příklady k přednášce 2 spojité modely - polyx · příklady k přednášce 2 - spojité...
TRANSCRIPT
Příklady k přednášce2 - Spojité modely
Michael ŠebekAutomatické řízení 2020
20.02.2020
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Řešení v časové oblasti
• platí pro D = 0• podobně na výstupu
Řešení stavové rovnice
Michael Šebek 2
( )
0
0
( ) (0) ( )
( ) (0) ( ) ( )
tt t
t
t e e u d
t t u d
τ τ τ
τ τ τ
−= +
= + −
∫∫
A Ax x B
Φ x Φ B
( )
0
0
( ) (0) ( )
( ) (0) ( ) ( )
tt t
t
t e e d
t t d
τ τ τ
τ τ τ
−= +
= + −
∫∫
A Ay C x C Bu
CΦ x CΦ Bu
odezva na počáteční stav
odezva na vstupní signál
Stavová matice přechodu• z řešení pomocí LT plyne
• porovnáním
• prvky jsou součty exponenciál generovaných vlastními čísly A
• příslušné konstanty vypočteme z
• nebo zpětnou LT
• můžeme ji také vypočítat z řady
podobně jako
( ) tt e= AΦ
1( ) ( ) (0)s s −= −x I A x
{ } 1( )( ) st −= −I AΦ
(0) , (0)= =Φ I Φ A
1 adj( )( )
det( )s
ts
−−
− = −
I AΦ
I A
( )( )!
kt tt e t
k= = + + + +A AΦ I A
2
01
! 2!x
k
kx xe xk
∞
=
= = + + +∑
ARI-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Při řešení v časové oblasti najdeme vlastní čísla
• a předpokládáme stavovou matici přechodu ve tvaru
• Konstanty najdeme ze známých vlastností matice
• takže
Řešení stavové rovnice v časové oblasti
Michael Šebek 3ARI-Pr-02-2015
0 1 0 1( ) ( ) ( ), (0 ) , ( ) 1( )
8 6 1 0x t x t u t x u t t−
= + = = − −
( ) 21 2( ) det 6 8 2, 4p s s s s s s= − = + + → = − = −I A
2 4 2 41 2 3 4
2 4 2 45 6 7 8
( )t t t t
t t t t
K e K e K e K et
K e K e K e K e
− − − −
− − − −
+ += + +
Φ
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4 5 6 7 8
(0) 1, 0, 0, 1(0) 2 4 0, 2 4 1, 2 4 8, 2 4 6
K K K K K K K KK K K K K K K K
= ⇒ + = + = + = + == ⇒ − − = − − = − − = − − − = −
Φ IΦ A
2 4 2 4
2 4 2 4
1 12( ) 2 2
4 4 2
t t t t
t t t t
e e e et
e e e e
− − − −
− − − −
− − = − + − +
Φ
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• a odezva na počáteční stav je
• dále a z toho
• Takže celková odezva je
Řešení stavové rovnice v časové oblasti
Michael Šebek 4
2 4
2 4
2( ) (0)
4 4
t t
t t
e et
e e
− −
− −
−= − +
Φ x
( ) ( )
( ) ( )
2 4
2 4
1 1( ) 2 2
2
t t
t t
e et
e e
τ τ
τ ττ
− − − −
− − − −
− − = − +
Φ B
2 4
02 4
1 7 78 4 8( ) ( ) (0) ( ) ( )
7 72 2
t t
t
t t
e et t t u d
e eτ τ τ
− −
− −
+ − = + − =
− +
∫x Φ x Φ B
2 42 2 4 4
0 0
02 42 2 4 4
0 0
1 1 11 18 4 82 2( ) ( )
1 122 2
t t t tt tt
t t t tt t
e ee e d e e dt d
e ee e d e e d
τ τ
τ τ
τ ττ τ τ
τ τ
− −− −
− −− −
− +− − = =
+ −− +
∫ ∫∫
∫ ∫Φ Bu
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Obraz odezvy je celkem
• a časový průběh odezvyje stejný jako v minulém řešení
Řešení Laplaceovou transformací
Michael Šebek 5
0 1 0 1( ) ( ) ( ), (0 ) , ( ) 1( )
8 6 1 0x t x t u t x u t t−
= + = = − −
( ) ( )2 21
2
2 2
6 1 6 11 8 6 8 6 8
8 6 86 86 8 6 8
s ss s s s s ss s
s ss ss s s s
−
+ + − − + + + + − = ⇒ − = = + −+ +
+ + + +
I A I A
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2 221 1
0
22 2
2
1 6 166 8 6 86 8( ) ( ) ( ) ( )
8 76 86 8 6 8
1 7 76 18 4 2 8 42 4
7 772 2 2 42 4
s sss s s s s ss ss s s s
s ss ss s s s s s
s ss s ss s s
ss ss s s
− −
+ + + + + + ++ + = − + − = + =
− − + + + + + +
+ + + − + ++ + = =− − + + ++ +
x I A Bu I A x
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Dále: z rozkladu na parciální zlomky
je zřejmé, že to je obraz stavové matice přechodu
Řešení Laplaceovou transformací
Michael Šebek 6
( )2 21
2 2
6 16 8 6 88
6 8 6 82 1 1 1
2 4 2( 2) 2( 4)4 4 1 2
2 4 2 4
ss s s ss
ss s s s
s s s s
s s s s
−
+ + + + +− =
− + + + +
− − + + + + = − + − + + + + +
I A
>> Fis=inv([s 0;0 s]-A)Fis =
6 + s 1 -8 s ------------8 + 6s + s^2
>> x=Fis*([1;0]+[0;1/s])x =
1 + 6s + s^2 -7s ---------------8s + 6s^2 + s^3
>> x1=partial(x(1))x1 =
-7/8 7/4 1/8----- ----- ---4 + s 2 + s s
>> x2=partial(x(2))x2 =
7/2 -7/2----- -----4 + s 2 + s
>> Fi11=partial(Fis(1,1))Fi11 =
-1 2 ----- -----4 + s 2 + s
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• IO model• Stavový model
• Charakteristický polynom
• a řešení stavových rovnic L-transformací
Příklad: Směrování satelitu
Michael Šebek 7
21 0 0 1 1( ) det det
0 1 0 0 0s
p s s ss
− = − = =
[ ]
0 1 00 0 11 0
u
y
= +
=
x x
x
, ,c
du F yJ
ϕϕ
ω
= = =
x
CJ F dϕ = , cd FJ
ϕ ω ω= =
[ ]
2 2
2 2
1 11 1( ) ( ) (0 )0
1 1( ) ( ) 1 (0 )
ss u s
s ss s
y s u s ss s
−
−
= +
= +
x x
x
1
2
1 110 0s s
s ss
−− =
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Stavová matice přechodu
• Řešení v časové oblasti pro
Příklad: Směrování satelitu
Michael Šebek 8
11 12
21 22
(0)k k
Ik k
Φ = =
11 12
21 22
(0)l l
Al l
Φ = =
211 1 1
( )0 1 0 1
t s st
s− Φ = =
1
( )0 1
tt
ττ
− Φ − =
2det( )sI A s− = 11 11 12 12
21 21 22 22
( )k l t k l t
tk l t k l t
+ + Φ = + +
0
1, ( ) 1( )
0x u t t = =
2
0
0
0
( )1( ) (0) , ( ) ( ) 20
t
t
t
tt dt x t Bu d
d t
τ ττ τ τ
τ
− Φ = Φ − = =
∫∫
∫
2
2
1( ) 2
( ) 12
tx t
t
ty t
+ =
= +
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Blokově a rovnicemi
• stavový model
• výpočet řešení (Laplace)
Příklad: Divný systém
Michael Šebek 9
[ ]1 0 1, 1 1
0 1 0u y
− = + =
x x x
1x
2x
u
y 1 1
2 2
x x ux x= − +=
1 11 0 1 1 0( ) ( ) (0 )
0 1 0 0 1
1 1 01 1( ) (0 )0 0 1( 1)( 1) ( 1)( 1)
s ss u s
s s
s su s
ss s s s
− −−
−
+ + = + − −
− − = + ++ − + −
x x
x
ARI-Pr-02-2015
1x
2x
u
y
1x
2x
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• a výstup je
přenos odezva na počáteční stav
• charakteristický polynom vs. jmenovatel přenosu:
• Odezva na skok silně závisí na počátečním stavunulový a nenulový
počáteční stav
Příklad: Divný systém
Michael Šebek 10
[ ]
1 2
1 1( ) ( ) 1 1 (0 )( 1)( 1) ( 1)( 1)
1 1 1( ) (0 ) (0 )( 1) ( 1) ( 1)
sy s u s s ss s s s
u s x xs s s
−
− −
−= + − +
+ − + −
= + ++ + −
x
1
2
(0 ) 0(0 ) 0
xx
−
−
==
1
2
(0 ) 0(0 ) 0.1
xx
−
−
==
( ) ( 1) ( 1)p s s s= + − ( ) ( 1)d s s= +
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Kaskáda (mód je odblokován vstupní nulou)
• přenos je 1. řádu a stabilní
• ale úplný stavový popis je 2. řádu: pro
• charakteristický polynom je
Příklad: Jiný divný systém
Michael Šebek 11
yvu1x 1 0x =
1 1x =1 1 1( )1 1 1
sG ss s s−
= =+ − +
1 2,x y x u v= = −
[ ] [ ]
1 1
2 2
1
2
1 1 10 1 2
1 0 1
x xu
x x
xy u
x
− = + −
= +
( ) det( ) ( 1)( 1)p s sI A s s= − = + −
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
2 2
2 3 2 3
( ) 2 7 2 7 1( ) 24 26 9 24 26 9 1
y s s s s su s s s s s s s
+ + + += =
+ + + + + +
• Kanonická forma řiditelnosti (někdy také forma fázových proměnných)
• jiná varianta kanonická formy řiditelnosti - Controller Canonical Form
Příklad: Kanonické formy řiditelnosti
Michael Šebek 12
[ ]
0 1 0 00 0 1 024 26 9 1
2 7 1
x x u
y x
= + − − −
=
u
1s−sx1 x1 x2 x3 y
1s−
1s−
9−
1 2
26−
24−
1
7
u
1s−sx3 x3 x2 x1 y
1s−
1s−
9−
1 2
26−
24−
1
7
2
3 2
( ) 1 7 2( ) 1 9 26 24
Y s s sU s s s s
+ +=
+ + +
[ ]
9 26 24 11 0 0 00 1 0 0
1 7 2
x x u
y x
− − − = +
=
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Kanonická forma pozorovatelnosti - Observer Canonical Form
Příklad: Kanonické formy pozorovatelnosti
Michael Šebek 13
u
1s−sx3 x3 x2 x1 y
1s−
1s−
9−
12
26−
24−
1
72 3
2 3
1 7 2( )
9 26 24( ) 1
Y s s s sU s
s s s
+ +=
+ + +
[ ]
9 1 0 126 0 1 724 0 0 2
1 0 0
x x u
y x
− = +− −
=
[ ]
0 0 24 21 0 26 70 1 9 1
0 0 1
x x u
y x
− = +− −
=
u
1s−sx1 x1 x2 x3 y
1s−
1s−
9−
12
26−
24−
1
7
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
• Můžeme realizovat jako kaskádu (sérii) subsystémů 1. řádu
Příklad: Kaskádní realizace
Michael Šebek 14
2 3
( ) 24 24( )( ) 24 26 9 ( 2)( 3)( 4)
y s F su s s s s s s s
= = =+ + + + + +
1 1 124( 2) ( 3) ( 4)s s s
=+ + +
241
( 2)s +1
( 3)s +1
( 4)s +3 ( )x s 2 ( )x s 1( )x s
( )u s ( )y s
u
1s−
sx3 x3 sx2 x2 sx1 x1 y
1s−
1s−
2− 3− 4−
124 1 1
[ ]
4 1 0 00 3 1 00 0 2 24
1 0 0
x x u
y x
− = +− −
=
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
• Můžeme realizovat jako paralelní spojenísubsystémů 1. řádu
• jsou-li (faktory) póly násobnosti 1, je stavová matice diagonální (viz Jordanův kanonický tvar matice)
Příklad: Paralelní realizace
Michael Šebek 15
2 3
( ) 24 24( )( ) 24 26 9 ( 2)( 3)( 4)
y s F su s s s s s s s
= = =+ + + + + +
12 24 12( 2) ( 3) ( 4)s s s
= − ++ + +
rozklad na parciální zlomky
u
1s−
sx1 x1
sx2 x2
sx3 x3
y
1s−
1s−
2−
3−
4−
1
24−
1
1
12
12
[ ]
2 0 0 120 3 0 240 0 4 12
1 1 1
x x u
y x
− = +− − −
=
3 ( )X s
2 ( )X s
1( )X s12( 2)s +
24( 3)s +
12( 4)s +
1( )x s
3 ( )x s
2 ( )x s
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Přenos
• Můžeme realizovat jako paralelní spojení subsystémů max. 2. řádu
• jsou-li (faktory) póly násobnosti větší než 1, • nemusí být stavová matice diagonální, ale
může být blokově diagonální • Jordanův tvar matice může být složený z bloků větší velikosti než 1
Příklad: Paralelní realizace - vícenásobné póly
Michael Šebek 16
2 2
( ) ( 3) 2 1 1( )( ) ( 1) (s 2) ( 1) ( 1) ( 2)
y s sF su s s s s s
+= = = − +
+ + + + +
2
2( 2)s +
1( 1)s +
1( 2)s +
u
sx3 x3
y
1s−
2−
sx2 x2
1s−
1−
1s−
sx1 x1
1−1
12
−
1
2
1
1
[ ]
1 1 0 00 1 0 20 0 2 1
1 1 2 1
x x u
y x
− = +− −
= −
ARI-Pr-02-2018
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Někdy dány oba modely (ve starých a nových souřadnicích) a hledámePřímo z transformačních vztahů to obvykle vypočítat nejde?
Transformujme tedy tuto složenou matici
a z toho je , pokud inverze existuje
Obdobně ze vztahu (pokud inverze existuje)
Neboť platí , kde obě matice jsou tvaru
Výpočet transformační matice
Michael Šebek 17
T
1 1new old new old new old, ,− −= = =A T A T B T B C C T
( ) ( )
1new new new new new new
11 1 11 1old old oldold old
1 11oldold old old old old
n
n
n
−
−− − −− −
− −−
= =
= =
B A B A B
T B T B T BT A T T A T
T TB A B A B
C
C
-1
new,old
i
i ii
ni i
i
=
=
CC A
C A
O
new old= TO O
1old new
−=T C C
1old new−=T O O
ARI-02-2020
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Ryzí racionální funkci , kde má kořeny reálné , -násobné reálné komplexní a -násobné komplexní
• a tedy polynom má rozklad na kořenové činitele
• nejprve rozložíme na parciální zlomky
• Při zpětné transformaci každý zlomek zpětně transformujeme zvlášť dle vzorců
• Jednotlivým složkám se říká módy
Použití parciálních zlomků při výpočtu odezvy
Michael Šebek 18
( ) ( )22 2 2( )( ( ) )) )( ) ( )j ln
l lkim
j kd s s bs sa sσ σ ωω− + + += +−∏∏ ∏ ∏
1 1 2 22 2 22 2 2
2
2 2
1 2
2( ) (( ) )) (
( ) ( )
(
(( )(
) ))( )
) ( ))
l
j
l
j
l
m jj jm
i
n l n ll l l ln
i
l l l l l
k
j
k
j
l
j
k
k
s b s b s bss s
ss
s s s
n sd s s a
γ δσ ω
ββ
ε ϕε ϕ ε ϕσ ω σ ω σ ω
βα
+ + ++ + +
+ +
+ + + + +
+
++
+
= +
+ +
− − −−
+ ∑
∑ ∑
∑
( )d s
ia jm( ) ( )n s d s ( )d sk k kc jσ ω= − ± l l lc jσ ω= − ±ln
1 ,( )
at
i
es a
→−
11 1 ,( 1)!( )
j
j
m btm
jj
t ems b
−→−−
( )3
2 2 2
2 2 2
2 sin cos(( ) )
2 ( ) sin(( ) )
tkk k k
k k
tkk
k k
e t t ts
s te ts
σ
σ
ωω ω ω
σ ωω σ
ωσ ω
−
−
→ −+ +
+→
+ +
2 2
2 2
sin ,( )
cos ,( )
tkk
k k
tk
k k
e ts
s e ts
σ
σ
ωω
σ ωσ ω
σ ω
−
−
→+ +
+→
+ +
jb
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• obecná odezva
• odezva na jednotkový skok a počáteční stav
Příklad: Odezva na vstup i počáteční stav
Michael Šebek19
[ ] [ ]
1 1
2 2
1 1
2 2
5 0 10 3 0
(0 ) 0,3 1 1 (0 ) 1
x xu
x xx x
y ux x
− = + −
− = + =− − −
det( ) ( 5)( 3)sI A s s− = + +
1 22 3 1( ) ( ) (0 ) (0 )5 5 3
sy s u s x xs s s+
= − − + −+ + +
2 5 3 5 1( )5 3
y ss s s
= + −+ +
volný pád
2 1 1( )5 3
sy ss s s+
= −+ +
5 32 3( )5 5
t ty t e e− −= + −
nucená přirozená
1( )u ss
=
nucenápřirozená
volný pád
na vstup
celková1 2(0 ) 0, (0 ) 1x x− −= = −
t=0:.01:5; nuc=.4*ones(1,length(t));pri=.6*exp(-5*t);vol=-exp(-3*t);plot(t,nuc,t,pri,t,vol,t,nuc+pri,...
t,nuc+pri+vol)ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• pól vstupního signálu generuje nucenou odezvu• pól přenosu generuje přirozenou odezvu• pól charakteristického polynomu
generuje volnou odezvu• reálný pól -a generuje
exponenciální odezvu e-ta
• nuly a póly kombinují vliv módů
Příklad -pokračování
Michael Šebek20
det( ) ( 5)( 3)sI A s s− = + +
25
ss++
13s +
1(0 ) 0x − =
2 (0 ) 1x − = −
( )G s1( )U ss
=
( )Y s
2 5 3 5 1( )5 3
Y ss s s
= + −+ +
5 32 3( )5 5
t ty t e e− −= + −
nucená přirozená volný pád
Im
Re2−
5− 3− 0
15s +
13s +
2s + 1s
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Když nás např. zajímá odezva na skok systému
• můžeme ji jednoduše odhadnout tak, že naznačíme rozklad na parciální zlomky
• zřejmě „vstupní pól“ generuje vynucenou skokovou odezvu a póly přenosu generují jednotlivé exponenciální složky přirozené odezvy
• zpětnou L-transformací dostaneme
• přestože výpočet konstant není složitý, konstanty nás často nezajímají• mnohdy stačí vědět, které složky odezva obsahuje
Příklad: Odhad odezvy z polohy pólů
Michael Šebek21
31 2 4( )( 2) ( 4) ( 5)
KK K Ky ss s s s
= + + ++ + +
( 3)( 2)( 4)( 5)
ss s s
++ + +
1( )u ss
= ( )y s
2 4 51 2 3 4( ) t t ty t K K e K e K e− − −= + + +
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Změna měřítka amplitudy (škálování) zjednodušuje analýzu i návrh • Odhadneme maximální očekávané/povolené
hodnoty změn signálů v pracovním režimu• Vyjdeme z odchylkového modelu (přenosu)
vzniklého třeba lineární aproximací• a velikost každé veličinu „stlačíme pod 1“ vydělením
maximální odhadnutou nebo povolenou odchylkou• musíme škálovat společně s neboť mají
stejné jednotky a jsou vázány • Můžeme použít nebo častěji :
Postup formalizujeme použitím faktorů
a dosazením dostaneme• Někdy k tomu ještě zavedeme škálovanou referenci.
• Pak je a pomocí usilujeme o
Ještě k modelům: změna měřítka amplitudy
Michael Šebek 22
dy G u G d∆ ∆∆ = ∆ + ∆
max max
,u du du d
∆ ∆= =∆ ∆
e r y∆ = ∆ −∆
max max max max, , ,e u d rD e D u D d D r= ∆ = ∆ = ∆ = ∆
maxe∆maxr∆max max max
, ,y r ey r ee e e
∆ ∆ ∆= = =∆ ∆ ∆
1 1 ,e u e d dy D G D u D G D d e y r− −∆ ∆= + = −
y∆ ,e r∆ ∆
1 1 1max r e r er r r D r r D r D D r− − −= ∆ ∆ = ∆ ⇒ = ∆ =
1( )u t ≤1, 1( ) ( )d t r t≤ ≤ 1( )e t ≤ARI-Pr-02-2016
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Čas většinou měříme v sekundách, ale počítání s velmi rychlými nebo pomalými systémy může být špatně podmíněné a numerický výpočet může být chybný
• Je proto užitečné umět změnit jednotku času. Napříkladmezi časem a časem platí vztah kde
• Dopad na derivování je
• a tak se stavová rovnice transformuje na
• Z ní v „měřítku času “ vychází přenos
• Tedy je což odpovídá, neboť proměnná s v LT má rozměr „1/čas“• Dále platí pro časové konstanty
Ještě k modelům: změna časového měřítka
Michael Šebek 23
[s]t [ms]τ ktτ = 1000k =
2 22
2 2, ,( )
dx dx dx d x d xx k x kdt d k d dt dτ τ τ
= = = = =
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t Ax t Bu t x Ax Buk k
τ τ τ= + ⇒ = +
s s kτ=
( ) ( ) ( )1 1 1( )g s s s k k s kτ τ τ τ τ τ− − −= − = − = −I A B I A B I A B
T kTτ=
ARI-Pr-02-2016
τ
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
• Rychlý oscilátor s přirozenou frekvencí (asi 2 kHz) s
• Změníme-li jednotku času ze sekundy na milisekundu ( )• Pak a „rovnice v milisekundách“ je
• Z první rovnice dostaneme přenos, ze druhé
• Z porovnání je zřejmé, že• Změna ve stavovém modelu (pro ) je
Příklad: změna časového měřítka
Michael Šebek 24
2 6( ) 15.000 ( ) 10 ( )t t u tϕ ϕ+ =15.000 rad snω =
1000tτ =2
62
( )( ) 10 dtdϕ τϕτ
= 22
2
( ) 15 ( ) ( )d udϕ τ ϕ τ ττ
+ =
6
2 2
10( ) ( )15.000
y s u ss
=+
2 2
1( ) ( )15
y s u ssττ
=+
1000s sτ=1 2,x xϕ ϕ= =
1 12 2 6
2 2
1 12 3
2 2
( ) ( )0 1 0( )
( ) ( )15 1000 0 10
( ) ( )0 0.001 0( )
( ) ( )15 1000 0 10
x t x tu t
x t x t
x xu
x xτ τ
ττ τ
= + − ×
= + − ×
6
2 2
2 2
10( )15.000
1( )15
g ss
g ssττ
=+
=+
ARI-Pr-02-2015
Automatické řízení - Kybernetika a robotika
Control Systems Toolbox• (lti) ss, tf, zpk• step, impulse, initial, …
Polynomial Tbx: • sdf, (ldf, rdf, mdf), abcd, pol• num, den
Symbolic MathTbx:• symbolické výpočty• laplace, ilaplace
Spojité modely v Matlabu – objekty a funkce
Michael Šebek 25ARI-Pr-02-2015