plan i metro
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Topografia 2005
Folha prática Nº 5 – Cálculo de Áreas
Regente João Sousa1
Cursos Engª FlorestalInstituição Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro
Departamento MatemáticaCalendarização 2º ano, 2º semestre
Créditos 3 UC
1 Assistente, UTAD, Portugal | Website: home.utad.pt/~jjsousa | Email: [email protected]
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Medição de áreas na carta
Métodos de integração numérica
Fig. 1D
yy y10 2
C
yyn-1
S - área da figura ABCDd - intervalo constante entre ordenadasyi - ordenadas marcadas perpendiculares ao segmento
n
A B
d d d
AB (i=1,2,...,n)
A. Método dos trapézios (regra de Bezout)
y
S d 0 yn y y
... y
2 1 2 n 1
B. Método de Simpson
Divide-se a área num número par de intervalosdS .
..... , com n par
0 4 3 5 1 2 2 4 2 3 y
yn y y yn
y y yn
Método analítico ou de Gauss
Fig. 2
y P2
P1 S
A1
2P3
1 y
y2
n
2 x2
1x
xS ∑ yi1 yi x
A
P412 i1
2
ii1
x
Métodos mecânicos - Planímetro Polar
Constituição3
2
O Planímetro polar é constituido fundamentalmente por:
1- Haste traçadora
11
10 9
12 7 6
81
13
2- Haste polar
4 3- Pólo4- Anel
5 5- Lupa com marca6- Parafuso de fixação7- Parafuso de pequenos
movimentos
8- Nónio da haste traçadora9- Conta voltas10- Roda integradora ou
tambor11- Nónio12- Roda de Apoio13- Caixa
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A haste polar tem uma extremidade fixa, o pólo. A haste traçadora é munida de uma caixa que contém o conta voltas, a roda integradora e o nónio e ainda de uma lente com marca que percorre o contorno da figura cuja área se pretende medir.
A haste polar tem comprimento constante enquanto a haste traçadora tem comprimento regulável. O comprimento das duas hastes condiciona o alcance do aparelho.Pode utilizar-se o planímetro com o pólo exterior à figura (caso mais geral) ou com o pólo interior à figura.
1- Medição de áreas com pólo exterior à figura
A área de uma figura é proporcional ao comprimento do arco registado no conta-voltas, tambor e nónio, quando se percorre o contorno dessa figura com a marca da haste traçadora, no sentido dos ponteiros do relógio.
Assim, e para um dado comprimento da haste será:
S = Kᄡn
Sendo:S - área da figura limitada pelo contorno fechadoK - constante instrumental (função do comprimento da haste traçadora)n - diferença de leituras registadas na caixa
n = nf - ni
nf - leitura finalni - leitura inicial
Os planímetros são acompanhados por uma tabela em que para uma determinada escala é fixado o comprimento da haste traçadora sendo dada a constante instrumental.
Assim, no cálculo da área de uma figura representada a uma dada escala, começa-se por colocar a caixa da roda integradora na posição indicada na tabela para essa escala, para o que será necessário actuar nos parafusos micrométricos.
Seguidamente, percorre-se o contorno da figura no sentido dos ponteiros do relógio lendo-se os valores iniciais e finais indicados no conta-voltas, tambor e nónio.
As leituras apresentam-se com 4 algarismos A B C D correspondendo A ao conta-voltas (dividido em 10 partes), B e Cao tambor que é dividido em 100 partes iguais e D ao nónio.
A área do terreno obtém-se multiplicando a diferença de leituras, n, pelo valor indicado na tabela correspondente à posição anteriormente definida.
Para o caso de a escala não estar representada na tabela, ter-se-á de optar por outra escala, procedendo-se de forma análoga ao indicado anteriormente. Seguidamente, há que fazer a correcção devido às escalas, bastando multiplicar S pelo factor 2
m1
2m ou seja:
Área
2
1mᄡ
S m
m1 = denominador da escala da figuram2 = denominador da escala da carta
2
2 passa-se à escala 1:1. Multiplicando depois por m2 passa-se à escala 1: m11Dividindo por m2
2- Medição de áreas com pólo interior à figura
O percurso deve ser feito no sentido anti-horário. Neste caso, raramente utilizado é necessário acrescentar uma outra constante C devido ao facto de o planimetro descrever uma circunferência (círculo base)
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1) Se o limite da área a medir está totalmente dentro da base do circulo é necessário subtrair à constante aditiva a leitura feita.
S K ᄡ (C n )
Polo
2) Se o limite da área a medir está totalmente fora da base do circulo, é necessário somar à constante aditiva a leitura feita.
Fig. 4
)S K ᄡ (C n
3) Área dentro e fora da base do circulo
S = Kᄡ(Cᄆn)
Uso correcto do planímetro
Fig. 5
1) O planímetro deve ser usado sobre uma superfície horizontal.2) Deve evitar-se uma posição do pólo que obrigue o tambor a sair da fôlha do papel em que se trabalha.3) Antes de fazer a primeira leitura deve verificar-se se o pólo escolhido permite que a marca percorra todo o contorno.4) O percurso sobre o contorno deve ser feito no sentido do movimento dos ponteiros do relógio ou no sentido anti-
horário se utilizarmos respectivamente o planimetro com pólo exterior ou interior à figura.5) Deve efectuar-se mais do que uma determinação e tomar-se a média.6) Na prática evita-se a utilização do planímetro com o pólo interior. Tratando-se de grandes superfícies divide-se esta
em parcelas mais pequenas cujas áreas se possam determinar com o pólo exterior. A área total será a soma das áreas parcelares.
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Problemas
1. Seleccionar no campo um terreno para medição da respectiva área. Com uma estação total estacionada no interior do terreno levantar, em planimetria, os vértices que definem a fronteira do terreno, considerada como polígono.
a) Calcule as coordenadas dos vértices levantados e determine o valor da área pelo método analítico.
b) Implante na folha de papel quadriculado, numa escala adequada, os pontos levantados. Obtenha o valor da área utilizando o planímetro polar.
Efectue várias medições. Para o valor da área considere o valor médio. Encontre ainda uma estimativa de erro utilizando o desvio padrão das medidas.
ii ni nf Ai A A
1
2
3
n n
A∑ ∑ A A2
i
Média: A i1 Desvio padrão:
n
A
i 1
i
n 1
2. Estacionou-se uma estação total no interior do terreno representado (ponto E) tendo-se observado os seus vértices. As leituras efectuadas estão no quadro ao lado:
2 Ponto LH (g) dh (m)1 349.932 44.7212 40.898 63.2463 120.415 80.0004 240.898 63.246
1
a) Na representação acima os pontos E e 3
E distam 4 cm. Determina a sua escala.3
b) Calcule a área do terreno usando a decomposição em triângulos radiais.
c) Qual a área que a figura ocuparia se fosse representada à escala 1:500? Apresente os cálculos.
4
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3. Na seguinte quadrícula, centimétrica, está representado em planta a área para o projecto de plantação de uma determinada espécie arbórea.
Y
21 3
4 E8
67
5 9
OX
Do local conhecem-se as coordenadas de O e E (quadro abaixo).
Ponto X (m) Y (m)O 32 200 164 800E 32 365 164 845
a) Obtenha a escala da planta.b) Apresente as coordenadas planas dos pontos 1, 4 e 7.c) Obtenha a área real da figura usando um método exacto.d) Qual a área, em cm2, que a figura acima ocuparia numa planta se esta estivesse à escala 1:200?
(exame de 11/07/2001)
4. O perímetro de uma determinada área florestal, representada numa carta à escala 1:15.000, foi percorrido 3 vezes com um planímetro polar com o intuito de detrminar o valor da sua área. As leituras obtidas foram 1730, 1744, 1722 e 1350.
a) Comente, de forma critica, as leituras obtidas com o planímetro.
b) Sabendo que o planímetro está calibrado para obter áreas na carta em mm2
determine a área real mais provável.
Apresente-a em ha.
c) Apresente uma estimativa para o erro cometido na medida.
(Exame de 22/09/2001)
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