PLAN DE REFUERZO

MATEMÁTICAS I

Curso 2018/2019

Fecha de entrega: martes, 3 de septiembre de 2019

Alumno/a: _______________________________ Curso: ________

Firma del padre/madre/tutor/a: ____________________________

(*) Los ejercicios y problemas deben ser elaborados de manera clara y organizada, debe incluirse el

procedimiento para la realización de los mismos, así como los cálculos realizados para la obtención del

resultado. Además debe aparecer la respuesta escrita a las cuestiones planteada en cada problema.

NOTA: Se recuerda que la realización de este plan de repaso no supone que se apruebe la asignatura, pero se

tendrá en cuenta positivamente a la hora de evaluar al alumno/a. Luego es importante su realización.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

Criterio [BMTI01C01]: Utilizar procesos de razonamiento, de matematización y estrategias de

resolución de problemas en contextos reales (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o

probabilísticos), realizando los cálculos necesarios, comprobando las soluciones obtenidas y

expresando verbalmente el procedimiento seguido. Además, practicar estrategias para planificar, de

forma individual y en grupo, un proceso de investigación matemática, a partir de la resolución de un

problema y el análisis posterior, la generalización de propiedades y leyes matemáticas, o la

profundización en algún momento de la historia de las matemáticas; realizar demostraciones sencillas

de propiedades o teoremas y elaborar en cada situación un informe científico oral y escrito con el rigor

y la precisión adecuados, analizar críticamente las soluciones y otros planteamientos aportados por las

demás personas, superar bloqueos e inseguridades ante situaciones desconocidas, desarrollando

actitudes personales relativas al quehacer matemático y reflexionar sobre las decisiones tomadas,

valorando su eficacia y aprendiendo de ellas para situaciones similares futuras.

Criterio [BMTI01C02]: Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma,

realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas,

recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones

diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas; así

como utilizar las tecnologías de la información y la comunicación de modo habitual en el proceso de

aprendizaje, buscando, analizando y seleccionando información relevante en Internet o en otras

fuentes, elaborando documentos propios, haciendo exposiciones y argumentaciones de los mismos y

compartiéndolos en entornos apropiados para facilitar la interacción.

Criterio [BMTI01C03]: Identificar y utilizar los números reales sus operaciones y propiedades, así

como representarlos en la recta para recoger, interpretar, transformar e intercambiar información

cuantitativa y resolver problemas de la vida cotidiana, eligiendo la forma de cálculo más apropiada en

cada caso. asimismo valorar críticamente las soluciones obtenidas, analizar su adecuación al contexto

y expresarlas según la precisión exigida (aproximación, redondeo, notación científica…) determinando

el error cometido cuando sea necesario; además, conocer y utilizar los números complejos y sus

operaciones para resolver ecuaciones de segundo grado, el valor absoluto para calcular distancias y el

número e y los logaritmos decimales y neperianos para resolver problemas extraídos de contextos

reales.

Criterio [BMTI01C04]: Analizar, simbolizar y resolver problemas contextualizados mediante el

planteamiento y resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones e inecuaciones; utilizando para ello

el lenguaje algebraico, aplicando distintos métodos y analizando los resultados obtenidos.

Criterio [BMTI01C05]: Identificar y analizar las funciones elementales, dadas a través de

enunciados, tablas, gráficas o expresiones algebraicas, que describan una situación real, a partir de sus

propiedades locales y globales, y después de un estudio completo de sus características para

representarlas gráficamente y extraer información práctica que ayude a interpretar el fenómeno del que

se derivan.

Criterio [BMTI01C06]: Utilizar los conceptos de límite y continuidad de una función aplicándolos

en el cálculo de límites y el estudio de la continuidad de una función en un punto o un intervalo, para

extraer conclusiones en situaciones reales.

Criterio [BMTI01C07]: Utilizar las técnicas de la derivación para calcular la derivada de funciones y

resolver problemas reales mediante la interpretación del significado geométrico y físico de la derivada.

Criterio [BMTI01C08]: Utilizar las razones trigonométricas de un ángulo, de su doble, mitad, y las

transformaciones, los teoremas del seno y coseno, y las fórmulas trigonométricas para aplicarlas en la

resolución de ecuaciones, de triángulos o de problemas geométricos del mundo natural, artístico, o

tecnológico.

Criterio [BMTI01C09]: Utilizar los vectores en el plano, sus operaciones y propiedades, para

resolver problemas geométricos contextualizados, interpretando los resultados; además, identificar y

construir las distintas ecuaciones de la recta y los lugares geométricos, reconociendo sus

características y elementos.

Criterio [BMTI01C10]: Describir y comparar conjuntos de datos de distribuciones bidimensionales,

con variables discretas o continuas, procedentes de contextos relacionados con el mundo científico y

obtener los parámetros estadísticos más usuales, mediante los medios más adecuados (lápiz y papel,

calculadora, hoja de cálculo) y valorando la dependencia entre las variables. Interpretar la posible

relación entre dos variables y cuantificar la relación lineal entre ellas mediante el coeficiente de

correlación, valorando la pertinencia de ajustar una recta de regresión y, en su caso, la conveniencia de

realizar predicciones, evaluando la fiabilidad de las mismas en un contexto de resolución de problemas

relacionados con fenómenos científicos. Además, utilizar el vocabulario adecuado para la descripción

de situaciones relacionadas con la estadística, analizando un conjunto de datos o interpretando de

forma crítica informaciones estadísticas presentes en los medios de comunicación, la publicidad y

otros ámbitos, detectando posibles errores y manipulaciones tanto en la presentación de los datos

como de las conclusiones.

a) b) 23

4

2

3

3

8

3

2

2

⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜⎜⎜

⎞⎠⎟⎟⎟⎟

−5 3 6

6 3 5

7 3 4

2 3 14

⋅ ⋅⋅ ⋅

−

− − −

Ejercicio 1:Simplifica y expresa el resultado como potencia.

Ejercicio 2:Escribe como potencias de exponente fraccionario estos radicales.

d) 4 a−5b) a a a3

a c)

aa) a a

Ejercicio 3:Expresa mediante un solo radical.

d)1

2b) c) 3

23 2

a) 3 55

Opera y simplifica.

a ) 3 2 −( )5 4 2⋅ −( )3

b) 2 7 + 3 2( ) 5⋅ −2 2( )

c) 3 + 2( ) 3⋅ − 2( )

d) 5 2 −3( ) 5 2⋅ + 3( )

Ejercicio 4:

Ejercicio 5:Efectúa y simplifica.

b) 811

3

1

33

1

4 48

⋅ ⋅⎛⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠:a)

22 2

22 2

34 4 3

252

⋅⋅

⋅⋅

−

−

Ejercicio 6:Elimina las raíces del denominador.

d)4 2

3 2 − 5b)

3

+2 3

c)−

−

5

23a)

1

+2 1

a) 2 log4 16 + log2 32 − 3 log7 49

b) log2 8 + log3 27 + log5 125

c) log5 625 − log9 81 + log8 64

Ejercicio 7:Halla el resultado de las expresiones, mediante las propiedades de los logaritmos.

Página 1 de 4

Ejercicio 8:Determina, utilizando la calculadora.

a) log5 362 b) c) log6 100 d) log4 315log2 31

Ejercicio 9:Halla el valor de los logaritmos decimales, teniendo en cuenta que log 2 = 0,3010.

a) log 1.250

b) log 0,125

c) log 5

d) log 0,04

b) log3 d) logx 3 = 22

3x =

log56 625 = x

Ejercicio 10:Halla el valor de x en las siguientes igualdades.

a) logx 256 = −8 c)

Ejercicio 11:Racionaliza los siguientes denominadores.

a) —2�

5

5�— b) —

2�54

5�— c) —

2�5�5

� 1—

a) log38 b) log��0,012

Ejercicio 12:Sabiendo que log2 � 0,301 y que log3 � 0,477, halla:

Ejercicio 13:Simplifica el valor de cada expresión.

a)

b) —2

4

7

5

�

3

1

5

5

�

�

(

(

�

�

1

7

5

5

)

)6

4

0

0

—

c) �3� � 2��27 � ��12

�—3

2—�

�2

� �—4

3—�

�3

——2�4 � 3�3

Ejercicio 14:

Calcula el valor de x en cada caso.

a) 2500 � 2000 � 1,05 x

b) 20 � log x 5 � 15

c) 2 � 106 � x12

Página 2 de 4

Ejercicio 15:

Resuelve las siguientes ecuaciones.

a)

b)3(x −2)

(2x− − )1 =2

0

2 −x 1 −x 1− = x

3 7 2

Ejercicio 16:Resuelve estas ecuaciones.

a) 3(x2 −1) + 2(x −5) −20 = 0b) (2 −x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0c) (x + 2)(x −3) −x(2x + 1) + 6x = 0d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4)

e) (2 −x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0

Ejercicio 17:Halla las soluciones de estos sistemas.

b)yx

− +x 4() y

−5 + − =⎫⎪⎪⎪⎬⎪

1

3 52

+ 1 = 3 ⎪⎪⎭6

2

3(2 )

3(2 6(4+ 3(

+x y− +x y x y

x − y =) ⎫⎪⎪−2 + )6 = ⎬⎪⎪⎭

− −)1 154

a)

a) x2 −3x + 2 ≤0

b) x2 −3x + 2 ≥0

c) x2 −9x >0

d) x2 −9 <0

e) x2 + 2 ≤0

Ejercicio 18:Resuelve las siguientes inecuaciones de segundo grado con una incógnita.

a) 8x4 + 26x2 + 15 = 0

b) 9x4 + 80x2 −9 = 0

Ejercicio 19:Estas ecuaciones tienen menos de cuatro soluciones. Determínalas.

b) 32 1+ −2x x + =2 0

a) 2x x+ + 3 6=

Ejercicio 20:

Resuelve y comprueba las soluciones.

Página 3 de 4

3y2 +x + zxx y z

=− +y2 3z =

− + − = − ⎪⎪⎭

⎫⎪⎪⎪⎬⎪

116

2

Ejercicio 21:

Determina las soluciones de estos sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Ejercicio 22:Resuelve las ecuaciones.

b)3

+ 2 + 10

x

x

x− 5 − =

a)x

2x −3 − 3 − x

x−=

1 + 10

2

Página 4 de 4

Ejercicio 1:

Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos.

53 cm

28 cm

45 cm

b) sen α= 0,2a) cos α = 23

Ejercicio 2:Calcula las razones trigonométricas del ángulo si:

B

c

A

b

14 cm88°

55°

Ejercicio 3:Calcula b y c en estos triángulos.

a) C

35° 42°

25 m

h

x

B

Ejercicio 4:Observa la situación y, con ayuda de la trigonometría, calcula la altura h a la que está el punto B.

4

a) sen 131°

b) cos 334° 46'

c) tg 146° 22"

Ejercicio 5:Reduce los ángulos al 1.er cuadrante y calcula estas razones.

Ejercicio 6:En un triángulo rectángulo cuyo ángulo recto es A$, se sabe que b = 30 m y c = 25 m. Resuélvelo.

Ejercicio 7:Calcula las razones trigonométricas del ángulo si:

a) sen α = 1 b) tg α = 0,49

Calcula el área de este triángulo.

46°

25 m

37°

Ejercicio 8:Resuelve el triángulo, sabiendo que dos de sus lados miden 14 cm y 18 cm, respectivamente, y el ángulo opuesto a uno de ellos mide 70°. Dibuja el triángulo.

Ejercicio 9:

Ejercicio 10:

Un globo aerostático se encuentra sujeto al suelo, mediante dos cablesde acero, en dos puntos que distan60 m. El cable más corto mide 80 m y el ángulo que forma el otro cablecon el suelo es de 37°.

Calcula.

a) La medida del otro cable.b) La distancia del globo al suelo.

37°

60 m

80 m

r: �x � 2 � 2ty � 6 � t , t � R

a)b)c)

r: x � ky � 1 � 0; s: kx � 4y � 3 � 0, paralelas.

r: kx � 2y � 4k � 0; s: x � 3y � 4 � 0, coincidentes.

r: 2kx � 5y � 1 � 0; s: 3x � ky � 2 � 0, paralelas.

Ejercicio 11:Calcula la ecuación de la recta que pasa por el punto P(2 ,6) y es paralela a:

Ejercicio 12:En cada caso, calcula el valor del parámetro k para que las rectas tengan la posición relativa indicada.

Ejercicio 13:Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia: x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0.

Ejercicio 14:Calcula la pendiente de las siguientes rectas:

a) r: y � �2x � 3b) r: 2x � 3y � 5 � 0

c) r: �—3

2— x � —

1

5— y � 5 � 0

e) Recta que pasa por los puntos P (1, a) y Q (1, 3a).

f) Recta cuyo vector director es �u� � (�3, 5).

g) Recta cuyo vector normal es �n� � (2, �7).

d) Recta que pasa por los puntos P(�1, 2) y Q(1, 3). h) r : �x � �3 � 5�y � �1 � 2�

a)

Ejercicio 15:Calcula las ecuaciones explícitas de las rectas siguientes:

b)c)d)

Pasa por A(�1, 2) y tiene pendiente m � 2.

Pasa por los puntos A(�1, 3) y B(2, 4).

Pasa por A(2, �3) y forma con la parte derecha del eje de abscisas un ángulo de 30�.

Pasa por A(�2 , 5) y forma con la parte izquierda del eje de abscisas un ángulo de 120�.

a) (−1 − i) + (−4 + 5i ) c) −1 −( i)(−4 + 5i )

b) d)− +2( ) ( +i i )

− +−

1 3

212

ii

− + 54

1− − i

i

z1 = 230° z2 = cos 60° + i sen 60°

calcula.

a) z1 ⋅ z2 c) z3 ⋅ z3

b) d) 21( )2z z⋅1 ⋅z z 3

z3 = 2 π5

4

z1 = 4330° z2 = cos 120° + i sen 120° z3 = 1 − i

calcula.

b) (z2)3 c) d)a) (z1)221( )2z z⋅3( )z 4 ⋅ 3z

Ejercicio 16:Resuelve las siguientes operaciones.

Ejercicio 17:Dados los números complejos:

Ejercicio 18:Dados los números complejos:

b) −2 3i g)

h)

i)

c) −3 − i

d) 6i

e) −4

3 i

−3 2 i

3

2

5

3− i

b) 3 −27

a) 3150°

Ejercicio 19:Representa los números en el plano complejo.

a) 5 + i f ) −2i

Ejercicio 20:

Calcula las siguientes raíces.

2.- Calcular: xaxxx

lim

3.- Calcular el límite de la función 2

cos1)(

x

xxf

, en el punto 0, en el punto 1 y en

4.- Calcular el siguiente límite: x

x x

x

12

32lim

5.- Calcular el valor de la constante c para que ex

xcx

x

3lim

1.- Determinar el valor de a para que: 1lim

xx 2 axx

2

Ejercicios propuestos:

7.- Calcular a y b para que la función definida por

1 si x 1

si 0 x 1ax b

si x 0

f (x )

2

x lnx

xe x

sea continua

8.- Probar que la función definida por 8

1f (x )

2

x 3 7x

x no es continua en x=1. Indicar que tipo

de discontinuidad presenta.

6. - Determinar a y b para que la función real f, definida por

b(x 1) si x 0x

3asenx

b cosx si x 0f (x )

ae x

sen2x

sea continua en la recta real.

1.- A partir de la definición de derivada de una función en un punto, calcular la derivada de las

funciones f(X)=3X, en xo=1, y ( ) 5g x x= − en xo=9.

2.- Estudiar la continuidad y la derivabilidad de la función 1 si x 0

( ) 1

0 si x 0

x

x

f x e

= + =

en xo=0.

3.- Sea k un número real y f una función real definida sobre R, mediante

2 1 si x 0

( )

0 si x 0

x sen kxf x x

+

= =

a) Calcular la derivada de f en el punto xo=0b) Calcular la función derivada

Ejercicios porpuestos:

4.- Estudiar la derivabilidad de la función

+

=

1 si x 1

si -1 x 12

si x -1+5 3

)

x 2 −3x

x

f (x

5.- Calcular a y b para que la función 3

2

x )

bx (f x

ax

x − si x -1=

+ si x -1 sea derivable.

6.- Calcular las derivadas de las funciones:

( )23

cos2 4

2) ) 1 )

2

xx xf(x g(x) = tg h(x x I(x Arcsenx

sen x= = + =

7.- Derivar y simplificar: 2

21 1) ) · 1

1 2 4 4

x x xf(x Arctg Arctgx g(x Arcsenx x

x

+= − + −= −

−

8.- Calcular la derivada n-ésima de la función 2xf x( ) = e

9.- Hallar un punto del intervalo [0,1], donde la tangente a la curva 2f(x) =1+ x − x , sea paralela al

eje de abscisas.

10.- Hallar los puntos en los que la tangente a la curva 3

2− x − 3x +13

xf(x) = sea:

a) Paralela el eje OX

b) Paralela a la recta: g(x) x5= + 3

c) Perpendicular a la recta: 13

x(h x) = +

2(x) (1 )f xln= +11.- Halla el punto de la curva en el que la tangente es perpendicular a la tangente

trazada por el punto de abscisa x=1.

12.- Sea f la función definida por 2f(x) 4= − x

a) Halla las ecuaciones de la recta normal y de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de

abscisa x=2.b) Determina el punto de la gráfica en el que la recta tangente es perpendicular a la recta

: 2r x 2y+ − = 0

1. Sea la siguiente distribución estadística:

Hallar:

a) La moda, mediana y media.

b) El rango, desviación media, varianza, desviación típica y C.V.

c) Los cuartiles 1º y 3º.

d) Los percentiles 30, 70 y 97.

xi fi

[10, 15) 3 [15, 20) 5 [20, 25) 7 [25, 30) 4 [30, 35) 2

Ejercicios Resueltos:

2.- Al laboratorio de la policía científica de Casablanca, han llegado 30 botellas de agua de distintas

marcas, para analizar su contenido en sales minerales,

Se han obtenido los siguientes datos, expresados en mg.

46 25 27 30 48 40 76 75 49 59 33 52 21 32 45 27 44 37 62 56 29 54 45 66 69 34 53 45 75 56

1. Clasifica la variable estadística de concentración de sales.

2. Agrupa los datos en una tabla de 7 intervalos.

3. Completa la tabla con todas las columnas necesarias.4. La media y la moda.5. La mediana y los cuartiles6. Los percentiles P40, P80 y P987. La desviación media8. La varianza y la desviación típica9. El coeficiente de variación

10. Representa los datos mediante el gráfico que consideres más adecuado.

3.- Al lanzar 30 veces un dado, se obtienen los siguientes resultados:

2,5,4,3,1,6,4,5,4,2,4,6,1,3,6,3,1,2,4,1,5,4,6,4,1,2,3,4,1,4

a) Recuenta los datos y organízalos en una tabla.b) Calcula la media, la mediana y la moda.c) Calcula el recorrido.d) Calcula la varianza y la desviación típica.e) A la vista de la tabla, ¿Se puede sospechar que el dado está trucado?