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POLIEDROSPlegados y desarrollos
Universidad Politécnica de Madrid
Gregorio Hernández PeñalverUPM
V Seminario de Matemática Discreta
Valladolid 7-6-2003
Universidad de Valladolid
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Poliedros 2
Primero unas imágenes
MetamorfosisCubo.mpg
De la cartulina al poliedro ….y del poliedro a la cartulina
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Poliedros 3
• De la cartulina al poliedro– Condiciones de plegado– Emparejamientos “legales”
• Del poliedro a la cartulina– Desarrollo por aristas
• Poliedros convexos• Poliedros no convexos
– Desarrollos verticiales
Sumario
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Poliedros 4
De la cartulina al poliedro
1.- Dado un polígono, ¿se puede plegar a un poliedro?
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Poliedros 5
De la cartulina al poliedro
1.- Dado un polígono, ¿se puede plegar a un poliedro?
Teorema de Aleksandrov (1958)Toda métrica poliédrica convexa puede realizarse como un poliedro convexo, de forma única salvo congruencias
Métrica poliédrica• cada punto un entorno isomorfo a un disco abierto en R2 o al ápice de un cono cuyo ángulo completo es menor que 2 (convexa)
• ángulo completo: suma de ángulos de caras incidentes
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Poliedros 6
De la cartulina al poliedro
1.- Dado un polígono, ¿se puede plegar a un poliedro?
Teorema de Aleksandrov (1958)
Un polígono simple cuyas aristas se identifican de modo que:1. Cada arista se empareja con otra de igual longitud2. La suma de los ángulos incidentes en cada vértice no es mayor que 2 (convexa)3. La superficie resultante es homeomorfa a la esferadefine una métrica poliédrica (convexa)
Encontrar un emparejamiento “legal” (net) del borde del polígono
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Poliedros 7
De la cartulina al poliedro
1.- Dado un polígono, ¿se puede plegar a un poliedro?a
a
b
b
cc
dde
e
ff
g g
bc
da
e
g
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Poliedros 8
2.- ¿Hay un único emparejamiento “legal”?
Shepard (1975), un polígono con dos emparejamientos “legales”Lubiw, O’Rourke (1996), ¡5 emparejamientos “legales” de la cruz latina!
v12
v1=v5=v7v0=v10=v8
v2=v4v11=v13
v3
v6
v10
v0 v1
v2
v3v4
v5v6
v7v8
v9
v11 v11v12
v13
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Poliedros 9
2.- ¿Hay un único emparejamiento “legal”?
Shepard (1975), un polígono con dos emparejamientos “legales”Lubiw, O?Rourke (1996), ¡5 emparejamientos “legales” de la cruz latina!
v10
v0 v1
v2
v3v4
v5v6
v7v8
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Poliedros 10
3.- Problema de decisión
Lubiw, O’Rourke (1996)
Algoritmo con programación dinámica, complejidad O(n2), que comprueba las condiciones de Aleksandrov, pegando arista con arista.(suma de ángulos menor que 2)
Dado un polígono P, ¿admite un emparejamiento legal”?
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Poliedros 11
1
2
34
5
4.- Plegado de polígonos convexos
Pegado semiperimetral
Todo polígono convexo se puede plegar a un politopo
(DDLO, 00)
x punto de Py semiperimetral opuesto(x,y) (y,x)
y
x
El pegado es legal:- aristas iguales- ángulo 2 en no vértices- ángulo < 2 en vértices- homeomorfo a esfera
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Poliedros 12
4.- Plegado de polígonos convexos (DDLO, 00)
Todo polígono convexo se pliega a una cantidad no numerable depolitopos no congruentes
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Poliedros 13
5.- Polígonos no plegables
Existen polígonos no plegables a ningún poliedro convexo
(DDLO, 00)
La probabilidad de que un polígono aleatorio pueda plegarse a un poliedro convexo tiende a 0 cuando n
b
a c
a, b, c vértices cóncavos
- pegar a con cángulo >2
- pegar b con un convexo
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Poliedros 14
6.- Desarrollos ambiguos
Existen polígonos con dobleces ambiguos (Rote, 97)
Se pueden construir dos poliedros convexos combinatoriamente distintos desde este desarrollo, respetando las mismos dobleces
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Poliedros 15
7.- Problema de construcción
Dado un emparejamiento legal, construir el único poliedro convexo
(a) ¿Cuáles son las aristas del poliedro? (Dobleces en el polígono)(b) Construcción del poliedro
(a) Los dobleces forman parte de los caminos mínimos (Aronov, O’Rourke)arreglo de segmentos con O(n5) vértices
No se conoce algoritmo para aislar los dobleces
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Poliedros 16
7.- Problema de construcción
(b) Los dobleces determinan las caras del poliedro y sus adyacencias
(a) ¿Cuáles son las aristas del poliedro? (Dobleces en el polígono)(b) Construcción del poliedro
Teorema de rigidez de CauchyLos poliedros convexos con las mismas caras y combinatoriamente equivalentes son congruentes
Este teorema garantiza la unicidad y el de Aleksandrov la existencia del poliedro
Dado un emparejamiento legal, construir el único poliedro convexo
O’Rourke, 2000, aproximación numérica para pocos vértices¿algoritmo combinatorio?
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Poliedros 17
7.- Problema de construcción
Dado un conjunto de polígonos convexos, sin información de adyacencias, a) ¿se pueden ensamblar en un poliedro convexo?b) ¿el poliedro es único?c) si existe, ¿cómo construirlo?
Más cuestiones abiertas
La conjetura es que son problemas NP-duros
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Poliedros 18
Del poliedro a la cartulina
1.- ¿Todo poliedro convexo puede cortarse a lo largo dealgunas aristas y desarrollarse a un polígono simple yplano sin solapamientos?
Shepard (1975), Durero (~1500)
Interés en aplicaciones industriales
Wang (1997), Gupta (1998)PROBLEMA
ABIERTO
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Poliedros 19
Un desarrollo con solapamiento
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Poliedros 20
Programas basados en heurísticas
UnfoldPolytope (Mathematica, Namiki y Fukuda)HyperGami (Macintosh, también no convexos)Touch-3D (comercial) (usa piezas múltiples)
Explorando “a mano”, la mayoría de los cortes conducen a desarrollos que no se solapan, pero ...
El 99% de los desarrollos de un poliedro, n>70, se solapan
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Poliedros 21
2.- ¿Y si permitimos cortes a lo largo de las caras?
La respuesta entonces es afirmativa
• desarrollo en estrella (AAOS, 1997) se corta desde un punto genérico x a lo largo de loscaminos mínimos desde x a los vértices del poliedro
• desarrollo en fuente (MMP, 1987)se corta a lo largo de los puntos con más de un caminomínimo al punto fuente
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Poliedros 22
2.- Desarrollo en estrella de un cubo
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Poliedros 23
3.- ¿Y si el poliedro no es convexo?
Hay poliedros que no se pueden desarrollar mediante cortes en las aristas
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Poliedros 24
Estos ejemplos NO son topológicamente convexos
Q es topológicamente convexo si su grafo es isomorfo al de un poliedro convexo
Teorema de Steinitz
Q es topológicamente convexo si su grafo es 3-conexo y planar
En esta clase están incluidos los poliedros con caras convexas y homeomorfas a discos.
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Poliedros 25
4.- ¿ Todo poliedro topológicamente convexo se puededesarrollar mediante cortes en las aristas?
La respuesta es NO Bern, Demaine, Eppstein, Kuo (1999)
Incluso con todas las caras triangulares
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Poliedros 26
El sombrero de la bruja
, cumplen que 2+2()>2, o sea, >
30º , < 90º
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Poliedros 27
Desarrollo de un poliedro
Corte C de un poliedro QUnión de cadenas poligonales sobre Q, tales que cortando a lo largo de C resulta una superficie conexa QC, isométrica al plano y sin solapamientos.
La forma plana se llama un desarrollo de Q
C
Desarrollo por aristas
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Poliedros 28
Desarrollo de un poliedro
Curvatura de un vértice 2 (suma ángulos de las caras)
Si v curvatura positiva, se requiere un corte para desarrollarSi v curvatura negativa, se requieren dos cortes, al menos, para aplanar
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Poliedros 29
Lema 1Todo corte de un poliedro es acíclico y alcanza los vértices de curvatura no nula
Si hubiera un ciclo el desarrollo tendría más de una piezaEl entorno de un vértice no alcanzado no se puede aplanar
Lema 2Todo corte de un poliedro contiene más de un segmento incidente en cada vértice de curvatura negativa
No se podría aplanar en otro caso
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Poliedros 30
Lema 3Todo corte de un poliedro convexo es un árbol
Supongamos que el corte C es un bosque no conexo
Existe un camino cerrado en Q,que evita los cortes y encierra unacomponente conexa de C
Teorema de Gauss-Bonnet en Qk() + = 2
k() es la curvatura encerrada por
k() 0 por convexidad k() > 0 porque hay algún vértice
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Poliedros 31
Lema 3Todo corte de un poliedro convexo es un árbol
Supongamos que el corte C es un bosque no conexo
Existe un camino cerrado en Q,que evita los cortes y encierra unacomponente conexa de C
Teorema de Gauss-Bonnet en Qk() + = 2
es el ángulo de giro total a lo largo del camino
= 2 CONTRADICCIÓN
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Poliedros 32
Lema 3Todo corte de un poliedro convexo es un árbol
Si el poliedro no es convexo, un corte puede originar que el desarrollo no sea un polígono simple
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Poliedros 33
El sombrero de la bruja
2+2() > 2Si >
vértices medios
los vértices curvatura negativa
vértice punta
Sombrero ABIERTO
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Poliedros 34
El sombrero de la bruja
Lema 4Un sombrero H (,,l) con >, admite a lo más un desarrollo por aristas (salvo simetría)
Sea C un corte de H. C es un bosque que pasa por la punta y los medios. Los medios no son hojas de C, luego en C hay un vértice de la base. Y sólo uno para no desconectar. Así las hojas de C son la punta y un vértice de la base.
El corte es un camino de la punta a la base
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Poliedros 35
El sombrero de la bruja
Lema 5Si 60º entonces el sombrero H (,,l) es desarrollable por aristas para cualquier valor de y de l.
Si < 60º entonces el sombrero H (,,l) no es desarrollable por aristas para un valor de suficientemente grande y cualquier valor de l
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Poliedros 36
El sombrero de la bruja
Caso = 60º
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Poliedros 37
El sombrero de la bruja
Caso > 60º
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Poliedros 38
El sombrero de la bruja
Caso < 60ºsi es suficientemente grande
SOLAPAMIENTO!!
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Poliedros 39
SOLAPAMIENTO!!
El sombrero de la bruja
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Poliedros 40
Poliedro de caras convexas sin desarrollo por aristas
Teorema
Si se coloca un sombreroH(,,l) en cada cara de un octaedro regular, con las condiciones
/4 < </3 , l>2, suf. grande,
el poliedro así construido, no admite desarrollo por aristas
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Poliedros 41
Curvatura de los vértices
- negativa en por >- negativa en por > 45º- positiva en
Un corte C es un bosque generadorh hojas de C, sólo en las puntasC tiene a lo más h -2 vértices de grado >2existen dos sombreros cuyas puntasson hojas y cuyos vértices medios son de grado 2
Poliedro de caras convexas sin desarrollo por aristas
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Poliedros 42
Sólo hay dos posibles desarrollos para esos sombreros
Solapamiento por < 60º
Poliedro de caras convexas sin desarrollo por aristas
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Poliedros 43
Sólo hay dos posibles desarrollos para esos sombreros
Si se acerca a 90º, los trapecios se solapan
Poliedro de caras convexas sin desarrollo por aristas
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Poliedros 44
Desarrollo general
Poliedro de caras convexas sin desarrollo por aristas
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Poliedros 45
Poliedro (abierto) sin desarrollo
Existen poliedros no convexos, abiertos y de caras triangulares que no admiten un desarrollo (general unfolding)
v con curvatura negativa
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Poliedros 46
Desarrollo verticial (vertex-unfolding)
Las caras del poliedro se unen por vértices (o por aristas)
Todo poliedro simplicial (caras triangulares), de cualquier género,admite un desarrollo verticial en tiempo lineal
DEEHO, 2001
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Poliedros 47
Desarrollo verticial (vertex-unfolding)
Camino desarrollablexf0yezf3w
Desarrollo verticial
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Poliedros 48
Desarrollo verticial (vertex-unfolding)
Todo poliedro simplicial (caras triangulares), de género cero,admite un desarrollo verticial en tiempo lineal, en bandas paralelas de forma que cada banda contenga un triángulo.
Problemas abiertos- Extender el resultado anterior a cualquier género- Todo poliedro con caras homeomorfas a discos, ¿admite un desarrollo verticial?- Un poliedro en R4 , ¿admite un desarrollo verticial?
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Poliedros 49
Referencias
• A. Lubiw, J. O’Rourke, When can a Polygon fold to a Polytope?TR 48, Dept. Comp. Sci., Smith College, 1996
• J. O’Rourke: Folding and Unfolding in Computational Geometry,Proc. Japan Conf. Discrete and Comput. Geometry, 1998 (ftp://cs.smith.edu/pub/orourke.papers/jp.ps.gz)
• E. Demaine, M. Demaine, A. Lubiw, J. O’Rourke, Examples, Counterexamples, and enumeration results for foldings andunfoldings between Polygons and Polytopes, TR 69, Smith College, 2000, (http://www.arXiv.org/abs/cs.CG/0007019)
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Poliedros 50
Referencias
• M. Bern, E. Demaine, D. Eppsteein, E. Kuo, A. Mantler, J. Snoeyink, Ununfoldable Polyhedra with convex faces, Comput. Geometry, 24, pp. 51-62, 2003(http://www.arXiv.org/abs/cs.CG/9908003)
• E. Demaine, D. Eppstein, J. Erickson, G. Hart, J. O’Rourke, Vertex-Unfoldings of Simplicial Polyhedra(http://www.arXiv.org/abs/cs.CG/0107023)
• http://theory.lcs.mit.edu/~edemaine/folding/• http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/open/unfold.html• http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/unfold.html