pmef-calcolostrutturaleparte1

Introduzione al Calcolo Strutturale Matriciale

Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2011-2012)L.Cortese

L.Cortese

Struttura discreta

Introduzione al calcolo strutturale matriciale

Per struttura discreta si intende un sistema meccanico composto da elementi strutturali caratterizzati da una propria individualità, connessi tra loro tramite un numero discreto di punti nodali.I nodi possono essere soggetti a vincoli e a carichi concentrati. Eventuali carichi distribuiti possono essere applicati direttamente agli elementi costituenti.

Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2011-2012)

Mediante il calcolo strutturale matricialeè possibile risolvere questa classe di problemi, sia per configurazioni isostatiche che iperstatiche.In particolare, è possibile identificare la configurazione di equilibrio, le reazioni vincolari, lo stato di tensione e deformazione nei singoli componenti.Tutto ciò esprimendo le grandezze in funzione degli spostamenti nodali, e a patto di conoscere le proprietà elastiche degli elementi costituenti.

a

dc

b1

2

5

3

6

4

x

y

F3

M5

F4

p

εεεε0

L.Cortese

Struttura discreta (esempio bidimensionale)

Elementi bidimensionali individuali interconnessi in punti nodali

a

d

c

b1

2

4

3

6

5

x

y

u

v

U

V

{ }

a

a

a

V

U

V

U

V

U

F

F

F

F

=

=

3

3

2

2

1

1

3

2

1

Carichi nodali

{ }

=1

11 V

UF

{ }

a

a

a

v

u

v

u

v

u

d

d

d

d

=

=

3

3

2

2

1

1

3

2

1

Spostamenti nodali

{ }

=1

11 u

ud



L.Cortese

Struttura discreta (esempio bidimensionale)

4

3

p

Carichi distribuiti

4

3

∆T

ε0

Deformazioni iniziali dovute a carichi termici

c

4

3

Carichi concentrati ai nodi

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=

Per risolvere il problema discreto, si parte dalla relazione che esprime la condizione di equilibrio di elemento

Carichi agenti sul generico elemento della struttura



L.Cortese

Struttura discreta: caso generale

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=

Relazione di equilibrio di elemento

{ }aF Vettore delle forze agenti sui nodi

{ }apF Vettore delle forze nodali necessarie ad equilibrare i carichi distribuiti

{ }aF0ε Vettore delle forze nodali necessarie ad equilibrare le deformazioni iniziali

{ } [ ] { }aaad dKF = Vettore delle forze nodali necessarie a produrre lo spostamento

elastico dei nodi descritto dal vettore { }ad



L.Cortese

x

F

δδδδδF

Kelic =

Concetto di rigidezza di una struttura

Esempio: molla elicoidale



L.Cortese

x

F

δδδδ

δF

K f =

y


Esempio: trave incastrata



L.Cortese

x

F

δδδδ

δF

K f =

y

αααα

αF

K I =m

N=rad

N=


Esempio: trave incastrata



L.Cortese

x

yθθθθiui

vi

i

i

i

i

i

i UK

v

UK

u

UK

ϑ=== *

13*12

*11

i jF

δF

K =

Ui


Esempio: portale



L.Cortese

x

yθθθθiui

vii j

θθθθjuj

vj

Ui

j

i

j

i

j

i UK

v

UK

u

UK

ϑ=== 16*15*14*

δF

K =


Esempio: portale

i

i

i

i

i

i UK

v

UK

u

UK

ϑ=== *

13*12

*11



L.Cortese

x

y ui

vi

i

i

i

i

i

i VK

v

VK

u

VK

ϑ=== *

23*22

*21

i jθθθθjuj

vi

Ui

Vi

Mi

δF

K =


Esempio: portale

i

i

i

i

i

i MK

v

MK

u

MK

ϑ=== *

33*32

*31



L.Cortese

In generale quindi, la rigidezza di una qualsiasi struttura può essere rappresentata da una matrice

δ⋅= KFx

F

δδδδ

{ } [ ]{ }δKF =i j



N.B. La matrice di rigidezza [K] NON E’ la [K*] ricavata a titolo di esempio in precedenza.Di seguito verrà chiarito il suo reale significato.

Stesso discorso si potrebbe ripetere all’inverso pensando di imporre uno spostamento alla volta, e vedendo quali forze si generano conseguentemente. Si troverebbero altre componenti K analoghe a quelle viste negli esempi in precedenza.


L.Cortese

Struttura discreta caso generale: vettori forza e spostamento


{ }

a

m

ia

F

F

F

F

=..

..1

{ }

a

m

ia

d

d

d

d

=..

..1

{ }

=

il

i

i

d

d

d ..1

{ }

=

il

i

i

F

F

F ..1

N.B Le componenti di forza e spostamento sono “generalizzate”, potendo trattarsi anche di momenti e rotazioni

m = numero dei nodi di elemento

l = numero dei gradi di libertà per nodo

Dunque i vettori forza e spostamento hanno in generale m x l elementi

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=



L.Cortese

Struttura discreta caso generale: matrice di rigidezza di elemento


m = numero dei nodi di elemento

l = numero dei gradi di libertà per nodo

[ ]

=

mmmjm

imiji

mi

a

KKK

KKK

KKK

K

....

......

....

......

....

1

1

1111

Matrice di rigidezza di elemento, di dimensioni ml x ml

[ ]

=

lll

l

ijij

ijij

ij

KK

KK

K

..

....

..

1

111

[ ]aK

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=



L.Cortese

Struttura discreta caso generale: matrice di rigidezza di elemento

Significato dei termini della matrice di rigidezza di elemento

{ } [ ] { }aa

a

m

i

a

mmmjm

imiji

mi

a

dd

d

d

ad dK

d

d

d

KKK

KKK

KKK

F

F

F

F

m

i=

=

=..

..

....

......

....

......

....

..

..1

1

1

11111


Il generico termine Kij consente di determinare la quota parte della componente i-esima della {F}d elastica che si genera qualora si imponesse la j-esima componente del vettore {d}, mantenendo nulli tutti gli altri spostamenti di elemento.


L.Cortese

Struttura discreta caso generale: tensioni e deformazioni di elemento

Per ogni punto P interno all’elemento discreto, o soltanto per i punti critici, è possibile descrivere il campo di tensione e deformazione, in funzione degli spostamenti nodali, mediante le espressioni:

N.B. Nel caso più generale le componenti delle espressioni sono f(x,y,z), coordinate di P all’interno dell’elemento considerato


{ } [ ]{ }adB=ε{ }

=

εε

εε

r

..1

{ } [ ] { } { }( ) { }00 σεεσ +−= D{ }

=

σσ

σσ

r

..1

[ ] [ ]mlxrB ε

[ ] [ ]εσ rxrDdimensionalmente:

Matrice di deformazione

Matrice di elasticità (è l’inverso del legame costitutivo!)

1P

2

3


Il Metodo degli Elementi Finiti

Elemento Asta nel piano

L.Cortese Progettazione Meccanica agli Elementi Finiti (a.a. 2011-2012)

Dalle dispense del prof. Dario Amodio e dalle lezioni del prof. Giovanni Santucci

L.Cortese

Elemento asta generalizzata nel piano

Asta nel piano, di sezione uniforme A, lunghezza L. Parametri elastici del materiale E,ν. Asta “generalizzata”, in grado di reagire a trazione-compressione per l’effetto dei carichi concentrati nodali e deformazioni iniziali, e a flessione, sotto l’azione dei carichi distribuiti.

22 )()( ijij yyxxL −+−=

Lunghezza dell’asta

)arctan(ij

ij

xx

yy

−−

=α

j

i

j

i

pj

i∆T

ε0

Angolo formato dall’asta con l’asse delle ascisse

j

i

x

y

A, L, E,ν.

jy

iy

ix jx

ui

viuj

vj

α



L.Cortese


{ }

−

−

=

=

a

a

a

a

pLF

FF

a

pj

iap

cos

sin

cos

sin

2

Forze nodali equivalenti ai carichi distribuiti:

2

pL2

pL

j

i

p

x

y

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=




L.Cortese


Forze nodali che impediscono le deformazioni iniziali:

x

y

j

i∆T

{ }

−−

⋅⋅∆⋅⋅=

=

a

a

a

a

ATEF

FF

a

j

ia

sin

cos

sin

cos

0

0α

εε

ATEF

ET

c ⋅∆⋅⋅=

=∆=

α

εσαε 000

cF

cF

T∆⋅= αε0

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=




L.Cortese


Spostamenti nodali

{ }

=

=

j

j

i

ia

j

ia

v

u

v

u

d

dd

Allungamento dell’asta

avvauuL ijij sin)(cos)( −+−=∆x

y

j

iid

jdj’

I’

L

LL ∆+

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=




L.Cortese

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=


Forza assiale in grado di produrre l’allungamento

[ ]avvauuL

EA

L

LEAF ijijad sin)(cos)( −+−=∆⋅⋅=

x

y

j

iadF

adF

L∆



{ }

=

−−

=

=

j

j

i

ia

dad

ad

ad

daa

dd

dad

V

U

V

U

sF

cF

sF

cF

F

FF

j

i

In componenti


L.Cortese

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=


as

ac

sin

cos

==

( )

( )

( )

( )22

22

22

22

svscusvscuL

EAV

scvcuscvcuL

EAU

svscusvscuL

EAV

scvcuscvcuL

EAU

jjiii

jjiij

jjiii

jjiii

++−−=

++−−=

−−++=

−−++=




L.Cortese

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=


In notazione matriciale:

{ } [ ] { }aa

j

i

a

jjji

ijii

j

j

i

i

a

ad dK

d

d

KK

KK

v

u

v

u

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

L

EAF =

=

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

N.B. [K] è sempre simmetrica, conseguenza della conservazione dell’energia

−= +

2

2

)1(ssc

scc

L

EAK ji

ij




L.Cortese

{ } [ ] { } { } { }aap

aaa FFdKF 0ε++=


Per l’asta “generalizzata” si ha dunque:

{ } { }

−−

∆+

−

−

+

−−−−

−−−−

=

s

c

s

c

TE

c

s

c

s

pLd

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

L

EAF a

a

a α2

22

22

22

22




L.Cortese

{ } { }

∆−

−+

−−−−

=

=1

1

1

1

8

1 2

2

1 TEI

zpLd

scsc

scsc

La α

εε

ε

Deformazioni e tensioni massime e minime di elemento


{ } { }

∆−

−+

−−−−

=

=1

1

1

1

8

2

2

1 TEI

zpLd

scsc

scsc

L

E a ασσ

σ

N.B. L’asta “pura” si comporta solo come puntone, reagendo soltanto a trazione-compressione, e non a flessione. In tal caso non è possibile applicare carichi distribuiti. Tutte le espressioni relative all’asta generalizzata, si possono particolarizzare eliminando i contributi dovuti a tali carichi.


z semiampiezza della sezione trasversale dell’asta


L.Cortese

Trasformazione di coordinate: caso generale

Spesso conviene definire le caratteristiche di elemento in un riferimento locale e poi “trasformare” le espressioni nel riferimento globale all’atto dell’assemblaggio finale della struttura

{ } { }aa dLd ][' = ][L Matrice di trasformazione degli spostamenti nodali. E’composta da coseni direttori.

Nel sistema locale si avranno:

{ } { }aaad dKF ']'[' =


Conoscendo la posizione del sistema locale associato all’elemento rispetto a quello globale è possibile legare i vettori spostamento nei due riferimenti mediante:

La relazione tra e segue dall’invarianza del lavoro svolto dalle forze rispetto al sistema di riferimento

{ } { }FF ,' [ ] [ ]KK ,'

{ }apF '

{ }aF0

' ε


L.Cortese

Trasformazione di coordinate: caso generale

Il lavoro nei 2 sistemi deve essere lo stesso:

{ }( ) { } { }( ) { }aTaaTa dFdF ''=


{ } [ ] { }aTa FLF '=

{ }( ) { } { }( ) [ ]{ }aTaaTa dLFdF '==

{ } [ ] { }aTa FLF '= Relazione tra i vettori forze nei due riferimenti

][]'[][][ LKLK aTa = Relazione tra le matrici di rigidezza nei due riferimenti

[ ] { } [ ] [ ] { } [ ] [ ] [ ]{ }aaTaaTaa dLKLdKLdK ''' ==


L.Cortese

Trasformazione di coordinate: caso bidimensionale

'sin'sin

'cos'cos

ββββ

dvdv

dudu

====

γβγββγβγββ

sincoscossin'sin

sinsincoscos'cos

−=+=

γγγβγβγγγβγβ

cossinsincoscossin'

sincossinsincoscos'

vuddv

vuddu

+−=−=+=+= { } { } [ ]{ }iiiii dLdd =

−=

γγγγ

cossin

sincos'

γββ −='

x

y'y

'xd

'v'u

v

u

ββ’γ

Ad esempio, per un elemento monodimensionale a 2 nodi nel piano:

{ } [ ]{ }a

j

i

jj

ii

j

ia dLd

d

L

L

d

dd =

=

=0

0

'

'' Spesso si pone l’asse x’ coincidente con

l’asse dell’elemento: αγββ === 0'



L.Cortese

Trasformazione di coordinate: caso bidimensionale

Nel caso dell’asta nel piano

{ } { }a

j

ia d

cs

sc

cs

sc

d

dd

−

−=

=

00

00

00

00

'

'' αγββ === 0'

as

ac

sin

cos

==

[ ] [ ] [ ][ ]

−−−−

−−−−

=

−

−

−

−

−

−

==

22

22

22

22

00

00

00

00

0000

0101

0000

0101

00

00

00

00

'

sscssc

sccscc

sscssc

sccscc

L

EA

cs

sc

cs

sc

cs

sc

cs

sc

L

EALKLK T

[ ]

−

−

=

0000

0101

0000

0101

'L

EAK

La matrice di rigidezza nel riferimento locale si scrive:

'''

'''

jij

jii

uL

EAu

L

EAU

uL

EAu

L

EAU

+−=

−=quindi:



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