REPRESENTACIONES EN PROYECCIÓN ACOTADA DE LOS

POLIEDROS REGULARES CONVEXOS

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OCTAEDRO

RICARDO BARTOLOMÉ RAMÍREZ

Prof. Tit. de Expresión Gráfica en la Ingeniería

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OCTAEDRO

SUPUESTO 1

Determinar la proyección acotada de un octaedro, una de cuyas diagonales mide 10 cm y forma un ángulo de 60º con el plano de proyección. Uno de los vértices no situados en dicha diagonal tiene cota (24.5) , siendo el centro del octaedro un punto de cota (25).

En primer lugar se representa la recta -d-, y en ella se sitúa la diagonal del octaedro de acuerdo con el ángulo de 60º que forma con el plano del cuadro.

Para ello, se lleva el ángulo de 60º a partir del punto O(25), que va a ser el centro del octaedro. Sobre dicho ángulo se traza un segmento O-A0 equivalente a la mitad de la diagonal (5 cm). El punto A0 se sitúa sobre -d- obteniendo el vértice A. El vértice opuesto al A será el B simétrico de A con respecto a O. A continuación, se hace pasar por O un

plano α perpendicular a la recta -d-. Se abate el plano junto con el punto O y la recta -h- horizontal del plano de cota (24.5). En el abatimiento se traza una circunferencia de 10 cm de radio y centro en O0, donde ésta corta a la recta h0 se obtiene el punto C0. En dicha circunferencia se encuentra el plano diagonal C0D0E0F0.

En el abatimiento y a partir de C0 y de O0, se obtienen las proyecciones abatidas de los

otros tres vértices del octaedro, D0, E0 y F0 antes citados y que se encuentran en α.

Se desabate el plano y los vértices en él contenidos, se unirán posteriormente los vértices A y B con los C, D, E y F, obteniendo la proyección del poliedro.

*En los capítulos (1/5)–Tetraedro y (2/5)–Hexaedro, se explica con mas detalle la forma de determinar la cota de los vértices y el análisis de la visibilidad de la proyección obtenida.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 1

SUPUESTO 2

Representación en proyección acotada de un octaedro con una diagonal que forma 45º con el plano del cuadro y de 50 mm de arista. Una de las diagonales perpendiculares a la

anterior formará 60º con la traza α0 del plano que la contiene.

Puesto que es conocido que la diagonal del poliedro forma 45º con el plano del cuadro, se

traza un plano α perpendicular a ésta, por lo que a su vez formará 45º con el plano del

cuadro, por consiguiente, se representará en proyección un plano α de pendiente p=45º.

Obtenido el plano, se abate, y con él un punto E(7) que le pertenece y que va a ser a su vez proyección del vértice E del poliedro.

Por el punto (Eα)0 se traza una recta d0 que forma 60º con α0 y sobre ella se lleva el valor de la diagonal D que se ha obtenido en la figura de esta página, teniendo así la segunda

proyección abatida de un vértice del poliedro, (Cα)0. A continuación, se obtienen las

proyecciones abatidas del resto de los vértices, (Dα)0, (Bα)0, (Aα)0 y (Fα)0.

Seguidamente se desabaten las proyecciones abatidas de los vértices, obteniendo las

proyecciones de los mismos sobre α: Aα, Bα, Cα, Dα, Eα y Fα.

Por el punto A se hace pasar una recta perpendicular al plano α y sobre ésta se lleva el valor de la diagonal D, obteniendo así el vértice F. Los otros cuatro vértices del poliedro, B, C, D y E, se obtienen llevando sobre rectas perpendiculares al plano la magnitud D/2.

Sólo resta unir los vértices obtenidos y construir el poliedro teniendo en cuenta las partes vistas y ocultas.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 2

SUPUESTO 3

Proyección acotada de un octaedro con una cara situada sobre un plano de pendiente p=2/3. Del octaedro se conoce un vértice A(4); el valor de la arista es de 40 mm. La arista

que pasa por A y está contenida en el plano, forma 30º con la traza αo.

Con la pendiente dada del plano se determina el intervalo de éste para poder representarlo en proyección. Otro dato conocido es que el vértice A se encuentra situado sobre el plano.

Se abate el plano, utilizando como referencia el punto A. En el abatimiento se traza por

A0 una recta r0 que forma 30º con αo y en ella, y a partir de A0 se lleva el valor de la arista, obteniendo así el punto B0. A continuación se construye la cara del octaedro situada en el

plano, en verdadera magnitud, A0, B0, C0. La cara paralela a ésta será la (Dα)0, (Eα)0, (Fα)0, cuyos vértices se encontrarán en la circunferencia que contiene a los otros tres.

Se desabate por afinidad la figura, obteniendo el triángulo correspondiente a la cara del octaedro contenida en el plano, A, B, C, y la proyección sobre el plano de los otros tres

vértices del octaedro, Eα, Fα, Dα.

Por estos tres vértices, se trazan rectas perpendiculares al plano y sobre ellas se lleva la distancia -l- correspondiente al valor de la distancia entres caras paralelas, consiguiendo así los otros tres vértices del octaedro, E, F, D.

Se unirán los vértices ordenadamente, considerando las partes vistas y ocultas y así queda definido el poliedro.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 3

SUPUESTO 4

Proyección acotada de un octaedro con una arista con pendiente de 30º y situada sobre un plano de pendiente p=4/5. La arista mide 50 mm.

Con la pendiente dada del plano se determina el intervalo de su línea de máxima pendiente para poder representarlo en proyección.

Se abate el plano, utilizando un punto A en él contenido. El punto A es el centro de la circunferencia de radio el intervalo de la arista situada en el plano, cuya pendiente es conocida. Por los puntos donde la circunferencia corta a las horizontales del plano se hace pasar una recta -r- en la cual va a estar contenida la arista que está situada en el plano. A continuación se abate la recta y en su abatimiento se sitúa la magnitud de la misma, que es conocida y así se obtienen los dos primeros vértices del octaedro, A0 y C0.

En el abatimiento se obtienen las proyecciones de los otros vértices que forman el

octaedro, (Bα)0, (Dα)0, (Eα)0 y (Fα)0. El siguiente paso consiste en desabatir estos puntos y determinarlos sobre el plano.

A partir de los puntos A y C se trazan rectas perpendiculares al plano y sobre ellas se lleva el valor de la arista del octaedro, obteniéndose los puntos B y D que son los vértices

de la arista opuesta a la contenida en el plano. Por Eα y Fα, se levanta la altura correspondiente a a/2 y así se obtienen los otros dos vértices del poliedro, E y F.

Sólo resta definir las partes vistas y ocultas y así queda definido el octaedro buscado.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 4

SUPUESTO 5

Proyección acotada de un octaedro conocidas las proyecciones de las direcciones de sus tres diagonales concurrentes en un punto O(4); la arista mide 40 mm y el punto O se encuentra sobre un plano de pendiente p=1/2, plano sobre el que se han obtenido las proyecciones citadas.

Conocida la pendiente del plano se determina su intervalo para poder representarlo en proyección.

Se toma el punto O y se abate junto con el plano. El punto O0 del abatimiento va a ser el punto de intersección de las proyecciones de tres rectas perpendiculares, en las cuales se encontrarán las diagonales del octaedro. O0 es el vértice de un triedro trirrectángulo.

En el abatimiento se dibujan las proyecciones de las tres rectas (rα)0, (sα)0 y (tα)0.

Se toman tres puntos de estas rectas (1α)0, (2α)0 y (3α)0 vértices de un triángulo paralelo al plano de referencia y se obtiene la altura de estos -h- con respecto a O, dato que se utilizará más adelante. También se construye la proyección en el abatimiento del octaedro

obteniendo las proyecciones abatidas de los vértices de éste, (Aα)0, (Bα)0, (Cα)0, (Dα)0, (Eα)0, (Fα)0.

A continuación, se desabate la figura y se obtienen las proyecciones sobre el plano de los

vértices Aα, Bα, Cα, Dα, Eα y Fα, de las tres rectas rα, sα y tα, y de los tres puntos 1α, 2α y

3α. Por estos tres puntos se trazan rectas perpendiculares al plano y a ellas se traslada la altura -h- determinada, obteniéndose los puntos 1, 2 y 3 que son los puntos por los que van a pasar las tres rectas -r-, -s- y -t- en las cuales están contenidos los vértices del poliedro y cuyo punto de concurrencia es O. Una vez obtenidas estas tres rectas diagonales se obtienen sobre ellas los tres vértices del poliedro A, B y C. Por simetría se obtienen el resto de los vértices del octaedro D, E, F y se construye el mismo.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 5

SUPUESTO 6

Partiendo de los datos del supuesto 4, y una vez que se tiene construido el octaedro, inscribir en él un hexaedro.

Determinado el octaedro, se va a proceder a la construcción del hexaedro inscrito.

En primer lugar se trazan las medianas de las ocho caras del octaedro para hallar los centros geométricos de las mismas, en los que coinciden los vértices del hexaedro. Una vez obtenidos los ocho vértices se puede construir el poliedro inscrito.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 6

SUPUESTO 7

Determinar la proyección acotada de un octaedro, del cual se conoce que su sección principal se encuentra situada sobre un plano de pendiente p=2/3. Del octaedro se sabe también que su centro es el punto O(4). La altura de cara del octaedro es de 50 mm.

Con la pendiente dada del plano se halla el intervalo de éste para representarlo en proyección.

Se abate el plano, utilizando como referencia el punto O. En el abatimiento se construye la sección principal del poliedro y así se obtienen las proyecciones abatidas de los

vértices, (Aα)0, (Bα)0, (Cα)0, (Dα)0, (Eα)0 y (Fα)0.

A continuación, se desabate por afinidad la sección principal del poliedro y se obtiene su

proyección sobre el plano. Por Cα≡Dα y Eα≡Fα se trazan dos rectas perpendiculares al plano y sobre ellas se llevan el valor equivalente a la mitad de la arista por encima del plano y la otra mitad por debajo, los vértices A y B se encuentran sobre el plano por pertenecer ambos a la sección principal. Así quedan definidos los seis vértices del poliedro.

Sólo resta considerar las partes vistas y ocultas para completar la representación.

RESOLUCIÓN SUPUESTO 7

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