Gua 7Polinomios

1. Reducir las siguientes expresiones:

a) 2x(x+ 4) (x 1)(3x2 3x 2) + (4 3x)(x3 3x2 + 2)b)

[(x2 + x+ 3)(3x2 4x)] (3 x 2x3) + 3x+ 1

2. Determine si existen a, b R, para los cuales se cumpla que p(x) = q(x) en Pn[x].a) p(x) = 2x3 + (a b)x2 + 6x+ 4; q(x) = 2x3 + 8x2 (a+ b)x+ 4.b) p(x) = x5 + (a+ 2b)x3 + 6x2 + x 2; q(x) = x5 + 5x3 + 2bx2 + x 2c) p(x) = (a+ 3b)x4 + 3x3 x2 + x+ 1; q(x) = 3x3 + (2a+ 5b)x2 + x+ 1

3. Determine si existen a, b R para que p(x) Pn[x] verifique las condiciones dadas:a) p(x) = 2x3 + ax2 4x+ b, p(0) = ,2, p(1) = 6.b) p(x) = x4 x3 ax2 b, p(0) = 1, p(1) = 8.c) p(x) = x4 + ax3 + 2x2 + bx, p(x) = p(x).d) p(x) = (a+ b)x3 2x2 + (a b)x+ 4, p(1) = 0, p(1) = 0.

4. Encuentre el valor de k R para que:a) (x3 7x+ 5) sea factor de (x5 2x4 4x3 + 19x2 31x+ 12 + k).b) (3x3 4x2 + kx+ 6k) sea divisible por x 2.c) El resto de dividir (2x3 + 2kx2 3x+ 5) por (x+ 2) sea igual a 8.d) El resto de dividir (x3 + 2x2 (k + 2)x+ 6) por (2x+ 3) sea igual a 4.

5. Sean y las races de la ecuacion 3ax2 6bx + 4c = 0. Encuentre el valor de las siguientesexpresiones en funcion de a, b y c.

a) 1 +1

b)(+ 1

) ( + 1

) c) 2 + 2d) 1

2+ 1

2

6. Determine polinomios que tengan como races:

a) 1 +

2 y 12.b) 3 , 2 y 12 .

c) 34 y 23 .d) 0,2, 4 y 25

7. Al dividir el polinomio p(x) por (x 6) se obtiene cociente (x2 +x+ 1) y resto 4. Encuentre p(x).8. Si se divide (2x2 + 4x 7) por (x a) se obtiene resto 9. Encuentre los posibles valores de a.

1

9. Factorice en factores lineales el polinomio 2x3 3x2 17x 12 sabiendo que x 4 es un factor.10. Encuentre Q(x) y R(x) tal que P (x) = Q(x)D(x) +R(x), con P (x) = x8 +x7 +x6 +x5 +x4 +x3 +

x2 + x+ 1 y D(x) = x3 + x2 + x+ 1.

11. Encuentre el restoR(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre (x24), sabiendo que P (2) = 6,P (2) = 0.

12. Encuentre el resto R(x) obtenido al dividir el polinomio P (x) entre x2 4x 5, sabiendo queP (5) = 2, P (1) = 6.

13. Encuentre el valor de m para que la ecuacion x2 + 2(m+ 2)x+ 9m = 0 tenga races iguales.

14. Encuentre los valores de k para lo cuales la ecuacion 3x2 + (k 4)x+ 3 = 0 no tiene races reales.15. Encuentre el valor del parametro k para que en el polinomio x2 2(k + 1) + 2k + 1

a) El producto de sus races sea igual a 3.

b) La suma de sus races sea igual a 6.

16. Demuestre que si m es una raz de multiplicidad dos del polinomio Q(x) = x3 + px + q, entonces

3m2 + p = 0 y q2

4 +p3

27 = 0.

17. Determine los valores de q que hacen que el polinomio Q(x) = x3 6x + q tenga una raz conmultiplicidad dos. Encuentre esta raz.

18. Encuentre el resto R(x) que se obtiene al dividir un polinomio P (x) entre el polinomio Q(x) =(x+ 1)(x 1)(x 2), sabiendo que P (1) = 1 y P (2) = 2.

19. Dos races diferentes del polinomio A(x) = x2 + ax + b son tambien races de B(x) = x4 + ax3 +5x2 5x b = 0. Encuentre a y b.

20. Los numeros 1 y 1 son races de la ecuacion ax3 + bx2 + 3x 6 = 0. Encuentre a y b.21. El polinomio Q(x) = x3 (k+m)x2 (km)x+ 3 es divisible por (x 1) y (x 3). Calcule m y

k.

22. Se sabe que el numero 2 es una raz de multiplicidad dos del polinomio Q(x) = x3 3x2 + px+ q.Encuentre p y q.

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