polinómok, algebrai törtek.pdf
DESCRIPTION
matek 2TRANSCRIPT
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Polinomok, algebrai törtek
Nagy Bálint
Dunaújvárosi Foiskola
2010. szeptember 28.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Tartalom
1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagúegész kifejezéssel
2 Nevezetes azonosságok
3 Algebrai törtekAlgebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagúegész kifejezéssel
2 Nevezetes azonosságok
3 Algebrai törtekAlgebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
1. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A + B összeget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +
(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =
= 4x3 − 5x2y − xy2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
1. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A + B összeget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +
(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =
= 4x3 − 5x2y − xy2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
1. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A + B összeget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3) +
(x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 + x3 − 7x2y + xy2 − y3 =
= 4x3 − 5x2y − xy2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
2. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A− B különbséget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (
x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =
= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
2. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A− B különbséget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (
x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =
= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
2. Példa
Példa. Tekintsük a következo kifejezéseket:
A = 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3, B = x3 − 7x2y + xy2 − y3.
Határozza meg az A− B különbséget!
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A− B =(3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3)− (
x3 − 7x2y + xy2 − y3) =
= 3x3 + 2x2y − 2xy2 + y3 − x3 + 7x2y − xy2 + y3 =
= 2x3 + 9x2y − 3xy2 + 2y3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
3. PéldaPélda. Határozza meg az A + B + C összeget, ha
A =34
x − 12
y +23
z, B =12
x − 32
y + 2z, C =23
x − 23
y +34
z.
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B + C =34
x − 12
y +23
z +12
x − 32
y + 2z +23
x − 23
y +34
z =
=
(34
+12
+23
)x +
(−1
2− 3
2− 2
3
)y +
(23
+ 2 +34
)z =
=2312
x − 83
y +4112
z.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
3. PéldaPélda. Határozza meg az A + B + C összeget, ha
A =34
x − 12
y +23
z, B =12
x − 32
y + 2z, C =23
x − 23
y +34
z.
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B + C =34
x − 12
y +23
z +12
x − 32
y + 2z +23
x − 23
y +34
z =
=
(34
+12
+23
)x +
(−1
2− 3
2− 2
3
)y +
(23
+ 2 +34
)z =
=2312
x − 83
y +4112
z.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
3. PéldaPélda. Határozza meg az A + B + C összeget, ha
A =34
x − 12
y +23
z, B =12
x − 32
y + 2z, C =23
x − 23
y +34
z.
Útmutatás.A behelyettesítés és a zárójelek felbontása után vonjuk össze azegynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
A + B + C =34
x − 12
y +23
z +12
x − 32
y + 2z +23
x − 23
y +34
z =
=
(34
+12
+23
)x +
(−1
2− 3
2− 2
3
)y +
(23
+ 2 +34
)z =
=2312
x − 83
y +4112
z.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
4. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
x − [4x − (−3x + 2)]
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
x − [4x − (−3x + 2)] =
= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =
= x − 7x + 2 = −6x + 2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
4. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
x − [4x − (−3x + 2)]
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
x − [4x − (−3x + 2)] =
= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =
= x − 7x + 2 = −6x + 2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
4. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
x − [4x − (−3x + 2)]
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
x − [4x − (−3x + 2)] =
= x − [4x + 3x − 2] = x − [7x − 2] =
= x − 7x + 2 = −6x + 2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
5. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
5. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
5. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ].
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
4x + {3y + [2y − 4x − (y − x)]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [2y − 4x − y + x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {3y + [y − 3x ]} − [2x − y ] =
= 4x − {4y − 3x} − [2x − y ] = 4x − 4y + 3x − 2x + y = 5x − 3y .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
Feladatok
1. Feladat:Végezze el a lehetséges összevonásokat!(
13
ab +25
ac − 37
bc)−
(14
ab − 32
ac − 35
bc)
.
2. Feladat:Végezze el a következo muveleteket!(
2a3 − 4a + 2)−
(a3 + 4a2 − a
)−
(2a2 − a− 1
).
3. Feladat:Határozza meg az A− B − [2A− B − (3A− B)] kifejezést, haA = x2 − y2, B = x2 + 2y2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
Eredmények
1. Eredmény:(13
ab +25
ac − 37
bc)−
(14
ab − 32
ac − 35
bc)
=112
ab − 1910
ac +635
bc.
2. Eredmény:(2a3 − 4a + 2
)−
(a3 + 4a2 − a
)−
(2a2 − a− 1
)= a3 − 6a2 − 2a + 3.
3. Eredmény:
A− B − [2A− B − (3A− B)] = 2A− B =
= 2(x2 − y2)− (x2 + 2y2) = x2 − 4y2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
6. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y).
Megoldás.
(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y) = −4x2y + 6x4y2 − 8x3y3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
6. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y).
Megoldás.
(2− 3x2y + 4xy2)(−2x2y) = −4x2y + 6x4y2 − 8x3y3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
7. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =
= −u + 3v .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
7. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =
= −u + 3v .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
7. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v .
Útmutatás. A zárójelek felbontása után vonjuk össze az egynemualgebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3(2u + 3v)− 2(3u + 2v)− u − 2v = 6u + 9v − 6u − 4v − u − 2v =
= −u + 3v .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
8. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(2a− 1)(3− 4a).
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
8. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(2a− 1)(3− 4a).
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
8. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(2a− 1)(3− 4a).
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(2a− 1)(3− 4a) = 6a− 8a2 − 3 + 4a = −8a2 + 10a− 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
9. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =
= −6x4 + 9x3y − 12x2y2 − 4x3y + 6x2y2 − 8xy3 + 2x2y2 − 3xy3 + 4y4 =
= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
9. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =
= −6x4 + 9x3y − 12x2y2 − 4x3y + 6x2y2 − 8xy3 + 2x2y2 − 3xy3 + 4y4 =
= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
9. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2)
Útmutatás. Ne felejtsük el az elso zárójelben levo tagok mindegyikétmegszorozni a második zárójelben szereplo tagok mindegyikével!Végül ügyeljünk az egynemu algebrai kifejezések összevonására!
Megoldás.
(3x2 + 2xy − y2)(−2x2 + 3xy − 4y2) =
= −6x4 + 9x3y − 12x2y2 − 4x3y + 6x2y2 − 8xy3 + 2x2y2 − 3xy3 + 4y4 =
= −6x4 + 5x3y − 4x2y2 − 11xy3 + 4y4.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
Feladatok
4. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!
2(a− 3b)− 4(3a− 2b) + a− 2b.
5. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(
13
x − 15
y) (
14
x +13
y)
.
6. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!
(n + 2)(n2 − 2n + 4).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Többtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú kifejezések szorzása
Eredmények
4. Eredmény:
2(a− 3b)− 4(3a− 2b) + a− 2b = −9a.
5. Eredmény:(13
x − 15
y) (
14
x +13
y)
=112
x2 +11180
xy − 115
y2.
6. Eredmény:
(n + 2)(n2 − 2n + 4) = n3 + 8.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagú egészkifejezéssel
2 Nevezetes azonosságok
3 Algebrai törtekAlgebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
10. PéldaPélda. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(b − 5a)(b + 5a).
Útmutatás. Alkalmazható a többtagú kifejezések szorzásánálmegismert eljárás:
(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.
Célszerubb azonban alkalmazni az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Megoldás.
(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
10. PéldaPélda. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(b − 5a)(b + 5a).
Útmutatás. Alkalmazható a többtagú kifejezések szorzásánálmegismert eljárás:
(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.
Célszerubb azonban alkalmazni az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Megoldás.
(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
10. PéldaPélda. Végezze el a kijelölt muveleteket!
(b − 5a)(b + 5a).
Útmutatás. Alkalmazható a többtagú kifejezések szorzásánálmegismert eljárás:
(b − 5a)(b + 5a) = b2 + 5ab − 5ab − 25a2 = b2 − 25a2.
Célszerubb azonban alkalmazni az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Megoldás.
(b − 5a)(b + 5a) = b2 − (5a)2 = b2 − 25a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
11. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
=
(13
x)2
−(
14
z)2
=19
x2 − 116
z2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
11. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
=
(13
x)2
−(
14
z)2
=19
x2 − 116
z2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
11. Példa
Példa. Végezze el a kijelölt muveleteket!(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.(13
x − 12
z) (
13
x +12
z)
=
(13
x)2
−(
14
z)2
=19
x2 − 116
z2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
12. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi szorzat értékét számológép használatanélkül!
99 · 101
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
12. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi szorzat értékét számológép használatanélkül!
99 · 101
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
12. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi szorzat értékét számológép használatanélkül!
99 · 101
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
99 · 101 = (100− 1)(100 + 1) = 1002 − 1 = 9999.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
13. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi különbség értékét számológéphasználata nélkül!
772 − 232
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
13. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi különbség értékét számológéphasználata nélkül!
772 − 232
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
13. Példa
Példa. Számítsa ki az alábbi különbség értékét számológéphasználata nélkül!
772 − 232
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2
Megoldás.
772 − 232 = (77− 23)(77 + 23) = 5400.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
14. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.
A feladatban szereplo egyenloség nem igaz.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
14. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.
A feladatban szereplo egyenloség nem igaz.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
14. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 2a2 − 4
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
3a2 − (a + 2)(a− 2) = 3a2 − (a2 − 4) = 3a2 − a2 + 4 = 2a2 + 4.
A feladatban szereplo egyenloség nem igaz.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
15. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.
A feladatban szereplo egyenloség valóban igaz, tehát azonosság.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
15. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.
A feladatban szereplo egyenloség valóban igaz, tehát azonosság.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
15. Példa
Példa. Igaz-e az alábbi egyenloség?
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = −3y2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)(a− b) = a2 − b2.
Végül vonjuk össze az egynemu algebrai kifejezéseket!
Megoldás.
(x + 2y)(x − 2y)− (x − y)(y + x) = (x2 − 4y2)− (x2 − y2) = −3y2.
A feladatban szereplo egyenloség valóban igaz, tehát azonosság.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
16. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(2a + 3x)2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
16. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(2a + 3x)2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
16. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(2a + 3x)2
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
(2a + 3x)2 = (2a)2 + 2 · 2a · 3x + (3x)2 = 4a2 + 12ax + 9x2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
17. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(1− 2a)2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
17. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(1− 2a)2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
17. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!
(1− 2a)2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
(1− 2a)2 = 12 − 2 · 1 · 2a + (2a)2 = 1− 4a + 4a2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
18. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!(13
y − 25
b)2
.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.(13
y − 25
b)2
=
(13
y)2
−2 · 13
y · 25
b +
(25
b)2
=19
y2− 415
by +4
25b2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
18. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!(13
y − 25
b)2
.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.(13
y − 25
b)2
=
(13
y)2
−2 · 13
y · 25
b +
(25
b)2
=19
y2− 415
by +4
25b2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
18. Példa
Példa. Végezze el a következo négyzetre emelést!(13
y − 25
b)2
.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.(13
y − 25
b)2
=
(13
y)2
−2 · 13
y · 25
b +
(25
b)2
=19
y2− 415
by +4
25b2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
19. Példa
Példa. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
25a2 − 70ab + 49b2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,
vagy
25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
19. Példa
Példa. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
25a2 − 70ab + 49b2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,
vagy
25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
19. Példa
Példa. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
25a2 − 70ab + 49b2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2.
Megoldás.
25a2 − 70ab + 49b2 = (5a)2 − 2 · 5a · 7b + (7b)2 = (5a− 7b)2,
vagy
25a2−70ab+49b2 = (−5a)2−2·(−5a)·(−7b)+(−7b)2 = (−5a− (−7b))2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
20. PéldaPélda. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
x2 +1x2 + 2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1
x+
(1x
)2
=
(x +
1x
)2
.
vagy
x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·
(−1
x
)+
(−1
x
)2
=
(−x − 1
x
)2
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
20. PéldaPélda. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
x2 +1x2 + 2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1
x+
(1x
)2
=
(x +
1x
)2
.
vagy
x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·
(−1
x
)+
(−1
x
)2
=
(−x − 1
x
)2
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
20. PéldaPélda. Írja fel két tag négyzeteként a következo kifejezést!
x2 +1x2 + 2.
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Megoldás.
x2 +1x2 + 2 = x2 + 2 · x · 1
x+
(1x
)2
=
(x +
1x
)2
.
vagy
x2 +1x2 + 2 = (−x)2 + 2 · (−x) ·
(−1
x
)+
(−1
x
)2
=
(−x − 1
x
)2
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Feladatok7. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!
(n + 1)(1− n)
8. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(
12
x + 2y)2
9. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(
n − 1n
)2
10. Feladat:Számítsa ki az alábbi különbséget!
9752 − 252
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Eredmények
7. Eredmény:
(n + 1)(1− n) = 1− n2
8. Eredmény: (12
x + 2y)2
=x2
4+ 2xy + 4y2
9. Eredmény: (n − 1
n
)2
= n2 +1n2 − 2
10. Eredmény:
9752 − 252 = 950000
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
21. Példa
Példa. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljes négyzettéalakítás").
a2 − 2a + 5.
Megoldás.
a2 − 2a + 5 = (a− 1)2 − 1 + 5 = (a− 1)2 + 4.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
21. Példa
Példa. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljes négyzettéalakítás").
a2 − 2a + 5.
Megoldás.
a2 − 2a + 5 = (a− 1)2 − 1 + 5 = (a− 1)2 + 4.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
22. Példa
Példa. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljes négyzettéalakítás").
−3x2 − 12x + 1.
Megoldás.
−3x2−12x+1 = −3(x2+4x)+1 = −3((x + 2)2 − 4
)+1 = −3(x+2)2+13.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
22. Példa
Példa. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljes négyzettéalakítás").
−3x2 − 12x + 1.
Megoldás.
−3x2−12x+1 = −3(x2+4x)+1 = −3((x + 2)2 − 4
)+1 = −3(x+2)2+13.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Feladatok11. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").
x2 − 2x + 5
12. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").
x2 + 4x + 5
13. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").
3x2 − 12x + 17
14. Feladat: Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás").
−2x2 − 12x − 19
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Eredmények
11. Eredmény:
x2 − 2x + 5 = (x − 1)2 + 4
12. Eredmény:
x2 + 4x + 5 = (x + 2)2 + 1
13. Eredmény:
3x2 − 12x + 17 = 3(x − 2)2 + 5
14. Eredmény:
−2x2 − 12x − 19 = −2(x + 3)2 − 1
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
23. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(x + 2)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Megoldás.
(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
23. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(x + 2)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Megoldás.
(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
23. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(x + 2)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Megoldás.
(x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
24. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(1− c)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
Megoldás.
(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
24. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(1− c)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
Megoldás.
(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
24. Példa
Példa. Végezze el a következo köbre emelést!
(1− c)3
Útmutatás. Alkalmazzuk az alábbi nevezetes azonosságot!
(a− b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
Megoldás.
(1− c)3 = 13 − 3 · 12 · c + 3 · 1 · c2 − c3 = 1− 3c + 3c2 − c3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
25. Példa
Példa. Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)
Útmutatás. Alkalmazzuk a tanult nevezetes azonosságokat!
Megoldás.
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =
= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =
= −2x2 − 4xy + 2y2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
25. Példa
Példa. Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)
Útmutatás. Alkalmazzuk a tanult nevezetes azonosságokat!
Megoldás.
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =
= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =
= −2x2 − 4xy + 2y2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
25. Példa
Példa. Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y)
Útmutatás. Alkalmazzuk a tanult nevezetes azonosságokat!
Megoldás.
(x − y)2 − (x + y)2 − 2(y + x)(x − y) =
= x2 − 2xy + y2 − x2 − 2xy − y2 − 2(x2 − y2) =
= −2x2 − 4xy + 2y2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Feladatok
15. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(
12
x − 13
)3
16. Feladat:Végezze el a kijelölt muveletet!(
a +c2
)3
17. Feladat:Hozza egyszerubb alakra a következo kifejezést!
(a + 2b)2(a− 2b)2
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Eredmények
15. Eredmény: (12
x − 13
)3
=x3
8− x2
4+
x6− 1
27
16. Eredmény:(a +
c2
)3= a3 +
3a2c2
+3ac2
4+
c3
8
17. Eredmény:
(a + 2b)2(a− 2b)2 = a4 − 8a2b2 + 16b4
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
26. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
3xy − 3xw
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.3xy − 3xw = 3x(y − w).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
26. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
3xy − 3xw
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.3xy − 3xw = 3x(y − w).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
26. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
3xy − 3xw
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.3xy − 3xw = 3x(y − w).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
27. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2cd + 6c2x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.2cd + 6c2x = 2c(d + 3cx).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
27. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2cd + 6c2x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.2cd + 6c2x = 2c(d + 3cx).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
27. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2cd + 6c2x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki!
Megoldás.2cd + 6c2x = 2c(d + 3cx).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
28. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
b5 − b3.
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz a2 − b2 = (a + b)(a− b) nevezetes azonosság!
Megoldás.
b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
28. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
b5 − b3.
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz a2 − b2 = (a + b)(a− b) nevezetes azonosság!
Megoldás.
b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
28. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
b5 − b3.
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz a2 − b2 = (a + b)(a− b) nevezetes azonosság!
Megoldás.
b5 − b3 = b3(b2 − 1) = b3(b − 1)(b + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
29. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2c2x − 24cx + 72x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 nevezetes azonosság!
Megoldás.
2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
29. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2c2x − 24cx + 72x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 nevezetes azonosság!
Megoldás.
2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
29. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
2c2x − 24cx + 72x .
Útmutatás. Keressük meg a tagokban szereplo összes közöstényezot, s ezeket emeljük ki! Majd vegyük észre, hogy alkalmazhatóaz (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 nevezetes azonosság!
Megoldás.
2c2x − 24cx + 72x = 2x(c2 − 12c + 36) = 2x(c − 6)2.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
30. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
19
x2 − w2.
Útmutatás. Alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b).
Megoldás.
19
x2 − w2 =
(13
x)2
− w2 =
(13
x + w) (
13
x − w)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
30. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
19
x2 − w2.
Útmutatás. Alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b).
Megoldás.
19
x2 − w2 =
(13
x)2
− w2 =
(13
x + w) (
13
x − w)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
30. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
19
x2 − w2.
Útmutatás. Alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b).
Megoldás.
19
x2 − w2 =
(13
x)2
− w2 =
(13
x + w) (
13
x − w)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
31. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
3d2 − 12e2
Útmutatás. Kiemelés után alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b)
Megoldás.
3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
31. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
3d2 − 12e2
Útmutatás. Kiemelés után alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b)
Megoldás.
3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
31. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
3d2 − 12e2
Útmutatás. Kiemelés után alkalmazzuk a következo azonosságot:
a2 − b2 = (a + b)(a− b)
Megoldás.
3d2 − 12e2 = 3(d2 − 4e2) = 3(d2 − (2e)2) = 3(d + 2e)(d − 2e).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás"), majd alkalmazzuk a megfelelo nevezetesazonosságot.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4
)=
= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =
= 2(x + 5)(x + 1)
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás"), majd alkalmazzuk a megfelelo nevezetesazonosságot.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4
)=
= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =
= 2(x + 5)(x + 1)
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa
Példa. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. Írjuk fel a kifejezést a(x− u)2 + v alakban ("teljesnégyzetté alakítás"), majd alkalmazzuk a megfelelo nevezetesazonosságot.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 2(x2 + 6x + 5) = 2((x + 3)2 − 4
)=
= 2((x + 3)2 − 22) = 2 ((x + 3 + 2)(x + 3− 2)) =
= 2(x + 5)(x + 1)
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa – 2. MegoldásPélda. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. A másodfokú kifejezés gyöktényezos alakja segítségévelis eloállítható a keresett szorzat. Ismeretes, hogy ha azax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) egyenlet megoldásai x1 és x2, akkor azegyenlet gyöktényezos alakja
a(x − x1)(x − x2) = 0.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±
√122 − 4 · 2 · 102 · 2
=−12± 8
4x1 = −1, x2 = −5.
Így a megoldás: 2x2 + 12x + 10 = 2(x + 5)(x + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa – 2. MegoldásPélda. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. A másodfokú kifejezés gyöktényezos alakja segítségévelis eloállítható a keresett szorzat. Ismeretes, hogy ha azax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) egyenlet megoldásai x1 és x2, akkor azegyenlet gyöktényezos alakja
a(x − x1)(x − x2) = 0.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±
√122 − 4 · 2 · 102 · 2
=−12± 8
4x1 = −1, x2 = −5.
Így a megoldás: 2x2 + 12x + 10 = 2(x + 5)(x + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
32. Példa – 2. MegoldásPélda. Alakítsa szorzattá az alábbi kifejezést!
2x2 + 12x + 10
Útmutatás. A másodfokú kifejezés gyöktényezos alakja segítségévelis eloállítható a keresett szorzat. Ismeretes, hogy ha azax2 + bx + c = 0 (a 6= 0) egyenlet megoldásai x1 és x2, akkor azegyenlet gyöktényezos alakja
a(x − x1)(x − x2) = 0.
Megoldás.
2x2 + 12x + 10 = 0⇒ x1,2 =−12±
√122 − 4 · 2 · 102 · 2
=−12± 8
4x1 = −1, x2 = −5.
Így a megoldás: 2x2 + 12x + 10 = 2(x + 5)(x + 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Feladatok18. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
5cd + 5d
19. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
3x2y − 6xy2
20. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
(a + b)2 − 4
21. Feladat:Alakítsa szorzattá a következo kifejezést!
3x2 − 3x − 18
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Eredmények
18. Eredmény:
5cd + 5d = 5d(c + 1)
19. Eredmény:
3x2y − 6xy2 = 3xy(x − 2y)
20. Eredmény:
(a + b)2 − 4 = (a + b + 2)(a + b − 2)
21. Eredmény:
3x2 − 3x − 18 = 3(x + 2)(x − 3)
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
1 PolinomokTöbbtagú kifejezések összevonásaTöbbtagú egész kifejezés szorzása egy-, és többtagú egészkifejezéssel
2 Nevezetes azonosságok
3 Algebrai törtekAlgebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
33. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
2x − 4x − 3
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x − 3 6= 0x 6= 3.
Tehát a keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 3}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
33. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
2x − 4x − 3
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x − 3 6= 0x 6= 3.
Tehát a keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 3}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
33. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
2x − 4x − 3
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x − 3 6= 0x 6= 3.
Tehát a keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 3}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
34. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
a + 2a2 − 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0
a 6= −2 és a 6= 2
Tehát a keresett halmaz: {a ∈ R||a| 6= 2}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
34. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
a + 2a2 − 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0
a 6= −2 és a 6= 2
Tehát a keresett halmaz: {a ∈ R||a| 6= 2}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
34. Példa
Példa. Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
a + 2a2 − 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
a2 − 4 6= 0(a + 2)(a− 2) 6= 0
a 6= −2 és a 6= 2
Tehát a keresett halmaz: {a ∈ R||a| 6= 2}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
35. Példa
Példa.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
bb2 + 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
b2 + 4 6= 0
Mivel b2 + 4 > 0 minden b ∈ R esetén, a keresett halmaz: R.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
35. Példa
Példa.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
bb2 + 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
b2 + 4 6= 0
Mivel b2 + 4 > 0 minden b ∈ R esetén, a keresett halmaz: R.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
35. Példa
Példa.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
bb2 + 4
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
b2 + 4 6= 0
Mivel b2 + 4 > 0 minden b ∈ R esetén, a keresett halmaz: R.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
36. PéldaPélda.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
5x + 12x2 − 5x + 6
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0
x 6= 2 és x 6= 3
A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
36. PéldaPélda.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
5x + 12x2 − 5x + 6
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0
x 6= 2 és x 6= 3
A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
36. PéldaPélda.Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebb részhalmazát,amelyen a következo tört értelmezheto!
5x + 12x2 − 5x + 6
Útmutatás. Ez a tört akkor értelmezheto, ha nevezoje nem egyenlonullával.
Megoldás.
x2 − 5x + 6 6= 0(x − 2)(x − 3) 6= 0
x 6= 2 és x 6= 3
A keresett halmaz: {x ∈ R|x 6= 2 és x 6= 3}.Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
37. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
xx + 3
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −3. Az útmutatásszerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x = 0.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
37. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
xx + 3
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −3. Az útmutatásszerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x = 0.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
37. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
xx + 3
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −3. Az útmutatásszerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x = 0.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
38. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
x + 12x2 + 5x + 6
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −2 és x 6= −3. Azútmutatás szerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x + 12 = 0x = −12
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
38. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
x + 12x2 + 5x + 6
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −2 és x 6= −3. Azútmutatás szerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x + 12 = 0x = −12
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
38. Példa
Példa. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
x + 12x2 + 5x + 6
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört akkor értelmezheto, ha x 6= −2 és x 6= −3. Azútmutatás szerint vizsgáljuk a tört számlálóját:
x + 12 = 0x = −12
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
39. PéldaPélda. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
a + 4a2 − 16
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört értelmes, ha a 6= 4 és a 6= −4. Az útmutatás szerintvizsgáljuk a tört számlálóját:
a + 4 = 0a = −4.
Vegyük észre, hogy a = −4 esetén a tört nem értelmezheto. Így nemlétezik az a-nak olyan értéke, melyre a tört helyettesítési értéke nulla.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
39. PéldaPélda. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
a + 4a2 − 16
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört értelmes, ha a 6= 4 és a 6= −4. Az útmutatás szerintvizsgáljuk a tört számlálóját:
a + 4 = 0a = −4.
Vegyük észre, hogy a = −4 esetén a tört nem értelmezheto. Így nemlétezik az a-nak olyan értéke, melyre a tört helyettesítési értéke nulla.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
39. PéldaPélda. Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, melyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
a + 4a2 − 16
Útmutatás. Egy tört értéke akkor és csak akkor nulla, ha a számlálónulla és a vizsgált helyen a tört értelmezheto.
Megoldás. A tört értelmes, ha a 6= 4 és a 6= −4. Az útmutatás szerintvizsgáljuk a tört számlálóját:
a + 4 = 0a = −4.
Vegyük észre, hogy a = −4 esetén a tört nem értelmezheto. Így nemlétezik az a-nak olyan értéke, melyre a tört helyettesítési értéke nulla.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Feladatok22. Feladat: Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
x − 59− x2
23. Feladat: Határozza meg a valós számoknak azt a legbovebbrészhalmazát, amelyen a következo tört értelmezheto!
23x2 + 15x + 12
24. Feladat: Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, emlyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
1− x2
x − 325. Feladat: Határozza meg az ismeretlen azon értékeit, emlyre akövetkezo tört helyettesítési értéke nulla.
2x2 + 2x − 4x + 2Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Eredmények
22. Eredmény:
{x ∈ R|x 6= 3 és x 6= −3}
23. Eredmény:
{x ∈ R|x 6= −4 és x 6= −1}
24. Eredmény:
x = 1 és x = −1
25. Eredmény:
x = 1 és x = −2
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
40. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
2a2 − 24a− 4
(a 6= 1).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
2a2 − 24a− 4
=2(a + 1)(a− 1)
4(a− 1)=
a + 12
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
40. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
2a2 − 24a− 4
(a 6= 1).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
2a2 − 24a− 4
=2(a + 1)(a− 1)
4(a− 1)=
a + 12
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
40. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
2a2 − 24a− 4
(a 6= 1).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
2a2 − 24a− 4
=2(a + 1)(a− 1)
4(a− 1)=
a + 12
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
41. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
(c 6= −3).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)
2 · 3(c + 3)(c + 3)=
10(c − 3)
c + 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
41. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
(c 6= −3).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)
2 · 3(c + 3)(c + 3)=
10(c − 3)
c + 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
41. Példa
Példa. Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
(c 6= −3).
Útmutatás. Kiemelés és nevezetes azonosságok segítségévelalakítsuk szorzattá a számlálót és a nevezot, majd egyszerusítsük akifejezést!
Megoldás.
20c2 − 1806c2 + 36c + 54
=2 · 2 · 5(c + 3)(c − 3)
2 · 3(c + 3)(c + 3)=
10(c − 3)
c + 3.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Feladatok
26. Feladat: Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
d + 12d2 − 2
(|d | 6= 1).
27. Feladat: Egyszerusítse az alábbi kifejezést!
(a + b)2(a− b)
(a2 − b2)(a + b)(|a| 6= b).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Eredmények
26. Eredmény:
d + 12d2 − 2
=1
2(d − 1).
27. Eredmény:
(a + b)2(a− b)
(a2 − b2)(a + b)= 1.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
42. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
5x − 12
− 7x + 35
.
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
5x − 12
− 7x + 35
=5(5x − 1)
10− 2(7x + 3)
10=
25x − 5− 14x − 610
=11(x − 1)
10.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
42. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
5x − 12
− 7x + 35
.
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
5x − 12
− 7x + 35
=5(5x − 1)
10− 2(7x + 3)
10=
25x − 5− 14x − 610
=11(x − 1)
10.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
42. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
5x − 12
− 7x + 35
.
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
5x − 12
− 7x + 35
=5(5x − 1)
10− 2(7x + 3)
10=
25x − 5− 14x − 610
=11(x − 1)
10.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
43. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1yz− 1
yw(yzw 6= 0).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
1yz− 1
yw=
wywz
− zywz
=w − zywz
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
43. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1yz− 1
yw(yzw 6= 0).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
1yz− 1
yw=
wywz
− zywz
=w − zywz
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
43. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1yz− 1
yw(yzw 6= 0).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto a kivonás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse.
Megoldás.
1yz− 1
yw=
wywz
− zywz
=w − zywz
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
44. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
52x + 4
+x
x + 2(x 6= −2).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto az összeadás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
52x + 4
+x
x + 2=
52(x + 2)
+2x
2(x + 2)=
5 + 2x2(x + 2)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
44. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
52x + 4
+x
x + 2(x 6= −2).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto az összeadás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
52x + 4
+x
x + 2=
52(x + 2)
+2x
2(x + 2)=
5 + 2x2(x + 2)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
44. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
52x + 4
+x
x + 2(x 6= −2).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezheto az összeadás. Aközös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
52x + 4
+x
x + 2=
52(x + 2)
+2x
2(x + 2)=
5 + 2x2(x + 2)
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
45. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1(|b| 6= 1).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezhetoek a muveletek.A közös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1=
2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)
=7b + 3
2(b2 − 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
45. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1(|b| 6= 1).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezhetoek a muveletek.A közös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1=
2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)
=7b + 3
2(b2 − 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
45. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1(|b| 6= 1).
Útmutatás. Közös nevezore hozás után elvégezhetoek a muveletek.A közös nevezo a nevezok legkisebb közös többszöröse. A közösnevezo meghatározásához bontsuk szorzattá a nevezoket!
Megoldás.
3b − 1
+1
2(b + 1)− 1
b2 − 1=
2 · 3 · (b + 1) + b − 1− 22(b + 1)(b − 1)
=7b + 3
2(b2 − 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Feladatok28. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
3c + 15
− 2c + 34
.
29. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
xyz
+zxy− y
xz(xyz 6= 0).
30. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
− 2a2 − 9
+3
a + 3− 1
a2 − 6a + 9(|a| 6= 3).
31. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
a + 1a2(a− 1)
− a + 1a(a2 − 1)
(a 6= 0, |a| 6= 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Eredmények28. Eredmény:
3c + 15
− 2c + 34
=2c − 11
20.
29. Eredmény:
xyz
+zxy− y
xz=
x2 − y2 + z2
xyz.
30. Eredmény:
− 2a2 − 9
+3
a + 3− 1
a2 − 6a + 9=
3(a2 − 7a + 10)
(a− 3)2(a + 3).
31. Eredmény:
a + 1a2(a− 1)
− a + 1a(a2 − 1)
=1
a2(a− 1).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
46. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1x −
1y
xy(xy 6= 0).
Útmutatás. A számlálóban közös nevezore hozunk. Ezután törtet úgyis oszthatunk egy kifejezéssel, hogy a nevezoket összeszorozzuk.
Megoldás.
1x −
1y
xy=
y−xxy
xy=
y − xx2y2 .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
46. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1x −
1y
xy(xy 6= 0).
Útmutatás. A számlálóban közös nevezore hozunk. Ezután törtet úgyis oszthatunk egy kifejezéssel, hogy a nevezoket összeszorozzuk.
Megoldás.
1x −
1y
xy=
y−xxy
xy=
y − xx2y2 .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
46. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1x −
1y
xy(xy 6= 0).
Útmutatás. A számlálóban közös nevezore hozunk. Ezután törtet úgyis oszthatunk egy kifejezéssel, hogy a nevezoket összeszorozzuk.
Megoldás.
1x −
1y
xy=
y−xxy
xy=
y − xx2y2 .
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
47. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1 +2
3 + 4a
(a 6= 0).
Útmutatás. A második tag nevezojében közös nevezore hozunk.Majdegy kifejezést törttel úgy osztunk, hogy az osztandot megszorozzukaz osztó reciprokával. Végül közös nevezore hozás után összevonjukaz egynemu algebrai kifejezéseket.
Megoldás.
1 +2
3 + 4a
= 1 +2
3a+4a
= 1 +2a
3a + 4=
3a + 43a + 4
+2a
3a + 4=
5a + 43a + 4
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
47. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1 +2
3 + 4a
(a 6= 0).
Útmutatás. A második tag nevezojében közös nevezore hozunk.Majdegy kifejezést törttel úgy osztunk, hogy az osztandot megszorozzukaz osztó reciprokával. Végül közös nevezore hozás után összevonjukaz egynemu algebrai kifejezéseket.
Megoldás.
1 +2
3 + 4a
= 1 +2
3a+4a
= 1 +2a
3a + 4=
3a + 43a + 4
+2a
3a + 4=
5a + 43a + 4
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
47. Példa
Példa. Végezze el a következo muveleteket!
1 +2
3 + 4a
(a 6= 0).
Útmutatás. A második tag nevezojében közös nevezore hozunk.Majdegy kifejezést törttel úgy osztunk, hogy az osztandot megszorozzukaz osztó reciprokával. Végül közös nevezore hozás után összevonjukaz egynemu algebrai kifejezéseket.
Megoldás.
1 +2
3 + 4a
= 1 +2
3a+4a
= 1 +2a
3a + 4=
3a + 43a + 4
+2a
3a + 4=
5a + 43a + 4
.
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek
PolinomokNevezetes azonosságok
Algebrai törtek
Algebrai törtek értelmezéseAlgebrai törtek zérushelyeMuveletek algebrai törtekkel
Feladatok
32. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
xy1x + 1
y
(xy 6= 0).
33. Feladat: Végezze el a következo muveletet!
1 +1
1− 1a
(a 6= 0).
Nagy Bálint Polinomok, algebrai törtek