polİnomlar · web viewpolİnomlar reel sayılar kümesi,sayı eksenindeki noktalar ile eşlenen en...

POLİNOMLAR

Reel sayılar kümesi,sayı eksenindeki noktalar ile eşlenen en geniş kümedir.

x, hiçbir koşula bağlı olmayan, x belirsizi adı verilen ve reel sayı da olabilen bir eleman olsun.x elemanının kendisi ile defa çarpımı biçiminde gösterilsin.

ve olmak üzere , a ile nin çarpımı da a. olsun.(Reel sayılar kümesinde cisminden ve x eklenince halka olmasından bahsedilebilir)

reel sayılar , n dopal sayı ve x bir belirsiz olmak üzere; biçimindeki ifadelere x in reel katsayılı polinomları denir.Belirsizi x

olan polinomlar P(x),Q(x),T(x),…. gibi sembollerle gösterilir.

Örneğin: x’in reel katsayılı bir polinomudur. olmak üzere, P(x)= polinomunu oluşturan

biçimindeki ifadelerden her birine P(x) polinomunun terimleri denir. reel sayısına bu terimin kat sayısı ,k doğal sayısına bu terimin derecesi, ise reel sayısına P(x) polinomunun sabit terimi denir.En yüksek dereceli terimin katsayısına başkatsayı ve derecesine de polinomun derecesi denir.P(x) polinomunun derecesi der[P(x)] biçimde gösterilir.

Polinomlarla-fonksiyonlar arasında bir ilişkilendirme yapabilir mi?(öğrenciye yöneltilecek)

(Eğer x belirsizi reel sayı varsayılırsa,reel sayılar kümesinde çarpma ve toplama işleminin kapalılık özelliği gereğince,P(x) ifadesinin bir reel sayı olduğu gerçektir.Bu nedenle,

denklemi ile reel sayılardan reel sayılara bir fonksiyonu tanımlanmış olur.Fonksiyon Polinom

mu?Polinomun derecesi

Başkatsayı Sabit terim Polinom katsayılar toplamı

f(x)=

f(x)= Tablo öğrenciler tarafından doldurulacak.

ÖRNEKLER:

1)P(x)= polinomunu x in azalan kuvvetlerine göre yazınız.Polinomun derecesini ve başkatsayısını bulunuz.Polinomun katsayılar toplamı bulunuz.Polinomun sabit terimini bulunuz.(öğrencinin sabit terimi ve katsayılar toplamını veren kuralları bulmaları istenecek)

2) ifadesinin bir polinom olduğu bilinmektedir.Bu polinomu bulunuz.

3) ifadesinin bir polinom olduğu bilinmektedir.Bu polinomu bulunuz.

4) ifadesi bir polinom olduğuna göre m kaçtır?

Tanım: polinomunda;

ise , polinoma sabit polinom ise polinoma sıfır polinomu denir.

ÖRNEKLER:1) polinomunun sabit polinom olması için m ve n nin alacağı değerleri bulunuz.

2) polinomunun sıfır polinomu olması için a,b,c nedir?

İki Polinomun Eşitliği

Tanım: ve polinomları verilsin.

P(x)=Q(x) olması için derecelerinin aynı ve aynı dereceli terimlerin katsayılarının eşit olması gerekir ve yeter.P(x)=Q(x) m=n olmalıdır.

Örnek: polinomları veriliyor.P(x)=Q(x) olduğuna göre a+b+c+d toplamı neye eşittir?

Örnek: veriliyor.P(x)=Q(x) olduğuna göre m,n,p nedir?

Çok Değişkenli (Belirsizli) Polinomlar

Değişken sayısı birden fazla olan polinomlara çok değişkenli polinom denir.Değişkeni x,y ise P(x,y) biçiminde gösterilir.

Örnek: P(x,y)=

Örnek:

Bu tür polinomlarda terimlerin her birinin derecesi x ve y nin dereceleri toplamına eşittir.Polinomun derecesi ise polinomu oluşturun terimlerin derecelerinin en büyüğüdür.

Örnek: iki değişkenli polinomda; x e göre derecesi, teriminin derecesi olan 2 y e göre derecesi teriminin derecei olan 3 P(x,y) nın derecesi 2+3=5 dir.

Örnek: polinomu veriliyor;a)Polinomun her bir temrinin x e göreb)Polinomunun her bir teriminin y e görec)Polinomunun her bir teriminin z e göred)Polinomunun her bir teriminin x,y ve z ye göre derecesini söyleyiniz.

NOT:Polinom-Fonksiyon ilişkisi hatırlatılacak.

Örnekler:

1) polinomu veriliyor.

a)d[P(x)] =?b)Polinomun katsayıları toplamı kaçtır?c)x=1 için polinomun değerini bulunuz.

2) polinomu veriliyor.a)d[P(x)] =?b)Polinomun katsayıları toplamı kaçtır?c)x=1 için polinomun değerini bulunuz.

NOT: polinomunun katsayılar toplamını P(1)=katsayılar toplamıdır.3) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

4) polinomunun çift kuvvetli terimlerin katsayılar toplamı kaçtır?

NOT(öğrencinin çözmesi bekleniyor): polinomu veriliyor.Çift kuvvetli terimlerin katsayıları toplamını bulunuz.

bulunur.

Ödev: Tek kuvvetli terimlerin katsayıları toplamı olduğu bulunacak.

Örnek: polinomu veriliyor.a)P(-2)b) c)P(x+1)d)

Örnek: polinomu veriliyor.P(x) polinomunu bulunuz.

Örnek. olduğuna göre P(2x+1) polinomunu bulunuz.

Polinomlarda İşlemler

Polinomlarda Toplama ve Çıkartma

ve

ve olmak üzere, bu iki polinomun toplamı,P(x) biçiminde tanımlanır.

Örnekler:

1) ve polinomlarının toplamı kaçtır?

2) , ve ise P(x)+Q(x)+K(x) toplamını bulunuz.

3) ve ise P(x)-Q(x) farkını bulunuz.

NOT:Toplam ve fark polinomlarının derecelerini bulmaları öğrenciden istenecek ve genel kuralı oluşturmaları istenecek.

NOT:Toplama işleminin özellikleri sorularak, matematik sisteminin değişmeli grup olduğu paylaşılacak.

Polinomlarda Çarpma

P(x) ve Q(x) gibi iki polinomu çarpmak için, P(x) in her terimi Q(x) in her bir terimi ile çarpılır.

Örnekler:

1) P(x)=3x+2 ve Q(x)= ise P(x).Q(x) bulunuz.

2)P(x)=5 ve Q(x)= ise P(x).Q(x) bulunuz.

3)P(x)= ve ise P(x).Q(x) bulunuz.

NOT:Her bir örnek için çarpımın derecesi öğrenciye sorulacak genel kuralı bulmaları istenecek.

Örnek: isea)3P(x)-Q(x)=?b)P(x)-xQ(x)=?c)der[2Q(x)-P2(x)]}=?d)der[3P(x)+2xQ(x2)]=?

NOT:Çarpma işleminin özellikleri sorulacak ve polinomlar halkasına sözedilecektir.

Polinomlar Halkası

polinomlar kümesinde toplama ve çarpma işlemlerinin;

1) sistemi değişmeli grup.2) kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır.3) kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.Öyleyse

sistemi bir halkadır.

ALIŞTIRMALAR:

1) A(x) , B(x) , C(x) polinomları için A(x).B(x)= , A(x).C(x)= olduğuna göre A(x).(B(x)-C(x)) polinomunu bulunuz.

2) polinomu ,kaçıncı dereceden bir polinomdur?

3)P(x) polinomu için dir.P(x) polinomunu ve c yi bulunuz.

4) dir.P(x) polinomunun sabit terimi -12 ise ,derecesi 3 olan teriminin katsayısı kaçtır?

5) ise ın derecesi kaçtır?

6) olduğuna göre a+b+c nin toplamı kaçtır?

Polinomlarda Bölme

dir der[Q(x)] der[P(x)] ve der[K(x)] der[Q(x)] olmak üzere , P(x)=Q(x).B(x)+K(x) eşitliğini sağlayan P(x) polinomuna bölünen Q(x) polinomuna bölen,B(x) polinomuna bölüm ve K(x) polinomuna da kalan adı verilir.Bölümü bulma işleminede bölme işlemi denir.

Bir bölmede K(x)=0 ise buna tam bölünme denir.

Örnekler:

1) polinomunu polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.

2) polinomunu polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.

3) polinomunu polinomuna bölelim.Bölüm ve kalan kaçtır?

NOT:Bölümün derecesi her bir örnek için bulunup,kural bulunması istenecek.

ALIŞTIRMA:

1) der[P(x).Q(x)]=10 ve ise der[P(x)+Q(x)] kaçtır?

2) der[P(x).Q3(x)]=17 ve ise der[P(x)-Q(x)] kaçtır?

3) der[P(x).Q(x)]=8 ve ise derecesi küçük olan polinomun derecesi kaçtır?

4) ve ise çarpımının derecesi kaçtır?

Horner Yöntemi İle Bölme(Sentetik Bölme)

1) polinomu polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.

2) polinomu polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.

3) polinomu Q(x)= polinomuna bölünmesinden elde edilen bölüm ve kalanı bulunuz.

NOT:Sırayla (x-a) ve (x-b) ile bölümünden kalan k1 ve k2 ise kalan=(x-a)k2+k1.

Bir Polinomun x-a , x+a, ax+b ile bölümünden kalanı bulmak:

P(x) x-a

Q(x)

K(x)

P(x)=(x-a)Q(x)+K(x) bölme eşitliğinde x yerine a yazılırsa;

P(a)=(a-a).Q(x)+KP(a)=0.Q(x)+KP(a)=K elde edilir.

Örnek: polinomunun x-2 ile bölünmesinde elde edilen kalanı bulunuz.

Örnek:P(x) polinomu ax+b ile bölümünden elde edilen kalanı bulma yolu öğrencilere sorulacak,ispatlamaları istenecek.

Örnek: polinomunun 2x-1 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.

UYGULAMALAR:

1) polinomu x-1 ile bölündüğünde kalan 2 olduğuna göre, a kaçtır?

2) polinomunun x-2 ile bölümünden kalan -3 olduğuna göre , x+2 ile bölümünden kalan kaçtır?

3)P(x) polinomu için tir.P(x) polinomu x+2 ile bölündüğünde kalan kaç olur?

4) polinomu veriliyor.P(x+2) polinomu x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?

5) polinomu veriliyor.P(x+2) polinomu x-1 ile bölümünden kalan kaçtır?

6) polinomu veriliyor.P(2x-1) polinomunun x+1 ile bölümünden kalanı bulunuz.

7) ifadesinin ile bölümünden kalan kaçtır?

8) polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?

9)Bir P(x) polinomu x+1 ile bölümünden kalan 6 , x-2 ile bölümünden kalan -3 tür.P(x) polinomunun (x+1)(x-2) çarpımı ile bölümünden kalan nedir?

10) polinomunun , ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.

11) denkleminin köklerinden biri -1 ise P(x) in (x+1) ile bölümünden elde edilen bölümü bulunuz.

12) polinomunun x-3 ile kalansız bölünebilmesi için m ne olmalıdır?

13)P(x) polinomu ile bölümünden kalan 4x-3 olduğuna göre bu polinomun (x+2) ile bölümünden kalan ne olur?

14)P(x) polinomunun x+1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 5, Q(x) polinomunun x+1 ile bölünmesinden elde edilen kalan 7 ise x.P(x)+P(x).Q(x) polinomunun x+1 ile bölümünden elde edilen kalanı bulunuz.

15) polinomunun ile bölümünden elde edilen kalan ise m,n ve p değerini bulunuz.

16) polinomunun ile tam olarak bölünüyorsa, m ve n değerlerini bulunuz.

17)Bir P(x) polinomunun (x-2) ve bölümünden kalanlar sırasıyla -17 ve (-2x-4) tür.P(x) in ile bölümünden kalan ne olur?

18) polinomu veriliyor.Q(x) polinomunun (x-4) ile bölümünden kalan 4 tür.Buna göre P(x) polinomu (x-1) ile bölümünden kalan ne olur?

19) polinomunun karakökünu bulunuz.

20) polinomu tam kara ise m ve n ‘in değerlerini bulunuz.

Polinomların Çarpanlara Ayrılması

Polinomlar halkasının çarpma işlemine göre kapalı olduğu hatırlayın.Bir polinomu,iki yada daha çok polinomun çarpımı biçiminde yazmaya ,bu polinomu çarpanlarına ayırma denir.

Örneğim;

1) olduğundan , x ile 4x-3 polinomları polinomunun çarpanlarıdır.

2) polinomunu, biçiminde yazarak, ve (x-1) polinomlarının polinomunun çarpanları denir.

Tanım:Sabit olmayan ve birden fazla polinomun çarpımı biçiminde yazılamayan polinomlara İNDİRGENEMEYEN POLİNOMLAR denir.Baş katsayısı 1 olan indirgenemeyen polinomlara da asal polinomlar denir.

Örnek: , , , indirgenemeyen polinom örnektir.Hangilerinin asal polinom olduğu öğrenciye sorulur?

Tanım: Bir P(x) polinomunun çarpanlarından her biri asal polinom yada bir asal polinomun kuvveti biçiminde ise , bu polinomlara P(x) asal çarpanları denir.

Uyarı:P(x)=Q(x).R(x) biçinde yazdığımızda R(x) ve Q(x) asal polinomlar ise Q(x) ve R(x) e P(x) in asal çarpanları denir.R(x) ve Q(x) polinomları asal yada indirgenemeyen polinomlar ise Q(x) ve R(x) e P(x) in çarpanları denir.

Örnek:

1) polinomu, P(x)=x(x-1)(x+1) asal çarpanlarına ayrılmıştır.

2) polinomu, P(x)=2x.(3x-1) asal çarpanlarına ayrılmıştır.

ÖZDEŞLİKLER

Tanım: İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin her değeri için sağlanan eşitsizliklere ÖZDEŞLİK denir.

a)Tam Kare Özdeşliği:

Örnekler:

1)

2)

3)

4)x+y+z=10 ve xy+xz+yz=3 olduğuna göre

5) ise

6) ve x-y=8 olduğuna göre x+y=?

b)İki Kare Farkı Özdeşliği:

Örnekler:

1)

2)

3)

c)İki Terimin Toplamı veya Farkının Küpü:

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5)

6) ise

7)a-b=5 ve a.b=7 ise

8) ise

d)İki Küp Toplamı veya Farkı:

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5)

6) ise

Çarpanlara Ayırma Yöntemleri

1)Ortak Çarpan Parantezine Alma: Bir polinomun her teriminde aynı çarpan,yani ortakdan bir çarpan varsa,bu çarpanın parentesine alınarak verilen ifade çarpanlara ayrılır.

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5)

2)Gruplandırma Yöntemi

Polinomun bütün terimlerinde ortak olan bir çarpan yoksa,ortak çarpanı olan terimler yan yana getirilecek gruplanır.Bu gruplar ortak çarpan parantezine alınarak,ortak bir çarpan elde edilirse,yeniden ortak çarpan parantezine alınır.

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

3)Tam kare Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:

Özdeşliklerinden yararlanırız.

Örnekler:

1) ifadesini çarpanlara ayırınız.



4) ifadesini çarpanlara ayırnızı.

5) ifadesinin çarpanlara ayırınız.

6) ifadesinin çarpanlara ayırınız.

4)İki kare Farkı Özdeşliğinden Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:

özdeşliğinden yaralanırız.

Örnekler:






5)İki Küp Toplamı veya Farkından Yararlanarak Çarpanlara Ayırma:

özdeşliklerinden yararlanırız.

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5)

6) Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlara Ayırması:

üç terimlisini c sabit teriminden yararlanarak çarpanlarına ayıralım.c=m.n ve b=m+n

=(x+m)(x+n) biçiminde çarpanlara ayırınız.

Örnekler:

1)

2)

3)

7) Biçimindeki Üç Terimlilerin Çarpanlarına Ayırılması:

üç terimlilerini çarpanlarına ayırırken, a ve c nin çarpanlarına bakarız.a=m.n ve c=p.q olsun şayet;

m pn q=m.q+n.p=b ise =(mx+p)(nx+q) biçiminde çarpanlarına ayrılır.

Örnekler:

1) polinomunu çarpanlarına ayırınız.

2) polinomunu çarpanlarına ayırnız.

3) polinomunu çarpanlarına ayırnız.

NOT: İkinci dereceden bir bilinmeyenli üç terimlilerinde ise , üç terimli çarpanlarına ayrılmaz.

Örneğin; ifadesi çarpanlarına ayrılmaz.

8)Bir Terim Ekleyip Çıkararak Çarpanlara Ayırma:

Verilen üç terimli ise orta teriminin katsayısının yarısının karesini ekleyip çıkararak tam kareye tamamlanır,iki kare farkına dönüştürürüz.( ise önce a parantezine aldıktan sonra aynı işlem)

Örnekler:

2) ifadesini çarpanlarına ayırınız.



5) ifadesini çarpanlara ayırnız.

6) ifadesini çarpanlara ayırnız.

Polinomlarda E.K.O.K ve E.B.O.B

En az birinci dereceden,iki yada daha çok polinomun hepsine de tam olarak bölünebilen en küçük dereceli polinoma bu polinomların EKOK u denir.

En az birinci dereceden,iki yada daha çok polinomun hepsine de tam olarak bölen en büyük dereceli polinoma ise bu polinomların EBOB u denir.

Örnekler:

1) polinomlarının EKOK ve EBOB’ini bulunuz.

2) polinomlarının EKOK ve EBOB ‘ini bulunuz


NOT: P(x) ve Q(x) polinomlarının sabit polinom dışında ortak böleni yoksa,P(x) ve Q(x) polinomlarına aralarında asal polinomlar adı verilir.


RASYONEL İFADELER

P(x) ve Q(x) reel katsayılı iki polinom ve için biçimindeki ifadelere rasyonel

ifadeler denir.

olmak üzere rasyonel ifadedir.

Örnekler:

1) =?

2)

3)

4)

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi:

rasyonel ifadesi sadeleştirmek için P(x) ve Q(x) polinomları çarpanlarına ayrılır.Pay ve

paydada ortak çarpanlar varsa pay ve payda bu ortak çarpanlara bölünerek rasyonel ifade sadeleştirilir.

Örnekler:

1) ifadesini sadeleştiriniz

2) rasyonel ifadesini sadeleştirelim.

3) ifadesini sadeleştirelim.

4) ifadesini sadeleştiriniz.

5) ifadesini sadeleştirniz.

6)x=17 için rasyonel ifadesinin sayı değeri nedir?

Rasyonel İfadelerin İşlemleri

Toplama ve Çıkartma

ve rasyonel ifadeleri verilsin;

= ifadesine bu iki rasyonel ifadenin toplamı ve farkı

denir.

NOT:İfadeler çarpanlara ayrılarak en sade biçime getirilir.Paydalar eşitlenir (EKOK bulunarak) işlem yapılır tekrar sadeleştirilir.

Örnekler:

1)

2)

3)

4)

5) işlemini yapınız,sonucu en sade biçimde yazınız.

6) işlemini yapınız ,sonucu en sade biçimde yazınız.

7) işlemini yapınız,sonucu en sade biçimde yazınız.

8) ise A ve B değerleri kaçtır?

9) rasyonel ifadesini paydaları birinci dereceden olan iki rasyonel ifadenin toplamı

biçimde yazınız.

Çarpma Ve Bölme

P(x),Q(x),T(x) ve S(x) polinomları için ve olmak koşuluyla;

i) rasyonel ifadesi iki rasyonel ifadenin çarpımı

ii) ifadesine iki rasyonel ifadenin bölümü denir.

Örnekler:

1) çarpma işlemini yapınız.

2) bölme işlemini yapınız.

3) =?

4)

5) işlemini yapınız.

6) rasyonel ifadesini en sade biçime getiriniz

7) x-y=4 ise ifadesinin değeri nedir?

8) ifadesinin en sade şeklini bulunuz.

Polinom Denklemler

(Öğrenci ile konuşulur)

için P(x) polinomunun ye bir fonksiyon olduğu ve buna bağlı olarak P(x)= polinomunda x e bazı değerler vererek sonuçlar üzerinde konuşulur.

P(1)=0P(-1)=-4P(0)=-3P(-3)=0

1 ve -3 reel sayıları için P: fonksiyonu sıfıra eşitlendiği görülür.Sıfırdan farklı bir P(x) polinomunun x in hangi değerleri için sıfıra eşit sonuçlar verdiğini bulmak için P(x)=0 denklemini çözmek gerekir.

Tanım:Sıfırdan farklı bir P(x) polinomu için P(x)=0 koşulunu gerçekleyen bir x reel sayısı versa, bu x sayısına P(x) polinomunun bir kökü P(x)=0 ifadesine de bir Polinom Denklemi adı verilir.Denklemin köklerini bulabilmek için yapılan işleme denklemin çözümü ,köklerden oluşan kümeye de Çözüm Kümesi denir.

Tanım: olmak üzere, ax+b=0 denklemine bilinmeyeni x olan birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Örnekler:

1)2x(x+2)-5(x+2)=0 denkleminin çözüm kümesi nedir?

2)2(1-x)-3x=5-3(x-2) denkleminin çözüm kümesi nedir?

3) denkleminin çözüm kümesi nedir?

4) denkleminde bilinmeyen x ,a gerçel sayısına bağlı olarak denklemin çözüm kümesi nedir?

Rasyonel Denklemler

P(x) ve Q(x) polinomlarında olmak üzere biçimindeki

denklemler,rasyonel denklemdir.

dir.

Örnekler:





Bir Rasyonel İfadenin Basit Rasyonel İfadelerin Toplamı Biçimde Yazılışı:

Payı sabit bir reel sayı,paydası birinci dereceden bir polinomun kuvvetleri olan

gibi rasyonel ifadeler basit rasyonel ifadelerdir

Örnek:

ikinci dereceden polinomu çarpanlara ayrılmıyorsa,

basit rasyonel ifadeler.

Örnek: ifadeleri birer basit rasyonel ifadedir.

Örnekler:

1) rasyonel ifadesini basit rasyonel ifadelerini toplamı biçiminde yazınız.

polİnomlar · web viewpolİnomlar reel sayılar kümesi,sayı eksenindeki noktalar ile eşlenen en...

Documents