. уже не обязательно циклического) гильбертова C(X)-модуля.Напомним: мы хотим показать, что любой такой модуль изоморфен мо-дулю, описанному в примере 9.5. Отсюда, в частности, будет следовать,что любой нормальный оператор в гильбертовом пространстве унитар-но эквивалентен оператору умножения M', действующему в простран-стве вида L2(X ; �) по формуле (M'f)(x) = '(x)f(x); здесь (X ; �)|не-которое пространство с мерой, а '|ограниченная измеримая функцияна X . Основная идея построения будет такова: мы вначале разложимнаш оператор (или гильбертов модуль) в сумму циклических, а затем«склеим» их функциональные модели в одну.

Отступление. Такой процесс построения функциональной модели|это применение следующего общего принципа: чтобы получше изучитькакой-либо математический объект, надо разбить его на «элементар-ные кирпичики». Вот несколько других классических примеров такогорода: теорема о строении конечно порожденных абелевых групп (лю-бая такая группа| прямая сумма циклических), теорема о жордано-вой нормальной форме (любая матрица| прямая сумма жордановыхклеток), теорема о представлениях конечных групп (любое предста-вление | прямая сумма неприводимых),. . . (Можете продолжить этотсписок своими любимыми примерами.) Во всех перечисленных приме-рах речь идет о разложении того или иного модуля в прямую сумму


подмодулей: в первом случае| над кольцом Z, во втором| над C[t],в третьем|над групповой алгеброй CG. В первых двух случаях под-модули циклические, а в третьем (благодаря некоторым хорошим свой-ствам алгебры CG) их удается выбрать даже неприводимыми. С гиль-бертовыми модулями, как мы вскоре увидим, ситуация такова: любойгильбертов C(X)-модуль разлагается в прямую сумму циклических (ноне неприводимых!) подмодулей. Для разложения на неприводимые под-модули в следующей главе нам придется использовать уже не прямыесуммы, а так называемые прямые интегралы.

∗ ∗ ∗

Итак, мы хотим разложить произвольный нормальный операторв прямую сумму циклических. Для начала придадим фразе «разложитьв прямую сумму» строгий смысл.

Замечание 9.4. Ниже нам придется иметь дело с рядами вида∑i∈I

xi,

где I|множество произвольной мощности и xi ∈ C. Сделаем в связис этим несколько замечаний. Мы будем говорить, что такой ряд абсо-лютно сходится, если множество J = {i ∈ I : xi 6= 0} не более чем счетнои ряд

∑i∈J

|xi| сходится при какой-либо (⇔ при любой) нумерации мно-

жества J . При этом мы полагаем по определению∑i∈I

xi =∑i∈J

xi; эта

сумма также не зависит от нумерации множества J .

Пусть {Hi}i∈I|некоторое семейство гильбертовых пространств.

Определение 9.6. Гильбертова прямая сумма семейства {Hi}i∈I оп-ределяется следующим образом:

_⊕i∈I

Hi ={x= (xi) ∈

∏i∈I

Hi :∑i∈I

‖xi‖2 <∞}:

Упражнение 9.8. Докажите, что гильбертова прямая сумма H == _⊕

i∈IHi является векторным подпространством в

∏i∈I

Hi, для любых

x; y ∈H ряд∑i∈I〈xi; yi〉 абсолютно сходится и формула 〈x; y〉=

∑i∈I〈xi; yi〉

задает скалярное произведение в H, относительно которого H являетсягильбертовым пространством.

Замечание 9.5. Для каждого i ∈ I пространство Hi очевидным обра-зом вкладывается в H в качестве замкнутого подпространства. В даль-нейшем мы будем отождествлять Hi с его образом в H и считать, чтоHi ⊂H.


Пример 9.9. Если I = N и Hi = C для всех i ∈ I, то _⊕i∈I

Hi = `2. Для

произвольного I мы получаем пространство, которое по понятной при-чине обозначается через `2(I).

Теперь перейдем от пространств к операторам.

Упражнение 9.9. Пусть для каждого i ∈ I задан ограниченный опе-ратор Ti ∈B(Hi), причем sup

i‖Ti‖<∞. Докажите, что формула T (x) =

= (Tixi)i∈I (где x = (xi)i∈I ∈ _⊕i∈I

Hi) задает ограниченный оператор T

в _⊕i∈I

Hi, и что при этом ‖T‖= supi‖Ti‖.

Определение 9.7. Оператор T , определенный в предыдущем упраж-нении, называется гильбертовой прямой суммой семейства операторов{Ti}i∈I и обозначается через _⊕

i∈ITi.

Пример 9.10. Если I = N и Hi = C для всех i ∈ I, то _⊕i∈I

Ti|это про-

сто диагональный оператор M� в `2.

Прежде чем определять гильбертовы прямые суммы гильбертовыхмодулей, докажем простую лемму.

Лемма 9.1. Пусть A| унитальная инволютивная банахова алге-бра, H | левый унитальный гильбертов A-модуль. Тогда ‖a · x‖ 66 ‖a‖‖x‖ для любых a ∈A, x ∈H.

Доказательство. Достаточно воспользоваться тем фактом, чтопредставление унитальной инволютивной банаховой алгебры не увели-чивает норму (см. предложение 6.9).

Объединяя эту лемму с упражнением 9.9, получаем следующее пред-ложение.

Предложение 9.2. Пусть A | унитальная инволютивная банахо-ва алгебра, {Hi}i∈I | семейство левых унитальных гильбертовых

A-модулей. Тогда их гильбертова прямая сумма _⊕i∈I

Hi является ле-

вым унитальным гильбертовым A-модулем относительно операцииa · (xi)i∈I = (a · xi)i∈I .

В случае, когда все модули Hi лежат в одном общем гильбертовоммодуле H, операция гильбертовой прямой суммы сводится к взятиюзамкнутой линейной оболочки. Чтобы в этом убедиться, сделайте сле-дующее упражнение.


Упражнение 9.10. Пусть A|унитальная инволютивная банахова ал-гебра, H|левый унитальный гильбертов A-модуль, {Hi}i∈I |семей-ство попарно ортогональных замкнутых подмодулей в H. Докажите,что существует единственный морфизм U : _⊕

i∈IHi→H в A-Hmod, удо-

влетворяющий условию Ux = x для любого x ∈ Hi и любого i ∈ I. По-кажите, что морфизм U изометричен, и ImU =

∑i∈I

Hi (замыкание ал-гебраической суммы).

Приступим теперь к разложению гильбертова модуля в сумму ци-клических. Ключевую роль здесь играет следующая простая лемма.

Лемма 9.2. Пусть A|инволютивная банахова алгебра, H|левыйгильбертов A-модуль, H0 ⊂H|замкнутый подмодуль. Тогда и H⊥

0 |подмодуль.

Доказательство. Если x ∈ H⊥0 и a ∈ A, то для любого y ∈ H0 мы

имеем 〈a · x; y〉= 〈x; a∗ · y〉= 0. Следовательно, a · x ∈H⊥0 .

Предложение 9.3. Пусть A| унитальная инволютивная банаховаалгебра, H | левый унитальный гильбертов A-модуль. Тогда суще-ствует такое семейство {Hi}i∈I замкнутых попарно ортогональныхциклических подмодулей в H, что H =

∑i∈I

Hi. Как следствие, мо-

дуль H изоморфен _⊕i∈I

Hi в A-Hmod1.

Доказательство. Пусть M |множество, состоящее из всевозмож-ных наборов ненулевых попарно ортогональных замкнутых цикличе-ских подмодулей вH. Это множество частично упорядочено по включе-нию. Легко видеть, что M удовлетворяет условиям леммы Цорна. Дей-ствительно, если подмножество C ⊂M линейно упорядочено, то на-бор � =

⋃{� : � ∈ C} является элементом множества M и мажорирует

любой элемент из C. Следовательно, в M есть максимальный элемент = {Hi}i∈I . Положим H0 =

∑i∈I

Hi и покажем, что H0 =H. Если это не

так, то H⊥0 6= 0 и H⊥

0 |подмодуль в H по предыдущей лемме. Выберемпроизвольный ненулевой вектор x ∈ H⊥

0 ; тогда Ax ⊂ H⊥0 |ненулевой

замкнутый циклический подмодуль, ортогональный всем модулям Hi.Это противоречит максимальности набора . Следовательно, H0 =H,как и требовалось.

Вместе с теоремой 9.1 это приводит к следующему результату.

Теорема 9.3. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство, H|левый унитальный гильбертов C(X)-модуль. То-гда существует такое семейство {�i}i∈I неотрицательных регуляр-


ных борелевских мер на X, что модуль H изоморфен гильбертовойпрямой сумме _⊕

i∈IL2(X;�i) в C(X)-Hmod.

В качестве следствия мы получаем соответствующий результат обоператорах.

Теорема 9.4. Пусть T ∈ B(H)| нормальный оператор. Тогда су-ществует такое семейство {�i}i∈I неотрицательных регулярных бо-релевских мер на �(T ), что оператор T унитарно эквивалентен опе-

ратору _⊕i∈I

M�it , где для каждого i ∈ I оператор M�i

t действует

в L2(�(T ); �i) по формуле (M�it f)(z) = zf(z).

Доказательство. Достаточно превратить пространство H в гиль-бертов C(�(T ))-модуль (см. формулу (9.1)) и применить предыдущуютеорему.

Теорема 9.4 дает важную информацию о строении нормального опе-ратора. Однако у нее есть один существенный недостаток: разложениеоператора T в сумму операторов умножения M�i

t , вообще говоря, не-единственно. В частности, один «элементарный кирпичик» M�i

t вполнеможет оказаться суммой двух других. Чтобы в этом убедиться, сде-лайте следующее упражнение.

Упражнение 9.11. Постройте ненулевые регулярные борелевские ме-ры �, �1, �2 на каком-нибудь компакте K ⊂ C так, чтобы операторM�t ∈B(L2(K); �) был унитарно эквивалентен оператору M�1

t_⊕M�2

t .

Замечание 9.6. Впоследствии мы увидим, что разложение, указан-ное в теореме 9.4, все же единственно, если слагаемые должным обра-зом сгруппировать и упорядочить.

Обсудим теперь одну общую алгебраическую конструкцию. ПустьA и B|банаховы алгебры, : A→ B|непрерывный гомоморфизм.Каждый левый банахов B-модульM можно тогда рассматривать и каклевый банахов A-модуль, полагая a · x= (a) · x для a ∈A, x ∈M . Еслиu : M →N|морфизм в B-mod, то он же будет морфизмом и в A-modотносительно только что введенного действия алгебры A на M и N .Тем самым определен ковариантный функтор # : B-mod→A-mod. Онназывается функтором отступления вдоль или функтором прямогообраза.

Название «функтор прямого образа» может показаться нескольконеожиданным| ведь в то время как гомоморфизм действует из A


в B, функтор # действует из B-mod в A-mod (а вовсе не наобо-рот). Эта терминология оправдывается тем, что при переходе от про-странств к алгебрам функций на них стрелки обращаются (т. е. функ-тор «пространство 7→ алгебра функций» контравариантен; см. § 5.5).Вот типичный для дальнейшего пример.

Пример 9.11. Пусть (X ;A ; �) | пространство с мерой, X | ком-пактное хаусдорфово топологическое пространство, ' : X → X|из-меримое отображение (относительно A и Bor(X)). Определим гомо-морфизм '• : C(X)→ L∞(X ; �) формулой '•(f) = f ◦ '. Он, в своюочередь, задает функтор ('•)# : L∞(X ; �)-mod→ C(X)-mod. Если при-менить этот функтор к пространству L2(X ; �) (которое очевиднымобразом наделяется структурой модуля над L∞(X ; �)), мы получимC(X)-модуль L2(X ; �)' (см. пример 9.5).

Теорема 9.5 (о функциональной модели). Пусть X | компактноехаусдорфово топологическое пространство, H | левый гильбертовмодуль над C(X). Тогда существуют такое пространство с мерой(X ;A ; �) и такое измеримое отображение ' : X →X, что модуль Hизоморфен L2(X ; �)' в C(X)-Hmod1.

Доказательство. Представим H в виде, указанном в теореме 9.3,и рассмотрим дизъюнктное объединение X =

⊔i∈I

Xi, где Xi = X для

всех i ∈ I. Определим �-алгебру A ⊂ 2X и меру � : A → [0;+∞] следу-ющим образом:

A ={⊔i∈I

Bi : Bi ∈Bor(Xi)};

�(⊔i∈I

Bi

)=

{∑i∈I �i(Bi); если этот ряд сходится,

+∞ иначе.

Наконец, определим измеримое отображение ' : X →X, полагая '(x)== x для любого x ∈Xi и любого i ∈ I.

Чтобы построить изоморфизм между H и L2(X ; �)', для каждогоi ∈ I рассмотрим замкнутый подмодуль

Hi = {f ∈ L2(X ; �)' : f = 0 почти всюду вне Xi}:

Ясно, что Hi ⊥Hj при i 6= j. Кроме того, отображение Ui : L2(X;�i)→→ Hi, сопоставляющее каждой функции f ∈ L2(X;�i) ее продолже-ние нулем вне Xi, является, очевидно, изоморфизмом в C(X)-Hmod1.С учетом упражнения 9.10 мы получаем изометрический морфизм

§ 9.4. L∞-функциональное исчисление. Скалярная спектральная мера 141

U : _⊕i∈I

L2(X;�i)→ L2(X ; �)', ограничение которого на каждое подпро-

странство L2(X;�i) совпадает с Ui, а образ есть∑i∈I

Hi. Осталось заме-тить, что морфизм U сюръективен. В самом деле, если f ∈ L2(X ; �)и f ⊥Hi, то f = 0 почти всюду на Xi. Если же это так для всех i ∈ I,то f = 0 почти всюду на X . Следовательно, (ImU)⊥ = 0, и U|изоме-трический изоморфизм.

На языке операторов последняя теорема звучит так.

Теорема 9.6 (о функциональной модели). Пусть T ∈ B(H)| нор-мальный оператор. Тогда существуют такое пространство с ме-рой (X ;A ; �) и такая измеримая ограниченная функция ' : X → C,что оператор T унитарно эквивалентен оператору умножения M' ∈∈B(L2(X ; �)), действующему по формуле (M'f)(x) = '(x)f(x).

Упражнение 9.12. Если пространство H сепарабельно, а оператор Tсамосопряжен, то в качестве X можно взять R, а меру � выбрать ко-нечной.

Теорема о функциональной модели|чрезвычайно мощное средство,позволяющее «задаром» получать содержательную информацию о нор-мальных операторах. Например, чтобы определить борелевское исчи-сление от нормального оператора T , достаточно представить T в видеU−1M'U (где U|оператор, осуществляющий эквивалентность междуT иM') и положить f(T ) = U−1Mf◦'U . Точно так же можно построитьразложение единицы T (см. упражнения 7.15 и 8.7).

Вот еще одно приложение.

Упражнение 9.13. Пусть T ∈B(H)|нормальный необратимый опе-ратор.

1. Докажите, что образ ImT замкнут ⇔ 0| изолированная точкаспектра �(T ).

2. Верно ли предыдущее утверждение для ненормальных операто-ров? Верна ли хотя бы одна из импликаций ⇒ или ⇐?

§ 9.4. L∞-функциональное исчисление.Скалярная спектральная мера

Вернемся теперь к нашему основному вопросу о функциональныхисчислениях. Мы уже убедились на многочисленных примерах, что чембольше запас функций, которые можно применять к линейному опера-тору, тем больше можно сказать о его строении. Как мы уже знаем,


от нормального оператора в гильбертовом пространстве можно братьлюбые ограниченные борелевские функции, определенные на его спек-тре (см. гл. 7). По сути дела, именно этот факт и позволил нам до-казать спектральную теорему в ее различных формулировках. Есте-ственно теперь поинтересоваться, можно ли от нормального операто-ра брать неограниченные борелевские функции. Оказывается, действи-тельно можно, но если мы при этом хотим оставаться в рамках теорииограниченных операторов, то наши функции должны быть существен-но ограниченными по отношению к некоторой специальной мере. Нашаближайшая цель|определить эту меру и построить соответствующееL∞-функциональное исчисление.

Пусть (X;A ; �)|пространство с мерой. Напомним, что существуетизометрический изоморфизм

L∞(X;�)→ (L1(X;�))∗; f 7→ Ff ; где Ff (g) =∫X

fg d� ∀g ∈ L1(X;�):

Как следствие, на L∞(X;�) возникает слабая* топология �(L∞; L1)(см. § 5.2).

Упражнение 9.14. Пусть X|компактное хаусдорфово топологиче-ское пространство, � ∈M(X)| неотрицательная регулярная борелев-ская мера.

1. Покажите, что образ канонического гомоморфизма C(X) →→ L∞(X;�), переводящего каждую функцию в ее класс эквивалент-ности относительно �, плотен в слабой* топологии.

2. Покажите, что канонический гомоморфизм B(X)→ L∞(X;�) не-прерывен относительно слабо-мерной топологии на B(X) и слабой* то-пологии на L∞(X;�).

Пусть теперь T ∈B(H)|нормальный оператор, K ⊂ C|компакт-ное подмножество, � ∈M(K) | неотрицательная регулярная борелев-ская мера. Как обычно, через t ∈ L∞(K;�) мы обозначаем функциюt(z) = z (z ∈K), точнее, ее класс эквивалентности.

Определение 9.8. L∞-функциональным исчислением от T на (K;�)называется унитальный ∗-гомоморфизм ∞ : L∞(K;�)→B(H), непре-рывный относительно слабой* топологии на L∞(K;�) и слабо-опера-торной топологии на B(H) и такой, что ∞(t) = T .

Упражнение 9.15. Предположим, что L∞-функциональное исчисле-ние от T на (K;�) существует. Докажите, что

1) оно единственно;2) �(T )⊂K;


3) диаграмма

B(K) b //

��

B(H)

L∞(K;�)

∞

99ssssssssss

коммутативна (здесь b|борелевское исчисление от T , а вертикальнаястрелка|канонический гомоморфизм; см. упражнение 9.14).

Если про меру � ничего не известно, то соответствующего L∞-функ-ционального исчисления может и не существовать (приведите пример!).Наша задача будет состоять в том, чтобы по заданному оператору T по-строить некоторую специальную меру � на �(T ), для которой L∞-функ-циональное исчисление от T существует. Она называется скалярнойспектральной мерой оператора T . Строить ее мы будем в более общемконтексте гильбертовых модулей.

Итак, пусть X | компактное хаусдорфово топологическое про-странство,H|унитальный гильбертов C(X)-модуль, � : C(X)→B(H)и ~� : B(X)→ B(H) | соответствующие представления, E : Bor(X)→→ PR(H)| соответствующая спектральная мера (см. теорему 8.3).

Определение 9.9. Неотрицательная мера � ∈M(X) называется ска-лярной спектральной мерой для H, если для B ∈ Bor(X) условияE(B) = 0 и �(B) = 0 эквивалентны.

Для дальнейшего нам понадобятся некоторые факты из теориимеры.

Отступление: напоминания из теории меры

Пусть X|множество, A | �-алгебра его подмножеств.

Определение 9.10. Пусть �; � | �-аддитивные комплексные мерына A , � > 0.

1. Говорят, что мера � абсолютно непрерывна относительно �, еслииз условий �(A) = 0, A ∈ A следует, что �(A) = 0. При этом пишут�� .

2. Если � > 0, то говорят, что меры � и � эквивалентны (и пишут�∼ �), если одновременно выполняются условия �� и �� , т. е. еслидля A ∈A условия �(A) = 0 и �(A) = 0 эквивалентны.


Теорема 9.7 (Радон, Никодим). Пусть �; � | �-аддитивные ком-плексные меры на �-алгебре A , причем � > 0. Тогда следующие условияэквивалентны:

(1) �� ;(2) существует такая �-интегрируемая функция � : X → C, что

�(A) =ZA� d� для любого A ∈A (т. е., в обозначениях гл. 7, �= � · �);

(3) для любого " > 0 найдется такое � > 0, что для любого множе-ства A ∈A , удовлетворяющего условию �(A)< �, выполнено неравен-ство |�|(A)< ".При этом если �> 0, то и �> 0 �-п. в. Класс эквивалентности функ-ции � (относительно �) определен однозначно. Функция � обознача-

етсяd�

d�и называется производной Радона|Никодима меры � по �

(или плотностью меры � относительно �).

Замечание 9.7. На самом деле теорема Радона|Никодима|это им-пликация (1)⇒ (2) в предыдущем утверждении. Импликация (2) ⇒⇒ (3)|это так называемое свойство абсолютной непрерывности ин-теграла, а импликация (3)⇒ (1) очевидна.

∗ ∗ ∗

Вернемся к гильбертовым модулям. Прежде чем строить скалярнуюспектральную меру, заметим, что если эта мера существует, то онаопределена однозначно с точностью до эквивалентности.

Для построения скалярной спектральной меры нам будет удобновоспользоваться следующим общим понятием.

Определение 9.11. Вектор x ∈H называется отделяющим для пред-ставления ~�, если для f ∈ B(X) из условия ~�(f)x = 0 следует, что~�(f) = 0.

Предложение 9.4. Если вектор x ∈ H отделяющий, то мера �x(см. формулу (9.2)) является скалярной спектральной мерой для H.

Доказательство. Напомним, что �x(B) = ‖E(B)x‖2 для любогоборелевского множества B ⊂ X. Поэтому �x(B) = 0⇔ E(B)x = 0⇔⇔ E(B) = 0.

Упражнение 9.16. Докажите, что верно и обратное утверждение.

Итак, вопрос о существовании скалярной спектральной меры свелсяк вопросу о существовании отделяющего вектора.


Предложение 9.5. Если модуль H сепарабелен, то в нем существу-ет отделяющий вектор. Как следствие, существует скалярная спек-тральная мера для H.

Доказательство. Представим H в виде H =∑i∈I

Hi, где Hi|попар-

но ортогональные циклические подмодули в H (см. предложение 9.3).Из сепарабельности модуля H следует, что I не более чем счетно, по-этому мы можем считать, что I = N или I = {1; : : : ; n}. Для каждо-го i ∈ I выберем циклический вектор xi ∈ Hi, ‖xi‖ = 1, и положимx=

∑i

xi2i. Легко видеть, что x|отделяющий вектор. Действительно,

если ~�(f)x = 0 для некоторой функции f ∈ B(X), то из ортогонально-сти подмодулей Hi следует, что ~�(f)xi = 0 для всех i ∈ I. Посколькуxi|циклический вектор для Hi, отсюда следует, что ~�(f)|Hi = 0 длявсех i ∈ I, т. е. ~�(f) = 0. Следовательно, x|отделяющий вектор.

Естественно спросить: а существуют ли какие-нибудь другие ска-лярные спектральные меры для H, кроме тех, которые указаны в пред-ложении 9.4? Проще всего ответить на этот вопрос в случае сепара-бельного модуля H.

Упражнение 9.17. Предположим, что в H существует отделяющийвектор x (это заведомо так, если модуль H сепарабелен).

1. Докажите, что если � ∈ M(X), � > 0 и � � �x, то � = �y длянекоторого y ∈H.

2. Докажите, что любая скалярная спектральная мера для H име-ет вид �y для некоторого (возможно, другого) отделяющего вектораy ∈H.

Указание. Воспользуйтесь теоремой Радона|Никодима.

На самом деле в условии предыдущего упражнения можно и не тре-бовать наличия отделяющего вектора. Дело в том, что справедлив сле-дующий результат.

Упражнение 9.18∗.Докажите, что следующие условия эквивалентны:1) в H существует отделяющий вектор;2) существует скалярная спектральная мера для H.

При этом любая скалярная спектральная мера для H имеет вид �y длянекоторого отделяющего вектора y ∈H.

Указание. Ключевой момент| следующее утверждение из теориимеры: если некая мера � эквивалентна семейству мер {�i : i ∈ I} в томсмысле, что �(B) = 0⇔ �i(B) = 0∀i ∈ I, то она эквивалентна не болеечем счетному его подсемейству.


Так или иначе, но в общем случае (т. е. для несепарабельного мо-дуля H) предложение 9.5 перестает быть верным. Попробуйте в этомубедиться.

Упражнение 9.19. Постройте нормальный оператор в несепарабель-ном гильбертовом пространстве, не обладающий скалярной спектраль-ной мерой.

Указание. Если �-аддитивная мера �> 0 такова, что �({x})> 0 длялюбого x ∈ X, то �(X \ S) = 0 для некоторого не более чем счетногоподмножества S ⊂X.

Перейдем теперь к построению L∞-функционального исчисления.

Предложение 9.6. Пусть �|скалярная спектральная мера для H.Тогда

Ker ~� = {f ∈B(X) : f = 0 �x-п. в. ∀x ∈H}= {f ∈B(X) : f = 0 �-п. в.}:

Доказательство. Для любого борелевского множества B ⊂X имеем

�(B) = 0 ⇐⇒ E(B) = 0 ⇐⇒ ‖E(B)x‖2 =0 ∀x∈H ⇐⇒ �x(B) = 0∀x∈H:

Отсюда следует совпадение второго и третьего множеств. Совпадениепервых двух множеств следует из равенства ‖~�(f)x‖2 =

ZX|f |2d�x.

Прежде чем формулировать и доказывать основную теорему, сде-лаем одно несложное наблюдение об инволютивных алгебрах.

Определение 9.12. Пусть A|инволютивная алгебра. Двустороннийидеал I ⊂ A называется ∗-идеалом, если для любого a ∈ I выполненовключение a∗ ∈ I.

Упражнение 9.20. Докажите, что если I | двусторонний ∗-идеалв инволютивной алгебре A, то факторалгебра A=I является инволю-тивной алгеброй относительно инволюции (a + I)∗ = a∗ + I. В случае,когда A|инволютивная банахова алгебра, покажите, что факторалге-бра A=I, снабженная факторнормой и только что введенной инволюци-ей, тоже является инволютивной банаховой алгеброй.

Теорема 9.8. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство, H|сепарабельное гильбертово пространство. Пусть,далее, � : C(X)→B(H)|унитальный ∗-гомоморфизм, ~�|его кано-ническое продолжение на B(X), � ∈M(X)|соответствующая ска-лярная спектральная мера. Тогда существует единственный ∗-гомо-морфизм �∞ : L∞(X;�)→B(H), делающий следующую диаграмму ком-


мутативной:

B(X) ~� //

��

B(H)

L∞(X;�)

�∞

99ssssssssss

При этом гомоморфизм �∞ инъективен и непрерывен относительнослабой* топологии на L∞(X;�) и слабо-операторной топологии наB(H).

Доказательство. Единственность гомоморфизма �∞ очевидна; до-кажем его существование. Положим I0 =Ker ~�; ясно, что это замкнутый∗-идеал в B(X). Рассмотрим линейный оператор

�∞ : B(X)=I0→B(H); f + I0 7→ ~�(f):

Легко видеть, что этот оператор ограничен, инъективен и является∗-гомоморфизмом. С учетом предложения 9.6 существует изометриче-ский ∗-изоморфизм B(X)=I0 → L∞(X;�), переводящий f + I0 в классэквивалентности функции f относительно � (см. упражнение 2.11).Отождествляя алгебры B(X)=I0 и L∞(X;�), получаем искомый гомо-морфизм �∞ : L∞(X;�)→B(H).

Для доказательства непрерывности гомоморфизма �∞ относитель-но указанных топологий достаточно по заданным x; y ∈ H подобрать� ∈ L1(X;�) так, чтобы выполнялось условие

‖�∞(f)‖x;y 6 ‖f‖� для любой функции f ∈ L∞(X;�): (9.5)

Итак, пусть x; y ∈H. Тогда

‖�∞(f)‖x;y = |〈~�(f)x; y〉|=∣∣∣∣∫X

f dEx;y

∣∣∣∣ (9.6)

(здесь мы, как обычно, использовали один и тот же символ f дляобозначения функции и ее класса эквивалентности). Из определенияскалярной спектральной меры легко следует, что Ex;y � �. Положим�= dEx;y=d�; тогда из равенств (9.6) получаем, что

‖�∞(f)‖x;y =∣∣∣∣∫X

f� d�

∣∣∣∣= ‖f‖�;что доказывает неравенство (9.5). Тем самым теорема доказана.

Упражнение 9.21. Докажите, что отображение �∞ изометрично.

Предыдущее упражнение нетрудно сделать «в лоб», но можно и вы-вести его из следующего более общего утверждения.


Упражнение 9.22∗. Пусть A;B | унитальные C∗-алгебры, ' : A→→B|инъективный унитальный ∗-гомоморфизм. Тогда гомоморфизм' изометричен.

Естественно поинтересоваться: а нельзя ли вместо скалярной спек-тральной меры в предыдущей теореме взять какую-нибудь другую?

Упражнение 9.23. Какой должна быть мера � ∈M(X), �> 0, чтобыдля нее было справедливо заключение теоремы 9.8? (Найдите необхо-димое и достаточное условие.)

В применении к операторам теорема 9.8 дает следующий результат.

Теорема 9.9. Пусть T ∈ B(H)| нормальный оператор в сепара-бельном гильбертовом пространстве H, K ⊂ C|компакт, содержа-щий �(T ), � ∈M(K)|скалярная спектральная мера оператора T . То-гда L∞-функциональное исчисление от T на (K;�) существует и един-ственно. Кроме того, оно изометрично.

Посмотрим теперь на свойства L∞-функционального исчисления.Естественно ожидать, что L∞-функциональные исчисления на разныхкомпактах должны быть согласованы (ср. упражнение 7.17). Чтобы этоутверждение имело смысл, согласованы должны быть и скалярные спек-тральные меры. Для точной формулировки этого результата введемследующее понятие.

Определение 9.13. Пусть X | компактное хаусдорфово топологи-ческое пространство. Носитель меры � ∈M(X) | это подмножествоsupp�⊂X, определяемое следующим образом:

x =∈ supp� ⇐⇒ ∃ окрестность U 3 x : �(U) = 0:

Очевидно, supp�|замкнутое множество.

Замечание 9.8. Существует понятие носителя меры, заданной напроизвольной �-алгебре подмножеств любого множества, однако в этомслучае носитель определен, вообще говоря, неоднозначно («носительс неопределенным артиклем»). Носитель, определенный выше, есте-ственно называть «топологическим носителем».

Упражнение 9.24. Пусть T ∈B(H)| нормальный оператор в сепа-рабельном гильбертовом пространствеH, �|его скалярная спектраль-ная мера, определенная на некотором компакте K ⊃ �(T ). Докажите,что supp�= �(T ).

Следствие 9.1. Пусть K;K1 ⊂ C|компакты, �(T )⊂K1 ⊂K, и � ∈∈M(K)|скалярная спектральная мера для T ∈B(H). Тогда ее огра-


ничение �|Bor(K1) ∈M(K1) также является скалярной спектральноймерой для T .

Упражнение 9.25. В условиях предыдущего следствия обозначим че-рез K∞ и K1

∞ L∞-исчисления от T на K и K1 соответственно, а черезrKK1

: L∞(K;�)→ L∞(K1; �)| гомоморфизм ограничения. Докажите,что следующая диаграмма коммутативна:

L∞(K;�)

rKK1

��

K∞

))SSSSSSS

B(H)

L∞(K1; �) K1∞

55kkkkkkk

Поскольку L∞-функциональное исчисление согласовано с борелев-ским (см. упражнение 9.15) и не зависит от выбора компакта K ⊃ �(T ),мы можем вместо ∞(f) использовать традиционное обозначение f(T ),как и для других встречавшихся нам ранее функциональных исчисле-ний.

Еще одно важное свойство L∞-функционального исчисления, кото-рого нет у борелевского исчисления, | это теорема об отображенииспектра.

Упражнение 9.26 (теорема об отображении спектра). Пусть T ∈∈ B(H) | нормальный оператор в сепарабельном гильбертовом про-странстве H, �| его скалярная спектральная мера, определенная нанекотором компакте K ⊃ �(T ). Докажите, что для любой функцииf ∈ L∞(K;�) справедливо равенство

�(f(T )) = {множество существенных значений функции f на �(T )}:


О банаховых и гильбертовых модулях можно прочитать в книге [29].Язык гильбертовых модулей широко используется в современной тео-рии операторов; см. по этому поводу монографию Р.Дугласа и В.Пол-сена [36]. Упомянутая мимоходом теорема Серра|Суона доказана, на-пример, в лекциях М.Атьи [1]. Теорему о функциональной модели са-мосопряженного оператора в гильбертовом пространстве можно найтив книгах [30, 14, 23]; на случай нормальных операторов и гильбертовыхC(X)-модулей она обобщается без труда. Доказательство теоремы Ра-дона|Никодима содержится в книгах [15, 14, 9]. По поводу скалярныхспектральных мер и L∞-исчисления см. учебник Дж.Конвея [35].

10. ТЕОРИЯ КРАТНОСТИ

Вы, конечно, знаете, что кратностью собственного значения � ли-нейного оператора T называется размерность ядра оператора T − �1.Что следует называть кратностью точки спектра в общем случае? Те-ория кратности, с которой мы познакомимся в этой главе, дает ответна этот вопрос для ограниченных нормальных операторов в гильберто-вом пространстве. Впрочем, основное достоинство этой теории даже нев том, что она придает смысл слову «кратность», а в том, что она позво-ляет полностью классифицировать нормальные операторы с точностьюдо унитарной эквивалентности. Это означает, что каждому операторусопоставляется некая совокупность объектов, которая является пол-ным набором унитарных инвариантов в том смысле, что два оператораунитарно эквивалентны тогда и только тогда, когда соответствующиеим наборы унитарных инвариантов совпадают. Таким образом, теориякратности позволяет отвечать на вопросы о том, являются ли два дан-ных нормальных оператора унитарно эквивалентными или нет. Крометого, теория кратности сопоставляет каждому нормальному операторунекую красивую геометрическую модель (по ряду причин более удоб-ную, чем функциональная модель из предыдущей главы), которая пред-ставляет и самостоятельный интерес.

Чтобы лучше понимать смысл дальнейших построений, давайте вна-чале посмотрим на конечномерный случай. Итак, пусть H|конечно-мерное гильбертово пространство, T ∈B(H)|оператор, который мыдля простоты будем предполагать самосопряженным. Тогда, как из-вестно из линейной алгебры, H разлагается в ортогональную прямуюсумму собственных подпространств оператора T :

H =_⊕

�∈�(T )

H(�); где H(�) = Ker(T − �1H): (10.1)

Следовательно, сам оператор T записывается в виде

T =_⊕

�∈�(T )

�1H(�): (10.2)

Определим функцию кратности mT на спектре �(T ) формулойmT (�) == dimH(�). Тогда пара (�(T );mT ) является полным набором унитар-ных инвариантов оператора T :

S и T унитарно эквивалентны ⇔ �(S) = �(T ) и mS =mT (10.3)

10. Теория кратности 151

Упражнение 10.1. Если вы раньше не встречались с этим утвержде-нием, то докажите его.

Основные результаты теории кратности, грубо говоря, представля-ют собой обобщения разложений (10.1) и (10.2) и утверждения (10.3)на бесконечномерный случай. Конечно, H(�) уже не будут собственны-ми подпространствами (как вы знаете, собственных подпространству T вообще может не быть); более того, они, вообще говоря, не бу-дут подпространствами в H. А разложения (10.1) и (10.2) будут ужене обычными разложениями в прямую сумму, а разложениями в такназываемый «прямой интеграл».

На интуитивном уровне основной геометрический объект, сопоста-вляемый оператору в теории кратности, выглядит следующим образом.Из предыдущей главы мы помним, что «строительным материалом» дляфункциональной модели нормального оператора (или гильбертова мо-дуля) служат циклические гильбертовы модули Hi (i ∈ I), каждый изкоторых изоморфен модулю вида L2(�(T ); �i) для некоторой меры �i на�(T ) (см. теоремы 9.3 и 9.4). Для построения функциональной модели(теорема 9.5) мы, говоря неформально, «склеили» друг с другом про-странства с мерой (�(T ); �i) и на каждом из них рассмотрели функциюf(t) = t (см. приведенный ниже рисунок).

(�(T ); �1) (�(T ); �2) (�(T ); �3)

. . .

︸︷︷︸(X ; �)

В результате этой конструкции получаются пространство с мерой(X ; �) и ограниченная измеримая функция ' на нем; при этом ис-ходный оператор T оказывается унитарно эквивалентным операторуумножения M' в L2(X ; �).

Можно, однако, не «приклеивать» пространства (�(T ); �i) другк другу, а расположить их «друг над другом» так, чтобы они про-

152 10. Теория кратности

�(T ) ··························

�

(�(T );�1)

(�(T );�2)

(�(T );�3)

. . .

ектировались на �(T ), см. рисунок. Геометрический объект, которыйпри этом возникает, называется измеримым гильбертовым расслоени-ем или измеримым полем гильбертовых пространств. Обратите вни-мание на то, что горизонтальные отрезки на этой картинке имеютразрывы; это означает, что «на i-м этаже» изображена не вся i-я ко-пия пространства �(T ), а только носитель меры �i. Число точек навертикальной прямой, т. е. размерность «слоя» над точкой � ∈ �(T ),|это и есть кратность этой точки. Гильбертово пространство, в кото-ром действует оператор T , следует представлять себе как «непрерыв-ную прямую сумму» слоев над точками спектра �(T ); сам же оператор«склеен» из операторов T�, каждый из которых действует в слое над� ∈ �(T ) умножением на число �.

В частности, если пространствоH конечномерно, то спектр �(T ) ко-нечен и над каждой его точкой � «висит» соответствующее собственноеподпространство H(�). Типичный бесконечномерный пример|опера-тор умножения Mt, действующий в L2[0; 1] по правилу (Mtf)(t) = tf(t).Пространство L2[0; 1] при этом оказывается «непрерывной прямой сум-мой» одномерных пространств C� (по всем � ∈ [0; 1]), а оператор Mt|«непрерывной прямой суммой» операторов умножения на � в простран-стве C�.

Перейдем теперь к строгим формулировкам.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоенияи прямые интегралы

Пусть X |множество, A | �-алгебра его подмножеств, и пусть{H(�) : � ∈X}|некоторое семейство гильбертовых пространств. Пря-мое произведение

∏�∈X

H(�) назовем пространством сечений этого се-

мейства. Напомним в этой связи, что∏�∈X

H(�) ={u : X →

⊔�∈X

H(�) : u(�) ∈H(�)∀� ∈X}:

Пространство H(�) будем называть слоем над � ∈X.

§ 10.1. Измеримые гильбертовы расслоения и прямые интегралы 153

Говоря неформально, измеримое гильбертово расслоение| это се-мейство гильбертовых пространств {H(�) : � ∈ X} вместе с выделен-ным подпространством пространства его сечений, элементы которогомы хотим объявить измеримыми.

Определение 10.1.Измеримое гильбертово расслоение (говорят так-же: измеримое поле гильбертовых пространств) над (X;A )|это параH = ({H(�) : � ∈ X};F ), состоящая из семейства гильбертовых про-странств {H(�) : � ∈X} и векторного подпространства F ⊂

∏�∈X

H(�),удовлетворяющего следующим условиям:

(1) для каждых u; v ∈F функция � 7→ 〈u(�); v(�)〉 измерима на X;(2) если сечение u ∈

∏�∈X

H(�) таково, что функция � 7→ 〈u(�); v(�)〉

измерима для любого v ∈F , то u ∈F ;(3) существует такое счетное семейство {un}∞n=1 ⊂F , что

span{un(�)}∞n=1 =H(�):

Элементы подпространства F называются измеримыми сечениями рас-слоения H .

Замечание 10.1. Заметим, что из последнего условия следует, чтовсе пространства H(�) сепарабельны. Это ограничение может на пер-вый взгляд показаться довольно искусственным, но в дальнейшем мыувидим, что оно играет весьма существенную роль. Впрочем, в преды-дущей главе нам уже пришлось один раз налагать условие сепарабель-ности| а именно, тогда, когда мы строили скалярную спектральнуюмеру оператора. Теория кратности для операторов в несепарабельныхпространствах также существует, но имеет заметно более сложный вид,и мы ею заниматься не будем.

Пример 10.1. Простейший пример измеримого гильбертова рассло-ения получится, если положить H(�) = C для всех � ∈X и взять в ка-честве F множество всех измеримых функций на X.

Пример 10.2 (постоянное расслоение). Пусть H | сепарабельноегильбертово пространство. Будем говорить, что функция u : X → Hизмерима, если для любого x ∈H измерима функция � 7→ 〈u(�); x〉. По-ложим H(�) = H для всех � ∈ X и возьмем в качестве F множествовсех измеримых функций на X со значениями в H.

Упражнение 10.2. Проверьте выполнение аксиом (1)|(3).

Пример 10.3 (локально постоянное расслоение). Пусть X предста-влено в виде X =

⊔n∈N

Xn, где Xn ∈A . Для каждого n зафиксируем се-

парабельное гильбертово пространство Hn и положим H(�) =Hn для


каждого � ∈Xn. Пусть

F ={u ∈

∏�∈X

H(�) : функция u|Xn : Xn→Hn измерима ∀n ∈ N}:

Упражнение 10.3. Проверьте выполнение аксиом (1)|(3).

Оказывается, других измеримых гильбертовых расслоений, кромеописанных в предыдущем примере, не бывает. Чтобы сформулироватьэто более строго, надо ввести понятие морфизма измеримых гильбер-товых расслоений.

Определение 10.2. Пусть даны измеримые гильбертовы расслоенияH = ({H(�) : � ∈X};F ) и H ′ = ({H ′(�) : � ∈X};F ′) над (X;A ). Мор-физм (или измеримое поле операторов) T : H →H ′|это такое семей-ство операторов {T (�) ∈B(H(�); H ′(�)) : � ∈X}, что для любого u ∈Fсечение Tu ∈

∏�∈X

H ′(�), определяемое равенством (Tu)(�) = T (�)u(�),

принадлежит F ′.Если �| �-аддитивная неотрицательная мера на A , то морфизм

T : H →H ′ называется �-существенно ограниченным, если функция� 7→ ‖T (�)‖ �-существенно ограничена.

Морфизм T : H →H ′ называется унитарным изоморфизмом, еслиT (�)|унитарный изоморфизм для всех � ∈X.

Пример 10.4 (диагональный морфизм). Пусть f : X → C|измери-мая функция. Диагональный морфизм Df : H →H определяется фор-мулой Df (�) = f(�)1H(�) (убедитесь, что это на самом деле морфизмгильбертовых расслоений). Ясно, что морфизм Df существенно огра-ничен тогда и только тогда, когда функция f существенно ограниче-на, и является унитарным изоморфизмом тогда и только тогда, когда|f(�)|= 1 для всех � ∈X.

Определение 10.3. Измеримое гильбертово расслоение называетсятривиальным, если оно унитарно изоморфно постоянному расслоению(см. пример 10.2).

В дальнейшем через N мы будем обозначать «расширенное множе-ство натуральных чисел» N ∪ {0} ∪ {∞}.

Теорема 10.1. Пусть H |измеримое гильбертово расслоение над(X;A ). Для каждого n ∈ N положим Xn = {� ∈X : dimH(�) = n}. То-гда Xn ∈A и ограничение H |Xn тривиально. Как следствие, H изо-морфно локально постоянному расслоению (см. пример 10.3). В част-ности, измеримое гильбертово расслоение постоянной размерноститривиально.


Замечание 10.2 (для любителей топологии). С точки зрения тополо-гии, формулировка теоремы выглядит несколько неожиданной: ведь невсе же локально тривиальные векторные расслоения тривиальны! Нотеория меры| наука гораздо более «мягкая», чем топология; напри-мер, отрезок и окружность, конечно, не гомеоморфны друг другу кактопологические пространства, но как измеримые пространства они ни-чем друг от друга не отличаются. Примерно то же самое происходити с расслоениями...

Доказательство (набросок). Выберем счетное семейство измери-мых сечений {un}, удовлетворяющее условию (3) определения 10.1. Длякаждого конечного подмножества I ⊂ N и каждого n ∈ N определимфункции �I и ń на X формулами

�I(�) = |det(〈ui(�); uj(�)〉)i;j∈I |;ń(�) = sup{�I(�) : I ⊂ N; Card I = n}:

Ясно, что �I , а следовательно, и ń являются A -измеримыми. Приэтом из условия (3) определения 10.1 следует, что dimH(�) < n в точ-ности тогда, когда ń(�) = 0. Для каждого n ∈ N множество Yn == {� ∈ X : ń(�) = 0} принадлежит A . Следовательно, множества

Xn = Yn+1 \ Yn, X0 = Y1 и X∞ =X \∞⋃n=0

Xn также лежат в A .

При доказательстве того, что расслоение H тривиально на каждоммножестве Xn, мы можем считать, что X =Xn.

Лемма 10.1. Пусть H |измеримое гильбертово расслоение, при-чем dimH(�) = n для всех � ∈X (здесь n ∈ N). Тогда существует та-кое семейство измеримых сечений {ei}ni=1, что {ei(�)}ni=1|ортонор-мированный базис в H(�) для всех � ∈X.

Упражнение 10.4. Докажите эту лемму.Указание. Доказательство напоминает процесс ортогонализации

Грама|Шмидта. А именно, возьмите такое семейство {ui}, как вы-ше, и подправьте u1: вначале добавьте к нему сумму вида

∑i>2

fiui (где

fi|подходящие измеримые функции) так, чтобы полученное сечениеu′1 нигде не обращалось в нуль, а затем положите e1 = u′1=‖u′1‖. Далеезамените каждое ui (при i> 2) на u′i = ui − 〈ui; e1〉e1; полученные сече-ния будут в каждой точке ортогональны e1. Отбросьте тождественнонулевые сечения и проделайте с оставшимися ту же процедуру, чтои с сечениями ui; это даст e2, и т. д. На выходе получится нужное се-мейство {ei}.


Для завершения доказательства теоремы остается взять гильбер-тово пространство H ′

n с ортонормированным базисом {e′i}ni=1 и опре-делить унитарный изоморфизм Tn из постоянного расслоения над Xn

со слоем H ′n в H |Xn формулой T (�)e′i = ei(�). Наконец, пусть H ′|

локально постоянное расслоение, построенное по разбиению {Xn} сослоемH ′

n на каждом множествеXn. Тогда морфизм T : H ′→H , совпа-дающий с Tn на каждом множестве Xn, является, как легко убедиться(убедитесь!), унитарным изоморфизмом.

В качестве следствия мы получаем следующий результат о един-ственности семейства измеримых сечений.

Упражнение 10.5. Пусть {H(�) : � ∈ X}| семейство гильбертовыхпространств, F и F ′|семейства его сечений, удовлетворяющие усло-виям (1)|(3) определения 10.1. Докажите, что F =F ′.

Теперь мы готовы ввести понятие прямого интеграла. Пусть да-ны пространство с мерой (X;A ; �), и измеримое гильбертово расслое-ние H над (X;A ). Обозначим через F пространство измеримых сече-ний этого расслоения.

Определение 10.4. Положим по определению

L 2(X;H ) = {u ∈F : функция � 7→ ‖u(�)‖2 �-интегрируема}:

Элементы множества L 2(X;H ) будем называть квадратично инте-грируемыми сечениями расслоения H .

Легко видеть, что L 2(X;H ) | векторное подпространство в F .Определим на нем полуторалинейную форму

〈u; v〉=∫X

〈u(�); v(�)〉 d�(�): (10.4)

Определение 10.5. Факторпространство

L 2(X;H )={u : u= 0 �-п. в.}

обозначается символомZ ⊕

XH(�) d�(�) или `2(X;H ) и называется пря-

мым интегралом семейства {H(�) : � ∈X} по мере �.Замечание 10.3. Как и в случае обычных L2-пространств, мы часто

будем допускать определенную вольность в речи и обозначениях и на-зывать элементы из `2(X;H ) «сечениями» (хотя, строго говоря, речьпри этом всегда будет идти о классах эквивалентности).

Формула (10.4), как нетрудно видеть, задает скалярное произведе-ние на `2(X;H ) и превращает его в предгильбертово пространство.


Упражнение 10.6. Докажите, что `2(X;H ) | гильбертово прост-ранство.

Пример 10.5. Пусть X = {1; : : : ; n}, где n ∈ N, и пусть �({k}) = 1 длявсех k («считающая» мера). Тогда∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼= _⊕16k6n

H(k):

Пример 10.6. Пусть H |постоянное расслоение со слоем C. Тогда∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼= L2(X;�):

Пример 10.7. Пусть H |постоянное расслоение со слоем H. Обо-значим через L2

H(X;�) множество классов эквивалентности �-измери-мых функций u : X →H, для которых функция � 7→ ‖u(�)‖2 интегриру-ема, и введем на нем скалярное произведение формулой (10.4). Тогда,как нетрудно видеть, ∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼= L2H(X;�):

Пример 10.8. Пусть X представлено в виде X =⊔nXn, где Xn ∈ A

для всех n, и пусть H(�) =Hn для всех � ∈Xn и всех n ∈ N (см. при-мер 10.3). Тогда ∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼= _⊕n∈N

L2Hn(Xn; �):

Следующее предложение часто принимают в качестве определенияпрямого интеграла.

Теорема 10.2 (координатное описание прямого интеграла). ПустьH |измеримое гильбертово расслоение над (X;A ; �). Для каждогоn ∈ N положим Xn = {� ∈X : dimH(�) = n}. Пусть H∞|бесконечно-мерное сепарабельное гильбертово пространство с ортонормирован-ным базисом {ek}k∈N. Для каждого n∈N положим Hn=span{e1; : : : ; en}и H0 = {0}. Тогда∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼=

∼= {u ∈ L2H∞(X;�) : u(�) ∈Hn для почти всех � ∈Xn ∀n ∈ N}:


Доказательство. Достаточно объединить теорему 10.1 и пример10.8.

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное поня-тие.

Определение 10.6. Мы будем называть измеримое гильбертово рас-слоение H над (X;A ; �) приведенным, если �({� ∈X : H(�) = 0}) = 0.

Каждое гильбертово расслоение можно сделать приведенным, не из-менив его прямой интеграл. Для этого положимX+={�∈X : H(�) 6=0},и введем новую меру �′ на X по формуле �′(Y ) = �(Y ∩X+) для всехY ∈A .

Упражнение 10.7. Докажите, что расслоение H является приведен-ным над (X;A ; �′) и∫ ⊕

X

H(�) d�(�)∼=∫ ⊕

X

H(�) d�′(�):

Итак, каждому измеримому гильбертову расслоению поставленов соответствие гильбертово пространство|его прямой интеграл. Каки следовало ожидать, эта конструкция естественна. Точнее, справедливследующий результат.

Предложение 10.1. Пусть T : H → H ′ | существенно ограничен-ный морфизм измеримых гильбертовых расслоений над (X;�). То-гда для любого u ∈ L 2(X;H ) сечение Tu лежит в L 2(X;H ′). Какследствие, определен оператор —T : `2(X;H )→ `2(X;H ′), переводя-щий класс эквивалентности сечения u в класс эквивалентности сече-ния Tu. Оператор —T ограничен, и ‖ —T‖6 ess sup

�∈X‖T (�)‖.

Доказательство. Положим C = ess sup�∈X

‖T (�)‖. Тогда для любого

u ∈L 2(X;H ) мы имеем ‖T (�)u(�)‖2 6 C2‖u(�)‖2 для почти всех � ∈X,так что Tu ∈L 2(X;H ′). Интегрируя последнее неравенство, получаем‖Tu‖2 6 C2‖u‖2, как и требовалось.

Упражнение 10.8. Покажите, что на самом деле ‖ —T‖= ess sup�∈X

‖T (�)‖.

Таким образом, мы получаем функтор из категории измеримыхгильбертовых расслоений и существенно ограниченных морфизмовв категорию гильбертовых пространств и ограниченных операторов.

Определение 10.7. Оператор —T , построенный в предложении 10.1,называется прямым интегралом семейства операторов T={T (�) : �∈X}


и обозначаетсяZ ⊕

XT (�) d�(�). Операторы из `(X;H ) в `(X;H ′), име-

ющие указанный вид, называются разложимыми (по фон Нойманну).

Пример 10.9. В ситуации, описанной в примере 10.5, мы имеем—T = _⊕

16k6nT (k). Таким образом, в «дискретном» случае, когда (X;�)|

это счетное или конечное множество со «считающей» мерой, прямойинтеграл| это то же самое, что гильбертова прямая сумма (см. пре-дыдущую главу).

Следующий пример, как мы вскоре увидим, является в определенномсмысле «модельным».

Пример 10.10. Пусть H |измеримое гильбертово расслоение над(X;�). Каждая существенно ограниченная измеримая функция f : X→Cзадает оператор

—Df =∫ ⊕

X

f(�)1H(�) d�(�);

действующий в пространстве H =Z ⊕

XH(�) d�(�). Этот оператор ассо-

циирован с диагональным морфизмом Df (см. пример 10.4). Операто-ры в H, представимые в указанном виде, называются диагонализиру-емыми.

Пример 10.11. Если в предыдущем примере взять в качестве (X;�)множество N со считающей мерой и положить H(n) = C для всех n,то получится наш старый знакомый | диагональный оператор в `2

(см. пример 3.1). Если же (X;�) произвольно, а H |постоянное рас-слоение со слоем C, то —Df |это оператор умножения Mf : L2(X;�)→→ L2(X;�) (см. пример 3.2).

Легко видеть, что оператор —Df зависит только от класса �-экви-валентности функции f , т. е. от соответствующего элемента L∞(X;�).Кроме того, диагонализируемые операторы обладают следующими оче-видными свойствами:

1) —D1 = 1;2) —D�f+�g = � —Df + � —Dg (f; g ∈ L∞(X;�), �; � ∈ C);3) —Dfg = —Df

—Dg (f; g ∈ L∞(X;�));4) —D —f = —D∗

f (f ∈ L∞(X;�)).Иными словами, справедлив следующий результат.

Предложение 10.2. Отображение

L∞(X;�)→B

(∫ ⊕

X

H(�) d�(�)); f 7→ —Df ; (10.5)


является унитальным ∗-гомоморфизмом. Таким образом, гильбертово

пространствоZ ⊕

XH(�) d�(�) становится левым унитальным гильбер-

товым L∞(X;�)-модулем.

Гильбертов модуль, описанный в предыдущем предложении, явля-ется в определенном смысле «модельным примером» гильбертова моду-ля над алгеброй L∞(X;�). Мы не будем строго формулировать и до-казывать соответствующее утверждение, поскольку алгебра L∞(X;�)играет для нас скорее вспомогательную роль. Напомним, что основнойалгеброй, представления которой ( = гильбертовы модули над кото-рой) нас интересуют, является алгебра C(X) непрерывных функций накомпакте X (см. теорему 8.4).

Если X |компактное хаусдорфово топологическое пространство,а �| регулярная положительная борелевская мера на X, то алге-бра C(X) канонически отображается в L∞(X;�), так что каждыйгильбертов L∞(X;�)-модуль может рассматриваться и как гильбертовC(X)-модуль (см. предыдущую главу). Поэтому из предложения 10.2вытекает такой результат.

Следствие 10.1. Пусть X|компактное хаусдорфово топологиче-ское пространство, �|регулярная положительная борелевская мерана X, H = ({H(�) : � ∈ X};F )|измеримое гильбертово расслоениенад (X;Bor(X); �). Тогда отображение (10.5) превращает гильбер-

тово пространствоZ ⊕

XH(�) d�(�) в левый унитальный гильбертов

C(X)-модуль.

Упражнение 10.9. Докажите, что если расслоение H приведенное,

то � является скалярной спектральной мерой дляZ ⊕

XH(�) d�(�).

§ 10.2. Разложение гильбертова C(X)-модуляв прямой интеграл

Наша следующая цель| показать, что любой унитальный сепара-бельный гильбертов C(X)-модуль имеет вид `2(X;H ) для некоторогоизмеримого гильбертова расслоения H над X (см. следствие 10.1). Этои есть та самая «геометрическая модель» гильбертова C(X)-модуля,о которой упоминалось в начале главы.

Теорема 10.3. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство, H|унитальный сепарабельный гильбертов C(X)-мо-дуль, � ∈ M(X)| скалярная спектральная мера этого модуля. То-

§ 10.2. Разложение гильбертова C(X)-модуля в прямой интеграл 161

гда существует приведенное измеримое гильбертово расслоение H == ({H(�) : � ∈X};F ) над (X;Bor(X); �), для которого имеет местоизоморфизм

H ∼=∫ ⊕

X

H(�) d�(�) в C(X)-Hmod1:

Прежде чем доказывать теорему, договоримся о терминологии.Пусть H |измеримое гильбертово расслоение над произвольным про-странством с мерой (X;A ; �), H = `2(X;H ) | его прямой интеграл,M ⊂ L 2(X;H ) | некоторое множество квадратично интегрируемыхсечений. Рассмотрим подмодуль

HM ={ n∑i=1

ai · ui : ai ∈ C(X); ui ∈M; n ∈ N}⊂H;

ясно, что это наименьший подмодуль в H, содержащий классы эквива-лентности всех сечений из M . Мы будем говорить, что подмодуль HM

порожден семейством сечений M .

Лемма 10.2. Пусть M = {ui : i ∈ I} ⊂ L 2(X;H ) | конечное илисчетное семейство сечений, HM ⊂ `2(X;H )|порожденный этим се-мейством подмодуль. Предположим, что для почти всех � ∈ X под-пространство span{ui(�) : i ∈ I} плотно в H(�). Тогда подмодуль HM

плотен в `2(X;H ).

Доказательство. Пусть v ∈H⊥M . Тогда для любых i ∈ I и f ∈ C(X)

мы имеем

0 = 〈fui; v〉=∫X

f(�)〈ui(�); v(�)〉 d�(�): (10.6)

Определим функцию �i : X → C и комплексную борелевскую меру �iна X формулами �i(�) = 〈ui(�); v(�)〉 и �i = �i · �. Поскольку мера �регулярна, а мера �i абсолютно непрерывна относительно нее, ме-ра �i также регулярна (см. теорему 9.7 (3)). Продолжая цепочку ра-венств (10.6), мы видим, что

ZXf(�) d�i(�) = 0 для любой функции

f ∈ C(X). Следовательно, �i = 0, т. е. �i = 0 �-п. в. Это, в свою очередь,означает, что ui(�) ⊥ v(�) �-п. в. Поскольку это так для любого i ∈ I,а множество I не более чем счетно, мы заключаем, что v = 0 �-п. в.,т. е. что H⊥

M = 0, как и требовалось.

Доказательство теоремы. Представим H в виде гильбертовой сум-мы циклических модулей: H = _⊕

nHn. Пусть xn ∈ Hn | циклический

вектор, �n = �xn | соответствующая мера. Поскольку �n � �, суще-ствует борелевская �-интегрируемая функция �n > 0, удовлетворяю-


щая условию �n = �n · �. Положим X ′n = {� ∈ X : �n(�) 6= 0} и введем

функцию кратности m : X → N, полагая m(�) = Card{n ∈ N : � ∈X ′n}.

Наконец, для каждого p ∈ N положим Xp = {� ∈ X : m(�) = p}. Тогда,очевидно, X =

⊔p∈N

Xp.

Упражнение 10.10. Докажите, что множества Xp борелевские.

Теперь построим искомое гильбертово расслоение. Зафиксируембесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство K∞ с ор-тонормированным базисом {en}n∈N, для каждого n ∈ N положим Kn == span{e1; : : : ; en}; пусть также K0 = 0. Для каждого � ∈ X положимH(�) =Km(�) и обозначим через H соответствующее локально посто-янное гильбертово расслоение на X (см. пример 10.3); таким образом,на каждом множестве Xp (p ∈ N) расслоение H постоянно и имеетслой Kp. Отметим, что H | приведенное расслоение; в самом деле,из равенства �n(X0) = 0, справедливого для всех n ∈ N, легко следует(объясните как), что �(X0) = 0. Рассмотрим прямой интеграл

K =∫ ⊕

X

H(�) d�(�) =

= {u ∈ L2K∞(X;�) : u(�) ∈Kp для почти всех � ∈Xp; ∀p ∈ N}:

(см. теорему 10.2). Наша задача|построить изометрический изомор-физм H и K как C(X)-модулей.

Для того чтобы определить морфизм из H в K, достаточно задатьего на каждом прямом слагаемом Hn; далее, из цикличности моду-лей Hn следует, что любой морфизм из Hn однозначно определен своимзначением на циклическом векторе xn. Таким образом, для каждого nмы должны указать некий вектор un ∈ K, а потом отправить в не-го xn. При этом мы должны обеспечить попарную ортогональностьвекторов un. Сделать это можно следующим образом.

Зафиксируем n ∈ N и для каждого � ∈X ′n положим

q(n; �) = Card{k ∈ N : k 6 n; � ∈X ′k}:

Очевидно, q(n; �) 6 m(�). Определим функцию un ∈ L2K∞

(X;�) фор-мулой

un(�) =

{√�n(�)eq(n;�); � ∈X ′

n;

0; � =∈X ′n:

Из неравенства q(n; �)6m(�) = dimH(�) следует, что un(�) ∈H(�) длявсех � ∈X, т. е. функция un (точнее, ее класс эквивалентности) принад-лежит K.

§ 10.2. Разложение гильбертова C(X)-модуля в прямой интеграл 163

Лемма 10.3. Для каждого n ∈ N существует единственный мор-физм гильбертовых C(X)-модулей 'n : Hn → K, удовлетворяющийусловию '(xn) = un. Этот морфизм изометричен.

Доказательство. Единственность морфизма 'n следует из того,что xn|циклический вектор. Для доказательства существования за-метим, что для любой функции f ∈ C(X) справедливы равенства

‖f · xn‖2Hn =∫X

|f(�)|2 d�n(�) =∫X

|f(�)|2�n(�) d�(�) =

=∫X

|f(�)|2‖un(�)‖2 d�(�) =∫X

‖(f · un)(�)‖2K(�)d�(�) = ‖f · un‖2K :

Отсюда следует, что отображение C(X)xn → K, f · xn 7→ f · un, кор-ректно определено и изометрично. Очевидно, оно также является мор-физмом C(X)-модулей. Поскольку подпространство C(X)xn плотнов Hn, построенный морфизм однозначно продолжается на весь мо-дуль Hn. Дальнейшее очевидно.

Лемма 10.4. При i 6= j выполняется условие Im'i ⊥ Im'j.

Доказательство. Пусть для определенности i < j. Нам достаточнодоказать (объясните почему), что ui(�) ⊥ uj(�) для почти всех � ∈X.Если � ∈ X ′

i ∩ X ′j , то из условия i < j следует, что q(i; �) < q(j; �), и,

значит, ui(�)⊥ uj(�). А для всех остальных � мы имеем либо ui(�) = 0,либо uj(�) = 0. Тем самым лемма доказана.

Лемма 10.5. Подмодуль∑jIm'j плотен в K.

Доказательство. Указанный подмодуль порожден семейством се-чений {ui}. Поэтому с учетом леммы 10.2 нам достаточно проверить,что для любого � ∈ X подпространство K� = span{ui(�) : i ∈ N} плот-но в H(�). Возьмем то единственное p ∈ N, для которого � ∈ Xp;пусть для определенности p <∞. Тогда существует единственный на-бор натуральных чисел n1 < n2 < : : : < np, удовлетворяющий условиям� ∈X ′

n1 ∩ : : : ∩X′np и � =∈X

′k при k =∈ {n1; : : : ; np}. Из определения сече-

ний ui следует, что

un1(�) = �n1(�)e1; un2(�) = �n2(�)e2; : : : ; unp(�) = �np(�)ep;

и, кроме того, �nj (�) 6= 0 для всех j = 1; : : : ; p. Отсюда следует, чтоe1; : : : ; ep ∈K�, т. е. K� =H(�). Если же p=∞, то, применяя аналогич-ные рассуждения (с той лишь разницей, что набор n1 < n2 < : : : будетбесконечным), мы видим, что en ∈K� для всех n ∈ N, т. е. K� плотнов H(�). Тем самым лемма доказана.


Для завершения доказательства теоремы остается рассмотреть тотединственный морфизм ' :

⊕nHn → K, у которого '|Hn = 'n для

всех n. Из трех предыдущих лемм следует, что морфизм ' изометричени имеет плотный образ. Следовательно, он единственным образом про-должается до изометрического изоморфизма —' : _⊕

nHn = H →K. Тео-

рема доказана.

В терминах операторов доказанная теорема приобретает такой вид.

Теорема 10.4. Пусть H | сепарабельное гильбертово простран-ство, T ∈ B(H)| нормальный оператор, �| его скалярная спек-тральная мера. Тогда существует такое измеримое приведенное гиль-бертово расслоение H =({H(�) : �∈�(T )};F ) над (�(T );Bor(�(T )); �),

что оператор T унитарно эквивалентен операторуZ ⊕

X�1H(�) d�(�),

действующему вZ ⊕

XH(�) d�(�).

§ 10.3. Теорема о классификации

Как уже упоминалось в начале главы, теория кратности позволяетдать полную классификацию нормальных операторов в сепарабельныхгильбертовых пространствах с точностью до унитарной эквивалентно-сти. Для этого нам понадобится утверждение, обратное к лемме 10.2.

Лемма 10.6. Пусть H | измеримое гильбертово расслоение надпространством с мерой (X;A ; �), H = `2(X;H )|его прямой инте-грал, M ⊂L 2(X;H )|некоторое множество квадратично интегри-руемых сечений, HM ⊂H|подмодуль, порожденный множеством M .Предположим, что подмодуль HM плотен в H. Тогда подпростран-ство span{u(�) : u ∈M} плотно в H(�) для почти всех � ∈X.

Доказательство. Пусть {un}n∈N ⊂F |счетное семейство измери-мых сечений, удовлетворяющее условию (3) определения 10.1. Заменяяпри необходимости каждое un на u′n(�) = un(�)=‖un(�)‖ (для тех �,где un(�) 6= 0), мы можем считать, что сечения un квадратично ин-тегрируемы. Для каждого � ∈ X положим H�

M = span{u(�) : u ∈ M}и предположим, что заключение леммы неверно, т. е. что H�

M 6= H(�)на множестве положительной меры. Для каждого n ∈ N положимXn = {� ∈X : un(�) =∈H�

M}. Из сделанного предположения следует, что�(Xn)> 0 для некоторого n. Зафиксируем такое n и рассмотрим функ-цию dn : X → [0;∞), dn(�) = �(un(�); H�

M ). Мы имеем dn(�)> 0 для лю-бого � ∈Xn; следовательно, существуют такое " > 0 и такое множество

§ 10.3. Теорема о классификации 165

Y ⊂Xn, что �(Y ) > 0 и dn(�) > " для любого � ∈ Y . Тогда для любогоv ∈HM справедлива оценка

‖v − un‖2 =∫X

‖v(�)− un(�)‖2 d�(�)>∫Y

d2n(�) d�(�)> "2�(Y ):

Следовательно, un =∈HM , а это противоречит условию. Тем самым лем-ма доказана.

Теорема 10.5. Пусть X|компактное хаусдорфово топологическоепространство, �; �′ ∈ M(X)| неотрицательные меры, H и H ′ |приведенные измеримые гильбертовы расслоения над (X;Bor(X); �)и (X;Bor(X); �′) соответственно, H = `(X;H ) и H ′ = `(X;H ′)|их прямые интегралы. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

(1) H ∼=H ′ в C(X)-Hmod1;(2) �∼ �′, и dimH(�) = dimH ′(�) �-п. в.

Доказательство. (2) ⇒ (1). Представим H и H ′ так, как это ука-

зано в теореме 10.2, и положим � =d�

d�′и �′ =

d�′

d�. Легко убедить-

ся (убедитесь), что ��′ = 1 почти всюду. Далее, как и в доказатель-стве леммы 10.3, проверяется, что оператор T : H →H ′, действующийпо формуле (Tu)(�) =

√�(�)u(�), корректно определен, изометричен

и является морфизмом гильбертовых C(X)-модулей. С другой стороны,оператор S : H ′ → H, действующий по формуле (Su)(�) =

√�′(�)u(�),

является, очевидно, обратным к T . Следовательно, T | изоморфизмв C(X)-Hmod1.

(1) ⇒ (2). Эквивалентность мер � и �′ следует из упражнения 10.9.Положим

m(�) = dimH(�); m′(�) = dimH ′(�) и Z = {� ∈X : m(�) 6=m′(�)}:

Допустим, что �(Z) > 0. Тогда существует борелевское подмножествоY ⊂ Z, для которого �(Y )> 0 и на котором функции m и m′ постоян-ны. Из того, что H и H ′ изоморфны в C(X)-Hmod1, очевидным обра-зом следует, что их замкнутые подмодули �YH и �YH

′ изоморфныв C(X)-Hmod1, или, что эквивалентно, в C(Y )-Hmod1. Поэтому в даль-нейшем мы, не ограничивая общности, можем считать, что Y =X.

Пусть для определенности m(�) = p < q =m′(�) для любого � ∈ X,и пусть ' : H → H ′ | изоморфизм в C(X)-Hmod1. С учетом теоре-мы 10.2 мы можем считать, что H = L2

Hp(X;�) и H ′ = L2

Hq(X;�′), где

Hp иHq|гильбертовы пространства размерностей p и q соответствен-но. Возьмем ортонормированный базис e1; : : : ; ep в Hp и для каждогоk = 1; : : : ; p рассмотрим постоянную функцию —ek : X →Hp, —ek(�) = ek.


Из леммы 10.2 следует, что подмодуль вH, порожденный —e1; : : : ; —ep, пло-тен в H. Для каждого k = 1; : : : ; p выберем функцию vk : X →Hq, классэквивалентности которой есть '(—ek). Из того, что '| изоморфизм,легко следует, что v1; : : : ; vp порождают плотный подмодуль в H ′. Нотогда из леммы 10.6 следует, что span{v1(�); : : : ; vp(�)}=Hq для почтивсех � ∈X, а это невозможно ввиду условия p < q. Тем самым теоремадоказана.

Объединяя теоремы 10.3 и 10.5, мы получаем следующий результат,который, по-видимому, представляет собой наиболее полную (по срав-нению с ранее обсуждавшимися) формулировку спектральной теоремы.

Теорема 10.6 (спектральная теорема). Пусть X|компактное хаус-дорфово топологическое пространство. Тогда справедливы следую-щие утверждения.

I. Для любого унитального сепарабельного гильбертова C(X)-мо-дуля H существуют такая неотрицательная мера � ∈M(X) и такоеприведенное измеримое гильбертово расслоение H над (X;Bor(X); �),что H ∼= `2(X;H ) в C(X)-Hmod1. При этом � является скалярнойспектральной мерой для H.

II. Пусть H и H ′|унитальные сепарабельные гильбертовы модулинад C(X), � и �′|соответствующие меры, H и H ′|соответству-ющие приведенные измеримые гильбертовы расслоения. Тогда следую-щие утверждения эквивалентны:

(1) H ∼=H ′ в C(X)-Hmod1;(2) �∼ �′ и dimH(�) = dimH ′(�) �-п. в.

Теорема 10.6 позволяет дать следующее определение.

Определение 10.8. Пусть H|сепарабельный унитальный гильбер-тов C(X)-модуль, �|его скалярная спектральная мера, и пусть H == ({H(�) : � ∈ X};F ) | приведенное измеримое гильбертово расслое-ние, удовлетворяющее условию H ∼= `2(X;H ) (см. п. I теоремы 10.6).Борелевская функция mH : X → N называется функцией кратностимодуля H, если mH(�) = dimH(�) �-п. в. Функцией кратности mT

нормального оператора T ∈B(H) в сепарабельном гильбертовом про-странстве H назовем функцию кратности пространства H как гиль-бертова C(�(T ))-модуля.

Из теоремы 10.6 следует, что функция кратности корректно опреде-лена и ее класс �-эквивалентности однозначно определен классом изо-морфизма модуля H.


Таким образом, теорема 10.6 дает полную классификацию сепара-бельных унитальных гильбертовых C(X)-модулей с точностью до изо-метрического изоморфизма. При этом фактически можно обойтись безиспользования измеримых расслоений. Чтобы увидеть это более от-четливо, введем некоторые обозначения. Если H | гильбертово про-странство, T ∈B(H)| ограниченный оператор, то для каждого p ∈ Nчерез pH (соответственно pT ) будет обозначаться гильбертова прямаясумма p экземпляров пространства H (соответственно оператора T ).

Упражнение 10.11. Пусть p ∈ N, Hp | сепарабельное гильбертовопространство размерности p, � ∈M(X) | неотрицательная мера. По-кажите, что гильбертовы C(X)-модули L2

Hp(X;�) и pL2(X;�) изоме-

трически изоморфны.

Теперь рассмотрим множество всех пар (�;m), где � ∈M(X)|нео-трицательная мера и m : X → N | борелевская функция. Пару (�;m)будем называть приведенной, если m(�) > 0 �-п. в. Две приведенныепары (�;m) и (�′;m′) будем называть эквивалентными, если � ∼ �′

и m(�) = m′(�) �-п. в. Для заданной борелевской функции m : X → Nи каждого p ∈ N положим Xm

p = {� ∈ X : m(�) = p}. Наконец, опреде-лим меру �p ∈M(X) формулой �p(B) = �(B ∩Xp).

Теорема 10.7 (о классификации). Существуют биекции множеств{классы изометрического изоморфизма

сепарабельных унитальныхгильбертовых C(X)-модулей

}�

�

{классы эквивалентности приведенных пар (�;m), где

� ∈M(X)|неотрицательная мера,

m : X → N|борелевская функция

}:

Отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждомумодулю его скалярную спектральную меру и функцию кратности.Отображение, действующее справа налево, сопоставляет паре (�;m)гильбертов C(X)-модуль

_⊕p∈N

pL2(X;�p)∼=_⊕

p∈N

pL2(Xmp ; �):

Доказательство. Достаточно объединить теорему 10.6, теорему10.2 (см. также пример 10.8) и упражнение 10.11.

Для полноты картины сформулируем аналоги теорем 10.6 и 10.7в терминах операторов. В дальнейшем символ ∼= в применении к опе-раторам будет обозначать унитарную эквивалентность.


Теорема 10.8 (спектральная теорема). Пусть H | сепарабельноегильбертово пространство. Тогда справедливы следующие утвержде-ния.

I. Для любого нормального оператора T ∈B(H) существуют та-кая неотрицательная мера � ∈M(�(T )) и такое приведенное изме-римое гильбертово расслоение H = {H(�) : � ∈ �(T )} над простран-ством с мерой (�(T );Bor(�(T )); �), что

T ∼=∫ ⊕

�(T )

�1H(�) d�(�):

При этом � является скалярной спектральной мерой для T .II. Пусть T ∈B(H) и T ′ ∈B(H ′)|нормальные операторы в сепа-

рабельных гильбертовых пространствах H и H ′ соответственно, �и �′|их скалярные спектральные меры, H и H ′|соответствую-щие приведенные измеримые гильбертовы расслоения. Тогда следую-щие утверждения эквивалентны:

(1) T и T ′ унитарно эквивалентны;(2) �(T ) = �(T ′), �∼ �′ и dimH(�) = dimH ′(�) �-п. в.

Таким образом, если �T | скалярная спектральная мера операто-ра T , аmT |его функция кратности, то тройка (�(T ); �T ;mT ) являетсяполным набором унитарных инвариантов оператора T . Это и есть обе-щанное обобщение классической теоремы из линейной алгебры (10.3) набесконечномерный случай. Соответствующая классификационная тео-рема для операторов выглядит следующим образом.

Теорема 10.9 (о классификации). Существуют биекции множеств{ классы унитарной эквивалентностинормальных операторов

в сепарабельных гильбертовых пространствах

}�

�

тройки вида (K;�;m):K ⊂ C|компакт,

(�;m)|класс эквивалентностиприведенной пары (�;m), где

� ∈M(K)|такая неотрицательнаямера, что supp�=K,

m : K→ N|борелевская функция

:

Отображение, действующее слева направо, сопоставляет каждо-му оператору его спектр, скалярную спектральную меру и функциюкратности. Отображение, действующее справа налево, сопоставля-ет тройке (K;�;m) оператор _⊕

p∈NpM

�pt . Здесь через M

�pt обозначен


оператор в гильбертовом пространстве L2(K;�p) ∼= L2(Kmp ; �), дей-

ствующий по формуле f 7→ (z 7→ zf(z)).

Доказательство. Утверждение следует из теорем 10.7 и 10.8 и уп-ражнения 9.24.

Замечание 10.4. Представление оператора T в виде _⊕p∈N

pM�pt , ука-

занное в последней теореме,| это и есть то «упорядоченное разложе-ние» оператора в сумму операторов умножения, которое упоминалосьв замечании 9.6.

Чтобы лучше понять, как «работает» теорема о классификации и ка-кая от нее польза, сделайте следующие упражнения.

Упражнение 10.12. Для следующих операторов S∈B(H) и T ∈B(K)выясните, являются ли они унитарно эквивалентными. В тех случаях,когда это так, постройте унитарную эквивалентность в явном виде.

1) H =K = L2[0; 1], (Sf)(t) = tf(t), (Tf)(t) = t2f(t);2) H = L2[0; 1], K = L2[−1; 1], (Sf)(t) = tf(t), (Tf)(t) = t2f(t);

3) H = L2[−�

2;�

2

], K = L2(R), (Sf)(t) = tf(t), (Tf)(t) = arctg t · f(t).

Упражнение 10.13. Найдите скалярную спектральную меру и функ-цию кратности диагонального оператора в `2.

Упражнение 10.14. Найдите скалярную спектральную меру и функ-цию кратности операторов сдвига в L2(T) и L2(R).

Упражнение 10.15. Пусть T ∈B(H)|нормальный оператор в сепа-рабельном гильбертовом пространствеH, �|его скалярная спектраль-ная мера, m|функция кратности. Докажите, что оператор T является∗-циклическим тогда и только тогда, когда m= 1 �-п. в.

Кстати, полезно сопоставить результат предыдущих трех упражне-ний с упражнениями 9.6 и 9.7; см. также замечание 9.3.

Упражнение 10.16. Пусть T ∈B(H)|нормальный оператор в сепа-рабельном гильбертовом пространствеH, �|его скалярная спектраль-ная мера, m|функция кратности. Докажите, что следующие утвер-ждения эквивалентны:

1) m=∞ �-п. в.;2) T ∼= T ⊕ T ;3) T ∼= S ⊕ S ⊕ S ⊕ : : : для некоторого ∗-циклического оператора

S ∈B(H ′).


Упражнение 10.17. Пусть X | компактное хаусдорфово топологи-ческое пространство, �1; �2 ∈M(X)|неотрицательные меры, которыевзаимно сингулярны, т. е. существует такое разбиениеX =X1 tX2 про-странства X на два борелевских подмножества такое, что �1(X2) = 0и �2(X1) = 0. Рассмотрим гильбертовы C(X)-модули Hi = L2(X;�i)(i= 1; 2). Опишите все морфизмы из H1 в H2.

Иногда унитарно эквивалентные операторы выглядят на первыйвзгляд совсем непохожими друг на друга. Чтобы в этом убедиться,сделайте следующее упражнение.

Упражнение 10.18∗. Пусть I = [0; 1] × [0; 1] | квадрат с мерой Ле-бега, H = L2(I), K = L2(R). Рассмотрим операторы S ∈ B(H) и T ∈∈B(K), действующие по формулам (Sf)(x; y) = xy f(x; y) и (Tf)(x) =

=1

2(sinx+ 1) f(x). Докажите, что S и T унитарно эквивалентны.

Замечание 10.5. Из предыдущих упражнений напрашивается такойвывод: функция кратности оператора умножения Mf ∈B(L2(X;�)) насущественно ограниченную измеримую функцию f : X → C сопоставля-ет каждому � ∈ �(Mf ) число точек в прообразе f−1(�). Строго говоря,это не совсем так: нужно брать не прообраз, а так называемый су-щественный прообраз. О том, что это такое, можно прочитать в ста-тье [33].


Геометрическая модель гильбертова C(X)-модуля, обсуждавшаясяв этой главе, описана в ряде книг по операторным алгебрам (на русскомязыке см. [2]), однако изложение обычно ведется в терминах алгебр фонНойманна. Для случая одного самосопряженного оператора см. такжеклассическую монографию И.М.Гельфанда и Н.Я.Виленкина [6]. Под-ход, принятый в данных лекциях, наиболее близко соответствует кни-ге [39]. Используемая нами терминология заимствована из несколькихнедавних статей (по-видимому, термин «измеримое гильбертово рас-слоение» постепенно вытесняет собой термин «измеримое поле гиль-бертовых пространств»). Теорема о классификации самосопряженныхоператоров доказана в учебниках [30, 35] без использования языка гиль-бертовых расслоений (см. теорему 10.9). По поводу несколько иногоподхода (в духе теории меры) см. [33]. Приведенное нами доказатель-ство теоремы о классификации несколько отличается от традиционныхи представляет собой попытку их «геометризации».

В несепарабельном случае теория кратности выглядит заметносложнее и описана в книге П.Халмоша [40].

ЛИТЕРАТУРА

[1] Атья М. Лекции по K-теории.|М.: Мир, 1967.[2] Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая ста-

тистическая механика.|М.: Мир, 1982.[3] Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.|

М.: Мир, 1972.[4] Бурбаки Н. Спектральная теория.|М.: Мир, 1972.[5] Гамелин Т. Равномерные алгебры.|М.: Мир, 1973.[6] Гельфанд И.М., Виленкин Н.Я. Некоторые применения гармониче-

ского анализа. Оснащенные гильбертовы пространства.|М.: Го-сударственное издательство физико-математической литературы,1961.| (Серия «Обобщенные функции», вып. 4).

[7] Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. I.Введение в теорию когомологий и производные категории.|М.:Наука, 1988.

[8] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.|М.:ИЛ, 1963.

[9] Данфорд Н.,Шварц Дж. Линейные операторы. I. Общая теория.|М.: ИЛ, 1962.

[10] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. II. Спектральнаятеория.|М.: Мир, 1966.

[11] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. III. Спектральныеоператоры.|М.: Мир, 1974.

[12] Диксмье Ж. C∗-алгебры и их представления.|М.: Наука, 1974.[13] Келли Дж. Общая топология.|М.: Наука, 1981.[14] Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функциональ-

ного анализа.|М.: Наука, 1988.[15] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функ-

ционального анализа.|М.: Наука, 1976.[16] Ламбек И. Кольца и модули.|М.: Мир, 1971.[17] Маклейн С. Категории для работающего математика.|М.: Физ-

матлит, 2004.[18] Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии. I. Аффинные

схемы.|М.: МГУ, 1970.

172 Литература

[19] Мануйлов В.М., Троицкий Е.В. C∗-гильбертовы модули. | М.:Факториал, 2001.

[20] Мёрфи Дж. C∗-алгебры и теория операторов. |М.: Факториал,1997.

[21] Наймарк М.А. Нормированные кольца.|М.: Наука, 1968.

[22] Постников М.М. Основы теории гомотопий.|М.: Наука, 1984.

[23] Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики.1. Функциональный анализ.|М.: Мир, 1977.

[24] Рид М. Алгебраическая геометрия для всех.|М.: Мир, 1991.

[25] Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные простран-ства.|М.: Мир, 1967.

[26] Рудин У. Функциональный анализ.|М.: Мир, 1975.

[27] Соловьев Ю.П., Троицкий Е.В. C∗-алгебры и эллиптические опе-раторы в дифференциальной топологии.|М.: Факториал, 1996.

[28] Халмош П. Гильбертово пространство в задачах.|М.: Мир, 1970.

[29] Хелемский А.Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общаятеория, представления, гомологии.|М.: Наука, 1989.

[30] Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. | М.:МЦНМО, 2004.

[31] Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. I.|М.:Наука, 1975.

[32] Эдвардс Р. Функциональный анализ.|М.: Мир, 1969.

[33] Abrahamse M.B. Multiplication operators. Hilbert space operators //Proc. Conf., Calif. State Univ., Long Beach, Calif., 1977. | Berlin:Springer, 1978.| (Lecture Notes in Math.; V. 693).|P. 17|36.

[34] Connes A. Noncommutative geometry. | San Diego, CA: AcademicPress, 1994.

[35] Conway J. B. A course in Functional Analysis.|New York: Springer,1985.

[36] Douglas R.G., Paulsen V. I. Hilbert modules over function algebras.|Harlow: Longman Scienti˛c & Technical, 1989.| (Longman ResearchNotes; V. 217).

[37] Edwards R. E. Integration and harmonic analysis on compact groups.|London: Cambridge Univ. Press, 1972.

[38] Eilenberg S., MacLane S. General theory of natural equivalences //Trans. Amer. Math. Soc.|1945.|V. 58, no. 2.|P. 231|294.

Литература 173

[39] Guichardet A. Special topics in topological algebras.|New York: Gor-don and Breach, 1968.

[40] Halmos P. Introduction to Hilbert Space and the theory of SpectralMultiplicity.|New York: Chelsea Publishing Company, 1951.

[41] Higson N., Roe J. Introduction to Noncommutative Geometry. ClaySymposium Lectures, 2000. Электронная версия:http://www.math.psu.edu/gfa/ClaySymposium/Overview.html.

[42] Landi G. An introduction to noncommutative spaces and their geome-tries.|Berlin: Springer-Verlag, 1997. Препринт: hep-th/9701078.

[43] Laursen K.B., Neumann M.M. An introduction to local spectral the-ory.|Oxford: Clarendon Press, 2000.

[44] Pisier G. A polynomially bounded operator on Hilbert space which isnot similar to a contraction // J. Amer. Math. Soc.| 1997.|V. 10,no. 2.|P. 351|369.

[45] Taylor J. L. A general framework for a multi-operator functional cal-culus // Adv. Math.|1972.|V. 9.|P. 183|252.

pirkovskii - Спектральная теория

Documents