plocha potenciÁlnÍ energie - fch.upol.czfch.upol.cz/wp-content/uploads/2015/07/pes.pdf · jednoho...
TRANSCRIPT
PLOCHA POTENCIÁLNÍ ENERGIE
Zero point energy - Energie nulového bodu
• Molekula o určitou část své energie nikdy nemůže přijít
• Tzv. Zbytková energie (ZPE) – „vnitřní“ energie molekuly, která je přítomna vždy (i za 0 K)
• Pro každou vibraci
Potenciální energie molekuly • Epot - jedna ze složek celkové energie molekuly
• Závisí na geometrii dané molekuly
• Charakterizuje stabilitu určité konformace (geometrického uspořádání) molekuly → čím je potenciální energie menší, tím je molekula stabilnější
• Umožňuje určit nejstabilnější (nejpravděpodobnější) konformaci molekuly
Plocha potenciální energie • Potential energy surface (PES) • Energie molekuly jako funkce její geometrie • Energie vertikální osa, geometrické vlastnosti jako
horizontální osy
Významné body - Stacionární body
Body PES, jejichž gradient je nulový vektor. • Minima a maxima (lokální a globální) • Sedlové body
0=∂
∂
iXE
Stacionární body na PES • Během optimalizace se prohledává PES a hledají se
lokální/globální minima. • Přes tranzitní stavy (bariéry) nás optimalizační algoritmy
nedostanou. Výsledkem je, že nalezená minima jsou většinou lokální.
M = minimum, TS =1st order saddle point, S = 2nd order saddle point
• F’’(x) > 0
• F’’(x) < 0
• F’’(x) = 0
Konkávní funkce
Konvexní funkce
Inflexní bod
Hessova matice (Hessián, H) obsahuje druhé derivace energie
Minima na PES Problém minimalizace → nalezení pouze nejbližšího lokálního minima
Minima na PES – jak je najít Nederivační Metoda kroku pevné délky Simplexová metoda Derivační
• První derivace Metoda největšího spádu Metoda konjugovaných gradientů
• Druhá derivace Newton-Raphsonova metoda Quasi-Newtonova metoda
Minima na PES - konvergenční kritéria Všechny výše zmíněné metody se přibližují k minimu tak dlouho, dokud nejsou splněna konvergenční kritéria.
Nastavení konvergenčních kritérií Počet kroků výpočtu Rozdíl mezi 2 kroky výpočtu: • ve struktuře • v energii
Metoda kroku pevné délky • Metoda systematicky prochází prostor kolem každé
souřadnice V každém kroku jsou pro každou souřadnici xi vygenerovány další dvě souřadnice (xi´ = xi + δxi, xi´´= xi + 2δxi). Pro obě nové souřadnice je spočtena Epot. Ze získaných bodů [xi, Epot(xi)], [xi´, Epot(xi´)] a [xi´´, Epot(xi´´)] je vygenerována parabola. Je nalezeno minimum paraboly a pro další krok je xi nahrazeno tímto nalezeným minimem. • Jednoduchá na implementaci • Nejhorší minimalizační metoda zahrnující hodně kroků • Může zcela minout minimum • Příliš se nepoužívá
Simplexová metoda Nejedná se o simplexovou metodou v lineárním programování.
Simplex = geometrický útvar, který má v prostoru o M rozměrech M+1 vrcholů.
V okolí vstupního bodu vytvoříme iniciální simplex. Pro vrcholy simplexu vypočteme Epot a na základě porovnání této energie pro všechny vrcholy simplexu, simplex dále geometricky transformujeme (přetáčíme podle roviny, protahujeme, zkracujeme,… ). Cílem transformací je přesunout simplex z oblastí s velkou Epot do oblastí blíže minimu.
Simplexová metoda • Nejvýhodnější nederivační metoda • Vhodná speciálně v oblastech daleko od minima (slouží k
přiblížení k minimu) • V oblastech poblíž minima konverguje pomalu
Metoda největšího spádu Steepest descent method • Modeluje chování míčku na svahu
(míček padá tam, kde je největší spád → kde na něj nejvíce působí gravitační síla)
• Postupuje tím směrem, kam směřuje opačný vektor gradientu (ve směru síly, působící v daném bodě).
Metoda největšího spádu Steepest descent method
• Jednoduchá implementace i použití • Pro malé molekuly nejrychleji konvergující metoda • Poblíž minima konverguje pomalu • Může se otočit zpět nebo přejít minimum • Na dlouhých rovných plochách osciluje
Metoda konjugovaných gradientů Conjugate gradient method • Prohledávání není jen funkcí gradientu gk posledního (k-
tého) bodu cesty, ale také funkcí gradientu gk-1 předcházejícího bodu a směru sk-1 posledního přesunu.
• Spojení informací o současném a předcházejícím stavu zabraňuje nepříjemnému efektu oscilování, který nám dělal problémy při využití metody největšího spádu.
• Výpočetně náročnější než metoda největšího spádu, ale spolehlivější a vhodná i v oblastech poblíž minima.
Metoda konjugovaných gradientů Conjugate gradient method
Newton-Raphsonova metoda
• Nejjednodušší metoda, využívající druhé derivace. Vyjadřuje potenciálovou funkci f pomocí Taylorova polynomu
(pro bod xk): f(x) = f(xk) + (x - xk).f´(xk) + (x - xk)2.f´´(xk)/2 + ...
Tranzitní stavy na PES
• Reaktanty a produkty chemické reakce jsou v rámci PES sousedními lokálními minimy.
• Reakční koordináta je v PES nejkratší cestou z minima, odpovídajícího reaktantům do minima, odpovídajícího produktům (IRC - intrinsic reaction coordinate).
• Bod A je tranzitním stavem PES, pokud je v tomto bodě gradient funkce f nulový
Studium mechanismu chemické reakce: • Struktura aktivního komplexu • Potenciální energie aktivního komplexu • Průběh reakční koordináty
Nalezení reakčních cest mezi dvěma nesousedícími minimy
Tranzitní stavy na PES
Metody: • Linear synchronous transit (LST) • Quadratic synchronous transit (QST) • Saddle optimization method (SOM) • Locally updated planes (LUP) • Self penalty walk (SPW)
Tranzitní stavy na PES
Linear synchronous transit (LST): • Vytvoří úsečku z reaktantu (R) do produktu (P). • Vypočítá Epot pro některé body (souřadnice atomů) této
úsečky. • Jako tranzitní stav (TS) označí ten bod úsečky, pro který
je hodnota Epot největší.
Quadratic synchronous transit (QST): • Nejdříve pracuje stejně jako LST. • Z bodů R, P a TS sestrojí parabolu a poté na této
parabole vyhledává opět maximum Epot (nový TS).
Tranzitní stavy na PES
Saddle optimization method (SOM): • Vychází ze struktur P a R. • Zkouší na základě R podle vzoru P vygenergovat
mezistrukturu (strukturu s co největší Epot), která se velmi podobá R, ale obsahuje již malé strukturní změny směrem k P. Touto strukturou R2 poté nahradí R.
• Analogicky nalezne pro P odpovídající P2 a tím P nahradí.
• Opakuje tento proces až do splnění konvergenčních podmínek.
Locally updated planes (LUP): • Na spojnici R a P nalezne maximum a toto maximum
relaxuje • Při relaxaci využívá kolmici k nadrovině nalezeném
maximu. Self penalty walk (SPW): • Reakční cesta je vyhledávána pomocí minimalizace
průměrné energie podél dané cesty.
Globální minimum na PES
• Lokální minimum s nejmenší hodnotou Epot na celé PES • Nejstabilnější uspořádání atomů a elektronů daného
systému (nejvyšší pravděpodobnost výskytu v reálném chemickém prostředí).
Metody • Systematické prohledávání (grid search) • Molekulová dynamika • Stochastické a Monte Carlo metody • Genetické algoritmy • Difuzní metody (DFT)
Systematické prohledávání (grid search): • Proloží hyperplochou mřížku a v jejích vrcholech vypočítá
Epot. Takto zmapuje polohy lokálních minim a mezi nimi pak najde globální minimum.
Molekulová dynamika Stochastické a Monte Carlo metody: • Začínají v nějaké vstupní geometrii (nejčastěji v lokálním
minimu. Nové konfigurace generují náhodným posunem jednoho nebo více atomů (random kick).
Genetické algoritmy • Algoritmus je postaven na myšlence, že existují populace
objektů, z nichž každý má svou množinu genů. Rodičovské objekty mohou tvořit potomky kombinací svých genů (přičemž může docházet i k mutacím – únik z lokálního minima). Nejplodnější jedinci z populace jsou vybíráni a přenášeni do další generace. Tito jedinci jsou také nejplodnější. Hledá se globální minimum účelové funkce.
Difuzní metody • Potenciálová funkce je postupně měněna tak, že ubývají
lokální minima, až zaniknou všechna s vyjímkou globálního (příspěvky ve směru kolmém k hyperploše => pro minima vzrůstá energie a pro maxima a sedlové body energie klesá)
MOLEKULOVÁ MECHANIKA
Proč molekulová mechanika?
• Tam, kde selhává kvantová mechanika • Modely biomolekul, PES • Velmi efektivní pro studium dynamiky biosystémů →
molekulová dynamika (MD) • Oproti kvantové mechanice jednodušší → omezení na
pouhou „Newtonovskou fyziku“ • Pomocí MM nelze studovat chemické reakce
Model atomu a vazby v MM • Atomové jádro a elektrony shrnuty do
jedné částice tvaru koule • Částice (koule) nese určitý parciální
náboj, který je lokalizován v jejím středu • Částice mají určitý poloměr • Vazby, kterými jsou spojeny jednotlivé
atomy jsou reprezentovány „pružinami“ • Atomy jsou v MM rozděleny do tříd
(atomové typy): • chemická značka atomu • vaznost atomu a geometrické
uspořádání vázaných atomů
30
Atomové typy aneb není uhlík jako uhlík
Příklady atomových typů (silové pole AMBER): • C sp2 uhlík v uhlovodících • CA sp2 uhlík v aromatickém kruhu • CT sp3 uhlík v uhlovodících • H vodík, vázaný na dusík • HO vodík, vázaný na kyslík • N sp2 dusík v aminoskupině • NA sp2 dusík v pětičlenném cyklu • N3 sp3 dusík v kladně nabitých aminoskupinách
Vazba jako pružina
• Chemické vazby mají různou pevnost (disociační energii) • Analogie s pružinami, které mají různou tuhost → silová konstanta k [N.m-1]
• Vazby mají různou délku → rovnovážná meziatomová vzdálenost r0 [pm]
• k a r0 představují vazebné parametry pro biatomickou molekulu
Molekula vodíku
Principy Model prostředí: Silové pole (force field), které je tvořeno dvěmi složkami: • potenciálová funkce - funkce pro výpočet Epot (f: Rn → R)* • parametry - hodnoty konstant, vyskytujících se v
potenciálové funkci
* n je počet souřadnic, nutných pro popis geometrie molekuly. Pro molekulu s N atomy, N > 2 se jedná o 3N - 6 souřadnic.
Potenciálová funkce
35
}Vazebné interakce
Nevazebné interakce
}
• Vytvořena na základě klasické Newtonovy mechaniky • Potenciální energie - součet energií všech vazebných i nevazebných
interakcí v rámci molekuly
Vazebné a nevazebné interakce Vazebné interakce
• popisují, jak moc se geometrie molekuly liší od „ideálního stavu“
• v rámci silového pole jsou definovány ideální délky vazeb, vazebné úhly a torzní úhly
• čím více se určitý reálný parametr liší od ideálního, tím větší má daná interakce energii
Nevazebné interakce • Elektrostatické - pro každou dvojici atomů určují, jak
na sebe vzájemně působí náboje těchto atomů • Ne-elektrostatické - zbývající
Energie pnutí vazeb
37
( )202)( rrkbondE −=
Harmonická aproximace
Deformace vazebných úhlů
( )202)( θθθ −=kangE
θ
Harmonická aproximace
Energie rotace vazeb (torze) 39
( )( )φτ −+= nktorE t cos12
)(
τ
Van der Waalsovské interakce • Objeveny na základě studia chemických vlastností
zkapalněných vzácných plynů (helium, argon …). Tyto plyny jsou tvořeny izolovanými neutrálními atomy → je zřejmé, že mezi jejich atomy nepůsobí žádné vazebné nebo elektrostatické interakce. Ale přesto jsou tyto plyny kapalné (→ nějaké interakce je drží pohromadě).
• Van der Waalsovské interakce jsou způsobeny třemi typy sil: coulombickými, indukčními a disperznímí
Van der Waalsova interakce
• disperzní a repulzní složka • Lennard-Jonesův potenciál
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=612
4)(rr
LJE σσε
ε
Repulze atomů Atrakce atomů
r vzdálenost atomů σ vzdálenost, v níž na sebe atomy začínají silově působit ε nejmenší energie, kterou může daná dvojice atomů
Elektrostatická interakce • interakce nábojů dvou atomů
• Coulombův zákon
• Parciální náboje • RESP (Restrained ElectroStatic Potential fit) • Mulliken
ij
ji
rqq
coulE04
)(πε
=
r vzdálenost atomů qi, qj vzdálenost, v níž na sebe atomy začínají silově působit ε0 permitivita vakua
Parametry silového pole Každému atomovému typu přísluší parametry: Charakteristiky atomu - vdW poloměr, náboj atomu, relativní hmotnost atomu, vaznost a geometrie vazeb. Ideální parametry pro interakce atomu - délky vazeb, vazebné úhly a torzní úhly. Konstrainy - Silové konstanty, určující, jak moc je odchylka od ideálních parametrů nevýhodná. Původ parametrů
• z experimentu - RTG a neutronová difrakce, NMR, rotační spektroskopie, vibrační spektroskopie (silové konstanty)
• výpočtem - fitování energetických hyperploch
Molekula methanu
Software pro MM
• AMBER
• CHARMM
• GROMACS
• OPLS
• ENCAD
• MOE
http://amber.scripps.edu/
http://www.charmm.org/
http://www.gromacs.org/
Optimalizace cyklohexanu (Hyperchem) a) Proveďte optimalizaci geometrie cyklohexanu v
židličkové konformaci. b) Proveďte optimalizaci geometrie cyklohexanu ve
vaničkové konformaci. c) Porovnejte energetické rozdíly mezi oběma
optimalizovanými konformacemi s publikovanými experimentálními daty.
J.B. Hendrickson, J. Am. Chem. Soc. 83, 4537 (1961). J.B. Hendrickson, J. Am. Chem. Soc. 89, 7036 (1969).
Optimalizace cyklohexanu – židličková konformace • Volba silového pole
• AMBER, Distance Dependent Dielectric (škálovací faktor na 1), 1-4 škálovací faktory pro „Electrostatic“ a „van der Waals“ budou rovny 0.5. Volba „Cuttofs“ bude nastavena na „None“.
• Optimalizace budou provedena s „amber2“ parametry silového pole (Select Parameter Set).
• Stavba modelu cyklohexanu v židličkové konformaci • Vytvořte šestiúhelník na jehož vrcholech jsou atomy uhlíku (může být
nepravidelný, C spojeny jednoduchou vazbou!) a poté aktivujte „Add H and Model Build“.
• Změřte vazebné délky, úhly a torze a zaznamenejte. • Výpočet Single Point energie cyklohexanu s následnou optimalizací
• Optimalizační algoritmus bude Conjugate Gradient (Polak-Ribiere), „RMS gradient“ nastavte na 0.1 kcal/mol Å, počet cyklů dejte na 300.
• Bude se jednat o „In vacuo“ optimalizaci. • Zaznamenejte po optimalizaci energii i RMS gradient.
Optimalizace cyklohexanu – vaničková konformace • Volba silového pole
• Nechejte stejné silové pole jako v předchozím případě. • Stavba modelu cyklohexanu ve vaničkové konformaci
• Zapněte „Multiple Selections“. • Vyberte čtyři atomy C, které leží v jedné rovině (nástroj „Select“). • Přejděte do „Name Selection“ a zvolte „PLANE“. • Výběr rozšiřte o levou nebo pravou část cyklohexanu (zahrňte i
vodíky). • Aktivujte „Reflect“ v „Edit menu“. • Změřte vzdálenost mezi nejbližšími axiálními vodíky.
• Výpočet Single Point energie cyklohexanu a následná optimalizace • Proveďte výpočet energie pro danou vaničkovou konformaci
cyklohexanu (Single Point) a zaznamenejte energii i RMS gradient. • Optimalizační protokol ponechejte nastavený tak, jako v předchozím
případě. Proveďte optimalizaci a zaznamenejte opět energii i RMS gradient.