แผนการจัดการเรียนรู ที่ 1 คณิตศาสตรเพิ่มเติม  รหัสวิชา ค31202  ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 4 เรื่อง Matrices and Systems of Equations  เวลา 4 ช่ัวโมง 

สาระสาํคัญ  การแกระบบสมการเชิงเสนโดยใชเมทริกซ ผลการเรียนรู  สามารถหาคาํตอบของระบบสมการเชิงเสนโดยวิธี Row – Echelon ได สาระการเรียนรู  นิยามของเมทริกซ 

ขั้นตอนพื้นฐานของการกระทําตามแถว Gaussian Elimination with Back – Substitution Gauss – Jordan Elimination 

กิจกรรมการจัดการเรียนรู 1.  ผูสอนบอกบทนิยามของเมทริกซ และ ยกตัวอยางเมทริกซใหผูเรียนบอกมิติของเมทริกซ เชน 

[ ] 1  ,  3 2 0  −  , 0 1 1 0 

 

, 2 5 

−  

, 3 2 1 0 0 0 2 1 3 

−  

, 4 2 3 1 0 1 

−  

2.  ผูสอนใหผูเรียนสังเกตการเขียนระบบสมการเชิงเสนในรูปเมทริกซตามตัวอยางดังนี้ ระบบสมการ  รูปของเมทริกซ 

− + = − + − = − − =

x y z x y z

x z 

4 3 5 3 3 

2 4 6 

1 4 3 : 5 1 3 1 : 3 2 0 4 : 6 

− − − − −

+ − = − + − = − − − =

+ − =

x y w y z w x z w x y z 

3 9 4 2 2 5 6 0 

2 4 3 4 

1 3 0 1 : 9 0 1 4 2 : 2 1 0 5 6 : 0 2 4 3 0 : 4 

− − − −

− − −  

3.  ผูสอนเพิ่มเติมเรื่องสัญลักษณ จะใช R R R 1 2 3 , , ,K  แทน แถวที่ 1 แถวที่ 2 แถวที่ 3 ... ของเมทริกซ ตามลําดับ 

4.  ผูสอนอธิบายขั้นตอนการกระทําตามแถว ซึ่งประกอบดวย 3 ขั้นตอน 1)  สลับที่ระหวางแถว 2 แถว 2)  คูณแถวใดแถวหนึ่งดวยคาคงที่ ที่ไมใชศูนย 3)  เปลี่ยนแถวที่ i โดยนําคาคงตัว c ไปคูณแถวที่ j แลวนําไปบวกกับแถวที่ i 

ใหผูเรียนศึกษาจากตัวอยางดังนี้

ตัวอยางท่ี 1 จงแกระบบสมการ โดยการใชเมทริกซ x y z

x y x y z 

2 3 9 3 4 

2 5 5 17 

− + = − + = − − + =  

จากสมการที่กําหนด เขียนในรูปเมทริกซไดดังนี้ R R R 

1 

2 

3 

1 2 3 : 9 1 3 0 : 4 2 5 5 : 17 

− − − −

R R 1 2 + → 1 2 3 : 9 0 1 3 : 5 2 5 5 : 17 

− −

R R 1 3 2 − + → 

1 2 3 : 9 0 1 3 : 5 0 1 1 : 1 

− − − −

R R 2 3 + → 

1 2 3 : 9 0 1 3 : 5 0 0 2 : 4 

−  1 2 3 : 9 0 1 3 : 5 0 0 1 : 2 

−  

จะได z  2, = y z 3 5 + =  และ x y z 2 3 9 − + = ดังนั้น y  1 = − x  9 ( 2) 6 = + − −

x  1 = คําตอบระบบสมการคือ  (1, 1,2) − 

5.  ผูสอนบอกบทนิยามของ Row – Echelon Form ดังนี้ บทนิยาม ให A เปน m n ×  เมทริกซ กลาววา A มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว (row – echelon form) เมื่อ A มี 

สมบัติตอไปนี้ 1)  ถา A มีแถวที่มีสมาชิกบางตัวไมเทากับ 0 แลวสมาชิกตัวแรก (จากซายไปขวา) ที่ไมใช 0 

ตองเปน 1 เรียก 1 ตัวนี้วาเปน 1 ตัวนาํ (leading 1) ในแถว 2)  ถา A มีแถวที่มีสมาชิกทุกตัวในแถวเทากับ 0 แลว แถวเหลานี้ตองรวมกันอยูต่ํากวาแถวที่มี 

สมาชิกบางตัวไมเทากับ 0 3)  ถา a ij  เปน 1 ตัวนําในแถวที่ i และ a (i+j)k เปน 1 ตัวนําในแถวที่  + < i j k 1,  แลว 

ผูสอนยกตัวอยางเมทริกซที่มีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว ไดแก 0 0 

, 0 0   

1 0 , 0 1 

 

1 2 , 0 1 

 

0 1 0 0 

R 3 1 2 

→

1 2 3 4 0 1 6 2 , 0 0 1 7 

 

1 1 2 0 1 3 , 0 0 0 

−  

0 1 10 11 0 0 0 0 0 0 0 0 

−  

ตัวอยางเมทริกซที่ไมมีรูปแบบขั้นบันไดแบบแถว ไดแก 1 2 3 0 2 2 

−  

เพราะขาดสมบัติขอ 1) 

1 0 1 0 0 0 0 0 1 

−  

เพราะขาดสมบัติขอ 2) 

1 4 , 1 3 

 

0 1 1 7 

 

เพราะขาดสมบัติขอ 3) 

6.  ผูสอนอธิบายการหาคําตอบระบบสมการโดยวิธี Gaussian Elimination with Back – Substitution พรอม ยกตัวอยางดังนี้ 

ตัวอยางท่ี 2 จงหาคําตอบระบบสมการ โดยใชเมทริกซ + − = −

+ − = + + − = −

− − − = −

y z w x y z

x y z z x y z w 

2 3 2 2 

2 4 3 2 4 7 19 

เขียนเมทริกซแตงเติมไดดังนี้ 

0 1 1 2 : 3 1 2 1 0 : 2 2 4 1 3 : 2 1 4 7 1 : 19 

− − −

− − − − − −

R R 2 

1 

1 2 1 0 : 2 0 1 1 2 : 3 2 4 1 3 : 2 1 4 7 1 : 19 

− − −

− − − − − −

R R R R 

1 3 

1 4 

2 − + → − + → 

1 2 1 0 : 2 0 1 1 2 : 3 0 0 3 3 : 6 0 6 6 1 : 21 

− − −

− − − − − −

R R 2 4 6  + → 

1 2 1 0 : 2 0 1 1 2 : 3 0 0 3 3 : 6 0 0 0 13 : 39 

− − −

− − − −

R R 

1 3  3 1 13  4 

→ − → 

1 2 1 0 : 2 0 1 1 2 : 3 0 0 1 1 : 2 0 0 0 1 : 3 

− − −

− −  

เมทริกซที่ไดสอดคลองสมการ x y z y z w

z w w 

2 2 2 3 

2 3 

+ − = + − = −

− = − = 

จากการแกสมการจะได z  1 =  , y  2 =  , x  1 = − คําตอบระบบสมการคือ  ( 1,2,1,3) − 

7.  ผูสอนสอบถามผูเรียนระบบสมการทุกระบบ ตองมีคําตอบเสมอไปหรือไม เพราะเหตุใด แลวใหผูเรียน ชวยกันกันแกปญหาระบบสมการ

x y z x z

x y z x y z 

2 4 6 

2 3 5 4 3 2 1 

− + = + = − + =

+ − =  โดยใหผูเรียนทําบนกระดานคนละหนึ่งบรรทัด แลวเรียกเพื่อนคนตอ ๆ ไป จะพบวาระบบสมการนี้ไมมี คําตอบ ตอไปใหผูเรียนหาคําตอบระบบสมการ

x y z x y 

2 2 0 3 5 1 

+ − = + =  

ซึ่งผูเรียนจะพบวาคาของ x และ y จะแปรเปลี่ยนไปตามคาของ z ทําใหระบบสมการนี้มีคําตอบมากมาย 8.  ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม 1.1 9.  ผูสอนมอบหมายการบาน 

สื่ออุปกรณ  ใบกิจกรรม  1.1 การวัดและการประเมินผล  1. สังเกตการตอบคําถาม 

2. สังเกตการทําใบกิจกรรม  1.1 3. สังเกตจากงานที่มอบหมาย

แผนการการจัดการเรียนรูที่ 2 คณิตศาสตรเพิ่มเติม  รหัสวิชา ค31202  ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 4 เรื่อง Operations with Matrices  เวลา 4 ช่ัวโมง 

สาระสาํคัญ  บทนิยามการเทากันของเมทริกซ การบวก และการคูณเมทริกซ ผลการเรียนรู  สามารถนําสมบัติตาง ๆ ของเมทริกซเกี่ยวกับการบวก และการคูณไปใชได สาระการเรียนรู  บทนิยามการเทากัน บทนิยามการบวกเมทริกซ บทนิยามการคูณเมทริกซกับตัวคงที่ 

และบทนิยามการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ กิจกรรมการจัดการเรียนรู 

1.  ผูสอนทบทวนเรื่องมิติของเมทริกซ ใหผูเรียนยกตัวอยางเมทริกซที่มีมิติ  1 1, ×  2 1, ×  3 4, ×  4 4 ×  แนะนํา การเขียนเมทริกซโดยใชสัญลักษณชวย 

2.  ผูสอนใหผูเรียนพิจารณาเมทริกซดังตอไปนี้

A 1 3 

, 2 4 

=

B 1 3 

, 2 4 

=

C 3 

,2 

=

D 3 2 

=

 ผูเรียนสังเกตพบอะไรบางท่ีเหมือนกัน ผูสอนเพิ่มเติมเมทริกซ A กับ เมทริกซ B เปนเมทริกซที่เทากัน เขียน 

แทนดวย A B =  และ C D =  ถากําหนดให  =

a A b 

3 2  , 

=

B 0 3 2 1  และ A B =  จะไดวา

a  0, = b  1 =  ผูสอนและผูเรียนชวยกันสรุปการเทากนัของเมทริกซในรูปทั่ว ๆ ไปกอน แลวผูสอนจึงบอก นิยามการเทากันของเมทริกซ 

3.  ผูสอนฝกทักษะโดยใชโจทย เชน 

1)  จงหาคา x , y ที่ทําให x y x y 2 2 

2 11 +

= − + −  

2)  จงหาคา x , y ที่ทําให x y x y 

2 3 2 4 6 

+ = +  

3)  ถา a b

c 1 1 3 1 

0 2 3 2 2 −

=  

จงหาคา a b c + + 

4.  ผูสอนอธิบายเกี่ยวกับการบวกเมทริกซ และการคูณเมทริกซดวยตัวคงที่ พรอมใหบทนิยามและตัวอยาง เชน 

ตัวอยางท่ี 1 จงหาคา  1. 1 2 1 3 0 1 1 2 

− + −  

2. 0 1 2 2 3 1 1 2 3 0 1 3 

− − − +

 

3.  − − + −  

1 1 3 3 2 2

ตัวอยางท่ี 2 กําหนด A 2 2 4 3 0 1 2 1 2 

= − −  

และ B 3 2 1 0 

− =

 

จงหาคา A 2 , B 1  , 2

A B 3  − 

5.  ผูสอนสอบถามผูเรียนเกี่ยวกับสมบัติของจํานวนจริง ใหผูเรียนชวยกันวิเคราะห สมบัติขอใดที่ยังเปนจริงใน เรื่องของเมทริกซ ชวยกันสรุป คาดวาจะตอบไดดังนี้ 

สําหรับเมทริกซ A, B, C ที่มีมิต ิ m n ×  , c และ d เปนคาคงที่ 1) A B +  มีมิต ิ m n × 2) A B B A + = + 3) A B C A B C ( ) ( ) + + = + + 4) c A B cA cB ( ) + = + 5) c d A cA dA ( ) + = + 6) A A 1⋅ = 7) cd A c dA ( ) ( ) = 

ผูสอนเพิ่มเติมเรื่องเมทริกซศูนย (0)  ทําให A A A 0 0 + = + = และ A 0 0 ⋅ = 

เรียกเมทริกซศูนยวาเปนเอกลักษณของการบวก สําหรับตัวอยางท่ีเกี่ยวกับสมบัติของเมทริกซ เชน 

ตัวอยางท่ี 3 กําหนดให A 1 2 0 3 

− =

 , B 

3 4 2 1 

− =

 จงหา X A B 3  + = 

ตัวอยางท่ี 4 กําหนดให A 2 4 6 2 0 2 

= −  

จงหาเมทริกซ X ที่ทําให A X X A 1 2( ) 2 

+ = + 

6.  ผูสอนใหบทนิยามการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ จากบทนิยาม เมื่อกําหนดเมทริกซ A, B มาให สามารถหา AB ไดเมื่อ A มีจํานวนหลักเทากับจํานวนแถวของ B เทานั้น ผูสอนยกตัวอยางประกอบ เชน 

ตัวอยางท่ี 5 กําหนดเมทริกซ A, B, C ดังนี้ A 1 2 

, 3 4 

=

B 5 6 7 

, 8 9 10 

=

C 11 12 13 

=  

จงหา AB, BC, A(BC) ,(AB)C 7.  ผูสอนเพิ่มเติมเกี่ยวกับสมบัติของการคูณเมทริกซและเมทริกซเอกลักษณดังนี้ 

กําหนดให A, B, C เปนเมทริกซ c เปนคาคงที่ 1.  = A BC AB C ( ) ( ) 2. A B C AB AC ( ) + = + 3. A B C AC BC ( ) + = + 4. c AB cA B A cB ( ) ( )( ) ( ) = =

5. A I I A A ⋅ = ⋅ =  เมื่อ I เปนเมทริกซเอกลักษณ 8.  ผูสอนยกตัวอยางการใชเมทริกซเอกลักษณในการหาคําตอบของระบบสมการ 

ตัวอยางท่ี 6 จงหาคําตอบสมการ x x x

x x x x x 

1 2 3 

2 3 

1 2 3 

2 4 2 4 

2 3 2 2 

− + = − + = + − =  

จะได 1 2 1 : 4 0 1 2 : 4 2 3 2 : 2 

− − −  

ใช Gauss – Jordan Elimination 1 0 0 : 1 0 1 0 : 2 0 0 1 : 1 

−  

ดังนั้น คําตอบระบบสมการคือ  ( 1,2,1) − 9.  ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม  1.2 10.  ผูสอนมอบหมายการบาน 

สื่ออุปกรณ  ใบกิจกรรมที่  1.2 การวัดและการประเมินผล  1. สังเกตการตอบคําถาม 

2. สังเกตจากการทําใบกิจกรรม 1.2 3. สังเกตจากงานที่มอบหมาย

แผนการจัดการเรียนรูที่ 3 คณิตศาสตรเพิ่มเติม  รหัสวิชา ค31202  ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 4 เรื่อง The Inverse of a Square Matrix  เวลา 2 ช่ัวโมง 

สาระสาํคัญ  อาจมีเมทริกซที่ไมเทากับ 0 และไมมีตัวผกผันก็ได ผลการเรียนรู  สามารถหาตัวผกผันของเมทริกซได สาระการเรียนรู  บทนิยามตัวผกผันการคูณเมทริกซ ตัวผกผันของเมทริกซ  2 2 ×  การหาคาํตอบของสมการ 

โดยใชตัวผกผัน กิจกรรมการจัดการเรียนรู 

1.  ผูสอนทบทวนเรื่องเมทริกซเอกลักษณ สมบัติของเอกลักษณที่เกี่ยวกับการคูณ แลวบอกบทนิยามของตัว ผกผัน ดังนี้ บทนิยาม ให A เปน n n ×  เมทริกซ ถา B เปน n n ×  เมทริกซที่มีสมบัติวา n AB BA I = =  แลวจะเรียก B วาเปนตัวผกผันการคูณของ A และเขียนแทน B ดวย A -1 

แลวผูสอนใหผูเรียนศึกษาตัวอยางดังนี้ 

ตัวอยางท่ี 1 กําหนดให A 1 3 0 0 

=

 จงแสดงวา A ไมมีตัวผกผัน 

ใหเมทริกซ C ij c 2 2 ×

=  

จะได AC c c c c 11 12 

21 22 

1 3 0 0 

=

c c c c 11 21 12 22 3 3 

0 0 + +

=  

เนื่องจากสมาชิกทุกตัวในแถวที่ 2 ของ AC เปน 0 ฉะนั้น จึงไมมีเมทริกซ C ที่มีมิติ ซึ่งทําให

AC CA 1 0 0 1 

= =

 ดังนั้น A ไมมีตัวผกผัน 

ตัวอยางท่ี 2 กําหนดให A 1 2 2 4 

=

 จงแสดงวา A ไมมีตัวผกผัน 

ถา a b

B c d

=  

เปนตัวผกผันของ A 

จะได a b

AB c d 1 2 2 4 

=

 

1 0 0 1 

=

a c b d a c b d 

2 2 2 4 2 4 

+ + + +  

1 0 0 1 

=

 โดยบทนิยามการเทากัน จะได a c 2 1 + =

a c 2 4 0 + =  ซึ่งเกิดขอขัดแยง ดังนั้น A ไมมีตัวผกผัน 

ผูสอนใหผูเรียนอภิปราย เงื่อนไขใดที่ทําใหเมทริกซนั้น ๆ ไมมีตัวผกผัน 2.  ผูสอนใหผูเรียนตรวจสอบตัวผกผันของเมทริกซ 

เชน B 5 3 3 2 

− = −  

เปนตัวผกผันของ A 2 3 3 5 

=

 หรือไม 

หรือ B 13 4 1 

1  15 4 3 8 

10 0 2 

− = − − − −  

เปนตัวผกผันของ A 1 1 1 0 2 3 5 5 1 

=  

หรือไม 

3.  ผูสอนและผูเรียนชวยกันหาตัวผกผันของเมทริกซ  2 2 ×  ในรูปทั่วไป โดยกําหนดให a b

A c d

=  

และ

ad bc  0 − ≠ 

ให x x

A x x 1 2 1 

3 4 

− =

 เปนตัวผกผันของ A 

จะได AA I 1 − = 

นั่นคือ a b x x c d x x 

1 2 

3 4 

 

1 0 0 1 

=

ax bx ax bx cx dx cx dx 

1 3 2 4 

1 3 2 4 

+ + + +  

1 0 0 1 

=

 โดยบทนิยามการเทากันของเมทริกซ

ax bx cx dx ax bx cx dx 

1 3 

1 3 

2 4 

2 4 

1 0 0 1 

+ = + = + = + = 

จากการแกสมการจะได d x ad bc 1  , =

− b x

ad bc 2 −

= −

c x ac bc 3  , −

= −

a x ad bc 4  =

− 

ดังนั้น d b

A c a ad bc 1  1 −

− = − −

4.  ผูสอนยกตัวอยางการหาตัวผกผนั เชน 

ตัวอยางท่ี 3 จงหา A -1  เมื่อกําหนด A 2 2 4 1 

− =

 เนื่องจาก  (2)(1) (4)( 2) 10 0 − − = ≠ 

ฉะนั้น A  1 1 2 1 4 2 10 

− = −  

5.  ผูสอนอธิบายเพิ่มเติมสามารถใชตัวผกผันในการแกระบบสมการได ถาสมการอยูในรูป AX B = 

จะได A AX 1 ( ) − A B 1 − = X A B 1 − = 

เชน จงหาคําตอบของระบบสมการ x y +  3 = x y 2 3 −  4 = − 

เขียนเปนสมการเมทริกซไดเปน x y 

1 1 3 2 3 4 

= − −  

หาตัวผกผันของ 1 1 2 3 

−  

คือ 3 1 1 2 1 5 

− − − −  

จะได x y 

3 1 1 1 3 1 3 1 1 2 1 2 3 2 1 4 5 5 

− − − − − = − − − − −

x y 

9 4 1 1 6 4 2 5 

− + = = − − −  

คําตอบระบบสมการคือ  (1,2) 6.  ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม 1.3 7.  ผูสอนใหผูเรียนทําบนกระดาน และมอบหมายการบาน 

สื่ออุปกรณ  ใบกิจกรรมที่  1.3 การวัดและการประเมินผล  1. สังเกตการตอบคําถาม 

2. สังเกตจากการทําใบกิจกรรม 1.3 3. สังเกตจากการทําบนกระดาน 4. สังเกตจากการตรวจการบาน

แผนการจัดการเรียนรูที่ 4 คณิตศาสตรเพิ่มเติม  รหัสวิชา ค31202  ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 4 เรื่อง The Determinant of a Square Matrix  เวลา 2 ช่ัวโมง 

สาระสาํคัญ  เมทริกซเอกฐาน จะมีดีเทอรมิแนนตเปน 0 และไมมีตัวผูกพันของเมทริกซ ผลการเรียนรู  สามารถหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซจัตุรัส  3 3 ×  ได สาระการเรียนรุ  ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซจัตุรัส ไมเนอร โคแฟกเตอร และเมทริกซผูกพัน (adjoint matrix) กิจกรรมการจัดการเรียนรู 

1.  ผูสอนใหผูเรียนยกตัวอยางเมทริกซจัตุรัสมิติ 1 1, ×  2 2, ×  3 3 × 2.  ผูสอนบอกบทนิยามของดีเทอรมิแนนต ไมเนอร โคแฟกเตอร ดังนี้ บทนิยาม ให A a  1 1 [ ] × =  เรียก A วาเปนดีเทอรมิแนนตของ A บทนิยาม ให ij n n A a [ ] × =  เมื่อ n  2 ≥  ไมเนอรของ a ij คือ ดีเทอรมิแนนตของเมทริกซที่ไดจากการตัดแถวที่ i 

และหลักที่ j ของ A ออก เขียนแทนไมเนอรของ a ij ดวย M ij (A) บทนิยาม ให ij n n A a [ ] × =  เมื่อ n  2 ≥  เปนตัวประกอบรวมเกี่ยวของ a ij คือผลคูณของ (-1) i+j และ M ij (A) เขียน 

แทนตัวประกอบรวมเกี่ยวของ a ij ดวย C ij (A) จากบทนิยาม จะไดวา i j

ij ij C A M A ( ) ( 1) ( ) + = − บทนิยาม ให ij n n A a [ ] × =  เมื่อ n  2 ≥  ดีเทอรมิแนนตของ A คือ  + + + n n a C A a C A a C A 11 11 12 12 1 1 ( ) ( ) ... ( ) 

เขียนแทนดีเทอรมิแนนตของ A ดวย A det( )  หรือ 

3.  ผูสอนใหผูเรียนหา A det( )  เมื่อ a a

A a a 11 12 

21 22 

=

 ซึ่งคาดวาผูเรียนจะตอบไดวา A a a a a 11 22 21 12 det  = − 

แลวผูสอนยกตัวอยางประกอบดังนี้ 

ตัวอยางท่ี 1 กําหนด a a

A a a 11 12 

21 22 

=

 จงหา M A 11 ( ), M A 12 ( ), M A 21 ( ), M A 22 ( ),

C A 11 ( ), C A 12 ( ), C A 21 ( ), C A 22 ( ), A det( ) 

เนื่องจาก a a

A a a 11 12 

21 22 

=

 จะได M A a a 11 22 22 ( )= =  , M A a a 12 21 21 ( )= =

M A a a 21 12 12 ( )= =  , M A a a 22 11 11 ( )= = C A M A a 1 1 

11 11 22 ( ) ( 1) ( ) + = − = C A M A a 1 2 

12 12 21 ( ) ( 1) ( ) + = − = − C A M A a 2 1 

21 21 12 ( ) ( 1) ( ) + = − = − C A M A a 2 2 

22 22 11 ( ) ( 1) ( ) + = − =

n

n

n n nn

a a a a a a

a a a 

11 12 1 

21 22 2 

1 2 

L

L

M

L

หา A det( ) โดยกระจายตามแถวที่หนึ่ง จะได  = + A a C A a C A 11 11 12 12 det( ) ( ) ( ) a a a a 11 22 12 21 ( ) = + − a a a a 11 22 12 21 = − 

ตัวอยางท่ี 2 จงหา A det( )  เมื่อ A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 

=  

หา A det( ) โดยกระจายตามแถวที่หนึ่ง จะได A det( ) 

4.  ผูสอนใหผูเรียนหาวิธีอื่นในการหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ  3 3 ×  ซึ่งควรจะไดหลักการวานําหลักที่ 1 และ 2 มาเขียนตอหลักที่ 3 แลวหาผลคูณในแนวเฉียงจากซายบนลงมาขวาลาง นํามาบวกกัน ลบดวยผลบวก ของผลคูณในแนวเฉียงจากซายลางข้ึนไปขวาบน ดังแผนผัง 

5.  ผูสอนใหผูเรียนสรุปการหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซมิติ 1 1, ×  2 2, ×  3 3 ×  และที่มีมิติมากกวา 3 สมบัติ ของดีเทอรมิแนนต 

6.  ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม 1.4 7.  ผูสอนสุมผูเรียนทําบนกระดานโดย แลวมอบหมายการบาน 

สื่ออุปกรณ  ใบกิจกรรมที่ 1.4 การวัดและการประเมินผล  1. สังเกตการณตอบคําถาม การแสดงความคิดเห็น 

2. สังเกตจากการทําใบกิจกรรม 1.4 3. สังเกตจากงานที่ไดรับมอบหมาย 

= + + = − +

= − +

= − − − + − = − + − =

C A C A C A M A M A M A 

11 12 13 

11 12 13 

(1) ( ) 2 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( ) 3 ( ) 

5 6 4 6 4 5 2 3 8 9 7 9 7 8 

(45 48) 2(36 42) 3(32 35) 3 12 9 0

a a a 31 22 13 a a a 32 23 11 a a a

a a a 33 21 12 a a a

a a a 11 22 33 a a a

a a a 12 23 31 a a a

a a a 13 21 32 a a a

a a a a a a a a a a a a a a a 

11 12 13 11 12 

21 22 23 21 22 

31 32 33 31 32 

แผนการจัดการเรียนรูที่ 5 คณิตศาสตรเพิ่มเติม  รหัสวิชา ค31202  ช้ัน มัธยมศึกษาปที่ 4 เรื่อง Applications of Matrices and Determinants  เวลา 2 ช่ัวโมง 

สาระสาํคัญ  การนําเมทริกซและดีเทอรมิแนนตไปใชแกระบบสมการและการหาพื้นที่ ผลการเรียนรู  1. สามารถแกสมการโดยใชกฎของคราเมอรได 

2. สามารถหาพื้นที่รูปเหลี่ยมนูนได สาระการเรียนรู  กฎของคราเมอร การหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่กําหนดจุดยอดทั้งสาม การตรวจสอบจุดสามจุดอยูในแนว เสนตรงเดียวกัน กิจกรรมการจัดการเรียนรู 

1.  ผูสอนทบทวนการหาดีเทอรมิแนนตของเมทริกซ 1 1, ×  2 2, ×  3 3 ×  และทบทวนการหาคําตอบของระบบ สมการ 

2.  ผูสอนอธิบายสามารถหาคาํตอบของระบบสมการโดยใชดีเทอรมิแนนตชวยไดเมื่อดีเทอรมิแนนต ของเมทริกซนั้นตองไมเทากับศูนย มีช่ือเรียกวา กฎของคราเมอร ผูสอนยกตัวอยางประกอบดังนี้ 

ตัวอยางท่ี 1 จงแกระบบสมการโดยใชกฎของคราเมอร x y z

x y z

x y z 

2 2 3 1 2 

3 2 2 2 

+ + = + − = −

+ − = −  จากระบบสมการเขียนเมทริกซไดในรูป AX=B ดังนี้

x y z 

3 2 1 2 1 1 1 1 2 

3 2 2  2 

− = − − −  

หา 2 1 2 1 1 1 3 2 2 

− − 

ไดเทากับ -3

x 

3 1 2 1  1 1 2 2 2 2  (6 2 2) ( 4 6 1)  1 

3 3 

− −

− − + − − − − + = = = −

− −

y 

2 3 2 1 1 1 2 

3 2 2  (2 9 4) ( 3 4 6)  2 3 3 

− −

− − − − − − + − = = =

− −

z 

2 1 3 1 1 1 2  3 ( 4 6) (9 2 2) 3 2 2  3 2 

3 3 2 

−

− − + − − − − = = =

− − 

คําตอบระบบสมการคือ  3 1,2, 2 

−  

3.  ผูสอนอธิบายการหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมเมื่อกําหนดจุดยอดทั้งสาม ดังนี้ ถา x y 1 1 ( , ), x y 2 2 ( , )  และ x y 3 3 ( , ) 

เปนจุดยอดของรูปสามเหลี่ยม พื้นที่จะเทากับ x y x y x y 

1 1 

2 2 

3 3 

1 1  1 2 

1 ± 

หมายเหตุ : พื้นที่รูปสามเหลี่ยมจะเปนบวกเสมอ ตัวอยางเชน ตัวอยางท่ี 2 จงหาพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่มีจุดยอด  (1,0),  (2,2)  และ  (4,3) 

จะไดพื้นที่เทากับ 1 0 1 

1  2 2 1 2 4 3 1 

± 

1 (2 0 6 8 3 0) 2 

= ± + + − − − 

ดังนั้นพื้นที่  1 ( 3) 2 

= − − 

3 2 

= 

4.  ผูสอนอธิบายการตรวจสอบจุดสามจุดอยูบนเสนตรงเดียวกัน x y 1 1 ( , ), x y 2 2 ( , )  และ x y 3 3 ( , )  อยูบน เสนตรงเดียวกันก็ตอเมื่อ

x y x y x y 

1 1 

2 2 

3 3 

1 1 0 1 

= 

ผูสอนเพิ่มเติมนอกจากนี้ยังสามารถหาสมการเสนตรงที่ลากผานจุดสองจุดไดดังนี้ ถา x y 1 1 ( , )  และ x y 2 2 ( , )  เปนจุดสองจุดใด ๆ จะไดสมการเสนตรง คือ 

= x y x y x y 1 1 

2 2 

1 1 0 1 

แลวผูสอนยกตัวอยางดังนี้ ตัวอยางท่ี 3 จงตรวจสอบจุด  ( 2, 2), − −  (1,1)  และ  (7,5)  อยูบนเสนตรงเดียวกันหรือไม

พิจารณา 2 2 1 1 1 1 7 5 1 

− −  2 1 2 1 2 2 5 1 7 1 7 5 

− − − − = − + − 

( 2 5) ( 2 7) ( 10 14) = − − − + − − − − + 7 9 4 = − − 6 = − 

ดังนั้น  ( 2, 2), − −  (1,1)  และ  (7,5)  ไมไดอยูบนเสนตรงเดียวกัน ตัวอยางท่ี 4 จงหาสมการเสนตรงที่ลากผานจุด  (2,4)  และ  ( 1,3) − 

พิจารณา x y  1 2 4 1 0 1 3 1 

= − 

จะได

x y

x y 

4 1 2 1 2 4 ( 1) 0 3 1 1 1 1 3 

3 10 0 

+ − + = − −

− + = ดังนั้น เสนตรงที่ผานจุด  (2,4)  และ  ( 1,3) −  มีสมการ x y 3 10 0 − + = 5.  ผูสอนบอกประโยชนของเมทริกซอีกแบบหนึ่งคือ การสรางรหัสลับ ใหผูเรียนศึกษาจากแบบเรียน 6.  ผูสอนใหผูเรียนทําใบกิจกรรม  1.5 7.  ผูสอนสุมผูเรียนทําบนกระดานโดยใชโจทยจากแบบเรียนแลมอบหมายการบาน 

สื่ออุปกรณ  ใบกิจกรรมที่  1.5 การวัดและการประเมินผล  1. สังเกตจากการตอบคําถาม 

2. การทํางานบนกระดาน 3. การทําใบกิจกรรม  1.5 4. การตรวจงานที่มอบหมาย 

หมายเหตุ  ผูจัดทําตองขอขอบพระคุณ คณุครูจําเริญ เจียวหวาน โรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ มา ณ โอกาสนี้ดวย ที่ทานไดเผยแพรแผนการจัดการเรียนรูเรื่องเมทริกซทางอินเทอเน็ต ผูจัดทําจึงขออนุญาตเผยแพรตอ  เพื่อการศกึษาของเด็กไทยเทานัน้ มิไดมีจดุประสงคอื่นใด