República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

Universidad Nacional Experimental Politécnica de la Fuerza Armada

Ingeniería de Telecomunicaciones

Dibujo Técnico

Profesora:

Alicia Parra Alumno:

Jesús Montero

CI: 23926611

Polígonos Regulares

Polígonos regulares

En geometría, se denomina polígono regular a un polígono cuyos lados y ángulos interiores son congruentes entre sí. Los polígonos regulares de tres y cuatro lados se llaman triángulo equilátero y cuadrado, respectivamente. Para polígonos de más lados, se añade el término regular (pentágono regular, hexágono regular, octágono regular, etc.). Solo algunos polígonos regulares pueden ser construidos con regla y compás.

Propiedades de un polígono regular

Los polígonos regulares son polígonos equiláteros, puesto que todos sus lados son de la misma medida.

Los polígonos regulares son equiángulos, puesto que todos sus ángulos interiores tienen la misma medida.

Los polígonos regulares se pueden inscribir en una circunferencia.

Elementos de un polígono regular

Lado, L: es cada uno de los segmentos que forman el polígono. Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Centro, C: el punto central equidistante de todos los vértices. Radio, r: el segmento que une el centro del polígono con uno de sus

vértices. Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, hasta el centro del

polígono. Diagonal, d: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de la medida de su contorno. Sagita, S: parte del radio comprendido entre el punto medio del lado y el

arco de circunferencia. La suma de la apotema: a más la sagita: S, es igual al radio: r.

Tipos de polígonos regulares

Todos los cuerpos geométricos que cumplen con estas propiedades son considerados polígonos regulares, todos poseen los mismos elementos pero ninguno es parecido al otro los diferentes polígonos regulares son:

Triángulo equilátero

En geometría, un triángulo equilátero, es un polígono regular con tres lados iguales. En la geometría euclídea tradicional, los triángulos equiláteros también son equiangulares, es decir, los tres ángulos internos también son congruentes entre sí, cada ángulo vale 60°.

Construcción

Todo triángulo equilátero consta de tres lados iguales y tres ángulos congruentes entre sí. Teniendo esto en cuenta, su construcción puede resultar muy compleja. Para lograr una congruencia en los lados, es aconsejable trazar el triángulo dentro de una esfera (circunscrito), para ello se pueden emplear los siguientes pasos:

Trazar la circunferencia con el compás. Trazar un radio y, a partir de éste, marcar con el transportador un ángulo

de 120°. Partiendo del trazo anterior, trazar otro ángulo de 120° (puede hacerse

nuevamente con el transportador o auxiliándose del compás). Unir los puntos.

Una alternativa puede ser la siguiente:

Teniendo dos puntos unidos en línea recta (A y B). Trazar una circunferencia con centro en A con radio igual a la distancia

entre A y B. Trazar una circunferencia con centro en B con radio igual a la distancia

entre A y B. Siendo Γ el punto en el que se cortan las dos circunferencias

construidas, unir Γ con A y B.

Cuadrado

Un cuadrado en geometría plana es un cuadrilátero regular; esto es una figura del plano con sus cuatro lados iguales, y sus cuatro ángulos que son de 90º. Sus dos únicas diagonales son de igual longitud y perpendiculares entre sí. Tiene 4 ejes de simetría, cuya intersección es el centro de la figura; dos ejes que pasan por cada par de lados opuestos; otros dos que pasan por vértices opuestos de la figura.

Construcción trazada con regla y compás

arca el punto O donde quieras el centro del cuadrado. Traza una línea horizontal que pase por dicho punto O. Haciendo centro en el punto O traza una circunferencia de un diámetro d

cualquiera, esto genera dos puntos de intersección con la recta horizontal del paso 2.

Sin variar la apertura del compás y haciendo ahora centro en alguna de las dos intersecciones del paso 3, traza un arco hasta cortar en dos puntos la circunferencia inicial.

Uniendo los dos puntos hallados en el paso 4 con una línea recta (vertical), dicha recta generará un nuevo punto de intersección sobre la recta horizontal inicial.

Haz centro con el compás en el punto hallado en el paso 5 y abre el mismo hasta el punto central O y traza una semicircunferencia que intercepte en dos puntos a la línea vertical del paso 5.

Traza una línea recta que pase por uno de los puntos del paso 6 y por el punto central O, extendiéndola hacia ambos lados hasta intersecar a la circunferencia inicial de paso 3, esto genera sobre la misma dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de una de las diagonales.

Repitiendo el paso anterior pero ahora con el otro punto del paso 6 y el punto central O, obtendrás los dos puntos que son vértices opuestos del cuadrado y también extremos de la segunda diagonal.

Luego uniendo de modo cíclico con líneas rectas los cuatro puntos vértice hallados en los dos pasos anteriores, habrás obtenido finalmente el cuadrado.

Pentágono

En geometría, se denomina pentágono a un polígono de cinco lados y cinco vértices. Un pentágono regular es aquél que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos internos congruentes.

Cada ángulo interno mide 108 grados o 3\pi/5 radianes. Cada ángulo externo del pentágono regular mide 72º.

Construcción de un pentágono regular

Trazamos dos rectas perpendiculares por el centro O de la circunferencia (PD y OQ en la figura). Determinamos el punto medio M del segmento OQ y trazamos la recta PM. Con centro en M, trazamos la circunferencia de radio MO. Denotemos con R y S las intersecciones de esta circunferencia con la recta PM. Las circunferencias de centro en P y radios PR y PS determinan los vértices del pentágono regular.

Uniendo los vértices del pentágono, se obtiene un pentagrama (estrella de 5 puntas) inscrito en él. En el centro quedará otro pentágono regular, con lo que el proceso de inscribir pentagramas en los sucesivos pentágonos que se vayan generando, matemáticamente, no tiene fin.

Una alternativa puede ser la siguiente:

Hexágono

Un hexágono o exágono es un polígono regular convexo con seis lados iguales y seis ángulos iguales.

Construcción de un hexágono regular

Un hexágono regular puede construirse utilizando únicamente una regla y compás:

Dado un punto O cualquiera, trazar una circunferencia cuyo radio sea igual al lado del hexágono a construir;.

Elegir un punto A sobre la circunferencia y trazar un diámetro que cruce O y A. Marcar el otro punto donde este diámetro interseca la circunferencia como D;.

Apoyando el compás en el punto A, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como B y F;.

Apoyando el compás en el punto D, trazar un arco que cruce O, cortando a la circunferencia en dos puntos, marcados como C y E.

Heptágono

Un heptágono es un polígono con siete lados y siete vértices. En un heptágono regular, aquel cuyos lados y ángulos son iguales, los lados se unen formando un ángulo de aproximadamente 128,57º o exactamente 5π/7 radianes. Cada ángulo externo del heptágono regular mide aproximadamente 51,43º ó exactamente 2π/7 radianes.

Construcción de un heptágono regular

1º- Trazamos un diámetro. 2º- Trazamos un arco de igual radio a la cir. Desde un extremo. 3º- Unimos a con b obteniendo m. am es el lado del heptágono. 4º- Con arcos de radio ab trazamos arcos sobre la cir. 5º- Unimos los puntos

Octógono

Octógono u octágono es una figura plana con ocho lados y ocho vértices, es decir, un octágono regular es un polígono regular de ocho lados, por tanto, tiene sus lados y ángulos iguales (congruentes) y los lados se unen formando un ángulo de 135º ó 3\pi/4 rad. Cada ángulo externo del octógono regular mide 45º ó \pi/4 rad.

Construcción de un octógono regular

1º- Trazamos un diámetro horizontal. 2º- Trazamos un diámetro perpendicular al primero. 3º- Trazamos dos bisectrices a dos cuadrantes. 4º- Hemos obtenido ocho puntos sobre la circunferencia, los unimos.

Eneágono

En geometría, un eneágono o nonágono, es un polígono de nueve lados y nueve vértices. Un eneágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del eneágono regular mide 140º ó 7\pi/9 rad. Cada ángulo externo del eneágono regular mide 40º ó 2\pi/9 rad.

Construcción de un eneágono regular

1º Trazamos la mediatriz del segmento. 2º Desde un extremo del segmento y con radio igual a este. Trazamos

un arco que corta a la mediatriz. 3º Desde el punto obtenido en la mediatriz con el arco hacemos centro

de compás abriéndolo hasta no delos extremos del segmento y trazamos una circunferencia que debe de pasar por ambos extremos del segmento.

Nos aseguraremos de que la mediatriz corte a la circunferencia por la parte superior. De este modo la mediatriz ahora es un diámetro de la circunferencia. A continuación dividiremos el radio superior de este diámetro en seis partes iguales mediante Thales de Mileto.

4º Trazamos un segmento auxiliar desde el extremo superior del diámetro.

5º dividimos el segmento auxiliar en seis partes iguales (con compás) 6º Unimos el último extremo del seg. aux. con el centro de la

circunferencia que será la parte nº 6, siendo el extremo superior del diámetro la parte nº 12.

7º Trazamos paralelas por las marcas hechas sobre el segmento auxiliar obteniendo así las 6 divisiones buscadas.

En este caso buscamos un eneágono. Por ello haremos centro de compás en la división nº 9 Si buscáramos un polígono de nº distinto de lados haríamos centro en la división del radio de igual número.

8º Hacemos centro en la división correspondiente con el número de lados que buscamos. Abrimos el compás hasta uno de los extremos del segmento dado en el enunciado y trazamos una circunferencia. La circunferencia debe de pasar también por el otro extremo del segmento.

9º Con ayuda del compás repetimos la medida del segmento dado en el enunciado sobre la circunferencia.

10º Finalmente podemos trazar el polígono de nueve lados que pide el enunciado.

Decágono

En geometría, se denomina decágono a un polígono de diez lados y diez vértices, dicho esto se puede definir como un polígono regular a un decágono, como aquel que tiene sus diez lados de igual longitud y todos los ángulos internos de la misma graduación. Una característica de un decágono regular es que si se inscribe en una circunferencia el lado resulta ser la sección áurea del radio. Los ángulos internos de un decágono miden 144º o 4\pi/5 rad. Cada ángulo externo del decágono regular mide 36º o \pi/5 rad.

Construcción de un decágono regular

Podemos realizarlo igual que el eneágono solo que haciendo centro en el 10 en vez del 9 para así conseguir el número de lados correspondiente, este procedimiento es conocido como método general ya que funciona para construir diferentes polígonos dependiendo del número de lados.

Endecágono

En geometría, un endecágono o undecágono es un polígono de 11 lados y 11 vértices. Un endecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del endecágono regular mide 147,27º periodo o exactamente 9\pi/11 rad. Cada ángulo externo del endecágono regular mide aproximadamente 32,73º ó exactamente 2\pi/11 rad.

Construcción de un endecágono regular.

Puede realizarse con el método general haciendo centro en el número de lados deseado en este caso 11.

Dodecágono

En geometría, un dodecágono es un polígono de 12 lados y 12 vértices. Un dodecágono regular es un dodecágono con igual longitud en todos sus lados y cuyos ángulos internos tienen todos la misma medida: 150º ó 5\pi/6 rad. Cada ángulo externo del dodecágono regular mide 30º ó \pi/6 rad.

Construcción de un dodecágono regular

Este polígono regular se puede construir con un compás y con una regla.

Tridecágono

En geometría, un tridecágono es un polígono de 13 lados y 13 vértices. Un tridecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del tridecágono regular mide aproximadamente 152º o exactamente 11\pi/13 rad. Cada ángulo externo del tridecágono regular mide aproximadamente 27,69º ó exactamente 2\pi/13 rad.

Construcción de un tridecágono regular

1º Trazamos una circunferencia con el radio que nos han indicado y trazamos un diámetro vertical.

DIVIDIMOS EL DIAMETRO EN TANTAS PARTES COMOLADOS QUEREMOS QUE TENGA EL POLIGONO

2º Desde el extremo superior trazamos una semirecta auxiliar y la dividimos en tantas partes con queremos dividir el diámetro (podemos hacerlo con el compás o con la regla graduada).

3º unimos el último extremo con el extremo opuesto del diámetro. 4º Trazamos paralelas por las divisiones del segmento auxiliar

obteniendo la división del diámetro en n partes iguales.

5º con radio igual al diámetro de la circunferencia y desde los extremos de este trazamos dos arcos que nos darán un foco.

6º desde el foco trazamos rectas por las divisiones pares. En los extremos contrarias de la circunferencia obtendremos la mitad de los vértices de la solución el punto 0 del diámetro también lo incluimos, aunque dada su situación no hemos necesitado trazar una recta puesto que este ya se encuentra sobre la circunferencia.

7º Repetimos la última operación desde el lado contrario.

8º Unimos todos los puntos obtenidos sobre la circunferencia, recordando contar con el punto 0 del diámetro.

Tetradecágono

En geometría, un tetradecágono es un polígono de 14 lados y 14 vértices. Un tetradecágono regular es el que tiene todos sus lados de la misma longitud y todos sus ángulos internos iguales. Cada ángulo interno del tetradecágono regular mide aproximadamente 154,29º o exactamente 6\pi/7 rad. Cada ángulo externo del tetradecágono regular mide aproximadamente 25,71º ó exactamente \pi/7 rad.