Pokroky matematiky, fyziky a astronomie

Tibor ŠalátRad prevrátených hodnôt všetkých prvočísel a niektoré výsledky o konvergenciičiastočných radov harmonického radu

Pokroky matematiky, fyziky a astronomie, Vol. 10 (1965), No. 3, 168--178

Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/138240

Terms of use:© Jednota českých matematiků a fyziků, 1965

Institute of Mathematics of the Academy of Sciences of the Czech Republic provides access todigitized documents strictly for personal use. Each copy of any part of this document mustcontain these Terms of use.

This paper has been digitized, optimized for electronic delivery andstamped with digital signature within the project DML-CZ: The Czech DigitalMathematics Library http://project.dml.cz

ani jednotkou ionizace ani absorbované dávky ve vzduchu. Ačkoliv podle definice z r. 1953 má rentgen rozměr toku energie, neříká nic o intenzitě ani o energii záření, i když tyto veličiny mohou být z výsledku měření vypočteny. Poslední doporučení ICRU ve snaze upřesnit vývody předchozích doporučení definují absorbovanou dávku, novou veličinu kerma a expozici.

Z uvedeného výčtu nejrůznějších definic a jednotek dávky záření by se mohlo zdát, že v dozimetrii ionizujícího záření byla a dosud je řada nerozřešených problémů. Diskuse, které probíhají v oblasti dozimetrie, se však převážně týkají spíše teore­tických otázek, nikoli způsobů praktického měření. Praktická měření se setkávají nanejvýš s technickými, nikoli však se zásadními obtížemi.

L i t e r a t u r a

[1] F. BĚHOUNEK, A. BOHUN, J. KLUMPAR: Radiologická fyzika. SNTL, Praha 1958. [2] F. BĚHOUNEK: Dozimetrie ionizačního záření a ochrana před ním. SPN, Praha 1959. [3] G. J. H I N E , G. L. BROWNELL: Radiation Dosimetry. Academie Press Inc. Publishers, New

York 1956. [4] S. N. ARDAŠNIKOV, N. S. ČETVERIKOV: Atomnaja energija 9, 239 (1957). [5] G. W. GORSCHKOW: Gammastrahlung radioaktiver Korper. B. G. Teubner Verlaggesel-

schaft, Leipzig 1960. [6] E. H. QUIMBY, G. C LAURENCE: Radiology 35, 138 (1940). [7] Report of the International Commission on Radiological Units and Measurements (ICRU)

1956. National Bureau of Standards Handbook 62, April 10, 1957; ruský překlad: Moskva 1959.

[8] I C R U Report N o . 10a, 19292. Nat. Bur. Stds Handbook N o . 84; ruský překlad Izmeritelnaja technika 10, 54 (1963). Přehledně v článku J. W. BOAG: Physics in Med. and Biol. 7, 409 (1963).

[9] Vyhláška ministerstev zdravotnictví a chemického průmyslu ze dne 21. 3. 1963 o hygienické ochraně před ionizujícím zářením a o hospodaření se zdroji ionizujícího záření č. 34, částka 19 Sb. zák. ČSSR (1963).

[10] V. ŠINDELÁŘ, L. SMRŽ: Nová měrová soustava v ČSSR. Normalizace č. 12 (1963).

RAD PREVRÁTENÝCH HODNŮT VŠETKÝCH PRVOČÍSEL A N I E K T O R É VÝSLEDKY O KONVERGENCII ČIASTOČNÝCH

RADOV HARMONICKÉHO RADU

TIBOR SALÁT, Bratislava

V tomto článku pojednáme o niektorých spósoboch, ako možno zistiť divergenciu 00

radu YJ 1/Pn prevrátených hodnot všetkých prvočísel a osvětlíme tuto problematiku n = l

aj pomocou istých úvah, ktoré sa týkajú divergencie čiastočných radov harmonického radu.

168

Označme všade v ďalšom znakom

(1) Pí < P2 < ••• < Pn < •••

postupnosť všetkých prvočísel, teda pt = 2, p2 = 3, atd. Nech

00

(2) Yid„ = dl + d2 + ... + dn+ ... n = l

je nekonečný číselný rad, nech

(3) k! < k2 < ... < kn < ...

je (nějaká) postupnosť prirodzených čísel, potom rad

oo

(4) _ dkn = dkl + dk2 + ... + dkn + ... n=í

nazýváme čiastočným radom radu (2). Ak rad (2) absolutné konverguje, potom je známe, že aj (4) konverguje pre každú postupnosť (3). Ak (2) konverguje neabsolútne alebo diverguje a lim dn = O, potom existujú čiastočné rady (4), ktoré konvergujú,

«-+oo

i také, ktoré divergujú. Ak speciálně klademe dn = 1/n (n = 1,2,3,...), potom vidíme, že rad

/<\ £ 1 1 1 1 (5) - _ - _ + _ + . . . + _ + . . .

n = 1 Pn Pí Pl Pn

je čiastočným radom harmonického radu

/*\ £ 1 1 1 1 (6) _ _ = + + . . . + _ + . . .

» = i n 1 2 n Keďže lim 1/n = O, existujú čiastočné rady radu (6), ktoré konvergujú (takým je

n-+oo oo oo

například _ l/2k) i také, ktoré divergujú (takým je například _ l/(2fc)). K posledným k = i * = i

patří aj rad (5), ako je v podstatě známe už od Eulerových dob.

V ďalšom podáme niekolko jednoduchých dókazov divergencie radu (5), v ktorých sa zřetelné prejavia rozmanité vlastnosti prvočísel. Pojde teda o dókazy nasledujúcej dobré známej vety.

oo

Veta 1. Ak {pn}n=i je postupnosť všetkých prvočísel, potom _ l/pn = + oo. « = i

I. Už od Eulera prochádza nasledujúci dókaz divergencie radu (5) spočívajúci v podstatě na vete o vyjadritelnosti prirodzeného čísla váčšieho než 1 vo tvare súčinu

169

prvočísel (pozři [1] str. 10, 156 — 158). Pomocou tohto základného poznatku teorie čísel lahko nahliadneme, že nekonečný súčin

(i) nfi-1) »=1\ PnJ

diverguje. Naozaj, nech e > 0. Zvolme n0 > 1 tak, aby

. 1 1 1 1 + - + . . . + — > - .

2 n0 e To je zrejme možné na základe divergencie radu (6). Nech teraz pt (i = 1, 2, . . . m) sú všetky prvočísla neprevyšujúce číslo n0. Ku každému pt (i = 1, 2, ... m) existuje prirodzené ař tak, že

p°'<n0<pV + 1 (i = l , 2 , . . . m ) .

Potom zřejmé

1 -P

1 , 1 1 1 > 1 + — + — + ... + —

1 P, PÌ Pľ

>E rtfi-pt

\ Pl)\ Pl) \ Pm)

Vpravo sa sčituje cez všetky také m-tice (pl9 /?2, ... pm) celých čísel, pre ktoré platí 0 ^ PÍ ;= a,- (i = 1,2,... m). Na základe vety o kanonickom rozklade prirodzených čísel dostáváme vzhladom na volbu čísel af (i = 1, 2, . . . m)

1 * > 1 1

>I ->-; = i fe e \ PUK Pl) \ Pm)

odtiaî

Ak klademe

\ Pi)\ Pí) \ Pm) < £ .

P*= ň f l --) í/c=l,2,3,...) : i = l \ Pl/

potom {Pk}k°=i je zrejme klesajúca postupnosť a na základe predošlého je Pk < s pre k ^ m, teda lim Pfc = 0. Odtial na základe známých vlastností nekonečných

fc-+oo 00

súčinov (pozři [2] str. 119) vyplývá 5] 1/Pn.= + °° •

170

II. Iný, tiež už velmi dávno známy dokaž vety 1 vyplývá z ČEBYŠEVOVÝCH nerov­ností pre n-té prvočíslo (pozři [1] str. 166). Ako je známe, Čebyšev ukázal, že existujú kladné reálné čísla a, b tak, že pre každé n > 1 je an log n < pn < bn log n. Odtial vyplývá

00 i 1 00 1

(8) I ~ > 7 I n=l pn b n = 2 n log n

00

Z elementov analýzy je známe, že rad ]T l/(n log n) diverguje, takže z (8) vyplývá n = 2

správnosť tvrdenia vety 1 na základe porovnávacieho kritéria.

III. K dókazu vety 1 možno použit' aj rozklad čísla > 1 na súčin maximálneho kvadratického delitela a čísla bez kvadratických delitelov (pozři [3] str. 16 — 17). Z kanonického rozkladu prirodzeného čísla vyplývá, že každé n > 1 možno jedno­značné vyjadriť vo tvare n = n\ . m, kde nl = l SL m = q^1 . qp

2 ... qps% s ^ 1,

přitom q{ (i = 1, 2,... s) sú prvočíslem delitelia čísla n a j?ř = O alebo 1 pre každé / = 1, 2,. . . s. Nech by teraz (5) konvergoval. Potom existuje j tak, že

1 1 1 1 + + ... + + ... <

Pj+l Pj+2 Pj+k 2

Označme pri pevnom prirodzenom x > 22j+2 znakom N(x) počet vsetkých tých prirodzených n :_ x, ktoré nie sú dělitelné žiadnym prvočíslom p„(n > j). Potom na základe predošlého každé n ^ x, ktoré nie je dělitelné žiadnym pn(n > j) má tvar n = n\ . m = n\ . p{1 ... pPjJ(Pi = O alebo 1 pre i = 1, 2, ...I). Pre nx máme nie viac než y/x možných hodnot a pre m máme nie viac než 2J možných hodnot* preto Nřx) = 2Jy/x. Ďalej počet vsetkých tých n = x, ktoré sú dělitelné prirodzeným a je ^ x/a, takže pre počet x — N(x) vsetkých tých n ^ x, z ktorých každé je dělitel­né aspoň jedným pn (n > j) dostáváme

x - N(x) = —í- + —— + ...<-, Pj+Í Pj + 2 2

tedax — N(x) = x/2, x/2 = N(x) = 2J y/x, odtial x = 22J + 2, čo je vo spore s volbou čísla x.

IV. Z novších dókazov vety 1 spomenieme BELLMANOV dokaž z roku 1943 (pozři [4]). Ide o nepriamy dokaž, ktorý se zase opiera o vetu o kanonickom rozklade prirodzených čísel.

00

Nech £ 1/p. < + oo, potom existuje k _ 1 tak, že І=X

00 л

E - = « < i . i = * + l PІ

171

Utvořme súČin

...(i iY-_—! Vi=*+i P Í / PtiPi2...pin

vpravo indexy i_, í2> ••• „ prebiehajú čísla fc + 1, k + 2,.... Porovnáním s radom 00

£ aw dostáváme odtial konvergenciu radu _£l/J, kde / prebieha všetky prirodzené n = i i

čísla > 1, ktoré vo svojich kanonických rozkladoch neobsahujú prvočísla pn (n __ k). Utvořme konečné súčin

kde m prebieha všetky tie prirodzené čísla > 1, ktoré vo svojich kanonických roz­kladoch neobsahujú prvočísla p{ (i > k). Teda

. i l) \ mm) _- __ - I < + oo

V i V V m

a tak aj í. *-, 1\ /. ^- 1\

< + 00 \ / lJ \ mm)

Z vety o kanonickom rozklade však ihneď vyplývá, že lává strana v poslednej nerov­nosti je totožná s harmonickým radom, dospěli sme teda ku sporu.

V. Medzi novšie dókazy vety 1 patří aj tento MOSEROV dókaz z roku 1958 (pozři £5]), spočívajúci na originálnej myšlienke, ktorá vhodné zapadne do našich ďalších úvah.

Označme znakom n prvočíselnú funkciou (teda n(x) značí počet prvočísel nie váčších než x) a. pri celom x __ O položme R(x) = _T l/pi (vpravo sa sčituje pre tie

Piáx

a len tie ph ktoré neprevyšujú x, teda pre í = 1, 2, ... n(x); prázdny súčet kladieme rovný nule).

00

Napřed lahko možno ukázať, že ak _T \jpi < + co, tj. ak existuje konečná limita i = l

lim R(x) — A, potom lim n(x)jx = 0. Naozaj, jednoduchou úpravou dostaneme JC-+00 x->oo

n(x) = l(R(l) - R(0)) + 2(R(2) - R(í)) + ... + x(R(x) - R(x - l ) ) ,

odtiar

__) _ R ( x ) _ R(0) + R(l) + ... + R(x-l)

172

Ak teraz existuje konečná lim R(x) => A, potom ako je známe z elementov analýzy, JC-+OO

U m R(0) + R(l)+... + R(x-l) = x

JC-+00 X

a tak lim 7r(x)/x = 0. x-*oo

00 00

Nech teda £ l / p . < + oo. Potom existuje k tak, že £ 1/pi < 1/2. Ďalej na zá-i = i i-=fc+i

klade predošlého zvolme m tak, aby n(pk\ m)/m < 1/2. Zostrojme teraz čísla

Tt = i.pk\-1 (Í = 1,2, . . .m).

Ak nějaké prvočíslo p dělí Th potom z definície čísla Tt vyplývá

(9) Pk< P < Pk! rn .

Ďalej ak p dělí T{ a tiež aj Ty, potom p dělí aj Tř - 7) = (i - j). pk!, teda p dělí rozdiel i — j . Odtial vyplývá, že každé prvočíslo splňujúce (9) dělí nie viac než (m/p) + 1 členov postupnosti Tí9 T2, ...Tm, teda

k<P</»k!и\P /

odtiaГ

i -=jk+ip f m

a odtial na základe volby čísel m, k dostáváme spor (1 < 1).

Poznamenajme na koniec tohoto přehradu dókazov vety 1, že přesnějšími odhadmi možno dokázať nasledujúce vzťahy pre čiastočné súčty radov (5), (6) (pozři [6] str. 49, 339-340):

Ak x je reálné, x > 1, potom

(10) £ - = logx + C + 0 ( l / x ) , nšx n

(11) I - = log log x + B + 0(l/log x) *) Piáx PÍ

(C, B sú konstanty).

*) 0(v(x)) značí funkciu f(x), pře ktorú platí

limsup t-^-íi < + oo дc-» oo гp{x)

173

Z (10) a (11) vyplývá

,". Piáx PÍ

hm — = 0 ; j--+co «---, 1

n = x JI

to ukazuje na „pomalost" divergencie radu (5) vzhíadom na „rýchlosť" divergencie radu (6) a súčasne na „riedkosť" rozloženia prvočísel v postupnosti všetkých pri-rodzených čísel.

Aj inak eště možno ilustrovať rozdiel medzi divergenciami radov (5) a (6). Rad co co

£ ljkn nazveme slabo divergentným, ak £ l/fc„ = + co a súčasne £ l/(kn log fc„) < n = l n = í kn>í

< +co. V zmysle tejto definície rad (6) nie je slabo divergentným, keďže co

£l/(wlogn) = +oo. Naproti tomu z Čebyševových nerovností dostáváme (pre « = 2

n > 1) pn> an log n a tak log pn > log a + log n + log log n > log n ípre n > ni > 1), teda pre n > nL je

^ 1 1 ^ 1 < - I , 2 < + oo, »>fn />n log pn a n>ní n log 2 n

takže rad (5) je slabo divergentným. Teraz urobíme niekolko všeobecných poznámok ku problémom konvergencie

čiastočných radov. Ak vyjádříme každé xe(0, 1> nekonečným dyadickým rozvojom x =

00

= Y, efc(x)/2k (ek(x) = 0 alebo 1 a pre nekonečné mnoho fc je ek(x) = 1), potom * = i

(12) Íek(x)dk * = 1

je čiastočný rad radu (2) a obrátene, ak (4) je čiastočný rad radu (2), položme ekn = CO

= 1 (n = 1, 2,...) a ej = 0 pre j * fc„ (n = 1, 2, 3,...), x = £ e*/2*, ek = e^x), k = l

potom (4) možno písať vo tvare (12). Teda ak x prebieha všetky reálné čísla intervalu (0,1>, potom (12) prebieha všetky čiastočné rady radu (2). Táto skutočnosť vyvo­lává myšlienku „ohodnotit" množinu všetkých konvergentných a množinu všetkých divergentných čiastočných radov radu (2). Možno dokázať nasledujúci dnes už klasický výsledok (analogický výsledok je známy aj o čiastočných postupnostiach divergentnej postupnosti).

00

Veta 2. Nech rad Y,dk diverguje. Potom pre skoro všetky xe(0, 1> (v zmysle k = l

Lebesgueovej miery) platí: rad (12) diverguje. (Pozři [7], [8] str. 404.)

174

Predošlý výsledok komentujeme stručně takto: Skoro všetky čiastočné rady di-vergentného radu divergujú. Teda konvergencia čiastočného radu divergentného radu je udalosť „výnimočná", pravidelnou udalosťou je divergencia takého radu. V tomto zmysle sa rad (5) chová „pravidelné".

Dá sa očakávať, že divergencia čiastočného radu

/«,N £ 1 1 1 1 (13) £ _ = — + _ + ... + _ + ...

n = l Kn #Cj K2 Kn

radu (6) bude asi súvisieť s tým, ako „husto" sú prvky množiny

A = {fcx < fc2 < ... < kn < ...} rozdělené v postupnosti všetkých prirodzených čísel. K posúdenie tejto „hustoty" používáme pojem asymptotickej hustoty množiny. Asymptotickou hustotou množiny A nazýváme číslo S(A) definované rovnosťou

S(A)= U m - _ _ , JC->OO X

kde A(x) značí počet všetkých prvkov množiny A nepresahujúcich reálné číslo x. S(Á) definujeme ovšem len za předpokladu, že limita vpravo existuje. Zrejme S(A)e G <0, 1> a podlá velkosti čísla S(A) usudzujeme na „bohatosť", „hustotu" mno­žiny A.

Ukážeme ďalej, že konvergencia čiastočného radu (13) radu (6) móže nastať len v případe „chudobnosti" množiny A, presne povedené len keď A má asymptotickú hustotu 0. K dókazu tohto faktu použijeme nasledujúcu lemmu (pozři [9], [10]).

LEMMA 1. Nech at — a2 ^ ... ^ an j _ ..., lim an = 0 Označme pri x > 0 znakom n->oo

oo

f(x) počet všetkých tých i, pre ktorě ax ^ x. Ak £ at < + oo, potom lim xf(x) = 0. i = l x-*0 +

Dokaž . Nech ak+1 < x ^ ak. Potom zrejme f(x) = k SL tak xf(x) ^ kak. No je dobré známe, že pre konvergentně rady s nezápornými členmi tvoriacimi nerastúcu postupnost* platí lim kak = 0 . Preto lim x f(x) = 0.

k-*oo x-*0 +

Veta 3. Nech f l/fc„ < +oo , A = {kx < fc2 < ... < kn...} . n = l

Potom ó(A) = 0. 00

D o k a ž . Nech £ l/K < +oo. Použijeme predošlú lemmu. Při označení lemmy 1 « = i

f(x) (x > 0) značí počet všetkých tých i, pre ktoré l/fcř ^ x, teda f(x) je počet všetkých tých i, pre ktoré k{ ^ 1/x, teda f(x) = A(l/x). Ďalej xf(x) = xA(l/x) = = A(l/x)l(l/x). Položme y = l/x9 potom z posledných rovností na základe lemmy 1 dostaneme

S(A) = lim - 4 - = 0 .

175

P o z n á m k a . Dókaz vety 3 možno uskutočniť aj úplné analogickým postupom tomu postupu, ktorým je v Moserovom dókaze vety 1 ukázané, že z konvergencie

00

radu YJ 1/PÍ vyplývá lim n(x)/x = 0. Další dókaz vety 3 sa najde v [11] a dókaz vety i = l x-*ao

trochu obecnejšej než je veta 3 je podaný v [12], Podmienka S(A) = O nie je postačujúca pre konvergenciu radu (13), aby sme to

nahliadli, stačí za A zvoliť množinu všetkých prvočísel. Nasledujúca veta ukazuje, že o divergencii radu (13) rozhoduje v značnej miere

chovanie podielov tvaru

Ax) A(x)

Vlog*j U g 1 + V

( б > 0 )

pri x -> co. Dókaz časti a) nasledujúcej vety je analogon dókazu jednej z Čebyševových ne­

rovností. Veta 4. a) Nech A = {kx < k2 < ... < kn < . . . } . Ak lim inf A(x)/(x log"* x) > O,

00 X-*oo

potom Y l/k* = +oo. n = l

b) Nech A má predošlý význam. Nech existuje e > O tak, že

(14) lim sup - - — < + o o .

log 1 +V 00

Potom £ \jkn < -f- co . n = l

Dókaz . a) Nech platia předpoklady uvedené sub a). Potom existuje cx > O tak, že pre všetky x od istého počínajúc (pre x ^ kr) je ^

A(x) > cx .

logx

Potom pre x = kn,n ^ r, dostaneme

K " = Ąkн) > c\ lOg^n

odtial

(\ <\ , ^ n l o g k» (15) cť<—- . K

No z elementov analýzy je známe, že (log kn)y/kn -* O, ak n -• co , preto pre n ^ s ^ r (s je vhodné volené) platí (log kn)/y/kn < c l s to spolu s (15) dá kn < n2,

176

log fen < 2 log n. Potom z (15) dostaneme

2и log и 1 cx

cx < — , — > fen K 2n log n

00

Odtial je už divergencia radu £ 1/fc., zřejmá. n = l

b). Nech platí (14). Potom existuje c2 > O tak, že pre všetky x = 2 je

Aíx\ < c í— . V ; ~ 2 l o g 1 + e x

Odhadneme súčet T„ = Xl/fe í5 2 n = fe,. < 2n + 1. Jednoduchým odhadom dostaneme

1 ? n + 1 /-Tn < 4 2 " + 1 ) . - < C2 ^ ,

n V ' 2" 2 2 " l o g 1 + e ( 2 » + 1 ) (n + l ) 1 + í

2CJ « c, = — > O .

l o g 1 + e 2

Odtial 00 1 00 00 A

1 - = Z T » < C 3 l — e < + 0 0 , i = l fe; n = 0 n = l n

oo

keďže YJ 1/n* konverguje pri a > 1. n = l

Z dokázanej vety (časť a) vyplývá divergencia radu (5) na základe prvočíslenej vety (pozři [ 3 ] str. 9), podra ktorej

lim ^ W _ , ! . x-+oo / X \

\log x)

Akpip + 2 je prvočíslo, potom čísla p9p + 2 nazýváme prvočíslenými dvojčatmi. Je známe, že ak A značí množinu všetkých prvočíselných dvojčat, potom (pozři [13] str. 126-131) platí

(16) lim sup -- < + co . x-oo x ( l o g l o g x ) 2

log 2 x

Keďže lim(log log x)2/N/log x = O, dostaneme zo (16) x-+oo

l im-^W- = O *-»oo/ X \

\log**/

177

a tak, ak A je nekonečná (to dodnes ovsem ešte nevieme), dostáváme z vety 4 (časť b)) konvergenciu radu prevrátených hodnot prvkov množiny A (to je tzv. BRUNOVA veta).

Označme ďalej znakom 2Í systém všetkých nekonečných podmnožin množiny všetkých prirodzených čísel. 2Í0 (2lj resp. 2l2) nech značí množinu všetkých tých A 6 21, pre ktoré 5(A) = 0

' . . . A(x) . r A(x) lim mf —?---— = 0 resp. lim —---— = 0 c-*oo / X \ x-*oo / X \

V°g */ \log x)

Potom zrejme platí inklúzia 2Í2 c= 21 .̂ Ak označíme znakom 2lc množinu všetkých oo

tých Ae% A = {kt < k2 < ... < kn ...}, pre ktoré £ l/k,. < -f-oo, potom na zá-

klade vety 3 je 2lc c 2l0 a na základe vety 4 (časť a)) je 2ÍC c 211. Vzniká otázka, či platí aj inklúzia 2ÍC c 2Í2, inými slovami či platí výrok:

00

Ak £ l/k„ < +oo, potom lim A(x)/(x log"1 x) = O . rt=l X -+00

Ako ukázal P. T. BATEMAN (pozři [14]) a S. W. GOLOMB (pozři [15]), správná odpověď na formulovánu otázku je negativna. Z výsledkov v [14] a [15] vyplývá lahko dokonca táto veta

Veto 5. Nech 2lc, 2t2 majú predošlý význam. Potom každá z množin 2IC — 2Í2, 2Í2 — 2ÍC je neprázdná.

L i t e r a t u r a

[1] W. SIERPINSKI: Teoria liczb. Warszawa—Wroclaw 1950. [2] V. JARNÍK: Diferenciální počet. Praha 1953. [3] G. H. HARDY, E. M. W R I G H T : An introduction to the theory of numbers. Oxford 1954. [4] R. BELLMAN: A note on the divergence of a series. Amer. Math. Monthly, 50 (1943), 318. [5] L. MOSER: On the series £ l / p , Amer. Math. Monthly 65 (1958), 104. [6] A. A. BUCHŠTAB: Teorija čišel. Moskva 1962 (rusky). [7] H. AUERBACH: Ober die Vorzeichenverteilung in unendlichen Reihen. Studia Math. 2 (1930),

228. [8] R. G. COOKE: Infinite matrices and sequence spaces (ruský překlad). Moskva 1960. [9] J. P. T U L L , D. REARICK: A convergence criterion for positive series. Amer. Math. Monthly

7I (1964), 294. [10] Problem E 1552. Amer. Math. Monthly 67 (1962), 1008. [11] J. KRZYŠ: Twierdzenie Oliviera i jego uogólnienia. Prače matem. 2 (1956), 159. [12] T. SALÁT: On subseries. Math. Zeitschrift 85 (1964), 209. [13] A. O. GELFOND, J U . V. LINNIK: Elementarnye metody v analitičeskoj teorii čišel. Moskva

1962 (rusky). [14] Problem 4970. Amer Math. Monthly 69 (1962), 813. [15] S. W. GOLOMB: Arithmetica topologica. Gen. Topol, and its Relat. to Mod. Anal, and

Algebra. Prague 1962, 179.

178