planificação de sólidos arquimedianos a partir de lógicas ...• poliedros semirregulares: todas...
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Planificação de Sólidos Arquimedianos
a partir de lógicas de SIMETRIA
Este material registra um exercício que abordou, de maneira conjunta, o estudo
sobre as lógicas de planificação de sólidos arquimedianos a partir do conceito de
simetria e a apropriação de técnicas digitais de representação por meio do
software SketchUp (nível introdutório).
Foi desenvolvido pela acadêmica de arquitetura Valentina Toaldo Brum, bolsista
de iniciação científica (2015/1016) do Projeto ACORDA/Universal/CNPq, sob
orientação da Profa. Adriane Borda/GEGRADI FAURB/UFPel
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• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou
mais tipos
• O comprimento das arestas é constante
SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS
A1
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SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS SÓLIDOS FACES ARESTAS VÉRTICES FACES EM CADA VÉRTICE
TETRAEDRO TRUNCADO 8 18 12 3
CUBOCTAEDRO 14 24 12 4
CUBO TRUNCADO 14 36 24 3
OCTAEDRO TRUNCADO 14 36 24 3
ROMBICUBOCTAEDRO 26 48 24 4
CUBOCTAEDRO TRUNCADO 26 72 48 3
ICOSIDODECAEDRO 32 60 30 4
DODECAEDRO TRUNCADO 32 90 60 3
ICOSAEDRO TRUNCADO 32 90 60 3
ROMBICOSIDODECAEDRO 62 120 60 4
ICOSIDODECAEDRO TRUNCADO 62 180 120 3
CUBO ACHATADO 38 30 24 5
DODECAEDRO ACHATADO 92 150 60 5
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Tetraedro truncado O tetraedro truncado é um sólido arquimediano formado por 4 hexágonos e 4
triângulos equiláteros, 18 arestas e 12 vértices. Em cada vértice há o encontro de 2
hexágonos e 1 triângulo.
Sua planificação pode ser realizada através da repetição de uma simetria de frisos:
TRANSLAÇÃO 1 F1= <Ta> e TRANSLAÇÃO 2 F1= <Ta>.
MÓDULO 1
MÓDULO 2
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um triângulo equilátero.
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O triângulo foi rotacionado 60º e copiado duas vezes, a primeira partindo do vértice
C para o vértice A e a segunda, do vértice C para o vértice B. Em seguida os três
triângulos foram rotacionados 180º e copiados para dar origem a um hexágono.
A B
C
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A B
O triângulo inicial foi movido e copiado duas vezes: do vértice B para o vértice A e
do B para o C. Na sequência as arestas internas do hexágono foram excluídas.
D
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O hexágono foi movido e copiado duas vezes: do vértice A para o E e do E para
o F.
E
A B
D
F
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O hexágono inicial e os dois triângulos foram movidos e copiados partindo do
vértice G para o vértice H.
E
A B
D
F
G H
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Cuboctaedro
60º
O cuboctaedro é um sólido arquimediano formado por 8 triângulos equiláteros e 6 quadrados,
24 arestas e 12 vértices. Em cada vértice há o encontro de 2 quadrados e 2 triângulos.
Sua planificação pode ser realizada através da união de duas simetrias centrais CÍCLICAS C3 e
C4 e na sequência uma simetria de frisos: TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado justaposto a um
triângulo equilátero.
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Foram inseridos triângulos equiláteros em cada um das arestas do quadrado e ao
triângulo, foram inseridos quadrados em cada uma de suas arestas.
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O conjunto de polígonos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B e o
segundo conjunto foi rotacionado 60º, de maneira que possua uma aresta comum
ao triângulo 1.
1 A
B
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Cubo truncado
O cubo truncado é um sólido arquimediano formado por 8 triângulos e 6 octógonos, 36
arestas e 24 vértices. Em cada vértice há o encontro de um triângulo e 2 octógonos.
Sua planificação pode ser realizada através de um tipo de simetria de frisos:
TRANSLAÇÃO F1= <Ta>, seguida da adição de um polígono e outra simetria de friso:
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um octógono. Desenhou-se uma linha
e esta foi rotacionada 135º e copiada três vezes: partindo do vértice B para o
vértice A, do C para o B e do D para o C. Estas quatro linhas foram copiadas
para um ponto qualquer do desenho e foram rotacionadas 180º. Em seguida
foram unidas às quatro primeiras linhas, formando um octógono.
A B
C
A B
D
C
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Ao octógono foi inserido um triângulo equilátero, conforme a figura abaixo .
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O octógno e o triângulo foram movidos e copiados duas vezes.
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Em seguida, foi adicionado um triângulo ao primeiro octógono, em sua aresta
inferior esquerda.
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O conjunto de sólidos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio (M)
do segmento AB.
A B
M
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Octaedro truncado O octaedro truncado é um sólido arquimediano formado por 6 quadrados e 8 hexágonos,
36 arestas e 24 vértices. Em cada vértice há o encontro de 1 quadrado e 2 hexágonos.
Sua planificação pode ser realizada através de uma simetria de papel de parede: ROTAÇÃO
W1= <GA>, em seguida foi eliminado um polígono e foi realizada uma simetria de friso:
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um hexágono. Foi acrescentado um
quadrado a sua aresta superior.
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Os dois polígonos foram rotacionados 180º e copiados partindo do ponto médio (M)
do segmento AB para o vértice B. O mesmo se repetiu com dos pontos M1 para o
vértice D e M2 para o vértice F. Na sequência o quadrado pertencente ao último
conjunto foi eliminado.
A
B
M
C D M1
E
F
M2
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento GH para o vértice G.
A B M
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Rombicuboctaedro O rombicuboctaedro é um sólido arquimediano formado por 8 triângulos equiláteros e
18 quadrados, 48 arestas e 24 vértices. Em cada vértice há o encontro de 3
quadrados e 1 triângulo.
Sua planificação pode ser realizada através de uma simetria de friso: TRANSLAÇÃO F1=
<Ta>, seguida da adição de um polígono e de outra simetria de friso: TRANSLAÇÃO +
REFLEXÃO COM DESLIZAMENTO F13= <Ta ,L >
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. Foram inseridos dois
triângulos equiláteros: um na aresta superior e outro na aresta inferior.
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Foi adicionado um quadrado ao lado direito do quadrado inicial, e a este novo
quadrado foram inseridos dois quadrados: um na aresta superior e outro na aresta
inferior.
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O conjunto de sólidos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B. Em
seguida foi adicionado um quadrado ao primeiro quadrado superior, conforme a
figura abaixo.
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O conjunto de polígonos foi movido e copiado partindo do vértice A para o vértice B
e o último quadrado da parte superior foi movido para a parte inferior do conjunto.
A B
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Cuboctaedro truncado O cuboctaedro truncado é um sólido arquimediano formado por 12 quadrados, 8
hexágonos e 6 octógonos, 72 arestas e 48 vértices. Em cada vértice há o encontro
de 1 quadrado, 1 hexágono e 1 octógono.
Sua planificação pode ser realizada através de uma simetria de friso: TRANSLAÇÃO F1=
<Ta>, seguida da adição de um polígono e de outra simetria de friso: TRANSLAÇÃO +
REFLEXÃO COM DESLIZAMENTO F13= <Ta ,L >
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. A sua aresta esquerda foi
inserido um octógono.
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Ao octógono foram inseridos dois quadrados, um na aresta superior e outro na
aresta inferior, e ao quadrado foram inseridos dois hexágonos, um na aresta
superior e outro na aresta inferior.
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O conjunto de polígonos foi movido e copiado do vértice A para o vértice B.
A B
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Ao quadrado superior do primeiro octógono foi acrescentado um octógono.
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O conjunto de polígonos foi movido e rotacionado do vértice A para o C e segundo
octógono superior foi movido para a parte inferior do conjunto.
A C
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Icosidodecaedro
O icosidodecaedro é um sólido arquimediano formado 20 triângulos equiláteros e 12
pentágonos , 60 arestas e 30 vértices. Em cada vértice há o encontro de 2 triângulos e
2 pentágonos.
Sua planificação foi realizada através da união de dois tipos de simetria:
CÍCLICA C5 + TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >.
192º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um pentágono.
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Ao pentágono foi adicionado um triângulo equilátero. Os dois polígonos foram
copiados para um ponto qualquer do desenho, rotacionados 96º e movidos de
forma que o triângulo possua uma aresta comum ao segundo pentágono.
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Os dois triângulos e o segundo pentágono foram rotacionados 192º e copiados
partindo do ponto A para o ponto B. Esta ação foi repetida nas demais arestas do
pentágono inicial.
A
B
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 192º e copiado partindo do ponto C para o D.
D
C
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Dodecaedro truncado
O dodecaedro truncado é um sólido arquimediano formado por 20 triângulos
equiláteros e 12 decágonos, 90 arestas e 60 vértices. Em cada vértice há o encontro
de 1 triângulo e 2 decágonos.
Sua planificação foi realizada através da união de dois tipos de simetria:
CÍCLICA C5 + TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >.
180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um decágono. Desenhou-se uma linha e
esta foi rotacionada 144º e copiada quatro vezes: partindo do vértice B para o
vértice A, do C para o B, do D para o C e do E para o D. Estas quatro linhas foram
copiadas para um ponto qualquer do desenho e foram rotacionadas 180º. Em
seguida foram unidas às cinco primeiras linhas, formando um decágono.
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Foram inseridos, de maneira intercalada, cinco triângulos e cinco decágonos às
arestas do decágono inicial. Em seguida foi adicionado um triângulo a cada um dos
cinco decágonos, de forma que houvessem duas arestas livres após a aresta comum
ao primeiro decágono.
ARESTAS LIVRES
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento AB para o vértice B
A
B M
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Icosaedro truncado
O icosaedro truncado é um sólido arquimediano formado por 12 pentágonos e 20
hexágonos, 90 arestas e 60 vértices. Em cada vértice há o encontro de 1 pentágono e
2 hexágonos.
Sua planificação pode ser realizada através da repetição de um tipo de simetria de friso:
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >, seguida da adição de um polígono e
novamente TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º 180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um hexágono. A ele foram inseridos um
pentágono, em sua aresta superior, e um hexágono, em sua aresta inferior.
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Estes polígonos foram rotacionados 180º e copiados partindo do ponto médio (M)
do segmento AB para o vértice B.
A
B
M
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A ação foi repetida mais três vezes.
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A parte superior do segundo conjunto de polígonos foi acrescentado um pentágono.
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento CD para o vértice D.
C
D
M
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Rombicosidodecaedro O rombicosidodecaedro é um sólido arquimediano formado 20 triângulos, 30
quadrados e 12 pentágonos, 120 arestas e 60 vértices. Em cada vértice há o
encontro de 1 triângulo, 1 pentágono e 2 quadrados.
Sua planificação pode ser realizada através de dois tipos de simetria de friso:
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >, seguida da adição de um polígono,
TRANSLAÇÃO F1= <Ta> e adicação de dois polígonos.
180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. Foram adicionados dois
triângulos, um na aresta superior do quadrado e outro na aresta inferior.
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Ao triângulo superior foi inserido meio quadrado, ao quadrado, um pentágono, e ao
triângulo inferior, um quadrado.
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento AB para o vértice A.
A
B
M
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Foi inserido um quadrado ao triângulo superior do primeiro conjunto de polígonos. A
aresta comum aos dois meios quadrados foi eliminada.
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O conjunto de polígonos foi movido e copiado quatro vezes
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Na parte superior do segundo conjunto de polígonos foi acrescentado um
pentágono. O mesmo foi feito na parte inferior do quatro conjunto de polígonos.
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Icosidodecaedro truncado
O icosidodecaedro truncado é um sólido arquimediano formado por trinta quadrados,
vinte hexágonos e doze decágonos, 180 arestas e 120 vértices. Em cada vértices há
o encontro de 1 quadrado, 1 hexágono e 1 decágono.
Sua planificação pode ser realizada através da repetição de um tipo de simetria de friso:
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >, seguida da adição de um polígono e
novamente TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º 180º
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Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. Foram adicionados dois
hexágonos, um na aresta superior do quadrado e outro na aresta inferior.
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Ao hexágono superior foi acrescentado um quadrado na aresta superior direita e ao
hexágono inferior foram acrescentados um quadrado, um decágono e meio
quadrado, conforme a figura abaixo.
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O conjunto de polígonos foi rotacionado180º partindo do ponto médio (M) do
segmento AB para o vértice B. A ação foi repetida três vezes, sempre usando o
centro do quadrado como ponto fixo da rotação.
A
B M
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Ao primeiro conjunto de polígonos foi acrescentado um decágono. As arestas
comuns aos meios quadrados foram excluídas.
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O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto C (centro
do quadrado) para o ponto D.
C
D
![Page 63: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/63.jpg)
Cubo achatado
O cubo achatado é um sólido arquimediano formado por 32 triângulos equiláteros e 6
quadrados, 30 arestas e 24 vértices. Em cada vértice há o encontro de 1 quadrado e 4
triângulos.
Sua planificação pode ser realizada através de uma simetria de friso: TRANSLAÇÃO F1=
<Ta>, seguida da adição de um polígono e TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º
![Page 64: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/64.jpg)
para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. Foram inseridos
triângulos equiláteros em cada uma das arestas do quadrado.
Para planificá-lo partiu-se do desenho de um quadrado. Foram adicionados
triângulos equiláteros a cada uma de suas arestas. À esquerda do triângulo da
aresta inferior foi acrescentado outro triângulo.
![Page 65: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/65.jpg)
O conjunto de polígonos movido e copiado duas vezes.
![Page 66: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/66.jpg)
À direita do triângulo superior do primeiro conjunto de polígonos foi acrescentado
um triângulo.
![Page 67: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/67.jpg)
O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento AB para o vértice B.
A
B M
![Page 68: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/68.jpg)
Dodecaedro achatado
O dodecaedro achatado é um sólido arquimediano formado por 80 triângulos
equiláteros e 12 pentágonos, 150 arestas e 60 vértices. Em cada vértice há o
encontro de 1 pentágono e 4 triângulos.
Sua planificação pode ser realizada através de uma simetria de friso: TRANSLAÇÃO +
ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >, seguida da adição de um polígono e novamente
TRANSLAÇÃO + ROTAÇÃO F2= <Ta , GA >
180º
180º
![Page 69: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/69.jpg)
Para planificá-lo partiu-se do desenho de um triângulo equilátero. Foi acrescentado
um triângulo a cada aresta do triângulo inicial.
![Page 70: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/70.jpg)
Os quatros triângulos foram rotacionados 180º e copiados, partindo do ponto médio
(M) do segmento AB para o vértice B.
A
B M
![Page 71: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/71.jpg)
Foi acrescentado um pentágono à parte inferior do triângulo à direita do primeiro
conjunto.
![Page 72: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/72.jpg)
O conjunto foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio (M) do
segmento CD para o vértice C. A ação se repetiu mais três vezes.
C
D M
![Page 73: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/73.jpg)
Foi acrescentado um pentágono à parte superior do triângulo à esquerda do
primeiro conjunto.
![Page 74: Planificação de Sólidos Arquimedianos a partir de lógicas ...• Poliedros semirregulares: todas as faces são polígonos regulares de dois ou mais tipos • O comprimento das](https://reader036.vdocuments.pub/reader036/viewer/2022071215/6044ef5312ef8401d836230d/html5/thumbnails/74.jpg)
O conjunto de polígonos foi rotacionado 180º e copiado partindo do ponto médio
(M) do segmento EF para o vértice F.
E
F M
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Referências
http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/cubo-br.html
http://www.es.iff.edu.br/poliedros/planifi_arquimedes.html