PLĂCI PLANE ÎN COORDONATE POLARE A. PLĂCI ÎNCĂRCATE AXIAL SIMETRIC

r

p = p r( )

w = w r( )w max Eforturile secţionale:

[ ][ ]LFT

LFLM/

/

Ecuaţia plăcii: a) în funcţie de forţa tăietoare ( )rTT = :

DT

rdrd

rdrd

−=−+ 22

2 1 ϕϕϕ, ( )2

3

112 μ−=

EhD

sau

( )DTr

drd

rdrd

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ1

Forţa tăietoare ( )rT se poate determina secţionând placa cu un cerc de rază r şi exprimând echilibrul pe verticală al uneia din părţile izolate. Integrând de două ori ecuaţia plăcii se obţine:

r drd

zT

Mr

M

Mr

M

Tz

( )rcrcdrTdrr

rD2

11

++−= ∫ ∫ϕ , unde 221

1 ,2

cccc ′=′

=

Constantele de integrare 1c şi 2c se determină din condiţiile de margine exprimate în ϕ şi/sau rM . b) în funcţie de încărcarea ( )rpp = :

Dp

rdrd

rdrd

rdrd

=+−+ 322

2

3

3 12 ϕϕϕϕ

sau (drdw

=ϕ ),

Dp

drdw

rdrwd

rdrwd

rdrwd

=+−+ 32

2

23

3

4

4 112

drd

rdrd 1

2

22 +=∇

( )Drpw =∇∇ 22

Momentele încovoietoare:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

drd

rDM

rdrdDM r

ϕμϕϕμϕθ,

Forţa tăietoare:

r

MMdr

dMT rr θ−+=

Deplasarea: cdrw += ∫ϕ Constanta de integrare c se determină din condiţia de margine exprimată în w. Exemple: 1. Placa circulară încastrată pe contur, cu încărcare distribuită uniform Condiţii de margine:

( )( )⎩

⎨⎧

====

20,10,0

ϕϕ

arr

2020 2 prTrprTz −=⇒=+⇒=∑ ππ

( )D

prrdrd

rdrd

21

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ

p = ct

a a

z

p

T Tr r

rcrc

Dpr 2

1

3

16++=ϕ

( ) 01 2 =⇒ c ⇒ rcD

pr1

3

16+=ϕ ; ( )

Dpac16

22

1 −=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ar

ar

Dpa

3

33

16ϕ

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+= 2

2231

16 arpaM r μμ

( )μ+== 116

,02paMr r

8,

2paMar r −==

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−+= 2

22311

16 arpaM μμθ

( ) 0

21

16,0 ==+== rrMpaMr μθ

arrMpaMar ==−== μμθ 8,

2

2prT −= ; 0,0 == Tr ;

2, paTar −==

cDrpa

Dprw +−=

3264

224;

Dpacwar64

0,4

=⇒==

2241

64 ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ar

Dpaw ;

Dpawr64

,04

max ==

2. Placa circulară simplu rezemată pe contur, cu moment distribuit uniform pe contur

( )( )⎩

⎨⎧

====

2,10,0

0MMarr

r

ϕ

0020 =⇒=⇒=∑ TrTz π

( ) 01=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕr

drd

rdrd

⇒ rcrc 2

1 +=ϕ

( ) 01 2 =⇒ c ⇒ rc1=ϕ ( ) θμ McDM r =+−=⇒ 11 ;

( ) ( )μ+−=⇒1

2 01 D

Mc

( ) rD

Mμ

ϕ+

−=1

0

0MMM r == θ

p

a a

w

M

M

r

+

+_

+_

T _

a a

z

T Tr r

M0M0

MrM

w

+

+

( ) crD

Mw ++

−= 20

12 μ; ( )μ+=⇒==

120,

20

DaMcwar

( ) ( )220

12ra

DMw −+

=μ

; ( )μ+==12

,02

0max D

aMwr

3. Placa inelară simplu rezemată pe conturul exterior, cu moment distribuit uniform pe conturul interior

( )( )⎩

⎨⎧

====

2,10,

0MMbrMar

r

r

0020 =⇒=⇒=∑ TrTz π

( ) 01=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ϕr

drd

rdrd

⇒ rcrc 2

1 +=ϕ

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 2

21 11

rccD

rdrdDM r μμϕμϕ

( ) ( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −++−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= 2

21 11

rccD

drd

rDM μμϕμϕ

θ

( ) ( ) ( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−=

−+=

⇒

22

220

2

22

20

1

1

12,1

baba

DMc

bab

DMc

μ

μ

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡

−+

+−=

μμϕ

11

2

22

20

rar

baDbM

pozitive. valorilorpartea de află se diagramei al curbură de centrul03

;

0,;,;1

4

3

02

2

22

20

rr

rr

rrr

MrkM

MrrkM

MarMMbrra

babMM

⇒>=′′

↓′↑⇒⇒−=′

====⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

negative. valorilorpartea de află se diagramei al curbură de centrul03

;

2,;,;1

4

3

22

2

022

22

02

2

22

20

θθ

θθ

θθθ

MrkM

MrrkM

babMMar

babaMMbr

ra

babMM

⇒<−=′′

↓′↑⇒⇒=′

−−==

−+

−==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=

( ) ( ) crarbaD

bMw +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−

= ln112

22

22

20

μμ;

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+−−=⇒== aaa

baDbMcwar ln

1120,

22

22

20

μμ

a a

M0 M0

MrM

w

+_

b b

_

( ) ( ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++−

−=

araar

baDbMw ln

112

222

22

20

μμ

( ) 0ln12

12

222

22

20

max <⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+

+−

−−=⇒=

baaba

baDbMwbr

μμ

4. Placa inelară simplu rezemată pe conturul exterior, cu forţă distribuită uniform pe conturul interior

( )( )⎩

⎨⎧

====

20,10,

r

r

MarMbr

rbPTbPrTz −=⇒=+⇒=∑ 0220 ππ

( )

( )rcrcrrr

DPb

rcrcdrTdrr

rD2

1

21

ln24

1

++−−=

=++−= ∫ ∫ϕ

( )[ ] ( ) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−++++−−= μμμμ 11ln121

4 22

1 rccr

DPbDM r

( ) ( )

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−+

−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

++−

−=⇒

ba

baba

DPbc

babbaa

DPbc

ln11

2

lnln211

42,1

22

22

2

22

22

1

μμμμ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−−+

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=

μμμϕ

11ln

11lnln1

2 22

22

2222

rrba

baba

brrb

arra

baDPb

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

−+

−=baba

rbrb

ara

baPbM r ln1lnln12

222

2222

μ

max,rM se obţine pentru ba

babar ln2

22

22

−=

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

−+

−= μμθ 1ln1lnln1

222

222

22 baba

rbrb

ara

baPbM

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

−+

=⇒= μμθ 1ln12

22

22 bab

baPbMar

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

−+

=⇒= μμθ 1ln12

22

22 baa

baPbMbr

a a

MrM

w

+

b b

+

+

P

r

P

rb b

T T

z

( )⎢⎣

⎡−

++

−−

−−

= 2222

22

22

2

123lnln

4r

brr

bab

arr

baa

DPbw

μμ

( ) ⎥⎦

⎤

++

+−

+−−

+− 2

22

22

22

22

123ln

11lnln2 a

ba

baba

baba

ba

ar

μμ

μμ

( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+

+−++

=⇒=2

22

2222

max ln112

123

4 ba

bababa

DPbwbr

μμ

μμ