polinômios e equações algébricas. fabricante de caixas uma empresa fabrica caixas de papelão....

Polinômios eequações algébricas

Fabricante de caixas

Uma empresa fabrica caixas de papelão. Para isso utiliza folhas quadradas de 20 cm de lado. O processo de fabricação aparece na figura.

20 cm

20 cm

xx x

x

xxx

x


A empresa acaba de receber uma encomenda de caixas como essa. Elas devem ter meio litro de capacidade, o que equivale a 500 cm3.

Qual deve ser o valor de x, lado dos quadradinhos a serem cortados, para que a caixa tenha o volume pedido?


Vamos, então, calcular o volume da caixa.

x

20 – 2x

20 – 2x

V = AB . h

AB = (20 – 2x)2= 400 – 80x + 4x2

V = (400 – 80x + 4x2).x

V = 4x3 – 80x2 + 400x

Deve ser V = 500,

4x3 – 80x2 + 400x = 500

4x3 – 80x2 + 400x – 500 = 0 (: 4)

x3 – 20x2 + 100x – 125 = 0

Polinômio devariável complexa

Monômio

Observe as seguintes expressões algébricas:

3x4 , –2ix6 , –13x , 4ix0 , 0x3 ,

Expressões como essas são chamadas de monômios. Elas têm alguns aspectos comuns.

Todas são o produto de uma constante complexa por uma variável, elevada a um expoente natural.

Monômio

Chamamos monômio de variável complexa toda expressão algébrica do tipo

axn x é a variável complexaa é a constante complexan é expoente natural

o complexo a é o coeficiente do monômio

se a ≠ 0, o expoente n da variável é o grau do monômio

se a = 0, o monômio é chamado monômio nulo. Seu grau não é definido.

Exemplos de monômios

–2x6

é monômio de grau 6 e coeficiente –2.

13x

é monômio de grau 1 e coeficiente 13.

4i ou 4ix0

é monômio de grau zero e coeficiente 4i.

0x3 ou 0x2 ou 0

são diferentes representações do monômio nulo.

Polinômio de variável complexa

Observe agora as seguintes expressões formadas por monômios de variável complexa:

p(x) = x2 – 5x + 2

q(x) = 6x + i

r(x) = 3x2

Expressões como essas são chamadas de funções polinomiais ou polinômios de variável complexa.


É toda expressão algébrica constituída de um monômio ou uma soma de monômios de variável complexa.

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

A forma geral:

Na forma geral, o polinômio tem apenas um termo de cada grau (ele é reduzido);

Os monômios são escritos na ordem decrescente de seus graus (ele é ordenado).


Em um polinômio, cada monômio é um termo. O termo de grau zero, que não tem a variável, é

o termo independente. Os coeficientes dos termos são chamados de

coeficientes do polinômio. O coeficiente do termo de maior grau é

chamado de coeficiente dominante do polinômio.

Um polinômio com 1, 2 ou 3 termos é chamado de monômio, binômio ou trinômio, respectivamente.

Exemplos de polinômios

p(x) = x2 – 5x + 2 é um trinômio.

Seus termos são x2, –5x e 2.

Os coeficientes são 1, –5 e 2. O termo independente é 2.

q(x) = 6x + i é um binômio.

Seus termos são 6x e i.

Os coeficientes são 6 e i. O termo independente é i.

r(x) = 3x2 é um monômio.

Seu único termo 3x2 de coeficiente 3.

Ele não tem termo independente.

Grau de um polinômio

O grau de um polinômio é o expoente de seu termo de maior grau, com coeficiente não-nulo. No caso, esse coeficiente é chamado de coeficiente dominante do polinômio.

p(x) = x3 – 5x + 2 é um polinômio de grau 3 (3º grau). Seu coeficiente dominante é 1.

q(x) = 0x2 + 6x + i é um polinômio de grau 1 (1º grau). Seu coeficiente dominante é 6.

r(x) = 5 é um polinômio de grau 0. Seu coeficiente dominante é 5.

Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.

1ª hipótese: o polinômio pode ser de 2º grau. Deve serm2 – 1 ≠

0⇒ m2 ≠ 1⇒ m ≠ ±

1 2ª hipótese: o polinômio pode ser de 1º

grau. Deve serm2 – 1 =

0m + 1 ≠

0

⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1

⇒ m ≠ –1⇒ m = 1

Exemplo

Analisar, em função do parâmetro m, o grau do polinômio p(x) = (m2 – 1)x2 + (m + 1)x – 3.

3ª hipótese: o polinômio pode ser de grau 0. Deve serm2 – 1 =

0m + 1 =

0

⇒ m2 = 1⇒ m = ± 1

⇒ m = –1⇒ m = –1

Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio

p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. Podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 3, temos

p(3) = 33 – 5.32 + 7.3 – 2

= 27 – 45 + 21 – 2

= 1

Dizemos que o valor do polinômio p(x) para x = 3 é p(3) = 1.

Valor numérico e raiz de um polinômio

Vamos considerar, por exemplo, o seguinte polinômio

p(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2. podemos atribuir à variável x qualquer valor complexo. Para x = 2, temos

p(2) = 23 – 5.22 + 7.2 – 2

= 8 – 20 + 14 – 2

= 0

O valor de p(x) para x = 2 é p(2) = 0.

Dizemos que 2 é uma raiz ou um zero do polinômio p(x). A raiz anula o polinômio.

Polinômio nulo

O polinômio que tem todos os coeficientes iguais a zero, é chamado de polinômio nulo ou identicamente nulo.

p(x) = 0x3 + 0x + 0 e q(x) = 0x + 0 são duas representações do polinômio nulo.

Qual é o grau do polinômio nulo?

Não se define o grau do polinômio nulo.

Infinitas raízes.

Quantas raízes tem o polinômio nulo?

Polinômio nulo

De modo geral definimos:

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

p(x) é nulo ⇔ a0 = an–1 = an–2 = ... = an = 0

Às vezes indicamos que p(x) é polinômio identicamente nulo, escrevendo p(x) ≡ 0.

Exemplo

Calcular os valores das constantes a, b e c, para que

p(x) = ax(x – 3) + b(2x – 1) + x(x + 5) + c – 1 seja polinômio nulo.

Primeiro vamos escrever p(x) na forma geral

p(x) = ax2 – 3ax + 2bx – b + x2 + 5x + c – 1p(x) = (a + 1)x2 + (2b – 3a + 5)x + c – b – 1a + 1 =

02b + 5 – 3a = 0

c – b – 1 = 0

⇒ a = –1

⇒ 2b – 3(–1) + 5 = 0

⇒ b = –4⇒ c – (–4) – 1 =

0⇒ c = –

3

Polinômios idênticos

Observe os seguintes polinômios:

p(x) = x2 – 4(x – 1) – 1

q(x) = x(x – 4) + 3

r(x) = (x + 2)(x – 2) – 4x + 7

Escrevendo-os na forma geral, obtemos o mesmo polinômio: x2 – 4x + 3.

Dizemos, por isso, que p(x), q(x) e r(x) são polinômios idênticos.

Polinômios idênticos

Dois polinômios são idênticos, quando escrito na forma geral tem os coeficientes de um iguais aos coeficientes do termo de mesmo grau do outro.

p(x) = a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–

1x + an

q(x) = b0xn + b1xn–1 + b2xn–2 + ... + bn–

1x + bn p(x) é idêntico a q(x) ⇔ a0 = b0 , a1 = b1, ... an = bn.

Às vezes indicamos p(x) ≡ q(x), para dizer que p(x) é idêntico a q(x).

Exemplo

p(x) = (x + a)2 + b e q(x) = c(x + 2)(x – 4) são dois polinômios tais que p(k) = q(k) para todo complexo k. Calcular as constantes a e b.

Se p(k) = q(k) para todo k, então p(x) é idêntico a q(x).

p(x) = (x + a)2 + b q(x) = c(x + 2)(x – 4)1 = c

2a = –2c

a2 + b = –8c

⇒ c = 1

⇒ 2a = –2.1

⇒ a = –1⇒ (–1)2 + b = –

8.1 ⇒ b = –

9

= x2 + 2ax + a2 + b

= c(x2 – 2x – 8)

= cx2 – 2cx – 8c

Divisão de polinômios


Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.Primeiro vamos completar o dividendo A(x). Falta o termo de 2º grau

A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1


Vamos efetuar a divisão de A(x) = 2x4 – 3x3 + x – 1 por B(x) = x2 – 2x + 3, utilizando o método da chave.

+ 11

–10x

+ 12

– 8x

4x2

– 1– 2x

– 4x2

– 3x

+ 2x2 – x3

– 1+ x–

6x2 x3

2x2

x2 – 2x + 3 +

x– 4

– 6x2

+ 4x3

–2x4

2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1


Na nossa divisão, temos:

A(x) = 2x4 – 3x3 + 0x2 + x – 1, é o dividendo; B(x) = x2 – 2x + 3, é o divisor; Q(x) = 2x4 + x – 4, é o quociente; R(x) = – 10x + 11, é o resto.

O grau de Q(x) é a diferença entre os graus de A(x) e B(x) e o grau de R(x) < grau B(x).


Dividir A(x) por B(x) é obter dois polinômios Q(x) e R(x), obedecendo às seguintes condições.

A(x) ≡ B(x).Q(x) + R(x)

grau de R(x) < grau de B(x) ou R(x) ≡ 0

A(x) é o dividendo, B(x) o divisor, Q(x) o quociente e R(x) o resto da divisão.

É importante observar que o grau do quociente é a diferença entre os graus do dividendo e do divisor.

Divisibilidade de polinômios

Veja a divisão de A(x) = x2 – 5x + 6 por B(x) = x – 2, utilizando o método da chave.

0

– 6 + 3x

+ 6 – 3x

x

x – 2– 3

+ 2x

–x2

x2 – 5x + 6

Nesse caso, o resto é polinômio nulo, R(x) ≡ 0. Dizemos, por isso, que A(x) é divisível por B(x).


Em geral, se na divisão de A(x) por B(x) o resto é o polinômio nulo, dizemos que A(x) é divisível por B(x). No caso, sendo Q(x) o quociente,

A(x) ≡ B(x).Q(x)

A(x)

B(x) =

Q(x) ou

Exemplo

Sabe-se que p(x) = x3 – x2 + ax + b é divisível por b(x) = x2 + x – 2. Calcular a e b.

(a+4)x

+ 2x

2x2

+(a+2)x

– 2x2

x

x2 + x – 2 –

2– x2–x3

x3 – x2 + ax + b +

2x+ b

– 4 + b –

4

a + 4 = 0b – 4 = 0

⇒ a = – 4

⇒ b = 4

1282 234 xxxx 402 xx2x234 40 xxx

xxx 832 23

x2

xxx 802 23

1203 2 xx

3

1203 2 xx

0

Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por D(x) = x2 + 4:

Logo: Q(x) = xQ(x) = x22 – 2x – 3 e – 2x – 3 e r(x) = 0r(x) = 0


16000 234 xxxx 1x3x34 xx

23 0xx

2x

23 xx

xx 02

x

xx 2

16 x

Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.

Logo:

Q(x) = xQ(x) = x33 – x – x22 + x - 1 + x - 1

e e

r(x) = -15r(x) = -15

1

1x

15


Divisor de 1º grau –caso particular

De grande importância no estudo dos polinômios e equações algébricas.

Teorema do resto

Vamos efetuar a divisão de p(x) = x2 – 3x + 5 por x – 2, utilizando o método da chave.

+ 3

– 2 + x

+ 5 – x

x

x – 2– 1

+ 2x

–x2

x2 – 3x + 5

Vamos calcular agora P(2), onde 2 é a raiz do divisor x – 2.

p(2) = 22 – 3.2 + 5

= 4 – 6 + 5

= 3

Teorema do resto – caso geral

Vamos obter o resto da divisão de p(x) por x – 3.Sendo o divisor de 1º grau, o resto deve ser o polinômio nulo ou um polinômio de grau 0. O resto é uma constante real, independente de x.

p(x) = (x – 3).q(x) + R

Se q(x) é o quociente, da definição de divisão podemos escrever

p(3) = (3 – 3).q(3) + R

= 0.q(x) + R

= R

Teorema do resto – caso geral

O resto da divisão de um polinômio p(x) por um divisor de 1º grau, do tipo ax + b, com a ≠ 0, é igual a p(–b/a). Onde –b/a é a raiz do divisor.

R = p(–b/a)

Exemplo

Calcular o resto da divisão de p(x) = x3 – 2x2 – 1 por x – 2.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 2.

R = p(2)

= 8 – 8 – 1

= –1= 23 – 2.22 – 1

Exemplo

O resto da divisão de p(x) = x4 – 4x3 – kx – 75 por (x – 5) é 10. Calcular o valor de k.

O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 5.

R = p(5) = 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 54 – 4.53 – k.5 – 75 = 10

⇒ 53 – 4.52 – k – 15 = 2

(: 5)

⇒ 125 – 100 – k – 15 = 2

⇒ 10 – k = 2

⇒ k = 8⇒ – k = 2 – 10

⇒ R = p(5) = 10

Teorema de D’Alembert

Conseqüência imediata do teorema do resto.

Um polinômio p(x) é divisível pelo polinômio ax + b de 1º grau (a ≠ 0) ⇔ p(–b/a) = 0.

Exemplo

Analisar se p(x) = x3 + x2 – 3x – 6 é divisível por 2x + 2 e por 3x – 6.

Os divisores são de 1º grau. Suas raízes são –1 e 2, respectivamente.

p(–1) = (–1)3 + (–1)2 – 3.(–1) – 6

= –3

= –1 + 1 + 3 – 6

p(2) = 23 + 22 – 3.2 – 6

= 0

= 8 + 4 + 6 – 6

Logo, p(x) não é divisível por 2x + 2, mas é divisível por 3x – 6.

Exemplo

Achar o valor de m, sabendo-se que o polinômio p(x) = 9x2 + mx – m + 3 é divisível por 3x – 1.O divisor é de 1º grau. Sua raiz é 1/3. Segundo o teorema de D’Alembert, devemos ter p(1/3) = 0.

9.(1/3)2 + m.(1/3) – m + 3 = 0

⇒ 9.(1/9) + m/3 – m + 3 = 0

⇒ 1 + m/3 – m + 3 = 0

⇒ m/3 – m = – 4

(x 3)

⇒ m – 3m = –12

⇒ – 2m = –12⇒ m = 6

Dispositivo de Briot-ruffini

Processo prático para efetuar uma divisão de polinômios, quando o divisor é de 1º grau.

Dispositivo de Briot-Ruffini

Vamos efetuar a divisão de p(x) = 3x4 – 4x3 – 5x2 + 4x + 9 por x – 2, utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini.Os cálculos a serem efetuados tem como ponto de partida, a raiz do divisor, no caso, a raiz é 2.

– 1

– 5

13 = R2232

94– 4 3+ + + +

xx

xx

q(x) = 3x3 + 2x2 – x + 2 e R(x) = 13

Exemplos

Na divisão de p(x) = x4 + 2x3 – x2 + k por x + 1, o resto é 4. Calcular k e o quociente da divisão.Dividindo p(x) por x + 1, pelo dispositivo de Briot-Ruffini.

–2

– 1

k – 221 1–1

k02 1+ + + +

xx

xx

q(x) = x3 + x2 – 2x + 2

e R = k – 2 = 4

⇒ k = 6

Exemplos

Provar pelo dispositivo de Briot-Ruffini que p(x) = x3 – 7x + 6 é divisível por (x + 2).(x – 3).

Primeiro vamos dividir p(x) por x + 2. Depois, o quociente obtido q(x) por x – 3.

–3

– 7

0 = R–2 1–2

60 1

Nos dois casos, obtivemos resto R = 0. Concluímos que p(x) é divisível por (x + 2).(x – 3).

0 = R1 13

Exemplos

Na equação x3 – 3x2 + x – 3 = 0, uma de suas raízes é 3. Obter as outras duas raízes.

Suponhamos p(x) = x3 – 3x2 + x – 3. Se 3 é raiz de p(x), p(3) = 0 e p(x) é divisível por x – 3.

1

1

0 = R0 13

– 3– 3 1

q(x) = x2 + 1

⇒ x2 + 1 = 0

⇒ x2 = – 1

⇒ x = i ou x = – i

Logo, as raízes da equação são 3, i e –i.

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