polinomios formales

5/10/2018 Polinomios Formales - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD DIEGO PORTALESFACULTAD DE ECONOMÍA Y EMPRESA

______________________________________________________________________________ 1Universidad Diego Portales – Ing. Comercial – Algebra – Polinomios

POLINOMIOS FORMALES

Algoritmo de la división:

Sean p(x) y d(x) dos polinomios reales , si d(x) 0 , entonces existen únicos polinomios

q(x) llamado cuociente y r(x) llamado resto, tales que p(x) = d(x)·q(x) + r(x), con r(x) = 0

ó grado r(x) < grado r(x).

Teorema del resto:

El resto que se obtiene al dividir p(x) por (x – a) es igual a p(a).

Teorema del factor:

El polinomio (x – a) es un factor de p(x) si y sólo si p(a) = 0. Luego, (x – a) es un factor de

p(x) si y sólo si a es una raíz de p(x).

Raíces racionales de polinomios con coeficientes enteros:

Si los coeficientes del polinomio de grado n, n > 0, n

n

2

210 xa......... xa xaa) x( p ,

son números enteros, entonces las posibles raíces racionales del polinomio son de la forma

b

a, donde a es un factor de 0a y b es un factor de na .

Relación entre coeficientes y raíces de un polinomio:

Si d xc xb xa) x( p 23 ,es un polinomio real y 321 r ,r ,r ,son raíces del polinomio,

entoncesa

br r r 321 ,

a

d r r r ,

a

cr r r r r r 321323121

Regla de los signos de Descartes:

Si p(x) es un polinomio con coeficientes reales ,entonces:

a) El número de ceros reales positivos de p(x) es igual al número de variaciones de signosde p(x) o es menor, en un entero par, que éste.

b) El número de ceros reales negativos de p(x) es igual al número de variaciones de signos

de p( x) o es menor, en un entero par, que éste.





Ejercicios:

1. En cada caso, realice la división entre p(x) y d(x), determine los polinomios cuociente

q(x), resto r(x) y exprese p(x) en la forma p(x) = q(x)· d(x) + r(x).

a) b4a3) x(d ,b16 ab12ab8ba18a9) x( p 2223

b) 2 x3 x) x(d ,6 x4 x7 x2 x6 x) x( p 242536

c) 2

1a6 ) x(d ,1a

4

49a6

19a2) x( p 23

d) 3 x2 x) x(d ,3 x x x) x( p 223

e) 1 x2 x) x(d ,4 x7 x2 x) x( p 223

f) 2 x2 x5) x(d ,4 x4 x20 x25) x( p 2234

g) 4 x x x3) x(d ,12 x3 x x8 x x3) x( p 232345

2. Utilizando la división sintética determine el cuociente y el resto de cada división.

a) )2 x(:)30 x5 x2 x( 23

b) )1 x(:)4 x x x2( 23

c) )2

1 x(:)4 x7 x4 x x2( 234

d) )2

1 x(:)8 x10 x x x2( 234

e) )4 x(:)340 x3 x( 24

f) )1 x(:)10 x2 x5 x3( 23

3. Utilizando división, demuestre que el segundo polinomio es un factor del primero; luego

determine el otro factor.

a) 1 x x x 34 1 x2

b) 2 x6 x3 x2

3 x

234

2

1 x

c) 8 x4 x2 x x 234 2 x x2

d) 16 x16 x x 45 x - 2

e) 32 x5 x + 2

f) 16 x16 x x 45 4 x2





4. Encuentre el valor de k de manera que el segundo polinomio sea un factor del primero:

a) k x10 x x 23 x 4

b) 10kxx4

x + 2

c) 4kx4 xk 32 x 1

5. Determine los valores reales de h y k de modo que los binomios x – 3 y x + 2 sean

factores de 6 kxhx x x 234 .

6. Determine los valores de los números reales a, b y c tales que 3)1 x( sea un factor de

4cxbxax x 234 .

7. Demuestre que el polinomio )a2 x(b) xb(a4 x)ba2( 222 es divisible por

(x – 2a) y (x – b).

8. En cada caso, encuentre los valores del número real a de modo que:

a) 223 a x10ax x sea divisible por (x – 2).

b) 9 x9ax x3 x2 234 sea divisible por (x – 3).

9. Determine un polinomio de grado 3 de la forma cbxax x) x( p 23 tal que al

dividirlo por (x – 2) se obtenga resto 3, al dividirlo por (x – 1) se obtenga resto 2 y aldividirlo por (x + 1) el resto sea 4.

10. Encuentre un polinomio que tenga por raíces a los números 2 y 3, y que el resto sea 4 al

ser dividido por (x –

4).

11. Determine las raíces reales de los siguientes polinomios:

a) 3 x6 x8 x2 x3) x( p 234

b) 3 x x3 x) x( p 23

c) 6

1 x6

1 x2

1 x3

1) x( p 23

d) 8 x24 x20 x3 x) x( p 234

e) 4 x3 x3 x3 x) x( p 234

f) 1 x4 x3 x2) x( p 23

g) 50 x75 x23 x3 x) x( p 234





12. Factorice los siguientes polinomios en factores lineales o cuadráticos irreductibles en IR.

a) 2 x3 x2 x3 23

b) 1 x x x2 23

c) 24 x1 x

d) 12 x14 x4 x3 23

e) 24 x4 x2 2

f) 36 x13 x 24

g) 8 x2 x11 x2 x3 234

h) 2 x x7 x x5 234

i) 6 x13 x2 24

j) 1 x3 x2 3

13. Sabiendo que c es una raíz del polinomio p(x), exprese p(x) en factores lineales.

a) 60 x28 x3 x) x( p23

c = 2

b) 42 x29 x2 x) x( p 23 c = 2

c) x24 x3 x8 x) x( p 324 c = 3

d) 55 x5 x11 x) x( p 23 c = 11

14. Dados los polinomios C x B Ax x) x( p 236 y x2 x) x(q 3

, calcule los

valores de las constantes A, B y C de modo que el resto de la división entre p(x) y

q(x) sea igual a 1 x3 Ax2 2 .

15. Determine los valores de los números reales A y B de manera que el polinomio

B Ax x2 x x) x( p 345 sea divisible por 24 x4 x2 2 .

16. Suponga que el polinomio 1 x2 x2 es un factor del polinomio 8 x12 x14 x7 x4 x x p 2345

. Obtenga los factores irreductibles de p(x).

17. Sabiendo que x = 2 es una raíz del polinomio 8 x10 x3 x x2) x( p 234 ,

escriba el polinomio p(x) como producto de polinomios irreductibles en x .

18. Considere los polinomios x A x x) x( p234

y C x4 x) x(q3

. Determine el

o los valores de A y C para que en la división p(x) : q(x) el resto sea 20 x7 x4 2 .

19. Si se sabe que x = –

5 es una raíz de polinomio 5 x2

23

x2

11

x x p34

, escriba el

polinomio p(x) como producto de polinomios irreductibles en x . Además,

determine todas las raíces reales de p(x).





20. Escriba cada expresión racional como la suma de un polinomio y una expresión

racional propia:

a) 2

23

x5 x2 x

b)

1 x3 x4 x2 2

23

c)

2 x x5 x4 x 2

3

d)2 x

11 x6 x52

3

e)

4 x x

8 x x22

3

f)

9 x

3 x x22

2

.

21. Descomponga en fracciones parciales las siguientes expresiones racionales:

a) )2 x3()2 x(

2 x5

b)

)4 x3 x()1 x(

3 x7

2

c) 22

23

)1 x(

1 x x x

d) 9 x

3 x x22

2

e) x2 x2 x x

1 x3 x2234

3

f) )1 x x()2 x(5 x8 x5

2

2

g) )4 x()3 x2 x(

10 x2 x6 x2

23

h) x9 x6 x

18 x12 x

23

2

i) )4 x( x

48 x36 x52

2

j) 1 x2 x

1 x x23

2

k) 6 x5 x

17 x17 x7 x2

23

l) 12 x8 x x

1 x18 x523

2

m) 3 x x x11 x9 x2

23

2

22. Considere los polinomios 42 x47 x3 x) x(h 23 , 12 x5 x2 x) x(q 23

y

suponga que x = 4 es una raíz del polinomio q(x). Descomponga) x(q

) x(hen suma de

fracciones parciales.





Algunas respuestas:

1. a) )b4ab2a3)(b4a3() x( p 2

c) 0)2a()1aaa2() x( p2a2

31

4492

4193

e) 0)4 x()1 x2 x() x( p 2

g) 0)3 x()4 x x x3() x( p 223

2.a) 13 x4 x) x(q 2

; r(x) =4 c) 5 x4 x2) x(q 3 ; r(x) =

2

3

e) 76 x19 x4 x) x(q 23 ; r(x) = 36

3. a) 1 x x2 c) 4 x2 e) 16 x8 x4 x2 x 234

4. a) k = 40 c) k = 2

5. h = 5 y k = 1

6. a = 1, b = 9, c = 11

8. a) a = 2 ó a =

6 b) a =

7

9.a =

3

4, b = 2, c =

3

13

10. 12 x16 x7 x) x( p 23

11.a) 1,

3

1 c) 3, 1, 1 e) 1, 2, 133 g) 21 ,

21

13. a) p(x) = (x – 2) (x – 6) (x + 5) c) p(x) = x (x – 3) ( 8x2 )

15. A = 40, B = 336

17. p(x) = (x + 2) (x

– 1) ( 4x3x2

2

)18. A = 3 ó A = 3, C = 20

19. p(x) = (x +5) (x – 1) (x + 2) (x – 21 ); Raíces: 1, 2, 5,

21 .

20.a)

2 x

52 x c)

2 x x

x31 x2

e)

4 x x

16 x52 x22

21. a)2 x3

2

2 x

1

c)22)1 x(2

1

)1 x(2

1

1 x

1

e))2 x(2

x

x2

1

1 x

22

g)3 x2 x

1 x2

4 x

6 1

2

i) x

12

)2 x(2

1

)2 x(2

35

k) 3 x

2

2 x

3

2 x

m)1 x

3

3 x2 x

2 x5

2

22.

3 x2 x

12 x7

4 x

6 1) x(q

) x( p2

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