podloge za predavanja iz mehanike 1 - fsb online · pdf file3 laboratori j z a m umeri čk u m...

1L a b o r a t o r i j z a m u m e r i č k u m e h a n i k u

Podloge za predavanja iz Mehanike 1

STATIČKI MOMENT SILE + SPREG SILA


Statički moment sile

MA=|F|dA=225*0.6 = 135 Nm

MB=|F| dB=225*0.4 = 90 Nm

MC=|F| dC=225*0.8 = 180 Nm

MA= 135 Nm

MB= 90 Nm

MC= 180 Nm

Sila u iznosu od 225 N djeluje na ključ prema slici. Odrediti moment sile obzirom na točku A, B i C.



Sila teži da pokrene tijelo u smjeru svog djelovanja i da ga zakrene oko bilo koje zamišljene osi koja se ne siječe s pravcem djelovanja sile niti je s njom paralelna.

Težnju za zakretanjem zovemo momentom.

Jedinica za moment je njutnmetar (Nm).



OM F d Fd= = −

sin OM F d Fd Fr θ= = + =

F

O

dr

θA B

O

dOdF F

OM F d Fd= = +OM F d Fd= = −



y

xo

F1

F2

F3

d1 d2

Koje sile daju moment oko točke O?


Vektorski produkt u Kartezijevim koordinatama

Vektorski produkt jediničnih vektora0

(1)(1)sin 90 (1)(1)sin 90;

o o

i i j j k ki j k kj k i k i j

× = × = × =

× = =

× = × =

z

xi j y

k

x y zA A i A j A k= + +

x y zB B i B j B k= + +

( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k× = + + × + +

( ) ( ) ( )y z z y z x x z x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k× = − + − + −

Nakon sređivanja

-A B B A× = ×Napomena:

Vektorski produkt dvaju vektora


Kartezijeve komponente momenta u prostoru

z

x

yo

x y zr r i r j r k= + +

x y zF F i F j F k= + +

oM r F= ×

rxF i yF j

zF k

x y

z

F

pravac djelovanja sile

A

‘A’ može biti bilo koja točka na pravcu djelovanja sile

‘A’ može biti bilo koja točka na pravcu djelovanja sile

Vektor sile:

Vektor položaja bilo koje točke ‘A’ na pravcu djelovanja sile:

Moment sile oko točke O:



Zašto moment ne ovisi o izboru točke ‘A’?M0=rB x F

rA

rB=rA+rB/A

M0=(rA+rB/A) x F =

M0= (rAx F)+(rB/Ax F )

Zato jer je rB/A kolinearan s F

M0= (rAx F)

y

z

O

A

k

i

x

j

rB

rB/AB

F

Vektor položaja može biti ucrtan u bilo kojoj točki na pravcu djelovanja sile !!!



Moment sile F oko točke O

oM r F= ×

α o

x

y

γ U Kartezijevim koordinatama

o x y z oM M i M j M k M e= + + =β

oMr F

e

o

x y z

i j kM r F x y z

F F F= × =

( ) ( ) ( )o z y x z y xM r F yF zF i zF xF j xF yF k= × = − + − + −

z

xM i

yM j

zM k



• Kartezijeve komponente

• Iznos:• Pravac dan s jediničnim vektorom:

• gdje su

2 2 2o x y zM M M M= + +

cos cos cos o

o

Me i j kM

α β γ= = + +

cos x

o

MM

α =

( ) ( ) ( ); ; x z y y x z z y xM yF zF M zF xF M xF yF= − = − = −

cos y

o

MM

β =

cos z

o

MM

γ =


Kartezijeve komponente momenta u ravnini

Moment sile F oko točke O

oM r F= ×

o

z

x

U Kartezijevim koordinatama

y

o oM M k=

oM

rF

e k=00

o

x y

i j kM r F x y

F F= × =

( )o y xM r F xF yF k= × = −

( )o y xM xF yF= −x

y

xF iyF j

y

x

rx Fy

y Fx


Moment sile oko neke osi

Otvaranje vrata

o

oM

e

z

Fr

x

y

Primjenjuje se sila u ravnini okomito na os vrata (os z).

Vektor momenta je u pravcu osi z i omogućava otvaranje vrata

oM r F r F k= × =


Kartezijeve komponente momenta u ravnini

Primjenjuje se sila u ravnini koja nije okomita na os vrata (os z).

Moment nije u pravcu osi z. Moment koji omogućava otvaranje vrata je samo komponenta momenta oko osi z.

eoMo

zM z

x

y

oM

( )• z oM M k k=

oM

Komponenta momenta oko osi zoM

r

F


Zamislimo da trebamo odvrnuti čep od boce primjenjujući dvije jednake, paralelne i suprotno usmjerene sile prema slici (tangencijalno na čep):

F

F

čep

Efekt od sustava sila je samo rotacija tijela.

Takav poseban slučaj dviju paralelnih (nekolinearnih), jednakih i suprotno usmjerenih sila zovemo SPREG.

Spreg (par) sila


Spreg (par) sila

Odredimo moment sila oko točke A

F

F

čep

a

dd+a

A

+ MA=F(d+a)-F(a)=Fd

Moment sprega je vektor:1. Slobodni vektor (moment je jednak oko bilo koje točke)2. Intenzitet (intenzitet od sile x okomita udaljenost)3. Pravac (okomit na ravninu sprega)4. Smisao rotacije

Napomenimo da je moment neovisan o izboru točke s obziromna koju se računa (MA ne ovisi o ‘a’)!!


x

2 1F F= −

d+axθ o y

zθ

yθ

oM

1r

2Fe

z

2r1F

r( )

1 1 2 2

1 2 1

1

oM r F r Fr r F

r F

= × + ×

= − ×

= ×

1 2r r r= −

1oM r F F d e= × =1 2F F F= =

d

Spreg sila u prostoru


Ekvivalentni spregovi

1oM r F F d e= × =

d+aoMF

- F

d

d+aoMF

- F

dd+aoM 2 F

-2 Fd/2

oM

F - Fd


Zbrajanje spregova

Spreg je vektor pa se spregovi mogu zbrajati u skladu s pravilom o zbrajanju vektora

1 2M M M= +1M

2M1 2

1 2

1 2

; ;

x y z

x x x

y y y

z z z

M M i M j M k

M M MM M M

M M M

= + +

= +

= +

= +


Primjer

Odredi moment sprega prikazanog prema slici te udaljenost između paralelnih pravaca dviju sila.

760 N

760 N

350Β

Α

200

mm

100 mm


Rješenje

760 N

760 N

350Β

Α

200

mm

100 mm

FA = -760 cos(350) i - 760 sin(350) j = -622 i – 435.9 j N

rBA = -0.1 i + 0.2 j m

MB=

i j k -0.1 0.2 0-622 -435.9 0 = 168 Nm

|MB|= Mx2 + My

2 + Mz2 = 168 Nm

d=M/F=168/760=0.22 m


Pravilo o paralelnom pomaku sile

F

Disk učvršćen u središtu

Od F

Disk slobodan

d

Disk translatira i rotira oko svogsredišta...zašto???

F

dF- F

Sistem ostaje nepromijenjen

O FO

M M dF=Sila izaziva translaciju, a moment rotaciju.


Ako silu pomičemo s pravca a na paralelni pravac b, treba ju zamijeniti sa sustavom koji se sastoji od sile i sprega koji je okomit na ravninu koju definiraju pravci a i b.

F

0M

Fd

M Fd=

ab

a

Pravilo o paralelnom pomaku sile u prostoru


Pravilo o paralelnom pomaku sile u prostoru

F a

0M

F d

MdF

=

bb



Zamijeni silu iznosa 350 N prema slici sa silom u točki B i spregom.

C

25

C

FC

-FC

L a b o r a t o r i j z a m u m e r i č k u m e h a n i k u


FC = 350 cos(400) i - 350 sin(400) jFC = 268.1 i – 225 j N

M=

i j k 0.1 0.25 0268.1 -225 0 = -89.5 k Nm

rBC = 0.1 i + 0.25 j m

rBC

C

MB

FCRef: Keblinski, P.: Introduction to Engineering Analysis, 2007.

podloge za predavanja iz mehanike 1 - fsb online · pdf file3 laboratori j z a m umeri čk u m...

Documents