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Manoel PaivaLicenciado em Matemtica pela Faculdade de Filosofia, Cincias e Letras de Santo Andr.

Mestre em Educao Matemtica pela Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo. Professor em escolas particulares por 29 anos.

MatemticaPaiva

1a edio

So Paulo, 2009

Componente curricular: MateMtiCa

MANUAL DO PROFESSOR

1Volume

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Ttulo original: Matemtica Paiva Manoel Paiva 2009

Coordenao editorial: Juliane Matsubara BarrosoEdio de texto: Ana Paula Souza Nani, Dbora Regina Yogui, Fabio Jun Fujikawa Kawakami, Willian Raphael SilvaAssistncia editorial: Priscila Mayumi HaseyamaLeitura crtica: Nilza Eigenheer BertoniPreparao de texto: Denise de AlmeidaCoordenao de design e projetos visuais: Sandra Botelho de Carvalho HommaProjeto grfi co: Alexandre GusmoCapa: Everson de Paula Foto de capa: Chase Swift / Corbis Latinstock Coordenao de produo grfi ca: Andr Monteiro, Maria de Lourdes RodriguesCoordenao de arte: Maria Lucia F. CoutoEdio de arte: Elaine Cristina da SilvaEditorao eletrnica: Formato Comunicao Ltda.Coordenao de reviso: Elaine Cristina del NeroReviso: Afonso N. Lopes, Nancy H. Dias, Renato Lus Tresolavy, Viviane T. MendesCoordenao de pesquisa iconogrfi ca: Ana Lucia SoaresPesquisa iconogrfi ca: Ana Claudia Fernandes, Camila DAngelo, Leonardo de Sousa Klein, Marcia Sato Coordenao de bureau: Amrico JesusTratamento de imagens: Pix ArtPr-impresso: Everton L. de Oliveira, Helio P. de Souza Filho, Marcio Hideyuki KamotoCoordenao de produo industrial: Wilson Aparecido TroqueImpresso e acabamento:

Reproduo proibida. Art. 184 do Cdigo Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todos os direitos reservados

EDITORA MODERNA LTDA.Rua Padre Adelino, 758 Belenzinho

So Paulo SP Brasil CEP 03303-904Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510

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2010Impresso no Brasil

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Dados Internacionais de Catalogao na Publicao (CIP)(Cmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)

Paiva, Manoel Matemtica Paiva / Manoel Paiva. 1. ed. So Paulo : Moderna, 2009.

Bibliografi a.

1. Matemtica (Ensino mdio) I. Ttulo.

09-05969 CDD-510.7

ndice para catlogo sistemtico:1. Matemtica : Ensino mdio 510.7

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3CAPTULO Geometria plana:

tringulos e proporcionalidade

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Alm da teoria

Neste captulo voc ir revisar alguns conceitos da Geometria plana e, com isso, poder resolver este eoutros problemas.

Para medir a largura de um rio, em um trecho de margens parale-las, um topgrafo fixou dois pontos, A e B, um em cada margem, de modo que 4AB perpendicular s margens. A seguir, caminhou70 m, a partir de um ponto A, perpendicularmente a 4AB, at um pon-to C tal que a medida do ngulo A CB 45. Qual a largura do rio?

A70 m

B

45

CA

O rio Amazonas o mais extenso do planeta, com 6.992 km. O trecho mais largo do Amazonas, no intercalado por ilhas e fora do esturio, tem 13 km de largura. Durante as cheias, o rio pode alcanar, em determinados trechos, cerca de 40 a 50 km de largura. O trecho mais estreito do rio, em territrio brasileiro, tem cerca de 2.600 m de largura. (2003)

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58 Captulo 3 Geometria plana: tringulos e proporcionalidade

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70 m70 m

Este livro foi elaborado para oferecer, de forma clara e objetiva, contedos matemticos fundamentais para o Ensino Mdio.

A proposta da pgina de abertura, que tem por objetivo estimular a reflexo sobre um pro-blema contextualizado, traz questes para avaliar seus conhecimentos prvios e ainda questes--desafio, que podero ser resolvidas aps o estudo do captulo.

A teoria vem acompanhada dos exerccios resolvidos, cujo desenvolvimento ajuda na com-preenso dos conceitos.

Em todos os captulos, entremea-dos aos contedos, os exerccios propostos objetivam verificar o aprendizado, trazendo uma aplicao mais imediata dos con-tedos alm de algumas conexes com o cotidiano.

Ao final de cada captulo, o roteiro de trabalho apresenta questes que estimulam os alunos a argumentar, questionar e sintetizar os principais conceitos tratados no captulo. Para finalizar, h os exerccios complementares que oferecem questes de aprofundamento dos assuntos abordados.

A seo Matemtica sem fronteiras traz textos inte-ressantes, com situaes que aplicam os conceitos trabalha-dos no captulo.

Ao final de cada captulo, o

55Temas bsicos da lgebra e matemtica fi nanceira Captulo 2

1 Em duplas, expliquem, com suas prprias palavras:a) o que uma equao polinomial do 1I grau;b) o que o conjunto soluo de uma equao;c) o que uma inequao polinomial do 1I grau;d) o que uma equao polinomial do 2I grau;e) sob que condio a equao ax2 bx c 0, com

{a, b, c} ! e a p0:u possui duas razes reais?

u possui duas razes reais distintas?

u possui duas razes reais iguais?

u no possui razes reais?

Roteiro de trabalho

2 Rena-se em grupo para realizar as tarefas sugeridas nos itens abaixo. Vocs podero usar jornais e revistas para ilustrar as situaes.a) Expliquem o significado do smbolo x% para qual-

quer nmero real x.b) Escolham situaes do dia a dia nas quais esteja

presente o conceito de porcentagem.c) Escolham situaes do dia a dia nas quais esteja

presente o conceito de juro simples.d) Escolham situaes do dia a dia nas quais esteja

presente o conceito de juro composto.e) Expliquem a diferena entre juro simples e juro

composto.

Exerccios complementares

1 Desde o instante em que inicia a entrada em um tnel at o instante em que sai inteiramente desse tnel, um trem percorre 780 m. Sabendo que o comprimento do tnel tem 260 m a mais do que o triplo do compri-mento do trem, calcule o comprimento do trem.

2 Uma herana foi dividida entre a viva, a filha, o filho e o cozinheiro. A filha e o filho ficaram com a metade, distribuda na proporo de 4 para 3, respectivamen-te. A viva ganhou o dobro do que coube ao filho, e o cozinheiro R$ 500,00. Calcule o valor da herana.

3 (PUC-RJ) A organizadora de uma festa observa que, se sentasse os convidados em mesa de trs lugares, sobrariam vinte convidados sem lugar. Usando o mesmo nmero de mesas com quatro em vez de trs lugares, sobrariam trs convidados sem lugar. Qual o nmero de convidados?

4 (FEI-SP) Em um colgio, no perodo da manh, estu-dam 420 alunos em n salas com n 1 alunos por sala. Determine o nmero n.

5 Para vender sua produo de 100 pneus, um empre-srio estabeleceu que o preo por pneu depende da quantidade adquirida pelo comprador, ou seja, para cada x unidades vendidas, o preo unitrio, em real, 40 x5 .

a) Se um comprador adquirir toda a produo, quanto pa-gar por pneu e quanto pagar por toda a produo?

b) Se um comprador adquirir um lote de 30 pneus, quanto pagar por pneu e quanto pagar por todo o lote?

c) Se um comprador adquirir um lote de pneus por R$ 1.500,00, qual ser o preo pago por pneu?

6 O economista norte-americano James Tobin, ganhador do prmio Nobel de Economia em 1981, props, em 1972, uma taxao de 0,1% sobre as transaes finan-ceiras especulativas internacionais. O dinheiro assim recolhido serviria para criar um fundo internacional para ajudar no combate pobreza. Estudos realizados no ano de 2002 estimam que as transaes financeiras especulativas movimentam 1,5 trilho de dlares ao dia til. Considerando que o ano formado por 52 sema-nas de cinco dias teis cada uma, calcule o montante anual, em dlar, que poderia ser recolhido com essa ta-xao, se a proposta de Tobin fosse adotada.

Alunos de escola primria em Ogulagha, Nigria (2006). Embora a Nigria seja um dos maiores produtores de petrleo do mundo, o pas tem um dos mais baixos IDH (ndice de Desenvolvimento Humano): o 158Y entre os 182 pases e territrios classificados.

7 (Enem) Para se obter 1,5 kg do dixido de urnio puro, matria-prima para a produo de combustvel nuclear, necessrio extrair-se e tratar-se 1,0 tonela-da de minrio. Assim o rendimento (em %) do trata-mento do minrio at chegar ao dixido de urnio puro de:a) 0,10% c) 0,20% e) 2,0%b) 0,15% d) 1,5%

A seo Matemtica sem

1 Supondo que a temperatura mdia atual da Terra seja de 16 C, e que a tempe-ratura aumente, em mdia, 0,058 C ao ano, obtenha uma equao que expresse a temperatura f (t), em grau Celsius, em funo do tempo t, em ano.

2 Aplicando a equao obtida na atividade anterior, qual seria a temperatura do planeta daqui a cem anos?

3 De acordo com o texto e com informaes veiculadas em jornais, revistas e na televiso, como podemos ajudar a reduzir a emisso dos gases causadores do efeito estufa?

Matemtica sem fronteiras

O efeito estufa

Efeito estufa o nome dado reteno de calor na Terra possibilitada pela concentrao de diversos gases na atmosfera. Graas a esse fenmeno, a tempe-ratura mdia na superfcie da Terra se mantm em torno dos 16 C. Sem isso, a temperatura mdia na superfcie do planeta seria de 18 C (dezoito graus abaixo de zero). Logo, o efeito estufa fundamental para a existncia de vida na Terra.

Quando se alerta para os riscos do efeito estufa, o que est em discusso a ao do homem na intensificao desse efeito. Estudos tm mostrado que as indstrias, as queimadas, os automveis etc. liberam na atmosfera, anualmente, cerca de 23 bilhes de toneladas de gases que aumentam de forma notvel o efeito estufa. Se as emisses desses gases no diminurem, a quantidade deles presente na atmosfera pode triplicar em cem anos.

De acordo com a Cetesb (Companhia de Tecnologia e Saneamento Ambiental), h quase consenso entre os cientistas de que o resultado mais direto das mudan-as climticas seja o aumento da temperatura do planeta em at 5,8 C ao final desses cem anos.

Essa previso cientfica fundamentada em equaes matemticas que expres-sam a variao mdia da temperatura em funo do tempo.

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Atividades

Nas dcadas de 1970 e 1980, o municpio de Cubato (aqui, em foto de 1983), onde se localiza um dos principais polos industriais do Brasil, foi considerado um dos mais poludos do mundo. Aps a realizao de estudos, foi implantado um plano de recuperao ambiental que vem reduzindo ano a ano a emisso de gases poluentes.

99A linguagem das funes Captulo 4

Os gases formam uma camada ao redor da Terra, impedindo que parte do calor escape da atmosfera.

A teoria vem acompanhada dos

45Temas bsicos da lgebra e matemtica fi nanceira Captulo 2

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3 Sistemas de equaes polinomiais do 1Y grau

Um terreno retangular tem 80 m de permetro, de modo que o comprimento tem 20 m a mais que a largura. Quais so as dimenses desse terreno?

Para resolvermos problemas como esse, podemos equacion-los com uma ou mais incgnitas.

Exerccios resolvidos

R.6 Resolver o sistema de equaes nas incgnitas a e b.3 2 45 7 3a b3 2a b3 2a b5 7 3a b5 7 3 a b a b3 2a b3 2 3 2a b3 2

5 7 3 5 7 35 7 3a b5 7 3 5 7 3a b5 7 3

ResoluoAplicando o mtodo da adio, podemos proceder da seguinte maneira:u Multiplicam-se os dois membros da primeira equa-

o por 5 e os dois membros da segunda por 3, obtendo, assim, coeficientes opostos na incgnita a:

15 2015 9a b10a b10a b21a b21 a b a b10a b10 10a b10

15 15a b a b

u Adicionam-se, membro a membro, as duas equa-es do sistema, obtendo-se:

11b 11 e, portanto, b 1u Substitui-se b por 1 em qualquer equao do

sistema, por exemplo, em 3a 2b 4:3a 2 (1) 4 a 2

O conjunto soluo do sistema : S {(2, 1)}

A menos que se especifique o contrrio, obede-ceremos ordem alfabtica das incgnitas no par ordenado que soluo do sistema.

R.7 Um cliente de um banco fez um saque de R$ 1.200,00 em notas de 10 reais e de 20 reais, num total de 73 notas. Quantas notas de 10 reais ele sacou?ResoluoIndicando por x e y as quantidades de notas de 10 e de 20 reais, respectivamente, as informaes desse enunciado podem ser representadas pelo sistema:

Aplicando o mtodo da substituio, vamos isolar a incgnita x na primeira equao, obtendo:

Substituindo (I) em (II), temos:10(73 y) 20y 1.200 730 10y 20y 1.200; 10y 470 x 47Conclumos, ento, que o cliente sacou 47 notas de 10 reais.

BETO CELLI

Equacionando com uma nica incgnitaIndicando por x a medida da largura do re-

tngulo, em metro, temos que a medida do comprimento x 20.

x x

x 20

x 20

dado que o permetro do terreno 80 m; assim, temos a equao:

(x 20) (x 20) x x 80,

que equivalente a 4x 40 80, da qual obtemos x 10. Assim, conclumos que o ter-reno tem 30 m de comprimento por 10 m de largura.

Equacionando com duas incgnitasIndicando por x e y as medidas, em metro,

da largura e do comprimento do terreno, res-pectivamente, temos:

x x

y

y

Assim, equacionando as informaes do pro-blema, obtemos duas equaes e duas incgnitas:

2 2 80

20

x y

y x

Essas duas equaes polinomiais do 1Y grau, por conterem as mesmas incgnitas x e y, for-mam um sistema de equaes do 1Y grau com duas incgnitas.

Dentre os vrios mtodos de resoluo desse tipo de sistema, estudados no Ensino Fundamental, vamos revisar os mtodos da adio e da substituio, nos exerccios resolvidos R.6 e R.7, a seguir.

ILU

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UST

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x y 73 10x 20y 20y 20 1.200

x 73 y (I)10x 20y 20y 20 1.200 (II)

Em todos os captulos, entremea-

120 Captulo 6 Funo polinomial do 1Y grau ou funo afi m

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Resolva as questes 1 e 2 do Roteiro de trabalho.

Exerccios propostos

40

100

20 40500 x

yr

1 Construa o grfico de cada uma das funes:a) y 2x 4 d) y 5xb) y 2x 4 e) y x3 1c) y 5x

2 O grfico da funo y ax b o apresen-

tado ao lado.Determine:a) os valores de a e bb) a raiz da funo.

3 O preo unitrio y, em real, de um produto diminui de acordo com a quantidade x de uni-dades compradas. Para 1 x 50, os pontos (x, y) pertencem reta r representada ao lado.

Comprando-se 40 uni-dades desse produto, o preo unitrio ser:a) R$ 60,00 d) R$ 72,00b) R$ 68,00 e) R$ 74,00c) R$ 70,00

4 (Enem) Uma pesquisa da ONU estima que, j em 2008, pela primeira vez na histria das civilizaes, a maioria das pessoas viver na zona urbana. O grfico a seguir mostra o crescimento da populao urbana desde 1950, quando essa populao era de 700 milhes de pessoas, e apresenta uma previso para 2030, basea-da em crescimento linear no perodo de 2008 a 2030.

0

0,7

1,01,3

1,7

2,3

2,9

3,5

5,0

Cresce a populao urbana no mundo

(em bilhes de pessoas)

1950 1960 1970 1980 1990 2000 2010 2020 2030

2,0

3,0

4,0

5,0 previso

Almanaque Abril. 2008. p. 128 (com adaptaes)

De acordo com o grfico, a populao urbana mun-dial em 2020 corresponder, aproximadamente, a quantos bilhes de pessoas?a) 4,00 d) 4,25b) 4,10 e) 4,50c) 4,15

1

1

3

0 x

y

5 A relao entre as me-didas de temperaturas, na escala Celsius (C) e na escala Fahrenheit (F), est representada no grfico ao lado.a) Obtenha a equao

que expressa a medi-da y da temperatura, em grau Fahrenheit, em funo da medida x, em grau Celsius.

b) Determine a medida da temperatura, em grau Celsius, que corresponde a 4 F.

6 (Cesgranrio-RJ) Sabe-se que o valor de um carro novo R$ 9.000,00 e, com quatro anos de uso, pas-sa a ser R$ 4.000,00. Supondo que o preo caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com um ano de uso :a) R$ 8.250,00 d) R$ 7.500,00b) R$ 8.000,00 e) R$ 7.000,00c) R$ 7.750,00

7 Um vendedor recebe, a ttulo de rendimento men-sal, um valor fixo de R$ 160,00 mais um adicional de 2% das vendas efetuadas por ele no ms.Com base nisso:a) construa uma tabela para apresentar os rendi-

mentos mensais desse vendedor nos meses de abril a junho. Sabe-se que em abril a venda foi de R$ 8.350,00, em maio de R$ 10.200,00 e em junho de k reais;

b) d uma equao que expressa o rendimento men-sal y desse vendedor em funo do valor x de suas vendas mensais e construa o grfico dessa funo.

c) Calcule a taxa mdia de variao de y em relaoa x, quando este varia de R$ 500,00 a R$ 1.000,00.

8 Uma correia liga duas polias com 4 cm e 12 cm de raio.

a) Escreva uma equao que expresse o nmero y de voltas da polia maior em funo do n-mero x de voltas da polia menor.

b) Construa o grfico da funo do item a para0 x 5.

c) A funo do item a linear? Por qu?

0 100 x (C)

y (F)

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A linguagem das funes 80

CAPTULO

4

1. Sistemas de coordenadas 81 2. O conceito de funo 83 3. Formas de representao de uma funo 86 4. Imagem de x pela funo f 89 5. Anlise grfica 93 Exerccios complementares 96

Funo real de varivel real e inverso de funes 100

CAPTULO

5

1. Funo real de varivel real 101

2. Zero (ou raiz) de uma funo 103

3. Variao de uma funo 105

4. Funes inversas 108

Exerccios complementares 112

Funo polinomial do1 grau ou funo afim 116

CAPTULO

6

1. A funo afim 117

2. Grfico da funo afim 118

3. Funes definidas por mais de uma sentena 126

4. Variao de sinal da funo afim 128

5. Inequao-produto 130

6. Inequao-quociente 131


Funo polinomial do 2 grauou funo quadrtica 135

CAPTULO

7

1. A funo quadrtica 136

2. Grfico da funo quadrtica 136

3. Mximo e mnimo da funo quadrtica 142

4. Variao de sinal da funo quadrtica 145

5. Inequaes polinomiais do 2 grau 147 Exerccios complementares 150

CAPTULO

Sumrio

Uma introduo linguagem dos conjuntos 6

CAPTULO

1

1. A Matemtica concebida entre quatro paredes? 7 2. Conceitos primitivos 7 3. Representao de um conjunto 8 4. Conjunto unitrio e conjunto vazio 9 5. Conjunto finito e conjunto infinito 9 6. Subconjunto 10 7. Igualdade de conjuntos 11 8. Conjunto universo 11 9. Operaes entre conjuntos 13 10. Conjunto diferena 16 11. Conjunto complementar 18 12. Problemas sobre quantidades de elementos de

conjuntos finitos 20 13. Conjuntos numricos 23 14. O eixo real 33 Exerccios complementares 36

Temas bsicos da lgebra e matemtica financeira 40

CAPTULO

2

1. Equaes polinomiais do 1 grau 41 2. Inequaes polinomiais do 1 grau 43 3. Sistemas de equaes polinomiais do 1 grau 45 4. Equaes polinomiais do 2 grau 46 5. Matemtica financeira 49 Exerccios complementares 55

Geometria plana: tringulos e proporcionalidade 58

CAPTULO

3

1. As origens da Geometria 59 2. Polgonos 60 3. Tringulos 61 4. Propriedades dos tringulos 65 5. Teorema de Tales 67 6. Semelhana de figuras planas 69 7. Semelhana de tringulos 69 8. Relaes mtricas no tringulo retngulo 73 Exerccios complementares 77


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Funo modular 154

CAPTULO

8

1. Distncia entre dois pontos do eixo real 155

2. Mdulo, equaes e inequaes modulares 155

3. Funo modular 163


Funo exponencial 168

CAPTULO

9

1. Introduo 169

2. Potenciao e radiciao 170

3. A funo exponencial 177

4. Equao exponencial 181

5. Inequao exponencial 182


Funo logartmica 188

CAPTULO

10

1. Os fundamentos da teoria dos logaritmos 189

2. O conceito de logaritmo 189

3. Funo logartmica 198

4. Equaes logartmicas 202

5. Inequaes logartmicas 205


Sequncias 212

CAPTULO

11

1. O conceito de sequncia 213 2. Lei de formao de uma sequncia 215 3. Progresso aritmtica 217 4. Progresso geomtrica 227 Exerccios complementares 238

Indicao de leituras complementares 240

Respostas 241

Lista de siglas 255

Bibliografia 256


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