po dosazení známých hodnot získáme:

Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007Základy Geofyziky: cvičení, Brno podzim 2007

2. Úlohy z magnetometrie

Úvodní problém – nakreslete graf znázorňující magnetický účinek T v severojižním směru způsobenou tenkou svislou deskou, na základě vztahu:

susceptibilita = 0.006indukce normálního mag. pole T0 = 50000 nTinklinace normálního mag. pole In = 50°hloubka horního okraje desky h = 2 mmocnost desky 2b = 0.5 m

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)



Po dosazení známých hodnot získáme:

x0,9850,347-)4x(28,6

150-502sinx502cos2

2x-

I2sinxI2coshhx

b2T-T(x)

222

nn220



Po dosazení za x (vzdálenost na profilu od bodu 0) můžeme doplnit tabulku hodnot magnetického účinku tenké svislé desky T v jednotlivých bodech profilu:

x [m] T [nT] x [m] T [nT]

-20 1,184 1 -3,043

-15 1,576 2 -4,841

-10 2,340 3 -4,787

-8 2,888 4 -4,288

-7 3,262 5 -3,768

-6 3,734 6 -3,319

-5 4,339 7 -2,949

-4 5,117 8 -2,644

-3 6,063 10 -2,181

-2 6,914 15 -1,504

-1 6,360 20 -1,143

0 2,027



Vypočtené hodnoty pak vyneseme do grafu:

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20



Všimněme si na našem výchozím vztahu blíže goniometrických funkcí. Obě funkce jsou aplikovány na dvojnásobek inklinace normálního magnetického pole – pokud je tedy In=45°, mají obě funkce triviální řešení (sin2.In=1; cos2.In=0) a náš vzorec se podstatně zjednoduší:

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)

220

220

220

hx

b2T-x1.xh.0

hx

b2T-

90sinx90coshhx

b2T-T(x)



Graf fukce T je pro tento zjedodušený případ (In=0) středově symetrický:

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20



Vraťme se ale k naší obecnější úloze a k asymetrickému grafu funkce T. Graf se vyznačuje jedním maximem a jedním minimem hodnot T.

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

maximum

minimum



Vraťme se k našemu původnímu zadání a zkusme vykreslit další grafy funkce magnetického účinku svislé tenké desky pro různé hloubky (ostatní parametry zůstanou nezměněny):

susceptibilita = 0.006indukce normálního mag. pole T0 = 50000 nTinklinace normálního mag. pole In = 50°hloubka horního okraje desky h = 2-5 mmocnost desky 2b = 0.5 m

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)



-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

Zjišťujeme, že se s rostoucí hloubkou jednak zmenšuje absolutní hodnota T v minimu a maximu funkce T, a jednak že se od sebe vzdalují x-ové souřadnice maxima minima.

maxima

minima



Vzdálenost x-ových souřadnic minima a maxima funkce T závisí na hloubce. Lze ukázat, že platí vztah:

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

maximum

minimum

2

2Isinxxh n

maxmin

xmax

xmin



Obrácené úlohy vycházející z úvodního problému:

Úloha 2.1: Urči hloubku tenké svislé desky, jejíž magnetický účinek T je znázorněn na daném grafu. Hodnota inklinace In je 51°.

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)

2

2Isinxxh n

maxmin -6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-4-3-2-10123456

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20



Úloha 2.1: Urči hloubku tenké svislé desky, jejíž magnetický účinek T je znázorněn na daném grafu. Hodnota inklinace In je 51°.

Protože máme k dispozici graf, můžeme vyjít ze vztahu:

2

2Isinxxh n

maxmin

-4-3-2-10123456

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20



Nalezneme v grafu minimum a maximum funkce T a odečteme x-ové souřadnice v těchto bodech:

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

maximum

minimumxmax

xmin

0.2x

1.2x

max

min



Nyní můžeme dosadit do vzorce:

m2h2

102sin1.4

2

)512sin()0.21.2(

2

2Isinxxh n

maxmin

0.2x

1.2x

max

min



Úloha 2.2: Vypočti mocnost tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je T=4,5421nT, jestliže je známo, že hloubka horního okraje desky je 3m, její suseptibilita je 0,006 jednotek SI, inklinace normálního magnetického pole In=50° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT.

Výjdeme ze vztahu:

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)



Vyjádříme si mocnost 2b:

nn0

22

nn220

I2sinxI2coshT

hxT2-b2

I2sinxI2coshhx

b2T-T(x)



Všechny hodnoty ve vzorci jsou známé, můžeme tedy dosadit do vzorce:

m199.03110.71-

963.3066-

0.3691-300

109137.28-

-10sin100100cos350000006.0

310-16.324521.4-

I2sinxI2coshT

hxT2-b2

22

nn0

22



Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi mocností tenké desky a jejím magnetickým účinkem:

Úloha 2.3: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie T, zvětší-li se mocnost tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát?

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20




Mocnost tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě:

nn2220

2

nn2210

1

I2sinxI2coshhx

b2T-T

I2sinxI2coshhx

b2T-T




Mocnost tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě:

1

2

nn2210

nn2220

1

2

b2

b2

I2sinxI2coshhx

b2T-

I2sinxI2coshhx

b2T-

T

T




Mocnost tenké svislé desky se zvětšila dvakrát:

Tj.:

Hodnota magnetické anomálie T se zvětšila dvakrát.

2b2

b2

T

T

1

2

1

2

2b2

b2

1

2



Úloha 2.4: Vypočti susceptibilitu materiálu tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je DT=4,5421nT, jestliže je známo, že hloubka horního okraje desky je 3m, její mocnost 2b=1m, inklinace normálního magnetického pole In=50° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT.

Výjdeme ze vztahu:

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)



Vyjádříme si susceptibilitu :

nn0

22

nn220

I2sinxI2coshbT2

hxT2-

I2sinxI2coshhx

b2T-T(x)




006.000592.0518451-

963.3066-

0.3691-50000

109137.28-

-10sin100100cos3500001

310-16.324521.4-

I2sinxI2coshbT2

hxT2-

22

nn0

22



Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi susceptibilitou tenké desky a jejím magnetickým účinkem:

Úloha 2.5: Kolikrát se zvětší hodnota magnetické anomálie T, zvětší-li se susceptibilita tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, dvakrát?

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20




Susceptibilita tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě:

nn220

2

nn220

1

I2sinxI2coshhx

b2T-T

I2sinxI2coshhx

b2T-T




Susceptibilita tenké svislé desky se ve vzorci oběvuje na jediném místě:

1

2

nn220

nn220

1

2

I2sinxI2coshhxb2T

-

I2sinxI2coshhxb2T

-

T

T




Susceptibilita tenké svislé desky se zvětšila dvakrát:

Tj.:

Hodnota magnetické anomálie T se zvětšila dvakrát.

2T

T

1

2

1

2

21

2



Úloha 2.6: Vypočti hloubku horního okraje tenké svislé desky, která způsobuje na vodorovném profilu magnetickou anomálií, jejíž hodnota ve vzdálenosti x=-10m je DT=4,3804nT, jestliže je známo, že mocnost desky je 2b=1m, její suseptibilita je 0,006 jednotek SI, inklinace normálního magnetického pole In=45° a indukce normálního magnetického pole T0=50000nT.

Výjdeme ze vztahu:

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)



Dosadíme nejprve za inklinaci In=45°:

Vidíme, že goniometrické funkce nabývají v tomto případě triviálních hodnot a náš vzorec se silně zjednodušší.

90sinx90coshhx

b2T-

452sinx452coshhx

b2T-

I2sinxI2coshhx

b2T-T(x)

220

220

nn220

xhx

b2T-T(x)

220

090cos

190sin



Výjdeme ze zjedodušeného vzorce a vyjádříme si hloubku h:

20

202

022

220

xb2Tx

-h

xb2Tx

-h

b2Tx-hx

xhx

b2T-T(x)




m3m89.2

365.8001365.108001684.27

3000

-103804.416.3

1500000.00610--x

b2Tx-h 220



Ověřme nyní blíže, jaký je vztah mezi hloubkou horního okraje tenké desky a jejím magnetickým účinkem:

Úloha 2.7: Kolikrát se zmenší hodnota magnetické anomálie T v místě x=-10m, je-li hodnota inklinace normálního magnetického pole In=45° a zvětší-li se hloubka horního okraje tenké svislé desky, která tuto anomálii způsobuje, z hodnoty 2m na dvojnásobek?

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20




Při inklinaci In=45°, jak jsme ukázali v předešlé úloze, nabívají goniometrické funkce ve vzorci triviálních hodnot a vzorec přechází do jednodušší formy:

xhx

b2T-T(x)

220

nn220 I2sinxI2cosh

hx

b2T-T(x)




Hloubka horního okraje tenké svislé desky se ve zjednodušeném vzorci oběvuje na jediném místě:

xhx

b2T-T

xhx

b2T-T

22

20

2

21

20

1




Hloubka horního okraje tenké svislé desky se ve zjednodušeném vzorci oběvuje na jediném místě:

2

12

22

2

22

20

21

20

2

1

hx

hx

xhx

b2T-

xhx

b2T-

T

T




Známe honotu x (x=-10m), i hloubku h1 (h1=2m) a h2 (h2=2*h1=4m). Můžeme tedy dosadit do vzorce:

Hodnota magnetické anomálie T se zvětšila 1.115 krát.

115.1

104

116

210

410

hx

hx

T

T22

22

21

2

22

2

2

1



Řešení úloh:

verze 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

1 1m 1m 3krát 0,005 3krát 2m 1,066krát







8 2m 1,5m 3krát 0,008 3krát 3m 1,414krát

9 3m 1,5m 3krát 0,008 3krát 3m 1,414krát


po dosazení známých hodnot získáme:

Documents