PLATONOVA TELA

Ena Šestić 261/2009Slobodan Nikolić 270/2009Marko Mihajlović 111/2009

Platonova tela ili pravilni poliedri, su poliedri čija je svaka strana pravilan poligon sa jednakim brojem temena i čije svako teme sadrži jednak broj ivica.

Postoji tačno pet platonovih tela:

• tetraedar• kocka• oktaedar• dodekaedar• ikosaedar

Svako Platonovo telo predstavlja pojedinačnu pojavu:• Tetraedar – vatra• Oktaedar – vazduh• Ikosaedar – voda• Heksaedar – zemlja• Dodekaedar – vasiona

Svako od pet Platonovih tela zadovoljava sledeće uslove:• Sve pljosni su pravilne medjusobno podudarne poligonske površi (svaka pljosan ima isti broj ivica)• Sve rogljaste površi su pravilne i međusobno podudarne (svaki rogalj ima isti broj ivica) i konveksni su.

Svako Platonovo telo može imati dodeljene simbole p i q, tako da je p broj ivica svake stranice i q broj stranica koje se susreću na svakom preseku.

Dobro je poznato da ovu klasu pravilnih poliedara čini sledećih pet poliedara:• (3,3) tetraedar• (3,4) oktaedar• (4,3) heksaedar• (3,5) ikosaedar• (5,3) dodekaedar

• p – broj ivica• q – broj stranica• V (vertices) – broj temena• E (edges) – broj ivica• F (faces) – broj pljosni

Formule:• pF = 2E = qV• Ojlerova formula V-E+F=2

Iz ove činjenice možemo u potpunosti odrediti V, E I F:

Euklidov geometrijski dokaz:• Svaki ćošak tela mora da se podudara sa po jednim ćoškom (vrhom) najmanje tri strane.• Na svakom vrhu tela, zbir uglova između njihovih odgovarajućih susednih strana mora biti manji od 360 stepeni.• Uglovi kod svih temena svih strana Platonovog tela su isti, tako da svaki ćošak svake strane mora da doprinosi manje od 120 stepeni.• Pravilni mnogouglovi sa šest ili više strana imaju samo uglove od 120 stepeni ili više, tako da zajednička lica moraju da budu trouglovi, kvadrati ili petouglovi.

Platon konstruise pravilna geometrijska tela prosto tako što spaja ravne strane. Ove strane napravljenesu od trouglova i svi trouglovi su sastavljeni iz dva pravougla trougla. Pravougli trouglovi su ili jednakokraki ili nejednakostranični.

Heksaedar (kocka) ima strane (kvadrate) koje su napravljene od jednakokrakih pravouglih trouglova tako što su 4 takva spojena da bi formirala kvadrat.Ostala tri tela koja imaju za strane jednakostranične trouglove, tetraedar, oktaedar i ikosaedar zavise samo od ostalih vrsta pravouglih trouglova. Kod njih je svaka strana napravljena od 6 pravouglih trouglova.

DodekaedarDodekaedar je sačinjen od 12 pravilnih petouglova. Platon je bio svestan da se strane dodekaedra ne mogu konstruisati uz pomoć 2 pravougla trougla od kojih zavise ostala geometrijska tela. Učinjen je pokušaj da se petougao podeli na izvestan broj pravouglih trouglova: • Plutarh kaze da je svaka od 12 strana dodekaedra napravljena od 30 elementarnih nejednakostraničnih trouglova.• Alcinous govori o 360 elemenata koji nastaju kada se svaki petougao podeli na 5 jednakostraničnih trouglova i kada se svaki od ovih dalje podeli na 6 nejednakostraničnih. Ako povučemo linije u petouglu dobijamo takav splet trouglova koji takodje pokazuje pitagorejski pentagram

Dualna tela• Ako se svakoj pljosni Platonovog tela pridruži težište te pljosni, dobijaju se temena dualnog tela.• Dualno telo bilo kog Platonovog tela jeste opet Platonovo telo. • Ako Platonovo telo predstavimo preko p i q onda će njegovo dualno telo imati oznake q i p. •Dualno telo se konstruiše tako što uzimamo temena tela i postavljamo ih u centre pljosni Platonovog tela. Ivice dualnog tela formiramo spajanjem centara susednih pljosni Platonovog tela. Na ovaj način se broj pljosni i temena smenjuje dok broj ivica ostaje isti.

Tetraedar je dualan sam sebi.

Heksaedar i oktaedar su međusobno dualna tela:

Heksaedar Oktaedar

Dodekaedar i ikosaedar su međusobno dualna tela:

Dodekaedar Ikosaedar

Hvala na pažnji.