9 POİSSON DAĞILIMI ve OLASILIĞI

• Toplumda çok az sayıda (seyrek olarak) görülen olayların dağılımına Poisson dağılımı adı verilir.

• Toplum büyüklüğü ya da denemeye alınan örnek birim sayısı çok fazla olmasına rağmen bazı olayların gözlenme sıklıklarının düşük olduğu görülür.

• Örneğin, toplumda ender görülen hastalıklar (Down sendromu, Lenfoma, Behçet sendromu, Altıparmaklılık gibi) Poisson dağılımı gösterirler.

• Bir grup deney hayvanına verilen toksik madde uygulamasında canlı kalan hayvan sayısı,

• Doğum anomalileri ve genetik mutasyon görülen kişi sayısı

• tedavi amacıyla kullanılan ilaç ve diğer preparatların insanlarda uyguladığında ölen kişi sayısı,

• görülen ağır yan etki sayısı, • belirli bir mikroorganizmaya özel olarak hazırlanan

besi yerlerinde üreyen diğer tür bakteri sayısı, • konjenital malformasyonlar

gibi toplumda ender görülen hastalık ve olayların incelenmesinde Poisson dağılımından yararlanılır.

Poisson Olasılık Dağılımı

• Poisson dağılımı da binomial dağılım gibi kesikli bir olasılık dağılımıdır.

• Poisson dağılımı binomial dağılımın özel bir şeklini teşkil eder.

• Bir poisson dağılımı her zaman bir binomial dağılım olmasına karşın, her binomial dağılım poisson dağılımı değildir.

• Poisson dağılımı, bir denemede, az rastlanan bir olayın oluş sayılarının olasılıklarının dağılımıdır.

• Bir olayın az rastlanan olay ya da ender olay olması için gerekli koşul, N≥50 ve NP<5 olmasıdır.

• Bu koşulları sağlayan dağılımlar Poisson dağılımı olarak alınıp olasılık değerleri ona göre hesaplanır.

Binomial Dağılım

Poisson OlasılığıPoisson olasılığı, binomial olasılığın N →∞ ve P→0 için

limitinin alınmış şeklidir.

N →∞ve P→0 koşulları için binomial olasılık formülünde bu yaklaşımları yerine koyup gerekli sadeleştirmeleri yaptıktan sonra olasılık formülü,

P Xe

x

x

( )!

=−µµ

• µ dağılımın ortalaması µ=NP

• x, N denemede olması istenen olay sayısıdır.

• N'nin büyüklüğünden ve p'nin (ya da q'nun) küçüklüğünden dolayı binomial olasılıkla hesaplanması güç olan olasılık, yukarıdaki formülle daha kolay hesaplanabilecektir.

• Ancak, bu formül türetilirken bazı değerler yaklaşık olarak alındığından dolayı, binomial dağılımdan biraz farklı değerler elde edilebilir.

P Xe

x

x

( )!

=−µµ

• Poisson dağılımında, dağılım parametreleri iki ayrı yolla bulunmaktadır.

• Örnek: Bir toplumda her 8000 kişiden birinin belirli bir kalıtsal hastalık taşıdığını varsayalım. 30000 nüfuslu bir yerleşim yerinde yapılacak bir taramada bu hastalık belirtisini taşıyan en fazla 1 kişiye rastlama olasılığı kaça eşittir?

P Xe

x

x

( )!

=−µµ