poglavlje 18
DESCRIPTION
Poglavlje 18. Tehnologija. Tehnologija. Tehnologija je proces pomoću koga inpute proizvodnje transformišemo u autput. Npr. rad , kompjuter , projektor , struja , i softver kombinuju se da bi se dobilo ovo predavanje. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Poglavlje 18Poglavlje 18
TehnologijaTehnologija
TehnologijaTehnologija
Tehnologija je proces pomoću koga inpute Tehnologija je proces pomoću koga inpute proizvodnje transformišemo u autput.proizvodnje transformišemo u autput.
Npr.Npr. radrad, , kompjuterkompjuter, , projektorprojektor, , strujastruja, , ii softversoftver kombinuju se da bi se dobilo ovo kombinuju se da bi se dobilo ovo predavanjepredavanje..
Obično više tehnologija daju isti proizvodObično više tehnologija daju isti proizvod –– tabla i kredatabla i kreda mogu se upotrebiti umesto mogu se upotrebiti umesto kompjutera i projektora.kompjutera i projektora.
Koja tehnologija je “najbolja”?Koja tehnologija je “najbolja”?
Kako poredimo tehnologijeKako poredimo tehnologije??
Korpa inputaKorpa inputa
xxii označava upotrebljenu količinu inputaoznačava upotrebljenu količinu inputa ii; ;
tj.tj. nivo inputanivo inputa ii..
Korpa inputaKorpa inputa predstavlja vektor nivoa predstavlja vektor nivoa inputa:inputa: (x(x11, x, x22, … , x, … , xnn).).
Npr.,Npr., (x(x11, x, x22, x, x33) = (6, 0, 9) = (6, 0, 93).3).
Proizvodna funkcijaProizvodna funkcija
yy označava nivo autputaoznačava nivo autputa..
Proizvodna funkcijaProizvodna funkcija tehnologije opisuje tehnologije opisuje maksimalnumaksimalnu količinu autputa koja je dostižna količinu autputa koja je dostižna upotrebom neke korpe inputa:upotrebom neke korpe inputa:
1( , , )ny f x x
y = f(x) je proizvodnafunkcija
x’ xNivo inputa
Nivo autputa
y’y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa.
Jedan input, jedan autput
Tehnološki skupTehnološki skup
Proizvodni planProizvodni plan je korpa inputa i nekog je korpa inputa i nekog nivoa autputa:nivoa autputa: (x(x11, … , x, … , xnn, y)., y).
Proizvodni plan jeProizvodni plan je ostvarljivostvarljiv ako jeako je
Kolekcija svih ostvarljivih proizvodnih Kolekcija svih ostvarljivih proizvodnih
planova predstavlja planova predstavlja tehnološki (ili tehnološki (ili
proizvodni) skupproizvodni) skup..
1( , , )ny f x x
y = f(x) je proizvodnafunkcija
x’ x
y’
y”
y’ = f(x’) je maksimalan obim proizvodnje dostižan sa x’ jedinica inputa.
y” = f(x’) je nivo autputa koji je ostvarljiv sa x’ jedinica inputa.
Nivo inputa
Nivo autputa
Proizvodni skup je
1 1
1
{( , , , ) | ( , , )
0, , 0}.n n
n
T x x y y f x x i
x x
x’ x
y’
y”
tehnološkiskup
Nivo inputa
Nivo autputa
x’ x
y’
y”
tehnološkiskup
tehničkineefikasniplanovi
tehnički efikasni planovi
Nivo inputa
Nivo autputa
Tehnologije sa više inputaTehnologije sa više inputa
Kako izgleda tehnologija koja ima više Kako izgleda tehnologija koja ima više proizvodnih inputaproizvodnih inputa??
Slučaj sa dva proizvodna inputaSlučaj sa dva proizvodna inputa: : nivoi nivoi inputa suinputa su xx11 ii xx22;; nivo autputa jenivo autputa je yy..
Pretpostavimo da proizvodna funkcija ima Pretpostavimo da proizvodna funkcija ima oblikoblik
1/3 1/31 2 1 2( , ) 2 .y f x x x x
Npr.,Npr., maksimalan nivo autputa koji je maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa dostižan sa korpom inputa (x(x11, x, x22) = (1, 8)) = (1, 8)
jeje
... a maksimalan nivo autputa koji je ... a maksimalan nivo autputa koji je dostižan sa korpom inputa dostižan sa korpom inputa (x(x11, x, x22) = () = (88, 8), 8)
jeje
1/3 1/3 1/3 1/31 22 2 1 8 2 1 2 4.y x x
1/3 1/3 1/3 1/31 22 2 8 8 2 2 2 8.y x x
autput y
x1
x2
(8,1)(8,8)
IzokvantaIzokvanta za nivo autputa odza nivo autputa od yy jedinicajedinica predstavlja skup svih korpi inputa koje daju predstavlja skup svih korpi inputa koje daju isti nivo autputa isti nivo autputa yy..
y
y x1
x2
Izokvante sa dva varijabilna Izokvante sa dva varijabilna inputainputa
Izokvante mogu biti nacrtane i u Izokvante mogu biti nacrtane i u trodimenzionalnom prostoru tako što trodimenzionalnom prostoru tako što ćemo dodati osu na kojoj je označen nivo ćemo dodati osu na kojoj je označen nivo autputa pa će svaka izokvanta označavati i autputa pa će svaka izokvanta označavati i nivo autputa.nivo autputa.
autput y
x1
x2
y
y
Što je veći broj izokvanti, to je naše znanje o Što je veći broj izokvanti, to je naše znanje o tehnologiji većetehnologiji veće..
y
y
x1
x2
y
y
autput y
x1
x2
y
y
y
y
Kompletna kolekcija izokvanti predstavljaKompletna kolekcija izokvanti predstavlja mapu izokvantimapu izokvanti..
Mapa izokvanti ekvivalentna je Mapa izokvanti ekvivalentna je proizvodnoj funkcijiproizvodnoj funkciji –– svaka od njih svaka od njih predstavljena je onom drugompredstavljena je onom drugom..
Npr.,Npr.,
1/3 1/31 2 1 2( , ) 2y f x x x x
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
x2
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
Kob-Daglasove tehnologijeKob-Daglasove tehnologije
Kob-Daglasova proizvodna funkcija ima Kob-Daglasova proizvodna funkcija ima oblikoblik
Npr.,Npr.,
1 21 2 .naa a
ny Ax x x
1/3 1/31 2y x x
1 2
1 12, 1, .
3 3n A a i a
x2
x1
Svaka izokvanta je hiperbola,koja aimptotski teži koordinatnimosama ali ih nikada ne dodiruje.
1 21 2a ay x x
x2
x1
Svaka izokvanta je hiperbola,koja aimptotski teži koordinatnimosama ali ih nikada ne dodiruje.
1 21 2 "a ax x y
1 21 2a ay x x
x2
x1
Svaka izokvanta je hiperbola,koja aimptotski teži koordinatnimosama ali ih nikada ne dodiruje.
1 21 2 'a ax x y
1 21 2 "a ax x y
1 21 2a ay x x
x2
x1
Svaka izokvanta je hiperbola,koja aimptotski teži koordinatnimosama ali ih nikada ne dodiruje.
1 21 2 'a ax x y
1 21 2 "a ax x y
"y 'y>1 2
1 2a ay x x
Tehnologije sa fiksnim Tehnologije sa fiksnim proporcijmaproporcijma
Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama Proizvodna funkcija sa fiksnim proporcijama ima oblikima oblik
Npr.,Npr.,1 1 2 2min{ , , , }.n ny a x a x a x
1 2min{ ,2 }y x x
1 22, 1 2.n a i a
x2
x1
min{x1,2x2} = 14
4 8 14
247
min{x1,2x2} = 8min{x1,2x2} = 4
x1 = 2x2
1 2min{ ,2 }y x x
Tehnologije sa savršenim Tehnologije sa savršenim supstitutimasupstitutima
Proizvodna funkcija kada su proizvodni Proizvodna funkcija kada su proizvodni činioci savršeni supstituti ima oblikčinioci savršeni supstituti ima oblik
Npr.,Npr.,1 1 2 2 .n ny a x a x a x
1 23y x x
1 22, 1 3.n a i a
9
3
18
6
24
8
x1
x2
x1 + 3x2 = 18
x1 + 3x2 = 36
x1 + 3x2 = 48
Izokvante su linearne i paralelne
1 23y x x
Granični fizički proizvodGranični fizički proizvod
Granični proizvod inputa jednak je stopi Granični proizvod inputa jednak je stopi nivoa autputa kada se menja nivo ulaganja nivoa autputa kada se menja nivo ulaganja tog inputa tog inputa , , pri čemu je nivo ulaganja svih pri čemu je nivo ulaganja svih drugih inputa nepromenjendrugih inputa nepromenjen..
Tj.,Tj.,
1( , , )ny f x x
ii
yGP
x
Npr., ako je1/3 2/3
1 2 1 2( , )y f x x x x
onda je granični proizvod inputa 1
2/3 2 /31 1 2
1
1
3
yGP x x
x
a granični proizvod inputa 2 biće
1/3 1/32 1 2
2
2.
3
yGP x x
x
Najčešće granični proizvod jednog inputa zavisi od upotrebljenih količina ostalih inputa. Npr., ako
2/3 2 /31 1 2
1
3GP x x tada,
2/3 2 /3 2 /31 1 1
1 48
3 3GP x x
a ako je x2 = 27 onda je
ako je x2 = 8,
2/3 2/3 2 /31 1 1
127 3 .
3GP x x
Granični proizvod inputaGranični proizvod inputa ii je je opadajuća opadajuća veličinaveličina ukoliko se on smanjuje sa porastom ukoliko se on smanjuje sa porastom nivoa inputa nivoa inputa ii.. Tj.,Tj., ako jeako je
2
20.i
i i i i
GP y y
x x x x
2/3 2 /31 1 2
1
3GP x x 1/3 1/3
2 1 2
2
3GP x xi
dakle,5/3 2 /31
1 21
20
9
GPx x
x
1/3 4 /321 2
2
20.
9
GPx x
x
i
Oba granična proizvoda su opadajuće veličine.
Npr, ako je1/3 2 /31 2y x x onda
Prinos na obim ulaganja Prinos na obim ulaganja
Granični proizvodi opisuju kako se menja Granični proizvodi opisuju kako se menja nivo autputa sa promenom nivo autputa sa promenom pojedinačnogpojedinačnog nivoa nekog inputa.nivoa nekog inputa.Prinos na obim ulaganjaPrinos na obim ulaganja opisuje kako se opisuje kako se menja nivo autputamenja nivo autputa kada se nivoikada se nivoi svih svih inputa inputa menjaju u istom smeru i u istoj menjaju u istom smeru i u istoj direktnoj direktnoj proporcijiproporciji ((npr.,npr., kada se nivoi svih inputa kada se nivoi svih inputa udvostruče ili prepoloveudvostruče ili prepolove).).
Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x1,…,xn), imamo
1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x
tada tehnologija koja je opisana proizvodnom funkcijom f pokazuje konstantne prinose na obim ulaganja.Npr., za (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa udvostručuje nivo proizvodnje.
y = f(x)
x’ xnivo inputa
nivo autputa
y’
jedan input, jedan autput
2x’
2y’
konstantniprinosi
Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x1,…,xn), imamo
1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x
onda tehnologija pokazuje opadajućeprinose na obim ulaganja.
Npr., (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa manje će nego udvostručiti nivo proizvodnje.
y = f(x)
x’ x
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
opadajućiprinosi
nivo inputa
nivo autputa
Ukoliko, za proizvoljnu korpu inputa (x1,…,xn), imamo
1 2 1 2( , , , ) ( , , , )n nf kx kx kx kf x x x
onda tehnologija pokazuje rastućeprinose na obim ulaganja.
Npr., (k = 2) dupliranje svih nivoa inputa više će nego udvostručiti nivo proizvodnje.
y = f(x)
x’ x
f(x’)
2x’
f(2x’)
2f(x’)
rastući prinosi
nivo inputa
nivo autputa
Pojedine tehnologije mogu “naPojedine tehnologije mogu “na lokalnom lokalnom nivou”nivou” da pokazuju različite prinose na obim da pokazuju različite prinose na obim ulaganja inputa.ulaganja inputa.
y = f(x)
x
opadajući prinosi
rastući prinosi
nivo inputa
nivo autputa
PrimeriPrimeri
1 1 2 2 .n ny a x a x a x
Proizvodna funkcija sa inputima koji susavršeni supstituti je
Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje
1 1 2 2
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( )
.
n n
n n
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
inputi savršeni supstituti => konstantni prinosi
1 1 2 2min{ , , , }.n ny a x a x a x
1 1 2 2
1 1 2 2
min{ ( ), ( ), , ( )}
(min{ , , , })
.
n n
n n
a kx a kx a kx
k a x a x a x
ky
Proizvodna funkcija sa inputima koji susavršeni komplementi je
Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje
inputi savršeni komplementi => konstantni prinosi
1 21 2 .naa a
ny x x x Kob – Daglasova proizvodna funkcija je
Proporcionalno povećajte nivoe svih inputa k puta. Nivo autputa postaje
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
.
n
n n
n n
n
aa an
a aa a a a
a a a aa an
a a
kx kx kx
k k k x x x
k x x x
k y
1 21 2
naa any x x x
Dakle, za Kob – Daglasovu proizvodnu funkciju
11 21 2( ) ( ) ( ) .n na a aa a
nkx kx kx k y
Prinosi na obim ulaganja kod Kob – Daglasovetehnologije su
konstantni za a1+ … + an = 1rastući za a1+ … + an > 1opadajući za a1+ … + an < 1.
važi
PP: : Da li tehnologija može da pokazuje Da li tehnologija može da pokazuje rastuće prinose na obim ulaganja inputa a da rastuće prinose na obim ulaganja inputa a da su istovremeno svi njihovi granični proizvodi su istovremeno svi njihovi granični proizvodi opadajući?opadajući?
OO: : Da!Da!
Primer:Primer:2/3 2 /31 2 .y x x
1 22/3 2/31 2 1 2
a ay x x x x
1 2
41
3a a pa tehologija ima
rastuće prinose.
Ali, 1/3 2 /31 1 2
2
3GP x x opada sa porastom x1
2/3 1/32 1 2
2
3GP x x opada sa porastom x2
Dakle, tehnologija može da pokazuje Dakle, tehnologija može da pokazuje prisustvo rastućih prinosa čak i kada su svi prisustvo rastućih prinosa čak i kada su svi granični proizvodi opadajuće veličine. Zašto?granični proizvodi opadajuće veličine. Zašto?
Granični proizvod je stopa promene Granični proizvod je stopa promene autputa kada raste nivo ulaganja autputa kada raste nivo ulaganja jednogjednog inputa, dok su nivoi svih ostalih inputa inputa, dok su nivoi svih ostalih inputa fiksni.fiksni.
Granični proizvod opada upravo zato što Granični proizvod opada upravo zato što su nivoi ostalih inputa fiksni,su nivoi ostalih inputa fiksni, pa rastući pa rastući broj jedinica datog inputa ima relativno sve broj jedinica datog inputa ima relativno sve manje drugih inputa sa kojima u procesu manje drugih inputa sa kojima u procesu proizvodnje sarađuje.proizvodnje sarađuje.
Kada Kada svisvi nivoi inputa proporcionalno nivoi inputa proporcionalno rasturastu, , nema potrebe za smanjivanjem nema potrebe za smanjivanjem graničnih proizvoda pošto svaki input graničnih proizvoda pošto svaki input uvek ima istu reativnu količinu drugih uvek ima istu reativnu količinu drugih inputa sa kojima sarađuje.inputa sa kojima sarađuje. Produktivnost Produktivnost inputa ne opada pa možemo imati inputa ne opada pa možemo imati konstantne ili rastuće prinose na obim konstantne ili rastuće prinose na obim njihovog ulaganja.njihovog ulaganja.
Stopa tehničke supstitucijeStopa tehničke supstitucije
Po kojoj stopi će jedanPo kojoj stopi će jedan input zameniti drugi input zameniti drugi input a da se nivo autputa ne promeni?input a da se nivo autputa ne promeni?
x2
x1
y
x2'
x1'
x2
x1
y
Nagib predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. Nagib izokvante meri stopu tehničke supstitucije.
x2'
x1'
Kako se izračunava stopa tehničke Kako se izračunava stopa tehničke supstitucije supstitucije (STS)(STS)??
Proizvodna funkcija jeProizvodna funkcija je
Mala promenaMala promena (dx(dx11, dx, dx22)) u korpi inputau korpi inputa
dovodi do promene u nivou autputa oddovodi do promene u nivou autputa od
1 2( , ).y f x x
1 21 2
.y y
dy dx dxx x
1 21 2
.y y
dy dx dxx x
Ali, dy = 0 jer smo rekli da nivo autputaostaje pa promene dx1 i dx2 nivoa inputamoraju da zadovolje uslov
1 21 2
0 .y ydx dx
x x
1 21 2
0y ydx dx
x x
pa preuređenjem jednačine dobijamo
2 12 1
y ydx dx
x x
dakle,
2 1 1
1 2 2
/.
/ dx y x GP
STSdx y x GP
STS predstavlja stopu po kojoj moramo da odustanemo od korišćenja inputa 2 ukoliko se povećava korišćenje inputa 1 a da se pri tome ne promeni nivo autputa. To je nagib izokvante.
2 1 1
1 2 2
/.
/ dx y x GP
STSdx y x GP
Kob-Daglasove tehnologije Kob-Daglasove tehnologije
1 2 1 2( , ) a by f x x x x dakle
11 2
1
a byax x
x
11 2
2
.a bybx x
x
i
Stopa tehničke supstitucije jednaka je
12 1 1 2 2
11 2 1 2 1
/.
/
a b
a b
dx y x ax x ax
dx y x bx x bx
x2
x1
2 2 2
1 1 1
(1/3)
(2 /3) 2
ax x xSTS
bx x x
1/3 2 /31 2
1 2; i
3 3y x x a b
x2
x1
8
4
2
1
81
2 2 4
xSTS
x
2 2 2
1 1 1
(1/3)
(2 /3) 2
ax x xSTS
bx x x
1/3 2 /31 2
1 2; i
3 3y x x a b
x2
x1
6
12
2
1
6 1
2 2 12 4
xSTS
x
2 2 2
1 1 1
(1/3)
(2 /3) 2
ax x xSTS
bx x x
1/3 2 /31 2
1 2; i
3 3y x x a b
Normalne tehnologijeNormalne tehnologije
Normalne tehnologijeNormalne tehnologije su su
– monotonemonotone, , ii– konveksnekonveksne..
MonotonostMonotonost
MonotonostMonotonost:: Veća količinaVeća količina bilo kogbilo kog inputa inputa dovodi do povećanjadovodi do povećanja autputaautputa..
y
x
y
x
monotonost
nemonotonost
KonveksnostKonveksnost
KonveksnostKonveksnost: : Ako dve korpe inputa, Ako dve korpe inputa, x’ x’ ii x” x”,, daju isti broj jedinica autputadaju isti broj jedinica autputa yy , onda , onda njihova linearna kombinacijanjihova linearna kombinacija tx’ + (1-t)x”tx’ + (1-t)x” daje najmanjedaje najmanje yy jedinica autputajedinica autputa, , za svakoza svako
0 < t < 1. 0 < t < 1.
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
y
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
' " ' "1 1 2 2(1 ) , (1 )tx t x tx t x
y
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
' " ' "1 1 2 2(1 ) , (1 )tx t x tx t x
yy
x2
x1
x2'
x1'
x2"
x1"
Konveksnost implicira da STSraste (postaje manje negativna) sa porastom x1.
x2
x1
yy
y
veći autput
Dug rok i kratak rokDug rok i kratak rok
Dug rok –Dug rok – firma ničim nije ograničena kod firma ničim nije ograničena kod izboraizbora nivoa svakog inputanivoa svakog inputa..
Postoji mnoštvo kratkih rokovaPostoji mnoštvo kratkih rokova..
Kratak rok - firma je ograničena kod izbora Kratak rok - firma je ograničena kod izbora nivoa barem jednog inputa.nivoa barem jednog inputa.
Primeri ograničenja sa kojima je firma Primeri ograničenja sa kojima je firma suočena u kratkom rokusuočena u kratkom roku::– privremeno nije u stanju da instalira ili privremeno nije u stanju da instalira ili
ukloni mašineukloni mašine– suočena je sa zakonskom obavezomda suočena je sa zakonskom obavezomda
se pridržava kvota kod nabavke nekog se pridržava kvota kod nabavke nekog inputainputa
– mora da zadovolji zakonodavca u mora da zadovolji zakonodavca u pogledu sadržajapogledu sadržaja. .
Koristan način da se razmišlja o dugom roku Koristan način da se razmišlja o dugom roku jeste da se predpostavi da firma može da bira jeste da se predpostavi da firma može da bira po volji u kojim kratkoročnim okolnostima po volji u kojim kratkoročnim okolnostima želi da se nađe.želi da se nađe.
Šta kratkoročne restrikcije impliciraju za Šta kratkoročne restrikcije impliciraju za tehnologiju firme?tehnologiju firme?
Pretpostavimo da je kratkoročna Pretpostavimo da je kratkoročna restrikcija fiksiranja nivoa inputa restrikcija fiksiranja nivoa inputa 22. .
Input Input 22 jeje fiksiran inputfiksiran input na kratak rok.na kratak rok. Input Input 11 ostaje ostaje varijabilanvarijabilan..
x2
x1y
x2
x1y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2
x1
y
x2 x1
y
x1
y
x1
y
x1
y
Za kratkoročne proizvodne funkcije
1/3 1/31 2y x x je dugoročna proizvodna funkcija
(i x1 i x2 su varijabilni).
Kratkoročna proizvodna funkcija gde jex2 1 glasi
1/3 1/3 1/31 11 .y x x
kratkoročna proizvodna funkcija gde je x2 10 glasi
1/3 1/3 1/31 110 2,15 .y x x
x1
y
Za kratkoročne proizvodne funkcije
3/13/11 10xy
3/13/11 5xy
3/13/11 2xy
3/13/11 1xy