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Polinomios
Prof. Caroline Rodríguez
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Departamento de Matemáticas
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Polinomios Definición: Un polinomio es una expresión
algebraica que cumple con las siguientes
condiciones:
Ningún término de la expresión tiene un
denominador que contiene variables
Ningún término de la expresión tiene un
radical que contiene variables
Los exponentes de las variables son enteros
no-negativos.
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Polinomios Un polinomio tiene la siguiente forma general:
𝑷 𝒙 = 𝒂𝒏𝒙𝒏 + 𝒂𝒏−𝟏𝒙𝒏−𝟏 + 𝒂𝒏−𝟐𝒙𝒏−𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒐
donde:
𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎0 son números reales y
los exponentes de las variables son enteros no-
negativos. ({0, 1, 2, …})
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Ejemplos de Polinomios
3x2 – 5x + 1
4y – 3 y2 + 4y5
9 − 4x − 2x3
5
2xy – 7x2y2 + 6x
p3 + q2 – 5p2q 3
Con los últimos
dos ejemplos
mostramos que
polinomios se
pueden definir en
más de una
variable.
En énfasis en este
curso serán
polinomios en
una variable.
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Ejemplos No-Polinomios
Los siguientes son ejemplos de expresiones que
NO polinomios:
143 2 xx
53
4 x
x
42
772
3 xxx
354 22
3
xx
3
2
3
174
x
xx
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Clasificar Polinomios
Los polinomios se pueden clasificar según la cantidad
de términos:
• monomio: un solo término
• binomio: dos términos
• trinomio: tres términos
• De ahí en adelante no reciben nombres particulares
y se les llama simplemente polinomio. (el prefijo poli
significa plural, o muchos)
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Evaluación de Polinomios:
Los polinomios se evalúan de la misma forma en la que evaluamos expresiones algebraicas anteriormente ya que los polinomios SON expresiones algebraicas.
Ejemplo: Evaluar 3x2 – 5x + 1, para x = 2.
= 3(2)2 – 5(2) + 1
= 3(4) – 10 + 1
= 12 – 10 + 1
= 3
hay que tomar en cuenta el
orden operaciones para
simplificar
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Evaluación de Polinomios Ejemplo: Evaluar para x=0 y x = -3 el polinomio del ejemplo
anterior: 3x2 – 5x + 1
a) = 3(0) – 5(0) + 1
= 0 – 0 + 1
= 1
b) = 3(-3)2 – 5(-3) + 1
= 3(9) + 15 + 1
= 27 + 15 + 1
= 43
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Evaluación de Polinomios
Ejemplo: Evaluar 2pq + 6pq2 – 4p2q para p = 2 y q = -3
Notas:
• Es muy importante asignar correctamente los valores a las variables.
• Cuando en una expresión una variable se coloca al lado de otra hay
una multiplicación implícita. Por ejemplo, pq simplica multiplicar el
valor de p or el valor de q
= 2(2)(-3) + 6(2)(-3)2 – 4(2)2(-3)
= -12 + 12(9) – 4(4)(-3)
= -12 + 108 + 48
= 144
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Grado y coeficiente principal
Definimos el grado de un polinomio de la siguiente forma:
(i) Si el polinomio es un polinomio en una variable el grado
del polinomio será la potencia mayor de la variable
(ii) Si el polinomio tiene más de una variable el grado del
polinomio se determina sumando las potencias de las variables
en cada término y eligiendo la suma mayor.
El coeficiente principal de un polinomio es el coeficiente del
término que le da el grado al polinomio.
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Polinomio Grado Coeficiente Principal
5x – 7
2+ 7z – 4z2
2y – 51y2 – 2y6 – 7
3r2 – 5r3 + 3r + 45
2xy + 6x3y – 4xy2
4x2y – 5x2y2 + xy4
42x3y2 – x3y3 – 11x3y
Grado de Polinomios – Práctica
1
2
6
3
4
5
6
5
-4
-2
-5
6
1
-1
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SUMA Y RESTA DE
POLINOMIOS
Polnomios
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Suma y rests de polinomios a) Para sumar o restar polinomios, se suman o se restan los
coeficientes de los términos semejantes de ambos
polinomios .
b) Luego, se ordenan los términos según el grado.
(ascendente o descendente)
c) La operación de resta requiere aplicar propiedad
distributiva al sustraendo . Esto afectará el signo de
TODOS los términos de éste.
d) Si no existen términos semejantes en los polinomios, el
polinomio nuevo se compone de los términos de cada
polinomio, en orden de grado
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Suma y resta de polinomios - ejemplos
13)3x (4x 11) 5x 3x ( a) 22
10)– 11x (2x 7) 5x – (13x b) 22
Veamos los siguientes ejemplos:
13) (11 3x) (5x )4x (3x 22
24 8x 7x 2
(-10) (-11x) )(-2x 7 (-5x) 13x 22
)10 7 (-11)x -5( -2)x(13 2
10 (-11x) )(-2x 7 (-5x) 13x 22
17-16)x ( 11x 2
1716x 11x 2
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Suma y resta de polinomios - ejemplos
8x)- 6x- (-22 8) 4x- (2x 22
4x) 3x 2(11– 8) 4x– (2x c) 22
22)- (8 )6x- (-4x 8x)- (2x 22
14- 10x- 6x- 2
146x10x- 2 Forma descendente
10x 6x14- 2 Forma ascendente
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Suma y resta de
polinomios -
ejercicios