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Titulo: Aplicaciones de las Ecuaciones DiferencialesSalamanca, Gto., a 07 de diciembre del 2015.

Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Presenta:

Gustavo Sena Calderon

Ecuaciones Diferenciales

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I. PROPUESTA

A. OBJETIVO:

Desarrollado para todo el alumno que desee conocer aplicaciones de losconociemientos adquiridos en la materia de ecuaciones diferenciales, asicomo despertar su ambicion por el ambito educativo , desarrollar un sentidopara la creacion de modelos matematicos que cumplan las espectativasdeseadas para una ingenieria.

B. JUSTIFICACION:

Alumnos que tienen la cuestion de en que aplicaran los conocimientos dela materia en el ambito laborar o aun mas en su vida cotidia, fue lo queme motivo para desarrollar dicho ensayo que ayudara para que no soloalumnos de ingenieria si no de otras carreras sepan las aplicaciones de unaecuacion diferencial en la vida cotidiana.

C. ANTECEDENTES:

Modelados matematicos:

Es comun y deseable describir el comportamiento de algun sistema ofenomeno de la vida real, ya sea fısico, sociologico o incluso economico,en terminos matematicos. La descripcion matematica de un sistema o unfenomeno se llama modelado matematico y se construye con ciertos objeti-vos. Por ejemplo que se desee entender los mecanismos de cierto ecosistemaal estudiar el crecimiento de poblaciones animales, se podrıa fechar fosilesal analizar su desintegracion de sustancias radiactivas

Sena Calderon Gustavo 2


D. DESARROLLO:

Las ecuaciones diferenciales se pueden aplicar en diferentes ramas y apli-caciones cotidianas y no tan cotidianas o mas bien un poco mas cientıficas.DinA¡amica de poblacion: la supocion de que la rapidez a la que crece lapoblacion de un paıs en cierto tiempo es proporcional a la poblacion totaldel paıs en ese momento la ecuacion para este modelado es:

dPdtαP o dP

dt= KP

Desintegracion radiactiva: para modelar el fenomeno de desintegracion ra-diactiva se supone que la rapidez de dA

dta la que se desintegra los nucleo de

una sustancia es proporcional a la cantidad ( con mas precision, el numerode nucleos esta serıa su ecuacion diferencial:

dAdt

= KA

Ley de enfriamiento de newton: de acuerdo con la ley de la rapidez quecambian la temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia entrela temperatura del medio y la temperatura del medio circundante esta esla ecuacion:

dTdt

= K(T − Tm)

Propagacion de una enfermedad: una gripe se disemina en una comunidadpor medio de la gente que entra en contacto con otras personas. Sea x(t)el numero de personas que se han contagiado con la enfermedad y y(t) elnumero de personas que aun no se contagian esta serıa la ecuacion:

dxdt

= Kxy



Reacciones quımicas: estas se usan para ver la rapidez de los compuestocuando estos mismos se combinan ;

dxdt

= K(α− x)(β − y)

Circuitos en serie: este circuito contiene resistores, capacitores y un induc-tor. La corriente en un circuito despues de que se cierra un conmutadorse detona mediante i(t) la carga de un capacitor en el tiempo t se deto-na por q(t().. ahora de acuerdo con la segunda ley de kirchhoff el voltajeimpreso(t) en un circuito cerrado de ser igual a la suma de sus caAdas devoltaje

L d2

(dt2+Rdq

dt+ 1

Cq = E(t)

Cables colgantes: se acuerda examinar solo una parte o elemento de loscables entre un puto mınimo p1 y algun punto arbitrario p2. Siempre cuandolos cables se ponen en una lınea de transmision que da una curva de unasistema coordenado rectangular donde se elige que el eje y pase por elpunto mAnimo p1 sobre la curva y el eje x elegido a unidades debajo dep1. Tres fuerzas estan actuando sobre el cable que son tangentes al cablep1yp2 respectivamente W de la carga vertical total entre los punto p1yp2se T1=(t1), T2(t2) y w=(w) las magnitudes de esos vectores. Ahora latension de T2 se descompone en los componentes horizontal y vertical,como resultado del equilibrio estatico :

dydx

= wT1

E. PROBLEMAS RESUELTOS

Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en quese descubre el cadaver, si la temperatura del cadaver en el momento quelo encontraron es de 85 F y dos horas mas tarde ha bajado 74 F ademAsla temperatura del ambiente permanece constante a 32F.T : temperatura del cadA¡ver en el tiempo tTm = 32F : temperatura ambienteMomento donde se descubre el cadavert=0T=85FLa ecuacion para este momento es:

dTdt

= −K(T − Tm) k > 0



constante de proporcionalidad As que:

dTdt

= −K(T − 32)

Separando variables e integrando∫dT

T−32=

∫−kdt↔ ln(T − 32) = −Kt+ c)

Aplicando propiedades de los logaritmos

e(−Kt+c) ↔ T = ece(−Kt) + 32

Asi quedaria

T = ce(−Kt+32)(c = eC)

Sustituyen do la ecuacion de arriba

85 = ce(−K(0)) + 32↔ 85 = ce0 + 32↔ 85 = c+ 32↔ c = 35

Esto quedarıa:

T = 53ce(−Kt) + 32

Ahora ya tienen valores:

t=2,T=74

Sustituyen do se obtiene:

74 = 53e(−K(2)) + 32↔ 42 = 53e( − 2K)↔ e2K = 53/42↔ 2K =ln(1,261) = 0,2326223K = 0,1163111

Asi la temperatura del cadaver en el tiempo t, en horas, esta dada por:

T = 53e−0,116311t + 32

La temperatura de ser humano vivo es de 98.6 F

98,6 = 53e−,1163t + 32↔ 5366,6

= e(−,1163t)↔ e0,1163t = 5366,6−→

0,1163t[ln(,7957)]↔ t −,2884,116311

= −1,9638↔ ,9638(60) = 58minutos

La hora de muerte se produjo aproximadamente 1 hora 58 minutos



F. CONCLUSION

Como conclusion podemos afirmar que en diferentes y diariamente en lasactividades que realizamos diariamente tiene que ver de una manera direc-ta e indirecta el entorno a las matematicas, las ecuaciones diferenciales sonuna herramienta util para la resolucion de problemas complejos y la tratade predicciones de sucesos que uno pueda imaginar, se necesita que plan-tien primero un modelo matematico para desarrollar la teoria y despuesaplicarla utilmente

Fecha de entrega :7 de diciembre del 2015


Bibliografıa

Ecuaciones Diferenciales OrdinariasJ Juan Rosales , Manuel Guıa Calderon.Universidad De Guanajauato

Ecuaciones Diferenciales Con Aplicacion Al modelado.Denniz G. Zill. Sexta edicion

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