plochy zadané okrajovými křivkami...lineární plát příklady plochy zadané okrajovými...
TRANSCRIPT
-
Lineární plát
plocha je určena dvěma okrajovými křivkami ,
pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru,
různé, provedeme lineární transformaci parametru jedné z křivek tak, aby
obě křivky měly parametr ze stejného intervalu
plát zkonstruujeme tak, že úsečkou spojíme body a
kde je konstanta volená z intervalu
rovnice plátu
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0( )a v 1( ),a v v I
0( )ka v 1( )ka v
kv I
0 1( , ) ( )(1 ) ( ) , , 0,1P u v a v u a v u v I u
0( )a v
1( )a v
-
Lineární plát
pokud je pro plochu zadán systém křivek , můžeme
interpolovat po částech
tj. pro systém křivek můžeme výslednou plochu sestavit pomocí jednotlivých
plátů
kvalita výsledné plochy je velmi nízká
není zajištěno hladké napojení sousedních plátů
v technické praxi se však s touto plochou setkáváme často –
např. při interpolaci plochy dané velkým počtem křivek
výhodou je, že parametrické křivky pro v = konst. jsou úsečky
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
( )ia v
-
Lineární plát
příklady
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
2( , ) , , 2 (1 ) , 0,1 , 0,2P u v v u v v u u v
přímý kruhový konoid
-
Lineární plát
příklady
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0( , ) cos( ), sin( ),
0,1 , 0,2
P u v u v u v v v
u v
přímý šroubový konoid
-
Bilineární Coonsův plát
plocha je určena dvěma systémy křivek plochy, tj. parametrickými
křivky jedné a druhé soustavy
uvažujme jeden plát, pro jednoduchost předpokládejme, že tento
plát bude mít parametry
obecný případ převedeme na tento tvar vhodnými transformacemi parametru
uvažujme tedy plát plochy určený okrajem (čtyřmi oblouky křivek)
pro parametry z jednotkového čtverce
protějšími stranami okraje plátu jsou křivky
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,1 , 0,1u v
0 1( ), ( )a v a v 0 1( ), ( )b u b ua
-
Bilineární Coonsův plát
mapovací matici plátu nazveme matici
- je polohový vektor bodu plochy
ozn.
rovnice Coonsova bilineárního plátu je tvaru
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
00 0 01
0 1
10 1 11
( )
( ) ( , ) ( )
( )
P a v P
M b u P u v b u
P a v P
( , )P u v
00(0,0) ,...P P
, kde
1
(1 , 1, ) 1 0
v
u u M
v
0,1 , 0,1u v
-
Bilineární Coonsův plát
lze dokázat
jsou-li protější dvě strany okraje bilineárního plátu úsečkami, je
výsledná plocha přímkovou plochou (tedy spec. příklad lineárního
plátu)
Důkaz:
je-li např.
potom parametrické křivky plátu pro v = konst. jsou rovněž
úsečkami
rovnice plátu je v tomto případě tvaru
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0 00 10
1 01 11
( ) (1 )
( ) (1 )
b u u P uP
b u u P uP
0 1( , ) ( )(1 ) ( ) , 0,1 , 0,1P u v a v u a v u u v
-
Bilineární Coonsův plát
příklady
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
2 2( , ) , ,
0,1 , 0,1
P u v u v u u v v
u v
-
Bikubický Coonsův plát
určen stejně jako bilineární Coonsův plát svým okrajem
jde o obecnější plochu
rovnice Coonsova bikubického plátu je tvaru
funkce byly použity v souvislosti s Fergusonovými
křivkami
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,1 , 0,1u v
1
1 2
2
( )
( ( ), 1, ( )) 1 0
( )
F v
F u F u M
F v
3 2
1
3 2
2
( ) 2 3 1
( ) 2 3
F t t t
F t t t
1 2( ), ( )F t F t
-
Bikubický Coonsův plát
plocha obsahuje daný okraj, např. u = 0
analogicky ostatní dané křivky leží na plátu
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
00 0 01 1
0 1
10 1 11 2
( ) ( )
(1 1,0) (0) (0, ) (0) 1 0
( ) ( )
P a v P F v
b P v b
P a v P F v
0(0, ) ( )P v a v
-
Bikubický Coonsův plát
vektory příčných derivací podél okrajových křivek jsou lineární
kombinací tečných vektorů okrajových křivek v rozích plátu
např.
analogicky pro další okrajové křivky
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 0 2 1
(0, )(0) (0)
P vb b
u
-
Bikubický Coonsův plát
Plátování
uvažujme dva bikubické Coonsovy pláty
plát s okrajovými křivkami
plát s okrajovými křivkami
okrajové křivky složené plochy jsou třídy
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 ( , )P u v
0 1 0 1( ), ( ), ( ), ( ), 0,1 , 0,1a v a v b u b u u v
2 ( , )P w v
1 2 2 3( ), ( ), ( ), ( ), 0,1 , 0,1a v a v b w b w v w
1C
0 2
1 3
(1) (0)
(1) (0)
b b
b b
-
Bikubický Coonsův plát
Plátování
z předchozího je zřejmé, že navíc každá parametrická křivka
v = konst. je třídy
Bikubické Coonsovy pláty zajišťují plátování
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
1C
-
Bikubický Coonsův plát
příklady
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
2 3 2( , ) , , 2 3 1
0,1 , 0,1
P u v u v u u v v
u v
-
Bikubický Coonsův plát
příklady - napojení
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
-
12-vektorový plát
Fergusonův plát
ozn.
Fergusonův plát je určen
polohovými vektory rohových bodů plátu
tečnými vektory okrajových v-křivek
tečnými vektory okrajových u-křivek
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
00 10 01 11, , ,P P P P
00
(0,0),...u
PP
u
00 10 01 11, , ,u u u uP P P P
00 10 01 11, , ,v v v vP P P P
-
12-vektorový plát
rovnice 12-vektorového plátu je tvaru
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
0,1 , 0,1u v
3
1
3 1 2 4
2
4
( )
( )( , ) ( ( ), ( ), ( ), ( ))
( )
( )
F v
F vP u v F u F u F u F u M
F v
F v
00 01
00 00 01 01
10 10 11 11
10 11
0 0
0 0
u u
v v
v v
u u
P P
P P P PM
P P P P
P P
3 2
1
3 2
2
3 2
3
3 2
4
( ) 2 3 1
( ) 2 3
( ) 2
( )
F t t t
F t t t
F t t t t
F t t t
-
12-vektorový plát
platí
okrajovými křivkami Fergusonova plátu jsou Fergusonovy kubiky
např. u = 0
podobně i pro další tři okrajové křivky
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
3
1
2
4
( )
( )(0, ) (0,1,0,0)
( )
( )
F v
F vP v M
F v
F v
00 1 01 2 00 3 01 4(0, ) ( ) ( ) ( ) ( )v vP v P F v P F v P F v P F v
-
12-vektorový plát
platí
12-vektorový plát splývá s Coonsovým bikubickým plátem,
jehož okrajovými křivkami jsou Fergusonovy kubiky dané
zadanými body a tečnými vektory 12-vektorového plátu
Důkaz
Do rovnice bikubického Coonsova plátu dosadíme za okrajové
křivky příslušné rovnice Fergusonových kubik a po jistých
algebraických úpravách obdržíme rovnici 12-vektorového plátu
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
-
16-vektorový plát
zadání stejné jako u 12-vektorového plátu
liší se v matici M
Plochy zadané okrajovými křivkami
Počítačová geometrie Petra Surynková
00 00 01 01
00 00 01 01
10 10 11 11
10 10 11 11
uv u u uv
v v
v v
uv u u uv
P P P P
P P P PM
P P P P
P P P P
00
(0,0),...uv
PP
u v
tzv. zkrutové vektory
-
extrude
profil – křivka, kterou budeme vytahovat (např. ve směru nějaké
osy)
rovinná
prostorová
+ vektor vytažení
Plochy vzniklé vytažením
Počítačová geometrie Petra Surynková
( ) [ ( ), ( ),0]k u x u y u
( , ) [ ( ), ( ), ]P u v x u y u v
x
y
z
( ) [ ( ), ( ), ( )]k u x u y u z u
a
( , ) ( )P u v k u va
,u I v J
-
vytažení se změnou velikosti profilu
profil
vytažení ve směru osy z se současným zvětšováním nebo
zmenšováním profilu
zvětšení nebo zmenšení je přímo úměrné vytažení s koeficientem
úměrnosti m
Plochy vzniklé vytažením
Počítačová geometrie Petra Surynková
( ) [ ( ), ( ),0]k u x u y u
( , ) [ ( ), ( ), ]P u v mv x u mv y u v ,u I v J
-
sweep
profil – křivka, která se pohybuje
trasa – křivka, po které se pohybuje profil
= translační plocha
můžeme zaměnit roli křivek
Šablonování křivky po trase
Počítačová geometrie Petra Surynková
1 1( , ) ( ) ( )P u v k u k v
1( ) [ ( ), ( ), ( )]k u x u y u z u
2( ) [ ( ), ( ), ( )]k v x v y v z v
,u I v J
-
loft
dána soustava křivek – hledáme takovou plochu, která interpoluje
dané křivky
př. lineární plát, hermitovský plát
Plochy vzniklé potažením
Počítačová geometrie Petra Surynková
0( )a v
2( )a v1( )a v
-
sweep 2 rails
dány tři okraje
trasy
profil
(není translační plocha, profil se mění)
př. bilineární Coonsův plát
Šablonování křivky po dvou trasách
Počítačová geometrie Petra Surynková
0( )b u
1( )b u0( )a v
0 1( ), ( )b u b u
0 ( )a v
-
Bézierova plocha stupně
je určena řídícími body a vztahem
bázové funkce jsou Bernsteinovy polynomy
k-tého stupně
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
m n
( 1) ( 1)m n
0 0
( , ) ( ) ( ), 0,1 , 0,1n m
n m
ij i j
i j
Q u v P B u B v u v
, kde
( ), ,kiB t k n m
( ) (1 )0,1 , 0,1,...,
k i k i
i
kB t t t
i
t i k
-
Bézierova plocha stupně
platí
Bézierova plocha prochází rohovými body sítě a okrajové
křivky plochy jsou Bézierovými křivkami pro okraje sítě
tečná rovina v bodě je určena body
podobně pro další rohové body
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
m n
00P 00 10 01, ,P P P
00
0
0
(0,0)
(0,1)
(1,0)
(1,1)
m
n
nm
Q P
Q P
Q P
Q P
0
0
(0, ) ( )m
m
j j
j
Q v P B v
okrajová křivka např.:
-
Příklad
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
Bézierova plocha se sítí
řídících bodů
-
Napojování
mějme dva Bézierovy pláty
první z nich je určen sítí řídících bodů
druhý je určen sítí řídících bodů
počet bodů ve směru v je stejný pro oba pláty a je roven m
pláty navazujeme ve směru u a požadujeme, aby jejich stupeň
v tomto směru byl alespoň tři, tj.
napojení
pláty mají společnou stranu, tj. , toho
docílíme ztotožněním řídících bodů, které určují příslušnou stranu
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
,Q R
, 0,..., ; 0,...,ijQ i s j m
, 0,..., ; 0,...,ijR i t j m
3, 3s t
0C( ,1) (0, )Q u R v
0 , 0,...,sj jQ R j m
-
Napojování
napojení
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
0C
-
Napojování
napojení
pokud společná strana plátů je spojitá a jsou-li identické
příčné tečné vektory ve směru u podél této strany
tj. shoda spojité strany a splnění následující vztahu pro
body řídících polygonů obou plátů
křivka spojující řídící body společné strany leží ve středu úseček,
které spojují vždy předposlední bod řídícího polygonu plátu ve
směru u s druhým bodem plátu ve stejném směru
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
1C
1 1 0 , 0,...,sj s j j jQ Q R R j m
1C
1C
QR
-
Napojování
napojení
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
1C
-
Bézierova bikubická plocha
Bézierovy plochy
Počítačová geometrie Petra Surynková
3, 3m n
3 33 3
0 0
( , ) ( ) ( ), 0,1 , 0,1ij i ji j
Q u v P B u B v u v
3 3
0
3 2
1
3 2
2
3 3
3
( ) (1 )
( ) 3 (1 )
( ) 3 (1 )
( )
B t t
B t t t
B t t t
B t t
3
2
3 2( , ) 1
1
T T T
B B B B
v
vQ u v UM PM V u u u M PM
v
1 3 3 1
3 6 3 0
3 3 0 0
1 0 0 0
BM
00 01 02 03
10 11 12 13
20 21 22 23
30 31 32 33
P P P P
P P P PP
P P P P
P P P P