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Plano tangente a uma superficie: G(f).

O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.

Seja uma função diferençável no ponto (x0,y0) RRAf 2:

Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)

0)0.(1)()(00 00 zzfyyfxx yx

),( 000yx

x

ff x

),( 000

yxy

ff y

Plano tangente a uma curva.

A interseção do plano eA curva z=f(x,y) é justamente o ponto (x0,y0)

http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html

h

rfuhrfDf hu

)()(lim 00

0

Derivada direcional

Definição: Seja RRAf n : uma função realde variável vetorial

Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de Rn.A derivada direcional de f no ponto r é

Se o limite existe. Define uma reta LQue passa por r0 na direção u .

ruhr 0

Derivada direcional

)),,(

-

),,((lim

000

3020100

h

zyxf

h

huzhuyhuxfDf hu

RRAf 3:Seja , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3)

Conforme h0, r r0

Derivada direcional

)),(),(

(lim 0020100

h

yxfhuyhuxfDf hu

RRAf 2:Seja , e ro=(x0,y0), e u=(u1,u2)

ro

ro+ h u = r

u

Conforme h0, r r0

Derivada direcional

Derivada direcional

u

ffD

u

É a taxa de variação de f em relação à

distancia no ponto r0, ao longo do vetor unitário u .

Particularizando para u = e1= (1,0) = i

Particularizando para u = e1 = (0,1) = j

01

|)()(

lim 0100 rhe x

f

h

rfehrffD

02

|)()(

lim 0200 rhe y

f

h

rfehrffD

Derivada parcial como taxa de variação.

A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo

da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),

),( 00 yxx

f

A derivada parcial é a taxa de variação de f ao longo

da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),

),( 00 yxy

f

Notemos que na definição de derivada direcional o vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se o vetor não fosse unitário, a derivada direcional nãodependeria somente do ponto e da direção, mas também do comprimento do vetor.

Exemplos

1.- Seja f(x,y)= x2+y2+1, determine a derivada direcional dafunção f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitáriou=(u1,u2).

2.- Seja f(x,y,z)= x2 + 2 y2 – z, determine a derivada direcional de f no ponto (1,1,1) na direção v=(1,2,1)

3.- Determine a taxa de variação do potencial elétricoV = k (x2+y2+z2)-1/2 no ponto (1,2,0) na direção v=(1,2,0),K é uma constante, assuma k=1.

Gradiente de uma função real de variável vetorial.

Definição: Seja )uf( )x,..,x,(xu

:

n21

RRAf n

uma função real de variável vetorial , sendo u um vetor arbitrário de A subconjunto de Rn

)f

,...,f

,f

()( f

:

n21 xxx

fgrad

RRfgrad n

Existe uma transformação linear que leva f a um vetor Rn

chamado de vetor gradiente “grad f”

“grad” Operador gradiente grad (f) vetor gradiente

n

x

2

x

1

x

ef

...ef

ef

)(

n21

fgrad

)1,....,0,0(

.

)0,...,1,0(

)0,....,0,1(

2

1

ne

e

e

Caso f: R3 R, f=f(x,y,z)

)f

,f

,f

()f

,f

,f

()(yxxxx 321 z

fgrad

Operador Gradiente

À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento do gradiente cresce ficando igual a duas vezes a distância do ponto à origem.

F(x,y)= x2- y2, grad(f) = (2x, -2y)

costuma se pensar em grad (f) como um campo devetores no domínio de f

Propriedades algébricas do vetor gradiente

.g

grad(g) )( )(

),( )() (

, ) (

2

ffgradg

g

fgrad

ggradfgfgradgfgrad

grad(g)grad(f)gfgrad

α, β são constantes.

Exemplos:1.- seja f(x,y,z)= x + yz, g(x,y,z)= x2+y2+ xy + z,determine grad(f/g) e grad( f+g) utilizando as propriedades anteriores.

Propriedade importante

ufgradfDu

).(

Exemplo:Determine o vetor gradiente da função f(x,y)=x2+y2+1,Verifique a relação anterior

u é um vetor unitário

gradiente de f

Z=f(x,y)=x2+y2+1

grad(f) = (2x,2y)

Propriedade importante

1|| , ).( uufgradfDu

)cos(|)(| fgradfDu

fDu

Varia com o ângulo ϴ,sendo esta variação máxima quando ϴ = 00

Dado um ponto r =(x1,x2,...,xn) de Rn, sendo f=f(x1,x2,...,xn)

Propriedades importantes

1) A taxa máxima de crescimento de f no ponto r ocorre na direção do gradiente.

2) O valor máximo de no ponto r é |grad(f)|

3) Se grad(f)=(0,...,0)= 0 então para todo u

4) Se a função é z=f(x,y), então as curvas de nívelsão perpendiculares em qualquer ponto ao vetorgrad(f).

5.- Se a função é w=f(x,y,z), então a superfície de nível é perpendicular ao grad(f).

fDu

0fDu

exercícios

1) Seja a função real de variável vetorialz=f(x,y)= 2sin(x+y)

a) Determine o gradiente de f no ponto (pi/4,pi/4)=P0.b) Determine a derivada direcional de f(x,y) no ponto P0

na direção u=(1,2), v=(0,1), w=(1,0), respectivamente.c) Em que direção a derivada direcional de f no ponto P0

tem a taxa máxima de variação.d) Qual é a taxa máxima de variação de f no ponto P0

e) Mostre que as curvas de nível são ortogonais ao vetorgradiente de f em cada ponto do dominio.

Seja f: R3 R, w = f(x,y,z),Consideremos a superfície de nível “S” c = f(x,y,z). Seja r(t) o vetor que parametrisa uma curva αque descansa na superfície S. Logo

Vetor gradiente numa superfície de nível

0 ).( Vfgrad Eles são perpendiculares

),,( zyxrV Ele é tangente à superfície “S”

))(),(),(()( tztytxtr e a velocidade V é :

ExemplosExemplo1.- Seja a superfície de nível c = f(x,y,z), onde f(x,y,z) =x2+y2 - z; ou dito de uma forma diferente, temos uma superfície definida pela equação x2+y2-z = c. Sendo c uma constante real. Determine a equação do plano tangente a dita superfície no ponto P0=(1,1,-2)Exemplo 2.- Seja a superfície S definida pela equação 4cos(x+y) – z = 0. a) Determine a equação do plano tangente à superfície S no ponto P0=( pi/4,pi/4,0).b) Seja uma curva α parametrizada do seguinte modo r(t)=(t,t,g(t)), determine g(t) para que a curva descanse na superfície S. Determine o vetor unitário tangenteá curva para t=pi/4.

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