DEDUCCION DE LA DISTRIBUCION DE VELOCIDAD EN UN CHORROTURBULENTO PLANO (PLANE JET)

Autores: MARIA GLORIA BRITEZ GIMENEZ, PAOLA GISELLE JIMENEZCACERES, MARISSA IVONNE MANCIA ALMADA, EDWINS SEBASTIAN

RUIZ DIAZ PEREZ

Orientador: Ing. Qum. DIEGO RENE GONZALEZ WEIBERLEN

TRABAJO PRACTICO Presentado a la Facultad de Ciencias Qumicas de laUniversidad Nacional de Asuncion, para la Catedra de FENOMENOS DE

TRANSPORTE I

San Lorenzo-Paraguay

NOVIEMBRE - 2014

INDICE

1. Descripcion del problema 1

2. Metodologa de resolucion. 22.1. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. Ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3. Funcion de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.4. Funcion de corriente y ecuacion de movimiento . . . . . . . . . . . . 7

3. Resultados que plantea 11

4. Transformaciones matematicas 13

ii

Captulo 1

Descripcion del problema

El flujo turbulento sin existencia de una superficie que lo limita se denomina > . Uno de los probelmas mas sencillos de flujo de cizalla enturbulencia libre es el flujo en un clorro plano.

Figura 1.1: Esquema de un chorro turbulento

Encuentre una expresion para el perfil de velocidad u en funcion a parametrosconocidos y a las variables x e y.

1

Captulo 2

Metodologa de resolucion.

2.1. Ecuacion de continuidadPartiendo de la forma general de la ecuacion de continuidad:

t+(v) = 0 (2.1)

t+(v) = 0 (2.2)

t+(u

x+v

y+w

z) = 0 (2.3)

El sistema ocurre en el plano x y por tanto wz

= 0 y siendo el fluido de trabajoincompresible

t= 0. Dividiendo ambos miembros por , queda:

u

x+v

y= 0 (2.4)

v

y= u

x(2.5)

2.2. Ecuacion de movimientoPartiendo de la forma general de la ecuacion de movimiento:

DvDt

= P + 2v + g (2.6)

Desarrollando para el eje x.

DuDt

= Px

+ 2u + gx (2.7)

(u

t+ u

u

x+ v

u

y+ w

u

z) = P

x+ (

2u

x2+2u

y2+2u

z2) + gx (2.8)

El chorro es plano por lo tanto uz

= 0, 2uz2

= 0Para el sistema no existe gradiente de presion P

x= 0

2

ni actua la gravedad gx = 0 Tampoco hay fuerzas opositoras a u por tantoux

= cte, 2ux2

= 0 El sistema es estacionario por tanto ut

= 0

(uu

x+ v

u

y) =

2u

y2(2.9)

La viscosidad cinematica es, =

uu

x+ v

u

y=

2u

y2(2.10)

Combinando esta ecuacion con la transformacion 1 (4.3)

uu

x+

y(uv) uv

y=

2u

y2(2.11)

Luego combinando con la ecuacion de continuidad (2.3)

uu

x+

y(uv) u(u

x) =

2u

y2(2.12)

2uu

x+

y(uv) =

2u

y2(2.13)

Combinando esta ecuacion con la transformacion 2 (4.5)

x(u2) +

y(uv) =

2u

y2(2.14)

Esta es la ecuacion de movimiento que describe al sistema estudiado.Multiplicando por la densidad y ajustando la segunda derivada respecto a y

x(u2) +

y(uv) =

y

(u

y

)(2.15)

Luego integrando respecto a y desde - hasta +

x

+

(u2)dy +

+

y(uv)dy =

+

y

(u

y

)dy (2.16)

x

+

(u2)dy +

[uv

]+

=

[u

y

]+

(2.17)

Por simetra del sistema respecto al eje y tenemos que +

(f(y))dy = 2

+0

(f(y))dy (2.18)

De la misma forma [f

]+

= 2

[f

]+0

(2.19)

con esta premisa obtemos

x

+

(u2)dy + 2

[uv

]+0

= 2

[u

y

]+0

(2.20)

Evaluando

x

+

(u2)dy + 2

([uv

]+[uv

]0

)= 2

([u

y

]+[u

y

]0

)(2.21)

3

Condiciones de frontera:

Para y = 0 , v(0) = 0.

Para y = + , v() = 0.Para v(0) = 0 , v

y= 0.

Para v() = 0 , vy

= 0.

Luego la ecuacion 2.21 queda como

x

+

(u2)dy = 0 (2.22)

Integrando respecto a x queda +

(u2)dy + C = 0 (2.23)

Finalmente

M =

+

(u2)dy = constante (2.24)

Esto expresa un flujo de cantidad de movimiento constante, que puede ser convenien-temente definida como un flujo de cantidad de movimiento del fluido que ingresa alsistema. Definimos de esta manera en funcion a variables caractersiticas:

M = U2L (2.25)

As tambien la definicion del numero de Reynolds es

Re =UL

(2.26)

Reordenando el numero de reynolds

Re

L= U (2.27)

Elevando al cuadrado y reemplazando en la ecuacion 2.25

M =

(Re

L

)2L (2.28)

Simplificando

M =

(( Re)2

L

)(2.29)

4

2.3. Funcion de corriente La funcion de corriente es una funcion de 2 variables x e y

= f(x, y) (2.30)

Introducimos el cambio de variables (x, y) a (x, )

= f(x, ) (2.31)

Definimos ahora = xpf() ; =

y

xq(2.32)

La componente de la velocidad en x de esta forma queda

u =

y=

y(2.33)

Luego

= xpf (n) ;

y=

1

xq(2.34)

Esto conduce a una expresion de u igual a

u = xpf (n)1

xq= xpqf (n) (2.35)

Para esta expresion de la velocidad u necesitamos realizar el escalado, es decir determi-nar los valores de p y q respectivamente. Estos valores seran determinados realizandoun analisis de escala reemplazando la u en la ecuacion de movimiento del sistema y enla definicion del flujo de cantidad de movimiento.

Primeramente reemplazamos u en la definicion de M (2.24)

M = constante =

+

(xpqf (n)

)2dy (2.36)

M = constante = x2(pq) +

(f (n)

)2dy (2.37)

dn =1

xqdy ; dy = xqdn (2.38)

M = constante = x2p2q +

(f (n)

)2xqdn (2.39)

M = constante = x2p2q+q +

(f (n)

)2dn (2.40)

M = constante = x2pq +

(f (n)

)2dn (2.41)

1.constante = x2pq. +

(f (n)

)2dn (2.42)

x0.constante = x2pq. +

(f (n)

)2dn (2.43)

x0 = x2pq (2.44)

0 = 2p q (2.45)

5

Ahora partimos de la premisa que en el eje x las fuerzas inerciales se deben equilibrarpor tanto

uu

x=

2u

y2(2.46)

Esto en vista a que se utiliza para una busqueda de escala se pueden obviar las cons-tantes y aproximar las derivadas:

uu

x=

u

y2(2.47)

u2

x=

u

y2(2.48)

Sustituyendo la expresion de u 2.35 y obteniendo y = xq a partir de la ecuacion (2.56)se tiene (

xpqf (n))2

x=

(xpqf (n)

)(xq

)2 (2.49)Ordenando y simplificando

x2p2q1(f (n)

)2= xp3q

f (n)2

(2.50)

Tomando la igualdad de las x escaladas

x2p2q1 = xp3q (2.51)

2p 2q 1 = p 3q (2.52)2p 2q 1 = p 3q (2.53)

p+ q = 1 (2.54)

Resolviendo simultaneamente la ecuacion (2.45) con la ecuacion (2.54) se obtienen

p =1

3; q =

2

3(2.55)

Esto lleva a una expresion final de la funcion de corriente igual a

= x13f() ; =

y

x23

(2.56)

6

2.4. Funcion de corriente y ecuacion de movimientoConvenientemente se redefine la funcion de corriente interoduciendo la viscocidad

cinematica, esto lleva a =

12x

13f() (2.57)

=1

312

y

x23

(2.58)

Por definicion uu =

y(2.59)

u =

y(2.60)

=

12x

13f (n) ;

y=x

23

312

(2.61)

u =1

3x

13f (n) (2.62)

Por definicion vv =

x(2.63)

v = x

x

x

x(2.64)

x=

1

3x

23

12 ;x

x= 1 ;

=

1

3x

13

12f (n) ;

x= 2

3

x(2.65)

v = 13

12x

23

[f(n) 2f (n)] (2.66)

Cambiando de coordenadas y reemplazando la u y la v se obtienen las siguientes deri-vadas

2u

y2=

1

27x

531f () (2.67)

y

(u v

)=

1

27x

53

[f ()

(f () + 2f ()

) f ()

(f 2f ()

)](2.68)

y(u2) = 2

27x

53f ()

[f () + 2f ()

](2.69)

Las transformaciones realizadas para obtener estos terminos se encuentran desa-rrolladas en el apartado Cambio de coordenadas (4.9)

Reemplazando estos terminos en la ecuacion de movimiento (2.14)

227x

53f ()

[f ()+2f ()

]+

1

27x

53

[f ()

(f ()+2f ()

)f ()

(f2f ()

)].....

= 1

27x

531f ()

Multiplicando ambos miembros por 27x53

2f ()[f ()+2f ()

]+

[f ()

(f ()+2f ()

)f ()

(f2f ()

)]= f ()

(2.70)

7

Distribuyendo y simplificando

f () + f()f () + (f ())2 = 0 (2.71)

Combinando con la transformacion 3 (4.6)

f () +d

d(f()f ()) = 0 (2.72)

d

dn(f ()) +

d

d(f()f ()) = 0 (2.73)

d

dn(f ()) +

d

d(f()f ()) =

0 (2.74)

f () + f()f () = C (2.75)

Esta constante se determina con las condiciones de frontera

n = 0 , f() = 0

n = 0 , f () = 0

n = 0 , f () = 0

Luegof () + f()f () = 0 (2.76)

En este punto se realiza una nueva transformacion, definiendo las nuevas variables

= ; f() = 2F () (2.77)

Siendo una constante libre que sera determinada mas adelante, tenemos:

f () = 23F () (2.78)

f()f () = 43F ()F () (2.79)

Reemplazando en la ecuacion 2.76 se tiene

23F () + 43F ()F () = 0 (2.80)

F () + 2F ()F () = 0 (2.81)

d

dF 2() = 2F ()F () (2.82)

Luego reordenando

F () +d

dF 2() = 0 (2.83)

d

d(F ()) +

d

d(F 2()) = 0 (2.84)

Integrando d

d(F ()) +

d

d(F 2()) =

0 (2.85)

F () + F 2() = K (2.86)

8

Designando arbitrariamente 1 a la constante K por la libertad de la constante

F () + F 2() = 1 (2.87)

d

dF () = 1 F 2() (2.88)

dF

dF () = 1 F 2() (2.89)F ()

1 F 2()dF =d (2.90)

=

F0

F ()

1 F 2()dF =1

2ln

(1 + F ()

1 F ())

(2.91)

= tanh1(F ()) (2.92)

tanh() = F () (2.93)

Luego, trabajando con las definiciones en (2.77) se obtiene

f()

=f()

f()

= 2sech2() = 22sech2() (2.94)

Convinando este a su vez con la ecuacion para u (4.7)

u =1

3x13

f () =2

3

2

x13

sech2() (2.95)

Introduciendo esta distribucion horizontal de la velocidad en la ecuacion 2.24 para Mconstante

M =

+

(u2)dy =

+

(

(2

3

2

x13

sech2()

)2)dy (2.96)

M =

+

(

(2

3

2

x13

)2(sech2()

)2)dy (2.97)

M =

(2

3

2

x13

)2 +

(sech4())dy (2.98)

d() =x

23

312

dy (2.99)

dy =3

12x

23

d (2.100)

M =

(2

3

2

x13

)2 +

(sech4())3

12x

23

d (2.101)

M = 3

12x

23

(2

3

2

x13

)2 +

(sech4())d (2.102)

M = 4

123

3

+

(sech4())d (2.103)

9

La simetra respecto a y permite

M = 8

123

3

+0

(sech4())d (2.104)

M = 8

123

3

+0

(sech2()sech2())d = 8

123

3

+0

(1tanh2())sech2()d(2.105)

M = 8

123

3

+0

(1 tanh2())(tanh())d (2.106)

M = 8

123

3

+0

((tanh())

tanh2()(tanh()))d (2.107)

(tanh3())= 3tanh2()(tanh())

(2.108)

1

3(tanh3())

= tanh2()(tanh())

(2.109)

M = 8

123

3

+0

((tanh())

13

(tanh3()))d (2.110)

M = 8

123

3

([tanh()

]+0

13

[tanh3()

]+0

)(2.111)

M = 8

123

3

([1 0

] 1

3

[1 0

])(2.112)

M = 8

123

3

(2

3

)(2.113)

M = 16

123

9(2.114)

9 M

1612

= 3 (2.115)

=

(9

16

) 13(M

12

) 13

(2.116)

10

Captulo 3

Resultados que plantea

Partiendo del perfil de velocidad horizontal obtenido en la ecuacion (2.95), inclu-yendo la constante determinada en (2.116) y sustituyendo en la definicion de (2.77)y (2.56) respectivamente se obtiene

u =

(3M2

322x

) 13

sech2[(

M

482x2

) 13

y

](3.1)

Con una M definida en funcion a

M =

(( Re)2

L

)(3.2)

Donde:

u: perfil de velocidad

M : flujo de cantidad de movimiento

: densidad del fluido

: viscosidad cinematica del fluido

Re: numero de Reynolds

: viscocidad del fluido

L: longitud caracterstica.

11

Figura 3.1: Distribucion de la velocidad en un plane jet, para diferentes valores de xobtenido en matlab

Figura 3.2: Distribucion de la velocidad en un plane jet

12

Captulo 4

Transformaciones matematicas

Transformacion 1

y(uv) = u

v

y+ v

u

y(4.1)

y(uv) uv

y= v

u

y(4.2)

vu

y=

y(uv) uv

y(4.3)

Transformacion 2

x(u.u) = u

u

x+ u

u

x(4.4)

y(u2) = 2.u

u

x(4.5)

Transformacion 3

d

d(f()f ()) = f ()f () + f()f () (4.6)

Cambios de coordenadas

u =1

3x

13f () (4.7)

v = 13

12x

23

[f() 2f ()] (4.8)

Se cambiaran las coordenadas (x, y) a (x, )

Determinacion de x

(u2)

x

(u2)

=

x(u u) = 2u

u

x= 2u

(u

x

x

x+u

x

)(4.9)

u

x= 1

9x

43f () ;

x

x= 1 (4.10)

u

=

1

3x

13f () ;

x= 2

3

x(4.11)

y(u2) = 2

27x

53f ()

[f () + 2f ()

](4.12)

13

Determinacion de y

(u v

)

y

(u v

)= u

v

y+ v

u

y= u

v

y+ v

u

y(4.13)

u

=

1

3x

13f () ;

y=x

23

312

(4.14)

v

=

1

3

12x

23

[f () + 2f (n)

];

y=x

23

312

(4.15)

y

(u v

)=

1

27x

53

[f ()

(f () + 2f ()

) f ()

(f 2f ()

)](4.16)

Determinacion de(2uy2

)2u

y2=

y

(u

y

)=

(u

y

)=

(u

y

)=2u

2

y+u

2

y2(4.17)

2u

2=

1

3x

13f () ;

y=

(x

23

312

)2(4.18)

2

y2= 0 ;

u

=

1

3x

13f () (4.19)

2u

y2=

1

27x

531f () (4.20)

14

Descripcin del problemaMetodologa de resolucin.Ecuacin de continuidadEcuacin de movimientoFuncin de corriente Funcin de corriente y ecuacin de movimiento

Resultados que planteaTransformaciones matemticas