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Poisson核,熱核の情報幾何学Information geometry of Poisson kernels and heat kernels
佐藤弘康(筑波大学大学院数理物質科学研究科)Hiroyasu Satoh (University of Tsukuba)
(伊藤光弘氏(筑波大)との共同研究に基づく)Joint work with M. Itoh (University of Tsukuba)
幾何学コロキウム平成 20年 12月 12日
北海道大学
1.1 統計モデルと Fisher計量情報幾何
=
確率分布(測度)の族に幾何構造を導入し,微分幾何学の手法で研究
• (Ω,F , λ):測度集合• P(Ω,U):U ⊂ Rn(開集合)で径数付けられた正値確率密度関数の族
P(Ω,U) =
p(x, θ)∣∣∣∣∣ p(x, θ) > 0,
∫θ∈Ω
p(x, θ) dλ(x) = 1, x ∈ U
Fisher計量 g = (gi j(x))x∈U
gi j(x) =∫θ∈Ω
∂
∂xi log p(x, θ) · ∂
∂x j log p(x, θ) · p(x, θ) dλ(θ)
(1)
1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher情報計量• M:向き付けられた多様体• dvM:M 上の体積要素• P(M):M 上の正値確率測度全体のなす集合
P(M) :=µ = p dvM
∣∣∣∣∣ p : M → R, p > 0,∫
Mµ = 1
• 接空間は TµP(M) 'τ = q dvM
∣∣∣∣ q : M → R,∫
Xq2
p dvM < ∞,∫
M τ = 0.
Fisher情報計量 G = Gµ
Gµ(τ1, τ2) =∫
M
q1
pq2
pp dvM ,
(τi = qi dvM ∈ TµP(M), µ = p dvM
).
(2)
1.2 正値確率測度のなす空間と Fisher情報計量• X:多様体• ϕ : X 3 x 7→ p(x, θ) dvM(θ) ∈ P(M):単射• v1, v2 ∈ TxX にたいし,Gの引き戻し ϕ∗Gは
ϕ∗G(v1, v2) =∫θ∈M
v1 p(x, θ) · v2 p(x, θ)p(x, θ)
dvM(θ)
=
∫θ∈M
v1 log p(x, θ) · v2 log p(x, θ) · p(x, θ) dvM(θ).
=⇒
ϕ∗Gは X で径数付けられた統計モデルの Fisher計量
(3)
1.2 (P(M),G)の性質定理(T. Friedrich, Math. Nachr. 153, 1991)¶ ³• Gの Levi-Civita接続 ∇G は
∇Gτ1τ = −1
2
(qp· q1
p−
∫M
qp· q1
pµ
)µ.
ここで,τ = q dvM , τ1 = q1 dvM ∈ TµP(M),µ = p dvM.ただし,τは各点 µ ∈ P(M)で τとなるベクトル場と見ている.• Gの断面曲率は一定で,その値は 1/4.• Diff+(M)は (P(M),G)に引き戻しとして等長的に作用する(特に,
M がコンパクトのとき,この作用は推移的).• 測地的に完備ではない.µ ´
(4)
1.2 例:離散確率分布の場合• P =
p = (p1, p2, p3)
∣∣∣ pi ∈ R, pi > 0 (i = 1, 2, 3),∑3
i=1 pi = 1
• TpP 'v = (v1, v2, v3)
∣∣∣ vi ∈ R (i = 1, 2, 3),∑3
i=1 vi = 0
• Gp(v, v′) =3∑
i=1
viv′i
pi, v = (v1, v2, v3), v′ = (v′1, v
′2, v′3).
Gp =(
1p1+ 1
p3
)(dp1)2 + 2
p3dp1dp2 +
(1p2+ 1
p3
)(dp2)2 (p3 = 1− p1 − p2)
p1 = r2 cos2 θ, p2 = r2 sin2 θ (0 < r < 1, 0 < θ < π/2)と変数変換すると
G =4
1 − r2 (dr)2 + 4r2(dθ)2.
⇐=
(P,G)は半径 2の球面の一部(ガウス曲率 1/4).
(5)
1.3 Poisson核写像Itoh–Shishido
• (X, g):n次元 Hadamard多様体(単連結,完備,非正曲率)• ∂X : X の理想境界((n − 1)次元球面と同相)• Poisson 核とよばれる X × ∂X 上の関数 P(x, θ) を用いて,写像 ϕ :
(X, g)→ (P(∂X),G)を定義.
定理 (Itoh–Shishido, Diff. Geom. Appl. 26, 2008)¶ ³(X, g):階数 1,非コンパクト型対称空間
=⇒ Poisson核写像は相似的かつ極小的埋め込み; ϕ∗G =ρ2
ng.
ここで,ρは (X, g)の体積エントロピー:ρ = limr→∞
1r
log Vol (B(x; r)).µ ´(6)
1.3 問題と結果• Poisson核写像 ϕ : X → P(∂X)が相似的かつ極小 =⇒空間 X?階数 1非コンパクト型対称空間の場合:P(x, θ) = exp(−ρ B(x, θ)).
Busemann 関数
– exp (−c B(x, θ))が Poisson核になる必要十分条件:X の漸近的調和性と可視性,
∫θ∈∂X exp (−B(x, θ)) dθが xに依らない.(§2)
– P(x, θ) = exp (−c B(x, θ))かつ X は等質的⇒ ϕは相似的,極小.(§2)
– Damek-Ricci空間は上の 3条件を満たす.(§3)– Poisson核写像 ϕが相似的,極小⇒ P(x, θ) = exp (−c B(x, θ)).(§4)
• 熱核でも,同様の議論ができないか?– 熱核写像 ϕt : X 3 x 7→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P(X)
– X が調和的等質 Hadamard多様体 =⇒ ϕt は相似的埋め込み.(§5)
(7)
• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) Damek-Ricci空間• §4) ϕ : (X, g)→ (P(∂X),G)の調和性• §5) 熱核の場合
(8)
2.1 Poisson核• (X, g):n次元 Hadamard多様体(完備,単連結,非正曲率多様体)• ∂X = γ : [0,∞)→ X : 半開測地線, |γ′| = 1/ ∼ (' S n−1(1) ⊂ Tx0 X)
:Xの理想境界(γ1 ∼ γ2 ⇐⇒ d(γ1(t), γ2(t))が tに関して上に有界)
(x0 を基点とする)Poisson核 P(x, θ) =無限遠 Dirichlet問題の基本解;与えられた f ∈ C0(∂X)(境界条件)にたいして,方程式 ∆u = 0, u|∂X = f
の解は積分表示u(x) =
∫θ∈∂X
P(x, θ) f (θ) dθ
で与えられる.ただし,dθは同一視 ∂X ' S n−1(1) ⊂ Tx0 X の下,S n−1(1)の標準的な単位体積要素.
Poisson核写像 ϕ : X 3 x 7−→ P(x, θ) dθ ∈ P(∂X)
(9)
2.1 Poisson核の存在定理(負曲率の場合)定理(Schoen-Yau, Lect. Diff. Geom., 1994)¶ ³(X, g)を曲率条件 −b2 ≤ KX ≤ −a2 < 0を満たす Hadamard多様体とする.このとき,基点 x0 にたいして次を満たす関数 Pが一意的に存在する;
• θ ∈ ∂X にたいし,P(·, θ) ∈ C0(X ∪ ∂X\θ),• P(·, θ)は X 上の正値調和関数,
• P(x0, θ) = 1,
• limx→θ′
P(x, θ) = 0 (θ′ , θ).
さらに,無限遠 Dirichlet問題の解は P(x, θ)の積分表示で与えられる.µ ´階数 1非コンパクト型対称空間の場合,exp(−ρB(x, θ))は上の条件を満たす.
(10)
2.2 Busemann関数(x0 を基点とする)Busemann関数 B(x, θ)
θ ∈ ∂X にたいし,x0 を始点とし θ に漸近収束する半開測地線を γθ とする.このとき,
B(x, θ) = limt→∞d(x, γθ(t)) − t .
Busemann関数の性質
• B( · , θ)は X上の C2 級の凸関数.• B(x0, ·) = 0
• v ∈ TxX にたいし,vB(x, θ) = −g(v, u).ただし,uは xを始点とし,θに漸近収束する半開測地線の速度ベクトル.特に,| gradX B(x, θ)| = 1.• Bp(x, θ) = Bq(x, θ) + Bp(q, θ).
(11)
2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合Poisson核が exp(−cB(x, θ))の形で書けるための条件;
1. ∆X exp(−cB(x, θ)) = 0
⇐⇒ ∆X B = −c
⇐⇒ Busemann関数 B(·, θ)の等位超曲面は平均曲率一定(漸近的調和)
2. limx→θ′
exp(−cB(x, θ)) dθ = δθ(θ′)
⇐⇒
• limx→θ′,θ
B(x, θ) = ∞
⇔ ∂X の任意の 2点は X 上の測地線で結べる(可視公理)
•任意の x ∈ X にたいして,∫θ∈∂X
exp(−cB(x, θ)) = 1
(12)
2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合定理 1¶ ³(X, g)を n次元等質 Hadamard多様体とする.Poisson核が Busemann関数を用いて P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))と書けるとき,Poisson核写像は相似的埋め込みである ; ϕ∗G = c2
n g.さらに極小埋め込みである.µ ´(証明)等長変換群 Isom+(X, g)は理想境界 ∂X に自然に作用.P(∂X)にも引き戻しとして作用.ψ ∈ Isom+(X, g)にたいし
• Busemann関数の変換公式 : B(ψx, θ) = B(x, ψ−1θ) + B(ψx0, θ)
P(ψx, θ) = P(x, ψ−1θ) P(ψx0, θ).
• 無限遠 Dirichlet問題の解の Poisson積分表示,解の一意性 (ψ−1)∗(dθ) = P(ψ(x0), θ) dθ.
(13)
2.3 P(x, θ) = exp(−cB(x, θ))となる場合• 上の 2つの条件から等長変換 ψと Poisson核写像 ϕは次の意味で可換;
(ψ−1)∗ ϕ = ϕ ψ.
• X の等質性から,基点 x0 でのみ考えればよい;
単位ベクトル v ∈ Tx0 X にたいし
ϕ∗G(v, v) =∫∂X
(v log P(·, θ))2 P(x0, θ) dθ = c2
∫∂X
(vB(·, θ))2 dθ
=c2∫
u∈S n−1(1)〈v, u〉2dµS n−1(1) =
c2
n.
•(極小性)∑
i
∇dϕ(ei)dϕ(ei) = 0.(eiは TxX の正規直交基底)
(証明おわり)
(14)
• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) Damek-Ricci空間• §4) ϕ : (X, g)→ (P(∂X),G)の調和性• §5) 熱核の場合
(15)
3.1 一般 Heisenberg群一般 Heisenberg代数
• (n, [·, ·]n, 〈·, ·〉n) : 2-step冪零 Lie環とその内積.• n = v ⊕ z(zは nの中心,vは zの直交補空間).• Z ∈ zにたいし,JZ : v→ v; 〈JZV,V ′〉n = 〈Z, [V,V ′]n〉n.• (JZ)2 = −|Z|2 idv (∀Z ∈ z)のとき,nを一般 Heisenberg代数とよぶ.
一般 Heisenberg群
• 一般 Heisenberg代数 nを Lie環とし,〈·, ·〉n から定まる左不変計量を備えた単連結冪零 Lie群 N.• N ' v × zと同一視したときの群構造 ;
(V,Z) · (V ′,Z′) =(V + V ′, Z + Z′ +
12
[V,V ′]n
).
(16)
3.2 Damek-Ricci空間• s = n ⊕ R (n : 一般 Heisenberg代数).
• ブラケット積 [·, ·]s ;
[(V,Z, l), (V ′,Z′, l′)]s =(
l2
V ′ − l′
2V, lZ′ − l′Z + [V,V ′]n, 0
).
• 内積 〈·, ·〉s ;
〈(V, Z, l), (V ′, Z′, l′)〉s = 〈V,V ′〉n + 〈Z,Z′〉n + ll′.
Damek-Ricci空間
• sを Lie環とし,〈·, ·〉s から定まる左不変計量を備えた単連結 Lie群 S.• S ' v × z × R+ と同一視したときの群構造;
(V,Z, a) · (V ′,Z′, a′) =(V +
√aV ′, Z + aZ′ +
√a
2[V,V ′]n, aa′
).
(17)
3.2 Damek-Ricci空間 S の性質• Hadamard 多様体.KS < 0 ならば,S は階数 1 非コンパクト型対称空間のいずれか(I. Dotti, Proc. Amer. Math. Soc. 125, 1997).• CHN ,HHN ,OH2(dim z = 1).特別な場合として,RHN(dim z = 0).• γ(0) = (0v,0z, 1),γ′(0) = (U,W, l) ∈ s(|U |2 + |W |2 + l2 = 1)の測地線は
γ(t) = 1χ
(2r(1 − lr)U + 2r2JWU, 2rW, 1 − r2
).
ただし,r = tanh(
t2
), χ = (1 − lr)2 + |W |2r2.
(Berndt-Tricerri-Vanhecke, Lecture Notes in Math. 1598, 1995)
• 理想境界は ∂S ' N ∪ ∞• 漸近的調和.また可視公理を満たす.• 体積エントロピー ρ = 1
2 dim v + dim z(homogeneous dimension).
(18)
3.3 Damek-Ricci空間 S の Busemann関数定理 2¶ ³Damek-Ricci 空間 S の Busemann 関数および,∂S ' N 上の標準体積要素は以下で与えられる(x = (V,Z, a) ∈ S).
B(x, θ) =
− log
a((1+ 1
4 |v|2)2+|z|2
)(a+ 1
4 |v−V |2)2+|z−Z− 1
2 [V,v]n|2 if θ = (v, z) ∈ N
− log a if θ = ∞
dθ = c(
1 + 14 |v|2
)2+ |z|2
−ρdvdz ((v, z) ∈ N)
さらに,∫
N exp −ρ B(x, θ) dθ = 1が成り立つ.µ ´=⇒ Damek-Ricci空間 S 上の Poisson核写像は相似的かつ極小.
(19)
3.4 注意:Damek-Ricci空間 S の Poisson核E. Damek (Colloq. Math. 53, 1987)
• Pa(n) =caρ(
a + 14 |V |2
)2+ |Z|2
ρ (n = (V,Z), a > 0)
ただし,cは∫
n∈N Pa(n) dn = 1となる定数.• ∆P = 0.
• lima→0 f ∗ Pa(n) = f (n) ( f ∈ Lp(N)).ただし
f ∗ Pa(n) =∫
m∈NPa(nm−1) f (m) dm.
これは Pa(n)が S 上の無限遠 Dirichlet問題の基本解を与えることを意味する(∂S ' N).実際に
Pa(nm−1) dm = exp (−ρB((n, a),m)) dθ(m).
(20)
• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) Damek-Ricci空間• §4) ϕ : (X, g)→ (P(∂X),G)の調和性• §5) 熱核の場合
(21)
4.1 ϕ : (X, g)→ (P(∂X),G)の調和性定理 3¶ ³写像 φ : (X, g) → (P(∂X)); x 7→ p(x, θ) dθが調和写像であるための必要十分条件は f (x, θ) := 2∆X log p(x, θ) − | gradX log p(x, θ)|2 が θ ∈ ∂X に依らない関数になることである.µ ´Poisson核写像 ϕが相似的 (ϕ∗G = c2/n g)かつ極小=⇒ ϕは調和写像. =⇒ | gradX log P(x, θ)| = c
=⇒ u(x, θ) = 1c log p(x, θ)とおくと | gradX u( · , θ)| = 1
=⇒ gradX u( · , θ)の勾配流 σθ(t)は測地線.(T. Sakai, Kodai Math. J. 19, 1996)
=⇒ limt→∞
σθ(t) = θとなり,d (u( · , θ) − B( · , θ)) = 0.=⇒ u(x, θ) = B(x, θ). =⇒ X は漸近的調和かつ可視公理を満たす.
(22)
4.2 関連する結果定理 (酒井, Riemann幾何学, 1992)¶ ³
12∆|∇u|2 = 〈∇u,∇∆u〉 − Ric(∇u,∇u) − |Hess(u)|2µ ´
u(x, θ) = 1c log P(x, θ)にたいして,Ric(∇u,∇u) = −|Hess(u)|2
定理 (J. Heber, Geom. Funct. Anal. 16, 2006)¶ ³X を非コンパクト,単連結,等質空間とする.このとき,以下は同値;
• X は漸近的調和,Einstein多様体.• X は平坦空間,階数 1非コンパクト型対称空間,(対称空間でない)
Damek-Ricci空間のいずれか.µ ´(23)
• §1) イントロダクション• §2) Poisson核と Busemann関数• §3) Damek-Ricci空間• §4) ϕ : (X, g)→ (P(∂X),G)の調和性• §5) 熱核の場合
(24)
5.1 熱核(X, g):完備 Riemann多様体
熱方程式 ;与えられた f ∈ C∞(X)(初期条件)にたいして(∂
∂t+ ∆
)u(t, x) = 0, u(0, x) = f (x).
熱核 H(t, x, y) =熱方程式の基本解 ;
熱方程式(初期条件 f ∈ C∞(X))の解は
u(t, x) =∫y∈X
H(t, x, y) f (y) dv(y)
で与えられる.
(25)
5.1 熱核熱核の性質
• H(t, x, y) ∈ C∞(R+ × X × X)
• H(t, x, y) = H(t, y, x) > 0
•(∂∂t + ∆x
)H(t, x, y) = 0
• limt→∞ H(t, x, y) dv(y) = δx(y):Dirac測度• H(t + s, x, y) =
∫z∈X H(t, x, z) H(s, z, y) dv(z)
熱核写像 ϕt : X 3 x 7−→ H(t, x, y) dv(y) ∈ P(X)
定理 4¶ ³(X, g):調和的 Hadamard多様体
=⇒熱核写像は相似的埋め込み:ϕ∗t G = C(t)g.µ ´(26)
5.2 調和多様体調和的 :次のいずれかの条件を満たす;
1. 各点 p ∈ X にたいし,pの正規座標近傍 U と U\p上の動径的調和関数 f (x) = φ(d(p, x))が存在する.
2. 各点 p ∈ X の近傍で定義された任意の調和関数 f にたいし,平均値の定理が成立する; f (p) = 1
Vol(S (p;r))
∫S (p;r) f dµS (p;r).
3. 各点 p ∈ X にたいし,p 中心とする正規座標系に関する体積密度関数ωp =
√det(gi j)が動径関数 ωp(x) = ω(d(p, x))となる.
強調和的 : 熱核が動径的関数; H(t, x, y) = H(t, d(x, y)).
• 強調和的 =⇒調和的.多様体が単連結ならば,強調和的⇐⇒調和的.• 調和 =⇒漸近的調和(共役点をもたない空間において)
(27)
5.3 定理 4の証明• ϕ∗t G(v, v) =
∫y∈X
(v log H(t, x, y)
)2 H(t, x, y) dv(y) (v ∈ TxX).
• (X, g)は単連結,調和的.よって強調和的.
v log H(t, x, y) = 1H(t,r)
∂H∂r (t, r) · (−〈v, u〉).
dv = Ω(r)dr dµS n−1(1).(Ωは x ∈ X の選び方によらない)
以上のことから
ϕ∗t G(v, v) =∫ ∞
0
1H(t, r)
(∂H∂r
(t, r))2
Ω(r) dr∫
u∈S n−1(1)〈v, u〉2dµS n−1(1).
右辺は v ∈ TxX に依らないことから,ϕ∗t G = C(t) gと書ける.
(証明おわり)
(28)
5.3 相似定数 C(t)
• n C(t) = traceg(ϕ∗t G
)=
∫y∈X| gradx log H(t, x, y)|2H(t, x, y) dv(y).
• 強調和性より,| gradx log H(t, x, y)| = | grady log H(t, x, y)|.
• 熱方程式より,| grady log H(t, x, y)|2 =(∆y +
∂∂t
)log H(t, x, y).
traceg(ϕ∗t G
)=
∫y∈X
(∆y +
∂
∂t
)log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y)
=
∫y∈X∆y log H(t, x, y) · H(t, x, y) dv(y) +
∫y∈X
∂
∂tH(t, x, y) dv(y)
=
∫y∈X
log H(t, x, y) · ∆yH(t, x, y) dv(y) ←Damek-Ricci空間のとき成立
=∂
∂t
(−
∫y∈X
log H(x, t, y) · H(t, x, y) dv(y))
エントロピー(29)
5.4 例)n次元 Euclid空間の場合
• 熱核 : H(t, x, y) = (4πt)−n/2 exp(−|x − y|
2
4t
)• 相似定数 : C(t) =
12t
• エントロピー :n2
(log(4πt) + 1
)Li-Yau’s gradient estimate
(X, g)を Ricci曲率が非負の完備 Riemann多様体とする.このとき,熱方程式の解 u(t, x)は以下の不等式を満たす;
|∇u|2u2 +
1u∂u∂t≤ n
2t.(
=⇒ 1n
traceg(ϕ∗t G) ≤ 12t
)(30)