Poglavlje 1

Tok fluida kroz poroznu sredinu

1.1 Uvod

Gibanje fluida kroz supljine u tlu ili nekom drugom poroznom materijalu od velikog jeznacaja za razlicite tehnicke discipline, od kojih su neke hidrogeologija, naftno inzenjerstvo,agronomija, kemijsko inzenjerstvo itd. Matematicki modeli koji opisuju takvo gibanjeimaju zadacu predvidjeti transport mase i energije unutar sustava pod zadanim vanjskimuvjetima. Formiramo ih pomocu zakona sacuvanja mase, impulsa, momenta impulsa ienergije, te primjenom termodinamickih relacija. Pri tome je cesto potrebno uzeti u obzirprisutnost tekuce i plinovite faza, izmjenu materije medu fazama pod utjecajem promjenetermodinamickih parametara, kemijske reakcije izmedu cvrste stijenke porozne sredine ifluida, itd.

Matematicko modeliranje gibanja fluida kroz pore opisuje se Navier-Stokesovim susta-vom diferencijalnih jednadzbi koji treba zapisati u domeni sastavljenoj od supljina kojesu fluidu na raspolaganju za gibanje (pornom prostoru) i koji zatim dopunjujemo rubnimi pocetnim uvjetima. Time dobivamo model koji je zadan na prostornoj skali odredenojkarakteristicnom dimenzijom pora kroz koje se fluid giba. Dva su razloga zbog kojih jeprakticna upotrebljivost takvog modela vrlo mala:

1. Geometrija pornog prostora nam nije strogo poznata te stoga ne mozemo postavitiinicijalno–rubnu zadacu;

2. Dimenzije pora su reda velicine mikrometra, dok su prostorne dimenzije domene ukojoj promatramo strujanje velicine od nekoliko metara do nekoliko kilometara.

Zbog velike razlike u karakteristicnim dimenzijama pornog prostora i domene u kojojpromatramo strujanje, govorimo o prisutnosti dviju razlicitih prostornih skala, mikroskop-skoj i makroskopskoj. Matematicki model postavljen u pornom prostoru nazivamo mikro-skopski model ili model na mikroskopskoj skali. Prostorna skala odredena karakteristicnomdimenzijom domene strujanja je makroskopska skala i za prakticna racunanja potrebannam je model formiran na makroskopskoj skali odnosno makroskopski model.

1

2

U makroskopskom modelu porozna sredina je kontinuum u kome vise nema separiranecvrste faze (stijene, tla) i fluida koji ispunjava porni prostor. Svaka tocka u tom modelupredstavlja volumen koji je dovoljno velik da sadrzi i cvrstu fazu i fluid u pornom prostoru.Svojstva makroskopskog kontinuuma opisuju se pomocu nekoliko parametara od kojih sunajvazniji poroznost i propusnost. Poroznost predstavlja udio pornog prostora u jedinicnomvolumenu, a propusnost je mjera kojom se sredina opire strujanju fluida. Velicine koje sepojavljuju u makroskopskom modelu, kao sto su tlak i brzina strujanja, predstavljajusrednje vrijednosti uzete na dovoljno velikim (u odnosu na dimenzije pora) volumenima.

Zakoni sacuvanja mase i energije jednako vrijede na svim prostornim skalama, no kons-titutivni zakoni mijenjaju svoj oblik pri promjeni skale. Odredivanje konstitutivnih zakonana makroskopskoj skali, poznajuci odgovarajuce zakone na mikroskopskoj skali, je netri-vijalan problem skaliranja modela (eng. upscaling). On se moze teorijski rijesiti ukolikose postave dovoljno jake pretpostavke o strukturi porozne sredine i tada se dobiva oblikmakroskopskih konstitutivnih zakona i nacin racunanja koeficijenata koji ulaze u njega. Upraksi se te makroskopske zakonitosti odreduju eksperimentalno. Sam oblik konstitutiv-nih zakona moze biti odreden experimentom (kao u slucaju Darcyjevog zakona) ili nadenteorijskim razmatranjima, dok se koeficijenti u tim zakonima redovito odreduju eksperi-mentalno. Mi cemo se nadalje baviti iskljucivo makroskopskim modelima i pri tome cemopolaziti od eksperimentalno dobivenih i siroko prihvacenih konstitutivnih zakona.

1.2 Makroskopska svojstva porozne sredine

Svaki materijal koji odlikuje poroznost – prisutnost supljina ili pukotina unutar mate-rijala – nazivat cemo porozna sredina. Idealan primjer porozne sredine je pijesak koji sesastoji od gusto pakiranih zrnaca. Zbog cvrstoce zrnaca izmedu njih uvijek postoji odredenprazan prostor koji ce biti ispunjen fluidom, najcesce zrakom ili vodom. Dio prostora kojizauzima fluid nazivamo pornim prostorom i u slucaju pijeska on ce biti povezan i dozvolja-vat ce strujanje fluida. Situacije u kojima porni prostor nije povezan i stoga ne dozvoljavagibanje fluida nisu nam od interesa pa cemo stoga pod poroznom sredinom podrazumije-vati samo one materijale koji imaju povezani porni prostor. Uocimo da je stoga poroznasredina medij koji se sastoji od cvrste faze i barem jedne tekuce ili plinovite faze, a cestosve tri zajedno. Cvrsta se faza moze u mnogim situacijama promatrati kao kruta, dok seu nekim slucajevima uzima u obzir njena deformacija.

Kada porni prostor ispunjava samo jedan fluid za karakterizaciju makroskopskih svoj-stava porozne sredine dovoljne su nam dvije velicine: poroznost i propusnost.

1.2.1 Poroznost

Poroznost se definira kao volumen pora podijeljen s ukupnim volumenom porozne sre-dine.

Φ =VpVt

=Vp

Vp + Vs, (1.1)

M. Jurak, Radna verzija 2 14. studenoga 2014.

3

R

Kruta stijenkaFluid

Slika 1.1: Shematski prikaz porozne sredine i volumena usrednjavanja.

gdje je Vp volumen pora, Vs volumen cvrstog dijela porozne sredine, a Vt = Vp + Vs ukupnivolumen. U formuli (1.1) su uracunate sve pore, cak i one koje nisu povezane i ne sudjelujuu strujanju fluida. Za nas je korisnija efektivna poroznost koja se definira kao omjer korisnogvolumena pora i ukupnog volumena porozne sredine. Pri tome se u koristan volumen poraubraja samo volumen medusobno povezanih pora kroz koje fluid moze strujati. Poredtoga moze postojati odreden porni volumen ispunjen fluidom, posve izoliran od ostalogporoznog volumena, koji ne ubrajamo u koristan volumen pora. Mi cemo nadalje terminporoznost koristiti iskljucivo za efektivnu poroznost.

U primjeni formule (1.1) postavlja se pitanje koliki volumen Vt treba uzeti pri racunuporoznosti. Na njega nije moguce odgovoriti a da se ne postave odredene pretpostavke ostrukturi porozne sredine, odnosno pornog prostora. S prakticne strane se pretpostavljada postoji odreden reprezentativni elementarni volumen (eng. representative elementary vo-lume, REV) koji treba koristiti u formuli (1.1). Uzimanjem bitno manjih volumena dobitcemo velike fluktuacije poroznosti u bliskim tockama, dok uzimanjem vecih volumena nedolazi ni do kakve promjene u izracunatoj poroznosti, sve dok volumeni ne postanu tolikoveliki da zahvate makroskopske varijacije poroznosti (npr. zbog prisutnosti razlicitih ma-terijala). Egzistencija jednog takvog reprezentativnog elementarnog volumena je temeljnapretpostavka za modeliranje porozne sredine kao kontinuuma. Svaka tocka u makroskop-skom kontinuumu predstavlja jedan elementaran reprezentativan volumen i sve varijable umakroskopskom modelu imaju znacenje srednje vrijednosti po elementaranom reprezenta-tivnom volumenu.

Poroznost se oznacava sa Φ (ili n) i prima vrijednosti izmedu 0 i 1. Ona opcenito variras polozajem, odnosno ovisi o prostornoj varijabli x. Obicno se odreduje eksperimentalno,pokusima na uzorcima poroznog materijala.

Napomena 1. Uvedimo funkciju Z(x) koja prima vrijednosti 1 ako se tocka x nalazi u

M. Jurak, Radna verzija 3 14. studenoga 2014.

4

oscilacija

SV

REV dijametarl

Dijametar REVa

Slika 1.2: Odredivanje dijametra reprezentativnog elementarnog volumena (REV).

pornom prostoru, a vrijednost 0 ako se nalazi u krutom dijelu porozne sredine. Ako skupΩ(x) predstavlja REV u tocki x, onda je

φ(x) =1

|Ω(x)|

∫Ω(x)

Z(y) dy,

gdje je |Ω(x)| volumen od Ω(x).

Koncept reprezentativnog elementarnog volumena ima kao temeljni nedostatak odsus-tvo jasnog kriterija za velicinu REVa te je upitna i sama egzistencija takvog volumena uzadanoj prirodnoj sredini. Nadalje, usrednjavanjem se uvijek dobiva neprekidna velicinasto ne odgovara modeliranju prirodnih sredina s diskontinuitetima u svojstvima sredine,kakve se cesto susrecu.

Iz tih je razloga razvijen drugi pristup makroskopskom modeliranju porozne sredine kojise ukratko sastoji u sljedecem. Funkciju Z(x) iz Napomene 1 smatramo, u svakoj tocki x,slucajnom varijablom. To znaci da se radi o funkciji dvije varijable Z(x, ω), pri cemu ωprolazi vjerojatnostnim prostorom. Za svako ω, Z(x) = Z(x, ω) (ω se najcesce ne pise) jejedna realizacija slucane varijable Z(x), odnosno slucajnog polja x → Z(x). Ocekivanjeslucajne varijable Z(x) je poroznost sredine u tocki x: φ(x) = E(Z(x)). Ideja tog pristupaje sljedeca: prirodna porozna sredina je proizvod velikog niza prirodnih procesa koji su sedesavali u odredenom geoloskom razdoblju i koji nam nisu egzaktno poznati. Varijacije uredosljedu i intenzitetu tih procesa dovode do varijacija u strukturi porozne sredine, i kakonam informacije o procesima koji su doveli do sadasnjeg stanja nisu poznate, prirodnoje opisivati sadasnje stanje (ishod tih procesa) kao jednu realizaciju iz niza mogucnosti.Problem u tom, stohastickom, pristupu je sto imamo samo jednu realizaciju slucajne va-rijable (polja), dok za racunanje matematickog ocekivanja trebamo integrirati po cijelomvjerojatnosnom prostoru i poznavati vjerojatnostnu mjeru. Izlaz iz te situacije nalazi se uprincipu ergodicnosti koji omogucava da se integracija po vjerojatnosnom prostoru zami-jeni integracijom po prostoru. Vjerojatnostna se mjera takoder, uz odredene pretpostavke,

M. Jurak, Radna verzija 4 14. studenoga 2014.

5

deducira iz prostornih razdioba svojstava porozne sredine. Vise detalja o ovom pristupumoze se naci npr. u knjigama [7], [5] i [8].

U vecini slucajeva porozna je sredina priblizno kruta. Varijacije tlaka fluida u njojnemaju veliki utjecaj na geometriju pornog prostora i poroznost te se zavisnost poroznostio tlaku moze zanemariti. Ipak, u nekim situacijama deformacije su dovoljno velike da ihmoramo uzeti u obzir. Pri tome je vazno znati o kakvoj vrsti deformacije se radi: elasticnojili plasticnoj. Kod elasticne deformacije porozna matrica se komprimira pri povecanjutlaka fluida i porni prostor se povecava; kod smanjenaja tlaka desava se obrnuti proces.Elasticna deformacija se moze ocekivati kod konsolidiranih materijala koji su podvrgnutivelikim tlakovima, no ne toliko velikim da bi odziv stijene bio plastican. Tipicni primjerisu duboka naftna lezista.

Do plasticne deformacije dolazi kada su naprezanja porozne matrice toliko velika danakon smanjenja tlaka fluida ona vise ne dolazi u polazno stanje. To je moguce kodvrlo velikih varijacija tlaka u konsolidiranim stijenama, ali se susrece i u nekonsolidiranimmaterijalima (pijescima) kod kojih zbog promjene tlaka dolazi do preslagivanja materijala(zrnaca) koje dovodi do promjene poroznosti. Na primjer, zrnca u obliku kugala mogu seslagati kubicno ili romboedarski sto vodi do promjene u poroznosti za oko 17 % (vidi npr.[14]).

Modeliranje plasticne deformacije porozne sredine slozeno je i njime se ovdje necemobaviti (vidi [11]). Elasticna deformacija se, s druge strane, jednostavno modelira zadava-njem zavisnosti poroznosti o tlaku Φ = Φ(p). Razmatranja koja dovode do takve zavisnostimogu se naci npr. u [13], [14], [3], [11].

U elasticnoj poroznoj sredini koeficijent kompresibilnosti porozne sredine (cvrste faze)definira se pri referentnom tlaku p = pref kao velicina:

βR =1

Φ

∂Φ

∂ppri p = pref . (1.2)

U vecini slucajeva kompresibilnost je prilicno mala (npr. oko 10−5 bar−1) pa se cesto koristilinearna aproksimacija za poroznost:

Φ(x, p) = Φ0(x)(1 + βR(p− pref )). (1.3)

Ako su varijacije od βR znacajne, onda se poroznost deducira iz βR jednostavnom integra-cijom. Za βR = 0 dobiva se kruta porozna sredina.

Napomena 2. Poroznost o kojoj smo do sada govorili naziva se primarna ili granularnaporoznost i karakterizirana je malim dimenzijama pora. U stijenama se moze javiti i sekun-darna poroznost kao posljedica tektonske aktivnosti ili djelovanja vode, koja se manifestirakao niz fraktura (pukotina) u stijeni. Osnovna razlika prema primarnoj poroznosti je utome sto pukotine sekundarne poroznosti imaju barem jednu linearnu dimenziju veliku uodnosu na ostale, onu u smjeru prostiranja pukotine. Premda su ostale dimenzije pukotinamale kao i kod granularne poroznosti, prisutnost jedne velike dimenzije onemogucava namda ukupnu poroznost i njen utjecaj na tok fluida predstavimo usrednjavanjem kao sto smo

M. Jurak, Radna verzija 5 14. studenoga 2014.

6

to ucinili s primarnom poroznoscu. Primjena REVa bitno implicira da su sve dimenzijepora male u odnosu na dimenziju REVa. Drugim rijecima, ukoliko postoji povezan sus-tav sekundarnih pukotina, tok fluida kroz njih mora se modelirati drugacije od toka krozprimarne pore.

1.2.2 Propusnost. Darcyjev zakon

Osnovni konstitutivan zakon na makroskopskoj skali daje vezu izmedu gradijenta tlaka ibrzine fluida. Eksperimentalno ga je utvrdio francuski inzenjer Henry Darcy, 1856. godine,te je zakon po njemu dobio ime. Da bismo ga izrazili trebamo precizirati definiciju brzinefluida u poroznoj sredini.

Prividna makroskopska brzina fluida (ili Darcyjeva brzina) q definira se odnosom:

• q ·n dS = volumen fluida koji u jedinici vremena protekne kroz povrsinu dS, okomituna jedinicni vektor n [L3/T].

Po toj definiciji q ima dimenziju [L/T] i mjeri se, na primjer, u jedinici m/dan (metarpo danu). Stvarna makroskopska brzina fluida, s druge strane, jednaka je q/Φ buduci dajedinicni volumen porozne sredine sadrzi volumen Φ fluida. Zbog te razlike stvarne srednjebrzine fluida i Darcyjeve brzine ova druga je dobila naziv prividna srednja/makroskopskabrzina. Prividna makroskopska brzina je ona brzina koju mozemo neposredno mjeriti (naprimjer u busotinama) te je stoga od prakricnog interesa.

Veza izmedu Darcyjeve brzine i tlaka fluida dana je tzv. Darcyjevim zakonom.

q = − 1

µK (∇p− ρg) , (1.4)

gdje je:

• µ je dinamicka viskoznost fluida. Moze ovisiti o tlaku i temperaturi fluida;

• K je propusnost porozne sredine (dimenzija [L2]). Opcenito je propusnost simetricanpozitivno-definitan tenzor. Ukoliko je sredina nehomogena K je funkcija prostornogpolozaja. U slucaju da je K skalarna matrica (K = kI) kazemo da je sredina izotropna;

• p je tlak fluida;

• ρ je gustoca fluida. Moze ovisiti tlaku i temperaturi;

• g je vektor ubrzanja sile teze.

Darcyjev zakon jednostavno postulira linearnu zavisnost brzine fluida i gradijenta tlaka.U tome je on posve analogan Ohmovom zakonu u elektrotehnici (jakost struje=Darcyjevabrzina, elektricni napon=tlak). Razlika je u tome sto se mora uzeti u obzir gravitacijskasila, koja ovdje nije zanemariva, te viskoznost fluida.

M. Jurak, Radna verzija 6 14. studenoga 2014.

7

Jedinica za propusnost u MKS sustavu je metar kvadratni (m2) umjesto koje se koristiprakticnija jedinica D (darsi) definirana na sljedeci nacin:

1 D =1 cP · 1 cms−1

1 atm cm−1,

gdje je cP (centipoise) jedinica za viskoznost jednaka 10−3 Pa s. Time se dobiva

1 D = 9.86923 · 10−13 m2.

Ta je jedinica jos uvijek suvise velika pa se obicno koristi jedinica mD (mili Darcy = 10−3

D) jer tipicne vrijednosti propusnosti stijena u naftnim i vodonosnim rezervoarima iznose5 do 500 mD.

Napomena 3. Oznacimo stvarnu, mikroskopsku, brzinu fluida s v. Neka je Ω(x) repre-zentativni elementarni volumen u tocki x, Ω(x) = Ωs(x) ∪ Ωf (x), gdje su Ωs(x) i Ωp(x)podskupovi REVa koji pripadaju cvrstoj fazi i pornom prostoru ispunjenom fluidom. Tadaje Darcyjeva brzina u tocki x jednaka

q(x) =1

|Ω(x)|

∫Ωp(x)

v(y) dy.

Ona stoga ne predstavlja pravu srednju vrijednost brzine u REVu, koja bi bila definiranakao

v(x) =1

|Ωp(x)|

∫Ωp(x)

v(y) dy,

vec imamo

q(x) =|Ωp(x)||Ω(x)|

v(x) = Φv(x).

1.2.3 Darcyjev eksperiment

Darcyjev zakon ili zakon filtracije pronasao je eksperimentalno francuski inzenjer HenryDarcy, 1856. godine, [6]. On je postavio eksperiment u kome je kroz spremnik duljin Li povrsine presjeka A, ispunjen pijeskom, proticala voda (Slika 1.3). Mjerena je brzinavolumnog toka vode Q te piezometarska razina (h = p/(ρg)+z) na ulazu i izlazu, h1 (ulaz)i h2 (izlaz). Dobiven je sljedeci odnos:

Q ∼ A(h1 − h2)/L,

odnosno, postoji konstanta k takva da je

Q = kA(h1 − h2)/L.

Izraz Q/A je volumni protok po jedinici povrsine, odnosno Darcijeva brzina. Generali-zacijom dobivamo

q = −k∇h, (1.5)

M. Jurak, Radna verzija 7 14. studenoga 2014.

8

Q

Q

h2

h1A

pijesakL

Slika 1.3: Skica Darcyjevog eksperimenta.

Kako je piezometrijska razina jednaka h = p/(ρg) + z imamo da je

q = − k

ρg(∇p− ρg).

Usporedbom s (1.4) vidimo da je

k = kρg

µ. (1.6)

Koeficijent k je izotropna propusnost (eng. permeability) dok se k naziva hidraulicka vod-ljivost (eng. hydraulic conductivity); izraz ∇h nazivamo hidraulicki gradijent. Hidraulickavodljivost ima dimenziju brzine i mjeri se cesto u jedinicama m/dan (metar po danu).Kao i propusnost, hidraulicka vodljivost je u najopcenitijem slucaju simetrican, pozitivnodefinitan tenzor.

Od dva zapisa Darcyjevog zakona, (1.4) i (1.5), prvi je opcenitiji jer drugi mozemostrogo koristiti samo ako je ρg konstanta.

1.2.4 Korelacije propusnost-poroznost

Poroznost i propusnost su dva makroskopska parametra koji opisuju svojstva poroznesredine u odnosu na fluid koji se u njoj nalazi. Iako su u osnovi oni posve neovisni jedano drugome moguce je u nekim situacijama naci odredenu korelaciju medu njima. To jeredovito tako kada se prihvati odredeni konceptualni model porozne sredine.

Ilustrirat cemo to na primjeru modela porozne sredine pomocu niza kapilarnih cjevcica.U tom se modelu porozna sredina promatra kao blok cvrstog materijala kroz koji prolazijedan broj paralelno postavljenih cjevcica malog dijametra. Uzmimo da je dijametar svakecjevcice jednak d i da po jedinici povrsine imamo N cjevcica.

U svakoj cjevcici mozemo rijesiti problem gibanja fluida te dolazimo do Hagen-Poiseuille-ovog toka koji za srednju brzinu kroz cjevcicu V daje

V = −d2ρg

32µ

∂h

∂s,

M. Jurak, Radna verzija 8 14. studenoga 2014.

9

gdje je h piezometarska razina. Poroznost materijala iznosi

Φ = N

(d

2

)2

π =Nd2π

4.

Protok fluida po jedinici povrsine porozne sredine (Darcyjeva brzina) je jednak

Q = N

(d

2

)2

π · V = −Nπ d4ρg

128µ

∂h

∂s= −Φ

d2ρg

32µ

∂h

∂s. (1.7)

Iz Darcyjevog zakona (1.4) i (1.7) dobivamo

Q = −kρgµ

∂h

∂s= −Φ

d2ρg

32µ

∂h

∂s,

odnosno

k =d2

32Φ. (1.8)

Buduci da u nasem modelu imamo jedan istaknuti smjer, formulu (1.8) mozemo generalizi-rati tako da dobivenu propusnost raspodijelimo u sva tri smjera, tj da formulu podijelimos 3: k = Φd2/96. Uocimo da je u toj formuli faktor 1/96 nevazan; on se odnosi samona vrlo specificnu poroznu sredinu koja u prirodi ne postoji. Ono sto formula daje je li-nearan odnos propusnosti i poroznosti u kojem faktor proporcionalnosti ovisi o kvadratudijametara pora. Dobiveni odnos je moguce dalje generalizirati tako da pretpostavimo dapo jedinicnoj povrsini imamo Ni cjevcica dijametara di, sto nas vodi na

Q = −∑i

Niπd4i ρg

128µ

∂h

∂s= −kρg

µ

∂h

∂s,

sto daje

k =π

128

∑i

Nid4i .

Puno korisnija generalizacija se dobiva uvodenjem hidraulickog radijus koji predstavljaomjer volumena fluida i povrsine cvrste faze koju taj fluid vlazi. Na primjer, za kruznucijev radijusa R taj je omjer jednak:

R2πL

2RπL=R

2,

gdje je L duljina cijevi. U poroznoj sredini se hidraulicki radijus generalizira na sljedecinacin: prvo se uvede specificna povrsina porozne sredine M kao

M =AsVt, (1.9)

M. Jurak, Radna verzija 9 14. studenoga 2014.

10

gdje je Vt volumen REVa, a As povrsina krute faze unutar REVa. Hidraulicki radijus R setada definira kao

R =volumen fluid

povrsina fluida=VpAs

=VpVt

VtAs

=Φ

M. (1.10)

Sada se odnos (1.8) koji je dobiven za model kapilarnih cjevcica moze zapisati u obliku

k =d2

32Φ =

(d

4

)21

2Φ =

R2

2Φ =

1

2

Φ3

M2,

gdje je R = d/4 hidraulicki radijus za cijev i gdje smo iskoristili formulu (1.10). Ta jeformula sad pogodnija za generalizaciju na slozenije geometrijske konfiguracije.

Dobivena formula se generalizira uvodenjem nepoznate konstante c0, koju je potrebnoodrediti za svaki medij posebno:

k = c0Φ3

M2,

pri cemu za kruznu cijev imamo c0 = 1/2. Konstanta c0 je tzv. Kozenyjeva konstanta.Daljnje poopcenje dobivamo uvodenjem novog geometrijskog parametra (pored specificnepovrsine M), tzv. vijugavosti (eng. tortuosity) τ ≤ 1 koja mjeri odstupanje strujnice odravne linije. Definiramo

τ =

(L

Le

)2

< 1,

gdje je L pravocrtna udaljenost koju je cestica fluida presla, a Le stvarno prijedena uda-ljenost. Sada se odnos propusnost-poroznost uzima u obliku

k = c0τΦ3

M2.

Konacno, s prakticnog stanovista umjesto specificne povrsine lakse je dostupna velicinaMs = As/Vs, odnosno Ms = M/(1− Φ), a s time dolazimo do korelacije

k = c0τΦ3

(1− Φ)2

1

M2s

(1.11)

koja se naziva Carman-Kozenyijeva jednadzba. U vezi izmedu k i Φ sudjeluju tri geome-trijska parametra koji ovise o obliku porozne sredine: c0, Ms i τ . Eksperimentalnimodredivanjem tih parametara za danu prirodnu poroznu sredinu dobiva se veza izmedupropusnosti i poroznosti. Na primjer, Carman [4] tvrdi da c0τ ≈ 0.5 odgovara eksperimen-talnim podacima (vidi jos [3]).

Gornji izvod ilustrira dio inzenjerskog modeliranja svojstava porozne sredine. Dobi-vene formule nemaju opcenitu primijenjivost no izuzetno su vazne u slucajevima kada suprimjenjive.

M. Jurak, Radna verzija 10 14. studenoga 2014.

11

1.2.5 Formalni izvod Darcyjevog zakona u periodickoj poroznojsredini

Za strogi matematicki izvod Darcyjevog zakona vidi [12].

1.2.6 Nelinearni zakon filtracije

Linearnost Darcyjevog zakona je posljedica malih brzina strujanja fluida u pornomprostoru zbog cega se mogu zanemariti efekti inercije. Ta je pretpostavka narusena unekim situacijama, kao sto je strujanje plina u blizini busotine, i tada je potrebno dodatiDarcyjevom zakonu neku nelinearnu korekciju. Cesto se u tu svrhu koristi tzv. Darcy-Forchheimerov zakon, [10],

− 1

µk∇p = q + βk

ρ

µ|q|q, (1.12)

gdje je k propusnost sredine, µ viskoznost flida, a β Forchheimerov koeficijent. Koeficijentβ je tesko odrediti i nekad se uzima u obliku β = c/

√k (Ergun, [9]) sto vodi na oblik

− 1

µk∇p = q + ck1/2 ρ

µ|q|q.

Kao i Darcyjev zakon, Darcy-Forchheimerov zakon ima posve eksperimentalan karakter.

1.3 Model jednofaznog toka

1.3.1 Svojstva fluida

Svojstva fluida koja ulaze u transportne modele tipicno su gustoca mase, viskoznost,toplinska vodljivost, difuzivnost itd. Njih je potrebno izraziti kao funkcije onih velicinakoje su nepoznanice modela. Nasi do sada uvedeni modeli koriste samo gustocu mase iviskoznost.

Gustoca mase fluida odredena je jednadzbom stanja fluida koja daje gustocu kao funkcijutlaka, temperature i kompozicije fluida (ako se fluid sastoji od vise kemijskih komponenti).U slucaju jednokomponentnog fluida dobivamo zavisnost oblika ρ = ρ(p, θ), koja se u izo-termalnim uvjetima pojednostavljuje na ρ = ρ(p) (temperatura θ je sada samo parametarmodela). Kada je fluid plin mozemo koristiti jednadzbu stanja idealnog plina koja daje

ρ =pM

Rθ, (1.13)

gdje je R ≈ 8.31J/K mol, univerzalna plinska konstanta, a M molarna masa plina. Akoidealni plin nije dovoljno dobra aproksimacija moze se koristiti neka druga jednadzba stanja(npr. van der Waalsova jednadzba stanja plina) ili razlicite eksperimentalne jednadzbe kojecesto imaju oblik

ρ =pM

ZRθ, (1.14)

M. Jurak, Radna verzija 11 14. studenoga 2014.

12

gdje je Z = Z(p, θ) tzv. Z-faktor, eksperimentalna korekcija jednadzbe (1.13).Kod tekucina kompresibilnost je znatno manja pa se koriste aproksimativne jednadzbe

stanja. Pretpostavimo jednostavnu situaciju jednokomponentnog fluida pri konstantnojtemeraturi i uvedimo koeficijent kompresibilnosti fluida

β =1

ρ

∂ρ

∂p. (1.15)

Uobicajena je pretpostavka da je β konstanta, tako da dobivamo

ρ = ρ0eβ(p−p0), (1.16)

gdje je p0 neki referentni tlak i ρ0 = ρ(p0). Kako je β obicno vrlo malen dovoljno je dobrai aproksimacija

ρ = ρ0 + β(p− p0). (1.17)

U tom slucaju govorimo o slabo kompresibilnom fluidu.Viskoznost fluida je takoder funkcija tlaka, temperature i kompozicije fluida. Generalno

vazecih zakona ovdje nema vec se koriste razlicite empirijske formule. Opcenito viskoznostznacajno varira s temperaturom, a manje s tlakom. Ovisnost o kompoziciji fluida moze bitivrlo znacajna. Jedinica za viskoznost u MKS sustavu je Pa·s (paskal-sekunda), dok je u cgssustavu to 1 poise (imenovana prema francuskom fizicaru Jean Louis Marie Poiseuille-u),jednak 1 g·cm−1·s−1. U prakticne svrhe se cesto koristi centipoise (cP ili cps) koji je jednak10−2 poise ili 10−3 Pa·s = 1 mPa·s (viskoznost vode pri 20 C iznosi 1 cP).

1.3.2 Zakon sacuvanja mase

Mikroskopski zakon sacuvanja mase za jedan fluid u diferencijalnom obliku glasi:

∂ρ

∂t+ div(ρv) = 0,

gdje je ρ gustoca mase, a v brzina fluida. Ukupna masa fluida koji se nalazi u kontrolnomvolumenu R jednaka je ∫

Rρ(x) dx,

dok je izrazom ∫R

div(ρ(x)v(x)) dx =

∫∂Rρ(x)v(x) · n(x) dS

dana kolicina mase fluida koja u jednici vremena utekne, odn. istekne u/iz kontrolnogvolumena R. Uocimo da je ta velicina pozitivna ako se radi o istjecanju, buduci da npredstavlja vanjsku jedinicnu normalu na ∂R.

Ukoliko se fluid nalazi u poroznoj sredini tada je ukupna masa fluida u kontrolnomvolumenu R jednaka ∫

RΦ(x)ρ(x) dx,

M. Jurak, Radna verzija 12 14. studenoga 2014.

13

dok je kolicina mase fluida koja utekne/istekne kroz granicu kontrolnog volumena ∂R ujedinici vremena jednaka ∫

∂Rρ(x)q(x) · n(x) dx,

gdje je q Darcyjeva brzina. To slijedi iz same definicije Darcyjeve brzine (vidi sekciju 1.2.2).Stoga dobivamo

d

dt

∫R

Φ(x)ρ(x) dx = −∫∂Rρ(x)q(x) · n(x) dx,

za svaki kontrolni volumen R, sto vodi na jednadzbu kontinuiteta oblika:

∂

∂t(Φρ) + div(ρq) = 0, (1.18)

gdje je Φ poroznost sredine, a q Darcyjeva brzina. To je makroskopski zakon sacuvanja maseu porozno sredini.

1.3.3 Rubne zadace za jednofazni tok

Sada mozemo opisati najjednostavniji model strujanja kroz poroznu sredinu. Pretpos-tavit cemo da su u poroznom mediju nalazi jedan fluid pod izotermnim uvjetim. Tada sugustoca mase i viskoznost funkcije samo od tlaka (temperatura je poznata i konstantna),pa je za opis gibanja dovoljno primijeniti zakon sacuvanja mase i Darcyjev zakon. Imamo

∂

∂t(Φ(x, p)ρ(p)) + div(ρ(p)q) = 0,

gdje je Darcyjeva brzina dana formulom

q = − 1

µ(p)K(x) (∇p− ρ(p)g) .

Eliminacijom Darcyjeve brzine dobivamo kvazilinearnu jednadzbu parabolickog tipa zatlak:

∂

∂t(Φ(x, p)ρ(p))− div(

ρ(p)

µ(p)K(x) (∇p− ρ(p)g)) = 0. (1.19)

Parabolicnost jednadzbe (1.19) osiguravaju uvjeti:∂Φ(x, p)

∂p+∂ρ(p)

∂p> 0,

ρ(p)

µ(p)> 0

∃α > 0, K(x)ξ · ξ ≥ α‖ξ‖2 ∀ξ,(1.20)

koji moraju vrijediti za sve vrijednosti tlaka p i za sve x iz porozne domene.Jednadzbu (1.19) treba kompletirati s rubnim i pocetnim uvjetima. Tipicni rubni uvjeti

su Dirichletovog ili Neumannovog tipa. Kod Dirichletvog rubnog uvjeta zadajemo tlak na

M. Jurak, Radna verzija 13 14. studenoga 2014.

14

granici domene, a kod Neumannovog uvjeta zadajemo brzinu protok mase kroz granicu.Preciznije, neka je Ω porozna sredina, i ∂Ω = ΓD ∪ ΓN , gdje su ΓD i ΓN respektivnoDirichletova i Neumannova granica, ΓD∩ΓN = ∅. Potpuna zadaca toka fluida kroz poroznusredinu Ω glasi:

∂

∂t(Φ(x, p)ρ(p))− div(

ρ(p)

µ(p)K(x) (∇p− ρ(p)g)) = 0, u Ω× (0, T ) (1.21)

ρ(p)

µ(p)K(x) (∇p− ρ(p)g)) · n = gN , na ΓN × (0, T ) (1.22)

p = pD, na ΓD × (0, T ) (1.23)

p = p0, na Ω za t = 0, (1.24)

gdje su funkcije gN , pD i p0 zadane, n je jedinicna vanjska normala na ∂Ω i (0, T ) jevremenski interval na kojem trazimo rjesenje. Neumannov rubni uvjet je zadan s (1.22),Dirichletov s (1.23), a (1.24) je pocetni uvjet.

Uz pretpostavku konstantne gustoce ρ = const i krute porozne sredine Φ = constjednadzba (1.19) postaje elipticka. Inicijalno rubna zadaca (1.21)– (1.24) degenerira tadau rubnu zadacu

div(K(x) (∇p− ρg)) = 0, u Ω (1.25)

K(x) (∇p− ρg)) · n = gN , na ΓN (1.26)

p = pD, na ΓD (1.27)

gdje smo mogli skratiti s ρ/µ (uz korekciju funkcije gN).U hidroloskoj literaturi koristi se hidraulicka vodljivost k(x) = (ρg/µ)K(x) i piezo-

metarska razina h = p/ρg + z (os z gleda vertikalno prema gore): koji dozvoljava da seDarcyjev zakon zapise u obliku

q = −k(x)∇h,te se (1.25)–(1.27) prirodno reformulira u obliku:

div(k(x)∇h) = 0, u Ω (1.28)

k(x)∇h · n = gN , na ΓN (1.29)

h = hD, na ΓD (1.30)

Zadatak 1. Nadite vezu izmedu funkcija gN u (1.26) i (1.29). Koja je veza izmedu pD iz(1.27) i hD iz (1.30)?

Slabo kompresibilan tokSlicna se transformacija moze izvrsiti i u slucaju kompresibilnog fluida i elasticne porozne

sredine. Neka je βF koeficijent kompresibilnosti fluida, a βR koeficijent kompresibilnostistijene. Tada je

∂Φ

∂t=∂Φ

∂p

∂p

∂t= βRΦ

∂p

∂t,

∂ρ

∂t=∂ρ

∂p

∂p

∂t= βFρ

∂p

∂t

M. Jurak, Radna verzija 14 14. studenoga 2014.

15

Sada jednadzbu (1.19) mozemo transformirati u oblik:

Φ(p)ρ(p)(βR + βF )∂p

∂t− div(

ρ(p)

µ(p)K(x) (∇p− ρ(p)g)) = 0. (1.31)

Uvedimo specificni maseni koeficijent uskladistenja (eng. specific mass storativity) formulom:

Sm(p) = Φ(p)ρ(p)(βR + βF ) =∂

∂p(Φρ).

Koeficijent Sm predstavlja masu fluida koji izade iz jedinicnog volumena porozne sredinekada se tlak fluida umanji za jedinicnu vrijednost.

U hidrogeologiji se umjesto tlaka radije koristi Hubbertov potencijal koji se definiraformulom:

H = z +

∫ p

p0

dξ

gρ(ξ). (1.32)

za koji vrijedi

∂H

∂t=

1

gρ(p)

∂p

∂t, ∇H =

1

gρ(p)(∇p− ρ(p)g),

i uz koji imamo

Φ(p)gρ2(p)(βR + βF )∂H

∂t− div(

gρ2(p)

µ(p)K(x)∇H) = 0. (1.33)

Buduci da je p 7→ H(p) strogo rastuca funkcija postoji inverz p = p(H) i stoga se svikoeficijenti u jednadzbi (1.33) mogu izraziti kao funkcije of H i time dobivamo jednuparabolicku parcijalnu diferencijalnu jednadzbu za H.

U jednadzbi (1.33) imamo specificni maseni koeficijent uskladistenja SmH vezan uz pro-mjenu potencijala H:

SmH = Φ(p)gρ2(p)(βR + βF ) =∂

∂H(Φρ),

koji se moze interpretirati kao masa fluida koji izade iz jedinicnog volumena porozne sredinekada se potencijal H umanji za jedinicnu vrijednost.

Diferencijalna jednazba (1.33) se najcesce koristi u slucaju male kompresibilnosti fluidai stijene i tada se ona linearizira zanemarivanjem malih clanova. Pretpostavka male kom-presibilnosti znaci da su velicine βR(p− p0) i βF (p− p0) male za tipicne varijacije tlakova,odnosno

βR(p− p0) << 1 βF (p− p0) << 1. (1.34)

Zanemarivanjem velicina viseg reda dobivamo

Φ(p) = Φ0(1 + βR(p− p0)), ρ(p) = ρ0(1 + βF (p− p0)),

M. Jurak, Radna verzija 15 14. studenoga 2014.

16

gdje je Φ0 = Φ(p0) i ρ0 = ρ(p0). Uvrstavanjem u (1.33) i zanemarivanjem malih clanovauz vremensku derivaciju dobivamo

Φ0gρ0ρ(p)(βR + βF )∂H

∂t− div(ρ(p)k(x)∇H) = 0.

gdje je

k(x, p) =gρ(p)

µK(x) ≈ gρ0

µK(x) = k(x)

hidraulicka vodljivost u kojoj smo vec uzeli konstantnu viskoznost. Aproksimacija kojusmo ucinili oslanja se na |βF (p − p0)K| << |ρ0K|. Konacno, u trecem koraku mozemopisati

Φ0gρ0ρ(p)(βR + βF )∂H

∂t− ρ(p) div(k(x)∇H)− k(x)∇H · ∇ρ(p) = 0.

Kako je brzina fluida malena, to imamo

|k(x)∇H · ∇ρ(p)| = |q · ∇ρ(p)| << |ρ(p) div(k(x)∇H)|. (1.35)

Sada zanemarivanjem tog clana i skracivanjem s ρ(p) dobivamo linearnu jednadzbu:

Φ0gρ0(βR + βF )∂H

∂t− div(k(x)∇H) = 0. (1.36)

U jednadzbi (1.36) imamo specificni koeficijent uskladistenja (eng. specific storativity)

S0 = Φ0gρ0(βR + βF ),

koji se moze interpretirati kao volumen fluida koji izade iz jedinicnog volumena poroznesredine kada se potencijal umanji za jedinicnu vrijednost. Ta se interpretacija bazira nacinjenici da je

S0 ≈1

ρSmH .

Konacno, Hubertov potencijal se u slucaju male kompresibilnosti moze zamijeniti s piezo-metarskom razinom h = zp/(gρ0) jer je (uzimajuci p0 = 0

H = z +1

gρ0

∫ p

p0

dξ

1 + βF (ξ − p0)= z +

1

gρ0βFln(1 + βF (p− p0)) ≈ z +

1

gρ0

(p− p0).

U toj smo aproksimaciji iskoristili razvoj ln(1 + x) = x − x2/2 + · · · . Uzimajuci sve teaproksimacije u obzir, linearizirana jednadzba slabokompresibilnog toka fluida poprimaoblik

S0∂h

∂t− div(k(x)∇h) = 0,

M. Jurak, Radna verzija 16 14. studenoga 2014.

17

gdje je S0 specificni koeficijent uskladistenja, h je piezometarska razina, a k je hidraulickavodljivost. Darcyjeva brzina je dana s q = −k(x)∇h. Inicijalno rubna zadace za tujednadzbu imam oblik:

S0∂h

∂t− div(k(x)∇h) = 0 u Ω× (0, T ) (1.37)

k(x)∇h · n = gN , na ΓN × (0, T ) (1.38)

h = hD, na ΓD × (0, T ) (1.39)

h = h0, na Ω za t = 0, (1.40)

gdje je gN zadani volumni protok fluida kroz Neumannovu granicu, a hD i h0 su Dirichletovai inicijalna piezometarska razina.

Zadatak 2. Pokazite da vrijedi (1.35).

Rjesenje. Oznacimo s δH karakteristicnu varijaciju potencijala te s L karakteristicnuprostoru skalu na kojoj se ta varijacija desava. Tada je

|k(x)∇H · ∇ρ(p)| ≈ |kδHL

δρ

L| = |kρgβF

δH

L

δH

L| = |kρgβF

(δH)2

L2|,

jer je δρ = βF δp = βFρgδH. S druge strane

|ρ(p) div(k(x)∇H)| ≈ |ρk(δH)2

L2|

Tvrdnju dobivam iz gβF << 1. Tok plina kroz poroznu sredinu

Kada je fluid u poroznoj sredini plin onda stlacivost ne mozemo zanemariti, no u tomslucaju cesto je moguce zanemariti gravitacijsku silu zbog male specificne mase plina. Cestaje pretpostavka da je plin idealan i da je proces izentropijski sto vodi na zavisnost tlaka igustoce mase:

p = p0ργ, γ > 1, p0 > 0. (1.41)

Ako u jednadzbi (1.21) radi jednostavnosti uzmemo da su Φ µ konstante, da je K = kI, uzkonstantno k, te zanemarujuci gravitacijski clan dobivamo

Φ∂ρ

∂t− kp0

µdiv(ρ∇ργ) = 0.

Vidimo da jednadzbu mozemo izraziti u terminima gustoce mase ρ kao nepoznate funkcije.Tlak se zatim moze rekonstruirati iz jednadzbe (1.41). Sredivanjem clana pod divergenci-jom dobivamo jednadzbu

∂ρ

∂t− κ∆ρm = 0, m = γ + 1 > 2, (1.42)

M. Jurak, Radna verzija 17 14. studenoga 2014.

18

gdje je

κ =kp0

µΦ

γ

γ + 1> 0.

Jednadzba (1.42) naziva se jednadzba porozne sredine (eng. porous medium equation) i njenamatematicka svojstva su intezivno proucavana, vidi [15].

1.4 Redukcija dimenzije

Promatramo fluid u poroznom sloju ogranicenom s dvije koje se evetualno gibju uvremenu:

F1(x, y, z, t) = z − b1(x, y, t) = 0,

F2(x, y, z, t) = z − b2(x, y, t) = 0.

Pretpostavljamo da je je z = b1(x, y, t) donja ploha, a z = b2(x, y, t) gornja ploha, odnosnob1(x, y, t) < b2(x, y, t) za sve x, y iz domene i za sva vremena t. Prisjetimo se da je jedinicnanormala na plohu zadanu jedandzbom F = 0 jednaka

n =∇F|∇F |

.

Ako se tocka x(t) nalazi u svakom trenutku t na plohi F = 0, onda je F (x(t), t) = 0 pa je

0 =d

dtF (x(t), t) = ∇F · x(t) +

∂F

∂t.

Vektor x(t) u tocki x(t) predstavlja brzinu fibanja plohe. Stoga, ako s Vi oznacimo brzinaplohe Fi = 0 u promatranoj tocki, onda imamo

∇Fi ·Vi +∂Fi∂t

= 0, i = 1, 2. (1.43)

Uvedimo jos oznake,

B(x, y, t) = b2(x, y, t)− b1(x, y, t), f =1

B

∫ b2

b1

fdz, (1.44)

gdje je f proizvoljna funkcija.Redukciju dimenzije postizemo integracijom jednadzbe (1.21) po visini. Mi cemo pri

tome, radi potpunosti, jednadzbi dodati i desnu stranu ρf . Imamo∫ b2

b1

∂

∂t(Φρ)dz −

∫ b2

b1

div(ρ

µk (∇p− ρg))dz =

∫ b2

b1

ρfdz (1.45)

M. Jurak, Radna verzija 18 14. studenoga 2014.

19

Uzimajuci u obzir da bi opcenito ovise o vremenu dobibamo:∫ b2

b1

∂

∂t(Φρ)dz =

∂

∂t

∫ b2

b1

Φρdz − (Φρ)|z=b2∂b2

∂t+ (Φρ)|z=b1

∂b1

∂t

=∂

∂t(BΦρ) + (Φρ)|z=b2

∂F2

∂t− (Φρ)|z=b1

∂F1

∂t.

Uvedimo oznaku div′ i ∇′ za dvodimenzionalne diferencijalne operatore:

div′G′ =∂Gx

∂x+∂Gy

∂y, ∇′φ =

∂φ

∂x~ı +

∂φ

∂y~j.

Tada analognim racunom dobivamo,∫ b2

b1

div(ρ

µk (∇p− ρg))dz =

∫ b2

b1

( ∂∂x

(ρ

µk∂p

∂x) +

∂

∂y(ρ

µk∂p

∂y) +

∂

∂z(ρ

µk[∂p

∂z+ ρgz])dz

=∂

∂x

(∫ b2

b1

ρ

µk∂p

∂xdz

)− (

ρ

µk∂p

∂x)|z=b2

∂b2

∂x+ (

ρ

µk∂p

∂x)|z=b1

∂b1

∂x

+∂

∂y

(∫ b2

b1

ρ

µk∂p

∂ydz

)− (

ρ

µk∂p

∂y)|z=b2

∂b2

∂y+ (

ρ

µk∂p

∂y)|z=b1

∂b1

∂y

+ (ρ

µk[∂p

∂z+ ρgz])|z=b2 − (

ρ

µk[∂p

∂z+ ρgz])|z=b1 .

Dvodimenzionalni dio Darcyjeve brzine

q = −kµ

(∇p− ρg)

neka je oznacen

Q = −kµ∇′p.

Sada mozemo pisati,∫ b2

b1

div(ρ

µk (∇p− ρg))dz = − div′(BρQ)− (ρq)|z=b2 · ∇F2 + (ρq)|z=b1 · ∇F1.

Jednadzba (1.45) sada daje

∂

∂t(BΦρ) + div′(BρQ)

+ (ρq)|z=b2 · ∇F2 − (ρq)|z=b1 · ∇F1 + (Φρ)|z=b2∂F2

∂t− (Φρ)|z=b1

∂F1

∂t= Bρf.

Uzimajuci u obzir (1.43) imamo

∂Fi∂t

= −∇Fi ·Vi,

M. Jurak, Radna verzija 19 14. studenoga 2014.

20

odnosno

∂

∂t(BΦρ) + div′(BρQ) + [(ρq)|z=b2 − (Φρ)|z=b2V2] · ∇F2

− [(ρq)|z=b1 − (Φρ)|z=b1V1] · ∇F1 = Bρf

Dva dodatna clana u ovoj jednadzbi predstavljaju protok mase kroz gornju i donju plohui taj protok ce morati biti odreden kako bismo dosli do dvodimenzionalnog modela. Ti seclanovi u dvosimenzionalnom modelu pojavljuju kao dodatni izvorni clanovi.

Kako bismo dosli do dvoimenzionalnog modela moramo pretpostaviti da su varijacijetlaka, gustoce i brzine u vertikalnom smjeru male. S tim ciljem kozemo svaku funkcijuf rastaviti na njenu srednju vrijednost po visini f i varijaciju u odnosu na tu srednjuvrijednost f :

f = f + f .

Uocimo da je srednja vrijednost varijacije uvijek jednaka nuli:

˜f =

1

B

∫ b2

b1

(f − f)dz = f − f = 0.

Nasa pretpostavka je f << f tako da kvadrat i vise potencije varijacije mozemo zanemariti.Na taj nacin dobivamo sljedece aproksimacije:

Φρ = Φρ+˜Φρ ≈ Φρ,

ρf = ρf +˜ρf ≈ ρf ,

ρQ ≈ ρQ.

U posljednjem koraku treba napraviti aproksimaciju za srednju vrijednost Darcyjeve brzine.Imamo,

BQ = −Bµk∇′p ≈ −B

µk∇′p = − 1

µk

∫ b2

b1

∇′pdz

= − 1

µk

(∇′∫ b2

b1

pdz − p|z=b2∇′b2 + p|z=b1∇′b1

)= − 1

µk (∇′(Bp)− p|z=b2∇′b2 + p|z=b1∇′b1)

= − 1

µk (B∇′p+ p∇′B − p|z=b2∇′b2 + p|z=b1∇′b1)

= − 1

µk (B∇′p+ (p− p|z=b2)∇′b2 − (p− p|z=b1)∇′b1) .

Uz pretpostavku da tlak malo varira po visini mozemo uzeti

p ≈ p|z=b2 ≈ p|z=b1

M. Jurak, Radna verzija 20 14. studenoga 2014.

21

i time dolazimo do aproksimacije

Q ≈ − 1

µk∇′p.

Uz navedene aproksimacije dobivamo model:

∂

∂t(Φρ)− div′(

ρ

µk∇′p) + [(ρq)|z=b2 − (Φρ)|z=b2V2] · ∇F2

− [(ρq)|z=b1 − (Φρ)|z=b1V1] · ∇F1 = ρf ,

gdje je Φ poroznost sloja, k propusnost sloja, a f izvorni clan sloja:

Φ = BΦ =

∫ b2

b1

Φdz, k = Bk =

∫ b2

b1

kdz, f = Bf =

∫ b2

b1

fdz.

Dvodimenzionalna Darcyjeva brzina je dana izrazom:

q = − 1

µk∇′p.

Zatvoreni sloj. Pretpostavimo da je na obje granice, Fi = 0 i = 1, 2, zadan rubni uvjetnepropusnosti. To znaci da je normalna brzina fluida kroz granicu, jednaka brzini gibanjasame granice, pri cemu moramo stvarnu brzinu gibanja granice Vi zamijeniti s prividnombrzinom ΦVi:

(q|z=b2 − Φ|z=b2V2) · ∇F2 = 0, (q|z=b1 − Φ|z=b1V1) · ∇F1 = 0.

Time smo dosli do jednadzbe

∂

∂t(Φρ)− div′(

ρ

µk∇′p) = ρf .

Ovo jednadzbu treba jos dopuniti lateralnim rubnim uvjetima.Napomenimo jos da ukoliko je ρ = ρ(p), onda se Taylorovim razvojem pokazuje da je

ρ = ρ(p), odnosno zavisnost gustoce mase o tlaku ostaje nepromijenjena.Poluzatvoreni sloj. Pogledajmo sada primjer u kojem je donja granica nepropusna, dokje gornji sloj polupropusan. Polupropusnost granice interpretiramo na sljedeci nacin: Nagranici postoji sloj slabo propusnog materijala sto ima za efekt da je pad tlaka kroz taj slojpri svim protocima prakticno linearan. To znaci da ako je debljina tog sloja cr, a njegovapropusnost kr, onda je tok kroz njega vertikalan i jednak

−krµ

p0 − pcr

,

gdje je p0 tlak iznad slabo propusnog materijala koji je neovisan o toku u sloju i stogakonatantan.

M. Jurak, Radna verzija 21 14. studenoga 2014.

22

Ovdje je prirodno uzeti da su granice sloja nepomicne, odnosno da je Vi = 0. Tada nadonjem sloju imamo (q|z=b1 − Φ|z=b1V1) · ∇F1 = 0, a na gornjem sloju imamo

(q|z=b2 − Φ|z=b2V2) · ∇F2 = q|z=b2 · ∇F2 = −krµ

p0 − pcr|∇F2|.

Stoga diferencijalna jednadzba gibanja u sloju glasi

∂

∂t(Φρ)− div′(

ρ

µk∇′p)− ρkr

µ

p0 − pcr|∇F2| = ρf .

Posve analogno se tretira slucaj u kojem je donja granica slabo propusna ili u kojem susamo dijelovi granica slabo propusni.

U slucaju slabo kompresibilnog toka dobili bismo jednadzbu

S∂h

∂t− div′(T∇′h)− kr

h0 − hcr|∇F2| = f ,

gdje je kr hidraulicka vodljivost polupropusnog sloja.Otvoreni sloj. Pretpostavimo sada da je gornja granica fluida otvorena, dok je donjanepropusna. Pretpostavimo radi odredenosti da se radi o vodi u podzemlju koja lezi nanepropusnoj stijeni (donja granica, F1 = 0) dok je gornja granica otvorena, odnosno nagornjoj granici sloja voda je dodiru sa zrakom koji ispunjava pore u plitkim slojevima tla.Kako je zrak u dodiru atmosferom i svako gibanje u tlu je puno sporije od poremecaja uatmosfer, mozemo pretpostaviti da je tlak zraka u plitkim slojevima tla atmosferski. Stogazakljucujemo da je tlak vode na gornjoj granici sloja jednak atmosferskom.

Ova zadaca je bitno razlicita od prethodnih stoga sto nam je oblik gornje granice slojanepoznat. Nalazenje oblika gornje plohe je dio problema koji time ulazi u klasu zadaca saslobodnom granicom. Nas pristup se sastoji u vertikalnoj integraciji kojom cemo zadacusa slobodno granicom transformirati u standardnu inicijalno rubnu zadacu. Pri tome cemopretpostavljati slabu kompresibilnost fluida i stijene i pretpostavku o tlaku neovisnom ovisini zamijeniti cemo pretpostavkom o neovisnosti piezometarske razine o visini.

Sve sto je potrebno dodati nasem integriranom modelu je rubni uvjet na slobodnojgranici. Ukoliko nema dotoka vode u gornji sloj, na primjer putem padalina, onda se rubniuvjet svodi na to da normalna brzina cestice na slobodnoj povrsini mora biti jednakanormalnoj brzini same slobodne povrsine. Drugim rijecima cestica na F2 = 0 ostaje trajnona njoj (F2 = 0 je materijalna ploha). Taj se uvjet izrazava s

[q|z=b2 − Φ|z=b2V2] · ∇F2 = 0.

Ukoliko postoji odredena infiltracija vode N kroz slobodnu povrsinu, onda je rubni uvjet

[q|z=b2 − Φ|z=b2V2] · ∇F2 = N · ∇F2.

Obicno se uzima N = −ρN∇z. Dvodimenzionalni model sada ima oblik:

∂

∂t(Φρ)− div′(

ρ

µk∇′p) + N · ∇F2 = ρf .

M. Jurak, Radna verzija 22 14. studenoga 2014.

23

Iskoristit cemo slabu kompresibilnost sredine kako bismo linearizirali jednadzbu. Za aku-mulacijski clan imamo:

∂

∂t(Φρ) =

∂

∂t(BΦρ) =

∂B

∂tΦρ+B

∂

∂t(Φρ)

=∂b2

∂tΦρ+Bρ

∂Φ

∂t+BΦ

∂ρ

∂t=∂b2

∂tΦρ+BρΦ0βR

∂p

∂t+BΦρ0βF

∂p

∂t,

gdje smo iskoristili cinjenicu da je

ρ = ρ0(1 + βF (p− p0)), Φ = Φ0(1 + βR(p− p0)).

Odbacujuci suvise male velicine imamo

∂

∂t(Φρ) =

∂b2

∂tΦρ+Bρ0Φ0(βR + βF )

∂p

∂t≈ ∂b2

∂tΦ0ρ0 +Bρ0Φ0(βR + βF )ρ0g

∂h

∂t,

jer je h = p/ρ0g + z. Stoga imamo ∇′p = ρ0g∇′h te

− div′(ρ

µk∇′p) ≈ − div′(

ρ

µρ0gk∇′h) ≈ − div′(ρ0T∇′h),

gdje je

T =ρ0

µg

∫ b2

b1

kdz

ukupna hidraulicka vodljivost sloja, odnosno transmisitivnost. Buduci da smo pretpostavilih1 ≈ h2 ≈ h uzet cemo da je

b2 = h, B = h− b1, T = T (h) =ρ0

µg

∫ h

b1

kdz.

Sada uzimajuci u obzir N ≈ −ρ0N∇z i dijeljenjem s ρ0 dobivamo nelinearnu jednadzbu:

Φ0∂h

∂t+ (h− b1)S0

∂h

∂t− div′(T (h)∇′h) = f +N,

gdje je S0 = ρ0gΦ0(βR+βF ) specificni koeficijent uskladistenja, odnosno ukupni koeficijentuskladistenje (h − b1)S0. U prakticnim primjerima je (h − b1)S0 << Φ0 pa dobivamokonacnu aproksimaciju

Φ0∂h

∂t− div′(T (h)∇′h) = f +N. (1.46)

Uocimo da je dobivena parcijalna diferencijalna jednadzba nelinearna. U slucaju homogenesredine imamao T (h) = (h− b1)kH , gdje kH = ρ0

µgk hidraulicka vodljivost.

M. Jurak, Radna verzija 23 14. studenoga 2014.

24

Rrw

Slika 1.4: Domena radijalnog toka.

1.5 Primjeri

Ovdje donosimo nekoliko primjera egzaktnih rjesenja monofaznog toka kroz poroznusredinu, uglavnom pod pretpostavkom ravninskog toka. Egzaktna rjesenja su vazna zbognjihove primjene na zadace odredivanja parametara porozne sredine buduci da ona naeksplicitan nacin vezuju mjerljive velicine (tlak i protok) s parametrima sredine (poroznosti propusnost).

1.5.1 Stacionarna rjesenja

U primjenama su najvaznija stacionarna rjesenja s radijalnom (cilindricnom) simetrijomjer ona modeliraju tok u blizini busotine.

Primjer 1. Kroz zatvoren horizonatalan sloj prolazi busotina radijusa rw cijelom njegovomvisinom. Tok fluida u jedinici vremena u busotinu je jednak Q [m3/s]. Treba odreditistacionarno radijalno rjesenje pod pretpostavkama da je sredina homogena i kruta, a fluidnestlaciv. Radi odredenosti mozemo pretpostaviti da tlak na udaljenosti r = R iznosi pR.

U ovom slucaju treba rijesiti diferencijalnu jednadzbu

∆p = 0

uz rubni uvjet p = pR za r = R i

h

∫ 2π

0

1

µk∇p · errdr = Q,

gdje je h debljina sloja. Q uzimamo pozitivnim pri utoku i zato smo ispustili predznakminus kod Darcyjeve brzine. Ako je rjesenje oblika p = p(r), onda je u radijalnom sustavu

∇p =∂p

∂rer, ∆p =

1

r

∂

∂r(r∂p

∂r).

Iz (rp′)′ = 0 dobivamo p(r) = C ln r+D, gdje su C i D integracijske konstante. Rubniuvjet na r = rw je

2hπrwk

µp′(rw) = Q.

M. Jurak, Radna verzija 24 14. studenoga 2014.

25

Lakim racunom dobivamo,

p(r) = pR +Qµ

2πhklnr

R. (1.47)

Ako tlak na r = rw oznacimo s pw, onda imamo:

Qw =2πhk

µ

pR − pwln(rw/R)

, (1.48)

sto je Dupuitove formula koja veze pad tlaka i protok kroz busotinu.Radijus busotine obicno je puno manji od karakteristicne linearne dimenzije citave

porozne domene, odnosno rw << R. Uzmimo neke tipicne vrijednosti: rw = 0.1 m,R = 100 m; tada je R/rw = 103 i iz (1.47) lako dobivamo da se jedna trecina ukupnogpada tlaka dobiva na udaljenosti r = 10rw = 1 m. Iz toga slijedi praktican zakljucak da jepropusnost sloja oko busotine iznimno vazna za efikasnost busotine.

Uvjeti koji vladaju u neposrednoj okolini busotine obicno su takvi da je sloj poroznesredine neposredno uz busotinu manje propusan od ostalog dijela porozne sredine. Usljedecem primjeru promatramo utjecaj te smanjene poroznosti na protok kroz busotinu.

Primjer 2. Trazimo radijalni tok iz prethodne situacije u slucaju kada je propusnost sredinejednaka k1 u podrucju r ∈ [rw, r0] te k2 6= k1 u podrucju r > r0.

Ovdje imamo slucaj u kojem je propusnost sredine po dijelovima konstantna. Jednaje konstantna vrijednost k1 zadana na kruznom vijencu rw ≤ r ≤ r0, koji predstavljasloj u kontaktu s busotinom, dok je druga vrijednost k2 zadana daleko od busotine (zar > r0). Buduci da su svojstva porozne sredine radijalno simetricna i ovdje trazimoradijalno simetricno rjesenje. Ono ce nuzno imati oblik

p(r) =

C1 ln r +D1 rw ≤ r ≤ r0

C2 ln r +D2 r0 ≤ r(1.49)

Na granici izmedu dviju poddomena, r = r0, potrebno je zadati kontaktne uvjete kakobismo dobili globalno rjesenje (tj. rjesenje u citavoj domeni). Ti kontaktni uvjeti morajueliminirati dvije konstante i oni su:

1. neprekidnost tlaka na prijelazu iz jedne poddomene u drugu

2. neprekidnost normalne komponente toka.

Preciznije, mora vrijediti

p(r0−) = p(r0+) (1.50)

−k1

µ∇p(r0−) · n = −k2

µ∇p(r0+) · n (1.51)

M. Jurak, Radna verzija 25 14. studenoga 2014.

26

(Ovdje p(r0−) predstavlja limes s lijeve strane tlaka kada r tezi prema r0, dok p(r0+)predstavlja limes s desne strane.) Ovi uvjet vode na

(C1 − C2) ln r0 = D2 −D1, k1C1 = k2C2.

Iz zadanog protoka dobivamo

C1 =Qµ

2πhk1

, C2 =Qµ

2πhk2

.

If (1.49) i (1.51), (1.50) lako se dobiva rjesenje

p(r) =

pR + Qµ

2πhk2ln r0

R+ Qµ

2πhk1ln r

r0r < r0

pR + Qµ2πhk2

ln rR

r > r0,

gdje je p0 = pR + Qµ2πhk2

ln r0R

i

pw = pR +Qµ

2πhk2

lnr0

R+

Qµ

2πhk1

lnrwr0

.

Uocimo da je protok kroz kruznicu radijusa r jednak 2πhk(r)rp′(r)/µ, gdje je k(r) jednakok1 ili k2, te je stoga protok neovisan o r i upravo jednak Q. Jednostavnim racunom sadadobivamo:

Q =2πhk2

µ

(pR − pw)

[ln(R/r0) + (k2/k1) ln(r0/rw)].

To se slaze s formulom (1.48) kada r0 → rw. Nadalje, formula se radi jednostavnijeinterpretacije zapisuje u obliku:

Q =2πhk2

µ

pR − pwln(R/r∗w)

, r∗w = rw

(rwr0

)γ−1

, γ =k2

k1

. (1.52)

Vrijednost r∗w naziva se reducirani radijus busotine i kako je tipicno γ >> 1 dobivamor∗w << rw. Uzmimo na primjer, rw = 0.1 m, r0 = 0.5 m, k2/k1 = 10 i R = 100 m. Tadaje r∗w = 5−9rw i lako se vidi da je protok Q s perturbiranom propusnosti tri puta manji odprotoka s neperturbiranom propusnosti.

Zadatak 3. Naci sferno-simetrican tok izmedu dvije koncentricne sfere na kojima su za-dani konstantni tlakovi. Pokazati da je protok kroz svaku sferu neovisan o radijusu sfere(kao i u dvodimenzionalnom slucaju). Izracunati tlak i Darcyjevu brzinu.

Primjer 3. Kroz poluzatvoren horizonatalan sloj prolazi busotina radijusa rw cijelom nje-govom visinom. Tok fluida u jedinici vremena u busotinu je jednak Q [m3/s]. Treba odreditistacionarno radijalno rjesenje pod pretpostavkama da je sredina homogena i kruta, a fluidnestlaciv. Sloj neka je polupropusan s gornje strane.

M. Jurak, Radna verzija 26 14. studenoga 2014.

27

U ovom slucaju imamo diferencijalnu jednadzbu

− div(ρ

µk∇p)− ρkr

µ

p0 − pcr|∇F2| = 0,

u kojoj je p0 zadani tlak iznad polupropusnog sloja, cr njegova debljina, a pr propusnost.Kako je sloj ravan imamo da je ∇F2 = k te dobivamo

k∆p+krcr

(p0 − p) = 0.

Rjesenje trazimo u radijalnom obliku p = p(r), a rubni uvjet su:

rwp′(rw) =

Qµ

2hπk, p(R) = pR.

Diferencijalna jednadzba je sada

1

r(rp′(r))′ + α(p0 − p) = 0, α =

krkcr

.

Sada je zgodno prijeci na funkciju u = p− p0 pa dobivamo,

1

r(ru′(r))′ − αu = 0, α =

krkcr

rwu′(rw) =

Qµ

2hπk, u(R) = pR − p0.

Diferencijalna jednadzba koju dobivamo je

u′′ +1

ru′ − αu = 0.

Uvedimo varijablu ξ = r√α, i trazimo rjesenje u obliku u = y(ξ). tada funkcija y zadovo-

ljava diferencijalnu jednadzbu

y′′ +1

ξy′ − y = 0.

Ova je diferencijalna jednadzba primjer modificirane Besselove diferencijalne jednadzbe kojaopcenito ima oblik

y′′ +1

ξy′ − (1 +

n2

x2)y = 0, (n = 0, 1, 2 . . .)

Linearno nezavisna rjesenja su modificirane Besselove funkcije prve vrste In i modificiraneBesselove funkcije druge vrste Kn. Nase je rjesenje stoga linearna kombinacija funkcija I0 iK0.

Uzmimo radi jednostavnosti da je pri r = +∞, tlak jednak p0, odnosno u(+∞) = 0.Tada je rjesenje oblika u(r) = CK0(

√αr),

u(r) =Qµ

2hπk

K0(√αr)√

αrwK ′0(√αrw)

.

M. Jurak, Radna verzija 27 14. studenoga 2014.

28

Uzimajuci u obzir da je limx→0+ xK′0(x) = −1 mozemo prijeci na limes u gornjoj formuli i

dobiti jednostavniji izraz

p(r) = p0 −Qµ

2hπkK0(

√krkcr

r).

Ta funkcija zadovoljava granicne rubne uvjete:

limrw→0

rwp′(rw) =

Qµ

2hπk, lim

R→∞p(R) = p0.

Primjer 4. Kroz otvoren horizonatalan sloj prolazi busotina radijusa rw cijelom njegovomvisinom. Piezometarska razina u busotini je hw, dok se na udaljenosti R od nje primijecujerazina hR. Treba odrediti stacionarno radijalno rjesenje pod pretpostavkama da je sredinahomogena i kruta, a fluid nestlaciv.

Polazimo od jednadzbe (1.46)

Φ∂h

∂t− div(kh∇h) = N, (1.53)

u kojoj smo stavili b1 = 0, tako da h ima interpretaciju visine freatske plohe. U radijalnimkoordinatama u stacionarnom slucaju imamo:

− k

2r

∂

∂r(r∂h2

∂r) = N

Opce rjesenje je

h2 = −N2kr2 + C ln r +D.

Iz rubnih uvjeta se lako dobije

h2 = h2w −

N

2k(r2 − r2

w) +h2R − h2

w + (N/2k)(R2 − r2w)

ln(R/rw)ln

r

rw.

Izracunajmo protok kroz kruznicu radijusa r:

Q(r) =

∫ 2π

0

kh∇h · errdφ =

∫ 2π

0

kh∂h

∂rrdφ = πkr

∂h2

∂r

= −πNr2 + π2k(h2

R − h2w) +N(R2 − r2

w)

2 ln(R/rw).

Ako ima pritoka N onda protok nije konstantan. U slucaju N = 0 ponovo postaje kons-tantan:

Q = πkh2R − h2

w

ln(R/rw).

U tom slucaju rjesenje mozemo pisati u obliku

h2 = h2w +

h2R − h2

w

ln(R/rw)ln

r

rw= h2

w +Q

πkln

r

rw.

M. Jurak, Radna verzija 28 14. studenoga 2014.

29

h0hL

N

Slika 1.5: Vodna ploha unutar brane.

Primjer 5. Porozna brana se proteze u smjeru osi x od x = 0 do x = L. Na lijevoj stranibrane je visina vode od nepropusnog horizontalnog sloja jednaka h0, a na desnoj hL. Trebaodrediti oblik vodne plohe ako je dotok kroz gornji sloj jednak N .

Treba rijesiti jednadzbu

Φ∂h

∂t− div(kHh∇h) = N

na (0, L) sa zadanim vrijednostima h(0) = h0 i h(L) = hL. Pri tome smo z = 0 stavili narazinu nepropusnog sloja te uzimamo da je atmosferski tlak jednak nuli.

Kako trazimo stacionarno rjesenje treba rijesiti:

−1

2∆h2 =

N

kH,

sto daje

h2(x) = − NkH

(x− L)x+h2L − h2

0

Lx+ h2

0.

Za pozitivno N (utok) najvisa razina se postize pri x = 12(L+ kH

N

h2L−h20

L).

Zadatak 4. Izracunajte protok kroz strane x = 0 i x = L.

1.5.2 Nestacionarna rjesenja

Primjer 6. Treba naci nestacionarno radijalno rjesenje slabo kompresibilnog toka u tankomhomogenom horizontalnom sloju oko busotine malog radijusa sa zadanim protokom Q.

Treba rijesiti jednadzbu

S0∂h

∂t− div(k∇h) = 0

uz pretpostavku da je h = h(r, t), gdje je r radijalna koordinata. Hidraulicka vodljivostk i koeficijent uskladistenja S0 su konstante. Zbog malog radijusa busotine (u odnosu nadomenu od interes) postavit cemo rubne uvjete

limrw→0

rw∂rh(rw) =Q

2Hπk, lim

R→∞h(R) = h0,

M. Jurak, Radna verzija 29 14. studenoga 2014.

30

gdje je H debljina sloja.

S0∂h

∂t− 1

r

∂

∂r

(r∂h

∂r

)= 0.

Rjesenje ove jednadzbe trazit cemo u obliku

h(r, t) = y(r2

αt), α je konstanta koju treba odrediti,

sto vodi na obicnu diferencijalnu jednadzbu (ξ = r2/αt)

−S0r2

αt2y′(ξ)− (2ξky′(ξ))

′ 2

αt= 0,

sto daje

S0α

4kξy′(ξ) + (ξy′(ξ))

′= 0.

Sada vidimo da trebamo odabrati α = 4k/S0 i tada dobivamo jednadzbu

ξy′′ + (1 + ξ)y′ = 0,

koja se jednom integracijom svodi na

y′(ξ) =C

ξe−ξ,

gdje je C konstanta integracije. Kako je r∂rh = 2ξh′(ξ) imamo

2 limξ→0

ξh′(ξ) = 2 limξ→0

Ce−ξ = 2C =Q

2Hπk,

odnosno, C = Q4Hπk

. Jos jednom integracijom dobivamo

y(ξ)− p0 = − Q

4Hπk

∫ +∞

ξ

1

ve−vdv.

Funkciju

E1(ξ) =

∫ +∞

ξ

1

ve−vdv,

nazivamo Eksponencijani integral te s tom oznakom imamo

p(r, t) = p0 −Q

4HπkE1(

S0r2

4kt).

U teoriji specijalnih funkcija se pokazuje da je (vidi [1])

E1(x) = −γ − lnx−∞∑n=1

(−1)nxn

n!n, x > 0,

gdje je γ Eulerova konstanta γ =∫∞

0e−x lnxdx ≈ 0.5772. Vidimo da je ponacanje piezo-

metarske razine ponovo priblizno logaritamsko.

M. Jurak, Radna verzija 30 14. studenoga 2014.

31

Primjer 7. Treba naci rjesenje jednadzbe porozne sredine (1.42) oblika

ρ(x, t) =1

tay(|x|2

tb),

koje ima svojstvo da je∫Rd ρ(x, t) dx konstanta. Ta se funkcija cesto naziva Barenblattovo

rjesenje (vidi [2]).

Treba jednostavno uvrstiti zadanu formu u jednadzbu (1.42)

∂ρ

∂t− κ∆ρm = 0,

gdje je m = γ + 1 > 2 i , κ = kp0µΦ

γγ+1

> 0.Racunom dobivamo:

∂ρ

∂t(x, t) = − a

ta+1y(ξ)− b

ta+1ξy′(ξ), ξ =

|x|2

tb,

∂2ρm

∂x2i

(x, t) =1

tma(ym)′′(ξ)

4x2i

t2b+

1

tma(ym)′(ξ)

2

tb, ξ =

|x|2

tb,

∆ρm(x, t) =4

tma+bξ(ym)′′(ξ) +

2d

tma+b(ym)′(ξ).

Jednadzba daje

a

ta+1y(ξ) +

b

ta+1ξy′(ξ) +

4κ

tma+bξ(ym)′′(ξ) +

2dκ

tma+b(ym)′(ξ) = 0,

sto daje

a+ 1 = ma+ b,

te iz toga slijedi diferencijalna jednadzba

ay(ξ) + bξy′(ξ) + 4κξ(ym)′′(ξ) + 2dκ(ym)′(ξ) = 0.

Nadalje, izracunajmo integral∫Rd

ρ(x, t) dx =1

ta

∫Rd

y(|x|2

tb) dx =

1

ta

∫ ∞0

∫S1

y(r2

tb)dSrd−1dr

gdje je S1 jedinicna sfera u Rd. Zbog radijalne simetrije, zamjenom varijabli u = r/tb/2

dobivamo ∫Rd

ρ(x, t) dx = |S1|1

ta

∫ ∞0

y(r2

tb)rd−1dr = |S1|

tbd/2

ta

∫ ∞0

y(u2)ud−1du.

M. Jurak, Radna verzija 31 14. studenoga 2014.

32

Taj je izraz neovisan o vremenu ako vrijedi 2a = bd. Kombiniranjem s prethodnom relaci-jom dobivamo:

a =1

m− 1 + 2/d, b =

2

da. (1.54)

Diferencijalnu jednadzbu mozemo sada napisati u obliku

b[d

2y(ξ) + ξy′(ξ)] + 4κ[ξ(ym)′′(ξ) +

d

2(ym)′(ξ)] = 0.

Da bismo izlucili jednu derivaciju ispred cijele jednadzbe pomnozimo jednadzbu s ξk, gdjeje k + 1 = d/2. Tada je

b(ξk+1y(ξ))′ + 4κ(ξk+1(ym)′(ξ))′ = 0,

a jedna integracija daje

bξk+1y′(ξ) + 4κξk+1(ym)′(ξ) = C.

Kako y(ξ) mora brzo teziti u nulu za ξ∞ uzmimo C = 0. Izlazi

by(ξ) + 4κ(ym)′(ξ) = 0,

odnosno

m

∫ym−2dy = − b

4κξ + C

odnosno

y =

(c− (m− 1)b

4κmξ

)1/(m−1)

gdje je c konstanta integracije. Time konacno Barenblattovo rjesenje dobiva oblik:

ρ(x, t) =1

ta

(c− (m− 1)a

2κmd

|x|2

tb

)1/(m−1)

a =d

d(m− 1) + 2, b =

2

da,

(1.55)

gdje je c > 0 proizvoljna konstanta. Uocimo da ovo rjesenje ima smisla samo tamo gdjeje izraz u zagradi nenegativan, sto znaci u trenutku t na krugu oko ishodista radijusa Rt,gdje je

R2t =

2κmdc

(m− 1)atb.

M. Jurak, Radna verzija 32 14. studenoga 2014.

33

Izvan toga kruga rjesenje treba staviti na nulu. To znaci da je |x| = Rt granica plina i onase giba konacnom brzinom. Ako uvedemo oznaku x+ = max(x, 0) onda rjesenje mozemozapisati u obliku

ρ(x, t) =1

ta

(c− (m− 1)a

2κmd

|x|2

tb

)1/(m−1)

+

.

Pokazuje se da je to slabo rjesenje jednadzbe porozne sredine u smislu sljedeceg odjeljka(vidi [15]).

Zadatak 5. Pokazite da je

limt→0+

∫Rd

ρ(x, t)φ(x) dx = Mφ(0),

za svaku pozitovnu neprekidnu funkciju φ. To znaci da je limt→0+ ρ(x, t) = Mδ, gdje je δDirackova delta funkcija, a M je ukupna masa plina. Odatle slijedi da je Barenblattovorjesenje fundamentalno rjesenje za jednadzbu porozne sredine.

Zadatak 6. Neka je c = 1. Pokazite da kada m → 1 Barenblattovo rjesenje konvergiraprema fundamentalnom rjesenju jednadzbe provodenja (do na multiplikativnu konstantu):

1

td/2e−|x|

2/4κt.

1.6 Metoda konacnih elemenata

1.6.1 Varijacijska formulacija rubne zadace

Promatrajmo sada opcenitu zadacu u tri dimenzije. Podrucje toka neka je ogranicenadomena Ω ⊂ R3 s dovoljno glatkom granicom ∂Ω koja je podijeljena na dva disjunktnapodskupa

ΓD,ΓN ⊂ ∂Ω, ΓD ∩ ΓN = ∅, ΓD ∪ ΓN = ∂Ω.

Zadane su dvije glatke funkcije P : ΓD → R i F : ΓN → R i treba naci funkcije q ∈ C1(Ω)3

i p ∈ C2(Ω) koje zadovoljavaju:

Φρ′(p)∂p

∂t+ div(ρ(p)q) = f(p), u Ω× (0, T ) (1.56)

q = −kµ

(∇p− ρ(p)g), (1.57)

p = 0 na ΓD, q · n = F na ΓN , (1.58)

p = pinit za t = 0. (1.59)

gdje su Φ, k i µ pozitivne konstante. Uvedimo oznaku QT = Ω× (0, T ).

M. Jurak, Radna verzija 33 14. studenoga 2014.

34

Klasicno rjesenje zadace (1.57)–(1.59) mora biti dovoljno glatko i zadovoljavati jed-nadzbu u svakoj tocki domene te rubne uvjete u svakoj tocki granice. Da bismo lakse izraziliglatkocu koju rjesenje mora imati promatrat cemo funkcije varijable (x, t) kao funkciju iz(0, T ) u prostor funkcija varijable x. Funkciju p(x, t) promatramo kao funkciju t 7→ p(x, t)pri cemi je p(t) ∈ C2(Ω), gdje smo uveli oznaku p(t) za funkciju x 7→ p(x, t). Sada mozemoprirodnu glatkocu rjesenja p izraziti na sljedeci nacin:

p ∈ C1([0, T ];C2ΓD

(Ω)), C2ΓD

(Ω) = ϕ ∈ C2(Ω)) : ϕ|ΓD= 0.

Uvrstimo jednadzbu (1.58) u (1.57) i pomnozimo je s glatkom funkcijom ϕ te prointe-grirajmo po Ω: vrijedi∫

Ω

Φρ′(p)∂p

∂tϕ dx−

∫Ω

div(ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g))ϕ dx =

∫Ω

f(p)ϕ dx.

Izvrsimo parcijalnu integraciju u drugom integralu pretpostavljajuci da je ϕ = 0 na ΓD.Uvazavajuci rubni uvjet (1.58) dobivamo:∫

Ω

Φρ′(p)∂p

∂tϕ dx +

∫Ω

ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g) ·∇ϕ dx +

∫ΓN

ρ(p)FϕdS =

∫Ω

f(p)ϕ dx. (1.60)

Na taj nacin smo dosli do varijacijske formulacije nase zadace koja glasi: Naci funkciju

p ∈ C1([0, T ];C1ΓD

(Ω)), C1ΓD

(Ω) = ϕ ∈ C1(Ω)) : ϕ|ΓD= 0,

koja zadovoljava (1.60) za svako ϕ ∈ C1ΓD

(Ω) i za svako t ∈ (0, T ) te koja zadovoljavainicijalni uvjet (1.59). Rjesenje varijacijske zadace (1.60) nazivamo slabo rjesenje zadace(1.57)–(1.59).

Uocimo da rjesenje varijacijske zadace ne mora imati druge prostorne derivacije. Nada-lje, lako se pokazuje da ako rjesenje varijacijske zadace ima dovoljnu glatkocu, onda je onoi rjesenje polazne zadace (1.57)–(1.59). Za dokaz je potrebno izvrsiti parcijalnu integracijuu suprotnom smjeru i primijeniti teorem o lokalizaciji.

Lema 1. (Teorem o lokalizaciji). Ako je f ∈ C(Ω) funkcija sa svojstvom∫Ω

f(x)ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ C1c (Ω),

gdje je C1c (Ω) skup neprekidno derivabilnih funkcija s kompaktnim nosacem u Ω, onda je

f ≡ 0 na Ω. Analogno, ako je∫∂Ω

f(x)ϕ(x) dS = 0 ∀ϕ ∈ C(∂Ω),

onda je f ≡ 0 na ∂Ω.

M. Jurak, Radna verzija 34 14. studenoga 2014.

35

Lema 2. 1. Svako rjesenje zadace (1.57)–(1.59) koje pripada klasi V ujedno je i rjesenjezadace (1.60). Drugim rijecima, svako klasicno rjesenje zadace ujedno je i njeno slabo rjesenje.2. Ako je p ∈ V slabo rjesenje zadace (1.57)–(1.59) i ako ima dovoljnu glatkocu, tada je onoujedno i klasicno rjesenje.

Dokaz. Prva tvrdnja je dokazana u izvodu varijacijske formulacije. Za dokaz druge tvrdnjeparcijalno integramo u (1.60) i dobivamo:∫

Ω

Φρ′(p)∂p

∂tϕ dx−

∫Ω

div(ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g))ϕ dx +

∫ΓN

ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g) · nϕdS

+

∫ΓN

ρ(p)FϕdS =

∫Ω

f(p)ϕ dx,

gdje smo uvazili ϕ = 0 na ΓD × (0, T ). To mozemo pisati u obliku∫Ω

Φρ′(p)∂p∂t− div(ρ(p)

k

µ(∇p− ρ(p)g))ϕ− f(p)ϕ dx

+

∫ΓN

ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g) · n + ρ(p)FϕdS = 0.

Uzimajuci test funkciju ϕ koja se ponistava na ∂Ω× (0, T ) (takva je dozvoljiva) dobivamo∫Ω

Φρ′(p)∂p∂t− div(ρ(p)

k

µ(∇p− ρ(p)g))ϕ− f(p)ϕ dx = 0

i stoga po osnovnoj lemi varijacijskog racuna imamo

Φρ′(p)∂p

∂t− div(ρ(p)

k

µ(∇p− ρ(p)g))ϕ− f(p) = 0 u QT .

Prethodna jednakost se sada svodi na∫ΓN

ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g) · n + ρ(p)FϕdS = 0,

za sve ϕ ∈ V pa ponovnom teorema o lokalizaciji slijedi

ρ(p)k

µ(∇p− ρ(p)g) · n + ρ(p)F = 0

na ΓN × (0, T ). Time je lema dokazana.

1.6.2 Metoda konacnih elemenata

Vazna posljedica definicije poopcenog rjesenja je vrlo generalan nacin konstrukcijeaproksimacije za poopceno rjesenje. Slabo rjesenje nase zadace je funkcija iz prostora

C1(QT ) = C1([0, T ];C1ΓD

(Ω)).

M. Jurak, Radna verzija 35 14. studenoga 2014.

36

Pretpostavimo da smo konstruirali konacnodimenzionalni prostor

VN ⊂ C1ΓD

(Ω)),

gdje je N = dim(VN). Tada aproksimativno rjesenje pN ∈ C1([0, T ];VN) definiramo kaofunkciju koja zadovoljava∫

Ω

Φρ′(pN)∂pN

∂tϕ dx +

∫Ω

ρ(pN)k

µ(∇pN − ρ(pN)g) · ∇ϕ dx

+

∫ΓN

ρ(pN)FϕdS =

∫Ω

f(pN)ϕ dx, ∀ϕ ∈ VN , t ∈ (0, T ).

(1.61)

Pored toga, inicijalni uvjet mora biti zadovoljen u smislu pN(0) = pNinit, gdje je pNinit pro-jekcija od pinit na potprostor VN .

Ideja apriksimacije je sljedeca: Uzimamo li za prostor V N sve veci prostor, tako daVN → V kada N → ∞, u nekom smislu koji ovdje necemo razraditi. Tada mozemoocekivati da cemo biranjem sve vece dimenzije N dobivati sve bolju aproksimaciju be-skonacnodimenzionalne zadace te da ce konacno aproksimativno rjesenje pN konvergiratiprema egzaktnom rjesenju p.

Prostor VN mora biti takav da je u njemu lako konstruirati jednu bazu. Bazne funkcijecemo oznaciti s φNi , odnosno

VN = L(φN1 , φN2 . . . , φ

NN.

Aproksimativno rjesenje cemo traziti u obliku

pN(x, t) =N∑j=1

pj(t)φNj (x). (1.62)

Varijacijska jednadzba mora viti ispunjena za sve ϕ ∈ VN , pa bismo u nju mogli stavitiproizvoljnu linearnu kombinaciju baznih funkcija φNi . Kako je varijacijska jednadzba (1.61)linearna u test funkciji ϕ slijedi da je za test funkciju dovoljno uzeti ϕ = φNi za sve i =1, . . . , N . Ako je zadovoljeno tih N jednadzbi, onda je varijacijska jednadzba zadovoljenaza sve ϕ ∈ VN (naravno vrijedi i obrat).

Na taj nacin dolazimo do ovih jednadzbi:∫Ω

Φρ′(pN)∂pN

∂tφNi dx +

∫Ω

ρ(pN)k

µ∇pN · ∇φNi dx−

∫Ω

k

µρ(pN)2g · ∇φNi dx

+

∫ΓN

ρ(pN)FφNi dS =

∫Ω

f(pN)φNi dx, ∀i = 1, . . . , N, t ∈ (0, T ).

Raspisivanjem funkcije pN po baznim funkcijama dobivamo za sve t ∈ (0, T ),

n∑j=1

dpjdt

∫Ω

Φρ′(pN)φNj φNi dx +

n∑j=1

pj

∫Ω

ρ(pN)k

µ∇φNj · ∇φNi dx−

∫Ω

k

µρ(pN)2g · ∇φNi dx

+

∫ΓN

ρ(pN)FφNi dS =

∫Ω

f(pN)φNi dx, ∀i = 1, . . . , N.

M. Jurak, Radna verzija 36 14. studenoga 2014.

37

Uvedimo vektorsku funkciju

p(t) = (p1(t), p2(t), . . . , pN(t))τ , p : [0, T ]→ RN .

Postoji bijektivni odnos izmedu funkcije p(t) i funkcije

pN(x, t) =N∑j=1

pj(t)φNj (x).

To znaci da svaku funkciju od pN mozemo promatrati kao funkciju od p. Uvedimo sadamatrice

A(p) ∈ RN×N , A(p)i,j =

∫Ω

ρ(pN)k

µ∇φNj · ∇φNi dx

B(p) ∈ RN×N , B(p)i,j =

∫Ω

Φρ′(pN)φNj φNi dx,

te vektorsku funkiju

F(p) ∈ RN , F(p)i =

∫Ω

f(pN)φNi dx +

∫Ω

k

µρ(pN)2g · ∇φNi dx−

∫ΓN

ρ(pN)FφNi dS.

Sada vidimo da je aproksimativna varijacijska jednadzba svodi na sustav obicnih diferen-cijalnih jednadzbi:

B(p)dp

dt+ A(p)p = F(p), t ∈ (0, T ), (1.63)

p(0) = p0, (1.64)

gdje je p0 vektor koeficijenata p0i iz razvoja po baznim funkcijama pocetnog uvjeta:

pNinit(x) =N∑j=1

p0jφ

Nj (x).

Zadatak 7. Koristeci linearnu nezavisnost baznih funkcija φNi i svojstva

Φ(x) ≥ Φm > 0 ∀x ∈ Ω, ρ′(p) ≥ ρm > 0 ∀p ∈ R,

koja vrijede za neke konstante Φm i ρm, pokazite da je matrica B(p) simericna i pozitivnodefinitna (dakle i regularna) za svako p ∈ RN .

Princip konstrukcije aproksimativnog prostora VN opisat cemo u njegovom najjednostav-nijem obliku. Domena Ω u kojoj rjesavamo rubnu zadacu razbije se na uniju disjunktnihpodskupova jednostavne geometrije koji posve prekrivaju domenu. U dvije prostorne di-menzije u tu se svrhu koriste trokuti i cetverokuti, dok se u tri dimenzije koriste tetraedri,heksaedri i prizme. Skupovi koje koristimo u subdiviziji domene nazivaju se (konacni)elementi, a sama se subdivizija naziva triangulacija ili mreza (vidi Sliku 1.6).

Funkcije iz VN definiraju se po dijelovima, tako da su

M. Jurak, Radna verzija 37 14. studenoga 2014.

38

Slika 1.6: Triangulacija dvodimenzionalne domene.

1. polinomi stupnja manjeg ili jednakog k na svakom elementu subdivizije, gdje je kunaprijed zadan;

2. globalno moraju biti neprekidne.

Takve funkcije imaju parcijalne derivacije svugdje osim na dodirnim plohama izmedususjednih elemenata gdje derivacije imaju skokove (konacne jednostrane limese). Dakle,ovako konstruirane bazne funkcije nisu iz prostora C1(Ω) vec samo C0(Ω) s po dijelovimaneprekidnim derivacijama. Ipak, takve funkcije mozemo koristiti jer u varijacijskoj formu-laciji derivacije moraju biti jedino integrabilne da bismo mogli izracunati matrice A(p) iB(p) te vektor F(p)

Primjer triangulacije dvodimenzionalne domene dan je na Slici 1.6. Najjednostavnijikonacnodimenzionalni prostor VN definira se pomocu polinom prvog stupnja na elemen-tima (k = 1). U tom su slucaju funkcije iz VN po dijelovima afine, globalno neprekidnefunkcije. Globalnu neprekidnost postizemo tako da zadamo vrijednosti funkcije u svimvrhovima triangulacije. Funkcija je tada na jedinstven nacin definirana na svakom trokutui neprekidna je na stranicama u kojima se susjedni trokuti dodiruju (dokazite). Evidentnoje dimenzija tog prostora N jednaka broju vrhova u triangulaciji. Vrijednosti funkcije uvrhovima nazivamo stupnjevima slobode.

Oznacimo sve vrhove triangulacije s vi, i = 1, 2, . . . , N . Svakom vrhu vi mozemopridruziti baznu funkciju φNi definiranu time sto je jednaka jedan u promatranom vrhu inuli u svim ostalim vrhovima:

φNi (vj) = δi,j, i, j = 1, 2, . . . , N.

M. Jurak, Radna verzija 38 14. studenoga 2014.

39

Slika 1.7: Primjer jedne Lagrangeove bazne funkcije.

Buduci da su finkcije iz VN po dijelovima afine, one su posve odredene svojim vrijednostimau vrhovima. Primjer takve funkcije dan je na Slici 1.7.

Da bismo diskretizirali do kraja sustav obicnih diferencijalnih jednadzbi (1.63)–(1.64)potrebno je primijeniti neku numericku metodu za obicne diferencijalne jednadzbe. Buducida je sustav (1.63) krut preferiraju se implicitne metode zbog njihove bezuvjetne stabil-nosti. Najjednostavnije je primijeniti Eulerovu implicitnu metodu: odaberemo vremnskikorak ∆t koji daje vremensku mrezu

0 = t0 < t1 < · · · < tM = T/∆t

gdje smo radi jednostavnosti pretpostavili da je T visekratnik od ∆t. Dobivamo

B(pn+1)pn+1 − pn

∆t+ A(pn+1)pn+1 = F(pn+1), (1.65)

gdje je p0 zadano spocetnim uvjetom. Ovdje je pn aproksimacija za p(x, tn), gdje jetn = n∆t n-ti vremenski korak. Time smo dobili sustav nelinearnih jednadzbi za n =0, 1, . . . , T/∆t. Na svakom vremenskom sloju treba rijesiti jednu nelinearnu jednadzbu stomozemo napraviti na primjer Newtonovom metodom.

Ako su nelinearnosti slabe, onda gornju jednadzbu mozemo linearizirati spustanjemkoeficijenata na prethodni vremenski sloj:

B(pn)pn+1 − pn

∆t+ A(pn)pn+1 = F(pn), (1.66)

Time smo dobili linearsn sustav s matricom B(pn) + ∆tA(pn) koja je sigurno regularnaza dovoljno male ∆t. Greska uvedena ovakvom linearizacijom se moze kontrolirati s vre-menskim korakom ∆t.

Spomenimo jos i metodu fiksne tocke koja se cesto moze primijeniti. U njoj se pn+1

dobiva iterativnim postupkom tako da je pn+1 = limk pn+1,k, pri cemu je pn+1,0 = pn i

B(pn+1,k)pn+1,k+1 − pn

∆t+ A(pn+1,k)pn+1,k+1 = F(pn+1,k). (1.67)

Iteracije po k se vrse sve dok se ne postigne trazena tocnost.

M. Jurak, Radna verzija 39 14. studenoga 2014.

40

Bibliografija

[1] Larry C. Andrews. Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians.Macmillan Publishing Company, New York, 1985.

[2] G. I. Barenblatt. On some unsteady motions of a liquid or a gas in a porous medium.Prikl. Mat. Mekh., 16(1):67–78, 1952.

[3] Jacob Bear. Dynamics of Fluids in Porous Media. Dover Publications, Inc., NewYork, 1972.

[4] P.C. Carman. Flow of Gases thrugh Porous Media. Butterworths, London, 1956.

[5] Gedeon Dagan. Flow and Transport in Porous Formations. Springer-Verlag, 1989.

[6] H. P. G. Darcy. Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Victor Dalmont, Paris,1856.

[7] Ghislain de Marsily. Quantitative Hydrology. Groundwater Hydrology for Engineers.Academic Press, Inc., Orlando, 1986.

[8] Clyton V. Deutsch. Geostatistical Reservoir Modeling. Oxford University Press, 2002.

[9] S. Ergun. Fluid flow through packed columns. Chem. ENG. Prog., 48:89–94, 1952.

[10] P. Forchheimer. Wasserbewegung durch boden. Z. Ver. Deutsch. Ing., 45:1782–1788,1901.

[11] V.M.Ryzhik G.I. Barenblatt, V.M. Entov. Theory of Fluid Flows Through NaturalRocks. Kluwer, 1990.

[12] M. S. Espedal A. Fasano A. Mikelic. Filtration in Porous Media and Industrial Ap-plication. Lecture Notes in Mathematics 1734. Springer, 1998.

[13] Marija Heinrich-Miletic Pavao Miletic. Uvod u kvantitivnu hidrogeologiju. RGN-Sveuciliste u Zagrebu - OOUR Studij geotehnike Varazdin & NISRO Varazdin,Varazdin, 1981.

[14] Kosta Urumovic. Fizikalne osnove dinamike podzemnih voda. Sveuciliste u Zagrebu,Rudarsko-geolosko-naftni fakultet, Zagreb, 2003.

[15] J. L. Vazquez. The Porous Medium Equation. Oxford Mathematical Monographs.Clarendon Press, 2007.

M. Jurak, Radna verzija 40 14. studenoga 2014.