polinomios

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1 Guรญa de trabajo Nยบ 5 OBJETIVO Nยบ 3: General: Estudiar las determinantes Especรญficos: Definir determinantes Calcular el valor de determinantes Conocer las propiedades de los determinantes POLINOMIOS I. Definiciรณn de Polinomios: Se llama polinomio a la siguiente expresiรณn por ejemplo: = + + โˆ’ + โˆ’ Donde cada nรบmero que acompaรฑa a las se llama coeficiente , cada expresiรณn que estรก entre los signos mรกs o menos se llama tรฉrmino , los pequeรฑos nรบmeros que estรกn sobre las variables se llaman exponentes de cada tรฉrmino y el nรบmero que no estรก acompaรฑado de la variable se llama tรฉrmino independiente . Los polinomios se pueden representar con cualquier letra mayรบscula o variable por ejemplo: , , โ€ฆ Finalmente para que una expresiรณn sea polinรณmica la variable siempre debe tener todos sus exponentes positivos. II. Valor numรฉrico de un Polinomio: Sea un polinomio y , un nรบmero real, se llama valor numรฉrico del polinomio para = , al valor que se obtiene al sustituir por en el polinomio. Ejemplo: Dado el polinomio = โˆ’ + , halar su valor para = 1 2 = โˆ’ + = โˆ’ + = โˆ’ + = + = III. Propiedad fundamental de la divisiรณn: Dado dos polinomios y , con grado โ‰ฅ , al efectuar la divisiรณn de entre , se hallan dos polinomios y , se obtiene que < y se obtiene la propiedad fundamental de la divisiรณn que es: = โˆ™ + () Donde es el dividiendo , d es el divisor , es el cociente y es el resto o residuo del polinomio.

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Page 1: Polinomios

1

Guรญa de trabajo

Nยบ 5

OBJETIVO Nยบ 3:

General:

Estudiar las determinantes

Especรญficos:

Definir

determinantes

Calcular el valor de determinantes

Conocer las propiedades de los determinantes

POLINOMIOS

I. Definiciรณn de Polinomios:

Se llama polinomio a la siguiente expresiรณn por

ejemplo:

๐‘ท ๐’™ = ๐Ÿ‘ + ๐’™ + ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ“๐’™๐Ÿ‘ +๐Ÿ

๐Ÿ๐’™๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ๐ŸŽ๐’™๐Ÿ“

Donde cada nรบmero que acompaรฑa a las ๐’™ se llama

coeficiente, cada expresiรณn que estรก entre los signos

mรกs o menos se llama tรฉrmino, los pequeรฑos nรบmeros que

estรกn sobre las variables se llaman exponentes de cada

tรฉrmino y el nรบmero que no estรก acompaรฑado de la

variable se llama tรฉrmino independiente.

Los polinomios se pueden representar con cualquier

letra mayรบscula o variable por ejemplo: ๐‘ƒ ๐‘ฅ , ๐‘„ ๐‘ฆ , ๐‘… ๐‘ง โ€ฆ Finalmente para que una expresiรณn sea polinรณmica la

variable siempre debe tener todos sus exponentes

positivos.

II. Valor numรฉrico de un Polinomio:

Sea ๐‘ƒ ๐‘ฅ un polinomio y ๐‘Ž, un nรบmero real, se

llama valor numรฉrico del polinomio ๐‘ƒ ๐‘ฅ para ๐‘ฅ = ๐‘Ž, al valor que se obtiene al sustituir ๐‘ฅ por ๐‘Ž en el

polinomio. Ejemplo:

Dado el polinomio ๐‘ท ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ’๐’™ + ๐Ÿ“, halar su valor para

๐‘ฅ =1

2

๐‘ท ๐’™ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ’๐’™ + ๐Ÿ“

๐‘ท ๐Ÿ

๐Ÿ =

๐Ÿ

๐Ÿ ๐Ÿโˆ’ ๐Ÿ’

๐Ÿ

๐Ÿ + ๐Ÿ“ ๐‘ท

๐Ÿ

๐Ÿ =

๐Ÿ

๐Ÿ’โˆ’ ๐Ÿ + ๐Ÿ“ ๐‘ท

๐Ÿ

๐Ÿ =

๐Ÿ

๐Ÿ’+ ๐Ÿ‘ =

๐Ÿ•

๐Ÿ’

III. Propiedad fundamental de la divisiรณn:

Dado dos polinomios ๐ท ๐‘ฅ y ๐‘‘ ๐‘ฅ , con grado

๐ท ๐‘ฅ โ‰ฅ ๐‘‘ ๐‘ฅ , al efectuar la divisiรณn de ๐ท ๐‘ฅ entre ๐‘‘ ๐‘ฅ , se hallan dos polinomios ๐‘ ๐‘ฅ y ๐‘… ๐‘ฅ , se obtiene que ๐‘… ๐‘ฅ < ๐‘ ๐‘ฅ y se obtiene la propiedad fundamental de la divisiรณn que es:

๐ท ๐‘ฅ = ๐‘‘ ๐‘ฅ โˆ™ ๐‘ ๐‘ฅ + ๐‘…(๐‘ฅ)

Donde ๐ท ๐‘ฅ es el dividiendo, d ๐‘ฅ es el divisor, ๐‘ ๐‘ฅ es el cociente y ๐‘… ๐‘ฅ es el resto o residuo del polinomio.

Page 2: Polinomios

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I.- Ejercicios Propuestos

1. Hallar el valor numรฉrico de ๐‘ท ๐’™ = ๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ”๐’™๐Ÿ + ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ para los valores

๐’™ = ๐Ÿ, โˆ’๐Ÿ,๐Ÿ

๐Ÿ‘

2. Hallar el valor numรฉrico de ๐‘ท ๐’™ = ๐Ÿ’๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ“๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ‘๐’™ โˆ’ ๐Ÿ๐Ÿ para los valores

๐’™ = ๐ŸŽ, โˆ’ ๐Ÿ

๐Ÿ’

3. Considere el polinomio ๐‘ท ๐’™ = ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ”๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ y calcule su valor

numรฉrico para ๐’™ = ๐Ÿ’, โˆ’๐Ÿ,โˆ’ ๐Ÿ

๐Ÿ๐Ÿ, ๐Ÿ, ๐Ÿ—

4. Considere el polinomio ๐‘ท ๐’™ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ“ โˆ’ ๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ๐’™ + ๐Ÿ y calcule su valor

numรฉrico para ๐’™ = โˆ’๐Ÿ“,โˆ’๐Ÿ, ๐ŸŽ, ๐Ÿ

๐Ÿ

5. Calcular el valor numรฉrico del polinomio ๐‘ท ๐’™ = โˆ’๐’™๐Ÿ“ + ๐Ÿ“๐’™๐Ÿ’ โˆ’ ๐Ÿ•๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’

cuando ๐’™ = โˆ’๐Ÿ‘,โˆ’๐Ÿ

๐Ÿ, โˆ’ ๐Ÿ‘

6. Calcular el valor numรฉrico del polinomio ๐‘ท ๐’™ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ“ + ๐Ÿ‘ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ’ + ๐Ÿ•๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ โˆ’

๐Ÿ‘๐’™ + ๐Ÿ‘ ๐Ÿ‘ cuando ๐’™ = โˆ’ ๐Ÿ‘

7. Dados los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ”๐’™๐Ÿ“ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ–๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ’๐’™ โˆ’ ๐Ÿ” y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™๐Ÿ + ๐’™ + ๐Ÿ‘, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn

8. Para los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ”๐’™๐Ÿ“ โˆ’ ๐Ÿ‘๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ–๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ’๐’™ โˆ’ ๐Ÿ” y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™๐Ÿ + ๐’™ +๐Ÿ‘,comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn

9. Dados los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ”๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™ + ๐Ÿ’, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn

10. Para los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ + ๐Ÿ”๐’™ โˆ’ ๐Ÿ’ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™ + ๐Ÿ’, comprobar la

propiedad fundamental de de la divisiรณn

11. Dados los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ•๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 โˆ’ ๐Ÿ๐’™ + ๐Ÿ, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn

12. Para los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ•๐’™๐Ÿ + ๐Ÿ–๐’™ โˆ’ ๐Ÿ‘ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™๐Ÿ โˆ’ ๐Ÿ๐’™ + ๐Ÿ, comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn

13. Dados los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ’๐’™๐Ÿ + ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™ + ๐Ÿ‘, obtener el cociente y el resto de la divisiรณn

14. Para los polinomios ๐ท ๐‘ฅ = ๐Ÿ๐’™๐Ÿ‘ โˆ’ ๐Ÿ’๐’™๐Ÿ + ๐’™ โˆ’ ๐Ÿ y ๐‘‘ ๐‘ฅ = ๐’™ + ๐Ÿ‘, comprobar la propiedad fundamental de de la divisiรณn

Page 3: Polinomios

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IV. Regla de Ruffini:

Es un mรฉtodo que permite aplicar un conjunto de normas prรกcticas que

sirven para abreviar un poco el proceso de efectuar una divisiรณn por el

mรฉtodo usual, siempre y cuando el divisor sea un binomio de la forma ๐‘ฅ ยฑ ๐‘ o ๐‘Ž๐‘ฅ ยฑ ๐‘. El tรฉrmino que dividirรก a cada coeficiente del dividiendo serรก el opuesto del tรฉrmino independiente del divisor. Cabe destacar que antes

de proceder a dividir el polinomio por este mรฉtodo, hay que verificar que

el polinomio este completo y en caso de que no lo este, se debe

completar, como ya se ha visto en clase.

Por otra pare si el divisor es de la forma ๐‘Ž๐‘ฅ ยฑ ๐‘, se debe proceder a dividir el dividiendo y el divisor por el coeficiente de la variable que

es ๐‘Ž del divisor ๐‘Ž๐‘ฅ ยฑ ๐‘. Si el polinomio posee fracciones y estas se

pueden simplificar hay que hacerlo ya que facilita la resoluciรณn de las

operaciones

Ejemplo:

CASO I: forma ๐‘ฅ ยฑ ๐‘

Dados los polinomios ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ3 โˆ’ 2๐‘ฅ2 + 3 y ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ + 2, hallar el cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini

1 3 โˆ’2

โˆ’2 โˆ’2

0 8

3 โˆ’16 โˆ’2

1 1 โˆ’4 8 โˆ’13

๐ถ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 + ๐‘ฅ2 โˆ’ 4๐‘ฅ + 8 y el ๐‘… ๐‘ฅ = โˆ’13

CASO II: forma ๐‘Ž๐‘ฅ ยฑ ๐‘

Dados los polinomios ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 10๐‘ฅ2 โˆ’ 7๐‘ฅ + 5 y ๐‘„ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ +1

3, hallar el cociente y

el resto aplicando la regla de Ruffini (El coeficiente ๐‘Ž es 2)

๐‘ƒ ๐‘ฅ = 10๐‘ฅ2 โˆ’ 7๐‘ฅ + 5 =10๐‘ฅ2

2โˆ’

7๐‘ฅ

2+

5

2= 5๐‘ฅ2 โˆ’

7๐‘ฅ

2+

5

2

๐‘„ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ +1

3=

2๐‘ฅ

2+

132

= ๐‘ฅ +1

6

5

โˆ’7

2

-5

6

5

2

13

18

โˆ’1

6

5 โˆ’13

3

29

9

๐ถ ๐‘ฅ = 5๐‘ฅ โˆ’13

3 y el ๐‘… ๐‘ฅ =

29

9

CASO III: cuando el divisor es de grado mayor que 1

Page 4: Polinomios

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Dados los polinomios ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ12 โˆ’ 10๐‘ฅ6 + 7๐‘ฅ3 + 6 y ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 + 2 hallar el

cociente y el resto aplicando la regla de Ruffini (se divide el primer

termino del divisor entre cada tรฉrmino del dividendo excepto el tรฉrmino

independiente y el primer termino del divisor entre el mismo. Y al

obtener el cociente los exponentes se multiplican por el exponente del

primer tรฉrmino del divisor)

๐‘ƒ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ12 โˆ’ 10๐‘ฅ6 + 7๐‘ฅ3 =3๐‘ฅ12

๐‘ฅ3โˆ’

10๐‘ฅ6

๐‘ฅ3+

7๐‘ฅ

๐‘ฅ3

3

= 3๐‘ฅ4 โˆ’ 10๐‘ฅ2 + 7๐‘ฅ

3

0

-6

-10 7 -4

6

โˆ’2 12 -6

3 -6 2 3 0

๐ถ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ3 โˆ’ 6๐‘ฅ2 + 2๐‘ฅ + 3 โ†’ ๐ถ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ9 โˆ’ 6๐‘ฅ6 + 2๐‘ฅ3 + 3 y el ๐‘… ๐‘ฅ = 0

II.- Ejercicios Propuestos

1. Aplicar la Regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones:

a) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ5 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 3๐‘ฅ + 2 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ’ 2

b) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = โˆ’๐‘ฅ3 +2

3๐‘ฅ2 โˆ’

1

3๐‘ฅ โˆ’ 4 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ’

5

2

c) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ3 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 2๐‘ฅ รท ๐‘„ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ โˆ’1

2

d) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ3 โˆ’ 5๐‘ฅ2 + 3 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = 2๐‘ฅ + 3

e) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ4 โˆ’ 3๐‘ฅ2 + 2๐‘ฅ รท ๐‘„ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ + 2

f) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ3 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 1 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ โˆ’ 2

g) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ4 + 3๐‘ฅ3 โˆ’ 6๐‘ฅ2 + 2๐‘ฅ โˆ’ 8 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ + 3

h) ๐‘ƒ ๐‘ฅ =๐‘ฅ3

2+ ๐‘ฅ2 +

2

3 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ +

1

2

i) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 5๐‘ฅ8 โˆ’ ๐‘ฅ6 + ๐‘ฅ4 โˆ’ ๐‘ฅ2 + 1 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 1

j) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ6 โˆ’ 7๐‘ฅ4 โˆ’ 4๐‘ฅ2 + 1 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ2 โˆ’ 1

k) ๐‘ƒ ๐‘ฅ = 3๐‘ฅ18 โˆ’ ๐‘ฅ6 + 2 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ6 โˆ’ 2

l) ๐‘ƒ ๐‘ฅ =๐‘ฅ3

2+ ๐‘ฅ2 +

1

2 รท ๐‘„ ๐‘ฅ = ๐‘ฅ โˆ’

1

2