Polynomials aijkFrom Wikipedia, the free encyclopedia

Contents

1 Abel polynomials 11.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 AbelRuffini theorem 32.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Lower-degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Quintics and higher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.4 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.9 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Actuarial polynomials 73.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Additive polynomial 84.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3 The ring of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 The fundamental theorem of additive polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

5 Alexander polynomial 105.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Computing the polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3 Basic properties of the polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

i

ii CONTENTS

5.4 Geometric significance of the polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.5 Relations to satellite operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.6 AlexanderConway polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.7 Relation to Khovanov homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.10 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Algebraic equation 146.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.2 Areas of study . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

7 Algebraic variety 177.1 Introduction and definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

7.1.1 Affine varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.1.2 Projective varieties and quasi-projective varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.1.3 Abstract varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

7.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.2.1 Subvariety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2.2 Affine variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207.2.3 Projective variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

7.3 Basic results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.4 Isomorphism of algebraic varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.5 Discussion and generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227.6 Algebraic manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.8 Footnotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 All one polynomial 258.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9 Almost linear hash function 279.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

10 Alternating polynomial 2910.1 Relation to symmetric polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2910.2 Vandermonde polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

CONTENTS iii

10.2.1 Ring structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.3 Representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3010.4 Unstable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3110.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

11 Angelescu polynomials 3211.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3211.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

12 Appell sequence 3312.1 Equivalent characterizations of Appell sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3312.2 Recursion formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.3 Subgroup of the Sheffer polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3412.4 Different convention . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3512.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

13 Bell polynomials 3713.1 Complete Bell polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3713.2 Combinatorial meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

13.2.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3813.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

13.3.1 Stirling numbers and Bell numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.3.2 Touchard polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3913.3.3 Convolution identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

13.4 Applications of Bell polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.1 Fa di Brunos formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.2 Moments and cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4013.4.3 Representation of polynomial sequences of binomial type . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

13.5 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4113.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

14 Bernoulli polynomials 4314.1 Representations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14.1.1 Explicit formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.1.2 Generating functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.1.3 Representation by a differential operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4414.1.4 Representation by an integral operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

14.2 Another explicit formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iv CONTENTS

14.3 Sums of pth powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4614.4 The Bernoulli and Euler numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4614.5 Explicit expressions for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4614.6 Maximum and minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4714.7 Differences and derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

14.7.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.7.2 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

14.8 Fourier series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4814.9 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4914.10Relation to falling factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.11Multiplication theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.12Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5014.13Periodic Bernoulli polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.14See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5114.15References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

15 Bernstein polynomial 5315.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5415.4 Approximating continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

15.4.1 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5615.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5615.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5715.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

16 BernsteinSato polynomial 5816.1 Definition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5816.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5916.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

17 Binomial 6117.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.2 Operations on simple binomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6117.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6217.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

18 BoasBuck polynomials 6318.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

CONTENTS v

19 BollobsRiordan polynomial 6419.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.2 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6419.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

20 Bombieri norm 6620.1 Bombieri scalar product for homogeneous polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6620.2 Bombieri inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720.3 Invariance by isometry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720.4 Other inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6720.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

21 Boole polynomials 6921.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6921.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

22 Bracket polynomial 7022.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022.2 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7022.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

23 Bring radical 7123.1 Normal forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

23.1.1 Principal quintic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7123.1.2 BringJerrard normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7223.1.3 Brioschi normal form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

23.2 Series representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323.3 Solution of the general quintic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7323.4 Other characterizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

23.4.1 The HermiteKroneckerBrioschi characterization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7423.4.2 Glassers derivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7623.4.3 The method of differential resolvents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7823.4.4 DoyleMcMullen iteration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

23.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8023.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8023.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8123.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

24 Bzout matrix 8224.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8224.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

vi CONTENTS

24.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8324.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8324.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

25 Caloric polynomial 8525.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8525.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

26 Casus irreducibilis 8626.1 Formal statement and proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8626.2 Solution in non-real radicals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8726.3 Non-algebraic solution in terms of real quantities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8726.4 Relation to angle trisection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8726.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8826.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

27 Cavalieris quadrature formula 8927.1 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

27.1.1 Negative n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9027.1.2 n = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9027.1.3 Alternative forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

27.2 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9127.3 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9227.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

27.4.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9327.4.2 Proofs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

27.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

28 Characteristic polynomial 9628.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.2 Formal definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9628.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9728.4 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9728.5 Characteristic polynomial of a product of two matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9828.6 Secular function and secular equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

28.6.1 Secular function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.6.2 Secular equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

28.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9928.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

CONTENTS vii

29 Coefficient 10029.1 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10029.2 Examples of physical coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10129.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

30 Coefficient diagram method 10230.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10330.3 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

31 Complex conjugate root theorem 10431.1 Examples and consequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

31.1.1 Corollary on odd-degree polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10431.2 Simple proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10531.3 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

32 Complex quadratic polynomial 10732.1 Forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10732.2 Conjugation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

32.2.1 Between forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10732.2.2 With doubling map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

32.3 Family . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10832.4 Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10832.5 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10832.6 Critical items . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

32.6.1 Critical point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10932.6.2 Critical value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10932.6.3 Critical orbit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10932.6.4 Critical sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.6.5 Critical polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11032.6.6 Critical curves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

32.7 Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11132.7.1 Parameter plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11232.7.2 Dynamical plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

32.8 Derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.8.1 Derivative with respect to c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11432.8.2 Derivative with respect to z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11532.8.3 Schwarzian derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

32.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11632.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

viii CONTENTS

33 Constant function 11833.1 Basic properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11833.2 Other properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11833.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12033.4 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

34 Constant term 12134.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

35 Content (algebra) 12335.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12335.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

36 Continuant (mathematics) 12436.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12436.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12436.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

37 Cubic function 12637.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12737.2 Critical points of a cubic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.3 Roots of a cubic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

37.3.1 The nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13037.3.2 General formula for roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13237.3.3 Reduction to a depressed cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.3.4 Cardanos method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13337.3.5 Vietas substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13537.3.6 Lagranges method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13637.3.7 Trigonometric (and hyperbolic) method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13737.3.8 Factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13837.3.9 Geometric interpretation of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

37.4 Collinearities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14037.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14237.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

38 Cyclotomic polynomial 14738.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14738.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

38.2.1 Fundamental tools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14938.2.2 Easy cases for the computation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

CONTENTS ix

38.2.3 Integers appearing as coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.2.4 Gausss formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15038.2.5 Lucass formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

38.3 Cyclotomic polynomials over Zp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15138.4 Prime Cyclotomic numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15238.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15238.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15238.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15238.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15338.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

39 Degree of a polynomial 15439.1 Names of polynomials by degree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15439.2 Other examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15539.3 Behavior under polynomial operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

39.3.1 Behaviour under addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15539.3.2 Behaviour under scalar multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15539.3.3 Behaviour under multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15639.3.4 Behaviour under composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

39.4 Degree of the zero polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15639.5 Computed from the function values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15739.6 Extension to polynomials with two or more variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15739.7 Degree function in abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15739.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15839.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15839.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15839.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

40 Delta operator 15940.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15940.2 Basic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16040.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16040.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

41 Denisyuk polynomials 16141.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16141.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

42 Derivation of the Routh array 16242.1 The Cauchy index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16242.2 The Routh criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16442.3 Sturms theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16542.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

x CONTENTS

43 Descartes rule of signs 16843.1 Descartes rule of signs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

43.1.1 Positive roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16843.1.2 Negative roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16843.1.3 Example: real roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16843.1.4 Complex roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16943.1.5 Example: zero coefficients, complex roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

43.2 Special case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16943.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17043.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17043.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17043.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

44 Dickson polynomial 17144.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17144.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17244.3 Links to other polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17244.4 Permutation polynomials and Dickson polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17344.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

45 Difference polynomials 17445.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.2 Moving differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17445.3 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17545.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17545.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

46 Discriminant 17646.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17646.2 Formulas for low degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17746.3 Homogeneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17846.4 Quadratic formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18046.5 Discriminant of a polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18046.6 Nature of the roots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

46.6.1 Quadratic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.6.2 Cubic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.6.3 Higher degrees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

46.7 Discriminant of a polynomial over a commutative ring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18246.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

46.8.1 Discriminant of a conic section . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18346.8.2 Discriminant of a quadratic form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18346.8.3 Discriminant of an algebraic number field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

CONTENTS xi

46.9 Alternating polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18446.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18446.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

47 Divided power structure 18647.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18647.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18647.3 Constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18747.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18747.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

48 Division polynomials 18848.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18848.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18948.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18948.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

49 Ehrhart polynomial 19149.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19149.2 Examples of Ehrhart Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19149.3 Ehrhart Quasi-Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19249.4 Examples of Ehrhart Quasi-Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19349.5 Interpretation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19349.6 Ehrhart Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

49.6.1 Ehrhart series for rational polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19349.7 Toric Variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19449.8 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19449.9 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19449.10Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19449.11References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

50 Eisensteins criterion 19650.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

50.1.1 Cyclotomic polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19750.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19750.3 Basic proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19850.4 Advanced explanation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19850.5 Generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

50.5.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20050.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20050.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

51 Equally spaced polynomial 201

xii CONTENTS

51.1 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20151.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

52 Equioscillation theorem 20252.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.2 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20252.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

53 Exponential polynomial 20353.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

53.1.1 In fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20353.1.2 In abelian groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

53.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20453.4 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

54 External ray 20554.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20554.2 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20554.3 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

54.3.1 Dynamical plane = z-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20554.3.2 Parameter plane = c-plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20754.3.3 External angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20954.3.4 Computation of external argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

54.4 Transcendental maps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20954.5 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

54.5.1 Dynamic rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20954.5.2 Parameter rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

54.6 Programs that can draw external rays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21154.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21154.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21154.9 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

55 Faber polynomials 21355.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

56 Factor theorem 21456.1 Factorization of polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

56.1.1 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21456.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

57 Factorization of polynomials 21657.1 Formulation of the question . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21657.2 Primitive partcontent factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

CONTENTS xiii

57.3 Square-free factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21857.4 Classical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

57.4.1 Obtaining linear factors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21857.4.2 Kroneckers method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

57.5 Modern methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21957.5.1 Factoring over finite fields . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21957.5.2 Factoring univariate polynomials over the integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21957.5.3 Factoring over algebraic extensions (Tragers method) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

57.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22157.7 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22157.8 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

58 Factorization of polynomials over finite fields 22258.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

58.1.1 Finite field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.1.2 Irreducible polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22258.1.3 Complexity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

58.2 Factoring algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22358.2.1 Square-free factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22358.2.2 Distinct-degree factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22458.2.3 Equal-degree factorization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22558.2.4 Victor Shoups algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

58.3 Rabins test of irreducibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22758.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22858.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22858.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22858.7 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

59 Fekete polynomial 22959.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23059.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

60 Fibonacci polynomials 23160.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23160.2 Identities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23260.3 Combinatorial interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23360.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23360.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23460.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

61 Gausss lemma (polynomial) 23561.1 Formal statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23561.2 Proofs of the primitivity statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

xiv CONTENTS

61.2.1 A variation, valid over arbitrary commutative rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23661.2.2 A proof valid over any GCD domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

61.3 Proof of the irreducibility statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23761.4 Implications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23761.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

62 GaussLucas theorem 23962.1 Formal statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23962.2 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23962.3 Proof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23962.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24062.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24062.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24162.7 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

63 Generalized Appell polynomials 24263.1 Special cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.2 Explicit representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24263.3 Recursion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24363.4 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24363.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

64 Gould polynomials 24564.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

65 GraceWalshSzeg theorem 24665.1 Statement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24665.2 Notes and references . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

66 Harmonic polynomial 24766.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

67 Height of a polynomial 24867.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24867.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

68 HeineStieltjes polynomials 25068.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

69 Hermite polynomials 25169.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25169.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

69.2.1 Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25469.2.2 Completeness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

CONTENTS xv

69.2.3 Hermites differential equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.2.4 Recursion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25569.2.5 Explicit expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25669.2.6 Inverse Explicit Expression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25769.2.7 Generating function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25769.2.8 Expected values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25869.2.9 Asymptotic expansion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25869.2.10 Special Values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

69.3 Relations to other functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25969.3.1 Laguerre polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25969.3.2 Relation to confluent hypergeometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

69.4 Differential operator representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26069.5 Contour integral representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26069.6 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

69.6.1 Negative variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26169.7 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

69.7.1 Hermite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26269.7.2 Recursion relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.7.3 Cramrs inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26369.7.4 Hermite functions as eigenfunctions of the Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . 26469.7.5 Wigner distributions of Hermite functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26469.7.6 Combinatorial interpretation of coefficients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26569.7.7 Completeness relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

69.8 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.9 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26669.10References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26769.11External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

70 Hilberts irreducibility theorem 26970.1 Formulation of the theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26970.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27070.3 Generalizations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27070.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

71 Hilberts Nullstellensatz 27171.1 Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27171.2 Proof and generalization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27271.3 Effective Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27271.4 Projective Nullstellensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.5 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.6 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27371.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

xvi CONTENTS

72 Hilberts thirteenth problem 27572.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27572.2 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27572.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27572.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

73 HOMFLY polynomial 27773.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.2 Other HOMFLY skein relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27773.3 Main properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27873.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27873.5 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27873.6 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

74 Horners method 28074.1 Description of the algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28074.2 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

74.2.1 Floating point multiplication and division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28174.2.2 Polynomial root finding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

74.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.4 Efficiency . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28474.5 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28574.6 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28774.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

74.7.1 Citations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28874.7.2 Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

74.8 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

75 Huddes rules 29075.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29075.2 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

76 Humbert polynomials 29176.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29176.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291

77 Hurwitz polynomial 29277.1 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29277.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29277.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

78 Integer-valued polynomial 29478.1 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29478.2 Fixed prime divisors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

CONTENTS xvii

78.3 Other rings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29578.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29578.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

78.5.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29578.5.2 Algebraic topology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

78.6 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

79 Invariant polynomial 29679.1 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

80 Irreducible polynomial 29780.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.2 Simple examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29780.3 Over the complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29880.4 Over the reals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29880.5 Unique factorization property . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29880.6 Over the integers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29980.7 Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29980.8 Field extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29980.9 Over an integral domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30080.10See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30080.11Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30080.12References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30180.13External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

81 Jacobian conjecture 30281.1 The Jacobian determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30281.2 Formulation of the conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30281.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30381.4 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30381.5 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304

82 Jones polynomial 30582.1 Definition by the bracket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30582.2 Definition by braid representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30582.3 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30682.4 Colored Jones polynomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30782.5 Relationship to other theories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

82.5.1 Link with ChernSimons theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30782.5.2 Link with quantum knot invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30782.5.3 Link with the Volume Conjecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30882.5.4 Link with Khovanov homology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

82.6 Open problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

xviii CONTENTS

82.7 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30982.8 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30982.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30982.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

83 Kauffman polynomial 31083.1 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31083.2 External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

84 KazhdanLusztig polynomial 31284.1 Motivation and history . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31284.2 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31284.3 Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31384.4 KazhdanLusztig conjectures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314

84.4.1 Remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31484.5 Relation to intersection cohomology of Schubert varieties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31584.6 Generalization to real groups . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31584.7 Generalization to other objects in representation theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31684.8 Combinatorial theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31684.9 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31684.10External links . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

85 Kharitonov region 31885.1 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31885.2 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

86 Kharitonovs theorem 31986.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31986.2 Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31986.3 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

87 Knot polynomial 32187.1 History . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32187.2 Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32287.3 See also . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

87.3.1 Specific knot polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32287.3.2 Related topics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

87.4 Further reading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

88 List of polynomial topics 32388.1 Terminology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32388.2 Basics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

88.2.1 Elementary abstract algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32488.3 Theory of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324

CONTENTS xix

88.4 Calculus with polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32588.5 Polynomial interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32588.6 Weierstrass approximation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32588.7 Linear algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32588.8 Named polynomials and polynomial sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32688.9 Knot polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32788.10Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32788.11Text and image sources, contributors, and licenses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

88.11.1 Text . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32888.11.2 Images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33488.11.3 Content license . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

Chapter 1

Abel polynomials

The Abel polynomials in mathematics form a polynomial sequence, the nth term of which is of the form

pn(x) = x(x an)n1.

The sequence is named after Niels Henrik Abel (1802-1829), the Norwegian mathematician.This polynomial sequence is of binomial type: conversely, every polynomial sequence of binomial type may beobtained from the Abel sequence in the umbral calculus.

1.1 Examples

For a=1, the polynomials are (sequence A137452 in OEIS)

p0(x) = 1;

p1(x) = x;

p2(x) = 2x+ x2;p3(x) = 9x 6x2 + x3;p4(x) = 64x+ 48x2 12x3 + x4;For a=2, the polynomials are

p0(x) = 1;

p1(x) = x;

p2(x) = 4x+ x2;p3(x) = 36x 12x2 + x3;p4(x) = 512x+ 192x2 24x3 + x4;p5(x) = 10000x 4000x2 + 600x3 40x4 + x5;p6(x) = 248832x+ 103680x2 17280x3 + 1440x4 60x5 + x6;

1.2 References Rota, Gian-Carlo; Shen, Jianhong; Taylor, Brian D. (1997). All Polynomials of Binomial Type Are Repre-

sented by Abel Polynomials. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze Sr. 4 25 (34):731738. MR 1655539. Zbl 1003.05011.

1

https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematicshttps://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_sequencehttps://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abelhttps://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_typehttps://en.wikipedia.org/wiki/Umbral_calculushttps://oeis.org/A137452https://en.wikipedia.org/wiki/On-Line_Encyclopedia_of_Integer_Sequenceshttps://en.wikipedia.org/wiki/Gian-Carlo_Rotahttp://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1997_4_25_3-4_731_0http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1997_4_25_3-4_731_0https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_Reviewshttps://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1655539https://en.wikipedia.org/wiki/Zentralblatt_MATHhttps://zbmath.org/?format=complete&q=an:1003.05011

2 CHAPTER 1. ABEL POLYNOMIALS

1.3 External links Weisstein, Eric W., Abel Polynomial, MathWorld.

https://en.wikipedia.org/wiki/Eric_W._Weissteinhttp://mathworld.wolfram.com/AbelPolynomial.htmlhttps://en.wikipedia.org/wiki/MathWorld

Chapter 2

AbelRuffini theorem

Not to be confused with Abels theorem.

x = bb24ac2a

A general solution to any quadratic equation can be given using the quadratic formula above. Similar formulas existfor polynomial equations of degree 3 and 4. But no such formula is possible for 5th degree polynomials; the realsolution 1.1673... to the 5th degree equation below cannot be written using basic arithmetic operations and nthroots:x5 x+ 1 = 0In algebra, the AbelRuffini theorem (also known as Abels impossibility theorem) states that there is no gen-eral algebraic solutionthat is, solution in radicals to polynomial equations of degree five or higher with arbitrarycoefficients.[1] The theorem is named after Paolo Ruffini, who made an incomplete proof in 1799, and Niels HenrikAbel, who provided a proof in 1823. variste Galois independently proved the theorem in a work that was posthu-mously published in 1846.[2]

2.1 Interpretation

The theorem does not assert that some higher-degree polynomial equations have no solution. In fact, the oppositeis true: every non-constant polynomial equation in one unknown, with real or complex coefficients, has at least onecomplex number as a solution (and thus, by polynomial division, as many complex roots as its degree, countingrepeated roots); this is the fundamental theorem of algebra. These solutions can be computed to any desired degreeof accuracy using numerical methods such as the NewtonRaphson method or Laguerre method, and in this way theyare no different from solutions to polynomial equations of the second, third, or fourth degrees. The theorem onlyshows that the solutions of some of these equations cannot be expressed via a general expression in radicals.Also, the theorem does not assert that some higher-degree polynomial equations have roots which cannot be expressedin terms of radicals. While this is now known to be true, it is a stronger claim, which was only proven a few yearslater by Galois. The theorem only shows that there is no general solution in terms of radicals which gives the roots toa generic polynomial with arbitrary coefficients. It did not by itself rule out the possibility that each polynomial maybe solved in terms of radicals on a case-by-case basis.

2.2 Lower-degree polynomials

The solutions of any second-degree polynomial equation can be expressed in terms of addition, subtraction, multi-plication, division, and square roots, using the familiar quadratic formula: The roots of the following equation areshown below:

ax2 + bx+ c = 0, a = 0

3

https://en.wikipedia.org/wiki/Abel%2527s_theoremhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_equationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_formulahttps://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebrahttps://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_solutionhttps://en.wikipedia.org/wiki/Nth_roothttps://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_equationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Coefficientshttps://en.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffinihttps://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abelhttps://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abelhttps://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galoishttps://en.wikipedia.org/wiki/Real_numbershttps://en.wikipedia.org/wiki/Complex_numbershttps://en.wikipedia.org/wiki/Polynomial_divisionhttps://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebrahttps://en.wikipedia.org/wiki/Newton%2527s_methodhttps://en.wikipedia.org/wiki/Laguerre_methodhttps://en.wikipedia.org/wiki/Square_roothttps://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_formula

4 CHAPTER 2. ABELRUFFINI THEOREM

x =b

b2 4ac2a

.

Analogous formulas for third- and fourth-degree equations, using cube roots and fourth roots, have been known sincethe 16th century.

2.3 Quintics and higher

The AbelRuffini theorem says that there are some fifth-degree equations whose solution cannot be so expressed.The equation x5 x + 1 = 0 is an example. (See Bring radical.) Some other fifth degree equations can be solvedby radicals, for example x5 x4 x + 1 = 0 , which factors into (x 1)(x 1)(x + 1)(x + i)(x i) = 0 .The precise criterion that distinguishes between those equations that can be solved by radicals and those that cannotwas given by variste Galois and is now part of Galois theory: a polynomial equation can be solved by radicals if andonly if its Galois group (over the rational numbers, or more generally over the base field of admitted constants) is asolvable group.Today, in the modern algebraic context, we say that second, third and fourth degree polynomial equations can alwaysbe solved by radicals because the symmetric groups S2, S3 and S4 are solvable groups, whereas Sn is not solvablefor n 5. This is so because for a polynomial of degree n with indeterminate coefficients (i.e., given by symbolicparameters), the Galois group is the full symmetric group Sn (this is what is called the general equation of the n-thdegree). This remains true if the coefficients are concrete but algebraically independent values over the base field.

2.4 Proof

The following proof is based on Galois theory (for a short explanation of Arnolds proof that does not rely on priorknowledge in group theory see [3]). Historically, Ruffini and Abels proofs precede Galois theory and Arnolds. Fora modern presentation of Abels proof see the books of Tignol or Pesic.One of the fundamental theorems of Galois theory states that a polynomial f(x) F[x] is solvable by radicals overF if and only if its splitting field K over F has a solvable Galois group,[4] so the proof of the AbelRuffini theoremcomes down to computing the Galois group of the general polynomial of the fifth degree.Let y1 be a real number transcendental over the field of rational numbersQ , and let y2 be a real number transcendentalover Q(y1) , and so on to y5 which is transcendental over Q(y1, y2, y3, y4) . These numbers are called independenttranscendental elements over Q. Let E = Q(y1, y2, y3, y4, y5) and let

f(x) = (x y1)(x y2)(x y3)(x y4)(x y5) E[x].

Expanding f(x) out yields the elementary symmetric functions of the yn :

s1 = y1 + y2 + y3 + y4 + y5

s2 = y1y2 + y1y3 + y1y4 + y1y5 + y2y3 + y2y4 + y2y5 + y3y4 + y3y5 + y4y5

s3 = y1y2y3 + y1y2y4 + y1y2y5 + y1y3y4 + y1y3y5 + y1y4y5 + y2y3y4 + y2y3y5 + y2y4y5 + y3y4y5

s4 = y1y2y3y4 + y1y2y3y5 + y1y2y4y5 + y1y3y4y5 + y2y3y4y5

s5 = y1y2y3y4y5.

The coefficient of xn in f(x) is thus (1)5ns5n . Let F = Q(si) be the field obtained by adjoining the symmetricfunctions to the rationals (the si are all transcendental, because the yi are independent). Because our independenttranscendentals yn act as indeterminates overQ , every permutation in the symmetric group on 5 letters S5 inducesa distinct automorphism onE that leavesQ fixed and permutes the elements yn . Since an arbitrary rearrangementof the roots of the product form still produces the same polynomial, e.g.:

(y y3)(y y1)(y y2)(y y5)(y y4)

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_equationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Cube_roothttps://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_equationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Bring_radicalhttps://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galoishttps://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theoryhttps://en.wikipedia.org/wiki/Galois_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_algebrahttps://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_(variable)https://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independencehttps://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theoryhttps://en.wikipedia.org/wiki/If_and_only_ifhttps://en.wikipedia.org/wiki/Splitting_fieldhttps://en.wikipedia.org/wiki/Galois_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Real_numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Rational_numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Algebraically_independenthttps://en.wikipedia.org/wiki/Symmetric_functionhttps://en.wikipedia.org/wiki/Automorphism

2.5. HISTORY 5

is still the same polynomial as

(y y1)(y y2)(y y3)(y y4)(y y5)

the automorphisms also leave f fixed, so they are elements of the Galois group G(E/F ) . So we have shownthat S5 G(E/F ) ; however there could possibly be automorphisms there that are not in S5 . However, since therelative automorphism group for the splitting field of a quintic polynomial has at most 5! elements, it follows thatG(E/F ) is isomorphic to S5 . Generalizing this argument shows that the Galois group of every general polynomialof degree n is isomorphic to Sn .And what of S5 ? The only composition series of S5 is S5 A5 {e} (where A5 is the alternating group on fiveletters, also known as the icosahedral group). However, the quotient groupA5/{e} (isomorphic toA5 itself) is not anabelian group, and so S5 is not solvable, so it must be that the general polynomial of the fifth degree has no solutionin radicals. Since the first nontrivial normal subgroup of the symmetric group on n letters is always the alternatinggroup on n letters, and since the alternating groups on n letters for n 5 are always simple and non-abelian, andhence not solvable, it also says that the general polynomials of all degrees higher than the fifth also have no solutionin radicals.Note that the above construction of the Galois group for a fifth degree polynomial only applies to the general poly-nomial, specific polynomials of the fifth degree may have different Galois groups with quite different properties, e.g.x5 1 has a splitting field generated by a primitive 5th root of unity, and hence its Galois group is abelian and theequation itself solvable by radicals; moreover the argument does not provide any rational-valued quintic that has S5or A5 as its Galois group. However, since the result is on the general polynomial, it does say that a general quinticformula for the roots of a quintic using only a finite combination of the arithmetic operations and radicals in termsof the coefficients is impossible. Q.E.D.

2.5 History

Around 1770, Joseph Louis Lagrange began the groundwork that unified the many different tricks that had been usedup to that point to solve equations, relating them to the theory of groups of permutations, in the form of Lagrangeresolvents. This innovative work by Lagrange was a precursor to Galois theory, and its failure to develop solutions forequations of fifth and higher degrees hinted that such solutions might be impossible, but it did not provide conclusiveproof. The theorem, however, was first nearly proved by Paolo Ruffini in 1799, but his proof was mostly ignored.He had several times tried to send it to different mathematicians to get it acknowledged, amongst them, Frenchmathematician Augustin-Louis Cauchy, but it was never acknowledged, possibly because the proof was spanning 500pages. The proof also, as was discovered later, contained an error. In modern terms, Ruffini failed to prove that thesplitting field is one of the fields in the tower of radicals which corresponds to the hypothesized solution by radicals;this assumption fails, for example, for Cardanos solution of the cubic; it splits not only the original cubic but alsothe two others with the same discriminant. While Cauchy felt that the assumption was minor, most historians believethat the proof was not complete until Abel proved this assumption. The theorem is thus generally credited to NielsHenrik Abel, who published a proof that required just six pages in 1824.[5]

Proving that some quintic (and higher) equations were unsolvable by radicals did not completely settle the matter,because the AbelRuffini theorem does not provide necessary and sufficient conditions for saying precisely whichquintic (and higher) equations are unsolvable by radicals; for example x5 1 = 0 is solvable. Abel was working on acomplete characterization when he died in 1829.[6] Furthermore, Ian Stewart notes that for all that Abels methodscould prove, every particular quintic equation might be soluble, with a special formula for each equation.[7]

In 1830 Galois (at the age of 18) submitted to the Paris Academy of Sciences a memoir on his theory of solvabilityby radicals; Galois paper was ultimately rejected in 1831 as being too sketchy and for giving a condition in termsof the roots of the equation instead of its coefficients. Galois then died in 1832 and his paper"Memoire sur lesconditions de resolubilite des equations par radicauxremained unpublished until 1846 when it was published byJoseph Liouville accompanied by some of his own explanations.[6] Prior to this publication, Liouville announcedGalois result to the Academy in a speech he gave on 4 July 1843.[8] According to Allan Clark, Galoiss characterizationdramatically supersedes the work of Abel and Ruffini.[9]

In 1963, Vladimir Arnold discovered a topological proof of the AbelRuffini theorem,[10] which served as a startingpoint for topological Galois theory.[11]

https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphismhttps://en.wikipedia.org/wiki/Composition_serieshttps://en.wikipedia.org/wiki/Alternating_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Icosahedral_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Quotient_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Abelian_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Normal_subgrouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Simple_grouphttps://en.wikipedia.org/wiki/Primitive_root_of_unityhttps://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrangehttps://en.wikipedia.org/wiki/Permutationhttps://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolventshttps://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_resolventshttps://en.wikipedia.org/wiki/Paolo_Ruffinihttps://en.wikipedia.org/wiki/Augustin-Louis_Cauchyhttps://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abelhttps://en.wikipedia.org/wiki/Niels_Henrik_Abelhttps://en.wikipedia.org/wiki/Ian_Stewart_(mathematician)https://en.wikipedia.org/wiki/Paris_Academy_of_Scienceshttps://en.wikipedia.org/wiki/Joseph_Liouvillehttps://en.wikipedia.org/wiki/Vladimir_Arnold

6 CHAPTER 2. ABELRUFFINI THEOREM

2.6 See also Theory of equations

Constructible number

2.7 Notes[1] Jacobson (2009), p. 211.

[2] Galois, variste (1846). OEuvres mathmatiques d'variste Galois.. Journal des mathmatiques pures et appliques XI:381444. Retrieved 2009-02-04.

[3] Short proof of Abels theorem that 5th degree polynomial equations cannot be solved.

[4] Fraleigh (1994, p. 401)

[5] du Sautoy, Marcus. January: Impossibilities. Symmetry: A Journey into the Patterns of Nature. ISBN 978-0-06-078941-1.

[6] Jean-Pierre Tignol (2001). Galois Theory of Algebraic Equations. World Scientific. pp. 232233 and 302. ISBN 978-981-02-4541-2.

[7] Stewart, 3rd ed., p. xxiii

[8] Stewart, 3rd ed., p. xxiii

[9] Allan Clark (1984) [1971]. Elements of Abstract Algebra. Courier Corporation. p. 131. ISBN 978-0-486-14035-3.

[10] Tribute to Vladimir Arnold (PDF).Notices of the AmericanMathematical Society 59 (3): 393. March 2012. doi:10.1090/noti810.

[11] Vladimir Igorevich Arnold. 2010.

2.8 References Edgar Dehn. Algebraic Equations: An Introduction to the Theories of Lagrange and Galois. Columbia Univer-

sity Press, 1930. ISBN 0-486-43900-3.

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

John B. Fraleigh. A First Course in Abstract Algebra. Fifth Edition. Addison-Wesley, 1994. ISBN 0-201-59291-6.

Ian Stewart. Galois Theory. Chapman and Hall, 1973. ISBN 0-412-10800-3.

Abels Impossibility Theorem at Everything2

2.9 Further reading Peter Pesic (2003). Abels Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability. MIT

Press. ISBN 978-0-262-66182-9.

2.10 External links Mmoire sur les quations algbriques, ou l'on dmontre l'impossibilit de la rsolution de l'quation gnrale

du cinquime degr PDF - the first proof in French (1824)

Dmonstration de l'impossibilit de la rsolution algbrique des quations gnrales qui passent le quatrimedegr PDF - the second proof in French (1826)

A video presentation on Arnolds proof.

https://en.wikipedia.org/wiki/Theory_of_equationshttps://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_numberhttp://visualiseur.bnf.fr/ark:/12148/cb343487840/date1846http://www.youtube.com/watch?v=RhpVSV6iCkohttps://en.wikipedia.org/wiki/Abel%E2%80%93Ruffini_theorem#CITEREFFraleigh1994https://en.wikipedia.org/wiki/Marcus_du_Sautoyhttps://en.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-06-078941-1https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-06-078941-1https://en.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-981-02-4541-2https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-981-02-4541-2https://en.wikipedia.org/wiki/International_Standard_Book_Numberhttps://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-0-486-14035-3http://www.ams.org/notices/201203/rtx120300378p.pdfht