poligoni (convessi) che cosa è un poligono? che cosa è un insieme convesso? fine
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POLIGONI (CONVESSI)
Che cosa è un poligono?
Che cosa è un insieme convesso?
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Che cosa è un insieme convesso?
fine
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSI
fine
NON CONVESSI
CONVESSO
fine
CONVESSO
Un insieme X di punti del piano(dello spazio)
con la seguente proprietà:
se A e B sono punti qualsiasi di Xil segmento AB è tutto contenuto in X
fine
NON CONVESSO
fine
NON CONVESSO
Un insieme X di punti del piano(dello spazio)
con la seguente proprietà:
ci sono almeno due punti A e B di Xper i quali il segmento AB
non è tutto contenuto in X
fine
TeoremaL’intersezione di due insiemi convessi è un insieme convesso.DimostrazioneIpotesi: 1) X è un insieme convesso2) Y è un insieme convessoTesiX Y è un insieme convessoN. B. X Y è l’insieme dei punti che stanno contemporaneamente in X e Y
fine
X
Y
X Y
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.
fine
X
Y
Prendiamo due punti A e B in X Y e costruiamo il segmento AB.Poiché X è convesso, AB è tutto contenuto in X.Poiché Y è convesso, AB è tutto contenuto in Y.Allora AB è tutto contenuto in X Y .
A
B
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Partiamo da:
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE
fine
fine
Questo (modello di) fogliorappresenta il piano della geometria di Euclide
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piano
fine
fine
retta
fine
fine
fine
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Semipiano 1
Semipiano 2
fine
Semipiano 1
Semipiano 2
I semipiani sono insiemi convessi
fine
fine
fine
angolo
POLIGONI (CONVESSI)
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE
fine
POLIGONI (CONVESSI)
ANGOLO INTERSEZIONE (NON VUOTA)
DI DUE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON PARALLELE
fine
Gli angoli (così definiti) sono insiemi convessi (Teorema)
POLIGONI (CONVESSI)
TRIANGOLOINTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON
PARALLELEdati A, B, C, si scelgono
S(A) semipiano di origine BC contenente AS(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C
fine
POLIGONI (CONVESSI)
TRIANGOLOINTERSEZIONE (NON VUOTA) DI TRE SEMIPIANI CON RETTE ORIGINE NON
PARALLELEdati A, B, C, si scelgono
S(A) semipiano di origine BC contenente AS(B) semipiano di origine AC contenente B S(C) semipiano di origine AB contenente C
fine
I triangoli sono insiemi convessi(Teorema)
fine
fine
triangolo
POLIGONI (CONVESSI)
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI
A B C D sono scelti in modo cheAB sono nello stesso semipiano di origine CDBC sono nello stesso semipiano di origine ADCD sono nello stesso semipiano di origine ABDA sono nello stesso semipiano di origine BC
fine
POLIGONI (CONVESSI)
QUADRANGOLO (CONVESSO) ABCD(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI QUATTRO SEMIPIANI
A B C D sono scelti in modo cheAB sono nello stesso semipiano di origine CDBC sono nello stesso semipiano di origine ADCD sono nello stesso semipiano di origine ABDA sono nello stesso semipiano di origine BC
fine
I quadrangoli così definiti sono insiemi convessi (Teorema)
fine
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
POLIGONI (CONVESSI)
PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI
A B C D E sono scelti in modo cheABC sono nello stesso semip. di origine DEBCD sono nello stesso semip. di origine AECDE sono nello stesso semip. di origine ABDEA sono nello stesso semip. di origine BCEAB sono nello stesso semip. di origine CD
fine
POLIGONI (CONVESSI)
PENTAGONO(CONVESSO) ABCDE(nell’ordine)
INTERSEZIONE (NON VUOTA) DI CINQUE SEMIPIANI
A B C D E sono scelti in modo cheABC sono nello stesso semip. di origine DEBCD sono nello stesso semip. di origine AECDE sono nello stesso semip. di origine ABDEA sono nello stesso semip. di origine BCEAB sono nello stesso semip. di origine CD
fine
I pentagoni così definiti sono insiemi convessi (Teorema)
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
fine
convessi
nonconvessi
POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
fine
E ripeto per tutti i vertici!
fine
E ripeto per tutti i vertici!
fine
E ripeto per tutti i vertici! Ho trovato 2 vertici che separano!
fine
POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
il poligono convesso A1 A2 ……….An-1 An
è costituito dall’intersezione di tutti isemipiani che hanno le seguenti proprietà:1) hanno come origine la retta per due vertici
adiacenti;2) contengono tutti gli altri vertici.
fine
POLIGONI (CONVESSI)DATI n VERTICI (in un dato ordine)
A1 A2 ……….An-1 An
diciamo che i vertici Ak e Ak+1sono adiacenti(diciamo che anche A1 e An sono adiacenti).Per costruire un poligono convesso, consideron punti con la proprietà seguente:
ogni retta che contiene due vertici adiacentinon separa gli altri vertici,
cioè li lascia tutti nello stesso semipiano
fine
POLIGONI (CONVESSI)
Lato del poligono: ogni segmento che congiunge due vertici adiacenti Diagonale del poligono:ogni segmento che congiunge due vertici non adiacentiLe rette per i lati non separano i vertici.Le rette per le diagonali separano i vertici.
fine
acutangolo rettangolo ottusangolo
scaleno
isoscele
Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi
Triangoli
fine
acutangolo rettangolo ottusangolo
scaleno
isoscele
Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi
Triangoliequilatero
fine
Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi
Quadrangoli
Trapezi: quadrangoli con (almeno) due lati paralleli;Parallelogrammi: Quadrangoli con due coppie dilati paralleli.
Rettangoli: Parallelogrammi con 4 angoli congruenti (retti)Rombi: Parallelogrammi con 4 lati congruenti
Quadrati: Parallelogrammi con4 angoli congruenti (retti) e4 lati congruenti
fine
Classificazione di alcuni insiemidi poligoni convessi
trapezi
rettangoli rombiquadrati
parallelogrammi
Quadrangoli
fine