Podgorica, 2008.

2

dr IZEDIN KRNIĆ MARKO JOKIĆ MIRJANA BOŠKOVIĆ

Izdavač - Zavod za udžbenike i nastavna sredstva - Podgorica

Glavna i odgovorna urednica - Nataša Živković

Urednik - Lazo Leković

Recenzenti - dr Žana Kovijanić mr Goran Šuković Danijela Jovanović Nataša Gazivoda Zorica Minić

Dizajn, prelom - Milorad Mitić

Lektura - Predrag Nikolić

Korektura - Biljana Ćulafić

Tehničke usluge - Aleksandar Petrov

Za izdavača - Nebojša Dragović

Prvo izdanje - 2007. godine

Drugo izdanje - 2008. godine

Štampa - Štamparija Ostojić – Podgorica

Tiraž - 1000

ISBN 978-86-303-1164-2

Priručnik za nastavnike za osmi razreddevetogodišnje osnovne škole

Savjet za op{te obrazovanje, rje{enjem broj 04-3-146 od 06. 07. 2007. godine, odobrio je ovaj ud`beni~ki komplet za upotrebu u devetogodi{njim osnovnim {kolama.

3

Uvod

U osmom razredu učenici će usvajati i produbljivati znanja iz dvije oblasti :A – Aritmetika i algebra (orijentaciono 70 časova),G – Geometrija (orijentaciono 50 časova).

Oblast Aritmetika i algebra čine četiri teme:−1A Proporcije i procentni račun (orijentaciono 16 časova),−2A Kvadriranje, korijenovanje i stepenovanje (orijentaciono 26 časova),−3A Realni brojevi (orijentaciono 6 časova) i −4A Linearne jednačine i nejednačine (orijentaciono 22 časa).

Oblast Geometrija čine tri teme:−1G Pitagorina teorema (orijentaciono 22 časa),−2G Mnogougao (orijentaciono 12 časova),−3G Krug i kružnica (orijentaciono 16 časova).

Predmetnim programom predviđeno je 4 časa nedjeljno ili 144 časa u toku školske godine. Od predviđenih 144 časa raspoređeno je 120. Preostalih 24 časa je neraspoređeno. U Priručniku će za svaki nastavnu temu biti sprovedena analiza njenog sadržaja. Pod time podrazumijevamo:

definisanje nastavnih ciljeva,•logičko-metodičku analiza teme i didatička uputstva. •

Nastavni ciljevi, u kojima se govori o znanjima i veštinama koje učenik usvaja učeći konkretnu temu, okvirno i na vrlo opštem nivou su dati u predmetnom programu. Zato je u Priručniku dat detaljan spisak ciljeva koji su usaglašeni sa operativnim ciljevima datim u predmetnom programu Logičko-metodička analiza teme podrazumijeva sagledavanje logičke strukture njenog sadržaja i onih matematičkih i metodičkih ideja koje čine osnovu tog sadržaja. Tu prije svega imamo u vidu:

matematičke pojmove sa kojima se učenici prvi put srijeću,•vezu između novih i ranije usvojenih pojmova,•izbor zadataka čiji je cilj da učenicima olakša usvajanje novih pojmova,•strukturu tvrđenja ( neophodni uslovi, dovoljni uslovi, neophodni i dovoljni uslovi),•izdvajanje tvrđenja koja će biti dokazana,•izbor zadataka kojima će se ilustrovati sadržaji tvrđenja koja neće biti dokazana,•metode koje se koriste pri dokazivanju tvrđenja i slično.•

Didaktička uputstva sadrže ideje i predloge koji će po našem mišljenju pomoći nastavnicima da postavljene ciljeve ostvare na efikasan i zanimljiv način i svakako na način koji će učenicima biti blizak, zanimljiv i razumljiv.

4

Sadržaj

1. PROPORCIJE I PROCENTNI RAČUN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Razmjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Proporcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Direktno proporcionalne veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Obrnuto proporcionalne veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Razmjera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Proporcije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Direktno proporcionalne veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Obrnuto proporcionalne veličine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Procenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. STEPEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Kvadriranje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Kvadrat proizvoda i kvadrat količnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Kvadrat zbira. Kvadrat razlike. Razlika kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Stepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Množenje i dijeljenje stepena jednakih osnova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Množenje i dijeljenje stepena jednakih izložilaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Kvadratni korijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kvadriranje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Kvadrat proizvoda i kvadrat količnika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Kvadrat zbira. Kvadrat razlike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Razlika kvadrata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Stepenovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Množenje i dijeljenje stepena jednakih osnova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Množenje i dijeljenje stepena jednakih izložilaca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Monomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Kvadratni korijen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Računanje sa kvadratnim korijenima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. REALNI BROJEVI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Racionalni brojevi i mjerenje dužine duži. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Čisto periodični i mješovito periodični decimalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Zapisivanje beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Skup realnih brojeva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Racionalni brojevi i mjerenje dužine duži. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Čisto periodični i mješovito periodični decimalni brojevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Zapisivanje beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Iracionalni brojevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Brojna prava skupa realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Operacije na skupu realnih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. LINEARNE JEDNAČINE. LINEARNE NEJEDNAČINE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Brojne jednakosti. Jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Ekvivalentne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Pravila formiranja ekvivalentnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Rješavanje linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Primjena linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Brojne nejednakosti. Nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Ekvivalentne nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Pravila formiranja ekvivalentnih nejednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Rješavanje linearnih nejednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Brojne jednakosti. Jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Ekvivalentne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Pravila formiranja ekvivalentnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Rješavanje linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44Primjena linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5

5. PITAGORINA TEOREMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Pitagorina teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Primjena Pitagorine teoreme na pravougaonik i kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Primjena Pitagorine teoreme na jednakokraki i jednakostranični trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Primjena Pitagorine teoreme na romb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Primjena Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Pitagorina teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Stranice pravouglog trougla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Obrnuta teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Hipotenuzini odsječci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Konstruktivni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55Primjena Pitagorine teoreme na pravougaonik i kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Pravougaonik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Kvadrat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57Primjena Pitagorine teoreme na jednakokraki i jednakostranični trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Jednakokraki trougao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58Jednakostranični trougao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Primjena Pitagorine teoreme na romb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Primjena Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Pravougli trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61Jednakokraki trapez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6. MNOGOUGAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Dijagonale mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Uglovi mnogougla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Pravilni mnogouglovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Obim mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Površina mnogougla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Mnogougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Dijagonale mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67Unutrašnji uglovi mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68Spoljašnji uglovi mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Pravilni mnogouglovi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Obim mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72Površina mnogougla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7. KRUžNICA I KRUG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kružnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Međusobni odnos kružnice i prave. Međusobni odnos dvije kružnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Tangenta kružnice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kružni lukovi. Tetive. Centralni i periferijski uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74Kružnica i pravilni mnogouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Karakteristični trougao pravilnog mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Konstrukcija i crtanje pravilnog mnogougla. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Obim kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Dužina kružnog luka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Površina kruga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Površina kružnog isječka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Površina kružnog prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Međusobni odnos kružnice i prave. Međusobni odnos dvije kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78Tangenta kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Kružni lukovi. Centralni i periferijski uglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79Odnos centralnih i periferijskih uglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81Kružnica i pravilni mnogouglovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Karakteristični trougao pravilnog mnogougla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Konstrukcija i crtanje pravilnih mnogouglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Obnavljanje gradiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85Obim kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Dužina kružnog luka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Površina kruga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Površina kružnog isječka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Površina kružnog prstena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6

1. ProPorCIjE I ProCENTNI raČUN

NastavNi ciljevi

Razmjera

Učenik/ca:

usvaja da količnik • :a b , odnosno razlomak ab

omogućava upoređivanje pozitivnih brojeva a

i b na ovaj način:

a) ako je > 1ab

, tada količnik :a b pokazuje koliko puta je broj a veći od broja b,

b) ako je < 1ab

, tada količnik :a b pokazuje koji dio broja b čini broj a,

c) ako je = 1ab

, tada je = ,a b;

usvaja da količnik • :a b (razlomak ab

) formiran sa ciljem da se uporede pozitivni brojevi a i b

(odnosno veličine kojima su ti brojevi mjerni brojevi u nekoj jedinici mjere), naziva razmje-rom;usvaja da broj • a naziva prvim, a broj b drugim članom razmjere a : b;usvaja da se množenjem (dijeljenjem) prvog i drugog člana razmjere istim pozitivnim brojem •dobija razmjera jednaka polaznoj razmjeri;usvaja pojam recipročne razmjere;•zna smisao razmjere veličina iste vrste;•zna smisao razmjere veličina različite vrste;•usvaja pojam razmjere crteža;•zna što znači podijeliti veličinu u razmjeri • : ,m n; zna što znači podijeliti veličinu u razmjeri • : : ,m n k;uspješno rješava zadatke u kojima se koristi razmjera.•

Proporcije

Učenik/ca:usvaja pojam proporcije;•usvaja tvrđenja:•

a) proizvod spoljašnjih članova proporcije jednak je proizvodu njenih unutrašnjih članova,b) ako je u nizu brojeva a, b, c, d, b ≠ 0, d ≠ 0, proizvod prvog i četvrtog člana jednak proizvodu

drugog i trećeg člana, onda ti brojevi obrazuju proporciju;usvaja tvrđenje prema kojem se od četiri različita prirodna broja, ili ne može napraviti nijedna •proporcija, ili se mogu napraviti tačno četiri različite proporcije;usvaja i primjenjuje pravila zamjene mjesta:•

a) ako u proporciji zamijene svoja mjesta dva unutrašnja člana, dobija se proporcija,b) ako u proporciji zamijene svoja mjesta dva spoljašnja člana, dobija se proporcija,c) ako dvije razmjere obrazuju proporciju, onda i njima recipročne razmjere obrazuju propor-

ciju;

7

usvaja i primjenjuje pravila zbira i razlike:•a) zbir prvog i drugog člana proporcije odnosi se prema drugom (prvom) članu isto kao što se

zbir trećeg i četvrtog člana odnosi prema četvrtom (trećem) članu te proporcije,b) ako je prvi član proporcije veći od drugog, a treći od četvrtog, onda se razlika prvog i drugog

člana odnosi prema drugom (prvom) članu isto kao što se razlika trećeg i četvrtog člana odnosi prema četvrtom (trećem) članu te proporcije.

uspješno rješava tekstualne zadatke koji se rješavaju određivanjem nepoznatog člana proporcije;•zna kakvog su oblika brojevi • i x y koji sa zadatim brojevima a i b obrazuju proporciju x : y = a : b;uspješno rješava tekstualne zadatke koji se svode na matematički model •

=+ =

: :,

x y a bpx qy G;

usvaja pojam produžene proporcije,•zna kakvog su oblika brojevi • , i x y z koji sa zadatim brojevima a, b i c obrazuju produženu pro-porciju x : y : z = a : b : c;uspješno rješava tekstualne zadatke koji se svode na matematički model•

=+ + =

: : : :.

x y z a b cpx qy rz G

Direktno proporcionalne veličine

Učenik/ca:usvaja definiciju direktno proporcionalnih veličina• ;zna primjere direktno proporcionalnih veličina• ; zna primjere koji pokazuju da dvije veličine između kojih postoji takva zavisnost da kada se •uveća jedna od njih uveća se i druga, ne moraju biti direktno proporcionalne;usvaja tvrđenja:•

a) ako su x i y direktno proporcionalne veličine, tada je razmjera odgovarajućih vrijednosti tih

veličina isti broj za sve parove odgovarajućih vrijednosti: = = =31 2

1 2 3....

xx xy y y

b) ako su 1 1 2 2( , ) i ( , )x y x y dva proizvoljno odabrana para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina x i y, tada je =1 2 1 2: :x x y y , odnosno =2 1 2 1: : ,x x y y ;

primjenom svojstava direktno proporcionalnih veličina uspješno rješava jednostavne tekstualne •zadatke.

Obrnuto proporcionalne veličine

Učenik/ca:usvaja definiciju obrnuto proporcionalnih veličina• ;zna primjere obrnuto proporcionalnih veličina• ; zna primjere koji pokazuju da dvije veličine između kojih postoji takva zavisnost da kada se •uveća jedna od njih umanji se druga, ne moraju biti obrnuto proporcionalne;

8

usvaja tvrđenja:•a) ako su x i y obrnuto proporcionalne veličine, tada je proizvod odgovarajućih vrijednosti tih

veličina isti broj za sve parove odgovarajućih vrijednosti: = = =1 1 2 2 3 3 ...x y x y x yb) Ako su 1 1 2 2( , ) i ( , )x y x y dva proizvoljno odabrana para odgovarajućih vrijednosti obrnuto

proporcionalnih veličina x i y, tada je =1 2 2 1: :x x y y , odnosno =2 1 1 2: : ,x x y y ; primjenom svojstava obrnuto proporcionalnih veličina uspješno rješava jednostavne tekstualne •zadatke.

Procenti

Učenik/ca:usvaja pojam procenta• ;zna kako se dio neke veličine izražen decimalnim brojem zapisuje u obliku procenta• ;zna kako se dio neke veličine izražen procentima zapisuje u obliku decimalnog broja• ;usvaja osnovnu proporciju procentnog računa• G : P = 100 : p;uspješno rješava zadatke u kojima treba odrediti jednu od veličina • G, P i p kada su poznate dvi-je preostale veličine;usvaja proporcije•

(G + P): P = (100 + p) : p, (G-P): P = (100-p) : pi primjenuje ih pri rješavanju jednostavnih tekstualnih zadataka.

DiDaktička uputstva

Razmjera

Ova tema, a i čitavo poglavlje, na ovom nivou nastave imaju mnogo više operativni nego teorij-•ski karakter pa se postavljeni ciljevi ostvaruju izborom i rješavanjem onih zadataka koji na naj-bolji način ilustruju pojmove koji se zasnivaju. Zato ćemo se ovdje baviti uglavnom analizom zadataka iz Zbirke.U zadacima 1.1-1.7 treba primijeniti ranije usvojena znanja o razlomcima (jednakost razlomaka, •proširivanje i skraćivanje razlomaka, množenje i dijeljenje racionalnih brojeva zapisanih u obli-ku razlomka ili u obliku decimalnog broja, zapisivanje razlomka u nesvodljivom obliku) i formi-rati razmjere koje zadovoljavaju zadate uslove. Cilj koji želimo postići ovim zadacima je uvjež-bavanje računske tehnike u radu sa razmjerama.U zadacima 1.9-1.10 i 1.20 treba odrediti razmjeru površina zadatih figura. Time razmjera do-•bija onu očiglednost koju sugeriše slika geometrijske figure.Cilj zadataka 1.11-1.19 i 1.21-1.22 je da učenici steknu naviku da formiranjem razmjere utvrde •odnose između veličina u situacijama koje se srijeću u svakodnevnom životu.U zadacima 1.23-1.30 zadata je razmjera mape, a treba odrediti, ili stvarno rastojanje između •dvije tačke kada je zadato rastojanje između odgovarajućih tačaka na mapi, ili rastojanje između dvije tačke na mapi kada je zadato stvarno rastojanje između odgovarajućih tačaka. Na kraju, zadaci 1.31-1.48 su posvećeni dijeljenju veličina u zadatom odnosu. U postojećim •zbirkama takvi zadaci se najčešće rješavaju primjenom proporcija. Naše mišljenje je da navedene zadatake treba rješavati na način koji jasnije odražava ideju dijeljenja veličina u zadatom odnosu. Navedimo nekoliko primjera:

9

Neka su x i y mjerni brojevi dijelova veličine G koji tu veličinu dijele u odnosu m:n. U Udžbe-niku je dokazano da važi:

=+

mGx

m n i =

+.

nGy

m n

U Udžbeniku je takođe dokazano da za mjerne brojeve djelova koji veličinu G dijele u odnosu m : n : k važi:

=+ +

,mG

xm n k

=+ +

,nG

ym n k

=+ +

.kG

zm n k

Razmatraju se dva tipa zadataka:1. Data je veličina G i razmjera m : n. Odrediti brojeve x i y (brojeve x, y i z).2. Dati su broj x i razmjera m : n (m : n : k). Odrediti broj y (brojeve y i z).Primjer 1. Broj putnika u jednom autobusu odnosi se prema broju putnika u drugom autobu-

su kao 3:2. Ako u oba autobusa ima 85 putnika, odredi koliko putnika ima u jednom, a koliko u drugom autobusu.

Rješenje: Ovdje je G = 85, m = 3 i n = 2. Označimo sa x broj putnika u prvom autobusu, a sa y broj putnika u drugom autobusu. Tada je

⋅= =

+3 85mG

xm n

17

5=1 51,

⋅= =

+2 85nG

ym n

17

5=1 34.

Primjer 2. U učionici je odnos djevojčica i dječaka 3:2. Ako dječaka ima 15, koliko djevojčica ima u toj učionici?

Rješenje: Označimo sa x broj dječaka, sa y broj djevojčica, a sa G ukupni broj učenika. Ovdje

je G = ?, m = 3, n = 2, x = 15, y = ?, x + y = G. Tada se jednačina =+

mGx

m n može zapisati u obliku

=3

15 .5G

Rješavanjem posljednje jednačine nalazimo da je = 25.G Sada je lako odrediti broj dje-

vojčica: = − = − =25 15 10.y G xPrimjer 3. Tri radnika dijele zaradu od 660 eura u odnosu 2:5:3. Koliko će dobiti novca svaki

od radnika?Rješenje: Označimo sa x, y i z svote koje će dobiti, redom, prvi, drugi i treći radnik. U ovom

zadatku je G = 660, m = 2, n = 5, k = 3, x = ?, y = ?, z = ?. Tada je:⋅

= = =+ +

2 660132,

10mG

xm n k

⋅= = =

+ +5 660

330,10

nGy

m n kz

kGm n k

=+ +

= ⋅ =3 66010

198.

Primjer 4. Dužina najmanje stranice trougla je 45 cm. Izračunaj dužine druge dvije stranice trougla, ako se dužine svih stranica odnose kao 3:4:5.

Rješenje: Označimo sa x, y i z dužine stranica trougla tako da je < < ,x y z a sa G obim trougla. Tada su x, y i z mjerni brojevi dijelova veličine G koji tu veličinu dijele u odnosu 3:4:5. Prema tome je:

=+ +

,mG

xm n k

=+ +

,nG

ym n k

=+ +

.kG

zm n k

U našem slučaju je G = ?, m = 3, n = 4, k = 5, x = 45, y = ?, z = ?, + + = .x y z G Jednačinu

=+ +mG

xm n k

možemo zapisati u obliku =3

45 ,12G

odakle slijedi da je = 180.G Tada iz =+ +nG

ym n k

dobijamo ⋅

= =4 180

60.12

y Na kraju, na osnovu + + =x y z G nalazimo da je = − − = −180z G x y

– 45 – 60 = 75.

10

Proporcije

U ovoj, kao ni u prethodnoj temi, nema suštinski novih pojmova. Razmjera je razlomak, a pro-•porciju čine dva jednaka razlomka. Novi sadržaj čine pravila koja omogućavaju da se polazeći od zadate proporcije, formiraju nove proporcije. Misli se na pravilo zamjene mjesta i na pravila zbira i razlike. Ova pravila učenici treba da usvoje na osnovu konkretnih primjera. Analiza zadataka iz Zbirke:•

Rješavanje zadataka 2.1-2.11 svodi se na primjenu pravila zbira i razlike i na određivanje ne-poznatog člana proporcije. Određivanje nepoznatog člana u proporcijama =: :x b c d i =: :a x c d primjenom prvog osnovnog svojstva proporcija svodi se na jednačinu =px q koju učenici znaju riješiti. Primjenom pravila zbira na proporciju − =( ) : :a x x c d dobija se proporcija − + =( ) : :a x x x c dodnosno =: :a x c d . Primjenom pravila razlike na proporciju + =( ) : :a x x c d dobija se proporci-ja + − =( ) : :a x x x c d odnosno =: : .a x c d Ovim postupcima rješava se zadatak 2.11.

U zadacima 2.12-2.14 i 2.18 treba odrediti brojeve • x i y tako da važi:

=

+ = − = =

: : , (ili ili ).

x y m nx y G x y G xy G ;

odnosno brojeve x, y i z tako da važi:

=

+ + =

: : : : , (ili neki drugi uslov).

x y z m n kx y z G

Navedeni zadaci se rješavaju primjenom sljedećih tvrđenja: 1. Nepoznati članovi proporcije =: :x y a b su brojevi oblika =x ta i = ,y tb gdje je t bilo

koji realan broj.2. Nepoznati članovi produžene proporcije =: : : :x y z a b c su brojevi oblika =x ta , = ,y tb

= ,z tc gdje je t bilo koji realan broj.Dužine duži u zadatku 2.15 su brojevi • x i y sa sljedećim svojstvima:

=+ =

: 2 : 1,3 2 66.x yx y

Na sličan način se rješavaju i zadaci 2.16 i 2.17.

Direktno proporcionalne veličine

Sa direktno proporcionalnim veličinama (na primjer, dužine stranice i dijagonale kvadrata, du-•žine stranice i visine jednakostraničnog trougla, obim i prečnik kružnice, dužina kružnog luka i veličina odgovarajućeg centralnog ugla, površina kružnog isječka i veličina odgovarajućeg cen-tralnog ugla, površina kružnog isječka i dužina odgovarajućeg kružnog luka) i njihovim svojstvi-ma srijetaćemo se više puta pri obradi nekih nastavnih jedinica (Pitagorina teorema, Obim kruž-nice, Dužina kružnog luka, Površina kružnog isječka).Nastojali smo da ovu i sljedeću nastavnu jedinicu obradimo tako da se sačuva duh funkcionalne •zavisnosti između posmatranih veličina, iako se pojam funkcije ne uvodi. Obrada tog pojma predviđena je za deveti razred. U tom smislu se razmatraju parovi odgovarajućih vrijednosti i utvrđuje međusobna zavisnost komponenti takvih parova. U vezi sa tim formulisana su dva tvrđenja koja smo nazvali prvim i drugim osnovnim svojstvom direktno proporcionalnih veli-čina.

11

Prvo osnovno svojstvo direktno proporcionalnih veličina:

Ako su x i y direktno proporcionalne veličine, tada je razmjera odgovarajućih vrijednosti tih veličina isti broj za sve parove odgovarajućih vrijednosti:

= = =31 2

1 2 3....

xx xy y y

Drugo osnovno svojstvo direktno proporcionalnih veličina:

Ako su 1 1 2 2( , ) i ( , )x y x y dva proizvoljno odabrana para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina x i y, tada je =1 2 1 2: :x x y y , odnosno =2 1 2 1: : .x x y y

Izvođenja formula za izračunavanje obima kružnice, dužine kružnog luka i površine kružnog •isječka zasnivaju se na prvom osnovnom svojstvu direktno proporcionalnih veličina. Primjena proporcionalnih veličina na rješavanje praktičnih problema tradicionalno se zasniva na drugom osnovnom svojstvu, iako se takvi problemi mogu riješiti i primjenom prvog svojstva. Navođenjem proporcija =1 2 1 2: :x x y y i =2 1 2 1: :x x y y u drugom tvrđenju i ukazivanjem na tabele 3.2 i 3.3 (Udžbenik) željeli smo izbjeći zamku u koju učenici često zapadaju misleći da je usmjeravanje strelica u tim tabelama (prema gore ili prema dolje) važan uslov za tačno rješenje zadatka.Prije definicije direktno proporcionalnih veličina treba navesti primjere takvih veličina. Jedan •primjer dat je u Udžbeniku. Učenici treba samostalno da riješe nekoliko sličnih zadataka. Na primjer:

1. Krojač sašije jedno odijelo za tri dana. Tabelu 1.1 popuni tako što ćeš u njenoj drugoj vrsti, u odgovarajućim poljima, upisati brojeve odijela koje krojač sašije,, redom, za 3, 6, 9, 12, 15, 18 dana, a zatim odgovori na sljedeća pitanja:

a) Ako se broj dana uveća dva puta (na primjer, sa 9 na 18 dana), koliko puta se uveća broj sašivenih odijela?

b) Ako se broj dana uveća tri puta (na primjer, sa 6 na 18 dana), koliko puta se uveća broj sašivenih odijela?

c) Ako se broj dana uveća pet puta (na primjer, sa 3 na 15 dana), koliko puta se uveća broj sašivenih odijela?

Zaključak: Ako se broj dana uveća k puta, onda se i broj sašivenih odijela uveća k puta.

broj dana 3 6 9 12 15 18broj sašivenih

odijela Tabela 1.1

2. Iz neke cijevi za 4 minuta isteče 10 litara vode. Tabelu 1.2 popuni tako što ćeš u njenoj dru-goj vrsti u odgovarajućim poljima, upisati brojeve litara vode koja iz te cijevi isteče, redom, za 4, 8, 12, 16, 20, 24 minuta, a zatim odgovori na sljedeća pitanja:

a) Ako se broj minuta uveća dva puta (na primjer, sa 12 na 24 minuta), koliko puta se uveća broj litara vode koja isteče iz cijevi?

b) Ako se broj minuta uveća tri puta (na primjer, sa 4 na 12 minuta), koliko puta se uveća broj litara vode koja isteče iz cijevi?

c) Ako se broj minuta uveća pet puta (na primjer, sa 4 na 20 minuta), koliko puta se uveća broj litara vode koja isteče iz cijevi?

Zaključak: Ako se broj minuta uveća k puta, onda se i broj litara vode koja isteče iz cijevi uve-ća k puta.

12

broj minuta 4 8 12 16 20 24broj litara vode koja

isteče iz cijevi Tabela 1.2

U kontrolnim pitanjima 2 i 3 (Udžbenik 24. i 25. stranica) razmatraju se primjeri neproporcio-•nalnih veličina između kojih postoji takva zavisnost, da kada se uveća jedna od tih veličina uveća se i druga. Obavezno treba naglasiti sličnost i razliku između direktno proporcionalnih veličina i veličina navedenih u tim primjerima.Analiza zadataka iz Zbirke:•

U zadacima 3.1 i 3.2 tabelarno je opisana međusobna zavisnost dvije veličine. Treba ispitati da li su te veličine direktno proporcionalne. Zadaci 3.3-3.22 rješavaju se na standardan način. Riječ je o istom postupku primijenjenom na različite modele direktno proporcionalnih veličina.

Obrnuto proporcionalne veličine

U uvodnom dijelu časa treba obraditi nekoliko primjera u kojima se razmatra međusobna zavi-•snost obrnuto proporcionalnih veličina. Jedan primjer dat je u Udžbeniku. Predlažemo da uče-nici samostalno riješe nekoliko sličnih zadataka. Na primjer:

1. Dva rovokopača iskopaju neki kanal za 72 dana. Tabelu 1.3 popuni tako što ćeš u njenoj drugoj vrsti, u odgovarajućim poljima, upisati brojeve rovokopača potrebnih da bi se taj posao završio, redom, za 4, 6, 12, 18, 36 dana, a zatim odgovori na sljedeća pitanja:

a) Ako se broj rovokopača uveća 2 puta (na primjer, sa 6 na 12 rovokopača), koliko puta se umanjuje broj dana potrebnih da se iskopa kanal?

b) Ako se broj rovokopača uveća 3 puta (na primjer, sa 4 na 12 rovokopača), koliko puta se umanjuje broj dana potrebnih da se iskopa kanal?

c) Ako se broj rovokopača uveća 6 puta (na primjer, sa 4 na 24 rovokopača), koliko puta se umanjuje broj dana potrebnih da se iskopa kanal?

Zaključak: Ako se broj rovokopača uveća k puta, onda se broj dana potrebnih da se završi posao umanjuje k puta.

broj dana 4 6 12 18 36

broj rovokopača potrebnih da se iskopa kanal

Tabela 1.3

2. Fudbalska lopta košta 14,4 eura. Tabelu 1.4 popuni tako što ćeš u njenoj drugoj vrsti, u od-govarajućim poljima, upisati svote novca koju mora da izdvoji svaki od učenika, ako u ku-povini lopte sa jednakim svotama učestvuje, redom, 4, 6, 12, 18, 36 učenika, a zatim odgo-vori na sljedeća pitanja:

a) Ako se broj učenika koji učestvuju u kupovini lopte uveća 2 puta (na primjer, sa 6 na 12 učenika), koliko puta se umanjuje svota novca koju mora izdvojiti svaki od učenika?

b) Ako se broj učenika koji učestvuju u kupovini lopte uveća 3 puta (na primjer, sa 6 na 18 učenika), koliko puta se umanjuje svota novca koju mora izdvojiti svaki od učenika?

c) Ako se broj učenika koji učestvuju u kupovini lopte uveća 9 puta (na primjer, sa 4 na 36 učenika), koliko puta se umanjuje svota novca koju mora izdvojiti svaki od učenika?

13

Zaključak: Ako se broj učenika koji učestvuje u kupovini lopte uveća k puta, onda se svota novca koju mora izdvojiti svaki od učenika umanjuje k puta.

broj učenika 4 6 12 18 36 suma koju mora da

izdvoji svaki od učenika Tabela 1.4

Prvo i drugo osnovno svojstvo obrnuto proporcionalnih veličina treba zasnovati na analizi obra-•đenih primjera.Prvih nekoliko zadataka koji se rješavaju primjenom svojstava obrnuto proporcionalnih veličina •treba uraditi postupno, kako bi učenici shvatili njihovu suštinu. Ilustrujmo to jednim primje-rom:

Koliko kamiona nosivosti dvije tone treba kupiti da bi se zamijenio vozni park od 12 kamiona nosivosti 8,5 tona?

Rješenje:1. korak. Navedi veličine koje se razmatraju u zadatku.U zadatku se razmatraju veličine broj kamiona u voznom parku i nosivost svakog kamiona. 2. korak. Formiraj tabelu 1.5 i ispitaj da li su zadate veličine obrnuto proporcionalne.

broj kamiona u voznom parku

nosivost kamiona

Tabela 1.5

Ukupna nosivost voznog parka je nepromjenljiva i iznosi ⋅ =12 8,5 100102 tone (12 kamiona no-sivosti 8,5 tona). Ako se postojeći vozni park želi zamijeniti sa dva (tri, četiri) puta više kamiona, onda je nosivost svakog novog kamiona dva (tri, četiri) puta manja od nosivosti bilo kojeg od za-mijenjenih kamiona. Uopšte, ako se postojeći vozni park želi zamijeniti sa k puta više kamiona, onda je nosivost svakog novog kamiona k puta manja od nosivosti bilo kojeg od zamijenjenih ka-miona. Dakle, riječ je o obrnuto proporcionalnim veličinama.

3. korak. Navedi dva para odgovarajućih vrijednosti zadatih veličina i upiši ih u tabelu 1.5. Nepoznatu vrijednost jedne od zadatih veličina označi sa x.

Parovi odgovarajućih vrijednosti su : (12 kamiona, 8,5 tona nosivosti) (x kamiona, 2 tone nosivosti).Tako se dobija tabela 1.6.

broj kamiona u voznom parku

nosivost kamiona

12 kamionax kamiona

8,5 t2 t

Tabela 1.6

14

4. korak. Povuci strelice koje ukazuju da je riječ o obrnuto proporcionalnim veličinama i for-miraj odgovarajuću proporciju (tabela 1.7 ili tabela 1.8)

broj kamiona u voznom parku

nosivost kamiona

12 kamionax kamiona

8,5 t2 t

Tabela 1.7

broj kamiona u voznom parku

nosivost kamiona

12 kamionax kamiona

8,5 t2 t

12 : x = 2 : 8,5Tabela 1.8

5. korak. Rješi proporciju:

xxx

x

: , : ,, ,

/ :.

12 8 5 22 12 8 52 102 2

51

== ⋅==

ili

12 2 8 52 12 8 52 102 2

51

: : , ,, ,

/ :.

xxx

x

== ⋅==

6. korak. Izvedi zaključak.Vozni park od 8 kamiona nosivosti 8,5 tona može se zamijeniti sa 51 kamiona nosivosti dvije

tone.Analiza zadataka iz Zbirke:•

U zadacima 4.1 i 4.2 tabelarno je opisana međusobna zavisnost dvije veličine. Treba ispitati da li su te veličine obrnuto proporcionalne. Zadaci 4.3 – 4.18 rješavaju se na standardan način. Riječ je o istom postupku primijenjenom na različite modele obrnuto proporcionalnih veličina.

Procenti

Sa pojmom procenta učenici su se prvi put sreli u šestom razredu. Ova tema posvećena je ob-•navljanju i sistematizaciji stečenih znanja. Dakle, učenici imaju neku predstavu o procentu i

zato predlažemo da na osnovu slike 5.1 (Udžbenik) odmah izvedete formulu =100

pP G i da za

razlomak 100

p uvedete oznaku p%. Na taj način ćete doći do zapisa = %P p G i naglasiti da ve-

ličina P čini p procenata (p posto) veličine G. Svaki učenik treba da zna kako se dio veličine G izražen decimalnim brojem zapisuje u obliku procenta i kako se dio veličine G izražen u procen-tima zapisuje u obliku decimalnog broja. U vezi sa tim treba obraditi primjere 5.1 i 5.2 iz Udž-benika. Isti problemi se u Zbirci razmatraju u zadacima 5.1-5.4.

Preostali dio ove teme posvećen je osnovnim zadacima procentnog računa. Kako bi na pro• cen-

tni račun mogla biti primijenjena i znanja o proporcijama, formulu =100

pP G treba zapisati u

obliku tzv. osnovne proporcije procentnog računa =: 100 :G P p i naglasiti da će biti razmatra-ni zadaci u kojima na osnovu zadate dvije od tri veličine G, P i p treba izračunati treću veličinu. Takođe treba ukazati na mogućnost da se treća veličina odredi kao nepoznati član osnovne pro-porcije. Dalje se razmatraju tri tipa zadataka:

15

a) Zadaci u kojima treba izračunati procentni iznos. b) Zadaci u kojima treba izračunati procentnu stopu. c) Zadaci u kojima treba izračunati osnovnu veličinu.Pri rješavanju ovih zadataka proporcija =: 100 :G P p mora imati sporedni karakter, jer njenom

pretjeranom upotrebom učenik gubi predstavu o smislu procentnog računa. Zato predlažemo da zadatke a), b) i c) učenici rješavaju kao jednačinu = %P p G u kojoj su zadate dvije od tri veličine G, P i p. U Udžbeniku smo taj postupak ilustrovali u primjerima 5.3 – 5.8 (zadatak a)), 5.9 i 5.12.

U zadacima 5.1 – 5.4, u Zbirci, razmatraju se različiti zapisi procenta. Ostali zadaci posvećeni •ovoj temi pripadaju grupi osnovnih zadataka procentnog računa tj. zadacima tipa a), b) i c). Učenicima ne treba davati serije zadataka istog tipa. Time se izbjegava šablonsko rješavanje za-dataka.Na kraju, primjenjujući pravila zbira i razlike na osnovnu proporciju dobijene su proporcije:•( ) ( )+ = +: 100 : ,G P P p p ( ) ( )− = −: 100 : .G P P p pPrimjena ovih proporcija u procentnom računu ilustrovana je u primjerima 5.13 i 5.14 (Udž-

benik).

16

2. STEPEN

NastavNi ciljevi

Kvadriranje

Učenik/ca:usvaja pojam kvadrata racionalnog broja; •usvaja tvrđenja:•

a) kvadrat racionalnog broja je nenegativan broj, b) nula je jedini racionalan broj čiji je kvadrat jednak 0, c) brojevi 0 i 1 su jedini racionalni brojevi koji su jednaki svojim kvadratima;

usvaja da su kvadrati suprotnih brojeva jednaki;•zna odrediti kvadrat zadatog broja korišćenjem džepnog računara i tablica kvadrata brojeva;•zna da se u izrazima bez zagrada prvo vrši kvadriranje, zatim množenje i dijeljenje, a na kraju •sabiranje i oduzimanje;zna pravila izostavljanja zagrada i koristi ih pri izračunavanju vrijednosti brojnih izraza u kojima •pored sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja figuriše i kvadriranje.

Kvadrat proizvoda i kvadrat količnika

Učenik/ca:usvaja da izraz • 2( )ab nazivamo kvadratom proizvoda, a izraz 2 2a b proizvodom kvadrata; usvaja da izraz • 2( : )a b nazivamo kvadratom količnika , a izraz a2 : b2 količnikom kvadrata; usvaja i primjenjuje tvrđenje prema kojem je kvadrat proizvoda dva broja jednak proizvodu •kvadrata tih brojeva: 2( )ab = 2 2a b ;usvaja i primjenjuje tvrđenje prema kojem je kvadrat količnika dva broja jednak količniku kva-•drata tih brojeva: 2( : )a b = 2 2:a b .

Kvadrat zbira. Kvadrat razlike. Razlika kvadrata

Učenik/ca:usvaja da izraz • + 2( )a b nazivamo kvadratom zbira, a izraz +2 2a b zbirom kvadrata;usvaja da izraz • − 2( )a b nazivamo kvadratom razlike, a izraz −2 2a b razlikom kvadrata;usvaja i primjenjuje formulu za kvadrat zbira • + = + +2 2 2( ) 2 ,a b a ab b ;usvaja i primjenjuje formulu za kvadrat razlike • − = − +2 2 2( ) 2 ,a b a ab b ;usvaja i primjenjuje formulu za razliku kvadrata • − + = −2 2( )( ) .a b a b a b

Stepen

Učenik/ca:usvaja pojam stepena čiji je izložilac prirodni broj veći od 1;•usvaja pojam stepena čiji je izložilac broj 1;•zna imenovati osnovu i izložilac zadatog stepena;•

17

zna da se mogu sabirati i oduzimati samo stepeni sa jednakim osnovama i jednakim izložioci-•ma,zna da se u izrazima bez zagrada prvo vrši stepenovanje, zatim množenje i dijeljenje, a na kraju •sabiranje i oduzimanje;uspješno izračunava vrijednosti jednostavnih brojnih izraza sa stepenima.•

Množenje i dijeljenje stepena jednakih osnova

Učenik/ca:usvaja i primjenjuje tvrđenja:•

a) stepeni jednakih osnova množe se tako što se zajednička osnova stepenuje zbirom izloži-laca: +⋅ = ,m n m na a a

b) stepeni jednakih osnova dijele se tako što se zajednička osnova stepenuje razlikom izloži-

laca: − −= =: ili .m

m n m n m nn

aa a a a

a,

c) stepen se stepenuje tako što se osnova stepenuje proizvodom izložilaca: a am n m n( ) = ⋅ ,;

usvaja da za svaki broj • a različit od nule važi =0 1.a

Množenje i dijeljenje stepena jednakih izložilaca

Učenik/ca:usvaja i primjenjuje tvrđenja:•

a) stepene jednakih izložilaca množimo tako što proizvod osnove stepenujemo zajedničkim izložiocem: = ( ) ,n n na b ab

b) stepene jednakih izložilaca dijelimo tako što količnik njihovih osnova stepenujemo zajed-

ničkim izložiocem: =

nn

na ab b

, odnosno =: ( : ) .n n na b a b

Monomi

Učenik/ca:usvaja pojam monoma;•zna imenovati činioce zadatog monoma;•zna za koji monom se kaže da je zapisan u standardnom obliku;•zna što je koeficijent monoma zapisanog u standardnom obliku;•uspješno rješava zadatke u kojima zadati monom treba zapisati u standardnom obliku;•zna kako se množe monomi;•usvaja pojam sličnih monoma;•usvaja definiciju sabiranja i oduzimanja sličnih monoma;•uspješno primjenjuje stečena znanja o monomima pri sređivanju izraza.•

18

Kvadratni korijen

Učenik/ca:usvaja tvrđenje:•

ako je > 0a , jednačina =2x a ima dva rješenja i ta rješenja su jedan drugom suprotni bro-jevi,

ako je = 0a , jednačina =2x a ima jedno rješenje i to rješenje je broj 0; ako je < 0a , jednačina =2x a nema rješenja u skupu R;

usvaja pojam kvadratnog korijena;•usvaja pojam potkorijene veličine;•usvaja da za broj • a važi a a a≥ ( ) =0

2 i ,;

usvaja da rješenja jednačine • =2x a zapisuje u obliku = = −1 2, ,x a x a ;

usvaja jednakost • =2 ,a a ;zna odrediti približnu vrijednost korijena zadatog broja korišćenjem džepnog računara i ta- •blica;zna da se mogu sabirati i oduzimati samo kvadratni korijeni sa jednakim potkorijenim veliči- •nama;usvaja tvrđenja:•

a) korijen proizvoda dva pozitivna broja a i b jednak je proizvodu korijena tih brojeva: = ,ab a b b) korijen količnika dva pozitivna broja a i b jednak je količniku korijena tih brojeva:

=: :a b a b ili = ,a ab b

;

uspješno primjenjuje svojstva kvadratnog korijena pri transformisanju izraza. •

DiDaktička uputstva

Kvadriranje

Ima više razloga zbog kojih se teme Kvadriranje i Stepen razmatraju kao dvije posebne cjeline. Jedan od razloga svakako je što se učenici prvi put srijeću sa stepenovanjem, te će usvojena znanja o kvadriranju biti dobra osnova za zasnivanje pojma stepena sa izložiocem većim od dva. Drugi razlog je veza između kvadriranja i korjenovanja. I na kraju, treći razlog je što se na taj način ističe važnost formula za kvadrat zbira, kvadrat razlike i razliku kvadrata.

Pri rješavanju zadataka treba sistematski obnavljati svojstva kvadriranja. Pitanja se mogu for-mulisati na sljedeći način:

Kako se zapisuje proizvod • ⋅ ?a aKako se zove izraz • 2 ?aZašto je kvadrat pozitivnog broja pozitivan broj?•Zašto je kvadrat negativnog broja pozitivan broj?•Postoji tačno jedan broj čiji je kvadrat jednak nuli. Koji je to broj?•Postoje tačno dva broja koji su jednaki svojim kvadratima. Koji su to brojevi?•Navedi dva jedan drugom suprotna broja i uporedi njihove kvadrate. Kakvi su kvadrati suprotnih •brojeva?Analiza zadataka u Zbirci:•

Smisao zadataka 1.11-11.3 je da se uvježba kvadriranje racionalnih brojeva i usvoji pravilo o redosljedu vršenja operacija u brojnim izrazima.

19

U zadacima 1.14 i 1.15 treba odrediti broj čiji je kvadrat zadat. Važno je da učenici usvoje da svaki od tih zadataka ima dva rješenja, što je dobar uvod za nastavnu jedinicu u kojoj se razmatra jednačina =2 .x a

U zadacima 1.16 – 1.19 razmatra se međusobna zavisnost broja x i njegovog kvadrata 2.x

Kvadrat proizvoda i kvadrat količnika

Formule za kvadrat proizvoda i kvadrat količnika mogu se izvesti uz aktivno učešće učenika.Nastavnik: Uočite tabelu 2.1 na 38. stranici vašeg Udžbenika. Pažljivo pročitajte uputstva i

popunite tu tabelu.Nastavnik pomaže učenicima koji se slabo snalaze.•

Nastavnik: U prvoj koloni zapisan je kvadrat proizvoda 2( )ab zadatih brojeva, a u posljednoj proizvod kvadrata 2 2a b tih brojeva. Što se može zaključiti upoređivanjem odgovarajućih brojeva u prvoj i četvrtoj koloni?

Na osnovu tabele učenici uz pomoć nastavnika izvode zaključak:• Kvadrat proizvoda dva broja jednak je proizvodu kvadrata tih brojeva: 2( )ab = 2 2.a bNastavnik: Treba dokazati da ovo tvrđenje važi za proizvoljne brojeve a i b.Pogledajte listiće koje ste dobili. Vaš zadatak je da popunite prazna polja. Ako to pravilno ura-

dite, dobićete dokaz navedenog tvrđenja. Na listićima su data detaljna uputstva kojih se morate pridržavati pri popunjavanju polja.

Nastavni listić.

( ) = ⋅1)2 ab =

2) ⋅ =

3)⋅2 2 .

Prva dva prazna polja na desnoj strani jednakosti 1) popuni tako što ćeš izraz • ( )2ab zapisati kao proizvod izraza ab (prvo polje) sa samim sobom (drugo polje). Izraz na desnoj strani jednakosti 2) dobijen je tako što je drugi činilac proizvoda zapisanog u •prvo polje na lijevoj strani te jednakosti promijenio svoje mjesto sa prvim činiocem proizvoda zapisanog u drugo polje. Koje svojstvo množenja omogućava zamjenu mjesta činiocima proizvo-da?Proizvode jednakih činilaca na lijevoj strani jednakosti 3), treba na desnoj strani te jednakosti •zapisati kao kvadrate.Zaključak: •

Kvadrat proizvoda dva broja jednak je proizvodu kvadrata tih brojeva:

2( )ab = 2 2.a b

Koristeći tabelu 2.2 (Udžbenik, 39. stranica) i odgovarajući nastavni listić, na isti način se može •izvesti formula za kvadrat količnika.

Nastavni listić.⋅ = ⋅ = = ⋅

22 1) 2) 3)

2

.

ab

Prazna polja na desnoj strani jednakosti 1) popuni tako što ćeš izraz •

2ab

napisati kao proizvod

razlomka ab

sa samim sobom.

20

Prazna polja na desnoj strani jednakosti 2) popunjavaju se primjenom pravila prema kojem • se dva razlomka množe tako što se brojilac množi brojiocem, a imenilac imeniocem. Proizvode jednakih činilaca na lijevoj strani jednakosti 3) zapiši kao kvadrate na desnoj strani te •jednakosti.Zaključak: •

Kvadrat količnika dva broja jednak je količniku kvadrata tih brojeva:

2( : )a b = 2 2: .a b

Zadaci 2.1-2.13 se rješavaju direktnom primjenom formula • 2( )ab = 2 2a b i 2( : )a b = 2 2:a b

odnosno =

2 2

2 .a ab b

Veoma je važno da učenici usvoje ove formule do automatizma jer se one

često javljaju pri rješavanju raznih zadataka.

Kvadrat zbira. Kvadrat razlike

Formulama za kvadrat zbira, kvadrat razlike i razliku kvadrata izučavaju se transformacije cijelih izraza u obimu predviđenom za učenike osnovne škole. Za usvajanje i pravilno korišćenje tih formula važnu ulogu ima razumijevanje strukture izraza. Učenici moraju naučiti da pravilno kori-ste termine „kvadrat zbira”, „zbir kvadrata”, „kvadrat razlike” i „razlika kvadrata”. Nastavna praksa pokazuje da neki učenici miješaju kvadrat zbira i zbir kvadrata, kvadrat razlike i razliku kvadrata i slično. S tim u vezi predlažemo da tokom izučavanja ovih formula, u formi kratkih pitanja, učeni-cima s vremana na vrijeme dajete ovakve zadatke:

1. Izračunaj: a) kvadrat zbira brojeva -3 i 8, b) zbir kvadrata brojeva 3 i -4, c) kvadrat razlike brojeva 13 i 4, d) razliku kvadrata brojeva 13 i 4.2. Izračunaj brojne vrijednosti izraza: a) −2 25 6 , b) ( )− 25 6 , c) +2 27 3 , d) ( )+ 27 3 .3. Uporedi: a) kvadrat zbira i zbir kvadrata brojeva –4 i 9, b) kvadrat razlike i razliku kvadrata brojeva -5 i 10.4. Zapišite u obliku izraza: a) zbir kvadrata izraza 3x i 7y, b) kvadrat zbira izraza 3x i 7y, c) razliku kvadrata izraza 5a i 7b, d) kvadrat razlike izraza 5a i 7b.Pređimo na analizu zadataka iz Zbirke:Zadaci 3.1, 3.2, 3.3, 3.10 i 3.11 su predviđeni za uvježbavanje neposredne primjene formule

± = ± +2 2 2( ) 2 .a b a ab b Zadataci 3.4 i 3.12 se rješavaju prema obrascu: = + = + ⋅ ⋅ + = + + =2 2 2 251 (50 1) 50 2 50 1 1 2500 100 1 2601. = − = − ⋅ ⋅ + = − + =2 2 2 259 (60 1) 60 2 60 1 1 3600 120 1 3481.Primjena formula ± = ± +2 2 2( ) 2a b a ab b nije ograničena samo na izračunavanje kvadrata

zbira i kvadrata razlike. Ne manje važna uloga tih formula je u tome što one omogućavaju da se izrazi oblika ± +2 22a ab b zapišu u obliku kvadrata ± 2( ) .a b Treba imati u vidu da će učenici u sta-

21

rijim razredima takve transformacije koristiti u dokazima raznih nejednakosti, rješavanju kvadrat-nih jednačina, ispitivanju kvadratnih funkcija itd. Zato je važno da učenici usvoje i takav vid pri-mjene formule za kvadrat zbira i kvadrat razlike. U Zbirci su ovom problemu posvećeni zadaci 3.5 i 3.13.

Kada učenici dobro savladaju neposrednu primjenu pomenutih formula može se preći na razne varijante zadataka u kojima treba popuniti prazna mjesta u jednakostima:

a) ± = ± +2 2.......( ) 4 4,a a a

b) ± = ± +2....... .......... ............( ) 4,a

c) ± = ± +2 2....... ...........( ) 4,a a

d) ± = ± +2....... .......... ............( ) 4 ,a a

± = ± +2 2....... ............( ) 4.a a

Takvi zadaci su 3.6, 3.7 i 3.14. Na kraju, u zadacima 3.8, 3.15 i 3.18 kvadriranje je samo jedna od komponenti zadataka u kojima, pored stečenih znanja o kvadriranju, treba primijeniti i ranije usvojena znanja o svojstvima računskih operacija u skupu racionalnih brojeva.

Razlika kvadrata

Formula za razliku kvadrata se u starijim razredima često koristi pri transformacijama cijelih i racionalnih izraza, trigonometrijskih izraza, izraza koji sadrže korijene, a takođe pri rješavanju jednačina i nejednačina. Zato je važno da tu formulu usvoje svi učenici i da je primjenjuju u oba smjera − = − +2 2 ( )( )a b a b a b i − + =( )( )a b a b −2 2.a b Obradu nastavne jedinice treba početi izvo-đenjem formule. U početnoj fazi postavljaju se jednostavni zadaci čiji je cilj da se uvježba neposred-na primjena formule:

− = − +2 2 ( )( ),x y x y x y − = − +2 23 ( 3)( 3),p p p − + = −2 2(4 )(4 ) 4 .n n nKada se uvjerite da većina učenika bez greške primjenjuje formulu, možete preći i na nešto

složenije zadatke (zadaci 3.19 i 3.20).Prije toga učenicima treba skrenuti pažnju da u formulaciji:

Razlika kvadrata dva broja jednaka je proizvodu čiji su činioci zbir i razlika tih brojeva:− =2 2a b + −( )( ).a b a b

Umjesto riječi «broj» može da stoji riječ «izraz» i na tabli napisati novu formulaciju:

Razlika kvadrata dva izraza jednaka je proizvodu čiji su činioci zbir i razlika tih izraza.

Primjena druge formulacije podrazumijeva da učenici znaju rješavati ovakve zadatke:1. Izraze:

29 ,a 216 ,x 25 2 2 ,a b 81 a b c2 2 2 ,...... zapisati u obliku kvadrata.2. U obliku razlike kvadrata zapisati izraze: −2 36,x −2 24 ,m n −2 281 49 ,...p q ...Preporučujemo da se u zadacima u kojima izraze − + − +2 2 2, 36 ,...x y p ... treba zapisati u obliku

proizvoda, ti izrazi najprije zapišu u obliku − −2 2 2, 36,...y x p ...U zadatku 3.22 formulu za razliku kvadrata treba primijeniti po obrascu: 51 49 50 1 50 1 50 1 2500 1 24992⋅ = − + = − = − =( )( ) .Primjena formula za kvadrat razlike i razliku kvadrata pri izračunavanju vrijednosti brojnih

izraza ilustrovana je u zadatku 3.23.

22

Usvajanju formule za razliku kvadrata svakako će doprinijeti zadatak 3.24 čije rješenje podra-zumijeva da se umjesto zadatih slova upišu izrazi tako da se dobiju tačne jednakosti.

Od zadataka koji se rješavaju neposrednom primjenom formule za razliku kvadrata treba pre-ći na zadatke 3.25- 3.26 u kojima se ta formula primjenjuje pri sređivanju složenijih izraza.

Učenicima mogu biti interesantni i ovakvi zadaci:1. Zadate izraze predstavi u obliku proizvoda: a) + −2( 5) 1a , b) − −2(5 3) 36x , c) − +2 281 (3 4 ) ,a a d) − −2 2(13 4 ) 49 ,p q p e) − −2 29 (4 7) ,x x f) ( )+ − −2 22 ( 2 ) ,x y x y

g) ( )+ − + 22( ) ,p q q t h) ( )+ − − 22 ( ) ,m n m n i) ( )− − + 224 (2 3 ) .a x a x 2. Dokaži da je izraz ( )+ −23 7 16n djeljiv sa 3 za svaki prirodni broj n.3. Dokaži da je izraz ( )+ − 2213n n djeljiv sa 13 za svaki prirodni broj n.4. Nad stranicama pravougaonika konstruisani su kvadrati (slika 2.1).

Površina jednog kvadrata je za 100 cm2 veća od površine drugog kvadrata. Izračunaj obime kvadrata, ako je dužina pravougaonika za 20 cm veća od njegove širine.

Stepenovanje

Ova tema je osnova na koju se oslanja cjelokupni sadržaj algebre predviđen za učenike osnov-nih i srednjih škola. Tu, prije svega, imamo u vidu svojstva polinoma, operacije sa polinomima, racionalne izraze, stepene sa cijelim i racionalnim izložiocima, svojstva stepenih i eksponencijalnih funkcija i druge algebarske sadržaje koji će biti obrađivani u starijim razredima.

Zato je važno da svi učenici: ovladaju uvodnom terminologijom;•znaju svojstva stepena čiji su izložioci prirodni brojevi;•uspješno primjenjuju svojstva stepena pri transformaciji izraza.•

Učenicima treba skrenuti pažnju na dva dijela definicije stepena. Prvi dio se odnosi na slučaj kada je izložilac stepena prirodni broj veći od 1, a drugi na slučaj kada je izložilac jednak 1.

Tokom obrade nastavne jedinice u više navrata treba postavljati pitanja:1. Koji izraz nazivamo k-atim stepenom broja a?2. Što su osnove, a što izložioci stepena 5 22 ,5 , 3 6 11, , ,...a x z ...?3. Čemu su jednaki stepeni +1 1 1 15 , , ,( ) ,...x a a b ...?4. Koje brojeve treba zapisati u prazna polja da bi se dobili stepeni sa jednakim osnovama:

86 100 2007, , ? 5. Koje brojeve treba zapisati u prazna polja da bi se dobili stepeni sa jednakim izložiocima:

8 100 20076, , ?

6. Izračunaj vrijednost izraza − ⋅ + ⋅3 3 32 3 2 5 2 . Kojim redosljedom se vrše operacije u brojnim izrazima? Koji stepeni se mogu sabirati i oduzimati?

Na osnovu konkretnih primjera učenici treba da izvedu zaključke koji slijede iz svojstava pro-izvoda čiji su svi činioci pozitivni, odnosno negativni brojevi:

stepen čija je osnova pozitivan broj je pozitivan broj;•stepen čija je osnova negativan broj, a izložilac paran broj je pozitivan broj;•stepen čija je osnova negativan broj, a izložilac neparan broj je negativan broj.•

Takođe treba naglasiti da je stepen čija je osnova broj 0 jednak nuli.Zadaci 4.1-4.11 su uglavnom posvećeni izračunavanju stepena i izračunavanju brojnih vrijedno-sti jednostavnih brojnih izraza.

Slika 2.1

23

Množenje i dijeljenje stepena jednakih osnova

Izgled table poslije izvođenja formule za proizvod stepena jednakih osnova • +⋅ = .m n m na a a

Na osnovu definicije stepena, imamo da je:•

4 4 4 4 4 4 43 2

3 2⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =( ) ( )

puta puta

⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅

puta

m n

na a a a a

⋅ ⋅⋅⋅ =

putama a a .

Na osnovu asocijativnosti operacije množenja zagrade se mogu izostaviti:•

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5 puta4 4 4 4 4

+

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

... putam n

a a a a .

Na osnovu definicije stepena gornje izraze možemo zapisati u obliku• =

54 . += .m naPrema tome je:•

+⋅ =3 2 3 24 4 4 +⋅ = .m n m na a a Zaključak:•

stepeni jednakih osnova množe se tako što se zajednička osnova stepenuje zbirom izložilaca: +⋅ = .m n m na a a

Izgled table poslije izvođenja formule za količnik stepena jednakih osnova • −=: .m n m na a a

Uslov:•>5 3 >m n , ≠ 0,a .

Stepeni jednakih osnova množe se tako što se zajednička osnova stepenuje zbirom izložilaca:•

− −⋅ =5 3 3 5 37 7 7 + 3 = 57 , − −⋅ =m n n m na a a + n = ma .

Ako jednakost • − ⋅ =5 3 3 57 7 7 podijelimo sa 37 , a jednakost − ⋅ =m n n ma a a sa na , dobijamo:

− =5 3 5 37 7 : 7 . − = : .m n m na a a

Prema tome je:•

−=5 3 5 37 : 7 7 −=: .m n m na a a

Zaključak:• Stepeni jednakih osnova dijele se tako što se zajednička osnova stepenuje razlikom izložilaca

djeljenika i djelioca:

− −= =: ili .

mm n m n m n

na

a a a aa

U vezi sa formulom za dijeljenje stepena jednakih osnova uvodi se pojam stepena čiji je izložilac •jednak nuli. Izgled table poslije izvođenja formule • a am n m n( ) = ⋅ .

Na osnovu definicije stepena imamo da je:•

4 4 43 2 3 3( ) = ⋅ = = ⋅ ⋅⋅⋅ =

puta( )m n m m m

na a a a .

Stepeni jednakih osnova množe se tako što se zajednička osnova stepenuje zbirom izložilaca:•

+= =3 34 + +⋅⋅⋅+= =

putan

m m ma .Na osnovu definicije operacije množenja gornje izraze možemo zapisati u obliku:•

⋅= 3 24 , ⋅= .m na

24

Prema tome je:•

4 43 2 3 2( ) = ⋅ a am n m n( ) = ⋅ .

Zaključak:•Stepen se stepenuje tako što se osnova stepenuje proizvodom izložilaca:a am n m n( ) = ⋅ .

Zadaci 5.1-5.25 su podijeljeni u dvije grupe. Prvu grupu čine zadaci koji se rješavaju direktnom •primjenom pravila množenja i dijeljenja stepena istih osnova i pravila stepenovanja stepena. Druga grupa obuhvata zadatke u kojima je primjena tih formula samo jedan od koraka koji vode ka rješenju. Takvi su, na primjer, zadaci 5.12, 5.13, 5.15, 5.16, 5.21 i 5.25.

Množenje i dijeljenje stepena jednakih izložilaca

Izgled table poslije izvođenja formule za množenje stepena jednakih izložilaca • ( ) = .n n nab a b

Na osnovu definicije stepena imamo da je:• ( ) ( )⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =34 5 4 5 (4 5) (4 5) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅ =

... puta

( )n

n

ab ab ab ab .

Na osnovu komutativnosti množenja činioce u proizvodu možemo množiti redosljedom koji •sami izaberemo:

= ⋅ ⋅

⋅ ⋅

=4 4 4 5 5 5

3 puta 3 puta

= ⋅ ⋅ ⋅

...n puta

a a a ⋅ ⋅ ⋅

...n puta

b b b .

Na osnovu definicije operacije množenja gornje izraze možemo zapisati u obliku:• = ⋅3 34 5 . = ⋅ .n na b

Prema tome je:• ( )⋅ = ⋅3 324 5 4 5 . ( ) = .n n nab a b

Zaključak:•Stepeni jednakih izložilaca množe se tako što se proizvod njihovih osnova stepenuje zajednič-

kim izložiocem := ( ) .n n na b ab

Izgled table poslije izvođenja formule za dijeljenje stepena jednakih izložilaca • = .n n

na ab b

Na osnovu definicije stepena imamo da je:•

= ⋅ ⋅ =

34 4 4 45 5 5 5

= ⋅ ⋅ ⋅ =

...

puta

n

n

a a a ab b b b

.

Razlomci se množe tako što se brojioci množe brojiocima, a imenioci imeniocima: •

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

=4 4 45 5 5

3

3

puta

puta

⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅

puta

...

... puta

n

n

a a ab b b

.

Na osnovu definicije stepena gornje izraze možemo zapisati u obliku:•

25

=

3

34

.5

= .n

nab

Prema tome je:•

=

3 3

34 4

.5 5

= .n n

na ab b

Zaključak:• Stepeni jednakih izložilaca dijele se tako što se količnik njihovih osnova stepenuje zajednič-

kim izložiocem : =

nn

na ab b

, odnosno =: ( : ) .n n na b a b

Zadaci 6.1-6.5 se rješavaju direktnom primjenom pravila množenja i dijeljenja stepena istih •

izložilaca. Zadatak 6.6 a) se rješava primjenom jednakosti =8

35

aa

a i a a6 3 2

= ( ) . Slično se rješa-va zadatak 6.6 b).

U zadatku 6.7 treba iskoristiti tvrđenja: – stepen čija je osnova negativan broj, a izložilac paran broj je pozitivan broj, – stepen čija je osnova negativan broj, a izložilac neparan broj je negativan broj.U zadatku 6.9 se rješavaju jednostavne eksponencijalne jednačine. U zadatku 6.10 izraze sa lijeve i desne strane znaka jednakosti treba podijeliti sa 59 . Zadatak 6.11 a) se rješava izvlačenjem zajedničkog činioca 32 .U zadacima 6.13 i 6.14 učenik, na osnovu zadatih uslova, treba da formira izraz i da na taj izraz

primijeni svojstva stepena.

Monomi

U ovoj oblasti razmatraju se pojmovi monoma, standardnog oblika monoma i sličnih monoma •koje će učenici često koristiti u daljem izučavanju matematike. Pri obnavljanju gradiva akcenat treba staviti ne na formalne definicije tih pojmova, već na njihove sadržaje, koji se na najbolji način usvajaju analizirajući konkretne primjere.

Nastavnik: Izraz − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 2 26 3 5b c c b a sadrži brojeve i promjenljive povezane operacijskim znakom množenja. Kako se zovu takvi izrazi?

Učenici: Takvi izrazi zovu se monomi.Nastavnik: Kako se zovu brojevi i promjenljive koje figurišu u zapisu monoma?Učenik: Brojevi i promjenljive koji figurišu u zapisu monoma nazivamo činiocima monoma.Nastavnik: Što su činioci zadatog monoma?Učenik: Činioci zadatog monoma su brojevi -6, 3 i 5 i promjenljive , i .a b cNastavnik: Uočite da u zapisu monoma − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅3 2 26 3 5b c c b a figuriše više brojeva i više jed-

nakih promjenljivih. Međutim, u zapisima monoma 4 23xy z i − 5 2 1237

a b c d figuriše tačno po jedan

broj i svaka promjenljiva je zapisana tačno jednom u obliku nekog stepena. Što se kaže za takve monome? Učenik: Za takve monome se kaže da su zapisani u standardnom obliku.Nastavnik: Dakle, monom zapisan u standardnom obliku ima tačno jedan brojni činilac. Što

su brojni činioci monoma 4 23xy z i − 5 2 123?

7a b c d

Učenik: Brojni činilac prvog monoma je broj 3, a drugog broj −3

.7

26

Nastavnik: Kako se zove jedinstveni brojni činilac monoma zapisanog u standardnom obliku?Učenik: Jedinstveni brojni činilac monoma zapisanog u standardnom obliku nazivamo koefi-

cijentom tog monoma.Učenici moraju znati da se koeficijent monoma može odrediti tek kada se taj monom zapiše u •standardnom obliku. Posebnu pažnju treba posvetiti slučajevima kada je koeficijent monoma jednak 1, odnosno -1, jer učenici ponekad griješe tvrdeći da monomi 2 3ab c i − 2 3x yz nemaju koeficijente.Zadaci 7.1-7.3 se rješavaju zapisivanjem monoma u standardnom obliku.•Množenje i stepenovanje monoma su još jedna prilika da učenici uvježbavaju izvođenje računskih •operacija sa stepenima jednakih osnova. Treba obraditi zadatke 7.4 i 7.5.Preostali sadržaj teme posvećen monomima odnosi se na:•

– pojam sličnih monoma,– operacije sabiranja i oduzimanja sličnih monoma,– sređivanje izraza, što podrazumijeva zapisivanje izraza u obliku nesličnih monoma.

U vezi sa sabiranjem i oduzimanjem monoma treba uraditi zadatke 7.6-7.9 i 7.12.•U zadacima 7.9- 7.11 i 7.13-7.15 stečena znanja o monomima treba primijeniti pri sređivanju •izraza. Usavršavanju tehnike sređivanja izraza takođe treba posvetiti punu pažnju. Riječ je o sadržajima sa kojima će se učenik srijetati na svim nivoima matematičkog obrazovanja (srednja škola, fakultet). Koristeći stečena znanja o svojstvima računskih operacija učenici traba da usa-vrše tehniku izvođenja jednostavnih transformacija kao što su:

– sabiranje i oduzimanje sličnih monoma, – izvlačenje zajedničkih činilaca, – izostavljanje zagrada, – otvaranje zagrada, – primjena formula za kvadrat zbira, kvadrat razlike, razliku kvadrata i slično.Asocijativnost i komutativnost operacija množenja i sabiranja, kao i distributivnost množenja

prema sabiranju su svojstva računskih operacija sa kojima su se učenici srijetali u šestom i sedmom razredu. Ovdje se ta svojstva obnavljaju i njihova primjena se proširuje na zbirove i proizvode izra-za. Takva uopštenja čine dobru osnovu za usvajanje pojmova „identički jednaki izrazi” i „identitet” koji će biti razmatrani u srednjoj školi. Pri rješavanju zadataka, od učenika treba zahtijevati da ime-nuju svojstva koja koriste pri sprovođenju transformacija.

Kvadratni korijen

Kvadratni korijen pozitivnog broja • a se definiše kao pozitivno rješenje jednačine =2 .x a Zato u uvodnom dijelu treba razmotriti problem rješivosti te jednačine. Učenici treba da urade nekoli-ko zadataka (zadatak 8.1 iz Zbirke i primjeri 8.2 i 8.3 iz Udžbenika) i da na osnovu konkretnih primjera usvoje tvrđenje:

Ako je > 0a , jednačina =2x a ima dva rješenja i ta rješenja su jedan drugom suprotni broje-vi.

Ako je = 0a , jednačina =2x a ima jedno rješenje i to rješenja je broj 0.Ako je < 0a , jednačina =2x a nema rješenja u skupu realnih brojeva.

Drugi korak ka usvajanju pojma kvadratnog korijena je popunjavanje tabela 8.1 i 8.2 (Udžbenik, •59. stranica) i rješavanje zadataka u kojima na osnovu zadate površine kvadrata treba izračuna-ti dužinu njegove stranice. Nastavnik ukazuje na razliku u postupcima kojima su popunjene

27

tabele 8.1 i 8.2. Analizirajući drugu tabelu, treba naglasiti da je riječ o postupku kojim se broju r, zapisanom u drugoj koloni, dodjeljuje pozitivno rješenje jednačine =2 .x r Nastavnik definiše kvadratni korijen pozitivnog broja. Pri izradi zadataka učenike treba podsti-•cati da o korijenima govore na tri načina koja imaju isto značenje:

1. Broj a , > 0,a je pozitivno rješenje jednačine =2x a i kao takav zadovoljava uslove:

( )> =2

0 i .a a a

2. Broj a , > 0,a je pozitivan broj čiji je kvadrat jednak potkorjenoj veličini a:

( )> =2

0 i .a a a

3. Broj a , > 0,a je pozitivan broj koji pomnožen sa samim sobom kao rezultat daje potkor-jenu veličinu a:

> ⋅ =0 i .a a a aNeophodno je da učenici dostignu određeni tehnički nivo kada je u pitanju izračunavanje

kvadratnih korijena (zadaci 8.2-8.4 u Zbirci). Učenici koji na tom nivou imaju problema teško će se uključiti u naredna razmatranja. Zato preporučujemo da učenicima dozvolite korišćenje tablice kvadrata dvocifrenih brojeva date na kraju Udžbenika.

U zadacima 8.6 i 8.8 učenik na osnovu zadatih uslova treba da formira izraz i da na taj izraz primijeni svojstva korijena.

Ponovo se treba vratiti na jednačinu • =2x a , ovaj put sa ciljem da učenici steknu naviku zapisi-vanja njenih rješenja u obliku = = −1 2, .x a x aKvadratne jednačine u zadacima 8.5 i 8.7 se posle jednostavnih transformacija svode na jedna-•činu =2 .x aNastavna praksa pokazuje da učenici teško usvajaju jednakost • =2 .a a Može vam se desiti da potrošite dosta vremena obrađujući tu jednakost i da efekat bude veoma mali. S tim u vezi u prvoj fazi obrade navedene jednakosti, više pažnje treba posvetiti usvajanju tvrđenja:

Jednakost =2a a je tačna za svaki pozitivni broj a.Jednakost =2a a je netačna za svaki negativni broj a.

Nastavnik: Korijen pozitivnog broja je pozitivan broj čiji je kvadrat jednak potkorjenoj veliči-ni (ovu rečenicu treba zapisati na tabli).

Dakle, ako želimo da popunimo prazno polje u zapisu =2a tako da se za svaki broj a dobije tačna jednakost, onda u to polje treba upisati pozitivan broj čiji je kvadrat jednak potkorjenoj veličini.

Zašto je jednakost − =2( 3) 3 tačna?Učenici: Zato što je broj na desnoj strani te jednakosti pozitivan i njegov kvadrat je jednak

potkorjenoj veličini = −2 23 ( 3) .Nastavnik: Zašto je jednakost − = −2( 3) 3 netačna iako je kvadrat broja koji stoji na desnoj

strani te jednakosti jednak potkorjenoj veličini ( )− = − 223 ( 3) .?Učenik: Zato što je broj -3 negativan, a kvadratni korijeni pozitivnih brojeva su pozitivni bro-

jevi.Nastavnik: Kako popuniti prazno polje u zapisu =2a tako da se dobije jednakost koja je

tačna za svaki broj a? U tome će nam pomoći tabela 8.3 (Udžbenik 61. stranica).Učenici popunjavaju tabelu 8.3 i izvode zaključak:•

Za svaki broj a važi =2 .a a

Učenici treba da riješe zadatak 8.9. •

28

Približne vrijednosti kvadratnog korijena daju prvu predstavu o iracionalnim brojevima. Učeni-•cima treba detaljno objasniti kako se formiraju tabele 8.4, 8.5 i 8.6 (Udžbenik 62. stranica). Prvo treba ređati jednakosti: =21,1 1,21; =21,2 1,44; =21,3 1,69; =21,4 1,96; =21,5 2,25; sve dok se ne dođe do dva broja od kojih je jedan manji, a drugi veći od 2. Ovdje treba uočiti da je < <21,4 2 21,5 , a zatim formirati tabelu 8.4 i zaključiti da je < <1,4 2 1,5. Posljednja nejed-nakost upućuje da treba računati kvadrate 21,41 ; 21,42 ; 21,43 ;...... sve dok se ne dođe do dva broja od kojih je jedan manji, a drugi veći od 2.

Kada se ustanovi da je =21,41 1,9881 i =21,42 2,0164 formira se tabela 8.6 i izvodi zaključak da je < <1,41 2 1,42. Na kraju treba naglasiti da se navedeni postupak nikada ne zaustavlja što pokazuje da je 2 beskonačni decimalni broj.

U vezi sa približnim vrijednostima kvadratnog korijena treba uraditi zadatke 8.10-8.12.•

Računanje sa kvadratnim korijenima

Osnovni cilj ove teme je da se utvrdi veza između operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i •dijeljenja s jedne strane i operacije korjenovanje s druge strane. U vezi sa pomenutim operacija-ma mogu se formirati izrazi:

+ − ⋅ ≠, , , ; 0.a

a b a b a b bb

+ ,a b − >, ,a b a b ab , >, 0.a

bb

Sada se osnovni cilj može formulisati na sljedeći način:Ispitati koja od jednakosti

+ = + ,a b a b

− = − ,a b a b > ,a b

ab = a ⋅ b ,

= ,a ab b

je tačna za sve pozitivne brojeve i .a bTvrđenja:•

1. Ako je > 0a , > 0b i ≠ 0ab , tada je + ≠ + .a b a b2. Ako je > > 0a b , tada je − ≠ − ,a b a b treba ilustrovati sa nekoliko primjera.

Sa nekoliko primjera takođe treba ilustrovati kako se pravilo o izvlačenju zajedničkog činioca •primjenjuje u izrazima koji sadrže korijene sa jednakim potkorjenim veličinama.

Jednakosti • ab = a ⋅ b i =a ab b

se dokazuju direktnom primjenom definicije kvadratnog

korijena i neće predstavljati teškoću za učenike koji su usvojili taj pojam.Djelimično korjenovanje i racionalisanje imenilaca su tehnički detalji koji se često javljaju pri •sređivanju izraza sa korijenima, rješavanju jednačina, nejednačina i slično. Riječ je o jednostav-nim transformacijama i treba nastojati da ih usvoji što veći broj učenika. Ovoj temi u Zbirci su posvećeni zadaci 9.1-9.22. Riječ je o zadacima u kojima se, s jedne strane •sistematizuju stečena znanja o korijenima i koji, s druge strane, učeniku omogućavaju da razvi-je i usavrši tehniku računanja sa kvadratnim korijenima.

29

3. rEaLNI BrojEvI

NastavNi ciljevi

Racionalni brojevi i mjerenje dužine duži

Učenik/ca:usvaja potrebu za zasnivanjem skupa brojeva koji zadovoljava uslove:•

a) svaka dva broja iz tog skupa mogu se sabrati, oduzeti i pomnožiti i svaki broj se može po-dijeliti sa svakim brojem različitim od nule,

b) brojevima iz tog skupa mogu se izraziti sve veličine sa kojima se čovjek srijeće u svakodnev-nom životu (dužina duži, površina figure, zapremina tijela, težina, brzina, temperatura vaz-duha, nadmorska visina i slično);

zna da se u skupu prirodnih brojeva ne mogu oduzeti niti podijeliti svaka dva broja;•zna da se u skupu cijelih brojeva mogu sabrati, oduzeti i pomnožiti svaka dva broja i da se u tom •skupu svaki broj ne može podijeliti sa svakim brojem različitim od nule;usvaja da skupovi prirodnih i cijelih brojeva ne zadovoljavaju uslove • a) i b);usvaja da skup racionalnih brojeva zadovoljava uslov • a); usvaja da • 2 nije racionalan broj;usvaja da se mjerni broj dužine dijagonale kvadrata ne može izraziti racionalnim brojem, ako je •u svojstvu jedinice za mjerenje dužine izabrana stranica kvadrata;usvaja da skup racionalnih brojeva ne zadovoljava uslov • b);usvaja da se kao rezultat mjerenja dužine duži dobija ili konačni ili beskonačni decimalni broj.•

Čisto periodični i mješovito periodični decimalni brojevi

Učenik/ca:usvaja da se dijeljenjem brojioca imeniocem dobija zapis razlomka u obliku decimalnog broja; •usvaja da se svaki razlomak zapisuje ili u obliku konačnog decimalnog broja ili u obliku besko-•načnog periodičnog decimalnog broja;usvaja podjelu beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva na čisto periodične i mješovito pe-•riodične;je u stanju da navede cijeli dio, pretperiodu i periodu zadatih periodičnih decimalnih brojeva;•usvaja zapisivanje cijelih i konačnih decimalnih brojeva u obliku beskonačnih periodičnih deci-•malnih brojeva čija je perioda cifra 0;usvaja da se svaki razlomak može zapisati ili u obliku čisto periodičnog, ili u obliku mješovito •periodičnog decimalnog broja;usvaja da se u obliku čisto periodičnog decimalnog broja zapisuju razlomci čiji se imenioci mo-•gu predstaviti kao proizvodi prostih činilaca koji ne sadrže ni dvojku ni peticu; usvaja da se u obliku mješovito periodičnog decimalnog broja zapisuju razlomci čiji se imenioci •mogu predstaviti kao proizvodi prostih činalaca koji sadrže bar jednu dvojku ili bar jednu peticu.

Zapisivanje beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka

Učenik/ca:usvaja postupak kojim se čisto periodični decimalni broj čiji je cijeli dio jednak nuli zapisuje u •obliku razlomka;

30

usvaja postupak kojim se čisto periodični decimalni broj čiji cijeli dio nije jednak nuli zapisuje •u obliku razlomka;usvaja postupak kojim se mješovito periodični decimalni broj zapisuje u obliku razlomka;•na osnovu navedenih postupaka usvaja da se svaki beskonačni periodični decimalni broj može •zapisati u obliku razlomka;na osnovu tvrđenja:•

a) svaki razlomak se može zapisati u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja, b) svaki beskonačni periodični decimalni broj se može zapisati u obliku razlomka;

usvaja zaključak:•skup racionalnih brojeva jednak je skupu beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva.

Skup realnih brojeva

Učenik/ca:zna primjere beskonačnih neperiodičnih decimalnih brojeva;•na osnovu tvrđenja prema kojem je skup racionalnih brojeva jednak skupu beskonačnih perio-•dičnih decimalnih brojeva usvaja da beskonačni neperiodični decimalni brojevi ne pripadaju skupu racionalnih brojeva;zna da beskonačne neperiodične decimalne brojeve nazivamo iracionalnim brojevima;•usvaja skup realnih brojeva kao skup svih beskonačnih (periodičnih i neperiodičnih) decimalnih •brojeva;usvaja skup realnih brojeva kao uniju skupa racionalnih i skupa iracionalnih brojeva;•usvaja da je • ⊂ ⊂ ⊂ ,N Z Q R;usvaja pojmove pozitivnog i negativnog realnog broja;•zna opisati pravilo kojim se svakom realnom broju dodjeljuje tačno jedna tačka na brojnoj pravoj •i obrnuto, svakoj tački na brojnoj pravoj dodjeljuje tačno jedan realan broj;usvaja relaciju poretka na skupu realnih brojeva;•usvaja pojam apsolutne vrijednosti realnog broja;•usvaja da postoje pravila sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja beskonačnih decimalnih •brojeva;usvaja da se primjenom tih pravila svaka dva broja u skupu realnih brojeva mogu sabrati, odu-•zeti i pomnožiti i da se svaki broj može podijeliti sa svakim brojem različitim od nule;usvaja da se realnim brojevima mogu izraziti dužina svake duži, površina svake figure, zapremi-•na svakog tijela, nadmorska visina bilo koje tačke na kopnu i uopšte svaka veličina sa kojom se čovjek srijeće u svojoj praksi;usvaja da se u praksi umjesto sa tačnim vrijednostima beskonačnih decimalnih brojeva, računske •operacije izvode sa njihovim približnim vrijednostima.

DiDaktička uputstva

Racionalni brojevi i mjerenje dužine duži

U uvodnom dijelu učenike treba podsjetiti na skupove prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva i ukazati na njihova svojstva i nedostatke. O nedostacima pomenutih skupova treba govoriti tako da ih učenici zaista prihvate kao nedostatke i da se na jasan način nametne potrebe za uvođenjem novog skupa brojeva koji neće imati te nedostatke. To se može postići jednim ovakvim dijalogom.

31

Nastavnik: Naš cilj je da razmotrimo još jedan skup brojeva. Ako uzmemo u obzir skupove prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva, to će biti četvrti po redu skup brojeva koji ćemo učiti. Na-meću se dva pitanja:

a) Treba li nam uopšte još jedan skup brojeva?b) Što je naš krajnji cilj kada je riječ o skupovima brojeva?Pokušajmo zamisliti idealan skup brojeva. Koja svojstva bi morao imati takav skup?Kada govorimo o nedostacima nekog skupa brojeva, tu prije svega imamo u vidu računske

operacije koje nijesu uvijek izvodljive u posmatranom skupu i veličine koje se ne mogu izraziti brojevima iz tog skupa.

Zato nam se čini da bi idealan skup brojeva morao zadovoljiti sljedeća dva uslova:1. Prvi uslov je izvodljivost operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja u tom skupu.

Drugim riječima, zahtijevamo da se u idealnom skupu brojeva svaka dva broja mogu sabra-ti, oduzeti i pomnožiti i da se svaki broj može podijeliti sa svakim brojem različitim od nule.

2. Drugi uslov je da se brojevima iz tog skupa mogu izraziti sve veličine sa kojima se čovjek srijeće u svakodnevnom životu (dužina duži, površina figure, zapremina tijela, težina, brzi-na, temperatura vazduha, nadmorska visina i slično).

Naš krajnji cilj je da napravimo skup brojeva koji zadovoljava uslove 1 i 2.Pogledajmo da li skupovi prirodnih, cijelih i racionalnih brojeva zadovoljavaju te uslove. Poč-

nimo sa skupom prirodnih brojeva

{ }= 1,2,3,... .NDa li skup prirodnih brojeva zadovoljava uslove 1 i 2?Učenici: U skupu N se mogu sabrati i pomnožiti svaka dva broja. Međutim, skup N je daleko

od idealnog skupa brojeva. Naime, u skupu N ne možemo oduzeti svaka dva broja, niti podijeliti svaki broj sa svakim brojem različitim od nule. Na primjer:

− ∉ ∉(1 2) i (1 : 2) .N NDakle, skup N ne zadovoljava uslov 1. Skup N ne zadovoljava ni uslov 2 jer postoje duži čija se dužina ne može izraziti prirodnim

brojem u izabranoj jedinici mjere.Nastavnik: Kako je riješen problem sa oduzimanjem u skupu ?NUčenici: Skup N smo proširili skupom cijelih negativnih brojeva −Z = { }− − −1, 2, 3,...Tako je dobijen skup cijelih brojeva

{ }= − − −... 3, 2, 1̧ ,0, 1, 2, 3,... .Zu kome se svaka dva broja mogu sabrati, oduzeti i pomnožiti. Međutim naš cilj nije ostvaren.

Naime, skup Z ne zadovoljava uslov 1, jer u tom skupu ne možemo podijeliti svaki broj sa svakim brojem različitim od nule. Na primjer, ∉(2 : 3) .Z Jasno da skup Z ne zadovoljava ni uslov 2.

Nastavnik: Kako je riješen problem sa dijeljenjem u skupu ?ZUčenici: Skup Z je proširen pozitivnim i negativnim razlomcima

,

mn

− ∈, , .m

m n Nn

Tako je nastao skup racionalnih brojeva

Q

ab

a Z b N= ∈ ∈{ }: , .

Dobili smo skup brojeva koji zadovoljava uslov 1. U skupu Q se mogu sabrati, oduzeti i pomnožiti svaka dva broja i svaki broj se može podije-

liti sa svakim brojem različitim od nule.

32

Nastavnik: Dokazaćemo da skup Q ne zadovoljava uslov 2. Preciznije, dokazaćemo da postoji duž čija se dužina ne može izraziti racionalnim brojem u izabranoj jedinici mjere.

Nastavnik dokazuje da mjerni broj dužine dijagonale jediničnog kvadrata nije racionalan broj. •Dakle, skup Q ne zadovoljava uslov 2 i traženje idealnog skupa brojeva se mora nastaviti.Učenici su se prvi put sreli sa konačnim decimalnim brojevima i beskonačnim periodičnim •decimalnim brojevima u šestom razredu kada su obrađivani pozitivni razlomci. Drugi njihov susret sa tim brojevima bio je u sedmom razredu kada su obrađivani racionalni brojevi. U tim razmatranjima nije bilo riječi o čisto periodičnim i mješovito periodičnim decimalnim brojevi-ma niti o problemu zapisivanju tih brojeva u obliku razlomka. Ti problemi će biti razmatrani u narednim nastavnim jedinicama s ciljem da se dokaže jednakost skupa racionalnih brojeva i skupa beskonačnih periodičnih razlomaka. Time će biti otvoren put za uvođenje iracionalnih brojeva kao beskonačnih neperiodičnih decimalnih brojeva.Da bi učenicima ukazao na potrebu utvrđivanja veze između skupa racionalnih brojeva i skupa •beskonačnih decimalnih brojeva, nastavnik podsjeća učenike na postojanje duži čija se dužina u izabranoj jedinici mjere ne može izraziti racionalnim brojem. Za učenike, koji znaju samo za racionalne brojeve, biće zanimljivo pitanje kojim se onda brojevima izražavaju dužine takvih duži. Nastavnik naglašava da će odgovor na ovo pitanje biti dat kasnije, a da će sada biti razmo-tren postupak mjerenja dužine duži.

Opisujući taj postupak izvodi se zaključak da su pri mjerenju dužine duži moguća dva slučaja: a) u postupku mjerenja dužine duži u nekom koraku ne pojavljuje se ostatak, b) u postupku mjerenja dužine duži u svakom koraku pojavljuje se ostatak.U prvom slučaju dužina duži je konačni decimalni broj koji se može zapisati kao razlomak. U

drugom slučaju dužina duži je beskonačni decimalni broj. Imajući to u vidu prethodno pitanje možemo postaviti na sljedeći način:

Ako dužina duži nije racionalan broj, kakvim beskonačnim decimalnim brojem se izražava dužina te duži?

Sada je sasvim jasno da će odgovor na ovo pitanje biti dat kada se ustanovi veza između skupa racionalnih brojeva i skupa beskonačnih decimalnih brojeva.

Čisto periodični i mješovito periodični decimalni brojevi

Prvi cilj: Usvojiti tvrđenje:Svaki racionalan broj se može zapisati u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja.

Nastavnik podsjeća da se dijeljenjem brojioca • a imeniocem b dobija zapis razlomka ab

u obliku

decimalnog broja. Učenici rješavaju zadatak:•

U obliku decimalnih brojeva zapisati razlomke 18

i 12

.99

Na tabli se zapisuju rješenja:

= =

11 : 8 0,125

8

= =

1212 : 99 0,121212...

99Nastavnik bez računanja zapisuje još nekoliko takvih primjera •

−= − = −

569 (569 : 1100) 0,5172727272...

1100

33

= =

2323 : 7 2,285714285714285714...

7

− = − = −13

813 8 1 625( : ) ,

− = − = −

29 (29 : 125) 0,232.

125Nastavnik skreće pažnju učenika na primjere u kojima je postupak dijeljenja brojioca imeniocem •konačan, a zatim na primjere u kojima isti postupak nije konačan. U prvom slučaju razlomak se zapisuje u obliku konačnog decimalnog broja, a u drugom u obliku beskonačnog decimalnog broja.Na osnovu navedenih primjera učenici, podstaknuti nastavnikom, uočavaju da se u slučaju kada •postupak dijeljenja brojioca imeniocem nije konačan u decimalnom broju pojavljuje jedna cifra ili grupa cifara koje se periodično ponavljaju. Nastavnik naglašava da se decimalni brojevi dobi-jeni na takav način zovu beskonačni periodični decimalni brojevi. Cifra ili grupa cifara, koje se periodično ponavljaju u zapisu beskonačnog periodičnog decimalnog broja obrazuju periodu tog broja. Usvaja se dogovor o skraćenom zapisivanju beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva:•

a) − = −

0,5172727272... 0,5172; b) =

2,285714285714285714... 2,285714. Usvaja se dogovor zapisivanju cijelih i konačnih decimalnih brojeva u obliku beskonačnih peri-•odičnih decimalnih brojeva čija je perioda cifra 0:

a)12 = 12,000... = 12,

0; b) 0,628 = 0,628000... = 0,628

0.Kao zaključak gornjih razmatranja formuliše se tvrđenje:•

Svaki racionalni broj se može zapisati u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja.Nastavnik pravi podjelu beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva na:•

••⋅⋅⋅• ••⋅⋅⋅•cijelidio

perioda

,

– čisto periodične decimalne brojeve i

••⋅⋅⋅• ••⋅⋅⋅• ••⋅⋅⋅•cijelidio

pretperioda perioda

, – mješovito periodične decimalne brojeve

i navodi primjere:

239 786786 239 786, ... ,=cijelidio

perioda

– čisto periodični decimalni broj,

− = −457 6538123123 457 6538 123, ... ,cijelidio

pretperioda per

iioda

– mješovito periodični decimalni broj.

Kao zaključak gornjih razmatranja formuliše se tvrđenje:•Svaki racionalan broj se može zapisati ili u obliku čisto periodičnog decimalnog broja, ili u

obliku mješovito periodičnog decimalnog broja.Drugi cilj. Odgovoriti na pitanje:Kako se bez dijeljenja brojioca imeniocem može utvrditi koji razlomci se zapisuju u obliku

čisto periodičnog, a koji u obliku mješovito periodičnog decimalnog broja?Nastavnik navodi primjere razlomaka koji se zapisuju u obliku mješovito periodičnih decimalnih •brojeva:

a) = =⋅

7 70,70;

10 2 5 b) = = =

⋅

11 111,833... 1,83;

6 2 3

34

c) = = =⋅

7 70,4666... 0,46;

15 3 5 d) = =

⋅

23 230,418

55 5 11 i naglašava da je riječ o razlomcima čiji se imenioci mogu predstaviti u obliku proizvoda prostih

činilaca u kojima figurišu bar jedna petica ili bar jedna dvojka.Izvodi se opšti zaključak:•

Ako se imenilac nesvodljivog razlomka može predstaviti kao proizvod prostih činalaca koji sadrži bar jednu dvojku ili bar jednu peticu, onda se taj razlomak zapisuje u obliku mješovitog periodičnog decimalnog broja.

Nastavnik navodi primjere razlomaka koji se zapisuju u obliku čisto periodičnih decimalnih •brojeva:

a) 11 = =11

11,0;1

b) = =7

2,333... 2,3;3

c) = = 13

1,181818... 1,18;11

d) = =⋅

12 120,36.

33 3 11 i naglašava da je riječ o razlomcima čiji se imenioci mogu predstaviti u obliku prostih činilaca

u kojima ne figurišu bar jedna petica ili bar jedna dvojka.Izvodi se opšti zaključak:•

Ako se imenilac nesvodljivog razlomka može predstaviti kao proizvod prostih činilaca koji ne sadrži ni dvojku ni peticu, onda se taj razlomak zapisuje u obliku čisto periodičnog decimalnog broja.

Zapisivanje beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka

Osnovni cilj koji želimo postići obrađujući ovu nastavnu jedinicu jeste tvrđenje prema kojem je •skup racionalnih brojeva jednak skupu beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva i to treba naglasiti u uvodnom dijelu časa.Nastavnik podsjeća učenike na tvrđenje o kojem je bilo riječi u prethodnoj lekciji:•

Svaki razlomak se može zapisati u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja.Prirodno se nameće i obrnuto pitanje:Može li se svaki beskonačni periodični decimalni broj zapisati u obliku razlomka?Ako se uzme u obzir podjela beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva na čisto periodične

i mješovito periodične, umjesto prethodnog pitanja mogu se postaviti sljedeće dva pitanja:1. Može li se svaki čisto periodični decimalni broj zapisati u obliku razlomka?2. Može li se svaki mješovito periodični decimalni broj zapisati u obliku razlomka?U vezi sa zapisivanjem čisto periodičnih decimalnih brojeva čiji je cijeli dio jednak nuli, posli-

je nekoliko primjera treba formulisati opšti zaključak:

Čisto periodični decimalni broj kome je cijeli dio jednak nuli je razlomak ⋅⋅⋅

,99 9perioda

čiji je

brojilac cio broj zapisan ciframa koje obrazuju periodu i to istim redosljedom kao u periodi, a imenilac cio broj čiji dekadni zapis sadrži isključivo devetke i pri tome je broj devetki jednak broju decimala u periodi.

Na času treba obraditi primjere 1.7 i 1.8 (Udžbenik).Zapisivanjem čisto periodičnog decimalnog broja r čiji cijeli dio nije jednak nuli u obliku zbi-

ra cijelog dijela tog broja i čisto periodičnog decimalnog broja čiji je cijeli dio jednak nuli, dobijamo pravilo zapisivanja broja r u obliku mješovitog broja. Pravilo treba zapisati u obliku šeme:

=r + Cijeli diočisto periodični decimalni brojčiji je cijeli dio jednak n

uuli.

= +⋅⋅⋅

.99 9perioda

cijeli dio

35

gdje je broj devetki u imeniocu razlomka jednak broju decimala u periodi broja r. Zapisivanjem

broja ⋅⋅⋅

99 9n

u obliku ⋅⋅⋅ −

100 0 1n

znatno se olakšava zapisivanje dobijenog mješovitog broja u obli-

ku razlomka.Na času treba obraditi primjere 1.9 i 1.10 (Udžbenik). Učenicima treba dozvoliti da pri izradi

zadataka koriste navedene šeme, čime se izbjegava nepotrebno rješavanje jednačina koje se javljaju pri sprovođenju kompletnog postupka.

Pravilo zapisivanja mješovito periodičnog broja r u obliku razlomka je nešto složenije od pret-hodnih pravila. Naime, broj r prvo treba pomnožiti sa dekadnom jedinicom čiji je broj nula jednak broju cifara pretperiode broja r i na taj način dobiti čisto periodični decimalni broj ⋅⋅⋅

100 0n

r koji se primjenom prethodnih pravila zapisuje u obliku razlomka. Taj postupak se šematski može zapisati na sljedeći način:

⋅⋅⋅

100 0n

⋅ r = Cijeli dio broja

rn

100 0⋅⋅⋅ ⋅ +

čisto periodični decimalni brojčiji je cijeli dio jednak n

uuli.

,

⋅⋅⋅

100 0n

⋅ r = Cijeli dio broja

rn

100 0⋅⋅⋅ ⋅ + ⋅⋅⋅

.99 9perioda

Kada se na desnoj strani posljednje jednakosti dobije razlomak pq

, rješavanjem odgovarajuće

jednačine treba odrediti broj r:

⋅⋅⋅

100 0n

⋅ r = pq

/: ⋅⋅⋅

100 0n

,

r = ⋅⋅⋅⋅

1100 0

n

pq

,

gdje je n broj cifara pretperiode.Na osnovu gornjih razmatranja nastavnik formuliše tvrđenje:•

Svaki beskonačni periodični decimalni broj se može zapisati u obliku razlomka.Iz ovog tvrđenja i ranije dokazanog tvrđenja:Svaki razlomak se može zapisati u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog broja, slijedi važan zaključak:Skup razlomaka (racionalnih brojeva) jednak je skupu beskonačnih periodičnih decimalnih

brojeva.Beskonačnim periodičnim decimalnim brojevima, zapisivanju razlomaka u obliku decimalnog •broja i zapisivanju beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva u obliku razlomka u Zbirci su posvećeni zadaci 1.1-1.18. Ciljevi tih zadataka su, uglavnom, da se usvoji terminologija i uvježba primjena pravila naučenih na času.

Iracionalni brojevi

Ova nastavna jedinica ima centralno mjesto u temi posvećenoj zasnivanju skupa realnih bro-jeva. Prije definicije skupa iracionalnih brojeva još jednom treba sagledati razloge koji su nas pod-stakli na uvođenje novog skupa brojeva.

Nastavnik: Iako se u skupu racionalnih brojeva svaka dva broja mogu sabrati, oduzeti, pomno-žiti i svaki broj se može podijeliti sa svakim brojem različitim od nule, taj skup ima i jedan krupan

36

nedostatak. Naime, racionalnim brojevima se ne može izraziti mjerni broj dužine svake duži u iza-branoj jedinici mjere. Na primjer, mjerni broj dužine dijagonale jediničnog kvadrata nije racionalan broj. Postavili smo sebi za cilj da napravimo skup brojeva kojima se može izraziti mjerni broj duži-ne svake duži. Osim toga, postavili smo zahtjev da se i u tom skupu svaka dva broja mogu sabrati, oduzeti, pomnožiti i da se svaki broj može podijeliti sa svakim brojem različitim od nule.

Razmatrajući problem mjerenja dužine duži, ustanovili smo da je mjerni broj dužine bilo koje duži ili konačni decimalni broj (kada se postupak mjerenja završava poslije konačno mnogo koraka), ili beskonačni decimalni broj (kada se u svakom koraku u postupku mjerenja pojavljuje ostatak). Dakle, imamo ovakvu situaciju:

Dužina svake duži je ili konačni ili beskonačni decimalni broj.Postoje duži čija dužina nije racionalni broj.Odavde slijedi zaključak:Postoje beskonačni decimalni brojevi koji nijesu racionalni brojevi.Nameće se pitanje:Koji beskonačni decimalni brojevi nijesu racionalni brojevi?Da bismo odgovorili na ovo pitanje, morali smo utvrditi odnos između skupa racionalnih

brojeva i skupa beskonačnih decimalnih brojeva. U vezi sa odnosom između tih skupova naveli smo tvrđenje:

Skup racionalnih brojeva jednak je skupu beskonačnih periodičnih decimalnih brojeva.Sada se može odgovoriti na postavljeno pitanje:Beskonačni neperiodični decimalni brojevi nijesu racionalni brojevi.Navedimo nekoliko primjera takvih brojeva.

Nastavnik navodi primjere iz Udžbenika, definiše skup iracionalnih brojeva, a zatim skup realnih •brojeva i konstatuje da je skup realnih brojeva unija skupa racionalnih i skupa iracionalnih bro-jeva.

Na kraju, nastavnik podsjeća na skupove brojeva:{ }= 1,2,3...N – skup prirodnih brojeva,

{ }= − − −... 3, 2, 1̧ ,0, 1, 2, 3,...Z – skup cijelih brojeva,

Qab

a Z b N= ∈ ∈{ }: , – skup racionalnih brojeva,

R – skup realnih brojeva (skup beskonačnih decimalnih brojeva) i ukazuje na relaciju ⊂ ⊂ ⊂ .N Z Q RPredlažemo da bez dokaza navedete tvrđenja:•

Ako je n prirodan broj, tada je n ili prirodan broj ili iracionalan broj.Broj n je prirodan broj jedino u slučaju kada je n potpuni kvadrat.Sada se lako dokazuje tvrđenje:Ako je p prost broj, tada je p iracionalan broj.Koristeći ovo tvrđenje i jednakost skupa racionalnih brojeva sa skupom beskonačnih perio-

dičnih decimalnih brojeva, učenici treba da rješavaju zadatke u kojima treba utvrditi da li su zada-ti brojevi racionalni ili iracionalni. Takvi zadaci u Zbirci su 2.2-2.6, 2.10 i 2.18.

Brojna prava skupa realnih brojeva

Usvajanje pojma brojne prave skupa realnih brojeva ima veoma važnu ulogu za dalje matema-•tičko obrazovanje učenika. Ne mogu se usvojiti znanja iz analitičke geometrije i matematičke analize ako učenik nije stekao naviku da skup realnih brojeva zamišlja kao brojnu pravu. Učeni-ke treba ukratko podsjetiti kako se prirodni, cijeli i racionalni brojevi prikazuju na brojnoj pravoj

37

i naglasiti da skup tačaka dodijeljen racionalnim brojevima ne popunjava brojnu pravu. To ob-navljanje treba realizovati tako da se na njega prirodno nadoveže pravilo kojim svakom realnom broju dodjeljujemo tačno jednu tačku na brojnoj pravoj i obrnuto, svakoj tački na brojnoj pravoj dodjeljujemo tačno jedan realan broj. Navedimo i jedan predlog kako se može realizovati čas posvećen brojnoj pravoj skupa realnih brojeva.Nastavnik: • Povucite pravu p i na toj pravoj nanesite tačke O i 1A tako da se tačka 1A nalazi desno od tačke O (slika 3.1).

Slika 3.1

Kada učenici završe crtanje, nastavnik definiše brojnu pravu, pozitivni smjer na brojnoj pravoj, •pozitivni i negativni dio brojne prave.Nastavnik: • Duž = 1e OA uzimamo u svojstvu jedinice za mjerenje rastojanja između tačaka na pravoj p. To što je neki učenik nacrtao duž 1OA različitu od duži 1OA , koju je nacrtao drugi učenik, nema nikakvog značaja.

Na pozitivnom dijelu brojne prave nacrtajte tačke 1 2 3 4, , , ,...A A A A za koje važi = = = ⋅⋅⋅2 1 3 1 4 1 2 , 3 , 4 ,OA OA OA OA OA OA ...

a na negativnom dijelu tačke 1 2 3 4, , , ,...B B B B ... za koje važi= = = = ⋅⋅⋅1 1 2 1 3 1 4 1, 2 , 3 , 4 ,OB OA OB OA OB OA OB OA ...

Sada ćemo definisati pravilo čijom se primjenom svakom cijelom broju dodjeljuje tačno jedna tačka na brojnoj pravoj.

Broju 0 dodjeljujemo tačku O.Prirodnim brojevima 1, 2, 3, 4,… dodjeljujemo tačke A1, A2, A3, A4... a negativnim cijelim

brojevima − − − −1, 2, 3, 4,...... tačke B1, B2, B3, B4... (slika 3.2).

Slika 3.2

Kako se na brojnoj pravoj prikazuju racionalni brojevi?Duž = 1e OA podijelite na dva, a zatim na tri jednaka dijela (slike 3.3 i 3.4) i uočite da duži 2e

i 3e dobijene tim podjelama imaju dužine =212

e i =313

e . Na brojnoj pravoj odredite tačku A do-

bijenu pomjeranjem od tačke O u pozitivnom smjeru za pet duži 2e i tačku B dobijenu pomjeranjem od tačke O u negativnom smjeru za dvije duži 3e (slika 3.5). Dobili ste duži OA i OB za čije dužine

važi =52

OA i = − − =2 2

( ) .3 3

OB Pozitivnom racionalnom broju 52

dodjeljujemo tačku A, a nega-

tivnom racionalnom broju −23

tačku B.

Slika 3.3 Slika 3.4 Slika 3.5

38

Kako se na brojnoj pravoj prikazuju racionalni brojevi mn

i − ?kn

Označimo sa ne duž dobijenu podjelom duži = 1e OA na n jednakih duži. Dužina duži ne

jednaka je 1

.n

Neka je A tačka dobijena pomjeranjem od tačke O u pozitivnom smjeru za m duži

ne , a B tačka dobijena pomjeranjem od tačke O u negativnom smjeru za k duži .ne

Dobili smo duži OA i OB za čije su dužine =m

OAn

i = − − =( ) .k k

OBn n

Pozitivnom racional-

nom broju mn

dodjeljujemo tačku A, a negativnom racionalnom broju −kn

tačku B.

Na taj način je svakom racionalnom broju dodijeljena tačno jedna tačka na brojnoj pravoj. Da li tačke dodijeljene racionalnim brojevima popunjavaju brojnu pravu? Drugim riječima, postoji li na brojnoj pravoj tačka M koja nije dodijeljena nijednom racio-

nalnom broju?Na pozitivnom dijelu brojne prave uzmimo tačku M tako da je = 2.OM Kako 2 nije raci-

onalan broj, slijedi da tačka M nije dodijeljena nijednom racionalnom broju. Dakle, tačke dodije-ljene racionalnim brojevima ne popunjavaju brojnu pravu.

Sada ćemo definisati pravilo kojim svakom realnom broju dodjeljujemo tačno jednu tačku na brojnoj pravoj i obrnuto, svakoj tački na brojnoj pravoj dodjeljujemo tačno jedan realan broj:

Pozitivnom realnom broju a dodjeljujemo onu tačku A pozitivnog dijela brojne prave za koju je dužina duži OA jednaka a.

Negativnom realnom broju a dodjeljujemo tačku B negativnog dijela brojne prave za koju je dužina duži OB jednaka −a (broj −a je pozitivan jer je broj a negativan).

Koristeći brojnu pravu nastavnik definiše relaciju poretka u skupu realnih brojeva i apsolutnu •vrijednost realnog broja.U vezi sa brojnim intervalima na brojnoj pravoj treba riješiti zadatke:•

1. Navedi matematičke zapise skupova prikazanih na slici 3.6.

Slika 3.6

2. Na brojnoj pravoj prikaži skupove:

{ }= ∈ ≥) : 2 ,a A x R x { }= ∈ <) : 2 ,b A x R x { }= ∈ ≤ −) : 1 ,c A x R x { }= ∈ >) : 3 ,d A x R x

{ }= ∈ ≤ ≤) : 2 3 ,e A x R x { }= ∈ < <) : 1 2 ,f A x R x

{ }= ∈ − < ≤ −) : 3 1 ,g A x R x { }= ∈ − ≤ < −) : 3 1 .h A x R x3. Na brojnoj pravoj prikaži skupove:

{ }= ∈ >) : 2 ,a A x R x b) { }= ∈ ≥) : 1 ,a A x R x

c) { }= ∈ <) : 2 ,a A x R x d) { }= ∈ ≤) : 3 .a A x R x

4. Intervale prikazane na slici 3.7 zapiši u obliku { }= ∈ <: .A x R x a

Slika 3.7

39

5. Intervale prikazane na slikama 3.8 zapišite u obliku { }= ∈ >: .A x R x a

Slika 3.8

6. Koji od intervala prikazanih na slikama 3.9 se može zapisati u obliku:

{ }= ∈ ≤) : ,a A x R x a b) { }= ∈ ≥: .A x R x a ?

Slika 3.9

Operacije na skupu realnih brojeva

Na ovom nivou nastave ne definišu se operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja na skupu realnih brojeva. Međutim, čitava priča o skupu realnih brojeva bila je motivisana potrebom da se zasnuje skup brojeva koji zadovoljava uslove:

a) svaka dva broja iz tog skupa mogu se sabrati, oduzeti i pomnožiti i svaki broj se može po-dijeliti sa svakim brojem različitim od nule,

b) brojevima iz tog skupa mogu se izraziti sve veličine sa kojima se čovjek srijeće u svako-dnevnom životu (dužina duži, površina figure, zapremina tijela, težina, brzina, temperatu-ra vazduha, nadmorska visina i slično).

Učenik očekuje odgovor na pitanje da li skup realnih brojeva zadovoljava uslove a) i b). Kako tačke na brojnoj pravoj dodijeljene realnim brojevima popunjavaju brojnu pravu, učenik

će lako usvojiti da skup realnih brojeva zadovoljava uslov b). Ostaje problem sa uslovom a). Problem se sastoji u tome što treba nešto reći o svojstvima računskih operacija koje neće biti definisane. Jedan od predloga kako da se izađe iz ove situacije dat je u Udžbeniku. U svakom slučaju treba naglasiti da postoje pravila računanja zbira, razlike, proizvoda i količnika bilo koja dva realna broja i da obrada tih pravila nije predviđena za učenike osmog razreda. Takođe treba naglasiti da skup realnih brojeva zadovoljava i uslov a). Na kraju, kroz nekoliko primjera treba pokazati kako se umjesto sa tačnim vrijednostima beskonačnih decimalnih brojeva, računske operacije izvode sa njihovim pri-bližnim vrijednostima.

Rad sa približnim vrijednostima realnih brojeva se može uvježbati radeći zadatke 2.8, 2.13-2.17, •2.19 i 2.20.

40

4. LINEarNE jEdNaČINE. LINEarNE NEjEdNaČINE

NastavNi ciljevi

Brojne jednakosti. Jednačine

Učenik/ca:usvaja pojam brojne jednakosti;•zna da je brojna jednakost ili tačna ili netačna;•usvaja pojam jednačine;•usvaja pojam rješenja jednačine;•usvaja da jednačina ili nema rješenja, ili ima tačno jedno rješenje, ili ima više od jednog rješenja •i zna da navede odgovarajuće primjere;usvaja pojam skupa rješenja jednačine;•zna što znači riješiti jednačinu.•

Ekvivalentne jednačine

Učenik/ca:usvaja pojam ekvivalentnih jednačina;•je u stanju da riješi jednostavne linearne jednačine formirajući pomoću skice vage niz ekvivalen-•tnih jednačina.

Pravila formiranja ekvivalentnih jednačina

Učenik/ca:usvaja i primjenjuje pravilo sređivanja;•usvaja sljedeća svojstva brojnih jednakosti:•

– ako je brojna jednakost =a b tačna, onda je tačna i brojna jednakost + = + ,a c b c∈, , ,a b c R

– ako je brojna jednakost =a b netačna, onda je netačna i brojna jednakost + = + ,a c b c∈, , .a b c R

– ako je brojna jednakost =a b tačna, onda su tačne i brojne jednakosti ⋅ = ⋅a c b c i =: :a c b c , ∈, , ,a b c R ≠ 0,c

– ako je brojna jednakost =a b netačna, onda su netačne i brojne jednakosti ⋅ = ⋅a c b c i =: :a c b c ∈, , ,a b c R ≠ 0,c ;

usvaja i primjenjuje pravilo prebacivanja;•usvaja i primjenjuje pravilo eliminacije;•usvaja i primjenjuje pravilo množenja.•

Rješavanje linearnih jednačina

Učenik/ca:usvaja definiciju linearnih jednačina;•zna opisati postupak rješavanja linearnih jednačina; •

41

zna na koji način skup rješenja jednačine • =ax b zavisi od parametra a;zna kako se rješavaju linearne jednačine:•

– bez zagrada, – sa zagradama, – sa razlomcima.

Primjena linearnih jednačina

Učenik/ca:zna da je rješavanje tekstualnih zadataka pomoću linearnih jednačina postupak koji se sprovodi •u više koraka:

1. izbor promjenljive, 2. formiranje jednačine na osnovu uslova zadatka, 3. rješavanje jednačine, 4. provjera;

je u stanju da primjenom navedenog postupka riješi jednostavne zadatke.•

Brojne nejednakosti. Nejednačine

Učenik/ca:usvaja pojam brojne nejednakosti;•zna da je brojna nejednakost ili tačna ili netačna;•usvaja pojam nejednačine;•usvaja pojam rješenja nejednačine;•usvaja da nejednačina ili nema rješenja, ili ima tačno jedno rješenje, ili ima više od jednog rje-•šenja i zna da navede odgovarajuće primjere;usvaja pojam skupa rješenja nejednačine;•zna što znači riješiti nejednačinu.•

Ekvivalentne nejednačine

Učenik/ca:usvaja pojam ekvivalentnih nejednačina;•je u stanju da riješi jednostavne linearne nejednačine formirajući niz ekvivalentnih nejednačina •pomoću skice vage.

Pravila formiranja ekvivalentnih nejednačina

Učenik/ca:usvaja i primjenjuje pravilo sređivanja;•usvaja sljedeća svojstva brojnih nejednakosti:•

– ako je brojna nejednakost ≤a b tačna, onda je tačna i brojna nejednakost + ≤ + ;a c b c ∈, , ,a b c R

– ako je brojna nejednakost ≤a b netačna, onda je netačna i brojna nejednakost + ≤ + ;a c b c ∈, , ,a b c R

42

– ako je brojna nejednakost ≤a b tačna, onda su za svaki pozitivni broj c tačne i brojne nejednakosti ⋅ ≤ ⋅a c b c i ≤: : ;a c b c ∈, , ,a b c R

– ako je brojna nejednakost ≤a b netačna, onda su za svaki pozitivni broj c netačne i broj-ne nejednakosti ⋅ ≤ ⋅a c b c i ≤: : ;a c b c ∈, , ,a b c R

– ako je brojna nejednakost ≤a b tačna, onda su za svaki negativni broj c tačne i brojne nejednakosti ⋅ ≥ ⋅a c b c i ≥: : ;a c b c ∈, , ,a b c R

– ako je brojna nejednakost ≤a b netačna, onda su za svaki negativni broj c netačne i broj-ne nejednakosti, ⋅ ≥ ⋅a c b c i ≥: : ;a c b c ∈, , ,a b c R ;

usvaja i primjenjuje pravilo prebacivanja;•usvaja i primjenjuje pravilo eliminacije;•usvaja i primjenjuje pravilo množenja pozitivnim brojem;•usvaja i primjenjuje pravilo množenja negativnim brojem.•

Rješavanje linearnih nejednačina

Učenik/ca:usvaja definiciju linearnih nejednačina;•zna opisati postupak rješavanja linearnih nejednačina; •zna na koji način skup rješenja nejednačina • < ,ax b > ,ax b ≤ ,ax b ≥ax b zavisi od parametara a i b;zna kako se rješavaju linearne nejednačine:•

– bez zagrada, – sa zagradama, – sa razlomcima.

DiDaktička uputstva

Brojne jednakosti. Jednačine

U predmetnim programima za matematiku (peti, šesti i sedmi razred) jednačine imaju zna-čajno mjesto. Jednačine oblika + = = i x a b ax b razmatrane su prvo u skupu prirodnih brojeva (peti razred), a zatim u skupovima pozitivnih razlomaka (šesti razred), cijelih brojeva (sedmi razred) i na kraju u skupu racionalnih brojeva (sedmi razred). Učenicima su poznati pojmovi brojne jed-nakosti, jednačine, rješenja jednačine i znaju što znači riješiti jednačinu. U ovoj nastavnoj jedinici ti pojmovi će biti obnovljeni i sistematizovani.

Da bismo kod učenika podstakli interes za jednačine, treba postaviti jedan zanimljiv zadatak iz •svakodnevnog života koji se svodi na rješavanje jednačine. Zadatak treba odabrati tako da ga učenici mogu riješiti primjenjujući ranije stečena znanja o jednačinama. Jedan takav zadatak dat je u Udžbeniku na 84. strani.Nastavnik obnavlja pojmove brojne jednakosti i jednačine. Navode se primjeri tačnih i netačnih •brojnih jednakosti i rješavaju jednačine + = = i x a b ax b u skupu racionalnih brojeva. Kako je osnovni cilj teme da učenik nauči kako se primjenom pravila formiranja niza ekvivalen-•tnih jednačina rješavaju linearne jednačine, označavanje jednačina treba prilagoditi tom cilju. Zapisivanje jednačine u obliku =( ) ( )L x D x , odnosno =( )L x D daje jasnu predstavu o jednači-ni kao zapisu u kome su dva brojna izraza povezana znakom jednakosti, pri čemu bar jedan od tih izraza sadrži promjenljivu. Još važnije je da takvo označavanje jednačine omogućava da se na

43

pregledan i jasan način opišu transformacije linearnih jednačina o kojima će ovdje biti riječi. U vezi sa zapisom =( ) ( )L x D x treba razmotriti primjere 1.1 i 1.2 iz Udžbenika. Poslije ovih primjera, nastavnik obnavlja pojam rješenja jednačine i naglašava da jednačina ili •nema rješenja, ili ima tačno jedno rješenje, ili ima više rješenja. Treba uraditi primjere 1.3, 1.4 i 1.5 u kojima se navode: jednačina koja nema rješenje (primjer 1.3), jednačina koja ima tačno jedno rješenje (primjer 1.4) i jednačina koja ima više od jednog rješenja (primjer 1.5). Ovi pri-mjeri nameću potrebu da se precizira što znači riješiti jednačinu. Nastavnik definiše skup rješe-nja jednačine, navodi odgovarajuće primjere i naglašava da riješiti jednačinu znači odrediti skup njenih rješenja. Ovoj nastavnoj jedinici u Zbirci su posvećeni zadaci 1.1-1.6. Riječ je o veoma lakim i korisnim •zadacima, te preporučujemo da učenici urade po jedan zadatak iz svake grupe.

Ekvivalentne jednačine

Obrađujući ovu temu učenici će rješavati linearne jednačine tj. jednačine koje se primjenom •pravila formiranja niza ekvivalentnih jednačina svode na jednačinu oblika = .ax b Naglasimo da se učenici po prvi put srijeću sa pojmom ekvivalentnih jednačina i to treba imati u vidu.

Kako da učenici shvate važnost formiranja niza ekvivalentnih jednačina u postupku rješavanja linearnih jednačina, prije nego što nauče kako se takav niz uopšte formira?

Predlažemo da detaljno obradite primjer 2.2 iz Udžbenika u kojem se pomoću skice vage for-mira niz ekvivalentnih jednačina i na taj način rješava zadatak koji će svakako privući pažnju uče-nika.

U Zbirci se ekvivalentne jednačine razmatraju u zadacima 2.1-2.5. Imajući u vidu važnost pojma •ekvivalentnih jednačina i važnost formiranja niza takvih jednačina preporučujemo da učenici urade te zadatke.

Pravila formiranja ekvivalentnih jednačina

Učenici su usvojili postupak koji im omogućava da jednostavne linearne jednačine riješe formi-•ranjem niza ekvivalentnih jednačina koristeći skicu vage. Time smo postigli jedan važan cilj. Učenici su shvatili važnost formiranja niza ekvivalentnih jednačina, iako još ne znaju opšti po-stupak za formiranje takvog niza. Sada treba ukazati na nedostatke postupka zasnovanog na skici vage i nametnuti potrebu za efikasnijim pravilima formiranja niza ekvivalentnih jednači-na.

Primjeri kao što su:

x – 4 = –23 i − +

+ + − = + + −5 7 6

2( 4) 1 3( 1)5 2 10

x x xx x ,

pokazuju da se skica vage ne može koristiti kao univerzalno sredstvo za rješavanje linearnih jednačina.

Pravilo sređivanja učenici usvajaju na osnovu ranije stečenih znanja o svojstvima operacija sabi-•ranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja u skupu racionalnih brojeva, odnosno u skupu realnih brojeva. Ovo pravilo se u Zbirci razmatra u zadatku 2.6.Ostala pravila formiranja ekvivalentnih jednačina zasnivaju se na svojstvima brojnih jednakosti •i to treba jasno naglasiti. Predlažemo da na tabli zapišete sljedeća svojstva brojnih jednakosti:

– ako je brojna jednakost =a b tačna, onda je tačna i brojna jednakost + = + ,a c b c ∈, , ,a b c R

44

– ako je brojna jednakost =a b netačna, onda je netačna i brojna jednakost + = + ,a c b c∈, , ,a b c R

i da ta svojstva ilustrujete jednostavnim primjerima. Zatim dokažite tvrđenje:

ako lijevoj i desnoj strani jednačine dodamo isti broj ili isti izraz, dobiće se jednačina ekvivalentna polaznoj jednačini.

Pravilo prebacivanja i pravilo eliminacije su neposredna posljedica navedenog tvrđenja.U vezi sa tim pravilima treba uraditi primjere 2.5 i 2.6 iz Udžbenika. Učenici treba samostalno

da riješe zadatke 2.7 i 2.8 iz Zbirke. Nastavnik na tabli zapisuje svojstva brojnih jednakosti u vezi sa množenjem:•

– ako je brojna jednakost =a b tačna, onda su tačne i brojne jednakosti ⋅ = ⋅a c b c i =: :a c b c∈, , ,a b c R ≠ 0,c

– ako je brojna jednakost =a b netačna, onda su netačne i brojne jednakosti ⋅ = ⋅a c b c i =: :a c b c ∈, , ,a b c R ≠ 0,c

formuliše pravilo množenja i ukazuje na njegovu vezu sa navedenim svojstvima.Na času treba uraditi primjer 2.8 iz Udžbenika. Za domaći rad treba dati zadatak 2.9 iz Zbirke.•

Rješavanje linearnih jednačina

Cilj ove nastavne jedinice je da učenici ovladaju tehnikom rješavanja linearnih jednačina. Da bi •se taj cilj ostvario na kvalitetan i sadržajan način, učenik mora znati odgovore na sljedeća tri pitanja:

1. Koju jednačinu nazivamo linearnom jednačinom? 2. Kako se rješava linearna jednačina? 3. Na koji način skup rješenja jednačine =ax b zavisi od parametra ?a

U prvoj fazi treba rješavati jednostavne linearne jednačine za koje se niz ekvivalentnih jednačina •formira u malom broju koraka. Prilikom rješavanja učenici na svakom koraku treba da navedu pravilo koje se primjenjuje pri formiranju sljedeće ekvivalentne jednačine u nizu. Upravo su zbog toga pravilima dati kratki nazivi (pravilo sređivanja, pravilo prebacivanja, pravilo eliminacije, pravilo množenja) u skladu sa tranformacijama koje se vrše pri njihovoj primjeni. Zadaci u ko-jima po određenim pravilima treba popuniti zadatu tabelu su dobar primjer zadataka koji će učenike dodatno motivisati u želji da postave i riješe odgovarajuću jednačinu. Na času treba obraditi primjere 3.1, 3.2 i 3.3 iz Udžbenika. Za domaći rad treba dati neke zadatke iz grupe zadataka 2.10-2.24. Broj zadataka koji će biti urađeni zavisi od vremena koje nastavniku stoji na raspolaganju.Kada učenici uvježbaju primjenu pravila sređivanja, prebacivanja, eliminacije i množenja na •jednostavnim jednačinama, treba preći na rješavanje složenijih linearnih jednačina. Tom pro-blemu su u Zbirci posvećeni zadaci 3.1-3.13. Predlažemo da te zadatke učenici rade po grupama. Uzmimo, na primjer, zadatak 3.1. Nastavnik formira pet grupa učenika. Svaka grupa dobija jedan zadatak. Na tabli je nacrtana tabela 3.1 (Zbirka). Predstavnici grupa izlaze na tablu i popunjava-ju tu tabelu. Na isti način se mogu dati i zadaci za domaći rad.

Primjena linearnih jednačina

Rješavanje tekstualnih zadataka pomoću linearnih jednačina se obično opisuje kao postupak •koji se sprovodi u četiri koraka:

45

1. izbor promjenljive, 2. formiranje jednačine na osnovu uslova zadatka, 3. rješavanje jednačine, 4. provjera.Rješavanje jednačine i provjera su lakši djelovi zadatka. Osnovni problem je izbor promjenlji-

ve i formiranje jednačine na osnovu zadatih uslova. Zato predlažemo da se na početku obrade ove nastavne jedinice, prva dva, od četiri navedena koraka, razmatraju kao posebne cjeline i da se kroz nekoliko zadataka ilustruje kako se oni realizuju.

izbor promjenljive.•Problem izbora promjenljive se na najbolji način može prevazići rješavanjem zadataka u kojima na

osnovu zadatih uslova treba formirati izraz sa promjenljivom. Navedimo nekoliko takvih zadataka: 1. Od proizvoda brojeva x i 4 oduzeti broj 8. 2. Količniku brojeva a i 13 dodati broj 17. 3. Od proizvoda brojeva x i 7 oduzeti razliku tih brojeva. 4. U svakoj gajbi nalazi se 16 boca mineralne vode. Koliko boca ima u: a) 10 gajbi , b) 20 gaj-

bi, c) x gajbi? 5. Broj putnika u prvom vagonu je dva puta veći od broja putnika u drugom vagonu. Koliko

putnika ima u oba vagona ako je broj putnika u prvom vagonu jednak x? 6. U kutiji se nalazi 36 kuglica. Svaka od tih kuglica je ili crne ili bijele boje. Koliko u kutiji

ima crnih kuglica, ako je broj bijelih kuglica jednak x? 7. U kutiji se nalazi 36 kuglica. Svaka od tih kuglica je ili crne ili bijele boje. Na svakoj kuglici

crne boje zapisan je broj 3, a na svakoj kuglici bijele boje broj 2. Napiši zbir svih brojeva zapisanih na kuglicama, ako u kutiji ima:

a) x kuglica bijele boje, b) y kuglica crne boje. Rezultat: a) 2x + 3(36 – x), b) 3y + 2(36 – y).8. Prvi broj je za 7 veći od drugog, dok je drugi broj 8 puta veći od trećeg broja. Napiši zbir tih

brojeva, ako je: a) prvi broj jednak x, b) drugi broj jednak y, c) treći broj jednak z.9. Napiši zbir tri uzastopna cijela broja, ako je: a) najmanji od tih brojeva jednak x, b) najveći od tih brojeva jednak y, c) srednji po veličini broj jednak z. 10. Sin ima 25 godina manje od majke i 30 godina manje od oca. Koliko godina zajedno ima-

ju otac, majka i sin, ako: a) sin ima x godina, b) majka ima y godina c) otac ima z godina? Rezultat: a) x + (x + 25) + (x + 30) = 3x + 55, b) (y – 25) + y + (y + 5) = 3y – 20, c) (z – 30) + (z – 5) + z = 3z – 35.11. Markov mobilni telefon je za 27 eura skuplji od Eninog i tri puta skuplji od Jasninog tele-

fona. a) Koliko košta Enin, a koliko Jasnin telefon, ako Markov telefon košta x eura? b) Koliko košta Markov, a koliko Jasnin telefon, ako Enin telefon košta y eura? c) Koliko košta Markov, a koliko Enin telefon, ako Jasnin telefon košta z eura?

46

Formiranje jednačine.•Uvjereni smo da će učenicima biti od velike koristi ako riješe nekoliko zadataka u kojima na

osnovu zadatih uslova treba formirati linearnu jednačinu. Zadatke treba formulisati tako da je na-glašen zahtjev za formiranjem linearne jednačine, ne opterećujući pri tome učenike dodatnim in-formacijama koje su inače prisutne u formulacijama zadataka koji se rješavaju primjenom jednači-na. Navedimo nekoliko primjera.

1. Zapiši u obliku jednačina sljedeće rečenice: a) Zbir dva uzastopna cijela broja jednak je 15. b) Zbir tri uzastopna cijela broja jednak je 18. c) Zbir četvrtine, šestine i devetine jednog broja je za 17 manji od tog broja.2. U prvom vagonu ima dva puta više putnika nego u drugom. a) Označi sa x broj putnika u prvom vagonu i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„U oba vagona ima 48 putnika”. b) Označi sa y broj putnika u drugom vagonu i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„U oba vagona ima 48 putnika”.3. Brat je 10 godina stariji od sestre. a) Označi sa x broj sestrinih godina i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Kroz osam godina brat će biti dva puta stariji od sestre”. b) Označi sa y broj bratovih godina i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Kroz osam godina brat će biti dva puta stariji od sestre”.4. Lazar je imao dva puta više novca od Marka. a) Označi sa x sumu koju je imao Marko i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Kada je Lazar Marku dao 2€, onda je Marko imao 1€ više od Lazara”. b) Označi sa y sumu koju je imao Lazar i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Kada je Lazar Marku dao 2€ onda je Marko imao 1€ više od Lazara”. 5. Prva lubenica je za 2 kg lakša od druge i 5 puta lakša od treće. a) Označi sa x masu prve lubenice i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Prva i treća lubenica zajedno su 3 puta teže od druge lubenice”. b) Označi sa y masu druge lubenice i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Prva i treća lubenica zajedno su 3 puta teže od druge lubenice”. c) Označi sa z masu treće lubenice i u obliku jednačine zapiši rečenicu:

„Prva i treća lubenica zajedno su teže 3 puta od druge lubenice”.Opravdanje za ovako veliki broj zadataka u Priručniku nalazimo u činjenici da se takvi zadaci •veoma rijetko srijeću u Zbirkama.

Zadaci o kretanju.•Osnovna karakteristika velikog broja tekstualnih zadataka koji se rješavaju pomoću linearnih

jednačina svakako je komplikovana formulacija iza koje stoji veoma prost matematički model. Takva formulacija je za učenike najčešće smetnja da uoče matematički model zadatka. Jedan broj zadata-ka o kretanju omogućava da se prvo opiše matematički model, što učenicima znatno olakšava rje-šavanje odgovarajućih zadataka.

Nikakva posebna znanja iz fizike nijesu potrebna, osim konstatacije da tijelo koje se u toku vremena t kreće brzinom v pređe put dužine s = vt.

Matematički model zadatka: Neka se prvo tijelo kreće brzinom 1v tokom vremena 1t , a drugo brzinom 2v tokom vremena 2.t Date su tri od četiri veličine v1, t1, v2, t2. Odrediti četvrtu veličinu, ako su tijela prešla puteve jednake dužine.

Rješenje zadatka:

=1 1 1,s v t =2 2 2.s v t =1 2 ,s s =1 1 2 2.v t v t

47

Četvrta veličina se dobija rješavanjem jednačine =1 1 2 2.v t v t Primjer. a) Prvi biciklista je krenuo u 7 sati i vozi brzinom od 1v = 16 km/h. Drugi biciklista

će sa istog mjesta krenuti u 8 sati i 10 minuta. Kojom brzinom treba da vozi drugi biciklista da bi prvog sustigao u 10 sati i 30 minuta?

b) U koliko sati treba da krene drugi biciklista koji se kreće brzinom od 24 km/h, da bi prvog biciklistu sustigao u 10 sati i 30 minuta?

Rješenje: U oba slučaja biciklisti će preći puteve iste dužine (slika 4.1).

Slika 4.1

a) Ovdje je 1v = 16 km/h, =1t1

32

sati (od 7 sati do 10 sati i 30 minuta), =2 ?v i =2t1

23

sati

(od 8 sati i 10 minuta do 10 sati i 30 minuta). Ako ove vrijednosti uvrstimo u jednakost =1 1 2 2v t v t , dobijamo:

⋅ = ⋅2

1 116 3 2 .

2 3v

Rješavanjem gornje jednačine po nepoznatoj 2v , dobijamo da je v2 = 24 km/h.

b) U ovom slučaju je 1v = 16 km/h =1t1

32

sati (od 7 sati do 10 sati i 30 minuta), v2 = 24 km/h.

i =2t ? Ako ove vrijednosti uvrstimo u jednakost =1 1 2 2v t v t , dobijamo:

⋅ = ⋅ 2

116 3 24 .

2h t

Odavde slijedi da je = = =27 1

23 3

t 2 sata i 20 minuta. Kako do susreta treba da dođe u 10 sati i

30 minuta, drugi biciklista mora krenuti u 8 sati i 10 minuta (10 sati i 30 minuta – 2sata i 20 minu-ta = 8 sati i 10 minuta).

Matematički model zadatka: Neka se prvo tijelo kreće brzinom 1v tokom vremena 1t , a drugo tijelo brzinom 2v tokom vremena 2.t Date su tri od četiri veličine v1, t1, v2, t2. Odrediti četvrtu veličinu, ako je zbir dužina puteva koje su prešli dva tijela jednak s, gdje je s zadata veličina.

Rješenje zadatka: =1 1 1,s v t =2 2 2.s v t+ =+ =

1 2

1 1 2 2

,.

s s sv t v t s

Četvrta veličina se dobija rješavanjem jednačine + =1 1 2 2 .v t v t sPrimjer. Rastojanje između dvoje automobilista je 384 km. Oni su istovremeno krenuli jedan

drugome u susret. Prvi automobilista vozi brzinom od 60 km/h, a drugi brzinom od 84 km/h.

48

Koliko vremena će trajati njihova vožnja i koliki put će preći svaki od automobilista do mjesta nji-hovog susreta?

Rješenje: Zbir dužina puteva koji će preći dva automobila je 384 km (slika 4.2).

Slika 4.2

Prema uslovima zadatka, imamo da je:1v = 60 km/h, =1t t , v2 = 84 km/h, =2t t i s = 384 km.

Riješimo zadatak:=1 1 1,s v t =2 2 2.s v t

+ =+ =

1 2

1 1 2 2

,,

s s sv t v t s

+ ==

= =

60 84 384,144 384,

384 22 ,

144 3

t tt

t

t = 2 sata i 40 minuta.

Dakle, automobilisti će do susreta voziti 2 sata i 40 minuta = 2

23

sata. Za to vrijeme prvi auto-

mobilista će preći put dužine = = ⋅ = ⋅ =1 1 12 8

60 2 60 1603 3

s v t km160 km i = =2 2 2s v t ⋅8

843

= 224 km.

Primjer. Dvoje automobilista se nalaze na rastojanju od 390 km. Oni su istovremeno krenuli jedan drugome u susret. Prvi automobilista vozi brzinom od 55 km/h. Kojom brzinom treba da vozi drugi automobilista da bi do njihovog susreta došlo poslije tri sata vožnje?

Rješenje: Zbir dužina puteva koji će preći dva automobila je 390 km. Ovdje je 1v = 55 km/h, =1t 3 sata, =2 ?v , =2 3t sata i s = 390 km. Tada imamo:

=1 1 1,s v t =2 2 2.s v t

+ =+ =

1 2

1 1 2 2

,,

s s sv t v t s

⋅ + ⋅ =+ =

2

2

55 3 3 390,165 3 390,

vv

= −23 390 165,v3 225 3

752

2

vv km h

==

: ,/ .

Primjer. Rastojanje između gradova A i B je 327 km. Automobilista je u 8 sati krenuo iz grada A u grad B i kreće se brzinom od 72 km/h. Kojom brzinom treba da se kreće automobilista koji je u 9 sati krenuo iz grada B, da bi se sa prvim automobilistom sreo u 10 sati i 40 minuta?

49

Rješenje: Ovdje je 1v = 72 km/h, =1t =2 8

23 3

sati (od 8 sati do 10 sati i 40 minuta), =2 ?v i

=2t =2 5

13 3

sati (od 9 sati do 10 sati i 40 minuta) i s = 327 km.

Tada imamo:+ =+ =

1 2

1 1 2 2

,,

s s sv t v t s

7283

53

327 3

576 5 9815 981 5765 405 5

81

2

2

2

1

1

⋅ + = ⋅

+ == −==

v

vvv

v

/ ,

,,

/ : ,kkm h/ .

U zadacima o kretanju broda uz rijeku i niz rijeku, pored brzine broda u stajaćoj vodi pojav-ljuje se i brzina riječnog toka. Neka je v brzina broda u stajaćoj vodi, a 0v brzina riječnog toka. Tada je:

= +1 0v v v – brzina broda kada on plovi niz rijeku,= −1 0v v v – brzina broda kada on plovi uz rijeku,= = +1 1 1 0 1( )s v t v v t – dužina puta koji brod pređe za vrijeme 1t ploveći niz rijeku,= = −2 2 2 0 2( )s v t v v t – dužina puta koji brod pređe za vrijeme 2t ploveći uz rijeku.

Primjer. Riječni brod je plovio niz rijeku 3 sata i 24 minuta , a zatim uz rijeku 4 sata i 12 minuta.Dužina puta koji je brod prešao ploveći niz rijeku je za 19,8 km duža od puta koji je brod prešao plo-veći uz rijeku. Odredi brzinu broda u stajaćoj vodi, ako je brzina riječnog toka jednaka 4,5 km/h.

Rješenje: Ovdje je = ?,v 0v = 4,5 km/h, 1t = = =24 2 17

3 360 5 5

sati (3 sata i 24 minuta), 2t =

= =12 1 21

4 460 5 5

sati (4 sata i 12 minuta), = +1 1( 4,5)s v t = + ⋅17

( 4,5)5

v , = −2 2( 4,5)s v t = − ⋅21

( 4,5) ,5

v

= +1 2s s 19,8 (put koji je brod prešao ploveći niz rijeku je za 19,8 km duži od puta koji je brod pre-šao ploveći uz rijeku).

Tada imamo:= +1 2s s 19,8,

+ ⋅17

( 4,5)5

v = − ⋅ +21

( 4,5) 19,85

v / ⋅ 5,

17v + 76,5 = 21v – 94,5 + 99,4 v = 72,v = 18 km/h.

Zadaci 4.1-4.69 su tematski grupisani tako da nema potrebe za dodatnim komentarima. •Linearne nejednačine su po svojoj logičkoj strukturi i tehnici rješavanja veoma slične, a u nekim •aspektima i identične sa linearnim jednačinama, te smatramo da bi bilo suvišno i za njih davati poseban komentar.

50

5. PITaGorINa TEorEMa

NastavNi ciljevi

Pitagorina teorema

Učenik/ca:usvaja Pitagorinu teoremu;•usvaja i primjenjuje formule • = +2 2 ,c a b z = −2 2a c b i = −2 2 ,b c a ;usvaja i primjenjuje teoremu obrnutu Pitagorinoj teoremi;•usvaja pojam hipotenuzinih odsječaka;•uspješno rješava zadatke u kojima, pored Pitagorine teoreme, treba primijeniti i druga svojstva •pravouglog trougla;usvaja i primjenjuje teoreme o hipotenuzinim odsječcima;•usvaja konstrukciju duži dužine • 2, 3, =4 2, 5, 6,...;usvaja teoremu prema kojoj je trougao konstruisan nad prečnikom pravougli;•usvaja konstrukciju duži dužine • n zasnovanu na prethodnoj teoremi;uspješno rješava jednostavne konstruktivne zadatke zasnovane na Pitagorinoj teoremi.•

Primjena Pitagorine teoreme na pravougaonik i kvadrat

Učenik/ca:zna da dijagonala dijeli pravougaonik na dva pravougla trougla čije se katete poklapaju sa stra-•nicama pravougaonika, a hipotenuza sa njegovom dijagonalom; primjenjuje Pitagorinu teoremu i izračunava dužinu dijagonale pravougaonika, kada su zadate •dužine njegovih stranica; primjenjuje Pitagorinu teoremu i izračunava dužinu jedne stranice pravougaonika, kada su za-•date dužine njegove druge stranice i dijagonale; usvaja da su dužine stranice kvadrata i njegove dijagonale direktno proporcionalne veličine;•primjenjuje Pitagorinu teoremu i izračunava dužinu dijagonale kvadrata, kada je zadata dužina •njegove stranice; primjenjuje Pitagorinu teoremu i izračunava dužinu stranice kvadrata, kada je zadata dužina •njegove dijagonale;uspješno rješava zadatke u kojima, pored Pitagorine teoreme, treba primijeniti i neka svojstva •pravougaonika odnosno kvadrata.

Primjena Pitagorine teoreme na jednakokraki i jednakostranični trougao

Učenik/ca:zna da visina povučena iz vrha jednakokrakog trougla dijeli taj trougao na dva podudarna pra-•vougla trougla;usvaja formule kojima se izražava odnos između dužina osnovice, kraka i visine koja odgovara •osnovici jednakokrakog trougla;uspješno rješava zadatke u kojima treba izračunati:•

a) dužinu visine jednakokrakog trougla, kada su zadate dužine kraka i osnovice,

51

b) dužinu kraka jednakokrakog trougla, kada su zadate dužine osnovice i visine koja odgo-vara osnovici,

c) dužinu osnovice jednakokrakog trougla, kada su zadate dužine kraka i visine koja odgo-vara osnovici;

usvaja da su dužine stranice i visine jednakostraničnog trougla direktno proporcionalne veličine;•usvaja formulu kojom se izražava odnos između dužina stranice i visine jednakostraničnog tra-•peza; usvaja i primjenjuje formulu za izračunavanje površine jednakostraničnog trougla;•usvaja i primjenjuje formule kojima se poluprečnik opisane kružnice i poluprečnik upisane kruž-•nice izražavaju kao funkcije dužine stranice jednakostraničnog trougla;uspješno rješava zadatke u kojima, pored Pitagorine teoreme, treba primijeniti i neka svojstva •jednakokrakog, odnosno jednakostraničnog trougla.

Primjena Pitagorine teoreme na romb

Učenik/ca:zna osnovna svojstva romba;•usvaja formule kojima se izražava odnos između dužine stranice i dijagonala romba; •uspješno rješava zadatke u kojima treba izračunati:•

a) dužinu stranice romba, kada su zadate dužine njegovih dijagonala, b) dužinu jedne dijagonale romba, kada su zadate dužine stranice i druge dijagonale;

uspješno rješava zadatke u kojima, pored Pitagorine teoreme, treba primijeniti i osnovna svojstva •romba.

Primjena Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez

Učenik/ca:zna osnovna svojstva pravouglog i jednakokrakog trapeza;•usvaja i formule kojima se izražava odnos između dužina osnovica i krakova pravouglog (jedna-•kokrakog) trapeza; uspješno rješava zadatke u kojima treba izračunati:•

a) dužinu jednog kraka, kada su zadate dužine njegovih osnovica i dužina drugog kraka, b) dužinu jedne osnovice, kada su zadate dužina druge osnovice i dužine krakova;

uspješno rješava zadatke u kojima, pored Pitagorine teoreme, treba primijeniti i neka svojstva •pravouglog, odnosno jednakokrakog trapeza.

DiDaktička uputstva

Pitagorina teorema

Naslov teme „Pitagorina teorema” sastavljen je od dvije riječi čije je značenje za većinu učenika •nepoznato. Zato nam se čini da u uvodnom dijelu treba dati odgovore na sljedeća tri pitanja:

1. Što je teorema? 2. Ko je bio Pitagora? 3. Koji zadatak rješava Pitagorina teorema?

52

Učenici su navikli na geometrijske teoreme čiju „očiglednost” sugeriše slika. U Udžbeniku su •navedene teoreme o jednakosti dijagonala pravougaonika i jednakosti uglova na osnovici jedna-kokrakog trougla, kao teoreme čiji su sadržaji, s obzirom na naše iskustvo i odgovarajuće slike, sasvim očekivani. Da biste privukli pažnju učenika na sadržaj Pitagorine teoreme, treba pokaza-ti sliku 0.1 (Udžbenik) i naglasiti da ništa na toj slici ne ukazuje na odnos između kvadrata konstruisanih nad stranicama pravouglog trougla o kojem govori ta teorema. Od mnogobrojnih dokaza Pitagorine teoreme, kao najprikladniji za učenike osmog razreda učinio nam se eksperi-ment koji omogućava da se sa tri dijela kvadrata konstruisanih nad katetama pravouglog trougla prekrije kvadrat konstruisan nad hipotenuzom tog trougla. Za sprovođenje tog eksperimenta potrebni su makaze, ljepljiva traka i obično ljepilo za papir. Sam eksperiment učenici, uz pomoć nastavnika, mogu sprovesti dosta brzo i lako jer je na kraju Udžbenika data pregledna slika.

Stranice pravouglog trougla

Osnovni cilj koji želimo postići obradom Pitagorine teoreme jeste da učenici ovladaju aparatom •koji im omogućava da analitičkim sredstvima rješavaju ozbiljne geometrijske zadatke. Prvi korak ka ostvarenju tog cilja je usvajanje formula:

= +2 2 ,c a b z = −2 2a c b i = −2 2 .b c aPredlažemo da sa učenicima obradite kontrolna pitanja 1, 2 i 3. Dokaz Pitagorine teoreme na •osnovu slike 1.6 (Udžbenik) je veoma kratak i efektan.

Nastavnik: Na slici 1.6 prikazana su dva kvadrata čije stranice imaju jednake dužine a + b. Jasno da ti kvadrati imaju i jednake površine. Zeleno obojeni trouglovi su pravougli podudarni trouglovi čije katete imaju dužine a i b. Dužina hipotenuze tih trouglova označena je sa c. Šta se dobija kada iz prvog kvadrata odstranimo četiri zeleno obojena trougla?

Učenici: Dobijaju se dva kvadrata čije su površine jednake, redom, 2a i 2 .bNastavnik: Šta se dobija kada iz drugog kvadrata odstranimo četiri zeleno obojena trougla?Učenici: Dobija se kvadrat čije je površina jednake 2.c Nastavnik: Uočite da je površina figure dobijena odstranjivanjem trouglova iz prvog kvadrata

jednaka površini figure dobijene odstranjivanjem trouglova iz drugog kvadrata. Kako možemo zapisati jednakost površina tih figura?

Učenici: + =2 2 2.a b cPređimo na• kontrolno pitanje 2.

Slika 5.1

53

Slika 5.2

Nastavnik: Kvadrat, prikazan na slici 5.1, sastavljen je od četiri podudarna pravougla trougla i zatamnjenog kvadrata. Katete pravouglih trouglova imaju dužine a i b. Hipotenuze tih trouglova se poklapaju sa stranicama kvadrata i njihova dužina je označena sa c. Dužina stranice zatamnjenog kvadrata jednaka je a-b. Sliku 5.2 treba shvatiti kao ilustraciju tvrđenja prema kojem je površina figure na desnoj strani znaka jednakosti jednaka zbiru površina figura na lijevoj strani znaka jed-nakosti. Umjesto slika zapišimo izraze kojima se izražavaju površine tih figura:

= + + −2 2( ) .c ab ab a bSredite izraz na desnoj strani znaka jednakosti.Nastavnik pomaže učenicima pri izvođenju formule koja dokazuje Pitagorinu teoremu:

= + −2 22 ( ) ,c ab a b

= + − +2 2 22 ( 2 ),c ab a ab b

=2 2c ab + −2 2a ab + 2 ,b= +2 2 2.c a b

Zadatak dat u kontrolnom pitanju 3 učenici treba da rade kod kuće. Rješenje tog zadatka dato je •na slici 5.3.

Slika 5.3

Napravimo jednu kratku analizu zadataka iz Zbirke čije rješenje podrazumijeva primjenu formula:•= +2 2 ,c a b z = −2 2a c b i = −2 2 .b c a

Zadaci 1.1-1.3 rješavaju se direktnom primjenom navedenih formula. U tim zadacima jasno su naglašene zadate veličine što znatno olakšava njihovo rješavanje. Naredni zadaci su zahtjevniji u tom smislu što pored Pitagorine teoreme treba primijeniti i neka druga ranije stečena geometrijska i opšta znanja. Tako se, na primjer, zadatak 1.4 rješava primjenom Pitagorine teoreme i tvrđenja prema kojem je poluprečnik kružnice opisane oko pravouglog trougla jednak polovini hipotenuze.

54

Zadaci 1.5 i 1.6 ukazuju na praktičnu primjenu Pitagorine teoreme. U zadatku 1.9 učenici na osno-vu slike treba da izaberu odgovarajuću formulu koja im omogućava izračunavanje nepoznate veli-čine. U zadacima 1.9 i 1.10 Pitagorina teorema se primjenjuje dva puta. Osnovna karakteristika zadataka 1.11-1.18 je u tome što učenici na osnovu zadatih uslova treba da formiraju jednačine čijim se rješavanjem dobijaju tražene veličine. Zadatke slične zadacima 1.19-1.23 nijesmo srijetali u postojećim zbirkama. Riječ je o nešto težim zadacima koje učenik osmog razreda može riješiti jedino kombinujući moguće vrijednosti nepoznatih veličina. Zato je u tim zadacima istaknuto da su dužine stranica prirodni brojevi. Navedimo jedan primjer.

Primjer. Mjerni brojevi dužina stranica pravouglog trougla su prirodni brojevi. Izračunaj obim tog trougla, ako su zadati njegova površina i dužina hipotenuzine visine:

P cm= 30 2 i h cmc = 48

13.

Rješenje: Kako je = = ,2 2

cchabP na osnovu uslova P = 30 cm2 dobijamo :

= 60ab i = 60.cch

Ako u drugu jednakost uvrstimo vrijednost = =8 60

413 13ch nalazimo da je = 13.c Uzmemo li

u obzir da je + = = =2 2 2 213 169,a b c zaključujemo da za dužine katete traženog pravouglog trou-gla važi:

= 60ab i + =2 2 169.a bBroj 60 se na tačno šest načina može predstaviti kao proizvod dva prirodna broja:

= ⋅60 1 60, = ⋅60 2 30, = ⋅60 3 20, = ⋅60 4 15, = ⋅60 5 12, = ⋅60 6 10.Jedino duži dužine a = 12 cm i b = 5 cm zadovoljavaju uslov + =2 2 169.a b Dakle, riječ je o

pravouglom trouglu čije katete i hipotenuza imaju dužine a = 12 cm, b = 5 cm i c = 13 cm. Obim tog trougla je O a b c cm= + + = 30 .

Zadacima 1.24 i 1.25 ukazuje se na mogućnosti primjene Pitagorine teoreme na nepravougle trouglove.

Obrnuta teorema

Da bi učenici shvatili smisao obrnute teoreme, u uvodnom dijelu časa, pored Pitagorine teo-reme čija je obrnuta teorema tačna, treba formulisati još jednu teoremu čija obrnuta teorema nije tačna. Na primjer:

a) Težišne linije pravouglog trougla sijeku se u jednoj tački. b) Ako su i a b dužine kateta i c dužina hipotenuze pravouglog trougla tada je

= +2 2 2.c a bU vezi sa ovim teoremama mogu se postaviti pitanja:

1)a Postoji li nepravougli trougao čije se težišne linije sijeku u jednoj tački?

1)b Postoji li nepravougli trougao kojemu su dužine stranica realni brojevi a, b, i c sa svoj-stvom = +2 2 2 ?c a b

Odgovor na prvo pitanje je potvrdan. Postoji nepravougli trougao čije se težišne linije sijeku u jednoj tački. Preciznije, težišne linije svakog trougla sijeku se u jednoj tački. Takav odgovor na prvo pitanje podstiče učenike da obrate pažnju na drugo pitanje. Sada nastavnik može preći na dokaz obrnute teoreme.

Obrnutoj teoremi su u Zbirci posvećeni zadaci 1.26-1.29.

55

Hipotenuzini odsječci

Kako motivisati priču o hipotenuzinim odsječcima?Jedan od načina je da postavimo pitanje uslova koji garantuju podudarnost dva pravougla

trougla. S tim u vezi, u uvodnom dijelu časa, učenike treba podsjetiti na pravila podudarnosti pra-vouglih trouglova koja smo nazvali pravilo hipotenuza-kateta, pravilo hipotenuza-oštar ugao, pra-vilo kateta-oštar ugao i pravilo kateta-kateta. Nastavnik naglašava da će biti razmotreno još jedno pravilo podudarnosti pravouglih trouglova u kojem se ne pominju njihove katete i oštri uglovi. Poslije definicije hipotenuzinih odsječaka, nastavnik skreće pažnju učenika na sliku 1.15 (Udžbenik). Ta slika omogućava da se na pregledan i učeniku jasan način dođe do formule = .ch pq Sada je, primjenom Pitagorine teorema na pravougle trouglove prikazane na slici 1.18, lako dokazati da je =a cp i = .b cq

Obavezno treba zapisati formule kojima se dužine stranica pravouglog trougla izražavaju kao funkcije dužina hipotenuzinih odsječaka:

= + ,c p q = +( ),a p p q = +( ).b q p qOve formule pokazuju da dva pravougla trougla koji imaju jednake hipotenuzine odsječke,

imaju jednake i stranice. Drugim riječima takvi pravougli trouglovi su podudarni. Na času treba obraditi primjere iz Udžbenika. Za domaći rad treba dati zadatke 1.30-1.32 iz

Zbirke.

Konstruktivni zadaci

Priču o konstrukcijama duži dužine • 2, 3, =4 2, 5, 6,... treba motivisati problemom kon-strukcije tačaka na brojnoj pravoj koje se dodjeljuju iracionalnim brojevima ± 3, ± 5, ± 7... To je ujedno i prilika da se obnove stečena znanja o skupu realnih brojeva.

Nastavnik: Koji skupovi brojeva čine skup realnih brojeva?Učenici: Skup realnih brojeva čine skup racionalnih i skup iracionalnih brojeva.Nastavnik: Nacrtajte jednu brojnu pravu i njenu jediničnu duž označite sa = .e OE Neka je ne

duž dobijena podjelom jedinične duži e na n jednakih dijelova. Kako se na brojnoj pravoj konstru-

išu tačke dodijeljene racionalnim brojevima mn

i − ?mn

Učenici: Pozitivnom racionalnom broju mn

dodjeljujemo tačku A dobijenu pomjeranjem od

tačke O u pozitivnom smjeru za m duži .ne Negativnom racionalnom broju −mn

dodjeljujemo

tačku B dobijenu pomjeranjem od tačke O u negativnom smjeru za m duži .neNastavnik: Dakle, pravilo kojim racionalnim brojevima dodjeljujemo tačke na brojnoj pravoj

precizira i postupak konstrukcije tih tačaka. Koje tačke na brojnoj pravoj dodjeljujemo iracionalnim brojevima −3 i 5.

Učenici: Pozitivnom realnom broju 3 dodjeljujemo onu tačku A pozitivnog dijela brojne prave za koju je dužina duži OA jednaka 3 .

Negativnom realnom broju − 5 dodjeljujemo tačku B negativnog dijela brojne prave za koju je dužina duži OB jednaka 5.

Nastavnik: Sada ćemo pokazati kako se na brojnoj pravoj konstruišu tačke dodijeljene iracio-nalnim brojevima ± 3, ± 5, ± 7...

Na času treba obraditi zadatke 1.33 • a)-1.38 a). Za domaći rad mogu se dati zadaci 1.33 b)-1.38 b).

56

Primjena Pitagorine teoreme na pravougaonik i kvadrat

Pravougaonik

Nastavni listić:

Slika 5.5 Slika 5.6

Pitagorina teorema omogućava da se izračuna dužina jedne stranice pravouglog trougla, ako su •zadate dužine njegove druge dvije stranice. Na slici 5.5 prikazan je pravougli trougao čije katete i hipotenuza imaju, redom, dužine p, q i r. Napiši formule za izračunavanje dužina stranica tog trougla:

= +2 2 ,r = −2 2 ,p = −2 2 .qNa slici 5.6 prikazan je pravougaonik čije stranice imaju dužine • i .a b Dužina njegove dijagona-le označena je sa .d Dijagonala BD dijeli pravougaonik na dva pravougla trougla ABD i BCD. Katete tih trouglova poklapaju se sa stranicama, a njihova hipotenuza sa dijagonalom pravouga-onika. Primjenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao ABD (ili na pravougli trougao BCD) dobijamo formule:

= +2 2 ,d = −2 2 ,a = −2 2 ,b .Ove formule omogućavaju da se izračuna dužina dijagonale pravougaonika, kada su zadate

dužine njegovih stranica, odnosno dužina jedne stranice pravougaonika, kada su zadate dužine njegove druge stranice i dijagonale.

Zaključak:• Neka su i a b dužine stranica pravougaonika i d dužina njegove dijagonale. Ako su poznate

dvije od tri veličine , i ,a b d onda se treća veličina može izračunati primjenom jedne od formula:

= +2 2 ,d a b = −2 2 ,a d b = −2 2 .b d a Primjer 1. Zemljoradnik je na pravougaonoj parceli dužine 35 m i širine 12 m iskopao kanal

za navodnjavanje, koji je na slici 5.7 prikazan kao duž AC. Kolika je dužina kanala?

Slika 5.7

Rješenje: Treba izračunati dužinu dijagonale pravougaonika čije stranice imaju dužine a = 35 m i b = 12 m. Primjenom formule = +2 2d a b dobijamo:

= +2 2 ,d

= + ,d

= ,d

d m= .Odgovor: Dužina kanala za navodnjavanje iznosi …………m.

57

Primjer 2. Učionica ima oblik pravougaonika čija jedna stra-nica i dijagonala imaju dužine a = 8 m i d = 10 m (slika 5.8). Koliko novca treba potrošiti za postavljanje parketa, ako je za jedan kva-dratni metar potrebno platiti 20 eura.

Rješenje: Svota koju treba platiti za postavljanje parketa jedna-ka je proizvodu mjernog broja površine učionice i broja 20 (za jedan kvadratni metar treba platiti 20 eura).

Da bismo mogli primijeniti formulu za izračunavanje površine pravougaonika =P ab treba izračunati dužinu b . Primjenom Pita-gorine teoreme na pravougli trougao ABC, nalazimo da je = −2 2 .b d a Kako je a = 8 m i d = 10 m imamo da je:

= −2 2 ,b

= − ,b

= ,b

= .b mSada možemo izračunati površinu pravougaonika:= = ⋅ = 28 .P ab m

Odgovor: Za postavljanje parketa u učionici treba platiti ⋅ = 20 ......... eura.

Analiza zadataka iz zbirke:•Zadaci 2.1 i 2.2 rješavaju se direktnom primjenom formula = +2 2 ,d a b = −2 2a d b i

= −2 2 .b d a U zadatku 2.3 treba izračunati površinu i obim pravougaonika, ako su zadate dužine jedne njegove stranice i dijagonale. U zadatku 2.4 figuriše pet veličina, dužine stranica i dijagonale pravougaonika a, b i d, P- površina i O- obim pravougaonika. Zadate su dvije od tih pet veličina. Treba izračunati preostale tri veličine. Zadatak 2.5 se nalazi na nastavnom listiću. Traženo rastojanje u zadatku 2.6 jednako je dužini normale h spuštene iz tjemena B na dijagonalu AC. Iz pravouglog trougla ABC dobijamo:

d a b cm= + = + = =2 2 2 220 15 625 25 ,

Pab

cmABC

= = ⋅ =2

20 152

150 2,

= =

25.

2 2ABCdh h

P

Slijedi da je =25

150,2h

odnosno h = 12 cm.

U zadacima 2.7 -2.15 učenici treba da na osnovu zadatih uslova formiraju jednačine čijim se rješavanjem dobijaju tražene veličine.

Kvadrat

Izvođenju formule • = 2d a kojom se utvrđuje odnos između dužina stranice i dijagonale kva-drata prethode geometrijska razmatranja na osnovu kojih se izvodi zaključak o direktnoj pro-porcionalnosti tih dužina. To smo uradili iz dva razloga. Prvi razlog je što kod učenika izaziva pozitivan efekat kada se geometrijski odnosi potvrđuju analitičkim putem. Drugi i važniji razlog je što na taj način pripremamo učenike da na što lakši način usvoje direktnu proporcionalnost obima i poluprečnika kružnice.

Slika 5.8

58

Analiza zadataka iz Zbirke:•

Zadaci 2.16 i 2.17 rješavaju se direktnom primjenom formula = 2d a i =2

.2

da

U zadatku

2.18 figurišu četiri veličine, dužine stranice i dijagonale kvadrata a i d, P- površina i O- obim kvadra-ta. Zadate su dvije od te četiri veličina. Treba izračunati preostale dvije veličine. U zadatku 2.19 Pitagorina teorema se primjenjuje dva puta, jednom na pravougaonik, a drugi put na kvadrat. U zadatku 2.20 razmatra se međusobna zavisnost obima kvadrata i dužine njegove dijagonale. Smisao vrlo jednostavnih zadataka 2.21-2.23 je u tome što učenik mora uložiti napor da bi shvatio formu-laciju zadatka tj. da bi utvrdio koje su veličine zadate, a koje veličine treba odrediti. Rješavanje za-dataka 2.24-2.27 podrazumijeva dodatnu konstrukciju. U primjeru 2.4 (Udžbenik) je riješen jedan takav zadatak. Komentar koji ide iza primjera 2.4 je u stvari uputstvo za rješavanje ostalih zadataka iz grupe 2.24-2.27.

Primjena Pitagorine teoreme na jednakokraki i jednakostranični trougao

Jednakokraki trougao

Kao uvod u razmatranja o primjeni Pitagorine teoreme na jednakokraki trougao nastavnik for-•muliše tri zadatka:

1. Dužina jednog kraka merdevina je 8 m. One su postavljene tako da je njihov raspon na zemlji jednak 4 m. Koju visinu dostižu merdevine (slika 5.9)?

2. Dužina jednog kraka merdevina je 318

m. Koliki treba da bude raspon merdevina na

zemlji da bi one dostigle visinu 3 m (slika 5.10)? 3. Merdevine čiji je raspon na zemlji jednak 6 m dostižu visinu 4 m. Kolika je dužina krako-va tih merdevina (slika 5.11)?

Slika 5.9 Slika 5.10 Slika 5.11

Nastavnik : Najprije uočimo da su krajnje tačke A, B i C krakova merdevina tjemena jednako-krakog trougla. U zadatku 1 date su dužine kraka i osnovice jednakokrakog trougla. Treba izraču-nati dužinu visine koja odgovara osnovici. Što je dato, a što treba izračunati u zadacima 2 i 3?

Učenici: U zadatku 2 date su dužine kraka i visine koja odgovara osnovici. Treba izračunati dužinu osnovice tog trougla.

U zadatku 3 date su dužine osnovice i visine koja odgovara osnovici. Treba izračunati dužinu kraka tog trougla.

59

Nastavnik : Nacrtajmo jedan jednakokraki trougao i sa a označimo dužinu osnovice, a sa b dužinu kraka tog trougla. Dužinu visine AH označena je sa .h Kakav je odnos visine i težišne linije povučene iz vrha jednakokrakog trougla (slika 5.12)?

Slika 5.12 Slika 5.13

Učenici: Visina i težišna linija povučene iz vrha jednakokrakog trougla poklapaju se.

Nastavnik : To znači da je = = .2a

BH HC Prema tome, visina povučena iz vrha jednakokrakog

trougla dijeli taj trougao na dva podudarna pravougla trougla. Radi preglednosti izdvojićemo jedan od tih trouglova, recimo trougao BHA (slika 5.13). Primijenite Pitagorinu teoremu na taj trougao i zapišite formule za izračunavanje dužina njegovih stranica.

Nastavnik pomaže učenicima da izvedu formule:•

= +

22 ,

2a

b h = −

22 ,

2a

h b = −2 2 .2a

b h

i na tabli zapisuje zaključak: Neka su i a b dužine osnovice i kraka jednakokrakog trougla i h dužina visine koja odgova-

ra osnovici. Ako su poznate dvije od tri veličine , i ,a b h onda se treća veličina može izračunati primjenom jedne od formula

= +

22 ,

2a

b h = −

22 ,

2a

h b = −2 2 .2a

b h

Sada su učenici u stanju da riješe zadatke 1, 2 i 3. To treba uraditi na času. Analiza zadataka iz Zbirke:•

Zadaci 3.1-3.3 se rješavaju neposrednom primjenom formula:

= +

22 ,

2a

b h = −

22 ,

2a

h b = −2 2 .2a

b h

U zadacima 3.4-3.8 i 3.16 se pored tih formula koriste i ranije stečena znanja o površini i obi-mu trougla. U tim zadacima date su dvije od šest veličina: a- dužina visine, b- dužina kraka, ah - dužina visine koja pripada osnovici, bh - dužina visine koja pripada kraku, O- obim i P- površina jednakokrakog trougla, a treba izračunati neke od preostalih veličina.

U zadacima 3.9 -3.12, na osnovu zadatih uslova, treba formirati jednačine čijim se rješavanjem dobijaju tražene veličine.

60

U zadatku 3.13 razmatraju se trouglovi koji nijesu jednakokraki. Treba izračunati dužinu treće stranice, kada su zadate dužine druge dvije stranice i veličina ugla koji obrazuju zadate stranice. Veličina ugla je odabrana tako da zadatak mogu riješiti učenici osmog razreda.

Zadatak 3.14 posvećen je jednakokrakim trouglovima čije se težišne linije povučene iz krajnjih tačaka osnovice sijeku pod pravim uglom, što omogućava primjenu Pitagorine teoreme.

Rješavanje zadatka 3.15 podrazumijeva primjenu Pitagorine teoreme na kvadrat i jednakokra-ki trougao.

Jednakostranični trougao

I ovdje, kao u slučaju kvadrata, i iz istih razloga, izvođenju formule • =3

2a

h kojom se utvrđuje

odnos između dužina stranice i visine jednakostraničnog trougla, prethode geometrijska razma-tranja na osnovu kojih se izvodi zaključak o direktnoj proporcionalnosti tih dužina. Svaki učenik treba da usvoji i primjenjuje formule koje omogućavaju da se na osnovu zadate •dužine stranice jednakostraničnog trougla izračunaju njegova površina, poluprečnik opisane i poluprečnik upisane kružnice:

=

2 3,

4a

P =3

3a

R i =3

.6

ar

Zadaci 3.17-3.23 se rješavaju neposrednom ili posrednom primjenom navedenih formula. • Kada kažemo posrednom primjenom, imamo u vidu da primjeni tih formula prethode razmatranja koja podrazumijevaju primjenu ranije stečenih znanja o svojstvima jednakostraničnih trouglova i kvadrata.

Rješavanje zadataka 3.24-2.26 podrazumijeva dodatnu konstrukciju. U primjerima 3.6 i 3.7 (Udžbenik) riješena su dva takva zadatka.

Primjena Pitagorine teoreme na romb

Nastavni listića• ) Paralelogram čije su sve stranice jednake zove se romb (slika 5.14). b) Dijagonale romba se polove (dijagonale svakog paralelograma se polove). c) Dijagonale romba su međusobno normalne. d) Prave određene dijagonalama romba su simetrale uglova čija tjemena spajaju. e) Površina romba je jednaka polovini proizvoda dužina dijagonala:

= 1 2 .

2d d

P

Slika 5.14 Slika 5.15

61

Na slici 5.15 istaknute su dužine stranica pravouglog trougla• ABS. Na pravougli trougao ABS primijeni Pitagorinu teoremu i izvedi formule:

= +

2 2

,2 2

a = −

221 ,

2 2d

a = −

222 .

2 2d

a

Zaključak:•Neka je a dužina stranice romba, a 1d i 2d dužine njegovih dijagonala. Ako su poznate dvije

od tri veličine 1 2, i ,a d d onda se treća veličina može izračunati primjenom jedne od formula

= +

2 21 2 ,

2 2d d

a = −

221 2 ,

2 2d d

a = −

222 1 ,

2 2d d

a .

Analiza zadataka iz Zbirke.•U zadacima 4.1-4.3 zadate su dvije od tri veličine a, d1 i d2. Treba izračunati treću veličinu.U zadatku 4.4 zadate su dvije od pet veličina a, d1, d2, P- površina i O- obim romba. Treba

izračunati tri preostale veličine.Zadatak 4.5 se rješava primjenom Pitagorine teoreme i svojstava pravouglog trougla čiji je

jedan oštri ugao jednak 30 .U zadacima 4.7 i 4.8 najprije treba dokazati da je posmatrani četvorougao romb, a zatim pri-

mjenom Pitagorine teoreme izračunati nepoznate veličine.U zadacima 4.9 -4.20 na osnovu zadatih uslova treba formirati jednačine čijim se rješavanjem

dobijaju tražene veličine.

Primjena Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez

Učenici su dovoljno uvježbani da uz pomoć nastavnog listića samostalno izvedu formule koje se dobijaju primjenom Pitagorine teoreme na pravougli i jednakokraki trapez.

Pravougli trapez

Nastavni listić 1

Slika 5.16 Slika 5.17

Visina spuštena iz tjemena tupog ugla pravouglog trapeza dijeli taj trapez na pravougaonik i •pravougli trougao (slika 5.16). Dužine osnovica pravouglog trapeza prikazanog na slici 5.16 označene su sa a i b, a dužine njegovih kraka sa h i c. Krak čija je dužina označena sa h ujedno je i visina trapeza. Na slici 5.17 istaknute su dužine stranica pravouglog trougla HBC. Na pravougli trougao HBC primijeni Pitagorinu teoremu i izvedi formule:

a – b a – b

62

= +

22 ( ) ,c = +22 ( ) ,h – − = −2 2 .a b

Zaključak:•Neka su a i b dužine osnovica pravouglog trapeza, a h i c dužine njegovih krakova. Ako su

poznate dvije od tri veličine c, h i a-b, onda se treća veličina može izračunati primjenom jedne od formula

= + −2 2( ) ,c h a b = − −2 2( ) ,h c a b − = −2 2 .a b c h

Jednakokraki trapez

Nastavni listić 2

Slika 5.18 Slika 5.19

Uočite jednakokraki trapez prikazan na slici 5.18. Dužine osnovica i kraka tog trapeza označene •su sa a, b i c. Dužina visine CH označena je sa h. Duž CM je povučena tako da je .CM AD Du-žine duži CM i AM jednake su, redom, c i b, jer su (AM,CD) i (AD, CM) parovi paralelnih odsje-čaka između paralelnih pravih. Na taj način formiran je jednakokraki trougao MBC, čija osno-

vica MB ima dužinu a-b. Imajući u vidu da visina povučena iz vrha jednakokrakog trougla po-

lovi osnovicu, zaključujemo da je dužina duži HB jednaka −

.2

a b Pravougli trougao HBC prika-

zan je na slici 5.19. Na pravougli trougao HBC primijenite Pitagorinu teoremu i izvedite formu-le:

= +

22

,2

c = −

22

,2

h−

= −2 2 .2

a b

Zaključak:•Neka su a i b dužine osnovica, c dužina kraka i h dužina visine jednakokrakog trapeza. Ako

su poznate dvije od tri veličine c, h i a – b, onda se treća veličina može izračunati primjenom jedne od formula

− = +

22 ,

2a b

c h− = −

22 ,

2a b

h c −

= −2 2 .2

a bc h

a – b

a – b

a – b

63

Analiza zadataka iz Zbirke:•U zadacima se razmatraju veličine a – dužina veće osnovice, b – dužina manje osnovice, c –

dužina kraka, h – dužina visine, O – obim i P – površina pravouglog (jednakokrakog) trapeza. Za-daci se rješavaju ili direktnom primjenom jedne od navedenih formula, ili primjeni tih formula prethodi rješavanje jednačina koje se formiraju na osnovu uslova zadatka i na osnovu svojstava pravouglog (jednakokrakog) trapeza.

64

6. MNoGoUGao

NastavNi ciljevi

Mnogougao

Učenik/ca:usvaja pojmove susjedne duži, nadovezane duži i izlomljene linije;•usvaja pojmove otvorene i zatvorene izlomljene linije;•prepoznaje izlomljene linije sa tačkama samopresijecanja i zatvorene linije bez tačaka samopre-•sijecanja;usvaja pojam mnogougaone linije i mnogougla;•usvaja pojmove konveksnog i nekonveksnog skupa;•prepoznaje konveksne i nekonveksne mnogouglove;•zna imenovati stranice i tjemena mnogougla;•zna imenovati parove susjednih i parove nesusjednih stranica mnogougla;•zna imenovati parove susjednih i parove nesusjednih tjemena mnogougla;•zna imenovati mnogouglove prema broju stranica; •zna koji mnogougao nazivamo • n-touglom;zna da svako tjeme • n-tougla ima dva susjedna i n-3 nesusjednih tjemena;zna da svaka stranica • n-tougla ima dvije susjedne i n-3 nesusjednih stranica.

Dijagonale mnogougla

Učenik/ca:usvaja pojam dijagonale mnogougla;•usvaja da se iz jednog tjemena • n-tougla može povući n-3 dijagonala;

usvaja formulu za izračunavanje broja dijagonala • n-tougla −

=( 3)

2nn n

D i uspješno je primje-

njuje pri rješavanju jednostavnih zadataka.

Uglovi mnogougla

Učenik/ca:usvaja pojam unutrašnjeg ugla mnogougla;•usvaja formulu za izračunavanje zbira unutrašnjih uglova • n-tougla = − ⋅ ( 2) 180nS n i uspješno je primjenjuje pri rješavanju jednostavnih zadataka;usvaja pojam spoljašnjeg ugla mnogougla;•usvaja da je zbir spoljašnjih uglova • n-tougla jednak 360 .

Pravilni mnogouglovi

Učenik/ca:usvaja pojam pravilnog mnogougla;•

65

usvaja formule za izračunavanje veličina spoljašnjeg i unutrašnjeg ugla pravilnog mnogougla •

α α1360

180360= = −

n n i

i uspješno ih primjenjuje pri rješavanju jednostavnih zadataka.

Obim mnogougla

Učenik/ca:usvaja pojam obima mnogougla;•uspješno rješava jednostavne zadatke u vezi sa obimom mnogougla.•

Površina mnogougla

Učenik/ca:uspješno rješava jednostavne zadatke u vezi sa površinom mnogougla;•uspješno izračunava površine pravilnih mnogouglova koristeći geometrijska svojstva takvih mno-•gouglova.

DiDaktička uputstva

Mnogougao

Sa pojmovima izlomljene linije, mnogougaone linije i mnogougla učenici su se prvi put sreli u •šestom razredu obrađujući temu Skupovi tačaka. Pojam mnogougla se srijeće i u sedmom razre-du gdje se trougao i četvorougao definišu kao mnogouglovi koji imaju tri, odnosno četiri strani-ce. U osmom razredu stečena znanja o mnogouglovima treba sistematizovati i proširiti. Koristeći ranije pripremljene slike nastavnik definiše susjedne i nadovezane duži, a zatim na •tabli zapisuje definiciju izlomljene linije:

Skup S u ravni α čiji su elementi duži zove se izlomljena linija, ako su zadovoljeni sljedeći uslovi:

a) bilo koja od dvije krajnje tačke bilo koje duži iz skupa S je krajnja tačka ili samo te duži, ili samo još jedne duži iz tog skupa,

b) svake dvije susjedne duži iz skupa S su nadovezane, c) svake dvije nesusjedne duži iz skupa S se mogu povezati nizom duži iz tog skupa.

Definiciju treba da prate i odgovarajuće slike. Poslije definicije treba pristupiti analizi linija prikazanih na slikama 6.1-6.5.

Slika 6.1 Slika 6.2 Slika 6.3

66

Pitanja i odgovori do kojih nastavnik usmje-ravajući razgovor treba da dođe, mogu izgledati ovako:

Nastavnik: Zašto skup S prikazan na slici 6.1 nije izlomljena linija?

Učenici: Zato što svi elementi skupa S nijesu duži.

Nastavnik: Zašto skup S prikazan na slici 6.2 nije izlomljena linija?

Učenici: Zato što nije ispunjen uslov a). Nai-me, tačka A je krajnja tačka tri duži iz skupa S.

Nastavnik: Zašto skup S prikazan na slici 6.3 nije izlomljena linija?

Učenici: Zato što nije ispunjen uslov b). Duži AB i BC su susjedne, a nijesu nadovezane. Nastavnik: Zašto skup S prikazan na slici 6.4 nije izlomljena linija?Učenici: Zato što nije ispunjen uslov c). Na primjer, duži AB i EF su nesusjedne i ne mogu se

povezati nizom duži iz skupa S.Nastavnik: Da li je skup S prikazan na slici 6.5 izlomljena linija?Učenici: U ovom slučaju su ispunjeni uslovi a), b) i c), tako da skup S jeste izlomljena linija. Na sličan način možete postupiti pri obradi pojmova:– izlomljena linija bez tačaka samopresijecanja,– izlomljena linija koja ima tačaka samopresijecanja,– zatvorene i otvorene izlomljene linije,– mnogougaone linije i– mnogougao.

Pored definicija navedenih pojmova učenici treba da razlikuju konveksne mnogouglove od ne-•konveksnih, susjedne stranice od nesusjednih, susjedna tjemena od nesusjednih i da imenuju mnogouglove prema broju stranica. Sliku nemojte koristiti za prosto prebrojavanje elemenata nacrtanog mnogougla, već kao pripre-•mu za izvođenje nekog opšteg zaključka. Naziv mnogougao koristite kada u razmatranjima nema značaja koliko stranica ima mnogougao. Kada želite obraditi svojstva mnogougla koja zavise od broja stranica treba koristiti naziv n-tougao. Na primjer:

Svako tjeme mnogougla ima dva susjedna tjemena. Svaka stranica mnogougla ima dvije susjedne stranice. Koliko nesusjednih tjemena (nesusjednih stranica) ima svako tjeme (svaka stranica) n-to-

gougla? Prije opšteg zaključka treba razmotriti jedan konkretan primjer. Broj nesusjednih tjemena zadatog tjemena petougla jednak je razlici broja 5 (broja tjemena petougla) i broja 3 (gdje su uračunati zadato tjeme petougla i dva njemu susjedna tjemena): 5-3 = 2.

Broj nesusjednih tjemena zadatog tjemena n-tougla jednak je razlici broja n (broja tjemena n-tougla) i broja 3 (gdje su uračunati zadato tjeme n-tougla i dva njemu susjedna tjemena).

Zaključak:•Svako tjeme n-tougla ima n-3 nesusjednih tjemena.Na isti način treba izvesti zaključak:Svaka stranica n-tougla ima n-3 nesusjednih stranica.

U zadacima 1.1-1.11 razmatraju se definicija izlomljene linije, mnogougaone linije i mnogougla, •a u zadacima 1.12-1.17 susjedne i nesusjedne stranice (susjedna i nesusjedna tjemena) mnogo-ugla.

Slika 6.5Slika 6.4

67

Dijagonale mnogougla

Osnovni ciljevi koje želimo postići obrađujući ovu nastavnu jedinicu su usvajanje pojma dija-gonale mnogougla i usvajanje formule za izračunavanje broja dijagonala n-tougla. Dakle, riječ je o nastavnoj jedinici u kojoj nema mnogo pojmova niti mnogo formula. Zato nam se čini da se ova nastavna jedinica sasvim uspješno može obraditi pomoću nastavnih listića. Nastavni listić koji omo-gućava postizanje postavljenih ciljeva može izgledati ovako:

Nastavni listićDuž koja spaja dva nesusjedna tjemena mnogougla nazivamo dijagonalom mnogougla (duž

AD na slici 6.6 je dijagonala petougla ABCDE).

Slika 6.6 Slika 6.7

1. Na slici 6.7 prikazan je šestougao ABCDEF. Imenuj tjemena tog šestougla nesusjedna tjeme-nu A: ____________

2. Nacrtaj i imenuj dijagonale povučene iz tjemena A šestougla na slici 6.7: ____________3. Da li je broj dijagonala povučenih iz tjemena A jednak broju tjemena nesusjednih tjemenu A?____________4. Svako tjeme n-tougla ima _____________nesusjednih tjemena.5. Označi sa nd broj dijagonala koje se mogu povući iz jednog tjemena n-tougla. Kako je broj

nd jednak broju tjemena nesusjednih jednom (bilo kojem) tjemenu n-tougla, slijedi da je:

=..............................nd 6. Povuci sve dijagonale petougla ABCDE prikazanog na slici 6.6. Koliko dijagonala ima peto-

ugao? Imenuj te dijagonale:

........................................................................................7. Iz svakog tjemena petougla može se povući = −5 5 3d dijagonala. Imenuj te dijagonale.

Dijagonale povučene iz tjemena A: ............................. Dijagonale povučene iz tjemena B: ............................. Dijagonale povučene iz tjemena C: ............................. Dijagonale povučene iz tjemena D: ............................. Dijagonale povučene iz tjemena E: ............................. Zašto je broj dijagonala dobijenih u ovom zadatku ( = − =55 5(5 3) 10d ) dva puta veći od

broja dijagonala petougla ?8. Iz svakog tjemena n-tougla može se povući = − 3nd n dijagonala. Označimo sa nD ukupni

broj dijagonala n-tougla. Zašto je broj = −( 3)nnd n n dva puta veći od broja dijagonala n-tougla:

=2 ?n nD nd9. Izvedi formulu za izračunavanje broja dijagonala n-tougla: =2 / : 2n nD nd

= ,

2n

nnd

D

=nD ______

68

U zadacima 2.1-2.3 razmatra se definicija dijagonale.• Zadaci 2.4 i 2.5 su posvećeni izvođenju formule za broj dijagonala povučenih iz jednog tje-

mena n-tougla: = − 3.nd nZadaci 2.6-2.11 rješavaju se primjenom navedene formule.Zadaci 2.12-2.18 rješavaju se primjenom formule za izračunavanje ukupnog broja dijagonala:

−=

( 3).

2nn n

D

Uglavnom se razmatraju tri tipa zadataka: a) Dat je broj stranica (tjemena) mnogougla (n). Izračunati .nD b) Dat je prirodni broj k. Odredi mnogougao koji ima k dijagonala. c) Dat je prirodni broj k. Postoji li mnogougao koji ima k dijagonala?

Unutrašnji uglovi mnogougla

Učenici su u sedmom razredu usvojili pojam unutrašnjeg ugla trougla i četvorougla. Zato ne treba trošiti mnogo vremena za obradu pojma unutrašnjeg ugla mnogougla. Prije izvođenja formu-le za izračunavanje zbira unutrašnjih uglova n-tougla, treba riješiti nekoliko jednostavnih zadataka. Na primjer:

1. Nacrtaj petougao i označi njegove unutrašnje uglove.2. Koliko unutrašnjih uglova ima petougao, šestougao, sedmougao itd?3. Koliko unutrašnjih uglova ima n-tougao?Poslije izvođenja formule za izračunavanje zbira (veličina) uglova n-tougla, tabla može imati

ovakav izgled:

Slika 6.8 Slika 6.9

+ + = α β γ 180 . + + + = ⋅ = α β γ δ 2 180 360 .

Oznake:−nT broj trouglova dobijenih povlačenjem svih dijagonala iz jednog (bilo kojeg) tjemena n-

tougla,−nS zbir veličina untrašnjih uglova n-tougla.

Cilj:Utvrditi formule za izračunavanje veličina nT i .nS

Slika 6.10 Slika 6.11 Slika 6.12

69

= −5 ,5 2T = −6 ,6 2T = −7 .7 2T( )= − ⋅ =

5 2 180 540 ,5S ( )= − ⋅ =

6 2 180 720 ,6S ( )= − ⋅ =

7 2 180 900 .7S

= − 2.nT n

= − ⋅ ( 2) 180 .nS n

Navedimo i jedan od mogućih dijaloga koji bi pratio zapisivanja na tabli.• Nastavnik na tabli crta sliku 6.8.Nastavnik: Koliko iznosi zbir veličina unutrašnjih uglova trougla?Učenici: Zbir veličina unutrašnjih uglova trougla iznosi 180 . Nastavnik na tabli zapisuje formulu + + = α β γ 180 i crta sliku 6.9 bez dijagonale.Nastavnik: Koliko iznosi zbir veličina unutrašnjih uglova četvorougla?Učenici: Zbir veličina unutrašnjih uglova četvorougla iznosi 360 . Nastavnik povlači dijagonalu i odgovarajuće lukove na slici 6.9.Nastavnik: Podsjetiću vas da smo do zaključka da je zbir veličina unutrašnjih uglova četvoro-

ugla jednak 360 došli tako što smo četvorougao dijagonalom podijelili na dva trougla i uočili da je traženi zbir jednak zbiru unutrašnjih uglova tih trouglova.

Nastavnik na tabli zapisuje formulu + + + = ⋅ =

2 180 360 .A B C DNastavnik: Podjelom mnogougla na trouglove može se odrediti zbir unutrašnjih uglova svakog

mnogougla. Pogledajmo na koji način.Nastavnik na tabli crta slike 6.10, 6.11 i 6.12 i iznad njih zapisuje:Oznake:

−nT broj trouglova dobijenih povlačenjem svih dijagonala iz jednog (bilo kojeg) tjemena n-togougla,

−nS zbir veličina unutrašnjih uglova n-tougla.Cilj:Utvrditi formule za izračunavanje veličina nT i .nSNastavnik: Povlačenjem dijagonala iz jednog tjemena mnogougla dobija se podjela tog mno-

gougla na trouglove. Koliko trouglova se dobija takvom podjelom petougla (slika 6.10), šestougla (slika 6.11) i sedmougla (slika 6.12)?

Učenici: Takvom podjelom petougla (šestougla, sedmougla) dobijamo 3, (4, 5) trouglova.Nastavnik: Iz razloga koji će vam kasnije biti jasni, umjesto =5 3,T =6 4T i T7 = 5 zapisaćemo

(nastavnik ispod odgovarajućih slika zapisuje):= −5 ,5 2T = −6 ,6 2T = −7 .7 2T

Nastavnik: Da li na osnovu ovih jednakosti možete zaključiti čemu je jednak broj ?nT Da vas podsjetim, sa nT je označen broj trouglova dobijenih povlačenjem svih dijagonala iz jednog (bilo kojeg) tjemena n-togougla.

Učenici: = − 2.nT nNastavnik na tabli zapisuje: = − 2.nT nNastavnik: Sada je jasno zašto smo umjesto =5 3,T =6 4T i T7 = 5 pisali = −5 ,5 2T = −6 ,6 2T

= −7 .7 2T Uočite da se sabiranjem svih unutrašnjih uglova onih trouglova koji obrazuju podjelu bilo kojeg od mnogouglova prikazanih na slikama 6.10-6.12, dobija zbir unutrašnjih uglova tog mnogougla. Kako je petougao podijeljen na = −5 25T trouglova, slijedi da je (nastavnik na tabli zapisuje):

( )= − ⋅ =

5 2 180 540 .5SU svojim sveskama zapišite čemu su jednake veličine 6S i 7 .SKada većina učenika završi svoj rad, nastavnik na tabli zapisuje:

( )= − ⋅ =

6 2 180 720 ,6S ( )= − ⋅ =

7 2 180 900 .7S

70

Nastavnik: Možete li na osnovu posljednje tri formule reći čemu je jednak zbir unutrašnjih uglova n-tougla?

Učenici: = − ⋅ ( 2) 180 .nS nNastavnik na tabli zapisuje:

= − ⋅ ( 2) 180 .nS nAnaliza zadataka iz Zbirke:•

Zadaci 3.1-3.10 rješavaju se primjenom formule za izračunavanje zbira unutrašnjih uglova n-tou-gla:

= − ⋅ ( 2) 180 .nS nRazmatraju tri tipa zadataka: a) Dat je broj stranica (tjemena) mnogougla (n). Izračunati .nS b) Dat je ugao od .k Odredi mnogougao čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak .k c) Dat je ugao od .k Postoji li mnogougao čiji je zbir unutrašnjih uglova jednak .k ?U zadatku 3.10 data je jedna od tri veličine Sn, dn i Dn. Treba odrediti dvije preostale veličine.

Spoljašnji uglovi mnogougla

Pojam spoljašnjeg ugla mnogougla je složeniji od pojma unutrašnjeg ugla i zato mu treba posve-•titi veću pažnju nego što je to bio slučaj sa pojmom unutrašnjeg ugla. Učenike najprije treba podsjetiti na definiciju uporednih uglova i naglasiti da svaki ugao ima dva uporedna ugla koji se dobijaju produžavanjem jednog, odnosno drugog kraka kroz tjeme tog ugla (slike 6.13, 6.14 i 6.15).

Slika 6.13 Slika 6.14 Slika 6.15

Prije definicije spoljašnjeg ugla mnogougla, na tabli treba riješiti sljedeći zadatak:•Za svako tjeme petougla konstruisati po jedan uporedni ugao.Recimo da je rješavanjem ovog zadatka na tabli dobijena slika 6.16.

Slika 6.16

71

Nastavnik usmjerava pažnju učenika na sliku 6.15 i pod-sjeća da svaki ugao ima dva uporedna ugla. S tim u vezi po-stavlja zadatak da se za svaki ugao zadatog petougla konstru-iše još po jedan uporedni ugao. Poslije konstrukcije tih uglova, na tabli će se pojaviti slika 6. 17.

Koristeći sliku 6.16 kao model, nastavnik definiše spoljašnje uglove mnogougla. Dalja analiza pojma spoljašnjeg ugla mnogo-ugla može se realizovati kao što je opisano u Udžbeniku.

Na kraju treba dokazati da je zbir veličina spoljašnjih uglo-•va svakog mnogougla jednak 360 . U Udžbeniku je dat geometrijski dokaz ovog tvrđenja, iako je analitički dokaz mnogo jednostavniji. Zašto smo to uradili? Izučavanje mnogouglova (ovo se ne odnosi na pravilne mnogouglove) na ovom nivou nastave iz razumljivih razloga svodi se is-ključivo na izvođenje i primjenu formula za izračunavanje broja dijagonala i zbira unutrašnjih uglova. I pored znača-ja koji za matematičko obrazovanje učenika ima izučavanje geometrijskih objekata analitičkim sredstvima, smatrali smo da u sadržaju koji se odnosi na svojstva mnogouglova mora biti i jedan geometrijski dokaz. Ako se ipak odlučite na analitički dokaz, predložićemo vam jednu varijantu takvog dokaza:Zbir svih unutrašnjih i spoljašnjih uglova • n-tougla jednak je ⋅ 180n (slika 6.15).Zbir unutrašnjih uglova • n-tougla jednak je − ⋅ = ⋅ − ⋅ ( 2) 180 180 2 180 .n nAko od zbira unutrašnjih i spoljašnjih uglova • n-tougla oduzmemo zbir njegovih unutrašnjih uglova, dobiće se zbir spoljašnjih uglova tog mnogougla:

⋅ −180n ⋅ − ⋅ = ( 180 2 180 )n ⋅ 180n − ⋅ 180n + ⋅ =2 180 ⋅ = 2 180 360 .

Pravilni mnogouglovi

Nastavni sadržaj posvećen pravilnim mnogouglovima podijeljen je na dva dijela. Dio koji se •razmatra u ovom poglavlju odnosi se na definiciju pravilnog mnogougla i na izračunavanje ve-ličina njegovih unutrašnjih i spoljašnjih uglova. Međusobni odnos pravilnih mnogouglova i kruž-nica i konstrukcija pravilnih mnogouglova razmatraju se u poglavlju Kružnica i krug.U definiciji pravilnih mnogouglova figurišu dva uslova: jednakost stranica i jednakost unutrašnjih •uglova. Kako je pojam pravilnog mnogougla uopštenje pojma jednakostraničnog trougla i kvadra-ta, u uvodnim razmatranjima treba ukazati na svojstva koja karakterišu te figure. U tom smislu preporučujemo da prije definicije pravilnog mnogougla učenici odgovore na sljedeća pitanja:

1. Postoji li trougao koji ima jednake stranice i nejednake unutrašnje uglove? 2. Postoji li trougao koji ima jednake unutrašnje uglove i nejednake stranice? 3. Kako se zove trougao čije su stranice međusobno jednake i čiji su uglovi međusobno

jednaki? 4. Koji četvorougao ima jednake stranice i nejednake unutrašnje uglove? 5. Koji četvorougao ima jednake unutrašnje uglove i nejednake stranice? 6. Kako se zove četvorougao čije su stranice međusobno jednake i čiji su uglovi međusobno

jednaki? U vezi sa prva dva pitanja učenike treba podsjetiti na dva tvrđenja u kojima se govori o od-nosu stranica i unutrašnjih uglova:

Unutrašnji uglovi trougla naspramni jednakim stranicama, jednaki su.•Stranice trougla naspramne jednakim unutrašnjim uglovima, jednake su.•

Slika 6.17

72

Dakle, jednakost stranica trougla obezbjeđuje jednakost njegovih unutrašnjih uglova i obr-nuto, jednakost unutrašnjih uglova trougla obezbjeđuje jednakost njegovih stranica. Drugim riječima, odgovori na pitanja 1 i 2 su negativni.

Kao odgovore na četvrto i peto pitanja učenici navode romb i pravougaonik.Nastavnik definiše pravilne mnogouglove i izvodi formule za izračunavanje veličina spoljašnjih •i unutrašnjih uglova pravilnog mnogougla.Zadaci u Zbirci posvećeni pravilnom mnogouglu podijeljeni su u dvije grupe. U prvu grupu •

spadaju zadaci koji se rješavaju primjenom formula za izračunavanje veličina spoljašnjih i unu-

trašnjih uglova pravilnog n-tougla = = −

α α1360 360

i 180n n

i drugih svojstava proizvoljnog

n-tougla (uglavnom zbir unutrašnjih uglova i ukupni broj dijagonala). Drugu grupu čine geometrijski zadaci (4.18-4.24 i 4.27-4.31). Prije izrade geometrijskih zadataka, učenici treba da usvoje osnovna geometrijska svojstva pravilnih mnogouglova.

Bez dokaza treba navesti tvrđenja:

Pravilni mnogouglovi su osnosimetrične figure. Ose simetrije pravilnog mnogougla sa neparnim brojem stranica su simetrale njegovih unu-trašnjih uglova.

Ose simetrije pravilnog mnogougla sa parnim brojem stranica su simetrale njegovih unutraš-njih uglova i simetrale njegovih stranica.

Simetrala bilo kojeg ugla pravilnog mnogougla sa parnim brojem stranica sadrži dijagonalu povučenu iz tjemena tog ugla.

Zadatak 4.18 se rješava primjenom pravila podudarnosti trouglova • SUS.U zadatku 4.19 treba ravan crteža presaviti duž simetrale • s stranice AF. Na taj način će se ugao 1B poklopiti sa uglom 1C . Tako se dokazuje da je 1B = 1C . Na sličan način se dokazuje jednakost 1A = 1C .

I druge geometrijske zadatke treba rješavati na istom nivou logičke strogosti.

Obim mnogougla

Pojam obima mnogougla učenicima je poznat iz ranijih razreda. Zato ćemo se osvrnuti na strukturu zadataka u Zbirci. Zadaci 5.1-5.4 se rješavaju direktnom primjenom formule za izraču-navanje obima pravilnog n-tougla. U zadacima 5.5 i 5.6 zadat je obim pravilnog mnogougla, a treba izračunati dužinu njegove stranice. Dakle, riječ je o zadacima koji se svode na rješavanje jednačine oblika = .ax b Sličan smisao imaju zadaci 5.7 i 5.8. U zadacima 5.9, 5.10 i 5.12 zadata je dužina stranice pravilnog mnogougla, a nepoznat je broj njegovih stranica. Na osnovu uslova zadatka (ti uslovi se odnose na broj dijagonala mnogougla, veličinu spoljašnjeg ili unutrašnjeg ugla, zbir unu-trašnjih uglova itd.) treba odrediti broj stranica, a zatim izračunati obim pravilnog mnogougla. Zadatak 5.10 se rješava primjenom Pitagorine teoreme i primjenom tvrđenja prema kojem je duža dijagonala pravilnog šestougla dva puta veća od njegove stranice (vidi zadatak 4.23). Na nastavniku je da odabere zadatke koji će, po njegovom mišljenju, zainteresovati učenike i omogućiti im da primijene ranije stečena znanja (postavljanje i rješavanje linearnih jednačina, Pitagorinu teoremu, formulu za izračunavanje broja dijagonala mnogougla i slično).

73

Površina mnogougla

Površina mnogougla je u sedmom razredu opisana kao veličina onog dijela ravni koji ograni-čava mnogougaona linija. Na tom nivou shvatanja pojma površine mnogougla zadržaćemo se i u ovom Udžbeniku. Dakle, pojam površine mnogougla u sadržajnom smislu ne donosi ništa novo. Uobičajeni zadaci u kojima treba izračunati površinu mnogougla, u tehničkom smislu, takođe, ne donose ništa novo. Naime, površina mnogougla se određuje kao zbir površina trouglova i četvoro-uglova koji obrazuju jednu od mogućih podjela tog mnogougla. Naravno, riječ je o korisnim zada-cima čije rješavanje podrazumijeva obnavljanje i primjenu ranije stečenih znanja o površinama pravougaonika, trougla, paralelograma i trapeza. U Zbirci, takvi zadaci su 6.1–6.6. Međutim, treba imati u vidu da za rješavanje navedenih zadataka nijesu potrebna nikakva znanja o mnogouglovima, koji su ipak osnovni predmet izučavanja u ovom poglavlju. Zato preporučujemo da se uradi neko-liko zadataka čije rješenje podrazumijeva primjenu geometrijskih svojstava pravilnih mnogouglova. Takvi su zadaci 6.7–6.18. Geometrijska svojstva pravilnih mnogouglova na kojima se zasnivaju rješenja ovih zadataka razmatrana su u zadacima 4.18–4.24 i 4.27–4.31.

74

7. krUžNICa I krUG

NastavNi ciljevi

Kružnica

Učenik/ca:usvaja pojmove kružnice, tetive, prečnika, kruga, polukružnice i polukruga.•

Međusobni odnos kružnice i prave. Međusobni odnos dvije kružnice

Učenik/ca:usvaja da postoji beskonačno mnogo kružnica koje prolaze kroz dvije zadate tačke • A i B i zna da se centri tih kružnica poklapaju sa tačkama simetrale duži AB;usvaja da ne postoji kružnica koja prolazi kroz tri kolinearne tačke;•usvaja da prava i kružnica mogu imati najviše dvije zajedničke tačke i u stanju je da opiše zavisnost •međusobnog položaja prave i kružnice od rastojanja između te prave i centra kružnice;usvaja da postoji tačno jedna kružnica koja prolazi kroz tri nekolinearne tačke• ;usvaja da dvije kružnice mogu imati najviše dvije zajedničke tačke i u stanju je da opiše zavisnost •međusobnog položaja dvije kružnice od rastojanja između centara tih kružnica.

Tangenta kružnice

Učenik/ca:usvaja pojmove tangente, dodirne tačke i dodirnog poluprečnika; •usvaja da je tangenta ortogonalna na dodirni poluprečnik;•usvaja tvrđenje prema kojem je prava koja sadrži tačku • A kružnice K(O,r) i koja je ortogonalna na poluprečnik OA tangenta te kružnice; zna konstruisati tangentu koja prolazi kroz zadatu tačku kružnice;•zna konstruisati tangente koje prolaze kroz zadatu spoljašnju tačku kružnice;•usvaja pojam tangentne duži;•usvaja tvrđenje prema kojem su tangentne duži svake spoljašnje tačke jednake.•

Kružni lukovi. Tetive. Centralni i periferijski uglovi

Učenik/ca:usvaja pojmove kružnog luka, centralnog i periferijskog ugla;•prepoznaje jedan drugom odgovarajuće centralne (periferijske) uglove i kružne lukove;•zna što znači kada se govori o:•

a) centralnom (periferijskom) uglu nad zadatim lukom, odnosno nad zadatom tetivom, b) tetivi i kružnom luku nad zadatim centralnim uglom;

usvaja da jednakim kružnim lukovima odgovaraju jednaki centralni uglovi i jednake tetive; •usvaja da jednakim centralnim uglovima odgovaraju jednaki kružni lukovi i jednake tetive;•usvaja da je centralni ugao nad bilo kojom tetivom (nad bilo kojim kružnim lukom) dva puta •veći od svakog periferijskog ugla nad istom tetivom (nad istim kružnim lukom);

75

usvaja da su periferijski uglovi nad jednakim tetivama (nad jednakim kružnim lukovima) jed-•naki;uspješno rješava jednostavne zadatke u kojima se primjenjuje odnos između odgovarajućih cen-•tralnih i periferijskih uglova.

Kružnica i pravilni mnogouglovi

Učenik/ca:usvaja tvrđenja:•

a) simetrale stranica pravilnog mnogougla sijeku se u jednoj tački, b) u svaki pravilni mnogougao se može upisati kružnica, c) oko svakog pravilnog mnogougla se može opisati kružnica, d) centar upisane i centar opisane kružnica je tačka u kojoj se sijeku simetrale stranica pra-

vilnog mnogougla;usvaja da se spajanjem tačaka koje kružnicu • K(O,r) dijele na jednake kružne lukove dobija pra-vilni mnogougao upisan u tu kružnicu;usvaja da se povlačenjem tangenti kroz tačke koje kružnicu • K(O,r) dijele na jednake kružne lu-kove dobija pravilni mnogougao opisan oko te kružnice.

Karakteristični trougao pravilnog mnogougla

Učenik/ca:usvaja pojmove centra i centralnog ugla pravilnog mnogougla;•zna da se centar i centralni ugao pravilnog mnogougla poklapaju sa centrom i centralnim uglom •kružnice opisane oko tog mnogougla;

usvaja da su centralni uglovi pravilnog • n-tougla jednaki i zna da je njihova veličina 360

,n

;

usvaja pojam karakterističnog trougla pravilnog mnogougla• ;usvaja da su karakteristični trouglovi pravilnog mnogougla jednakokraki i međusobno podudarni;•

usvaja da je ugao pri vrhu karakterističnog trougla pravilnog • n-tougla jednak 360

n i da su uglo-

vi na osnovici tog trougla jednaki −

18090 .

n

Konstrukcija i crtanje pravilnog mnogougla

Učenik/ca:zna što znači nacrtati, a što konstruisati geometrijsku figuru;•zna da se konstrukcija pravilnog mnogougla svodi na konstrukciju njegovog karakterističnog •trougla;zna konstruisati pravilni šestougao, osmougao i dvanaestougao, ako su zadati poluprečnici kruž-•nica opisanih oko tih mnogouglova; zna konstruisati pravilni šestougao, osmougao i dvanaestougao, ako su zadate dužine stranica tih •mnogouglova; zna kako se konstruiše mnogougao sa 2• n stranica, ako je konstruisan mnogougao sa n stranica;

76

zna kako se konstruiše mnogougao sa •2n

(n paran broj) stranica, ako je konstruisan mnogougao

sa n stranica;zna postupak koji omogućava da se nacrta bilo koji pravilni mnogougao.•

Obim kružnice

Učenik/ca:usvaja opisnu definiciju obima kružnice;•usvaja da između obima i prečnika kružnice postoji takva zavisnost, da kada se uveća jedna od •tih veličina uveća se i druga;na osnovu eksperimenta usvaja da su veličine • O - obim kružnice i 2r- prečnik kružnice direktno proporcionalne veličine;na osnovu prethodnog tvrđenja i prvog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina •

usvaja da je količnik 2Or

isti broj za sve kružnice;

usvaja oznaku • ,2Or

π= ;

usvaja da je broj • π iracionalan;

zna smisao zapisa • nO O≈ i 2

nOr

π ≈ , gdje je nO obim pravilnog mnogougla opisanog oko kruž-

nice K(O,r) i zna da se razlike −nO O i −π2

nOr

umanjuju kada se povećava broj (n) stranica

pravilnog mnogougla;usvaja da je • ≈π 3,14,;u različitim situacijama uspješno primjenjuje formulu • = π2 .O r

Dužina kružnog luka

Učenik/ca:usvaja da između dužine kružnog luka i veličine odgovarajućeg centralnog ugla postoji takva •zavisnost, da kada se uveća jedna od tih veličina uveća se i druga;na osnovu slike usvaja da su veličine • l- dužina kružnog luka i α - veličina odgovarajućeg cen-tralnog ugla direktno proporcionalne;na osnovu prethodnog tvrđenja i drugog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina •izvodi proporciju l : O = α : 360 , odnosno l : π2r = α : 360 ,;

je u stanju da navedenu proporciju riješi po nepoznatim • , i l O α i dobije formule =

πα,

180r

l

⋅=

α360l

O i ⋅

=

α 360,

lO

;

u različitim situacijama uspješno primjenjuje navedene formule• ;

usvaja i primjenjuje formulu • = + + , ,, ( ) ,60 3600r q

p r q p ;

77

Površina kruga

Učenik/ca:usvaja da za površinu • ( )nP i obim ( )nO pravilnog n-tougla opisanog oko kružnice K(O,r) važi

,2n

nO rP ⋅

= ;

zna smisao zapisa • ≈ nO O i ≈ nP P , gdje je O obim kružnice K(O,r) i P površina kruga ograniče-nog tom kružnicom i zna da se razlike −nO O i −nP P umanjuju kada se povećava broj (n) stranica pravilnog mnogougla;

usvaja da se formula za izračunavanje površine kruga dobija iz formule •⋅

=2n

nO r

P kada se veli-

čine i n nP Q u toj formuli zamjene veličinama P i = π2 :O r

22

O rP ⋅= =

2r rπ ⋅ 2 .r π= ;

u različitim situacijama uspješno primjenjuje formule • = π2P r i =πP

r .

Površina kružnog isječka

Učenik/ca:usvaja pojam kružnog isječka;•usvaja da između površine kružnog isječka i veličine odgovarajućeg centralnog ugla postoji takva •zavisnost, da kada se uveća jedna od tih veličina uveća se i druga;na osnovu slike usvaja da su veličine• IP - površina kružnog isječka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla direktno proporcionalne;na osnovu prethodnog tvrđenja i drugog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina •izvodi proporciju IP : KP = α : 360 , odnosno IP : =π2r α : 360 ,;

je u stanju da navedenu proporciju riješi po nepoznatim • IP , KP i α i dobije formule =

πα2,

360Ir

P

⋅=

α360I

KP

P i ⋅

=

α 360.I

K

PP

;

u različitim situacijama uspješno primjenjuje navedene formule, •na osnovu slike usvaja da su veličine• IP - površina kružnog isječka i l - dužina odgovarajućeg kružnog luka direktno proporcionalne;na osnovu prethodnog tvrđenja i drugog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina •izvodi proporciju =: : 2,IP r l ;je u stanju da navedenu proporcije riješi po nepoznatim • α, i IP r i dobije formule

= = =

2 2, i ,

2I I

Irl P P

P r ll r

;

uspješno primjenjuje navedene formule u različitim situacijama.•

Površina kružnog prstena

Učenik/ca:usvaja definiciju kružnog prstena;•usvaja formulu za izračunavanje površine kružnog prstena i uspješno je primjenjuje u različitim •situacijama.

78

DiDaktička uputstva

Kružnica

Prva znanja o kružnici i krugu učenici su stekli u ranijm razredima. Sada ta znanja treba ob-noviti i sistematizovati.

Na času treba obraditi teorijski materijal koji se sastoji od definicija kružnice, tetive, prečnika, kruga, polukružnice i polukruga.

Predlažemo da na času uradite zadatke1.1 a) , 1.2, 1.3 a) i 1.4 a). Učenici treba samostalno da riješe zadatke 1.1 b) i c), 1.3 b) i c) i 1.4 b) i c).

Međusobni odnos kružnice i prave. Međusobni odnos dvije kružnice

U udžbeničkoj literaturi ova lekcija se obrađuje uglavnom pokazivanjem slika. Ni u priloženom •Udžbeniku se ne sprovode dokazi tvrđenja o međusobnom odnosu prave i kružnice niti tvrđenja o međusobnom odnosu dvije kružnice. Ipak, mi smo pokušali da ovu lekciju obradimo na način koji sadrži neke elemente deduktivnog zaključivanja. Primjer 1.1 (Udžbenik) je zanimljiv i lak konstruktivni zadatak, a istovremeno i dokaz tvrđenja:•

Postoji beskonačno mnogo kružnica koje prolaze kroz dvije zadate tačke A i B. Centri tih kružnica se poklapaju sa tačkama simetrale duži AB.

Iz ovog tvrđenja lako slijedi da ne postoji kružnica koja prolazi kroz tri kolinearne tačke, što zapravo znači da prava i kružnica mogu imati najviše dvije zajedničke tačke.

Drugim riječima:Prava i kružnica ili imaju dvije zajedničke tačke, ili imaju jednu zajedničku tačku, ili uopšte

nemaju zajedničkih tačaka.Sada se učenicima može pokazati tabela 1.1 (Udžbenik str. 149) iz koje se vidi na koji način

međusobni položaj prave i kružnice zavisi od rastojanja između te prave i centra kružnice.Primjer 2.1 je poznat učenicima jer je riječ o konstrukciji kružnice opisane oko zadatog trougla.

Učenici znaju da je centar te kružnice tačka u kojoj se sijeku simetrale bilo koje dvije stranice trougla. Kako dvije različite prave imaju najviše jednu zajedničku tačku, iz primjera 2.1 slijedi tvrđenje:

Postoji tačno jedna kružnica koja prolazi kroz tri zadate nekolinearne tačke. Odavde je lako zaključiti da dvije različite kružnice mogu imati najviše dvije zajedničke tačke.Dakle: Dvije kružnice ili imaju dvije zajedničke tačke, ili imaju jednu zajedničku tačku, ili uopšte

nemaju zajedničkih tačaka. Na kraju, učenicima treba pokazati tabelu 1.2 (Udžbenik str. 150) iz koje se vidi na koji način

međusobni položaj dvije kružnice zavisi od rastojanja između centara tih kružnica.Ako se odlučite da ovoj nastavnoj jedinici posvetite dva časa onda bi operativni plan rada mogao •izgledati ovako:

Na prvom času obrađuje se međusobni položaj tačke i prave.Zadaci koje treba uraditi na času: 1.6 a), 1.7 a), 1.8 a).Zadaci koje treba dati za domaći rad 1.6 b), c), 1.7 b), c), 1.8 b), c).Na drugom času obrađuje se međusobni položaj dvije kružnice.Zadaci koje treba uraditi na času: 1.12, 1.15, 1.17.Zadaci koje treba dati za domaći rad: 1.13, 1.14, 1.16, 1.18.

79

Tangenta kružnice

Ovo nije prvi susret učenika sa pojmom tangente. Taj pojam je na nekom nivou obrađivan u •šestom razredu. To podrazumijeva da učenici znaju šta je tangenta i da znaju nacrtati tangentu koja prolazi kroz zadatu tačku kružnice. Sada treba da nauče svojstva tangente i konstrukciju tangente koja prolazi kroz zadatu spoljašnju tačku kružnice. Sadržaj ove nastavne jedinice čine sljedeća tri tvrđenja:•

1. Tangenta i dodirni poluprečnik su međusobno ortogonalni u tački dodira. 2. Ako je prava p koja prolazi kroz tačku A kružnice K(O,r) ortogonalna na poluprečnik OA,

onda je ta prava tangenta kružnice K(O,r). 3. Tangentne duži svake spoljašnje tačke kružnice su jednake. Osnovni argument u dokazu prvog tvrđenja je učenicima dobro poznato tvrđenje prema kojem

je od svih duži koje tačku O spajaju sa tačkama prave p, najkraća normala spuštena iz te tačke na pravu p.

Osnovni argument u dokazu drugog tvrđenja je učenicima, takođe, dobro poznato tvrđenje prema kojem je hipotenuza najduža stranica pravouglog trougla. Važnost drugog tvrđenja sastoji se u tome što se na njemu zasniva konstrukcija tangenti koje prolaze kroz zadatu spoljašnju tačku kružnice.

Na kraju, dokaz trećeg tvrđenja zasniva se na primjeni pravila podudarnosti pravouglih trou-glova hipotenuza-kateta. Za očekivati je da učenik osmog razreda zna primijeniti pravila podudar-nosti trouglova u vrlo jednostavnim situacijama.

Ako ne želimo da učenici steknu utisak kako je geometrija nauka koju čini skup pravila izvedenih •na osnovu slika ili na osnovu mjerenja, onda navedena tvrđenja treba dokazati, tim prije što je riječ o dokazima koji se sprovode u dva-tri koraka.Predlažemo da i ovoj nastavnoj jedinici posvetite dva časa.•

Na prvom času treba obraditi prva dva tvrđenja i konstrukciju tangente koja prolazi kroz tač-ku koja pripada kružnici.

Zadatak koji treba uraditi na času: 1.19.Umjesto zadataka za domaći rad, učenici treba da nauče dokaze tvrđenja 1 i 2.Na drugom času treba obnoviti gradivo sa prethodnog časa, obraditi konstrukciju tangente

koja prolazi kroz spoljašnju tačku kružnice i dokazati tvrđenje 3. Zadaci koje treba uraditi na času: 1.20 a), 1.21, 1.23 a).Zadaci koje treba dati za domaći rad: 1.20 b), c), 1.22, 1.23 b), c).

Kružni lukovi. Centralni i periferijski uglovi

Kao što i sam naslov kaže, obrađujući ovu nastavnu jedinicu učenici treba da usvoje pojmove •kružnog luka, centralnog i periferijskog ugla. Iako je riječ o pojmovima koje učenici lako usva-jaju, mora se imati u vidu i jedna teškoća koja prati izučavanje međusobnog odnosa tih pojmova. Ta teškoća se sastoji u tome što dvije tačke na kružnici dijele kružnicu na dva kružna luka, pa u svakoj situaciji kada se govori o kružnim lukovima određenim dvjema tačkama treba precizira-ti na koji od ta dva luka se misli. S tim u vezi veoma je važno da učenici usvoje kada se za kruž-ni luk i centralni (periferijski) ugao kaže da su jedan drugom odgovarajući. To znači da učenici-ma treba da bude do kraja jasno na koji centralni, odnosno na koje periferijske uglove se misli kada se o tim uglovima govori kao uglovima nad određenim lukom (nad određenom tetivom). Isto tako učenicima treba da bude jasno na koji od dva kružna luka se misli kada se govori o kružnom luku nad određenim centralnim (periferijskim) uglom. To se može postići rješavanjem ovakvih zadataka:

80

Slika 7.1 Slika 7.2 Slika 7.3

1) Oboji crvenom bojom kružni luk koji odgovara: a) periferijskom uglu na slici 7.1, b) centralnom uglu na slici 7.2, c) centralnom uglu na slici 7.3. 2) Koji od dva periferijska ugla BAC i CDB je periferijski ugao nad manjim od dva kruž-

na luka određena tačkama C i B kružnice prikazane na slici 7.4?

Slika 7.4 Slika 7.5

3) Nacrtaj centralni ugao koji odgovara manjem (većem) od dva kružna luka određena tač-kama A i B kružnice prikazane na slici 7.5.

4) Da li su periferijski ugao ABC i centralni ugao AOC, prikazani na slikama 7.6 i 7.7, uglovi nad istim lukom (nad istom tetivom)?

Slika 7.6 Slika 7.7

Na času treba uraditi navedene zadatke 1)-4) i dokazati tvrđenja:• 1. Ako su dva luka na istoj kružnici jednaka, onda su tetive i centralni uglovi nad tim lukovi-

ma jednaki. 2. Ako su dva centralna ugla iste kružnice jednaki, onda su tetive i kružni lukovi nad tim

uglovima jednaki.

81

Za domaći rad učenicima treba dati zadatke 2.1, 2.2, 2.3 i 2.7.Osim toga, učenici treba da nauče dokaze tvrđenja 1 i 2.

Odnos centralnih i periferijskih uglova

Predložićemo vam jedan od načina koji omogućava da se ova nastavna jedinica obradi za dva •časa.

prvi čas.Nastavnik: U vašem Udžbeniku možete pročitati zanimljivu priču o odnosu centralnog ugla i

periferijskih uglova nad istom tetivom. Ovdje ćemo čuti kratak sadržaj te priče. Pogledajte sliku 2.6 u vašem Udžbeniku. Na toj slici prikazana je osnova bioskopske sale u kojoj su stolice postavljene po pravoj paralelnoj donjoj ivici platna. Obratite pažnju na sliku 2.8. Kada govorimo o uglu pod kojim se iz tačke C vidi duž AB, imamo u vidu ugao ACB. Gledajući sliku 2.6 primjećujemo da gledaoci koji sjede u istom redu donju ivicu platna vide pod različitim uglovima. Što je ugao pod kojim se vidi donja ivica platna manji, slabija je vidljivost čitavog platna, a to otežava gledanje filma. Zato se danas bioskopske sale prave tako da se stolice iz istog redu postavljaju u obliku kružnog luka. Na slici 2.8 prikazana je osnova jedne takve sale. Sa slike 2.9 se vidi da gledaoci koji sjede u istom redu donju ivicu platna vide pod uglom koji je jednak jednom od periferijskih uglova nad tetivom AB kružnice po kojoj su postavljene stolice iz tog reda.

Prednost postavljanja stolica u obliku kružnog reda je u tome što gledaoci koji sjede u istom redu iz svake stolice platno vide pod istim uglom.

Naš cilj je da to i dokažemo.Navedimo prvo tvrđenje koje nas vodi ka tom cilju:Centralni ugao nad bilo kojom tetivom (nad bilo kojim kružnim lukom ) je dva puta veći od

svakog periferijskog ugla nad istom tetivom (nad istim kružnim lukom).Nastavnik usmjerava pažnju učenika na slike 2.10, 2.11 i 2.12 i ukazuje tri moguća položaja cen-•tra kružnice u odnosu na oblast bilo kojeg periferijskog ugla te kružnice. Učenicima treba saop-štiti da će biti razmotren samo slučaj prikazan na slici 2.10, a da se ostali slučajevi razmatraju na sličan način.

Nastavnik: Dokaz navedenog tvrđenja se zasniva na dva vama dobro poznata tvrđenja: 1. Uglovi na osnovici jednakokrakog trougla su jednaki.2. Spoljašnji ugao trougla jednak je zbiru dva njemu nesusjedna unutrašnja ugla tog trougla.Trougao OTP na slici 2.10 je jednakokraki jer su njegove stranice OT i OP jednake kao polu-

prečnici iste kružnice. Slijedi da su uglovi na osnovici TP jednaki. Na slici su veličine tih uglova označene sa α. Uočite da je centralni ugao SOT spoljašnji ugao trougla OTP i da su uglovi na osnovici TP njemu nesusjedni unutrašnji uglovi tog trougla. Zato je:

= + = = α α α2 2 ,SOT SPT što smo i htjeli da dokažemo.Kraj ove priče čućete na sljedećem času, a sada ćemo uraditi nekoliko primjera.Zadaci koje treba uraditi na času: 2.4 (slike 2.3 i 2.4) i 2.8.Zadaci koje treba dati za domaći rad: 2.5, 2.6, 2.9 i 2.11.

Drugi čas.U uvodnom dijelu časa treba obnoviti gradivo obrađeno na prethodnom času i uraditi primje-

re 2.1 i 2.2 iz Udžbenika. Preostali dio časa treba posvetiti završetku priče započete na prethodnom času.

82

Nastavnik: Na prošlom času razmatrali smo prednosti postavljanja stolica u bioskopskim sa-lama u obliku kružnog reda. Pogledajte slike 2.7 i 2.9. želimo dokazati da gledaoci koji sjede u istom redu iz svake stolice platno vide pod istim uglom. Matematičkim jezikom rečeno treba da dokažemo sljedeće tvrđenje:

Periferijski uglovi nad jednakim tetivama (nad jednakim kružnim lukovima) su jednaki.Nastavnik koristeći ranije pripremljenu sliku ili sliku 2.13 iz Udžbenika, dokazuje navedeno

tvrđenje.Zadaci koje treba uraditi na času: 2.10, 2.12.Zadaci koje treba dati za domaći rad: 2.11, 2.13, 2.14 i 2.15.

Kružnica i pravilni mnogouglovi

Nastavnik podsjeća učenike da se u svaki trougao i svaki kvadrat može upisati kružnica i da se oko svakog trougla i oko svakog kvadrata može opisati kružnica. Napominje da se oko pravougao-nika može opisati kružnica, ali da se u pravougaonik koji nije kvadrat ne može upisati kružnica. Takođe navodi primjer romba kao mnogougla u koji se može upisati kružnica i naglašava da se oko romba koji nije kvadrat ne može opisati kružnica. Na kraju učenicima treba pokazati sliku parale-lograma u koji se ne može upisati kružnica niti oko koga se može opisati kružnica.

Poslije ovih primjera nastavnik konstatuje da su navedeni primjeri mnogouglova: a) u koje se može upisati kružnica i oko kojih se može opisati kružnica (trouglovi i kvadrati), b) oko kojih se može opisati kružnica, ali u koje se ne može upisati kružnica (pravougaonici), c) u koje se može upisati kružnica, ali oko kojih se ne može opisati kružnica (rombovi), d) u koje se ne može upisati kružnica i oko kojih se ne može opisati kružnica (neki parale-

logrami).Među trouglovima i četvorouglovima, posebno mjesto imaju jednakostranični trouglovi i kva-

drati. Ta posebnost se između ostalog ogleda i u tome što se u te mnogouglove može upisati kruž-nica i što se oko njih može opisati kružnica, pri čemu se centri tih kružnica poklapaju sa tačkom u kojoj se sijeku simetrale njihovih stranica.

Ako se uzme u obzir da su jednakostranični trougao i kvadrat pravilni mnogouglovi, nastavnik je pripremio teren da se na prirodan način postavi ova pitanja:

1. Da li se oko svakog pravilnog mnogougla može opisati kružnica?2. Da li se u svaki pravilni mnogougao može upisati kružnica?3. Da li se simetrale stranica pravilnog mnogougla sijeku u jednoj tački i da li se ta tačka po-

klapa ce centrom kružnice upisane u taj mnogougao i centrom kružnice opisane oko tog mnogougla?

Kao odgovor na ova pitanja treba bez dokaza navesti tvrđenje: a) Simetrale stranica pravilnog mnogougla sijeku se u jednoj tački. b) U svaki pravilni mnogougao se može upisati kružnica. c) Oko svakog pravilnog mnogougla se može opisati kružnica. d) Centar upisane i centar opisane kružnice je tačka u kojoj se sijeku simetrale stranica

pravilnog mnogougla.Da bi imao motiv za pitanja koja slijede, nastavnik na tabli crta proizvoljnu kružnicu i primje-

ćuje da je u prethodnim razmatranjima bio zadat pravilni mnogougao, a pitanje je bilo da li se u taj mnogougao može upisati kružnica i da li se oko njega može opisati kružnica.

Nastavnik, pokazujući na kružnicu, naglašava da je u razmatranjima koja slijede zadata kruž-nica i da želimo odgovoriti na sljedeća pitanja:

1. Da li se u zadatu kružnicu može upisati pravilni mnogougao sa zadatim brojem stranica?2. Da li se oko zadate kružnice može opisati pravilni mnogougao sa zadatim brojem stranica?

83

Ni ovdje ne preporučujemo dokaze tvrđenja koja daju odgovore na ova pitanja.Naš predlog je da uradite primjere 3.1 i 3.2 iz Udžbenika i da navedete tvrđenje koje na neki

način daje odgovor na prvo pitanje:Ako je kružnica podijeljena na jednake lukove, tada se spajanjem susjednih podionih tačaka

dobija pravilni mnogougao upisan u tu kružnicu.Neki učenici mogu biti razočarani ovim tvrđenjem jer su očekivali da će, kao u primjerima 3.1

i 3.2 dobiti uputstva koja omogućavaju da se oko zadate kružnice opiše pravilni petougao, šestougao, sedmougao…

U vezi sa tim nastavnik treba da naglasi kako je ostalo otvoreno pitanje može li se kružnica pomoću lenjira i šestara podijeliti na 3, 4, 5, 6, 7… jednakih dijelova i dodati da za neke prirodne brojeve to nije moguće uraditi, a za neke jeste i da će o tome biti više riječi u nastavnoj jedinici Konstrukcija pravilnih mnogouglova.

Dalje treba obraditi primjer 3.3 iz Udžbenika i za domaći rad dati zadatak u kome se zahtijeva da se u zadatu kružnicu upiše kvadrat. Na kraju, treba formulisati opšte tvrđenje:

Ako je kružnica podijeljena na jednake lukove tada se povlačenjem tangenti kroz podione tačke dobija pravilni mnogougao opisan oko te kružnice.

Karakteristični trougao pravilnog mnogougla

Poznavanje svojstava karakterističnog trougla ima ključnu ulogu u savlađivanju postupaka koji omogućavaju da se pomoću lenjira i šestara konstruišu pravilni mnogouglovi, u slučajevima kada je takva konstrukcija moguća.

Definicija karakterističnog trougla i izlaganje njegovih svojstava treba da prati uvećana kopija slike 3.9 iz Udžbenika, koju treba postaviti tako da je mogu vidjeti svi učenici. Ta slika omogućava učenicima da vizuelno dožive pojmove centra i centralnog ugla pravilnog mnogougla i usvoje da je, u stvari, riječ o centru i centralnom uglu nad stranicom pravilnog mnogougla kao nad tetivom kružnice opisane oko tog mnogougla.

Pozivajući se na jednakost stranica pravilnog mnogougla i tvrđenje prema kojem su centralni uglovi nad jednakim tetivama jednaki, nastavnik dokazuje tvrđenje:

Centralni uglovi pravilnog n-tougla su jednaki i njihova veličina je 360

.n

Nastavnik učenicima skreće pažnju na trouglove dobijene spajanjem centra kružnice opisane oko pravilnog mnogougla sa krajnjim tačkama njegovih stranica i definiše karakteristični trougao pravilnog mnogougla.

Na tabli treba zapisati svojstva karakterističnih trouglova: 1. Pravilni n-tougao ima n karakterističnih trouglova. 2. Karakteristični trouglovi su jednakokraki jer se dvije stranice svakog od tih trouglova po-

klapaju sa poluprečnicima opisane kružnice.3. Karakteristični trouglovi su podudarni kao trouglovi sa jednakim stranicama.Svaki učenik treba da zna čemu su jednake veličine unutrašnjih uglova karakterističnog trou-

gla pravilnog n-tougla. Nastavnik ukazuje da se ugao pri vrhu karakterističnog trougla poklapa sa

centralnim uglom pravilnog n-tougla i da je zato njegova veličina jednaka 360

.n

Ne treba trošiti

mnogo vremena da bi se obnovila znanja o odnosu veličina unutrašnjih uglova jednakokrakog trougla. Dovoljno je na tabli nacrtati sliku 3.11 iz Udžbenika i na osnovu nje utvrditi da veličina

84

uglova na osnovici karakterističnog trougla iznosi −

18090 .

n Na kraju treba uraditi primjere 3.4 i

3.5 iz Udžbenika. Da bi se na stečena znanja o karakterističnim trouglovima mogao nadovezati sadržaj naredne

nastavne jedinice, za domaći rad treba dati zadatke:1. Konstruisati (pomoću lenjira i šestara) karakteristični trougao pravilnog šestougla ako je: a) poluprečnik njegove opisane kružnice jednak 3 cm, b) dužina njegove osnovice jednaka 3,5 cm.2. Konstruisati (pomoću lenjira i šestara) karakteristični trougao pravilnog osmougla ako je: a) poluprečnik njegove opisane kružnice jednak 3 cm, b) dužina njegove osnovice jednaka 3,5 cm.3. Koristeći uglomjer, lenjir i šestar nacrtaj karakteristični trougao pravilnog devetougla ako je: a) poluprečnik njegove opisane kružnice jednak 3 cm, b) dužina njegove osnovice jednaka 3,5 cm.Prvi zadatak treba riješiti na času i dati uputstva za drugi i treći zadatak.

Konstrukcija i crtanje pravilnih mnogouglova

Svaki učenik bi morao znati kako se konstruiše pravilni n-tougao, kada je konstruisan (nacrtan) njegov karakteristični trougao.

Zato čas treba započeti sljedećim primjerima: i) Konstruisati pravilni osmougao, ako je poluprečnik njegove opisane kružnice jednak

3 cm. ii) Konstruisati pravilni osmougao čija stranica ima dužinu 3,5 cm. Nastavnik podsjeća da je pravilni osmougao podijeljen na osam karakterističnih trouglova i

da su ti trouglovi podudarni. S tim u vezi treba izvršiti analizu zadataka 2 a) i 2b) datih za domaći rad na prethodnom času. Na tabli se radi zadatak 2 a). Poslije konstrukcije karakterističnog trougla, pristupa se konstrukciji pravilnog osmougla tj. rješavanju zadatka i). Na isti način se postupa sa zadacima 2b) i ii).

Sa ciljem da se objasni razlika između crtanja i konstrukcije pravilnog mnogougla, postavljaju se zadaci:

iii) Koristeći uglomjer, lenjir i šestar nacrtati pravilni devetougao, ako je poluprečnik njego-ve opisane kružnice jednak 3 cm.

iv) Koristeći uglomjer, lenjir i šestar nacrtati pravilni devetougao čija stranica ima dužinu dužina 3,5 cm.

Nastavnik pokazuje sliku karakterističnog trougla pravilnog devetougla na kojoj su istaknute veličine njegovih unutrašnjih uglova, saopštava da se uglovi od 40 i 70 ne mogu konstruisati pomoću lenjira i šestara. Ovaj primjer treba iskoristiti i napraviti razliku između konstrukcije i cr-tanja geometrijske figure. Nastavnik ističe da se geometrijska figura crta kada konstrukcija te figure (pomoću lenjira i šestara) nije moguća.

Zadatke iii) i iv) treba riješiti dovodeći ih u vezu sa zadacima 3a) i 3b), datih na prethodnom času, kao što je to urađeno u gornjim primjerima.

Sada nastavnik može opisati dva tipa konstruktivnih zadataka koji će biti razmatrani:1. Konstruisati (nacrtati) pravilni n-tougao, ako je zadat poluprečnik kružnice opisane oko tog

n-tougla (tj. dužina kraka njegovog karakterističnog trougla). 2. Konstruisati (nacrtati) pravilni n-tougao, ako je zadata dužina njegove stranice (tj. dužina

osnovice njegovog karakterističnog trougla).

85

U Zbirci je ovoj nastavnoj jedinici posvećeno 14 zadataka (3.1-3.14) istog tipa. Nastavnik mo-že za domaći rad dati zadatke da se na papiru većeg formata konstruiše ili nacrta mnogougao sa 16,18 ili 20 stranica.

Za rješavanje takvih zadataka potrebno je da učenici znaju kako se konstruiše (crta) mnogo-ugao sa 2n stranica, ako je konstruisan (nacrtan) mnogougao sa n stranica.

Iako se pravilni petougao može konstruisati, na ovom nivou nastave treba izvesti crtanje, uz obrazloženje da konstrukcija tog mnogougla zahtijeva matematička znanja koja nijesu predviđena za učenike osmog razreda.

Obnavljanje gradiva

Predlažemo vam da prije početka obrade ciklusa nastavnih jedinica:Obim kružnice,•Dužina kružnog luka,•Površina kruga,•Površina kružnog isječka,•Površina kružnog prstena.•

Jedan čas posvetite obnavljanju gradiva na kojem biste učenike podsjetili na definiciju i osnov-na svojstva direktno proporcionalnih veličina. To nam se čini opravdanim iz dva razloga. Osnovni razlog je što se izvođenja formula za izračunavanje obima kružnice, dužine kružnog luka i površine kružnog isječka zasnivaju na svojstvima takvih veličina. Drugi razlog je što su direktno proporcio-nalne veličine obrađene na početku školske godine (ako se nastavnik pridržavao redosljeda datog u Predmetnom programu), dok je nastavna tema Kružnica i krug po svojoj strukturi takva da se može predavati tek na kraju školske godine. Dakle, moguće da je između obrada dvije nastavne jedinice prošlo dosta vremena pa će takvo obnavljanje dobro doći učenicima.

Oni učenici koji znaju formulacije osnovnih svojstava direktno proporcionalnih veličina i ko-ji su u stanju da ta svojstva primijene pri analizi konkretno zadatih primjera, lako će usvojiti dio nastavne teme Kružnica i krug posvećen obimu kružnice, dužini kružnog luka i površini kružnog isječka.

primjeri direktno proporcionalnih veličina• .Imajući u vidu cilj koji želimo postići ovim časom, učenike treba podsjetiti na sljedeće primjere •direktno proprcionalnih veličina:

a) −O obim kvadrata i −a dužina stranice tog kvadrata, b) −d dužina dijagonale kvadrata i −a dužina stranice tog kvadrata, c) −h dužina visine jednakostraničnog trougla i −a dužina stranice tog trougla.

Na osnovu formule • = 4O a izvodi se zaključak da za sve kvadrate važi = 4.Oa

Na osnovu formule • = 2d a izvodi se zaključak da za sve kvadrate važi = 2.da

Na osnovu formule • =3

2a

h izvodi se zaključak da za sve jednakostranične trouglove važi

=3

.2

ha

Formulacija prvog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina. • Poslije ovih primjera prirodno se nameće opšti zaključak:

86

Ako su x i y dvije direktno proporcionalne veličine, tada je količnik xy

isti broj za sve parove

odgovarajućih vrijednosti tih veličina.Formulacija drugog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina. Formiranje tabele i •proporcije za dva para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina.

Na osnovu formula • = =1

1

4 i 4

O Oa a

izvodi se proporcija = 1 1: : .O a O a Zamjenom mjesta unu-

trašnjim članovima dobija se proporcija =1 1: :O O a a i formira tabela 7.1.

Obimi pravougaonika

Dužina stranica pravougaonika

OO1

aa1

O : O1 = a : a1

Tabela 7.1

Na osnovu formula • = 2da

i =1

12

da

izvodi se proporcija =1 1: :d d a a i formira tabela 7.2.

Dužina dijagonale kvadrata

Dužina stranice kvadrata

dd1

aa1

d : d1 = a : a1Tabela 7.2

Na osnovu formula • =3

2ha

i =1 32

ha

izvodi se proporcija =1 1: :h h a a i formira tabela 7.3.

Dužina visine jedna-kostraničnog trougla

Dužina stranice jednakostraničnog

trouglahh1

aa1

h : h1 = a : a1Tabela 7.3

Sada se može izvesti opšti zaključak:Ako su 1 1( , )x y i 2 2( , )x y dva proizvoljna para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcio-

nalnih veličina x i y, tada je =1 2 1 2: :x x y y , odnosno =2 1 2 1: :x x y y , (tabele 7.4 i 7.5).

a1

87

Prva veličina Druga veličinax1x2

y1y2

x1 : x2 = y1 : y2Tabela 7.4

Prva veličina Druga veličinax1x2

y1y2

x2 : x1 = y2 : y1Tabela 7.5

Obim kružnice

Na ovom nivou nastave pojam obima kružnice zasnivamo oslanjajući se na geometrijsku intuiciju •i očiglednost koju učenicima sugeriše slika. Nastavnik treba da zajedno sa učenicima prokomen-tariše sliku 4.1 iz Udžbenika. Tada će definicija kojom se pojam obima kružnice uvodi kao dužina duži AB dobijene kotrljanjem kružnice po tangenti izgledati sasvim prirodno. Formulu za izraču-navanje obima kružnice treba izvesti tako da se ostvare dva cilja.I cilj.• Učenici usvajaju da su veličine O- obim kružnice i 2r- prečnik kružnice direktno propor-

cionalne i izvode zaključak da je količnik 2Or

isti broj za sve kružnice: = π .2Or

II cilj. • Učenici usvajaju da je = ≈π ,2 2

nO Or r

gdje je nO obim pravilnog mnogougla upisanog u

kružnicu ( , ).K O r Analizom tabele 4.1 (Udžbenik str. 164) dolazi se do približne vrijednosti broja π :

≈π 3,14. Do zaključka o direktnoj proporcionalnosti veličina O – obim kružnice i 2r – prečnik kružni-

ce učenici dolaze pomoću eksperimenta opisanog u Udžbeniku. Treba izbjeći mjerenje (pomoću metra ili lenjira) dužina tri dijela konca kojima su bile obmotane kružnice. Time izbjegavamo objaš-njenje zašto su učenici dobili različite rezultate prilikom mjerenja. Učenicima treba jasno naglasiti da će nadovezivanjem najkraćeg dijela konca na dva preostala dijela utvrditi da je obim druge kruž-nice dva puta veći, a obim treće kružnice, tri puta veći od obima prve kružnice. Tada će učenici lako prihvatiti mala odstupanja dobijena upoređivanjem dužina dijelova konaca. Učenici eksperi-ment izvode kod kuće, a rezultate saopštavaju na času. Bilo bi dobro ako bi nastavnik, uz pomoć učenika, izveo isti eksperiment i na času. Na osnovu eksperimenta izvodi se opšti zaključak:

Ako se prečnik kružnice uveća k-puta tada se i obim kružnice uveća k-puta.Drugim riječima:Veličine O- obim kružnice i 2r- prečnik kružnice su direktno proporcionalne.Tada, iz prvog osnovnog svojstva direktno proporcionalnih veličina, slijedi tvrđenje:

Količnik 2Or

je isti broj za sve kružnice.

Nastavnik podsjeća učenike da su se i do sada srijetali sa geometrijskim figurama kojima su veličine nekih elemenata direktno proporcionalne i još jednom, sada sasvim ukratko, navodi ranije razmatrane primjere:

Veličine • −O obim kvadrata i −a dužina stranice kvadrata su direktno proporcionalne i pri tome

za sve kvadrate važi = 4.Oa

Veličine • −d dužina dijagonale kvadrata i −a dužina stranice kvadrata su direktno proporcional-

ne i pri tome za sve kvadrate važi = 2.da

88

Veličine • −h dužina visine jednakostraničnog trougla i −a dužina stranice tog trougla su direk-

tno proporcionalne i pri tome za sve jednakostranične trouglove važi =3

.2

ha

Sada učenici očekuju jednakost =..............2Or

u kojoj će na desnoj strani, kao u prethodnim pri-

mjerima, biti zapisan konkretan broj. U ovom momentu treba naglasiti da je broj koji stoji na desnoj

strani jednakosti =..............2Or

iracionalan i da se kao takav ne može zapisati u obliku razlomka. Ta-

kođe treba reći da ne postoji brojni izraz sa operacijama sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, stepenovanja i korjenovanja u skupu racionalnih brojeva čija je vrijednost jednaka tom broju. Na-stavnik naglašava da je u matematici opšte prihvaćena oznaka π za broj na desnoj strani jednakosti

=..............2Or

, zapisuje jednakost = π2Or

i izvodi formulu za izračunavanje obima kružnice = π2 .O r

Time je ostvaren prvi cilj.Nameće pitanje čemu je jednak broj π .Da bi učenici stekli vizuelni utisak o odnosu obima kružnice O i obima nO pravilnog n-tougla

upisanog u tu kružnicu, treba im skrenuti pažnju na sliku 4.4 (Udžbenik str. 164). Još bolje je pri-kazati (ako ste u mogućnosti) nešto veće slike tri kružnica jednakih poluprečnika u kojima su, redom, upisani, na primjer, kvadrat, pravilni osmougao i pravilni šesnaestougao (slika 7.8) i sugerisati uče-nicima da zamisle odnos obima kružnice i obima pravilnog mnogougla nastalog daljim udvajanjem broja stranica prethodnog pravilnog upisanog mnogougla.

Slika 7.8

Na osnovu tih slika učenici usvajaju da se povećavanjem broja stranica pravilnog upisanog n-tougla smanjuje razlika između obima kružnice i obima tog n-tougla. Umjesto prelaska na gra-ničnu vrijednost, koja je na ovom nivou nastave nemoguća, treba koristiti znak ≈ :

≈ .nO O

Sada, na osnovu = π2Or

i ≈2 2

nO Or r

slijedi da je ≈π .2

nOr

Sljedeći i posljednji korak ka usvajanju broja π i približne vrijednosti 3,14 za taj broj je anali-za tabele 4.1 (Udžbenik str. 164). Učenicima treba saopštiti da su dužine stranica upisanih pravilnih mnogouglova navedenih u tabeli izračunate na osnovu formula čije izvođenje nije predviđeno za učenike osmog razreda.

Poželjno je da se na ovom mjestu nešto kaže o istoriji broja π . Na primjer:– U Vavilonu su prije više od 3000 godina smatrali da je π = 3.– Stari Egipćani su negdje oko 2000 godina prije nove ere uzimali da jeπ = 3,16.– Izračunavajući obim upisanih i opisanih mnogouglova sa 6, 12, 24, 48 i 96 stranica, starogrč-

ki matematičar Arhimed je utvrdio da je π ≈ 3,1419...– Holandski matematičar Ludolf van Cojlen je 1596. izračunao broj π sa tačnošću na 35 de-

cimala. Iako se to što je van Cojlen uradio ne smatra značajnim otkrićem u vezi sa brojem π , taj broj se ponekad (naročito u ukrštenim riječima) naziva Ludolfovim brojem.

89

– Danas se korišćenjem računara broj π izračunava sa tačnošću na nekoliko desetina milijardi cifara. U Kanadi je 1997. godine broj π izračunat sa tačnošću na 51 539 600 000 decimala.

Analiza zadataka iz Zbirke:•Zadaci 4.1-4.2, 4.4, 4.5, 4.8, 4.9 i 4.10 se rješavaju neposrednom primjenom formule = π2O r

ili formule =π

.2O

r

U zadacima 4.3, 4.6 i 4.7 treba izračunati obime figura u ravni koje sadrže dijelove jedne ili više kružnica.

U zadacima 4.11, 4.12 i 4.36 razmatra se međusobna zavisnost obima kružnice i njenog polu-prečnika (kako se mijenja obim kružnice ako se na određeni način promijeni njen poluprečnik).

U zadacima 4.25-4.35 i 4.38 razmatraju se odnosi između obima kružnice (opisane ili upisane) i figura kao što su pravougli i jednakostranični trougao, pravougaonik, kvadrat, romb i pravilni šestougao).

Zadaci 4.13-4.24 su posvećeni situacijama i predmetima iz svakodnevnog života (točkovi bi-cikla, voza ili autobusa, kretanje kazaljke na satu, kotrljanje novčića i slično).

Predlažemo da učenici riješe bar po dva zadatka iz svake grupe.

Dužina kružnog luka

Nastavni listićKoristeći sliku 5.2 (Udžbenik) treba da utvrdiš kakva zavisnost postoji između veličina l-duži-

na kružnog luka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla.Ako se ugao • AOB uveća dva puta, dobiće se ugao :AOC

= 2 .AOC AOB U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između dužina lukova • i :AC AB

= ⋅ .AC AB

Ako se ugao • AOB uveća tri puta, dobiće se ugao :AOD

= 3 .AOD AOB U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između dužina lukova• i :AD AB

= ⋅ .AD AB

Izvedi opšti zaključak:•Ako se veličina centralnog ugla uveća k puta, onda se i dužina odgovarajućeg luka uveća

puta (upiši broj koji nedostaje).Iz gornjeg tvrđenja slijedi da su veličine • l-dužina kružnog luka i α veličina odgovarajućeg cen-tralnog ugla: a) direktno b) obrnuto proporcionalne (prekriži netačan odgovor).Poznato ti je da se za dva para • 1 1( , )x y i 2 2( , )x y odgovarajućih vrijednosti direktno proporcio-nalnih veličina formira tabela 7.6 i odgovarajuća proporcija:

Prva veličina Druga veličinax1x2

y1y2

..........: .......... = .......... : ..........Tabela 7.6

Formirajmo dva para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina • l-dužina kruž-nog luka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla.

90

Kružnici čija je dužina (obim) = = π1 2x O r odgovara centralni ugao veličine =

1 360 .y Luku AB dužine =2x l odgovara centralni ugao veličine = α2 .y Ako u proporciju iz prethodne tačke uvrstiš ( = = π1 2x O r , =

1 360 )y i ( =2x l , = α2 )y , dobiće se tabela 7.7

Dužina kružnog luka Veličina odgovaraju-ćeg centralnog ugla

O = 2rpl

360°α

Tabela 7.7

i proporcija O : .......... = .......... : .......... odnosno π2r : .......... = .......... : ...........

Rješavanjem druge proporcije po nepoznatoj • l dobija se:

= =2

l

πα

360

r=

πα180 .

180r

Rješavanjem prve proporcije, prvo po nepoznatoj • O, a zatim po nepoznatoj α dobija se: =O ____, =α ____.

Zaključak:•Ako su poznate dvije od tri veličine l, α i O = 2rp, onda se treća veličina može izračunati pri-

mjenom jedne od formula:

=

πα,

180r

l ⋅

=

α360l

O ,, ⋅

=

α 360.

lO

Analiza zadataka iz Zbirke:•Zadaci 5.1-5.7 se rješavaju neposrednom primjenom formula

=

πα,

180r

l ⋅

=

α360l

O ,, ⋅

=

α 360.

lO

U zadacima 5.8, 5.9 i 5.14 treba izračunati obime figura u ravni koje sadrže dijelove jedne ili više kružnica.

U zadacima 5.10-5.13 razmatraju se odnosi između lukova kružnica opisanim oko figura (upi-sanim u figure) kao što su jednakostranični trougao, pravilni petougao i pravilni šestougao.

Predlažemo da učenici riješe bar po dva zadatka iz svake grupe.

Površina kruga

Poslije izvođenja formule za izračunavanje površine kruga, tabla može da ima ovakav izgled.

Površina kruga.Na slici 7.9 je prikazana kružnica k poluprečnika r. Oko

te kružnice opisan je pravilni n-tougao.Oznake:O – obim kružnice k, O = ____P – površina kruga ograničenog kružnicom k,

a-dužina stranice, nP -površina, nO -obim,

P -po-vršina karakterističnog trougla -pravilnog opisanog n-tougla. Slika 7.9

...

91

−

= + + ⋅⋅⋅+

=

,

.

nn puta

n

P P P P

P n P

Par

P nar

Pna r

n

n

=

=

=

2

2

2

,

,

,

= ,nO na

PO r

nn=2

,

≈ ≈, ,n nP P O O

PO r

=2

,

= π2 ,O r

=2

Pπ

2r r

,

= π2 .P rZa površinu kruga važi = π2 ,P r gdje je r poluprečnik kruga.

Navedimo i jedan od mogućih dijaloga koje nastavnik može uspostaviti sa učenicima pri izvo-đenju formule.

Nastavnik: Danas ćemo naučiti formulu koja omogućava da se izračuna površina kruga kada je zadat njegov poluprečnik.

Nastavnik na tabli zapisuje:Površina kruga.Na slici je prikazana kružnica K poluprečnika r. Oko te kružnice opisan je pravilni n-tougao.Oznake:O – obim kružnice K, O = .Nastavnik: Čemu je jednak obim kružnice?Učenici: Obim kružnice je jednak 2rπ .Nastavnik u prazno polje zapisuje izraz 2rπ .Nastavnik: Koristićemo i sljedeće oznake:P – površina kruga ograničenog kružnicom k,

na – dužina stranice, nP – površina, nO – obim,

P – površina karakterističnog trougla– pravilnog opisanog n-tougla.

Nastavnik: Uočite da je opisani n-tougao podijeljen dužima koje centar kružnice spajaju sa njegovim tjemenima na n- karakterističnih trouglova. Kao što znamo riječ je o jednakokrakim po-dudarnim trouglovima. Karakteristični trouglovi kao podudarni trouglovi imaju jednake površine. Šta se dobija sabiranjem površina karakterističnih trouglova?

Učenici: Sabiranjem površina karakterističnih trouglova dobija se površina opisanog pravilnog n-tougla.

92

Nastavnik na tabli zapisuje formule:

−

= + + ⋅⋅⋅+

=

,

.

nn puta

n

P P P P

P n P

Nastavnik: Osnovica karakterističnog trougla i visina koja pripada osnovici jednaki su, redom, stranici opisanog mnogougla i poluprečniku r kružnice K. Čemu je jednaka površina karakteristič-nog trougla?

Učenici: Površina karakterističnog trougla jednaka je polovini proizvoda dužine stranice opi-sanog n-tougla i poluprečnika r kružnice K.

Nastavnik na tabli zapisuje formulu:

=

.2ar

P

Nastavnik: Ako u prethodnoj formuli umjesto

P napišemo 2ar

, dobijamo

P nar

Pna r

n

n

= ⋅

=

2

2

,

.

Nastavnik: Čemu je jednak obim pravilnog mnogougla čija stranica ima dužinu a?Učenici: Obim pravilnog mnogougla čija stranica ima dužinu a jednak je na.Nastavnik na tabli zapisuje formulu:

=nO na .Nastavnik: Ako u prethodnoj formuli umjesto na napišemo nO , dobijamo

=2n

nO r

P .

Nastavnik: Posmatrajući sliku 7.9 možemo uočiti da je površina kruga približno jednaka po-vršini opisanog pravilnog n-tougla:

≈ ≈, .n nP P O OPogledajte sliku 6.1 u vašem Udžbeniku. Vidimo da kada postepeno povećavamo broj n (broj

stranica opisanog pravilnog mnogougla) razlike −nP P i −nO O na svakom koraku postaju sve

manje. Formula za izračunavanje površine kruga dobija se iz formule ⋅

=2n

nO r

P kada se veličine

Pn i On u toj formuli zamjene veličinama P i = π2 :O r

PO r

=2

,

= π2 ,O r

=2

Pπ

2r r

,

= π2 .P rNastavnik na tabli zapisuje zaključak:Za površinu kruga važi = π2 ,P r gdje je r poluprečnik kruga.

Analiza zadataka iz Zbirke:•Zadaci 6.1-6.11 i 6.27 se rješavaju neposrednom primjenom formula

= π2 ,O r = =ππ

2 i .P

P r r

93

U zadacima 6.12–6.18 i 6.32 treba izračunati površine figura u ravni koje sadrže dijelove jednog ili više krugova.

U zadacima 6.19-6.26, 6.28 i 6.30 i 6.31 razmatraju se odnosi površina dijelova krugova ogra-ničenih kružnicama opisanim oko figura (upisanim u figure) kao što su pravougli i jednakostranič-ni trougao, pravougaonik, kvadrat i romb.

Površina kružnog isječka

I izvođenje formule za izračunavanje površine kružnog isječka se zasniva na učenicima dobro poznatim svojstvima direktno proporcionalnih veličina. Zato se ova tema može obraditi preko na-stavnih listića sa namjerom da kod učenika stvorimo naviku samostalnog učenja.

Prvi čas.

Nastavni listićFiguru ograničenu poluprečnicima • OA i OB i lukom AB nazivamo kružnim isječkom (slika 7.1, Udžbenik).

Sa IP odnosno IP (AOB) označavamo površinu kružnog isječka.Naš cilj je da dođemo do formule za izračunavanje površine kružnog isječka.Koristeći sliku 7.2 (Udžbenik) treba da uočiš kakva zavisnost postoji između veličina IP -po-

vršina kružnog isječka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla.Ako se ugao • AOB uveća dva puta, dobiće se ugao :AOC

= 2 .AOC AOB U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između površina • ( )IP OAB i ( )IP OAC odgo-varajućih kružnih isječaka:

= ⋅( ) IP OAB ⋅( )IP OACAko se ugao • AOB uveća tri puta, dobiće se ugao :AOD

= 3 .AOD AOB U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između površina • ( )IP OAB i PI(OAD) odgo-varajućih kružnih isječaka:

PI(OAB) = ⋅( ) IP OAD PI(OAD).Izvedi opšti zaključak:•

Ako se veličina centralnog ugla uveća k puta, onda se i površina odgovarajućeg kružnog isječ-ka uveća puta (upiši broj koji nedostaje).

Iz gornjeg tvrđenja slijedi da su veličine • IP -površina kružnog isječka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla: a) direktno, b) obrnuto proporcionalne (prekriži netačan odgovor).Poznato ti je da se za dva para • 1 1( , )x y i 2 2( , )x y odgovarajućih vrijednosti direktno proporcio-nalnih veličina formira tabela 7.8 i odgovarajuća proporcija:

Prva veličina Druga veličina

x1x2

y1y2

..........: .......... = .......... : ..........Tabela 7.8

Formirajmo dva para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina: • l-dužina kruž-nog luka i α - veličina odgovarajućeg centralnog ugla.

94

Centralnom uglu veličine =

1 360y odgovara kružni isječak (krug) čija je površina = = π2

1 .Kx P r Centralnom uglu veličine = α2y odgovara kružni isječak (krug) površine =2 .Ix P

Ako u proporciju iz prethodne tačke uvrstiš (• = = π21 Kx P r , =

1 360 )y i ( =2 Ix P , = α2 )y , do-bija se tabela 7.9 i odgovarajuća proporcija:

Površina kružnog isečka

Veličina odgovaraju-ćeg centralnog ugla

Pk = r2pPI

360°α

Tabela 7.9

IP : .......... = .......... : .........., odnosno π2r : .......... = .......... : ...........Rješavanjem druge proporcije po nepoznatoj • IP dobija se formula:

=IPRješavanjem prve proporcije prvo po nepoznatoj • KP , a zatim po nepoznatoj α dobijaju se for-mule:

=KP .........., =α ..........Zaključak:•

Ako su poznate dvije od tri veličina IP , = π2KP r i α , onda se treća veličina može izračunati

primjenom jedne od formula:

=

πα2,

360Ir

P ⋅

=

α360

,IK

PP ,

⋅=

α 360.I

K

PP

Drugi čas.

Nastavni listićNa ovom času ćemo izvesti još jednu formulu za izračunavanje površine kružnog isječka u kojoj •će figurisati dužina luka koji ograničava taj isječak i veličina odgovarajućeg centralnog ugla.

Koristeći sliku 7.2 (Udžbenik) treba da uočiš kakva zavisnost postoji između veličina IP – po-vršina kružnog isječka i l – dužina kružnog luka koji ograničava taj isječak.

Ako se luk • AB uveća dva puta, dobiće se luk AC :

AC AB = ⋅2 .U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između površina • ( )IP OAB i ( )IP OAC odgo-varajućih kružnih isječaka:

PI(OAB) P OACI ( ) = ⋅ PI(OAC).

Ako se luk • AB uveća tri puta, dobiće se luk AD : AD AB = ⋅3U prazno polje upiši broj kojim se izražava odnos između površina • ( )IP OAB i PI(OAD) odgo-varajućih kružnih isječaka:

PI(OAB) = ⋅( ) IP OAD PI(OAD).Izvedi opšti zaključak:•

Ako se dužina kružnog luka uveća k puta, onda se i površina odgovarajućeg kružnog isječka uveća puta (upiši broj koji nedostaje).

Iz gornjeg tvrđenja slijedi da su veličine • IP -površina kružnog isječka i l - dužina odgovarajućeg kružnog luka – a) direktno, b) obrnuto proporcionalne (prekriži netačan odgovor).

95

Poznato ti je da se za dva para • 1 1( , )x y i 2 2( , )x y odgovarajućih vrijednosti direktno proporcio-nalnih veličina formira tabela 7.10 i odgovarajuća proporcija:

Prva veličina Druga veličina

x1x2

y1y2

..........: .......... = .......... : ..........Tabela 7.10

Formirajmo dva para odgovarajućih vrijednosti direktno proporcionalnih veličina • IP – površina kružnog isječka i l- dužina kružnog luka koji ograničava taj isječak.

Kružnici kao kružnom luku dužine (obima) = π1 2y r odgovara kružni isječak (krug) čija je površina = π2

1 .x r Kružnom luku dužine =2y l odgovara kružni isječak površine =2 .Ix P Ako se u proporciju iz prethodne tačke uvrsti (• = π2

1x r , = π1 2 )y r i ( =2 Ix P , =2 )y l , dobija se tabela 7.11 i odgovarajuća proporcija:

Površina kružnog isječka

Dužina odgovaraju-ćeg kružnog isječka

r2pPI

2rpl

..........: .......... = .......... : ..........Tabela 7.11

Proporciju možemo zapisati u obliku jednakosti razlomaka (razmjera):

IP

= .

Ako lijevu i desnu stranu posljednje jednakosti pomnožimo sa πr , dobija se jednakost

IP

= ,

koja se može zapisati u obliku proporcije: IP : .......... = .......... : ..........

Rješavanjem ove proporcije, redom, po nepoznatim • IP , r i l dobijaju se formule: =IP .........., r = .........., l = .......... .

Zaključak:•Ako su poznate dvije od tri veličina IP , i ,r l onda se treća veličina može izračunati primjenom

jedne od formula:

= = =2 2

, i .2

I II

rl P PP r l

l r

Ako vam se čini da su ovakvi nastavni listići nepodesni zbog dužine teksta, njihov sadržaj se •lako može prilagoditi dijaloškoj metodi. Analiza zadataka iz Zbirke:•

Zadaci 7.1-7.13 se rješavaju neposrednom primjenom formula

=

πα2,

360Ir

P ⋅

=

α360

,IK

PP ,

⋅=

α 360,I

K

PP

= = =2 2

, i .2

I II

rl P PP r l

l r

96

U zadacima 7.14–7.15 treba izračunati površine figura u ravni koje sadrže dijelove jednog ili više kružnih prstena.

Površina kružnog prstena

Formula za izračunavanje površine kružnog isječka izvodi se neposredno na osnovu slike.•Analiza zadataka iz Zbirke:•

Zadaci 8.1-8.8 i 8.14 se rješavaju neposrednom primjenom formule = − = −π π π2 2 2 2

1 2 1 2( ) .P r r r r U zadacima 8.9-8.13 treba izračunati površine kružnih prstena obrazovanih kružnicama opi-sanih oko jednakostraničnog trougla, kvadrata i pravilnog šestougla i kružnicama upisanim u te figure.