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Polinomio di interpolazione nella forma di Lagrange
Polinomio di interpolazione nella forma di Lagrange
Si dimostra che è IL polinomio di interpolazione. Cambia solo la rappresentazione.
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Esempio: interpolazione di funzione
Costo computazionale • Per calcolare
per il den. e numeratore sono necessari n-1 prodotti.
• Non è possibile usare lo schema di Horner
• Se si aggiunge un punto di osservazione, occorre ricalcolare tutti gli
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• Ricaviamo una diversa rappresentazione del polinomio di interpolazione con minore complessità computazionale e in modo da poter derivare un polinomio di grado superiore da quello di grado inferiore.
Differenze divise• Se n=0
– Abbiamo un solo punto–
• Se n = 1– Abbiamo 2 punti– Il polinomio cercato è la retta passante
per i due punti–
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Differenza divisa relativa ai nodi
Se si sta interpolando una funzione si ha e si indica come
Proprietà• Simmetria
• RicorsivitàOrdine 2
Ordine m
Ordine 0
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Tabella delle differenze divise
Polinomio di interpolazione nella forma di Newton
• Si dimostra che il polinomio
è il polinomio di interpolazione della funzione nei nodi
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Osservazioni• Si può costruire in modo ricorsivo:
dove è il polinomio di interpolazione di grado k sui k +1 nodi
Vantaggi della rappresentazione di Newton
• Aggiungere un nodo, cioè cercare il polinomio di interpolazione di grado superiore, comporta l’aggiunta di una riga della tabella delle differenze divise;
• Il polinomio può essere valutato mediante lo schema di Horner;
• La complessità computazionale è la metà rispetto alla rappresentazione di Lagrange.
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Esempio di prima
Grafico
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Osservazioni• In generale, se è un polinomio
di grado non superiore ad n, allora
• Altrimenti il polinomio di interpolazione assume valori diversi dalla funzione.
• Funzioni diverse possono avere lo stesso polinomio di interpolazione.
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Errore di interpolazione
• Si ha che ma in generale
• Se si dimostra che
Grafico dell’errore
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Stima dell’errore
Fattori che influiscono sull’errore
• La regolarità della funzione ;• Il numero di punti su cui si interpola e
quindi il grado del polinomio di intepolazione;
• La funzioneche dipende solo dai punti
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Possibili strategie per minimizzare l’errore
1. Aumentare il numero di punti– Significa aumentare il grado del
polinomio di interpolazione
2. Rendere la quantità più piccola possibile.
– significa cercare i nodi che rendono la funzionepiù piccola possibile
Primo caso• E’ vero che se aumentiamo il grado
del polinomio noi rendiamo più piccolo l’errore?
• La risposta è NO
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Controesempio• Funzione di Runge
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• Quindi non si può affermare che aumentando il grado del polinomio di interpolazione la funzione venga approssimata con più accuratezza
Secondo caso• Cerchiamo di rendere minima la
quantità
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Polinomi di Chebychev• Sono polinomi di grado crescente
definiti in [-1,1]
• Per n=0
• Per n=1
Formule ricorsive
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Osservazione• Il coefficiente della x di grado
massimo per il ploinomio di Chebychev di grado n è
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Zeri dei polinomi di Chebychev
Estensione dei polinomi di Chebychev
• Abbiamo definito i polinomi di Chebychev in [-1,1]
• Li possiamo definire in qualunque intervallo [a,b]
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Teorema
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Osservazione• Il polinomio ha le
seguenti proprietà:– È di grado n;– È monico (il coefficiente di del
polinomio è proprio );– Si annulla negli n zeri di Chebychev
Conclusione• Il polinomio
è monico. Per il teorema precedente si ha
Per rendere più piccola possibile dobbiamo scegliere come nodigli zeri dei polinomi di Chebycev. In questo caso si ha anche
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Esempio di Runge