podučavanje održivosti kroz matematičke kolegijed.researchbib.com/f/cnbqt1amvhptez.pdfmatematika...
TRANSCRIPT
P – 542
Podučavanje održivosti kroz matematičke kolegije
Nada Roguljić
Sveučilišni odjel za stručne studije Sveučilišta u Splitu, Split, Hrvatska
Arijana Burazin Mišura
Sveučilišni odjel za stručne studije Sveučilišta u Splitu, Split, Hrvatska
Jelena Krčum
Pomorska škola, Split, Hrvatska
Sažetak. Glavna ideja ovog rada ukazati je na načine kako uključiti održivost u kurikulum
matematičkih kolegija. Problematika održivosti je u svojoj biti interdisciplinarno područje. Postoji
mnoštvo prilika za uvođenje primjera održivosti u matematičke kolegije, počevši od algebre i
geometrije sve do analize i statistike. Poučavanje o održivosti prirodnih resursa ima najveći utjecaj
upravo na velikim dodiplomskim matematičkim kolegijima poput onih koji se izvode na Sveučilišnom
odjelu stručnih studija. Preporučamo načine na koji sveučilišni nastavnici matematike mogu pružiti
kvalitetnu i autentičnu poduku svojim studentima baziranu na stvarnim podacima, koja uključuje ideje
o održivosti unutar matematičkog konteksta, a bez ugrožavanja obveznih matematičkih sadržaja. Kao
dodatni ishod učenja možemo očekivati osvještavanje važnosti problematike brige o okolišu i
podizanje ekološke svijesti studenata.
Ključne riječi: podučavanje, matematika, održivost
1. Uvod
Tema održivosti (eng. sustainability) tema je koja zadnjih desetljeća zadire u sve sfere
ljudskog života i djelovanja pa tako i u obrazovanje. Svjesni smo činjenice da je ubrzani
industrijski i tehnološki razvoj čovječanstva s jedne strane donio kvalitetu života u razvijenim
zemljama, a s druge strane doveo u pitanje održivost života na našoj planeti budućim
generacijama. Neracionalni pristup eksploataciji prirodnih resursa i nedostatak promišljanja
vladajućih elita doveo nas je do trenutka kada je nužno potreban preokret u razmišljanju o
sadašnjosti kako bi negativne trendove u budućnosti okrenuli u održive. Pojam održivosti se
različito definira: kao neprekidno održavanje raznolikog i produktivnog okoliša o kojem sav
život ovisi; odgovorno korištenje resursa na neodređeno vrijeme; zadovoljavanje potreba
sadašnjosti bez ugrožavanja mogućnosti budućih generacija da zadovolje svoje potrebe. Zato
održiva budućnost prvenstveno ovisi o spremnosti društva da educira stručnjake koji će znati
voditi radne procese, stvoriti infrastrukturu potrebnu da se optimizira upravljanje resursima.
Obrazovanje, bilo formalno ili neformalno ključ je razvoja znanja, tehnologija i vještina
potrebnih za održivu budućnost. Svjesni globalnog problema i upitne budućnosti Ujedinjeni
narodi su proteklo desetljeće (2005. – 2014.) proglasili desetljećem obrazovanja za održivi
razvoj. Nizom lokalnih i globalnih aktivnosti promicali su obrazovanje i podizanje razine
svjesnosti za održivi razvoj od pojedinca do šire društvene zajednice. Brojne su inicijative
zaživjele u raznim obrazovnim sferama poglavito u matematičkom obrazovanju i srodnim
prirodnim i tehničkim disciplinama. Matematika planeta Zemlje 2013. (MPE 2013) je
inicijativa matematičkih znanstvenih organizacija u svijetu s ciljem pronalaženja načina na
P – 543
koji matematičke discipline mogu biti korisne u rješavanju globalnog svjetskog problema.
Ova inicijativa rezultirala je nizom tematskih događanja u 2013. godini, uključujući i više od
10 dugoročnih programa na institutima širom svijeta, više od 50 radionica, gostovanjima
pozvanih predavača, brojnim javnim predavanjima, razvojem obrazovnih materijala,
tematskim umjetničkim izložbama i međunarodnim nagradnim natječajem za razvoj
inovativnih obrazovnih modula prikladnih za širu diseminaciju.
2. Matematika i održivost
Trend integriranja koncepta održivosti u matematičke kolegije i obrnuto sve je prominentniji
na svim razinama obrazovanja. Razlog leži u njihovoj prirodnoj vezi. Doslovno sva pitanja u
održivom razvoju zahtijevaju matematičke vještine: mjerenja, procjene, pretvorbe jedinica,
skaliranja u jednodimenzionalnom, dvodimenzionalnom, trodimenzionalnom, a čak i
četverodimenzionalnom prostoru, matematičkog modeliranja rasta ili pada, korištenja
numeričkih podataka u različitim analizama i razumijevanju ograničenja [3]. Analize
održivosti počivaju na tablicama, grafovima i matematičkim jednadžbama. Međutim, da bi
ideja održivosti zaživjela u svojoj punini nije dovoljno da se integrira samo u postojeće STEM
discipline, već je nužno da održivost postane nova obrazovna paradigma. Kao takva mogla bi
transformirati ne samo suhoparne akademske discipline nego bi promijenila način na koji
razmišljamo o svemu što nas okružuje. Analiziranje realnih problema iz područja održivosti
donosi dodanu vrijednost nastavi matematike. Studenti dobivaju širu sliku, postaju svjesni
ograničenja koje nam priroda postavlja, a i uviđaju važnost matematike na putu rješavanja
gorućih problema. Održivost je autentični, zanimljivi i motivirajući kontekst u kojem
matematika ima svoju nezamjenjivu ulogu.
3. Primjeri integriranih sadržaja
U ovom ćemo poglavlju kroz više primjera sugerirati kako integrirati teme iz održivosti u
nastavu matematike u visokom školstvu, ponajprije u području matematičke analize i
statistike [2]. Za obradu realnih podataka koristit ćemo se MS Excelom 2007, standardnim i
pristupačnim alatom koji je većina studenata u mogućnosti koristiti.
3.1 Prosječna globalna temperatura
Za potrebe ovog primjera potrebno je dohvatiti podatke o prosječnoj globalnoj temperaturi
[9]. U radnom listu MS Excela kreira se točkasti dijagram. Uz pomoć opcije Trendline izabere
se odgovarajuća funkcija koja najbolje modelira podatke. Kriterij odabira je iznos koeficijenta
determinacije 𝑅2.
Tako za dohvaćene podatke dobivamo sljedeći prikaz:
Slika 1 Kretanje prosječne globalne temperature od 1950. do 2014. godine
P – 544
Od studenata možemo očekivati da nađu rješenja sljedećih problema [4]:
- Odredite matematički model koji dobro opisuje kretanje prosječne globalne
temperature kao funkcije vremena.
Dane podatke sa zadovoljavajućim iznosom koeficijenta determinacije 𝑅2 modelira
kvadratna funkcija
𝑓(𝑥) = 0,000183 ∙ 𝑥2 + 0,005413 ∙ 𝑥 + 13,871188 .
- Upotrebom dobivenog modela prognozirajte globalnu prosječnu temperaturu za
navedeni niz godina, kao i porast temperature u odnosu na 2014. godinu (𝑡1).
Tablica 1
Godina Prognozirana temperatura 𝑡2 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
2020. 15,15 0,26
2040. 15,84 0,95
2100. 18,80 3,91
- Odredite godišnju stopu promjene prosječne globalne temperature u 2014. godini.
Kada se stopa promjene ne bi mijenjala, tj. kada bi ostala na nivou one u 2014. godini
izvršite predviđanja iz gornje tablice.
Odgovarajuće rješenje nalazi se određivanjem nagiba tangente na krivulju u danoj
točki. Stoga je potrebno odrediti prvu derivaciju dobivene funkcije i njenu vrijednost
za 2014. godinu (𝑥 = 64).
𝑓′(𝑥) = 0,000366 ∙ 𝑥 + 0,005413
𝑓′(64) = 0,0288
Možemo reći da je 2014. prosječna globalna temperatura bila 14,89℃ uz stopu
godišnjeg rasta 0,0288℃.
Tablica 2
Godina Prognozirana temperatura 𝑡2 ∆𝑡 = 𝑡2 − 𝑡1
2020. 15,06 0,17
2040. 15,64 0,75
2100. 17,37 2,48
- Prema danom modelu odredite koje bi godine očekivana prosječna globalna
temperatura iznosila 20℃.
𝑦 = 20℃
Rješavanjem kvadratne jednadžbe dolazimo do rješenja 𝑥 = 168,81 (2119. godina).
Obradi ovakvog sadržaja može slijediti kraća rasprava o uzrocima globalnog zatopljenja,
posljedicama na okoliš i život na zemlji, mogući scenariji, osobnoj odgovornosti pojedinca za
moguće promjene. Zainteresirane studente može se uputiti na daljnje proučavanje
problematike [10].
3.2 Koncentracija CO2 u zraku
Za potrebe ovog primjera potrebno je dohvatiti podatke o koncentraciji CO2 u zraku. Podaci
su mjereni u atmosferskom opservatoriju na Havajima Mauna Loa i dohvaćeni s web stranice
[11] za razdoblje od 1959. do 2015., a od 1950. do 1958. povijesni podaci sa [13] (godišnje
prosječne vrijednosti CO2). Podaci su:
P – 545
Slika 2 Koncentracija CO2 u zraku, od 1950. do 2015. godine
U radnom listu MS Excela kreira se točkasti dijagram. Uz pomoć opcije Trendline izabere se
odgovarajuća funkcija koja najbolje modelira podatke. Kriterij odabira je iznos koeficijenta
determinacije 𝑅2. Tako za dohvaćene podatke dobivamo sljedeći prikaz:
Slika 3 Koncentracija CO2 u zraku, od 1950. do 2015. godine podaci modelirani kvadratnom funkcijom
Od studenata možemo očekivati da odgovore na sljedeća pitanja:
- Odredite matematički model koji dobro opisuje kretanje koncentracije CO2 kao
funkcije vremena.
Dane podatke sa zadovoljavajućim iznosom koeficijenta determinacije 𝑅2 modelira
kvadratna funkcija:
𝑓(𝑥) = 0,01330 ∙ 𝑥2 + 0,52838 ∙ 𝑥 + 310,36069
P – 546
- Upotrebom dobivenog modela prognozirajte kolika bi bila očekivana vrijednost
koncentracije CO2 2050. godine?
𝑓(100) = 496,20 𝑝𝑝𝑚
- Odredite godišnju stopu promjene koncentracije CO2 u 2015. godini. Kada se stopa
promjene ne bi mijenjala, tj. kada bi ostala na nivou one u 2015. godini izvršite
predviđanja očekivane vrijednosti koncentracije CO2 2050. godine.
𝑓′(𝑥) = 0,0266 ∙ 𝑥 + 0,52838
𝑓′(65) = 2,25738
Predviđanje za 2050. godinu na bazi stope rasta iz 2015. dobit ćemo uvrštavanjem
dobivenih podataka u jednadžbu tangente.
𝑦 = 𝑓′(𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0) + 𝑦0
gdje je 𝑓′(𝑥0) stopa promjene (nagib tangente) u 𝑥0 = 65 (2015. 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎), 𝑦0 =400,83 𝑝𝑝𝑚 koncentracija CO2 u 2015. godini, a 𝑥 = 100(2050. 𝑔𝑜𝑑𝑖𝑛𝑎), 𝑦 tražena
koncentracija u 2050. godini. Tako bi, uz istu stopu promjene iz 2015., koncentracija
CO2 2050. iznosila 479,84 𝑝𝑝𝑚.
Slika 4 Koncentracija CO2 u zraku, od 1950. do 2015. godine modelirana kvadratnom funkcijom; tangenta na
krivulju u 𝑥 = 65
- Prema [7] pri koncentraciji CO2 od 450 𝑝𝑝𝑚 vjerojatnost globalnog zatopljenja od
2℃ iznosi 50 %. Procijenite koje bi se godine mogla doseći ta vrijednost i prema
dobivenom modelu, kao i prema kontinuiranom rastu stopom iz 2015. godine.
𝑦 = 450 𝑝𝑝𝑚
Rješenje ćemo dobiti rješavanjem jednadžbe. U prvom slučaju kvadratne, a u drugom
slučaju linearne. Možemo zatražiti od studenata da napišu kratki tekst u kojem
objašnjavaju dobivene vrijednosti.
Ako trend porasta koncentracije CO2 nastavi slijediti dobiveni model s 50 % sa
sigurnošću se tijekom 2035. godine može očekivati globalno zatopljenje od 2℃, a ako
pak nastavi rast s konstantnom stopom iz 2015. Godine, taj porast može se očekivati u
2037. godini. Objasnite odakle razlika?
Prema [1] porast temperature od 1℃ na današnju vrijednost globalne prosječne
temperature značio bi daljnje zakiseljavanje oceana, slom prirodnih ekosustava, a
značio bi i novih 18 – 60 milijuna gladnih u nerazvijenim zemljama. Porast od 1,5℃
mogao bi dovesti do smanjenja ledenog pokrivača na Grenlandu i podizanja razine
P – 547
mora za 7 m te posljedičnog poplavljivanja obalnog pojasa. Porast od 2℃ doveo bi do
smanjenja poljoprivrednog prinosa u bogatim zemljama kao i ugroženost nedostatkom
pitke vode za 1 – 3 milijardu stanovništva. Porast od 3℃ značio bi propast ekološkog
sustava Amazonske prašume. Porast od 4℃ značio bi potpuni gubitak poljoprivredne
proizvodnje za čitavu Afriku i Australiju.
Kakav bi trebao biti trend promjene koncentracije CO2 da bi izbjegli ovakav scenarij?
3.3 Emisija CO2 u atmosferu (podaci za Hrvatsku)
Za potrebe ovog primjera potrebno je dohvatiti podatke o emisiji CO2 u atmosferu. Kako bi se
studenti lakše identificirali s problemom dobro je preuzeti podatke za Hrvatsku. Podaci su
dohvaćeni s web stranice [6]. Obuhvaćena je emisija CO2 koja nastaje zbog sagorijevanja
fosilnih goriva i proizvodnje cementa. Ona uključuje i ugljični dioksid proizveden tijekom
potrošnje krutog, tekućeg i plinovitog goriva.
Slika 5 Emisija 𝐶𝑂2 u RH Slika 6 Emisija 𝐶𝑂2 u RH u tonama po stanovniku
Moguća pitanja koja se mogu postaviti studentima su:
- Koje je godine (od početka mjerenja) zabilježena maksimalna emisija CO2 i koliko je
ona iznosila? U usporedbi s 1992. godinom koliki je porast zabilježen?
Vidljivo je i iz tablice kao i grafa da je dosadašnji maksimum dosegnut 2007. godine i
iznosi 5,501 𝑡𝑜𝑛𝑎/𝑠𝑡𝑎𝑛𝑜𝑣𝑛𝑖𝑘𝑢. U odnosu na 1993. zabilježen je porast emisije od
1,049 𝑡𝑜𝑛𝑎/𝑠𝑡𝑎𝑛𝑜𝑣𝑛𝑖𝑘𝑢
- Izračunajte postotnu promjenu emisije u svim godinama promatranog perioda u
odnosu na početnu 1992. godinu. Interpretirajte stope promjene za 1994. i 2008.
godinu!
1994. godine zabilježeno je smanjenje emisije CO2 za 3,28 % u odnosu na 1992.
godinu, a 2008. godine zabilježen je porast emisije CO2 u odnosu na 1992. godinu za
40,42 %.
- Izračunajte postotnu promjenu emisije u nizu uzastopnih godina (lančane indekse) i
pronađite te interpretirajte one indekse koji ukazuju na najveće smanjenje, odnosno
povećanje emisije u promatranom vremenskom periodu.
P – 548
Najveći pad emisije zabilježen je 2009. godine kada je, u odnosu na 2008., emisija
smanjena za 7,64 %. Najveći se pak skok u emisiji dogodio 1996. godine kada je
zabilježen porast emisije za 9,24 % u odnosu na 1995. godinu.
Slika 7 Emisija 𝐶𝑂2 u RH u tonama po stanovniku od 1992. do 2011, bazni indeksi na nivou 1992. godine i
lančani indeksi te pripadne stope promjene
Daljnja rasprava može ići u smjeru pronalaženja razloga za najveći pad emisije 2009.
godine u odnosu na 2008., pogotovo sa studentima ekonomskih usmjerenja. Kako bi
se usmjerilo studente mogu im se podastrijeti podaci o kretanju BDP-a u tom
promatranom razdoblju [6]. Evidentno je naime da je u tom periodu u RH došlo do
pada gospodarske aktivnosti, a posljedično i smanjenja rasta emisije CO2.
Slika 8 BDP per capita (US$) za RH 2007. - 2014. Slika 9 Stopa promjene BDP-a od 2007. do 2014.
P – 549
3.4 Održivo ribarstvo
Recentna povijest zabilježila je više slučajeva kolapsa ribljeg fonda nekih vrsta, primjerice
norveške haringe, bakalara, peruanskih inćuna, pogotovo u razdoblju od 1960. do kraja
prošlog stoljeća.
Slika 10 Kolaps ribljeg fonda atlantskog bakalara [12]
Tako je izlov atlantskog bakalara s održivog nivoa oko 250 000 tona godišnje narastao na
visokih 800 000 tona godišnje što je dovelo do potpunog kolapsa u 1992. godini. Ovakve su
pojave posljedica pretjeranog izlova, ali i klimatskih promjena, promjene temperature
svjetskih mora te nedovoljne brige o akvakulturi. No, moguće je imati održivo ribarstvo
pravilnim gospodarenjem i striktnim provođenjem lovnih kvota. Danas postoje institucije čija
je to primarna zadaća. Jedan od načina da se postigne kvalitetno i promišljeno planiranje je
modeliranje ulaznih varijabli (dostupnost hrane, stopa uzgoja, temperatura vode, onečišćenja)
i izlaza (prirodna smrt, komercijalni ribolov). Takvo modeliranje moguće je pomoću
diferencijalnih jednadžbi [5].
3.4.1 Model kretanja količine ribe u ograničenom prirodnom okolišu
Ponudit ćemo posve pojednostavljen model količine ribljeg fonda u nekom geografski
ograničenom području (npr. uvala).
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥 ∙ (1 −
𝑥
12)
U ovom modelu 𝑥 predstavlja količinu ribe (masu u tisućama tona), 𝑡 vrijeme (u godinama).
Faktor 𝑥 s desne strane modela predstavlja rast ribljeg fonda, a izraz u zagradama smanjenje
zbog ograničavajućih utjecaja. Broj 12 predstavlja stabilni (održivi) nivo ribljeg fonda.
Postavimo početni uvjet. Neka je početna količina ribe 500 t. Pišemo onda 𝑥(0) = 0,5.
Studenti kojima se ovo gradivo izlaže trebali bi biti u stanju rješiti diferencijalnu jednadžbu uz
zadani početni uvjet. Ovo je diferencijalna jednadžba sa separiranim varijablama. Njeno
rješenje uz zadani početni uvjet je:
𝑥(𝑡) =12
1 + 23 ∙ 𝑒−𝑡
P – 550
Dobiveni model u MS Excelovom radnom listu izgleda:
Slika 11 Model kretanja ribljeg fonda u geografski ograničenom području (uvala)
- Kako se mijenja količina ribe u prve četiri godine? Koja funkcija opisuje takvo
ponašanje?
- Kako se mijenja količina ribe za 𝑡 > 6 ? Oko koje vrijednosti se stabilizira?
- Odredite točku infleksije za dani model?
- Dodatno istražite kakva je to logistička funkcija i koje se pojave njom
modeliraju?
3.4.2 Model održivog ribarenja
Pretpostavimo dalje da u naš morski zaljevski ekosustav dođe ribarski brod koji lovi 2000 t
ribe godišnje. Tada model u diferencijalnom obliku izgleda:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥 ∙ (1 −
𝑥
12) − 2
Neka je početna vrijednost održivi iznos u tom sustavu 12 000 tona.
𝑥(0) = 12
Uz zadani početni uvjet dobivamo model koji u MS Excelu izgleda:
Slika 12 Model održivog ribarenja u geografski ograničenom području (uvala)
P – 551
Uočimo da je riblji fond smanjen u odnosu na prvotnu količinu (za nešto više od 2000 tona
godišnjeg ulova), ali je riblji fond i dalje stabilan (stacionaran).
3.4.3 Model neodrživog ribarenja
Pretpostavimo sada da u naš morski zaljevski ekosustav dođe ribarski brod koji lovi 6000 t
ribe godišnje. Tada model u diferencijalnom obliku izgleda:
𝑑𝑥
𝑑𝑡= 𝑥 ∙ (1 −
𝑥
12) − 6
Neka je početna vrijednost ovog puta 20 000 tona.
𝑥(0) = 20
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe s danim početnim uvjetom je:
𝑥(𝑡) = 20 −116
7 + 3 ∙ 𝑐𝑡𝑔(𝑡2)
Ukoliko rješavanje ovakvog problema izlazi van okvira kolegija moguće je koristiti neki od
računalnih “solvera” diferencijalnih jednadžbi.
Uz zadani početni uvjet dobivamo model koji u MS Excelu izgleda:
Slika 13 Model neodrživog ribarenja u geografski ograničenom području (uvala)
- Kada će doći do potpunog kolapsa ribljeg fonda?
- Koji je uzrok tome?
Na ovaj način studentima približavamo ovu problematiku i neophodnost matematičkog
modeliranja i kao posljedicu toga razumno gospodarenje ribljim fondom, uvođenje kvota, kao
i perioda dopuštenog ribolova.
Daljnja rasprava može ići prikazom podataka o izlovu sardine iz Jadranskog mora [8].
- Kojom funkcijom možemo modelirati rast količine izlovljene sardine?
- U kojem je periodu zabilježen najveći rast? Koliki je on u apsolutnom, a koliki u
postotnom iznosu?
- U radnom listu MS Excela modelirajte podatke eksponencijalnom funkcijom.
- Kada bi rast zadržao taj trend koliki bi bio godišnji ulov 2025. godine?
- Mislite li da jadranskoj srdeli prijeti slični kolaps?
- Razmislite o mogućim rješenjima!
P – 552
Slika 14 Ulov srdele u RH Slika 15 Kretanje ulova srdele u Jadranskom moru od 2000. do 2014.
Slika 16 Ulov srdele u RH modeliran eksponencijalnim modelom
4. Zaključak
Iz gore prezentiranih primjera vidljiva je snažna veza između matematičkih modela i alata i
problematike održivosti prirodnih resursa. Vjerujemo da uključivanjem ovakvih sadržaja, u
ponekad suhoparne akademske kolegije, možemo postići sinergiju pozitivnih učinaka.
Podučavati matematiku kroz održivost i održivost kroz matematiku. Upotrebom realnih
primjera u nastavi matematika postaje i društveno angažirana disciplina. Studenti prepoznaju
korisnost izučavanja matematike, a pri tome im raste svijest o ograničenim resursima koje
nam planet pruža za život. Time potičemo i njihovu osobnu odgovornost te proaktivno
djelovanje za održivu budućnost kako lokalne tako i globalne zajednice. S obzirom na to da je
održivost izrazito interdisciplinarno područje, smatramo da je upravo Sveučilišni odjel za
stručne studije, zbog svoje politehničke prirode, idealno mjesto za razvoj novih
interdisciplinarnih modula kojim će se sveobuhvatno pristupiti problemu održivosti.
P – 553
5. Literatura
[1] Warren R. (2006.). Impact of global climate change at different annual mean global temperature
increases. In H.J. Schellnhuber et al. (eds), Avoiding Dangerous Climate Change. (pp. 93-131).
Cambridge University Press, Cambridge.
[2] Pfaff, Thomas J. (2011.). Educating About Sustainability While Enhancing Calculus. Primus:
Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies;, Volume 21(Issue 4), 338-
350.
[3] Taylor, Corinne H. (2012). Quantitative Reasoning and Sustainability, Numeracy; Volume 5(Issue
2), Article 1
[4] http://www.sustainabilitymath.org/ (dohvaćeno 10. 3. 2016.)
[5] http://www.intmath.com/blog/mathematics/modeling-fish-stocks-7377 (dohvaćeno 7. 3. 2016.)
[6] http://data.worldbank.org/country/croatia (dohvaćeno 15. 3. 2016.)
[7] IPCC Fourth Assessment Report Ch. 10 https://www.ipcc.ch/pdf/assessment-report/ar4/wg1/ar4-
wg1-chapter10.pdf (dohvaćeno 10. 3. 2016.)
[8] http://www.dzs.hr/ (dohvaćeno 9. 3. 2016.)
[9] http://data.giss.nasa.gov/gistemp/tabledata/GLB.Ts.txt. (dohvaćeno 5. 3. 2016.)
[10] http://www3.epa.gov/climatechange/kids/index.html
[11] http://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/index.html#mlo (dohvaćeno 1. 3. 2016.)
[12] https://en.wikipedia.org/wiki/File:Surexploitation_morue_surp%C3%AAcheEn.jpg (dohvaćeno
17. 3. 2016.)
[13]http://www.earth-policy.org/?/data_center/C23/%20or%20directly%20www.earth-policy.org/
datacenter /xls/book_tgt_climate_12.xlsxwww.dzs.hr/ (dohvaćeno 18. 3. 2016.)
Teaching sustainability in mathematics
Nada Roguljić
University of Split, University Department of Professional Studies, Split, Croatia
Arijana Burazin Mišura
University of Split, University Department of Professional Studies, Split, Croatia
Jelena Krčum
Maritime School, Split, Croatia
Abstract. The main aim of this paper is to show how to incorporate sustainability into a Mathematics
courses curriculum. Sustainability issues are inherently interdisciplinary. There are ample
opportunities for introducing sustainability examples in math courses, from algebra and geometry to
calculus and statistics. Teaching environmental sustainability to the large undergraduate math courses,
as they are at the Department of Professional Studies of the University of Split, will have the greatest
reach, due to their size. We suggest ways in which university mathematics teachers can provide a
quality learning experience for their students that includes notions of sustainability within the
mathematical context, without compromising the mathematical content of their courses. As an
additional learning outcome, we can expect embedding the importance of these matters into the minds
of the students and raising their environmental awareness.
Key words: teaching, mathematics, sustainability