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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE

MINAS GERAIS

Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e Matemática

GEOMETRIA TÁXI – UMA EXPLORAÇÃO ATRAVÉS DE ATIVIDADES

DIDÁTICAS

Sulamita Maria Comini César

Belo Horizonte

2010

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GEOMETRIA TÁXI – UMA EXPLORAÇÃO ATRAVÉS DE ATIVIDADES

DIDÁTICAS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós graduação em

Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade

Católica de Minas Gerais, como requisito parcial à obtenção do

título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática.

Orientadora: Drª Eliane Scheid Gazire

Belo Horizonte

2010

FICHA CATALOGRÁFICA

Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

César, Sulamita Maria Comini

C421g Geometria táxi – uma exploração através de atividades didáticas / Sulamita

Maria Comini César. Belo Horizonte, 2010.

96 f.: il.

Orientadora: Eliane Scheid Gazire

Dissertação (Mestrado) - Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais.

Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática.

1. Geometria não-euclidiana. 2. Geometria euclidiana. 3. Aprendizagem por

atividades. 4. Matemática – Estudo e ensino (Ensino médio). 5. Professores -

Formação. I. Gazire, Eliane Scheid. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais. Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III.

Título.

CDU: 513:373

3


GEOMETRIA TÁXI:

Uma exploração através de atividades didáticas

Dissertação apresentada ao Programa de

Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática

da Pontifícia Universidade Católica de Minas

Gerais, como requisito parcial para obtenção

do título de Mestre em Ensino de Ciências e

Matemática.

Eliane Scheid Gazire

_____________________________________________________

Eliane Scheid Gazire (Orientadora) - PUC Minas

Dimas Felipe de Miranda

_____________________________________________________

Dimas Felipe de Miranda – PUC Minas

Luiz Carlos Almeida Magalhães

______________________________________________________

Luiz Carlos Almeida Magalhães – PUC Minas

Belo Horizonte, 10 de dezembro de 2010.

4

A Deus: porque é dele que vem a força para nos manter na caminhada, mesmo

em momentos difíceis.

À Thais e ao Flávio: pessoas tão importantes na minha vida.

À minha mãe: aquela que me cobrou sempre o cumprimento dos meus

compromissos.

À minha irmã Maria Eugênia: que foi a primeira pessoa a me incentivar a

fazer esse mestrado.

5

AGRADECIMENTOS

Agradecer é sempre muito bom, significa que muitas pessoas se ocuparam em nos

ajudar a alcançar nossos objetivos.

As primeiras pessoas que quero agradecer são a minha orientadora Eliane e o meu co-

orientador, o Dimas. Ela às vezes brava e exigente, mas sempre carinhosa. Ele

acreditando sempre que daríamos conta de chegar ao final, mesmo com todas as pedras

encontradas pelo caminho. Vocês dois são pessoas iluminadas. Fazem o seu trabalho,

ultrapassando o limite do orientador profissional, para o orientador de vida.

Agradecer aos meus filhos, que tantas vezes me ajudaram com seus conselhos e

orientações, de forma especial à minha filha Thais que se propôs a ler o trabalho e fazer

a tradução do resumo. Thais e Flavinho, muito obrigada! Amo muito vocês.

Agradecer a minha irmã Maria Eugênia, que me ligou de Ponte Nova, quando viu o

cartaz de propaganda do mestrado e me disse que ele havia sido feito para mim.

Agradecer à minha mãe que sempre me incentivou e me ajudou.

Não posso deixar de agradecer de forma muito especial à minha grande amiga Luciana.

Ela sempre esteve ao meu lado me incentivando, me ouvindo, me consolando nos

momentos de desespero, quando eu achava que não chegaria ao final. Lu, você tem um

lugar especial no meu coração.

Agradecer também

Aos meus colegas de mestrado, Jane, Dora, Patrícia, Dárcio, Alessandro,

Geraldo e Raimundo, cada um a seu jeito sempre me deram uma palavra de

incentivo.

Ao professor João Bosco. Talvez nem ele saiba a importância que teve para a

minha permanência no curso. Suas palavras, em um dia que eu estava muito

desanimada, fizeram que eu repensasse a minha decisão de parar.

Á professora Maria Clara que nos desafiou todo o tempo, para que crescêssemos

como profissionais.

6

Ao professor Amauri que nos ensinou que a vida não pode ser vivida de forma

complicada. Ele sempre dizia “ é só isso”. E essa frase foi muito importante para

mim.

Á professora Agnela que nos mostrou um jeito muito especial de relacionar com

alunos.

Á professora Lídia, que me despertou para o estudo da Filosofia.

Aos colegas das turmas III e IV, do Mestrado Profissional da Puc minas, que

participaram da nossa pesquisa, contribuindo de forma essencial para

alcançarmos o nosso objetivo.

Aos colegas e funcionários do Departamento de Matemática da Puc,

especialmente ao Fábio, à Margareth e à professora Lourdinha.

Às minhas irmãs Cibele, Mirtes, Níobe e Ceres que sempre torceram pelo meu

sucesso.

À minha querida amiga Beth, que sempre foi uma irmã para mim.

Às minhas grandes amigas Cleuza, Gilda, Mary, Maú e Natália pelas constantes

palavras de estímulo. Cada uma de vocês contribuiu de uma forma para me

incentivar nas horas que pensei que não daria conta de chegar ao final.

Aos meus cunhados Alexandre, André, Aninha, Breno, Márcia e Jussara que

cobravam sempre a data da minha defesa.

À dona Carmen que me incentivou desde o início desse meu curso.

Ao meu querido Renato, pessoa muito especial na minha vida, que soube dizer

as palavras certas, na hora certa.

Enfim, a todos que, de uma forma ou de outra, contribuíram para que eu

chegasse até aqui.

7

“O que vale na vida não é o ponto de partida e sim a caminhada.

Caminhando e semeando, no fim terás o que colher.”

Cora Coralina

8

RESUMO

Esse trabalho tem como objetivo a construção de atividades para o ensino da

Geometria Táxi. Nesse trabalho, a exploração da Geometria Táxi foi feita

através de um paralelo com a Geometria Euclidiana, destacando seus pontos em

comum e seus pontos de divergência. A compreensão da Geometria Táxi pode

favorecer sua implementação em cursos regulares de matemática, no ensino

fundamental e médio, possibilitando aos alunos dessa faixa etária a oportunidade

de conhecer uma Geometria não Euclidiana. Para a elaboração desse trabalho foi

feito, inicialmente, um estudo teórico da Geometria Táxi tendo como referência

os autores Krause (1975) e Miranda (1999). Os autores utilizados como

referência para o estudo da Geometria Euclidiana foram Antar Neto (1979) e

Dolce e Pompeo (2005). Após apropriação desses conhecimentos, foram

elaboradas atividades didáticas que foram aplicadas a professores universitários,

que fizeram suas críticas e sugestões. A conclusão a que se chegou foi que

apesar das ponderações feitas, a utilização da Geometria Táxi é possível em

cursos regulares de matemática no Ensino Básico.

Palavras chave: Geometria Táxi, Formação de Professores, Ensino de

Matemática

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ABSTRACT

This work aims at the construction of activities for the teaching of Taxi Geometry. In

this work, the exploration of Taxi Geometry was made through a comparison with

Euclidean Geometry, highlighting their commonalities and their points of divergence.

The understanding of Taxi Geometry can encourage its implementation in math regular

courses in elementary and secondary education, enabling students of this age group the

opportunity to meet a non-Euclidean Geometry. For the elaboration of this work it was

proceeded, initially, a theoretical study of Taxi Geometry with reference to the authors

Krause (1975) and Miranda (1999). The authors used as reference for the study of

Euclidean Geometry were Antar Neto (1979) and Dolce and Pompeo (2005). After

appropriation of this knowledge, didactic learning activities were developed and applied

to university teachers, who made their criticisms and suggestions. The reached

conclusion was that although the considerations presented, the use of Taxi Geometry is

possible in regular courses in mathematics in elementary and secondary school.

Keywords: Taxi Geometry, Teacher Education, Math Teching

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Postulado número 5 de Euclides.......................................................... 23

Figura 2 - Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r 24

Figura 3 - Reta perpendicular a BCDE .................................................................. 25

Figura 4 - Circunferência formada por apenas dois pontos .................................. 27

Figura 5 - d(X1,X2) + d(X2,X3) > d(X1,X3) ............................................................ 29

Figura 6 - d(X1,X2) + d(X2,X3) = d(X1,X3) ............................................................ 30

Figura 7 - d(X1,X2) + d(X2,X3) < d(X1,X3) ............................................................ 30

Figura 8 - Ponto, reta e plano – conceitos primitivos da geometria euclidiana .. 33

Figura 9 - Pontos, retas e planos com as notações convencionadas .................. 33

Figura 10- Malha quadriculada ........................................................................... 34

Figura 11- Pontos A, B e C, localizados na malha quadriculada ....................... 34

Figura 12- Blocos na malha quadriculada .......................................................... 34

Figura 13- Pontos adjacentes e pontos não adjacentes ....................................... 35

Figura 14- Bloco AB incidente com os pontos A e B e Bloco CD não é

incidente com ponto E........................................................................

35

Figura 15- Viagem redonda ................................................................................ 36

Figura 16- Viagem redonda do ponto A ao ponto B .......................................... 36

Figura 17- Viagem redonda de A até B ............................................................. 37

Figura 18- T(A,B) ............................................................................................... 37

Figura 19- Viagem de A até B ........................................................................... 38

Figura 20- Caminho direto do ponto A ao ponto B ........................................... 38

Figura 21- Três caminhos diferentes entre A e B .............................................. 39

Figura 22- Dez diferentes caminhos entre os pontos A e B .............................. 40

Figura 23- Reta AB ........................................................................................... 41

Figura 24- Duas retas Táxi que se interceptam no ponto A ............................... 41

Figura 25- Retas paralelas r e s ........................................................................... 42

Figura 26- Reta r paralela à reta s ....................................................................... 42

Figura 27- As retas r e s se interceptam no ponto C e são paralelas à reta t ...... 43

Figura 28- Reta AB e segmento de reta AB ...................................................... 43

Figura 29- Segmento de reta AB ....................................................................... 44

Figura 30- Dois segmentos de reta AB .............................................................. 44

Figura 31- A reta r é a mediatriz do segmento AB ............................................ 45

Figura 32- Os pontos P e Q são equidistantes de A e B .................................... 45

Figura 33- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB .......................................... 46

Figura 34- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB .......................................... 47

Figura 35- Mediatriz Táxi considerando a restrição de reta única ..................... 48

Figura 36- Mediatriz Táxi sem a consideração de reta única ............................. 48

Figura 37- Mediatriz Táxi de um segmento horizontal AB ............................... 49

Figura 38- Triângulo Táxi ABC ......................................................................... 49

Figura 39- Triângulo Táxi ADE ......................................................................... 50

Figura 40- Triângulo Táxi Escaleno ................................................................... 50

Figura 41- Triângulo Táxi Isósceles ................................................................... 51

Figura 42- Triângulo Táxi Equilátero ................................................................. 51

Figura 43- Triângulo Equilátero de lado 8 unidades .......................................... 52

Figura 44- Triângulo Equilátero de lado 8 unidades .......................................... 52

Figura 45- Triângulo ABC e triângulo MNP ...................................................... 53

11

Figura 46- Triângulo ABC e triângulo RST, de mesma forma ........................... 54

Figura 47- Triângulo ABC e triângulo PMN onde a desigualdade triangular não

se verifica.............................................................................................

55

Figura 48- Quadrado Táxi MNPQ ....................................................................... 56

Figura 49- Quadrado Táxi de lado 4 unidades .................................................... 56

Figura 50- Quadrado de lados 5 unidades .......................................................... 57

Figura 51- Quadrilátero de lados 5, 5, 2 e 8 unidades ........................................ 57

Figura 52- Triângulo de lados 5, 5 e 10 unidades ............................................... 58

Figura 53- Quadrado de lado 5 unidades ........................................................... 58



Figura 56- Quadrado ABCD, destacando o ponto M, ponto médio da diagonal

AC .....................................................................................................

60

Figura 57- Quadrado ABCD, destacando o ponto N, ponto médio da diagonal

BD ......................................................................................................

61

Figura 58- Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD ....................................... 61

Figura 59- Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD ....................................... 62

Figura 60- Circunferência Euclidiana de centro C .............................................. 62

Figura 61- Circunferência Táxi de raio 3 unidades ............................................. 63

Figura 62- Circunferência Táxi no 2 ................................................................. 64

Figura 63- Três circunferências Táxi ................................................................... 64

Figura 64- Circunferência Táxi na malha quadriculada ...................................... 65

Figura 65- Circunferência Táxi de raio 4 ............................................................ 66

Figura 66- Parte de uma circunferência Táxi de raio R ...................................... 67

Figura 67- Distância Táxi no referencial cartesiano ........................................... 67

Figura 68- Distância Euclidiana entre os pontos A e B 69

Figura 69- Mediatriz Táxi do segmento de reta AB............................................ 73

Figura 70- Mediatriz Táxi do segmento de reta MN ........................................... 74

Figura 71- Circunferência Táxi no referencial cartesiano..................................... 76

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LISTA DE ABREVIATURAS

UFMG – Universidade Federal de Minas Gerais

PREPES – Programa Permanente de Preparação de Professores do Ensino Superior

PUC – SP –Pontifícia Universidade Católica de São Paulo

EEUFMG – Escola de Engenharia da UFMG

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SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 14

2 UMA CAMINHADA ATÉ A GEOMETRIA TÁXI ......................................... 19

3 A GEOMETRIA TÁXI ........................................................................................ 26

3.1 – Métrica e Espaços Métricos ................................................................... 26

3.2 – Proposições Primitivas ........................................................................... 32

3.2.1 – Geometria Euclidiana ................................................................. 32

3.3 – Geometria Táxi ....................................................................................... 33

3.4 – Definições na Geometria Táxi ............................................................... 36

3.5 – Quantidade de Caminhos Diretos entre dois pontos na Malha Táxi ... 38

3.6 – A Reta na Geometria Táxi ..................................................................... 40

3.7 – Segmento de Reta ................................................................................... 43

3.7.1 – Mediatriz ..................................................................................... 44

3.8 – Triângulos na Geometria Táxi .............................................................. 49

3.8.1 – Classificação dos triângulos quanto aos lados .......................... 50

3.8.2 – Congruência de Triângulos ........................................................ 53

3.8.3 – Desigualdade Triangular ........................................................... 54

3.9 – Quadrado na Geometria Táxi ................................................................ 56

3.10 – A Circunferência na Geometria Táxi .................................................. 63

3.10.1 – Cálculo de “” na Geometria Táxi .......................................... 64

3.11 – A Geometria Táxi no Referencial Cartesiano ..................................... 68

3.11.1 – A distância Táxi ........................................................................ 68

3.11.2 – Equivalência entre dT e dE .................................................................................... 70

3.11.3 – A mediatriz Táxi no referencial cartesiano .............................. 70

3.11.4 – A circunferência Táxi ............................................................... 74

4 A PESQUISA: DESCRIÇÃO, OBSERVAÇÕES E ANÁLISE ....................... 77

4.1 – O Caminho Trilhado .............................................................................. 78

4.1.1 - 1a Etapa: Pesquisa Bibliográfica ............................................... 79

4.1.2 – 2a Etapa: Elaboração das Atividades ........................................ 80

4.1.3 – 3a Etapa: Aplicação das Atividades ........................................... 84

4.1.4 – 4a Etapa: Análise da aplicação das atividades .......................... 86

4.1.5 – 5a Etapa: A socialização com os grupos .................................... 90

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................... 94

6 REFERÊNCIA ...................................................................................................... 96

7 APÊNDICES ......................................................................................................... 97

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1 INTRODUÇÃO

Começamos os nossos estudos em 1962, no Colégio Regina Pacis (uma escola

de freiras da congregação das Concepcionistas Missionárias do Ensino), onde cursamos

o terceiro período do jardim de infância, o curso primário e o curso ginasial. Ao

terminar o ginásio, a escola nos informou que iniciaria um curso novo, de quatro anos,

que nos daria condições de prestar o vestibular e também nos forneceria o certificado de

normalista, dando-nos oportunidade de trabalhar em escolas, dando aulas em cursos

primários.

Eu me sentia muito feliz com isso porque sentia uma pressão muito grande por

parte de algumas pessoas da família e de alguns pais de amigas para fazer o curso

superior embora a minha vontade fosse trabalhar em uma escola primária, dando aulas

para crianças menores. Com esse curso eu poderia agradar a gregos e troianos: faria o

que eu realmente queria e teria condições para fazer o vestibular quatro anos após. Eu

pensava que após quatro anos eu já estaria mais madura e com mais condições de

realmente fazer o que eu queria.

Mas tudo mudou quando a turma não se formou por falta de alunos e a escola

comunicou aos pais que, infelizmente, não abriria o curso colegial, de forma alguma.

Foi uma corrida para conseguirmos uma escola, já que os exames de seleção de muitas

delas já haviam acontecido. Com esse transtorno, criado pela não abertura da turma,

acabei sendo matriculada no colégio Santo Antônio, que nessa época ainda não exigia

exame de seleção e fazia as matrículas por ordem de chegada. Iniciei o primeiro

colegial!

Foi uma experiência duríssima! No Colégio Regina Pacis eu era uma aluna que

apresentava um rendimento muito bom. Nessa escola estudavam apenas meninas e o

número de alunas por turma era muito pequeno. No último ano nessa escola, a turma

tinha 15 alunas, todas morando no mesmo bairro, convivendo dentro e fora do ambiente

escolar. De repente eu me vi em uma escola mista, enorme, com 50 alunos em sala, com

professores que não sabiam o seu nome, que davam matéria sem saber se você havia

entendido ou não. Foi um ano de muito sofrimento! Eu hoje, quando penso naquele ano,

não consigo entender como consegui sobreviver a tanta pressão. Mas sobrevivi! As

aulas de Geometria Espacial ainda estão na minha memória. Eram dados teoremas e

mais teoremas no quadro e tínhamos que decorar as demonstrações para a prova. Não

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consigo me esquecer de uma colega, Cláudia, que depois de uma prova, me perguntou

se eu havia acertado a demonstração. Eu disse que não, que não havia conseguido

decorar todas elas e que havia caído uma que eu não decorara. Ela me disse que eu tinha

sido muito ingênua em não estudar o único teorema que tinha a demonstração mais

longa e mais elaborada. Segunda ela, era evidente que cobrariam a demonstração “mais

difícil”. Ela decorou apenas essa e conseguiu uma nota alta na avaliação. Eu me senti

muito mal. Será que eu merecia ter perdido a questão sendo que eu tinha decorado

muito mais demonstrações do que ela? Isso nunca saiu da minha cabeça. Consegui fazer

o segundo ano e no terceiro ano, decidi fazer o curso de Matemática. A essa altura o

meu sonho de ser professora primária estava descartado! Não havia mais espaço para

ele! A decisão em fazer o curso de Matemática veio pela facilidade nessa matéria e por

imaginar que eu poderia poupar as pessoas de sofrerem o que eu estava sofrendo

naquela escola, tendo que aprender uma matemática tão difícil e tão inacessível. Eu

senti nessa escolha que estava fazendo um compromisso de vida: trabalhar com pessoas

que tivessem dificuldade em Matemática e fazê-las conseguir transpor essa dificuldade.

“Para que o conhecimento seja pertinente, a educação deverá torná-los evidentes.”

(MORIN, Os Sete Saberes Necessários à Educação do Futuro, 2007, p. 36)

Terminei o colegial, entrei na UFMG e comecei o curso de Matemática. Após

três semestres eu não queria mais saber daquela vida lá na Pampulha. O que eles me

ofereciam naquele curso, tão teórico, não era o que eu queria para mim. Eu trabalhava

muito com aulas particulares em casa e o curso não tinha nada a ver com o que eu fazia.

Hoje eu tenho certeza disso mas, na época, eu não conseguia entender. Só sentia uma

insatisfação muito grande. Resolvi mudar para o curso de Engenharia Civil, que na

época era um curso muito concorrido, para acompanhar meus colegas do Colégio Santo

Antônio, que se preparavam para sair da Pampulha e estudar na escola de engenharia

que, na época, ficava no centro da cidade. Fiz novo vestibular, passei e fiz o curso.

Já graduada, fui dar aulas na EEUFMG. Parecia que tudo estava bem! Iniciei um

curso de aperfeiçoamento na universidade, na área de engenharia civil e parecia que

nessa escola eu permaneceria muito tempo.

Por questões particulares precisei mudar de Belo Horizonte e morar no interior

de Minas Gerais. Nas cidades onde morei sempre procurei escolas para trabalhar e

sempre me deparei com o problema da falta de diploma em licenciatura em Matemática.

Isto me levou a tomar uma decisão: retomar o curso de licenciatura em Matemática.

Quando voltei a Belo Horizonte, me inscrevi no vestibular do então Instituto Cultural

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Newton Paiva Ferreira. Optei por essa escola por ser uma escola próxima à minha casa,

e por não querer voltar à UFMG, já que o curso lá não havia me agradado.

Fiquei bastante surpresa quando comecei o curso na Newton de Paiva. Lá

encontrei professores que trabalhavam com Educação Matemática. O curso era bem

diferente daquele que eu havia cursado na UFMG. Havia aulas onde experimentávamos

materiais usados no Centro Pedagógico da UFMG, uma escola que já naquela época

trabalhava a Matemática de forma diferenciada. Terminei o curso de Matemática!

Comecei meu trabalho em escolas de Belo Horizonte, dando aulas para turmas

de Ensino Fundamental, Ensino Médio e Superior. Durante algum tempo trabalhei no

então Instituto Cultural Newton Paiva Ferreira na cadeira de Didática da Matemática.

Nessa caminhada, fiz o PREPES, em 1986/87. Após o PREPES, pensei

continuar meus estudos de forma regular, mas a realidade da vida mais uma vez me

obrigou a mudar o sentido da minha caminhada.

Paralelamente ao meu trabalho em sala de aula, durante três anos trabalhei na

formação continuada de professores da Rede Pitágoras, experiência que me permitiu

conhecer muitas realidades do nosso país. Foram experiências muito ricas nessa

caminhada por escolas no interior da Bahia, do Pará, de Rondônia, do Espírito Santo e

de Minas Gerais. Mesmo com realidades bem distintas, uma coisa era comum: a grande

dificuldade dos alunos em entender Matemática e a ansiedade de muitos professores na

tentativa, muitas vezes frustrada, de ensiná-la. Nessas oficinas aprendi muito. As

discussões com os professores eram sempre muito ricas e eles quase sempre

aproveitavam esse espaço para desabafarem um pouco e trocarem experiências. Percebi

que para muitos aquele espaço era o único que tinham para poder trocar idéias.

A vida foi transcorrendo sem mudanças até que surgiu a oportunidade de fazer o

mestrado profissional na Puc - Minas.

No início do mestrado foi tudo muito novo! Como eu havia ficado muito tempo

fora da academia, esse universo era muito estranho para mim: pôsters, papers, currículo

lattes, tudo era novo! Esse vocabulário não fazia parte do meu dia-a-dia. Eu passei

muitos anos lutando para sobreviver e criar meus filhos, sem cuidar da minha vida

acadêmica. Parecia que eu estava me despertando para uma nova realidade. Era uma

situação nova na minha vida. Mas eu estava pronta para começar essa empreitada,

embora um pouco assustada com esse novo mundo.

“Quando uma criatura humana desperta para um grande sonho e sobre ele lança toda a força de sua fé,

todo o universo conspira a seu favor.” (COELHO,1988, p.98)

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As dificuldades foram muitas! Uma delas foi a escolha do tema da dissertação.

Essa escolha me levou a muitas reflexões e a travar uma luta interna muito grande

Primeiramente veio a vontade de falar de tudo! Queria estudar tudo, ler um

pouco de tudo. Não era possível. Pensei pesquisar sobre a importância da língua

portuguesa na construção do pensamento matemático, mas isso ficará para um próximo

estudo.

Durante as aulas de Geometria não Euclidiana do Mestrado, tive contado com

textos da dissertação “"Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e

urbanos - Uma análise exploratória" (Miranda, 1999). Sendo Miranda professor desta

disciplina e tendo eu me interessado pela Geometria Táxi, solicitei-lhe indicar-me mais

material bibliográfico sobre o assunto.

Percebi que com a Geometria Táxi eu estaria lidando com uma Geometria de

múltiplos apelos, de múltiplas abordagens. Sendo uma geometria de quem transita

dentro de casa, entre mesas, camas, cadeiras, armários ou de um cômodo para outro, ou

pelas ruas, ela pode ser abordada em um nível até infantil. Isso satisfaz, de certa forma,

o meu remoto desejo de trabalhar com o ensino para crianças.

Em níveis mais elevados, confrontando a Geometria Táxi (de caráter não

euclidiano) com a Geometria Euclidiana (plana e/ou espacial), percebi que os conceitos

e teorema cujas demonstrações exigiam de mim (e de meus colegas) muito esforço para

decorar, ganham mais visibilidade, interpretação e significados.

No nível superior, a Geometria Táxi encontra seus fundamentos na avançada

área da Topologia, ao se estudar Espaços Métricos. Assim, esse tema também permitiria

rever meus estudos universitários.

A proposta, então, de meu trabalho, após os recortes foi o de elaborar um

Conjunto de Atividades Didáticas sobre Geometria Táxi, destinado a alunos do Ensino

Fundamental e Médio, conforme teoria de Zabala (1998).

Segundo Zabala (1998) algumas questões devem ser levantadas quando

pretendemos construir e aplicar uma sequência de atividades:

a) Como utilizar os conhecimentos prévios que cada aluno tem em relação aos

novos conteúdos de aprendizagem?

b) Esse conteúdos são propostos de forma que sejam significativos e funcionais

para os alunos?

c) Essas atividades estão adequadas ao nível dos alunos com os quais queremos

trabalhar?

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d) Os alunos se sentirão desafiados de forma tal que precisem se esforçar para

alcançar os objetivos propostos, mas esses desafios não são tão altos que se

sintam desanimados?

e) Essas atividades estimulam a auto-estima dos alunos?

Essas atividades tornam os alunos cada vez mais autônomos no seu processo de

aprendizagem?

f) Essas atividades permitem ao aluno concluir que valeu a pena o esforço

investido nesse estudo, isto é, ele realmente aprendeu alguma coisa?

Elaboramos as atividades e usamos o método da observação participativa à luz

dessas questões, visando três objetivos específicos:

a) Que o aluno conheça uma geometria não euclidiana de forma acessível a

ele.

b) Que os conceitos da Geometria Táxi tenham significado para os alunos.

c) Criar um conjunto de atividades, que possa ser usado por professores de

escolas de ensino fundamental e médio.

Por se tratar de atividades sobre um assunto não explorado ainda, entre

professores do meio escolar, os sujeitos desta pesquisa foram exatamente dois grupos de

professores.

A questão a ser respondida por essa pesquisa foi assim formulada:

“Quais as reações e questionamentos que professores de matemática apresentam ao lidar

com tópicos de Geometria Táxi e quais sugestões eles indicam para um conjunto de

atividades, destinado a alunos dos ensino Fundamental e Médio?”

Nesse capitulo 01, apresentamos a Introdução. O Capítulo 02 revisa um pouco

da história da Geometria, visando situar as Geometrias não Euclidianas.

O capítulo 03 trata da construção da Geometria Táxi, com os conceitos,

definições, convenções, propriedades e figuras geométricas, em formato paralelo com a

Geometria Euclidiana.

O capítulo 04 sintetiza a pesquisa realizada, expondo a Descrição, as

Observações e a Análise.

No capítulo 05 relatamos as Considerações Finais.

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2 UMA CAMINHADA ATÉ A GEOMETRIA TÁXI

A história é feita com documentos. Nossa caminhada se inicia nos povos que

viveram no Oriente Antigo. Escreveremos, de forma sucinta, apenas sobre os povos

babilônios e egípcios e justificamos nossa limitação em um trecho do livro de Howard

Eves.

Há dificuldades em localizar no tempo as descobertas feitas no Oriente

Antigo. Uma dessas dificuldades reside na natureza estática da estrutura

social e no prolongado isolamento de certas áreas. Outra dificuldade se deve

aos materiais de escrita sobre os quais as descobertas se preservaram. Os

babilônios usavam tábulas de argila cozida e os egípcios usavam pedra e

papiro, tendo esses últimos felizmente existências duradoura em virtude do

pouco comum clima seco da região. Mas os primitivos chineses e os indianos

usavam material muito perecível, como casca de árvore e bambu. Assim,

enquanto se dispõe de apreciável quantidade de informações definidas sobre

a matemática dos antigos babilônios e egípcios, muito pouco se conhece

sobre essa matéria, com certo grau de certeza, no que diz respeito à China e à

Índia na mesma época. (EVES, 1997, p. 58)

Os povos aos poucos foram sentindo a necessidade de cultivar seus alimentos já

que com o aumento das comunidades, a busca por alimentação foi se tornando cada vez

mais difícil. Surgiu o que se chamou de “revolução agrícola”, que obrigou os povos a se

assentarem em locais fixos, criando pequenos vilarejos, que viriam a se tornar depois

cidades, e começar a cultivar seus alimentos. Para isso foi necessário que observassem o

período das cheias, que aprendessem a armazenar água para a época da seca, que

calculassem espaços para armazenar alimentos. Foi necessário, portanto, que

desenvolvessem a capacidade de medir. Foi essa necessidade de medir que desenvolveu

a geometria dos povos, dos quais falaremos a seguir.

Os babilônios desenvolveram o cálculo de áreas e volumes. Eles conheciam

formas de calcular áreas de triângulos, retângulos e trapézio retângulo. Consideravam

como área da circunferência o triplo do diâmetro, que é um valor correto se

consideramos pi com o valor 3. Além disso já conheciam o volume do prisma de base

trapezoidal e do cilindro. Já o volume do tronco de pirâmide quadrangular regular era

calculado de forma errada: eles multiplicavam a altura pela semi-soma das áreas das

bases. Conheciam a medida do ângulo inscrito em uma semi-circunferência. Também

conheciam a relação entre os lados de um triângulo retângulo. “Em 1936, desenterrou-se

em Susa a cerca de 200 milhas da Babilônia, um grupo de tábulas dos Antigos

20

Babilônios.”(EVES, 1997, p. 35) Em uma dela verificou-se que eles estimavam para pi

o valor do número misto 8

13 .

Segundo Otto Neugebauer, deve-se aos babilônios a divisão da circunferência

em 360 partes iguais.

A matemática egípcia não se desenvolveu da mesma forma que a matemática

babilônia. Por ser um lugar onde havia uma economia mais desenvolvida, onde muitas

caravanas passavam, a Babilônia acabou sendo um local de maior desenvolvimento que

o Egito. Porém, não se pode negar a importância da matemática egípcia, principalmente

a geometria egípcia. Durante muito tempo, os estudiosos julgaram a matemática egípcia

mais desenvolvida que a babilônia. Isso ocorreu porque os registros egípcios foram

obtidos de forma mais rápida e mais eficiente que os babilônios.

Os papiros egípcios foram preservados dentro das pirâmides, favorecidos pelo

clima extremamente seco da região. Já as tabulas babilônias, se espalharam por diversos

locais, e até hoje em dia são encontradas e em locais distantes da Babilônia. Isso

favoreceu o conhecimento precoce da matemática egípcia em relação à babilônia. Alem

disso, em 1799, engenheiros franceses, escavavam para a construção de um forte

quando encontraram uma pedra, com inscrições em grego e em escrita egípcia. Através

do sábio francês, Fraçois Champollion (1790-1832), que conseguiu fazer a relação entre

os dois idiomas, foi possível ler os papiros egípcios. Como essa pedra foi encontrada no

braço Roseta no delta do rio Nilo, ela ficou conhecida como pedra de Roseta e hoje se

encontra no Museu Britânico.

O papiro mais extenso entre os de natureza matemática, com cerca de 0,30m de

altura e 5m de comprimento é o papiro de Rhind, ou papiro de Ahmes. Nesse papiro há

uma razoável aproximação para o valor de pi (6

13 ).

A “revolução agrícola” foi um grande salto para o desenvolvimento da

civilização e, particularmente, para a matemática. Ela proporcionou o surgimento e

crescimento das cidades e o desenvolvimento da escrita. Os primeiros desenvolvimentos

tecnológicos vêm dessa época, como os projetos de irrigação. Grandes monumentos são

construídos como as pirâmides do Egito. Após a decadência dos povos do Antigo

Oriente, a civilização grega começa a surgir como a grande civilização que dominará

por algum tempo o cenário do desenvolvimento. A Grécia não é um país. É um conjunto

de cidades-estado que se desenvolvem independentemente e que trazem, cada uma

21

delas, suas características. Uma delas, Atenas, se destaca das demais pelo seu interesse

cultural. É em Atenas que surgem grandes filósofos como Sócrates e Platão, cientistas

como Aristóteles e dramaturgos como Aristófanes.

A civilização grega caracterizou-se pelo gosto ao conhecimento. E na

matemática não poderia ser diferente. Tudo que os gregos que viajavam pelo Oriente

traziam em sua bagagem cultural, era estudado. Tales

[...] era considerado um ‘discípulo dos egípcios e caldeus’, hipótese que

parece plausível. A proposição agora conhecida como teorema de Tales – que

um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto – pode ter sido

aprendida por Tales durante suas viagens à Babilônia. (BOYER, 1974, p. 34)

E, pela primeira vez, houve a preocupação com a demonstração. Até então a

pergunta era, como se chegava a tal conhecimento. Agora a pergunta era, por quê. Era

o início do racionalismo. E essa nova maneira de pensar a matemática teria como “pai”,

Tales de Mileto.1

Pitágoras foi uma figura bastante ‘misteriosa’ da civilização grega. Não existe

uma prova contundente de sua existência. O que se sabe são apenas conjecturas. Existiu

uma sociedade secreta, que atribuía um número a quase todas as situações da vida. Essa

sociedade secreta, conhecida como Pitagórica teria como líder essa figura enigmática

chamada Pitágoras. Ele teria nascido na ilha de Samos, no ano de 500 a.C.. Pitágoras,

assim como Tales, também viajou pelo Egito e pela Babilônia, indo possivelmente até a

Índia.

Nesse cenário de busca de uma matemática racional, surge Euclides, que escreve

uma coleção de livros conhecida como ‘Elementos de Euclides’. “Nenhum trabalho,

exceto a Bíblia, foi tão largamente usado ou estudado e, provavelmente, nenhum

exerceu influência maior no pensamento científico” (EVES,1997, p. 167).

Antes de Euclides outros já haviam criado seus Elementos. De acordo com o

Sumário Eudemiano2 de Proclo, há uma seqüência de Elementos: Elementos de

Hipócrates de Quio, Elementos de Leon, Elementos da Academia de Platão, Elementos

de Teúdio de Magnésia. Acredita-se que Euclides baseou seu trabalho nesses que o

antecederam. Isso não diminui o valor de seus “Elementos”, já que muitas

1 Há alguns historiadores da matemática antiga, em particular Otto Neugebauer, que discordam dessa

explicação tradicional evolucionária da origem da matemática demonstrativa e são favoráveis a uma

explicação mais revolucionária segundo a qual a mudança teria se iniciado com a descoberta da

irracionalidade de 2 . 2 Esse sumário consiste nas páginas de abertura do Comentário sobre Euclides, Livro I, de Proclo e é um

breve resumo do desenvolvimento da geometria grega desde seus primeiros tempos até Euclides. (EVES,

1997, p.97)

22

demonstrações foram feitas por ele e o aperfeiçoamento de outras tantas. “Mas o grande

mérito de seu trabalho reside na seleção feliz de proposições e no seu arranjo numa

seqüência lógica, presumivelmente a partir de umas poucas suposições iniciais”(EVES,

1997, p. 169)

Os Elementos de Euclides não tratam apenas de geometria. Para o nosso estudo,

entretanto, vamos nos concentrar nas bases que Euclides deu para a geometria. Ele

baseou-se em definições e postulados. São eles:

a) A1 – Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.

b) A2 – Somando-se a mesma quantidade a valores iguais obtêm-se

resultados iguais.

c) A3 – Subtraindo-se a mesma quantidade de valores iguais obtêm-se

resultados iguais.

d) A4 – Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.

e) A5 – O todo é maior que a parte.

f) P1 – É possível traçar uma reta ligando 2 pontos.

g) P2 – É sempre possível prolongar um segmento finito de reta

indefinidamente.

h) P3 – É sempre possível descrever um círculo, dado um ponto qualquer

para centro e um segmento finito como raio.

i) P4 – Todos os ângulos retos são iguais.

j) P5 – Se duas retas, em um mesmo plano, são cortadas por uma outra reta,

e se a soma dos ângulos internos de um lado é menor que dois retos,

então as duas retas se encontrarão, se prolongadas suficientemente, do

lado em que a soma dos ângulos for menor do que dois ângulos retos.

23

Figura 1: Postulado no 5 de Euclides

Fonte: Miranda, 1999

Os postulados 1 a 4 foram muito bem aceitos pela comunidade acadêmica. Já o

quinto postulado sempre causou estranheza! Ele não era aceito de forma intuitiva e

houve muitas tentativas de demonstração! Mas, durante muito tempo não se admitiu que

pudesse haver outra geometria que não a de Euclides. Essa crença é o que David Hersh

chamam de “mito de Euclides”.

É a crença de que os livros de Euclides contêm verdades sobre o universo,

claras e indubitáveis. Partindo de verdades evidentes, por si próprias e

procedendo por demonstrações rigorosas, Euclides chega a conhecimento

certo, objetivo e eterno. Mesmo agora parece que a maior parte das pessoas

com instrução acredita no mito de Euclides. Até o meio ou fim do século

dezenove, o mito reinava sem desafios. Todos acreditavam nele. (DAVIS e

HERSH, 1985, p. 366)

Mas, as tentativas de demonstrações do quinto postulado se iniciaram entre os

próprios gregos: PTOLOMEU, no século II d. c., PROCLO, no século V d.c.

(MIRANDA, 1999, p. 49).

Somente no século dezenove é que os estudos se desenvolvem de forma

consistente. Acredita-se que Gauss tenha sido o primeiro a chegar a conclusões mais

fundamentadas sobre uma geometria não-euclidiana, que tinha como hipótese que por

um ponto fora de uma reta há mais de uma reta paralela á reta dada. Mas ele nunca

publicou nada a respeito. Houve dois matemáticos que, de forma independente,

trabalharam nessa geometria: Bolyai e Lobachevsky. Ambos trabalharam muitos anos

em suas pesquisas mas, Bolyai, apesar de extremamente convicto de suas idéias, já

R1

r2

+<180O

r1

24

velho e quase cego, não pode aprofundar seus estudos. Por esse motivo a nova

geometria é conhecida como Geometria de Lobachevsky ou Geometria Hiperbólica.

Essa geometria admite todas as definições da geometria Euclidiana e os quatro

primeiros postulados, diferindo apenas no quinto postulado.

Figura 2: Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r

Fonte: Coutinho, 2001

Na geometria Hiperbólica entenda-se por reta a geodésica do espaço modelo.

Depois de se supor que por um ponto fora de uma reta há mais de uma reta

paralela à reta dada, parecia “natural” imaginar o oposto: ‘Por um ponto fora de uma

reta, não há nenhuma reta paralela à reta dada’.

Segundo Coutinho “esta geometria foi considerada pela primeira vez na aula

inaugural pronunciada em 1851 por George Riemann para sua admissão como

professor-adjunto na Universidade de Göttingen”. (COUTINHO, 2001, p.73)

a

b

r

P

25

Figura 3: Reta perpendicular a BCDE

Fonte: Coutinho, 2001

As retas ACA’ e ADA’ são perpendiculares à reta BCDE e se interceptam nos

pontos A e A’.

Na geometria rieminniana, as “retas” são os círculos máximos ou geodésias da

superfície esférica. ( COUTINHO, 2001, p. 74)

Observamos na figura 3 que as retas ACA’ e ADA’ interceptam-se nos pontos A

e A’ e são perpendiculares à reta BCDE. Temos, portanto, duas retas perpendiculares à

uma mesma reta que se interceptam.

A criação da geometrias de Lobachevsky, a primeira das geometrias não

euclidianas, quebrou uma crença de muitos séculos. A partir dela um novo campo de

criação se abriu. “A matemática despontou como uma criação arbitrária do espírito

humano e não como algo necessariamente ditado a nós pelo mundo em que vivemos. A

mesma questão foi colocada elegantemente por E.T. Bell nas seguinte palavras.

Da mesma maneira que um romancista cria personagens, diálogos e situações

dos quais ele é, ao mesmo tempo, autor e senhor, o matemático inventa à

vontade os postulados sobre os quais baseia seus sistemas matemáticos.

Tanto o romacista como o matemático podem ser influenciados pelo meio

ambiente na escolha e tratamento de seu material; mas nenhum deles é

compelido por uma necessidade extra-humana, eterna, a necessariamente

criar certos personagens ou a inventar certos sistemas (BELL,1987, p. 330).

26

3 A GEOMETRIA TÁXI

“A essência da matemática é a liberdade”

Georg Cantor

Com a “liberdade” gerada pela geometria de Lobachevsky, o surgimento de

novas geometrias tornou-se viável. As contestações ao quinto postulado de Euclides já

haviam sido feitas. As bases para novas criações já não seriam axiomáticas. As novas

geometrias que poderiam e ainda podem surgir serão de natureza métrica. Nesse

capítulo estudaremos o que é a métrica e nos deteremos na métrica que originou a

Geometria Táxi. Faremos em seguida, um estudo da Geometria Táxi, fazendo um

paralelo com a Geometria Euclidiana.

3.1 – Métrica e Espaços Métricos

Segundo Miranda (1999, p.78).

Sejam um conjunto M e a função d: M x M IR

DEFINIÇÃO 1 – d é uma métrica (ou função de medida) em M, se e somente se,

para quaisquer x,y z M, satisfizer às 4 condições:

(a) d (x, y) = 0, se x = y (nulidade)

(b) d (x, y) > 0, se x y (positividade)

(c) d (x, y) = d (x, y) (simetria)

(d) d (x, z) d (x, y) + d (y, z) (desigualdade triangular)

DEFINIÇÃO 2 – Um conjunto M, munido de uma métrica d, chama-se espaço

métrico e é designado pelo par (M,d).

Os elementos de um espaço métrico podem ser números, pontos, áreas, vetores,

funções, matrizes, conjuntos quaisquer,etc.

Exemplo 1

Vamos usar como nosso universo a reta real IR. Consideremos um ponto A, dessa reta

e um número real r, positivo. Para um ponto qualquer X, dessa reta, definiremos a

métrica dist(X,A) = r.

Vamos verificar se essa métrica atende às 4 condições da definição 1.

(a) dist(X,Y) = 0 se X = Y

27

De fato, se dois pontos da reta são coincidentes, a distância entre eles é zero.

(b) dist(X,Y) > 0, se X Y.

Isso também ocorre, já que a distância entre dois pontos na reta real é sempre

medida através de um número positivo, isto é, através do módulo da diferença das

abscissas.

(c) dist(X,Y) = dist(Y,X)

Mesma explicação dada no item b

(d) dist(X,Z) dist(X,Y) + dist(Y,Z)

Verdadeira para quaisquer pontos da reta real.

Logo, essa métrica atende às condições da definição 1 e portanto a reta real e

essa métrica definem um espaço métrico, isto é, (R, d) é um espaço métrico.

Agora, vamos desenhar o círculo que tem raio 4 e centro na origem, usando essa

métrica.

Como a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes

do centro, todos os seus pontos estarão a 4 unidades do ponto zero da reta.

Figura 4: Circunferência formada por apenas dois pontos

Fonte: próprio autor

Observe que apenas esses dois pontos atendem à definição de círculo. Logo a

circunferência terá apenas dois pontos: o ponto de abscissa – 4 e o ponto de abscissa +4.

Exemplo 2

Vamos usar como universo o espaço bidimensional IR2. Consideremos agora um ponto

A, desse plano e pontos Xn, genéricos, também pertencentes a esse plano.

AA YXA ,

222111 ,;, yxXyxX

-4 4

28

Para quaisquer pontos X1, X2, desse espaço, definiremos a métrica.

d(X1, X2) = 2

21

2

21 )()( yyxx

Vamos verificar se (IR2, d) é um espaço métrico.

a) d(X1, X1) = 0

De fato, se dois pontos são coincidentes, a distância entre eles é nula.

00)()(, 2

11

2

1111 yyxxXXd

A condição de nulidade é atendida.

b) 1221 ,, xxdxxd

d(x1, x2) = ),()()()()( 12

2

12

2

1221

2

21 XXdyyxxyyxx

A condição de simetria é atendida.

c) d(X1, X2) > 0, se X1 X2

Se X1 X2 temos que x1 – x2 0 ou y1 – y2 0 ou x1 – x2 0 e y1 – y2 0. Nesse caso,

0)()( 2

21

2

21 yyxx

A condição de positividade é atendida

d) d(X1, X3) d(X1, X2) + d(X2, X3)

Sejam x1, x2, x3 pontos distintos de IR2.

d (X1, X3) = 2

31

2

31 )()( yyxx

d(X1,X2) = 2

21

2

21 )()( yyxx

d(X2, X3) = 2

32

2

31 )()( yyxx

Nas figuras 5 e 6 os pontos X1, X2 e X3 estão alinhados.

29

Na figura 5, a soma das distâncias entre os pontos X1 e X2 e os pontos X2 e X3 é

maior que a distância entre os pontos X1 e X3.

Figura 5: d(X1 , X2) + d(X2 , X3) > d(X1 ,X3)

Fonte: Próprio autor

Na figura 6, os pontos X1, X2 e X3 também estão alinhados e a soma das

distâncias entre os pontos X1 e X2 e os pontos X2 e X3 é igual à distância entre os pontos

X1 e X3.

y

x

X3

X1

X2

30

Figura 6: d(X1 ,X2 ) + d(X2 , X3) = d(X1 , X3)


Se os pontos X1, X2 e X3 não estão alinhados, temos a desigualdade triangular. A

figura 7 mostra essa situação.

Figura 7: d(X1 , X2) + d(X2 , X3) > d(X1 ,X3)


X1

X2

X3

y

x

X3

X1

X2

y

x

31

Exemplo 3

Vamos usar novamente, como universo, o espaço bidimensional IR2.

Consideramos, agora, um ponto A, desse plano e um ponto X, genérico, também

pertencente a esse plano.

AA yxA ,

yxX ,

Para um ponto X, desse plano, definiremos a métrica

AA yyxxAXd ,

Vamos verificar se essa métrica atende às quatro condições da definição.

a) d(X, A) = 0

000, yyxxXXd

A condição de nulidade é verificada.

b) d (X,A) = d(A, X)

XAdyyxxyyxxAXd AAAA ,,

A condição de simetria é verificada.

c) d(X, A) > 0 se X A

AA yyxxAXd , .

Como X A temos necessariamente que x xA

ou

y yA ou y yA e x xA. Logo, d (x, A) > 0

A condição da positividade é verificada.

d) d (A, X2) d (A, X) + d(X, X2)

32

d(A, X2) = 2222 yyyyxxxxyyxx AAAA

222 ,, XXdXAdyyyyxxxx AA

Logo d ),(),(),( 22 XXdXAdXAd

A condição de desigualdade triangular é verificada.

(IR2, d) é, portanto, um espaço métrico.

O espaço métrico mostrado no exemplo 3 é a base para a definição da Geometria

Táxi.

Essa geometria difere da Geometria Euclidiana não apenas na contestação do

quinto postulado, mas na definição da métrica.

Na Geometria Táxi, a menor distância entre dois pontos de um plano não é a

linha reta. A distância não é medida como o vôo de um pássaro, mas como a

viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e

horizontalmente em uma malha urbana, que convenientemente pode ser

associada ao plano euclidiana. (ABREU; BARROSO; MIRANDA, 2005)

A métrica que deu origem à Geometria Táxi pertence a uma família de espaços

métricos criados pelo matemático Minkowski (1865–1909) e designada por Taxicab

Geometry (Krause,1975),(KALEFF; NASCIMENTO, 2004). Foi ele quem apresentou a

Geometria Táxi como formulação matemática (MIRANDA, 1999).

Essa geometria, embora simples, tem muitos aspectos que ainda estão sendo

pesquisados. O enfoque central é o uso em questões geográficas, já que sua forma de

medir a distância entre dois pontos é muito mais próxima do mundo real das cidades do

que a forma usual da Geometria Euclidiana.

Nosso enfoque é de apresentar a Geometria Táxi para professores de Matemática

do Ensino Fundamental e Médio, para que se apropriem dessa nova geometria e tenham

a oportunidade de criar novas estratégias de ensino, que propiciem a seus alunos uma

oportunidade de ampliar sua forma de ver o mundo.

3.2. Proposições Primitivas.

3.2.1 – Geometria Euclidiana

As proposições primitivas na Geometria Euclidiana são o ponto, a reta e o plano.

São aceitos sem definição. De cada uma delas temos um conhecimento intuitivo.

33

Figura 8: Ponto, reta e plano - conceitos primitivos da geometria euclidiana


Adotaremos a seguinte convenção: para representarmos os pontos usaremos letras

maiúsculas; as retas serão representadas por letras minúsculas e os planos por letras do

alfabeto grego.

Figura 9: Pontos, retas e planos com as notações convencionadas


3.3. – Geometria Táxi

Nossa pesquisa teve como referência o livro Taxicab Geometry ( Krause, 1975) e

a dissertação de mestrado “Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e

urbanos uma análise exploratória” (MIRANDA, 1999)

Na Geometria Táxi, teremos como Universo um conjunto de retas paralelas,

verticais e horizontais, todas coplanares.

B

r A

s

34

Figura 10: Malha quadriculada


Os elementos definidos na Geometria Táxi são o ponto e o bloco.

Figura 11 : Pontos A, B e C, localizados na malha quadriculada

Fonte: Miranda, 1999

Figura 11

Figura 12: Blocos na malha quadriculada

Fonte: Miranda ( 1999)

B

C A

B

C

Bloco AB

Bloco CD

35

A C

O bloco AB contém apenas os pontos A e B. O bloco CD contem apenas os

pontos C e D.

O bloco CD contém apenas os pontos C e D.

Os termos não definidos são: adjacente e incidentes.

O ponto B é adjacente aos pontos C, M, F, E.

O ponto B não é adjacente aos pontos D e A.

Figura 13: Pontos adjacentes e pontos não adjacentes

Fonte: Miranda (1999)

Figura 14: O bloco AB é incidente com os pontos A e B e o bloco CD não é incidente

com o ponto E.


Os blocos AB e CD são congruentes 3.

_____________________

3 A palavra congruente é usada na sua definição usual: mesma medida.

A condição de os blocos serem todos congruentes é colocada apenas por uma questão didática. Em uma aplicação prática entretanto,

como em uma cidade, é comum quarteirões com medidas diferentes.

36

3.4 – Definições da Geometria Táxi

1a - Uma curva fechada, que chamaremos de “viagem redonda” (tradução de Miranda,1999)

é definida como o conjunto de blocos ( definido na página 34), tal que cada bloco do

conjunto seja incidente com exatamente 2 outros.

Figura 15: Viagem redonda


2a - O trecho de uma “viagem redonda” entre 2 pontos distintos A e B é chamado de “uma

viagem” ou de um arco da curva fechada.

Figura 16: Viagem redonda do ponto A ao ponto B

Fonte: Dimas (1999)

37

Figura 17: Viagem de A até B


3a - Denominaremos T (A, B) uma viagem entre os pontos A e B da malha táxi.

T (A, B) será o conjunto de todos os blocos dessa viagem.

T (A, B) será o conjunto dos blocos AM, MN, NP e PB.

ou

T (A, B) será o conjuntos dos blocos AS, SR, RQ e QB.

Figura 18: T(A,B)


4a – O comprimento ou norma de uma viagem é o número inteiro de blocos dessa viagem.

Representaremos por ||T (A, B) ||

||T (A, B)|| = 9 (quando passamos pelo ponto M)

38

||T (A, B)|| = 5 (quando passamos pelo ponto N)

Figura 19: Viagem de A até B


5a – A “viagem direta” (tradução de Miranda, 1999) ou “caminho direto”(tradução de

Miranda) entre 2 pontos A e B de uma viagem redonda é a viagem que tem a menor

norma. Essa norma será denominada de distância táxi entre A e B e será representada

por dT(A, B). Na figura abaixo dT (A, B) = 5.

Figura 20: Caminho direto entre os pontos A e B


3.5 - Quantidade de caminhos diretos entre dois pontos da malha táxi.

Observando as figuras abaixo podemos constatar que há 3 caminhos diretos

entre os pontos A e B.

39

Figura 21: Três caminhos diferentes entre A e B


Na primeira figura 21 vemos três caminhos diferentes para se sair do ponto A e chegar

ao ponto B. No primeiro caminho mostrado andamos uma unidade na horizontal, uma

unidade na vertical, e uma unidade na horizontal, perfazendo 3 unidades; no segundo

caminho mostrado andamos uma unidade na vertical e duas unidades na horizontal,

perfazendo as mesmas três unidades. No último caminho mostrado, mais uma vez, a

distância entre os pontos A e B é de três unidades, só que nesse caso andamos duas

unidades na horizontal e uma unidade na vertical. Pode-se observar que o número de

unidades na vertical foi sempre igual a um e o número de unidades na horizontal foi

sempre igual a dois.

À medida que os pontos se distanciam, a quantidade de caminhos diretos

aumenta. Observe que nas figuras abaixo há 10 caminhos diretos entre os pontos A e B.

(a) (b) (c)

40

Figura 22: Dez diferentes caminhos entre os pontos A e B

Fonte: Vanbelkum, 1998

De uma forma genérica, podemos calcular a quantidade de caminhos diretos

através da fórmula:

!!

)!(

nm

nmQ

, onde m é a distância horizontal entre os pontos A e B e n, a

distância vertical.

Essa fórmula é o cálculo de uma permutação com repetição onde m + n

representa a quantidade de elementos que serão permutados e m e n representam a

quantidade de repetições de cada termo.

3.6 – A Reta na Geometria Táxi

Na Geometria Euclidiana, a reta é um conceito primitivo.

Na Geometria Táxi,

a reta é a união de viagens diretas, ou seja é uma viagem estendida, no

sentido de que se considera sempre o caminho mais curto entre 2 pontos

quaisquer dessa viagem. (ABREU; BARROSO; MIRANDA, 2005)

41

A

B

Na Geometria Táxi representaremos a reta por duas letras maiúsculas precedidos

pela palavra reta, ou por uma letra minúscula.

Figura 23: Reta AB


Por um ponto podemos passar mais de uma reta.

Figura 24: Duas retas Táxi que se interceptam no ponto A


Usaremos, na Geometria Táxi, o mesmo conceito para retas paralelas usado na

Geometria Euclidiana.

Duas retas são paralelas quando são coplanares e não se interceptam (MOISE,

1971, p.213).

A

s

r

r s A

42

s

r

Figura 25: As retas r e s são paralelas


Fazemos aqui uma ressalva. Já que estamos estudando a Geometria Táxi em um

universo bidimensional, é desnecessária a condição de as retas serem coplanares.

Escrevemos, portanto, r//s r s =

Figura 26: Reta r paralela à reta s


Na figura 27 vemos duas retas (r e s), paralelas à uma reta t. As retas r e se se

interceptam no ponto C. Temos, portanto, uma negação do quinto postulado de

Euclides. Por um ponto fora de uma reta (ponto C) traçamos duas retas (reta r e reta s)

paralelas a uma mesma reta (reta t).

Se r//s r, s são coplanares e r s =

43

Figura 27: As retas r e s se interceptam no ponto C e são paralelas à reta t


3.7 – Segmento de Reta

Na Geometria Euclidiana definimos segmento de reta como a união de dois pontos

A e B, com o conjunto de todos os pontos que estão entre eles, sendo que todos devem

pertencer à reta AB.

Figura 28: Reta AB e segmento de reta AB


Na Geometria Táxi, o segmento de reta AB é o conjunto de blocos incidentes, que

ligam esses pontos, através de uma viagem direta.

r

44

Figura 29 – Segmento de Reta AB


É importante observar que, dados dois pontos A e B, o segmento de reta AB, na

geometria euclidiana é único. Já na Geometria Táxi isso não ocorre. Podemos observar

na figura 30 dois segmentos de reta AB distintos.

Figura 30: Dois segmentos de reta AB


3.7.1 – Mediatriz de um Segmento

Na Geometria Euclidiana a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao

segmento, passando pelo seu ponto médio (MOISE, 1971, p.150)

AB segmento de reta AB.

M ponto médio do segmento de reta AB.

r mediatriz do segmento de reta AB.

A

B

A

B

(a) (b)

45

Figura 31: A reta r é a mediatriz do segmento AB


A mediatriz de um segmento, em um plano, é o conjunto de todos os pontos do

plano equidistantes das extremidades do segmento (MOISE, 1971, p.150)

s mediatriz do segmento de reta CD.

P s d(PC) = d (PD) Q s d(QC) = d(QD)

Figura 32: Os pontos P e Q são equidistantes de A e B


A recíproca também é verdadeira: pontos equidistantes da extremidade de um

segmento pertencem à mediatriz desse segmento.

A BM

s mediatriz do segmento de reta CD

P s d(PC) = d(PD)

Q s d(QC) = d(QD)

46

Na Geometria Táxi, a definição de mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do

plano, equidistantes das extremidades do segmento.

As figuras 33 e 34 mostram a mediatriz do segmento da reta AB e do segmento

de reta CD, respectivamente.

Na figura 33, dT1 (A, B) = 6. A reta s é a mediatriz do segmento AB. Pela

definição de mediatriz na Geometria Táxi temos dT (GA) = dT (G, B); dT (F, A) =

=dT (F, B); dT (I, A) = dT (I, B)

Figura 33

Figura 33: Mediatriz Táxi do segmento de reta AB


_____________________

1 dT (distância táxi)

G

A

F

B

J

s

47

Na figura 34, a mediatriz do segmento AB é a resta r.

Figura 34: Mediatriz táxi do segmento de reta AB


Como o nosso universo é o conjunto de retas horizontais e verticais, observamos

que no “retângulo” formado pelos pontos C, B, F, A, a mediatriz táxi coincide com a

mediatriz euclidiana. (figura 34)

A partir dos pontos C e F ela é uma linha contínua, formada por blocos

incidentes.

Nas figuras 35 e 36 temos o mesmo segmento de reta AB. Na figura 35 a

mediatriz s possui 3 pontos no “retângulo” hachurado. A partir desse retângulo ela é

formada por blocos incidentes como já vimos nas figuras 33 e 34.

Já na figura 36, o retângulo foi ampliado!

A reta r atende à condição de ter seus pontos eqüidistantes dos pontos A e B.

Analisando dessa forma teremos, para um mesmo segmento, infinitas mediatrizes.

Para podermos restringir a uma só mediatriz consideramos que o “retângulo”

terá como dois de seus vértices as extremidades do segmento.

De acordo com essa restrição, a mediatriz do segmento AB será apenas a reta s.

C

A

D

B

E

r

F

48

Figura 35: Mediatriz táxi considerando a restrição de reta única


Figura 36: Mediatriz táxi sem a condição de reta única


Se os pontos C e D pertencem a uma mesma reta (horizontaL ou vertical), a

mediatriz Táxi coincide com a mediatriz Euclidiana.

A

B

s

r

A

B

49

A

B

C

Figura 37: Mediatriz de um segmento horizontal AB


3.8 – Triângulos na Geometria Táxi

“O triângulo táxi é formado pela união de 3 viagens diretas e essa união é uma

viagem redonda”. (MIRANDA, 1999, p. 103)

Figura 38: Triângulo Táxi ABC


Na figura 38, o triângulo ABC tem o lado AB medindo 4 unidades; o lado BC

medindo 5 unidades e o lado AC medindo 5 unidades. Já na figura 39, o triângulo ADE

tem a mesma forma do ABC da figura 37 e seus lados não têm a mesma medida. No

triângulo da figura 39, o lado AD mede 3 unidades, o lado AE mede 6 unidades e o lado

DE mede 5 unidades.

A B

50

A

D

E

Figura 39: Triângulo Táxi ADE


3.8.1 – Classificação dos triângulos quanto aos lados.

Na Geometria Táxi podemos classificar os triângulos quanto aos lados, da mesma

forma que fazemos na Geometria Euclidiana. Na figura 40 temos um triângulo escaleno

cujos lados medem 7unidades, 6 unidades e 5 unidades.

Figura 40: Triângulo Táxi Escaleno


Na figura 41 temos um triângulo isósceles cujos lados congruentes (lado AB e

lado BC) medem 6 unidades cada um e o outro lado (lado AC) mede 12 unidades.

51

Figura 41: Triângulo Táxi Isósceles


Na figura 42 o triângulo ABC é equilátero. Cada um dos lados mede 6 unidades.

Figura 42: Triângulo Táxi Equilátero


É importante notar que para os pontos A, B, C, dados há vários triângulos

equiláteros ABC, de lado 8, que não têm a mesma forma. (Figuras 43 e 44)

52

A

B

C

A

B

C

Figura 43: Triângulo Equilátero de lado 8 unidades


Figura 44: Triângulo Equilátero de lado 8 unidades


Em um primeiro estudo pensamos ser possível calcular o número de triângulos

através da fórmula vista no item 3.4 desse capítulo.

53

A – B 152!4

6.5!4

!2!4

!6

B - C 206

6.5.4!3

!3!3

!6

C – A 65

!5

!1!5

!6

Seriam 1800 triângulos eqüiláteros ABC, diferentes. Ao analisarmos mais

atentamente a quantidade desse triângulos pudemos perceber que há a possibilidade de

coincidência entre lados de triângulos diferentes. Esse cálculo será objeto de um estudo

posterior a essa dissertação.

3.8.2 – Congruência de Triângulo

A palavra congruência vem do latim “congruentia”, que significa

conveniência, coerência, isto é, que há ligação ou adesão recíproca.

Em Geometria, para provar que duas figuras são congruentes deve-se

mostrar que é possível sobrepor uma sobre a outra, de modo que se

correspondam ponto a ponto. (TOJO, 2006, p. 35 )

Na Geometria Táxi não vamos considerar de forma diferente.

Como os ângulos, na Geometria Táxi, são sempre 90o, a congruência dos lados

não é suficiente para que dois triângulos sejam congruentes.

Figura 45: Triângulos ABC e MNP


54

Na figura 45 temos o triângulo ABC cujos lados medem 7 unidades, 5 unidades e

4 unidades e o triângulo MNP cujos lados têm as mesmas medidas dos lados do

triângulo ABC. Podemos observar que os dois triângulos, embora com lados

congruentes, não são congruentes já que têm formas diferentes.

Surge, então, um questionamento: “Dois triângulos que podem ser superpostos

são necessariamente congruentes?”. Na figura 45 temos dois triângulos que têm a

mesma forma mas seus lados não são congruentes. Esses triângulos são congruentes?

Figura 46: Triângulo ABC e triângulo RST, de mesma forma


Precisamos definir, então, a congruência de triângulos, na Geometria Táxi.

Definição 1: “Dois triângulos serão congruentes se, e somente se, tiverem a

mesma forma não tendo, necessariamente os três lados respectivamente congruentes.”

De acordo com a Def. 1, os dois triângulos mostrados na figura 46 são

congruentes.

Já os triângulos mostrados na figura 45 não são congruentes.

3.8.3. Desigualdade Triangular

Na Geometria Euclidiana em qualquer triângulo um lado é menor que a soma dos

outros dois. Observando a figura 47 podemos ver que os triângulos ABC e PMN não

respeitam essa regra da Geometria Euclidiana.

55

ABC DEF

Figura 47: Triângulo ABC e triângulo PMN onde a desigualdade triangular da

Geometria Euclidiana não se verifica.


Podemos observar que:

dT (A, B) = 8 dT (M, P) = 5

dT (B, C) = 4 dT (P, N) = 7

dT (A, C) = 6 dT (M, N) = 12

No triângulo ABC temos:

dT (A, B) < dT (B, C) + dT (A, C)

8 < 6 + 4

dT (B, C) < dT (A, B) + dT (A, C)

4 < 8 + 6

dT (A, C) < dT (A, B) + dT (B, C)

6 < 8 + 4

No triângulo MNP temos:

dT (M, N) = dT (M, P) + dT (P, N)

12 = 5 + 7

A desigualdade triangular, portanto, não é sempre verificada na Geometria Táxi.

56

N

M

Q

P

B

A

D

C

3.9 – Quadrado na Geometria Táxi

Definição: Um quadrilátero é uma viagem redonda, formada pela união de quatro

viagens diretas.

Na figura 48 temos o quadrilátero MNPQ cujos lados medem 4, 6, 8, 4.

Figura 48: Quadrado Táxi MNPQ


Definição: Um quadrado é um quadrilátero de lados com a mesma medida.

Na figura 49 temos o quadro ABCD cujo lado mede 4.

Figura 49: Quadrado Táxi de lado 4 unidades


É curioso observar o que ocorre na Geometria Táxi!

57

B

A

D

C

N

M

Q

P

As figuras 50, 51 e 52 são congruentes, na perspectiva da Geometria Euclidiana.

Na Geometria Táxi, entretanto, temos na figura 50 um quadrado de lado 5 na figura 51,

um quadrilátero de lados 5, 5, 2, 8; na figura 52, um triângulo de lados 5, 5 e 10.

Figura 50: Quadrado de lado 5 unidades


Figura 51: Quadrilátero de lados 5, 5, 2 e 8 unidades


58

T

R

S

B

A

D

C

Figura 52: Triângulo de lados 5, 5 e 10 unidades


Já as figuras 53, 54 e 55 são todas diferentes mas, todas as três, representam

quadrados de lado 5 unidades.



59

B

A

D

C

B

A

D

C





Analisaremos, agora, quais das propriedades dos quadrados euclidianos se

verificam para os quadrados da Geometria Táxi.

PropriedaDe (1)

Os ângulos formados pelos lados de um quadrado medem 90o.

Na figura 55 podemos observar que o ângulo formado pelos lados CD e DA mede

270o.

60

B

A

D

C

M

A propriedade 1, portanto, não se verifica na Geometria Táxi.

Propriedade (2)

Em todo quadrado as diagonais são congruentes.

Observemos o quadro ABCD, da figura 55. Nesse quadrado, a diagonal BD mede

8 e a diagonal AC mede 10.

Essa propriedade também não se verifica na Geometria Táxi.

Propriedade (3)

Em todo quadrado as diagonais se cortam em seu ponto médio.

Novamente vamos analisar o quadrado ABCD, dia figura 55.

Figura 56: Quadrado ABCD, destacando o ponto M, ponto médio da diagonal AC.


61

B

A

D

C

N

A

D

CM

Figura 57: Quadrado ABCD, destacando o ponto N, ponto médio da diagonal BD


Os pontos M e N não coincidem. A propriedade 3, portanto, também não se

verifica na Geometria Táxi.

Propriedade (4)

Em todo quadrado as diagonais se cruzem formado ângulos de 90o.

Figura 58: Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD


O segmento de reta BD é uma das diagonais do quadrado ABCD, de lado 5.

Uma outra diagonal é o segmento de reta AC.

Esses dois segmentos se cruzam formando um ângulo de 90º.

62

BA

D

C

P

BA

D

CE

O ponto M é o ponto de interseção desses dois segmentos.

Na figura 59 podemos observar que o mesmo quadrado ABCD tem as diagonais

AC e BD se interceptando em um ponto P, distinto de M.

O ângulo de interseção das diagonais é 90º.

Figura 59: Quadrado ABCD e as diagonais AC e BD


Para que a propriedade 4 se verifique na Geometria Táxi é necessário que

coloquemos uma condição: as diagonais precisam se interceptar em apenas 1 ponto.

Na Figura 60 podemos observar que as diagonais BD e AC têm como interseção

o bloco EC. O ângulo de interseção não é, portanto, de 90º. Ele mede 0º.

Figura 60: Quadrado ABCD e as diagonais AB e BD


63

Propriedade (5)

Em todo quadrado, as diagonais são bissetrizes dos ângulos dos vértices. A figura

60 mostra que essa propriedade não se verifica. A diagonal AC, desenhada, coincide,

parcialmente, com o lado AB, não dividindo o ângulo em ângulos congruentes.

Com esses exemplos vemos que na Geometria Táxi as propriedades dos

quadrados euclidianos não se verificam.

3.10 – A Circunferência na Geometria Táxi

Tanto na Geometria Euclidiana como a Geometria Táxi a circunferência é

definida da mesma forma, é o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de

um ponto fixo (centro).

C centro

circunferência euclidiana

Figura 61: Circunferência Euclidiana de centro C


Podemos observar que a circunferência euclidiana tem infinitos pontos.

A distância de qualquer um de seus pontos ao centro é chamado de raio da

circunferência.

Na Geometria Táxi o Universo é o conjunto de retas horizontais e verticais. A

circunferência será formada por pontos. Na figura 62, os pontos P1, P2... P12 formam a

circunferência táxi de raio 3 e centro A.

64

A

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

A

P1

P2

P3

P4

P5

P6

P7

P8

P9

P10

P11

P12

Figura 62: Circunferência Táxi de raio 3 unidades


Se modificamos o conjunto universo, considerando agora o espaço bidimensional

IR2, poderemos ligar os pontos P1, P2 ..., P12. A figura obtida é uma circunferência táxi,

de raio 3. Ela é formada por infinitos pontos. A figura 63 mostra essa circunferência.

Figura 63: Circunferência Táxi no IR2


3.10.1 – Cálculo de “” na Geometria Táxi

O comprimento de uma circunferência é calculado através da fórmula C = 2r.

Essa fórmula foi obtida empiricamente. A letra (do alfabeto grego) representa a razão

65

B

A

C

1

23

entra a medida do comprimento da circunferência e seu diâmetro. Seu valor é um

número irracional que, com 4 casas decimais, vale 3,1416.

Na geometria Táxi, o valor de é obtido através do cálculo da mesma razão. .

Vamos analisar duas circunferências e calcular o valor de para a Geometria

Táxi.

Figura 64: Três circunferências táxi

Fonte: Próprio Autor

Na figura 64 (1) o centro da circunferência é o ponto A, seu raio mede 1 e seu

perímetro, 4.

Na figura 64 (2) o centro da circunferência é o ponto B, seu raio mede 2 e seu

perímetro, 16.

Na figura 64 (3) o centro da circunferência é o ponto C, seu raio mede 4 e seu

perímetro, 32.

Na circunferência da figura 64 (1), o raio é unitário e o perímetro mede 8

unidades. Aplicando a fórmula C = 2r, encontramos para , o valor 4.

Na circunferência da figura 64 (2), o raio é igual a 4 unidades. O perímetro mede

32 unidades. O valor de é igual a 4 unidades.

Na geometria Táxi, o valor de também é constante, só que seu valor não é o

número irracional 3,1415... mas sim o número natural 4.

O que foi mostrado através de dois exemplos pode ser demonstrado.

66

B

A

D

C

Teorema 1

Um círculo táxi de raio r tem 4r pontos.

Demonstração:

Figura 65: Circunferência Táxi na malha quadriculada


Inicialmente vamos considerar apenas os pontos A, B, C e D da circunferência

da figura 65, de raio 3.

O raio r é determinado pela projeção vertical dos pontos A, B, C, D. O raio terá,

portanto, 4 pontos.

O perímetro da circunferência da figura 65 terá 12 pontos.

Como a circunferência tem 4 lados, teremos 12 pontos

4 x 4 – 4 = 12

Pontos que são contados duas vezes.

67

B

A

D

C

E

A 2

A 1

A r

A r + 1

Figura 66: Circunferência Táxi de raio 4


A circunferência da figura 66 tem raio igual a 4 e 5 pontos em cada lado.

Raciocinando analogamente temos que a circunferência da figura 66 terá 16

pontos no seu perímetro e 5 pontos no seu raio.

4 x 5 - 4

Pontos que são contados duas vezes.

Fazendo uma generalização temos:

V medida do raio da circunferência

No de pontos 4 (r + 1) – 4 = 4r + 4 – 4 = 4r

Figura 67: Parte de uma circunferência Táxi de raio r


68

Teorema 2

O perímetro ou comprimento de uma circunferência táxi de raio r mede 8r.

Demonstração:

Consideremos um quarto do círculo (figura 67)

rrrdrAAT 21,1

Como o círculo tem 4 lados, o seu comprimento será 8r.

Como o perímetro da circunferência táxi é 8r, dividindo-se o perímetro pelo

diâmetro temos:

42

8

r

r (valor de na Geometria Táxi)

3.11 – A Geometria Táxi no Referencial Cartesiano

Todo o estudo que foi feito até aqui, na malha quadriculada, pode ser feito no

referencial cartesiano.

Os pontos serão representados por pares ordenados.

Consideraremos como Universo, o plano IR2.

3.11.1 – A distância Táxi

Dados os pontos A (- 1, 2) e B (3, - 4), calcule a distância euclidiana entre eles.

Na Geometria Euclidiana calculamos a distância entre dois pontos através da

fórmula:

22, ABABE yyxxBAd

361624)13(,22 BAdE

13252, BAdE

69

A

C

x

y

B

- 43

- 1

2

Figura 68: Distância Euclidiana entre os pontos A e B


A distância Táxi entre os pontos A (- 1, 2) e B (3, - 4) será a soma das medidas dos

catetos do ABC.

ABABT yyxxBAd ,

10642413, BAdT

Teorema 3.

Quando os pontos têm a mesma abscissa ou a mesma ordenada, a distância

euclidiana e a distância táxi coincidem.

Demonstração

1o caso ordenadas iguais

A (xA, y) e B (xB, y)

BAdxxxxyyxxBAd TBABABAE ,)()(, 22

2o caso Abscissas iguais

C(x, yc) e D (x, yD)

70

DCdyyyyDCdyyyyyyxxDCd TDCDcTDCDCDCE ,,)()()(),(2222

3.11.2 – Equivalência entre dT e dE

É possível se estabelecer uma relação entre dT e a dE, isto é, dT – k . dE. O valor

de k obtido é

21

1

m

mk

Fonte: Abreu, Barroso, Miranda, 2003

onde m é o coeficiente angular da reta euclidiana que passa pelos pontos considerados.

3.11.3 – A mediatriz táxi no referencial cartesiano

A definição de mediatriz, na Geometria Táxi, é o lugar geométrico dos pontos do

plano, eqüidistantes dos pontos considerados.

P (x, y)

dT (P, A) = dT (P, B)

Vamos considerar os pontos A (2,3) e B ( 5,7)

2 3 5 7x y x y

A equação modular acima dá origem a 9 equações, a saber:

1a equação

x < 2 e y < 3

Considerando os intervalos acima, teremos a equação – x + 2 – y + 3 = - x + 5 –

y + 7.

Resolvendo a equação, temos: 5 = 12

Logo, não há mediatriz Táxi no intervalo considerado.

71

2a equação

2 ≤ x < 5 e y < 3

x – 2 – y + 3 = - x + 5 – y + 7

x = 5,5

Como o valor encontrado para x não pertence ao intervalo considerado, nele também

não teremos a mediatriz Táxi.

3a equação

x ≥ 5 e y < 3

Procedendo da mesma forma, chegaremos à sentença x = 0,5. Pelo mesmo argumento

usado na segunda equação podemos concluir que no intervalo acima também não

teremos a mediatriz Táxi.

4a equação

x < 2 e 3 ≤ y < 7

- x + 2 + y – 3 = - x + 5 – y + 7

y = 6,5

Como 6,5 pertence ao intervalo considerado, nele a mediatriz é uma reta horizontal, isto

é, a reta y = 6,5.

5a equação

2 ≤ x < 5 e 3 ≤ y < 7

x – 2 + y – 3 = -x + 5 – y + 7

x + y = 8,5

Nesse intervalo, a mediatriz é uma reta de coeficiente angular igual a menos 1 e

coeficiente linear igual a 8,5.

6a equação

x ≥ 5 e 3 ≤ y < 7

x – 2 + y – 3 = x – 5 – y + 7

y = 3,5

72

No intervalo considerado, a mediatriz novamente é uma reta horizontal, isto é, a reta y =

3,5.

7a equação

x < 2 e y ≥ 7

- x + 2 + y – 3 = - x + 5 + y – 7

- 5 = -2 ( sentença falsa)

Como não há solução para a equação no intervalo considerado, podemos concluir que

não há mediatriz nesse intervalo.

8a equação

2 ≤ x < 5 e y ≥ 7

x – 2 + y – 3 = - x + 5 + y – 7

x = 1,5

Mas, o valor encontrado para x não pertence ao intervalo considerado. Logo, nesse

intervalo, a equação não tem solução. Portanto, não há mediatriz Táxi, na região

estudada.

9a equação

x ≥ 5 e y ≥ 7

x – 2 + y – 3 = x – 5 + y – 7

- 5 = -12

Não há solução no intervalo considerado, logo não existe mediatriz Táxi no dito

intervalo.

Após resolver as 9 equações acima, podemos desenhar a mediatriz Táxi do segmento

AB, sendo A (2, 3) e B ( 5, 7).

73

Figura 69: Mediatriz Táxi do segmento de reta AB, considerando a métrica Táxi


Vamos, agora, considerar os pontos M (3,2) e N( 7, 6). Procedendo da mesma forma,

teremos como mediatriz Táxi desse segmento um segmento de reta e duas regiões do

plano.

É importante observar que no interior da região fechada formada pelos pontos extremos

do segmento, a mediatriz Táxi coincide com a mediatriz Euclidiana. Quando saímos

dessa região, poderemos obter duas semirretas ou duas regiões.

A figura 69 mostra a mediatriz do segmento de reta MN.

74

3.9.4 – A circunferência Táxi

Figura 70: Mediatriz Táxi do segmento de reta MN, considerando a métrica Táxi


3.11.4 – A circunferência táxi no referencial cartesiano

A circunferência Táxi é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de

um ponto fixo.

Se considerarmos uma circunferência de centro C (xc, yc) e raio r, sua equação

será:

|x – xc| + |y – yc| = r

Suponhamos que uma circunferência tenha centro no ponto C (2, 3)

e raio igual a 4.

75

Vamos determinar suas equações e fazer seu desenho no referencial cartesiano.

|x – 2| + |y – 3| = 4

A equação modular acima dá origen a 4 equações.

1a equação

x < 2 e x < 3

– x + 2 – y + 3 = 4

y = - x + 1

2a equação

x ≥ 2 e x < 3

x – 2 – y + 3 = 4

y = x – 3

3a equação

x < 2 e y ≥ 3

– x + 2 + y – 3 = 4

y = x + 5

4a equação

x ≥ 2 e y ≥ 3

x – 2 + y – 3 = 4

y = - x + 9

76

C

y

x

2

3

Figura 71: Circunferência Táxi no referencial cartesiano


77

4 A PESQUISA: DESCRIÇÃO, OBSERVAÇÕES E ANÁLISE

Os objetivos desse trabalho foram observar as reações que professores de

matemática apresentam ao lidar com tópicos da Geometria Táxi e também analisar seus

questionamentos e suas sugestões frente à possibilidade de usar essas atividades para

alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio.

As atividades propostas foram elaboradas para alunos do Ensino Fundamental e

Ensino Médio. Julgamos necessário, entretanto, que essas atividades fossem analisadas

por professores para que suas reações, sugestões e eventuais dificuldades pudessem

nortear a elaboração futura de um material paradidático.

Os professores que atuaram nessa pesquisa são pessoas que já têm experiência

em sala de aula tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio. Mesmo sendo

pessoas experientes em sala de aula pudemos observar como muitos se sentiram

inseguros na resolução das atividades propostas. Um professor de um dos grupos

chegou a dizer que “precisamos ter uma base axiomática muito precisa para podermos

trabalhar essa Geometria com alunos, sejam eles do Ensino Fundamental ou Ensino

Médio”. Pudemos observar que trabalhar com uma disciplina que nos permite várias

interpretações pode deixar inseguros mesmo professores experientes. Posteriormente

detalharemos cada grupo pesquisado, suas reações, seus comentários e suas sugestões.

O estudo proposto foi feito através de um paralelo entre a Geometria Táxi e

Geometria Euclidiana. A perspectiva de trabalhar de forma paralela nos pareceu melhor

já que, quando tomamos contato com a Geometria Táxi, também sentimos muita

insegurança em relação a tantas possibilidades que ela oferece. Segundo Krause, “para

apreciarmos inteiramente a Geometria Euclidiana precisamos ter algum contato com a

Geometria não Euclidiana”3

Acreditamos que a construção de uma Geometria não Euclidiana, poderá

propiciar a professores e alunos experimentar uma nova forma de trabalho, que os leve a

perceber que podemos ver o mundo de formas diferentes, basta que mudemos os nossos

referenciais.

A Geometria Táxi apresenta essa possibilidade de estudo já que atende aos

critérios que Krause apresenta como necessários:

a) Ser bem próxima da geometria euclidiana em seus axiomas estruturais.

b) Ter aplicações significativas.

3 Tradução feita pela autora do trabalho.

78

c) Ser compreensível para qualquer pessoa que queira iniciar um curso de

Geometria.

Nossa proposta tenta se fundamenta nos PCN já que:

Os conceitos geométricos constituem parte importante do currículo de

Matemática no ensino fundamental, porque, por meio deles, o aluno

desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite compreender,

descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive. (PCN,

1997, p. 55)

A Geometria Táxi, diferentemente da Geometria Elíptica e da Geometria

Hiperbólica atende aos critérios apresentados por Krause, diferindo da Geometria

Euclidiana apenas na métrica.

Em nossa caminhada como professora temos observado que as Geometria

não Euclidianas são pouco exploradas por professores e alunos do Ensino

Fundamental e Médio. O trabalho com Geometria se restringe à Geometria

Euclidiana, dando a impressão de que outras geometrias não existem ou são tão

inacessíveis que não devem ser estudadas nessa etapa escolar. O ensino da

Geometria Táxi, sendo uma geometria não euclidiana de fácil compreensão,

permite a muitos perceber a Geometria através de uma nova perspectiva,

possibilitando uma alternativa de ensino que até hoje é pouco explorada.

As atividades foram elaboradas tendo como base a proposta de Zabala, proposta

esta já citada na página 17 dessa dissertação. Tais atividades tiveram como público alvo

alunos do Ensino Fundamental e Ensino Médio. Conforme já esclarecemos

anteriormente, optamos por aplicá-las a professores.

4.1 - O Caminho Trilhado

Optamos, nesse trabalho, pela pesquisa qualitativa que, segundo Lüdke e André

(1986, p. 11) “tem o ambiente natural como sua fonte direta de dados e o pesquisador

como seu principal instrumento”.

A presença do pesquisador observando o trabalho dos pesquisados pode alterar

seus comportamentos mas, segundo Fiorentini de Lorenzato (2006, p. 108) “Se, por um

lado, a observação pode provocar alterações no comportamento dos observados, por

outro, a observação in loco facilita a compreensão do significado que estes dão à

realidade”.

79

Trabalhamos como ‘observador participante’ que, segundo os mesmos autores.

é um papel em que a identidade do pesquisador e os objetivos do estudo são

revelados ao grupo pesquisado desde o início. Nessa posição, o pesquisador

pode ter acesso à uma gama variada de informações, até mesmo

confidenciais, pedindo cooperação ao grupo. (LÜDKE; ANDRÉ,1986, p. 29)

Dessa forma conseguimos uma comunicação ampla com os grupos pesquisados.

Segundo Lüdke e André.

a observação possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o

fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série de vantagens. Em primeiro

lugar, a experiência direta é sem dúvida o melhor teste de verificação da

ocorrência de um determinado fenômeno. “Ver para crer” dia o ditado

popular. (LÜDKE; ANDRÉ,1986, p. 26)

A pesquisa foi feita em 4 etapas distintas.

a) Pesquisa Bibliográfica, para estudo teórico da Geometria Táxi.

b) Elaboração de um módulo de atividades que, mais tarde, foram aplicadas aos grupos

pesquisados.

c) Aplicação das atividades nos dois grupos pesquisados, onde os dados foram

coletados.

d)Análise da aplicação das atividades.

4.1.1 - 1a Etapa: Pesquisa Bibliográfica

Iniciamos o nosso trabalho estudando a Geometria Táxi tendo como principal

fonte de consulta o Livro “Taxicaby Geometry, de Eugene F. Krause (1973)

Após o estudo detalhado do livro acima citado, usamos ainda como fontes de

consulta o capítulo “Das cidades à geometria táxi” de Miranda, Abreu e Barroso (2003)

no livro: ‘Geografia, modelos de análise espacial e GIS’, organizado por João Francisco

de Abreu e Leônidas Conceição Barroso, o artigo ‘Geometria Táxi: Uma Geometria

Não-Euclidiana Descomplicada’, de Dimas Felipe de Miranda, Leônidas Conceição

Barroso e João Francisco de Abreu (2005), o livro ‘Convite às Geometria Não-

Euclidianas’, de Lázaro Coutinho (2001) e a Dissertação “Geometria Táxi, uma métrica

para os espaços geográficos e urbanos – uma análise exploratória”, de Dimas Felipe de

Miranda, (1999).

80

Após estudar a Geometria Táxi em diferentes perspectivas ficou claro para nós

que um estudo paralelo entre essa geometria e a Geometria Euclidiana seria uma forma

de tornar seu estudo significativo para os alunos.

Escolhemos alguns conceitos da Geometria Euclidiana para fazermos o paralelo

entre as geometrias.

Usamos como primeira referência para a revisão do estudo da Geometria

Euclidiana o livro ‘Geometria Moderna’ de Edwin E. Moise. Consultamos também os

livros didáticos:

a) ‘ Fundamentos de Matemática Elementar’, volume 9, de Osvaldo Dolce e José

Nicolau Pompeo (2005)

b) ‘Geometria’, de Aref Antar Neto, Nilton Lapa, José Luiz Pereira Sampaio e Sidney

Luiz Cavallantte (1979)

O estudo paralelo das duas geometrias é o conteúdo do capítulo 3 dessa

dissertação.

4.1.2 - 2a Etapa: Elaboração das Atividades

Ao elaborarmos cada atividade procuramos nos orientar pelas questões propostas

por Zabala. Faremos, nesse parte do trabalho, a exposição de como pensamos nas

atividades ao elaborá-las. Esse estudo preliminar serviu como parâmetro nas análises

feitas a partir do que foi dito pelos professores pesquisados.

As atividades estão em anexo.

ATIVIDADE 1 – A distância Táxi

Essa atividade tem por objetivo trabalhar a distância Táxi e compará-la com a

distância Euclidiana.

Esse primeiro contato do aluno com a Geometria Táxi precisa ser feito de forma

a não desestimulá-lo logo na primeira aula. O uso do papel milimetrado torna esse

objetivo viável considerando que é um material de uso comum. O professor, nessa

atividade, deve trabalhar de forma intuitiva de modo que o aluno vá, passo- a–passo

conhecendo a Geometria Táxi.

No nosso entendimento esse primeiro contato será visto quase como uma

brincadeira: trabalhar com o papel quadriculado e “descobrir” uma nova maneira de

81

calcular a distância entre dois pontos. Imaginamos, também, que o aluno não terá

dificuldade com essa nova métrica. Segundo Abreu, Barroso e Miranda (2005, p.2) ela é

a viagem de um táxi numa cidade, cujas ruas estendem-se vertical e horizontalmente em

um quadra ou malha urbana, que convenientemente pode ser associada ao plano

euclidiano.

ATIVIDADE 2 – Quantidade de Caminhos

O objetivo dessa atividade é calcular a quantidade de caminhos que podemos

trilhar entre dois pontos, considerando a menor distância Táxi.

Esse cálculo, inicialmente, deverá ser feito de forma intuitiva, contando mesmo

os caminhos que existem entre dois pontos. Para isso a distância entre os pontos deve

ser muito pequena para que a contagem não se torne muito difícil e demorada, causando

desânimo aos alunos. Fica evidente que, a partir do momento que consideramos pontos

que sejam mais distantes, essa forma de “calcular” a distância ficará quase impossível.

Nesse momento poderemos apresentar aos alunos a fórmula do cálculo da quantidade de

caminhos.

Para alunos do Ensino Médio que já conheçam Análise Combinatória poderemos

apresentar a fórmula seguinte:

( )

Sendo:

N número total de caminhos

n soma da distância horizontal com a distância vertical

p menor das duas distâncias

Já para alunos que ainda não conhecem a Análise Combinatória poderemos usar

a fórmula abaixo. Ela também requer que o aluno conheça o conceito de fatorial, que

poderá ser apresentado já com uma aplicação.

( )

82

Sendo:

v distância vertical entre os dois pontos

h distância horizontal entre os dois pontos

Ao elaborarmos essa atividade imaginamos que os alunos poderão ter alguma

dificuldade no cálculo enquanto a fórmula não for apresentada. Acreditamos que um

trabalho inicial mais demorado com a contagem manual poderá facilitar o uso da

fórmula já que ela virá como um elemento salvador do trabalho braçal. Desse modo o

primeiro exercício da atividade deverá ser explorado exaustivamente para, em seguida,

tentarmos que o próprio aluno descubra a fórmula para o cálculo da distância.

Mais uma vez nos apoiamos em Zabala (1998, p.63) quando ele coloca que as

atividades propostas “representem um desafio alcançável para o aluno, quer dizer, que

levam em conta suas competências atuais e as façam avançar com a ajuda necessária”.

Outra dúvida nossa é quanto ao uso, por alunos da oitava série, de uma fórmula

que envolva fatorial.

ATIVIDADE 3 – A circunferência Táxi

Os objetivos dessa atividade são:

a) Construir uma circunferência Táxi.

b) Calcular o valor de para a Geometria Táxi

Segundo Zabala cada atividade deve provocar um conflito cognitivo e promover a

atividade mental do aluno, necessária para que estabeleça relações entre os novos

conteúdos e os conhecimentos prévios.

Nessa perspectiva a atividade de construção da circunferência Táxi deverá atender a

essa questão. Imaginar que um quadrado é uma circunferência é realmente conflitante.

ATIVIDADE 4 – A mediatriz Táxi

Nessa atividade propusemos a construção da mediatriz euclidiana e da mediatriz

táxi. O conceito de mediatriz é o mesmo tanto na Geometria Euclidiana como na

Geometria Táxi: Segundo Moise (1967, p.150) “... num plano dado, a mediatriz de um

segmento é a reta perpendicular ao segmento, passando pelo seu ponto médio”.

83

Um dos objetivos dessa atividade foi mostrar que existe uma região entre os

pontos dados que a mediatriz Táxi e a mediatriz Euclidiana coincidem. Outro objetivo

foi verificar se os professores pesquisados perceberiam que a região onde a mediatriz

táxi não coincide com a mediatriz euclidiana ela será horizontal ou vertical, dependendo

das distâncias horizontais e verticais entre esses dois pontos.

Essa atividade foi elaborada com cinco exercícios.

Ao elaborarmos essa atividade, imaginamos que será necessária uma explicação

prévia que relembre aos alunos o conceito de mediatriz euclidiana para que eles tenham

condições de explorar bem a atividade proposta. E, ainda mais, tenham interesse em

fazer essa exploração.

Segundo Zabala

O fato de que seja mais ou menos interessante dependerá da forma e das

características da exposição. A maneira de fazê-la, o tipo de relações e

cumplicidades que se estabelecem entre professor e aluno, os exemplos, a

empatia e o grau de comunicação são as cartas de que o professor pode dispor

[....] para fomentar o interesse pela aprendizagem. (ZABALA, 1998, p. 65)

ATIVIDADE 5 – Triângulos

No capítulo 3 dessa dissertação, item 3.8, fizemos um estudo dos triângulos sob

a perspectiva da métrica táxi. A classificação, os casos de congruência e a desigualdade

triangular foram estudados a partir do conceito da geometria euclidiana. Nessa atividade

propusemos que os alunos percorressem o mesmo caminho que nós, isto é, que fizessem

o estudo do triângulo na geometria Táxi fazendo um paralelo com a geometria

euclidiana.

ATIVIDADE 6 – Quadrados

Assim como na atividade com triângulos, a atividade de construção do quadrado

táxi pode gerar muitas dúvidas. A figura ‘quadrado’ é conhecida desde a pré-escola e

imaginar que os alunos aceitariam que um quadrado não tem a forma que está

incorporada à sua vida provavelmente levantará muitas dúvidas.

Ao elaborarmos essa atividade, pensamos em enfatizar desde o início a ideia de

que dependendo do caminho escolhido, podemos chegar a conclusões bem distintas,

partindo de uma mesma hipótese. Essa preocupação deve nortear o trabalho do

84

professor em sala de aula já que lidar com situações muito distintas daquelas do

cotidiano pode trazer desânimo ao aluno. Voltamos a Zabala ( 1998) “as atividades

devem partir de situações significativas e funcionais, a fim de que o conteúdo possa ser

aprendido junto com a capacidade de poder utilizá-lo quando seja conveniente”.

ATIVIDADE 7 – ATIVIDADE MULTIDISCIPLINAR

Após o estudo da reta, da mediatriz, do triângulo e do quadrado, uma atividade

que aplique esses conteúdos a situações cotidianas proporciona uma forma de

motivarmos ainda mais o estudo da Geometria Táxi. Nos limitamos a quatro situações-

problema para que não se torna-se muito cansativo essa atividade de fechamento da

pesquisa.

4.1.3 - 3a Etapa: Aplicação das atividades

A aplicação das atividades foi feita com os professores voluntários, que têm

experiência com o Ensino Fundamental e Médio. O objetivo de escolhermos professores

para a aplicação das atividades foi a busca de levantar sugestões e críticas como também

complementações para que as atividades pudessem se tornar realmente um instrumento

significativo de aprendizagem. Foram aplicadas todas as sete atividades aos dois grupos,

em momentos distintos e com diferentes atuações da pesquisadora.

Encontro com o primeiro grupo de professores ( GRUPO A)

O grupo A era formado por professores que freqüentavam um dos cursos de

pógraduação da Pucminas, em Belo Horizonte.

O encontro com o grupo A teve duas etapas: a primeira, na véspera da coleta de

dados. Participamos com eles das aulas do Prof. Miranda, na sexta-feira, durante todo o

dia. Isso permitiu à pesquisadora conhecer bem os colegas com os quais trabalharia na

manhã seguinte para a coleta de dados. Como já dissemos (p. 68) a participação muito

próxima da pesquisadora pode alterar algumas situações mas, por outro lado, a

aproxima do grupo, permitindo uma maior interação.

O grupo A era composto por 14 professores, que foram divididos em sete duplas,

denominadas, a partir de agora como subgrupo1, subgrupo 2, ....subgrupo 7.Isso

85

facilitou o trabalho da pesquisadora quando das observações, dúvidas e

questionamentos feitos pelos professores.

No primeiro contato com a turma, tivemos a oportunidade de trabalhar com eles

a fundamentação teórica da Geometria Táxi. Trabalhamos em um laboratório de

informática onde algumas figuras geométricas foram construídas no computador. Essas

atividades foram propostas pelo professor Miranda, já com o objetivo de introduzi-los

no estudo da Geometria Táxi.

No dia seguinte, sábado, fizemos a pesquisa propriamente dita.

As atividades foram propostas aos sete subgrupos. Inicialmente eles trabalharam

sozinhos, sendo observados pela pesquisadora.

Apesar de já terem tido um primeiro contato com a Geometria Táxi, percebeu-se

que ainda se surpreendiam com as construções geométricas a partir de uma nova

fundamentação axiomática.

Encontro com o segundo grupo de professores (GRUPO B)

Os professores desse grupo também frequentavam um curso de pós-graduação

da Puc Minas, em Belo Horizonte. O encontro com esse grupo ocorreu seis meses após

o encontro com o grupo A.

As mesmas atividades foram apresentadas ao grupo B, de professores. O

encontro com essa turma se deu de forma diferente. Nos encontramos apenas no sábado,

para aplicação das atividades. Eles sabiam do propósito das atividades e, como o grupo

A, colaboraram muito nos comentários e nas dúvidas levantadas.

Esse grupo era composto por treze professores. Formamos cinco subgrupos de

dois professores e um subgrupo de três. Os subgrupos foram numerados de 1 a 6, sendo

que o subgrupo 6 era formado por três pessoas.

Da mesma forma como foi feito com o grupo A, o professor Miranda já havia

introduzido a Geometria Táxi para eles.

Na sequência, serão relatados os comentários, as dúvidas e as sugestões

levantadas pelos participantes dos grupos A e B.

86

4.1.4. - 4a Etapa : Análise da Aplicação das Atividades

ATIVIDADE 1

GRUPO A

Nessa primeira atividade não foi feito qualquer questionamento. Eles foram

unânimes em dizer que a atividade atendia bem ao objetivo e que alunos a partir da 8a

série não teriam dificuldade em resolvê-la. Alertaram quanto a questão do tempo

disponível para ela. O grupo 2A(dupla 2 do grupo A) questionou o tempo necessário

para a execução dessa atividade. Segundo eles, uma aula, que era o que estava proposto

pela pesquisadora, não seria suficiente. Os demais colegas, entretanto, concordaram que

há diferentes turmas de 8a

série e que caberia ao professor que trabalhasse com a turma

verificar esse tempo necessário. O importante, segundo o grupo 3A, é deixar que os

alunos realizem a atividade sem qualquer pressão quanto ao tempo de para que possam

realmente iniciar a construção dessa geometria, ainda desconhecida para eles.

O que foi pensado pela pesquisadora ao elaborar essa atividade, foi manifestado

pelos professores do grupo A.

GRUPO B

No grupo B a atividade também transcorreu de forma tranquila. Não foram

levantados questionamentos e todos concordaram que os alunos não teriam dificuldade

em resolver as atividades propostas.

ATIVIDADE 2

A preocupação da pesquisadora em relação à dificuldade inicial dos alunos

quanto ao cálculo do número de caminhos entre dois pontos foi confirmada pelos

professores. Eles levantaram duas questões:

a) os grupos A e B questionaram a dificuldade de alunos da oitava série obterem a

quantidade de caminhos táxi, já que esse valor é calculado a partir de uma fórmula

da análise combinatória.

b) os dois grupos também sugeriram que se começasse o trabalho de forma intuitiva,

com uma contagem manual, para que o uso da fórmula fosse uma alternativa

facilitadora.

87

O subgrupo 5A manifestou da seguinte maneira: “A dificuldade será tanta para

contar a quantidade de caminhos que os alunos sentirão um grande alívio ao tomarem

conhecimento da fórmula.”

O subgrupo 4B sugeriu que após a apresentação da fórmula que ela fosse

verificada para os casos que já haviam sido contados manualmente.

O grupo 6B sugeriu que, antes de se iniciar o trabalho com a Geometria Táxi,

que fosse apresentado aos alunos o conceito de fatorial e que a fórmula fosse dada como

Número de caminhos!!

)!(:

hv

hv

onde v indica a distância vertical entre os pontos e h, a distância horizontal.

A preocupação da pesquisadora em relação à dificuldade inicial dos alunos

quanto ao cálculo do número de caminhos entre dois pontos foi confirmada pelos

professores.

ATIVIDADE 3

As interrogações e sugestões nessa atividade foram muitas.

a) subgrupo 6B – Será que podemos falar em perímetro da circunferência quando o

nosso universo é um conjunto de retas paralelas e perpendiculares?

b) subgrupo 1A – Tem sentido falar em raio da circunferência táxi?

c) subgrupo 4A – Como os pontos da circunferência foram ligados, como contar para

calcular o perímetro?

d) subgrupo 5B – Será que não estamos confundindo contínuo e discreto?

e) subgrupo 7A – Será que o enunciado está claro quanto à marcação dos pontos? Um

aluno de oitava série marcaria os pontos considerando a forma de medir da

Geometria Táxi?

f) subgrupos 2A, 4B e 7A – Não ficou claro na atividade o que é uma região aberta. É

necessário que essa definição seja colocada antes da apresentação da atividade.

Na aplicação das atividades no Grupo A, a dificuldade nessa atividade foi muito

grande.

Nessa hora a intervenção do professor Miranda foi muito importante. Ele

explicou que as dúvidas dos grupos em relação à construção da circunferência táxi

88

são comuns a todos, mesmo professores que têm experiência com o ensino de

geometria. Estamos tão presos ao nosso pensamento euclidiano que fica difícil

entender como se obter infinitos pontos dessa circunferência.

Os professores do grupo 4A insistiram na dificuldade que eles estavam tendo

para construir essa circunferência e sugeriram que o trabalho fosse feito de forma mais

gradativa a fim de familiarizar o aluno de oitava série de uma forma mais lenta com essa

“nova forma” da circunferência.

Quanto ao questionamento feito por professores dos dois grupos, sobre a falta de

definição do que é uma região aberta, foi interessante constatar que alguns participantes

apresentaram soluções diferenciadas e coerentes para as possíveis interpretações que

eles atribuíram ao termo “região aberta”.

ATIVIDADE 4

Nessa atividade o subgrupo 3B questionou quanto à clareza do enunciado do

exercício 2. Para esse grupo, um aluno de oitava série poderia entender que a distância

pedida não era a distância táxi.

O subgrupo 6B alegou que a atividade poderia ser ampliada, para dar

oportunidade aos alunos perceberem que na região da “viagem redonda” entre os pontos

extremos do segmento, a mediatriz táxi coincide com a mediatriz euclidiana.

A pesquisadora tinha dois objetivos para essa atividade. O primeiro deles, a

coincidência da mediatriz táxi com a mediatriz euclidiana na região da viagem redonda.

Esse objetivo foi alcançado: todos os subgrupos visualizaram essa propriedade da

meditriz táxi. Já o outro objetivo, perceber que a mediatriz táxi é horizontal ou vertical

quando não coincide com a mediatriz euclidiana, não foi alcançado. Nenhum subgrupo

conseguiu visualizar essa propriedade da mediatriz táxi.

A pesquisadora não fez qualquer intervenção para induzir os subgrupos a

perceber essa propriedade. Ela imaginou que qualquer participação dela nesse sentido

poderia provocar nos professores algum constrangimento e, consequentemente,

deixassem de trabalhar de forma autônoma e espontânea.

89

ATIVIDADE 5

Essa atividade, juntamente com a atividade 06, levou os subgrupos a refletirem

muito. Eles se surpreenderam a cada descoberta em relação ao triângulo táxi. Eles

tentavam se colocar na posição de alunos da oitava série e imaginavam a surpresa de

cada um deles ao perceber como que as propriedades da Geometria Euclidiana não se

verificam na Geometria Táxi.

Subgrupo 5B – Ficamos imaginando como um aluno da oitava série se

surpreenderá ao ver que modificando a posição dos vértices do triângulo, ele continua

sendo um triângulo, mas de lados diferentes.

Subgrupo 7A – O que mais nos surpreendeu foi a propriedade da desigualdade

triangular não se verificar na Geometria Táxi. É difícil imaginar que, em um triângulo

um lado possa ser igual à soma das medidas dos outros dois. O nosso pensamento é

“muito euclidiano”.

Subgrupo 1A – Como é difícil sair de um pensamento tão arraigado em nós

como a Geometria Euclidiana.

Subgrupo 3B – Imaginar que triângulos que têm os lados com as mesmas

medidas não podem ser superpostos, isto é, não são congruentes, é muito difícil para

nós. Imaginem para alunos da oitava série! Eles provavelmente precisarão de algum

tempo para assimilarem essa nova ideia.

Subgrupo 4B – Quando iniciamos essa atividade não tínhamos ainda noção do

que encontraríamos. Estamos surpresos! É interessante notar como nós, professores que

já atuamos há algum tempo em sala de aula não conseguimos imaginar uma matemática

que não seja exata e imutável.

ATIVIDADE 6

Subgrupo 1B – É impressionante como nosso pensamento está preso à

Geometria Euclidiana. Para nós foi muito difícil ‘acreditar’ nesses quadrados que

desenhamos. Tão diferentes da nossa idéia de quadrado, aquela figura tão certinha.

Subgrupo 2A – Sugerimos que o exercício 3 dessa atividade seja subdividido em

mais exercícios, para que o aluno da oitava série seja capaz de perceber como calcular a

90

quantidade de quadrados, já que se trata do princípio fundamental da contagem aplicado

a um cálculo já feito do número de lados.

Subgrupo 4B – A nossa cabeça ainda não aceita um mundo não euclidiano.

ATIVIDADE 7

Essas atividades levantaram muitas dúvidas.

Subgrupo 7A – Essas atividades nos levaram a analisar situações que,

normalmente, não refletimos no nosso dia-a –dia. Nós, professores de matemática,

geralmente, temos uma visão muito cartesiana das situações. Isso nos levou a pensar

que, no caso do problema da ambulância, a mais próxima seria a mais indicada a

socorrer o acidente. Temos que ampliar nossa visão em todos os sentidos.

Subgrupo 3B – No exercício 3 dessa atividade, não ficou claro para nós se devemos

considerar a cidade limitada. Ficou confuso para entendermos esse problema!

Subgrupo 4B – Ao trabalhar com a atividade da circunferência, o grupo foi induzido

a pensar que o valor de pi, na Geometria seria sempre igual ao valor do raio da

circunferência. Esse grupo alegou que essa coincidência de valores no exercício os

levou a uma conclusão errada. Sugeriram que mais circunferências, com raios

diferentes, fossem dadas para evitar esse equívoco.

Subgrupo 1A- Esse grupo observou que a mesma figura poderá ser um quadrado

ou um triângulo, dependendo dos pontos considerados.

Subgrupo 3A – “Como desenhar a circunferência ‘atravessando quarteirões’, já

que a cidade é táxi?”

Subgrupo 6B- Esse grupo concluiu que quando a distância táxi coincide com a

distância euclidiana, a mediatriz táxi coincide com a mediatriz euclidiana.

Subgrupo 2A – “Não tem sentido falar em congruência na Geometria Táxi,

considerando que podemos mudar os pontos e continuar com a mesma figura.”

4.1.5 - 5a Etapa: A socialização com os grupos

Após o encerramento do trabalho em subgrupos, houve o momento de

socialização das reações e questionamentos dos professores como também suas

sugestões, já que esses são os objetivos desse trabalho.

91

Inicialmente fizemos um agradecimento à participação de todos e o interesse em

trabalhar de forma comprometida com a pesquisa. As discussões foram muitas o que

enriquecerá a confecção futura de atividades destinadas a alunos do Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

GRUPO A

Inicialmente vamos relembrar a forma de divisão dos professores do Grupo A:

eram 14 professores divididos em 7 duplas, denominadas subgrupos de 1 a 7.

O subgrupo 5 manifestou um grande desejo de trabalhar com esse conteúdo em

turmas de nono ano do Ensino Fundamental e em turmas do Ensino Médio. Um

questionamento levantado por eles foi a dificuldade em motivar os alunos. Um dos

participantes do grupo disse.

- “Em uma época em que os alunos têm tão pouco interesse em estudar, como faremos

para trabalhar um que não está nos livros didático?.”

Diante dessa dúvida alguns professores se posicionaram mais otimistas. Eles

disseram que a motivação depende de como iniciamos um trabalho novo em sala de

aula. Todos foram unânimes em dizer que as primeiras atividades são fundamentais para

que o aluno saiba o que realmente está fazendo. Sugeriram que fosse dado mais ênfase à

diferença entre contínuo e discreto, usando coordenadas fracionárias para os pontos

assinalados na malha táxi.

O subgrupo 3 e o subgrupo 4 disseram que é importante “demorar” algum tempo

mostrando que a distância entre dois pontos pode ser medida de formas diferentes. Eles

acreditam que se o aluno incorporar a possibilidade de trabalhar com novas

perspectivas, ele terá interesse pelo trabalho com a geometria táxi.

O subgrupo 1 ressaltou a importância do trabalho em equipe. Eles disseram que

o crescimento é muito maior quando discutimos com nossos colegas e aprendemos a

ouvir opiniões diferentes e refletir sobre elas.

Os subgrupos 3 e 6 disseram que a Geometria Táxi permite percebermos a

possibilidade de trabalhar uma geometria não euclidiana desde o ensino fundamental,

quebrando aquela ideia de que uma nova geometria é um conteúdo acessível a poucos.

O subgrupo 2 manifestou que mesmo trabalhando com uma nova geometria, o

nosso pensamento ainda é euclidiano. Mas que, vencidas as barreiras iniciais, o trabalho

com a Geometria Táxi pode se tornar muito interessante.

92

Como pesquisadora, pedimos ao subgrupo 2 para esclarecer o que eles

consideravam como barreiras iniciais. Eles disseram que a principal barreira, conforme

já havia sido dito pelo subgrupo 5 é a motivação. Para eles motivar um aluno tem sido

uma tarefa cada vez mais difícil. Outra barreira levantada por eles foi a forma de

trabalho feita através de uma descoberta gradativa do conteúdo. Eles acreditam que

muitos alunos ainda não estão preparados para esse tipo de metodologia. Muitos ainda

preferem o conteúdo dado de forma expositiva. Quanto à essa barreira todos os demais

subgrupos foram unânimes em argumentar que essa forma de trabalho é a que realmente

provoca o aprendizado do aluno e, por isso mesmo, precisa ser incentivada pelos

professores, apesar das dificuldades.

Todos afirmaram que a motivação vem com o conhecimento. À medida que

foram entendendo o que é essa nova geometria, se sentiram desafiados e o interesse de

todos foi aumentando gradativamente.

O subgrupo 7 teve uma reação interessante. Eles estavam felizes ao final da

atividade. Foi dito por eles: “Conseguimos fazer!”

Como o subgrupo 4 não se manifestou, a pesquisadora perguntou a eles o porque

do silêncio. Eles disseram que tinham gostado muito do trabalho e que suas observações

coincidiram com o que já havia sido falado.

GRUPO B

O grupo B, conforme já foi dito, era composto por cinco subgrupos com dois

professores e um subgrupo com três professores.

O subgrupo 4 colocou a motivação para esse trabalho como uma grande barreira

a ser enfrentada pelos professores.

O subgrupo 5 argumentou que a motivação cabe ao professor e que a

fundamentação é essencial para que ela ocorra.

O subgrupo 2 insistiu na necessidade de uma base axiomática forte. Eles,

professores, sentiram muita dificuldade quando não estava claro que o universo era

discreto ou contínuo.

Um dos professores do subgrupo 1 contrapôs o seguinte: “nós professores, por

termos uma base maior, precisamos dessa fundamentação. Os alunos trabalham de

forma mais tranquila e, provavelmente, não terão as mesmas dúvidas que nós.”

93

O subgrupo 1 e o subgrupo 6 sugeriram o uso do computador para a construção

de figuras. Isso poderia dinamizar as atividades e interessar mais aos alunos. Já os

demais subgrupos consideraram que as atividades feitas no papel quadriculado

permitem ao aluno participar de toda a etapa do processo de construção e, dessa

maneira, perceber o que ocorre com as medidas e as figuras ao longo de toda a

construção.

O subgrupo 1 ao ouvir esse argumento, concordou que o trabalho com o papel

milimetrado poderia ser feito no início do processo de construção da geometria táxi e o

computador usado posteriormente.

Todo o Grupo B concluiu que as bases da geometria Táxi ainda precisam ser

muito estudadas. Eles insistiram na necessidade de deixar claro para o aluno se o

universo será discreto ou contínuo. Caberá a cada professor no início do estudo da

geometria táxi definir o universo de trabalho para que os conceitos sejam construídos a

partir desse universo.

94

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Ao final da nossa pesquisa, algumas considerações se fazem necessárias

acerca da possibilidade de ensino da Geometria Táxi em turmas do Ensino

Fundamental e Médio. Tais considerações podem gerar estudos posteriores que

confirmem o que foi estudado por nós ou questione o nosso trabalho e crie novas

formas de ensino com a Geometria Táxi.

Nossa proposta era criar atividades que levassem o aluno a construir uma

geometria que explora uma métrica diferente da usada na Geometria Euclidiana,

possibilitando a ele uma oportunidade de ver que o mundo que o cerca pode ser

interpretado através de uma geometria diferente daquela que é apresentada nos

livros didáticos.

Desenvolvemos um estudo paralelo entre a Geometria Euclidiana e a

Geometria Táxi para que o aluno possa ter a referência de um conteúdo que já

faz parte de sua vida acadêmica. Acreditamos que essa forma de trabalho poderá

torná-lo mais seguro para seguir descobrindo e construindo essa Geometria que

faz parte de sua vida cotidiana, mas não faz parte de sua vida acadêmica.

É o professor, entretanto, que pode criar um ambiente favorável à

introdução e desenvolvimento de conteúdos diferenciados na sala de aula. A

nossa pesquisa, portanto, foi feita com professores. Foi importante observar

como professores experientes, como foi o caso dos professores que participaram

da nossa pesquisa, viram-se surpresos ao perceberem que eles mesmos estavam

com dificuldade de se “soltarem” da Geometria Euclidiana. Por isso, ouvi-los foi

fundamental para percebermos como a introdução de um conteúdo que não faz

parte do conhecimento básico proposto pelos livros didáticos passa pelo

convencimento dos professores. Sem esse convencimento, o estudo passa a ser

um compromisso imposto por alguém fora da sala de aula e, provavelmente, se

tornará um processo mecânico e sem interesse. O conhecimento deixará de ter

significado e, provavelmente, se tornará um fardo muito difícil de ser carregado,

tanto pelos professores como pelos alunos.

Entre os professores que participaram da pesquisa, alguns levantaram o

questionamento de porque não fizemos nosso trabalho com o auxílio do

computador. Realmente o uso do computador poderá facilitar a construção e a

visualização das figuras. O professor Miranda, em sua dissertação de mestrado

95

"Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e urbanos - Uma

análise exploratória" (1999) explora a Geometria Táxi por meio da linguagem

computacional. Sua dissertação, porém, se destina a um público que lida com

pesquisa envolvendo algoritmos complexos.

Pensamos em trabalhar apenas usando o papel quadriculado como uma

maneira do aluno do Ensino Fundamental e Ensino Médio vivenciar cada etapa

da construção das figuras usando um material de fácil acesso. Acreditamos que a

elaboração de cada figura, a contagem de cada quadradinho do papel, para saber

quanto mede cada segmento e até mesmo as surpresas que terão ao

desenvolverem as atividades, são etapas que contribuem muito para a construção

de um conhecimento significativo por parte do aluno.

As atividades propostas por nós nessa pesquisa servem como base para

que o professor possa explorá-las da maneira que julgar mais conveniente em

sua sala de aula. Pensamos que elas servem como uma orientação para o

trabalho que poderá ser desenvolvido. O conhecimento da turma, de suas

potencialidades, de seus conhecimentos prévios, seu tempo disponível para

desenvolver o trabalho em sala de aula são alguns dos fatores que deverão

nortear o professor na escolha das atividades que poderá desenvolver.

Acreditamos que esses fatores são essenciais para que o trabalho em sala de aula

possa ter sucesso e que somente o professor da turma tem a competência para

saber o que fazer.

96

REFERÊNCIAS

ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,

modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.

ANTAR NETO, Aref et al. Geometria. São Paulo: Moderna, 1979,344p.

ABREU, João Francisco de; BARROSO, Leônidas Conceição (Org.) Geografia,

modelos de análise espacial e GIS. Belo Horizonte: PUC-Minas, 2003. 231 p.

BOYER, Carl B. Historia da matematica. São Paulo: E. Blucher, 1974. 488p.

COELHO, Paulo. O alquimista. 149.ed.Rio de Janeiro:Rocco,1996.247p.

COLL, César. Aprendizagem escolar e construção do conhecimento. Porto Alegre:

Artmed, 1994. 159p.

COUTINHO, Lazaro. Convite às geometrias não-Euclidianas. Rio de Janeiro:

Interciência, 2001. 116p.

DAVIS, Philip J.; HERSH, Reuben. A experiência matemática. Portugal: Gradiva,

1995. 401p.

DOLCE, Osvaldo, POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de matemática elementar:

volume 9: geometria plan.8.ed.São Paulo:Atual, 2005, 456p.

EVES, Howard Whitley. Introdução à história da matemática. [2. ed.] Campinas:

Editora da UNICAMP, 1997. 843 p.

KRAUSE, Eugene F. Taxicab geometry, in Mathematics Teacher, Dezembro, 1973.

LIMA, Elon Lages. Espaços métricos. 3. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1993. 299 p.

MIRANDA, D. F. - Geometria Táxi, uma métrica para os espaços geográficos e

urbanos uma análise exploratória. Dissertação de Mestrado em Tratamento da

Informação Espacial, Belo Horizonte, PUC-MG, 1999

MOISE, Edwin E.; DOWNS, Floyd L. Geometria moderna. Bogotá: Fondo Educativo

Interamericano, c1970. 578p.

MORIN, Edgar. Os sete saberes necessários à educação do futuro. 10.ed.São

Paulo:Cortez:Brasília:UNESCO,2005.118p.

ZABALA, Antoni, A prática educativa:como ensinar. Porto Alegre: Artmed,

1998.224p.

97

APÊNDICES

98

APÊNDICE A – ATIVIDADE 1

1) Em uma malha quadriculada marque os pontos A(-4,0); B(0,5); C(3,2); D(3,8); E( 6,5);

F(3,-3); G(3,5).

Calcule as distâncias táxi e as distâncias euclidiana entre:

a) A e C

b) C e F

c) B e D

d) B e E

e) B e C

Há alguma situação onde dE e dT são iguais? Quais são elas?

2) Calcule as distâncias táxi entre os pontos B e G, G e D, G e C. O que podemos dizer

delas?

3) Luciana e Roberto moram em uma cidade ideal. Em uma malha quadriculada vamos

representar as casas de Luciana (L) e de Roberto (R), a escola de Música (M), o

supermercado(S) e o clube da cidade ( C).

L (-3,1 ) Casa de Luciana

R ( 0,4 ) Casa de Roberto

C ( 1,2 ) Clube da cidade

M ( 4,1) Escola de Música

S ( 5,3 ) Supermercado

4) Calcule as seguintes distâncias táxi:

a) Entre a casa de Luciana e a de Roberto.

b) Entre a casa de Luciana e a escola de música

c) Entre o clube da cidade e o supermercado

d) Entre a escola de música e o clube da cidade

ATIVIDADE 1

ATIVIDADE 1

ATIVIDADE 1

99

APÊNDICE B – ATIVIDADE 2

1) Desenhe um referencial cartesiano e, nesse referencial cartesiano marque os

pontos A(1,1) e B(2,2). Quantos caminhos diferentes existem para irmos de A

a B, sempre percorrendo a menor distância táxi?

2) Agora os pontos são A (1,1) e C (3,3).

3) Tente, agora, com os pontos A (1,1) e D (3,2).

4) Calcule a quantidade de caminhos que há entre a casa de Luciana e a de

Roberto. (atividade anterior)

100

APÊNDICE C – ATIVIDADE 3

1) Lembre-se que a circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano,

eqüidistantes de um ponto fixo (centro). Escolha ( 0,0) como centro, um raio r = 4 e

marque, inicialmente, em uma malha quadriculada, os 4 pontos de uma

circunferência táxi, interceptos com os eixos coordenados. Para visualizar melhor

essa circunferência, marque mais 4 de seus pontos, um em cada quadrante. Da mesma

forma, marque mais 4 outros pontos, e mais quantos pontos você quiser. Ligando

esses pontos, que figura obteremos?

Desenhe 4 raios, um em cada quadrante, nessa “circunferência”.

Qual é a medida do comprimento (perímetro) dessa “circunferência”?

2) Lembrando que o comprimento da circunferência é dado pela fórmula C=2r, qual

será o valor de na geometria táxi?

3) Roberto está procurando uma agência de correio. Ele foi informado que há uma

agência de correio a 3 quarteirões de sua casa. Marque, na malha, os locais onde essa

agência pode estar. Quantos são esses pontos?

4) Se Roberto morasse em uma região aberta, onde poderia estar a agência de correios?

Faça uma figura. Seria mais fácil encontrar a agência de correios em qual situação, na

proposta no item 3 ou a proposta no item 4? Justifique com argumentos matemáticos

e com argumentos físicos

101

APÊNDICE D – ATIVIDADE 4

Na “cidade ideal” mora um casal de namorados: Abelardo e Heloísa. Eles

decidiram se casar e estão procurando um apartamento para morarem. A condição para

a escolha do apartamento é que fique eqüidistante dos locais onde cada um deles

trabalha. Localize, na malha quadriculada, os locais de trabalho de Abelardo e Heloísa.

A(3,3) ► local de trabalho de Abelardo

H(10,4) ► local de trabalho de Heloísa

1) Calcule a distância entre A e H.

2) Marque, na malha quadriculada, os pontos que são eqüidistantes de A e H.

Ligue esses pontos.

3) Considerando os limites da cidade como os limites da malha quadriculada,

quantos são os possíveis locais para Abelardo e Heloísa morarem?

4) Em outra malha quadriculada marque os pontos A e H. Determine o lugar

geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes desses dois pontos dados, tendo

como referência a geometria euclidiana. Como se chama esse lugar geométrico?

5) Como poderíamos chamar o lugar geométrico dos pontos obtidos no item 4,

tendo como referência a geometria táxi?

102

APÊNDICE E – ATIVIDADE 5

1) Desenhe um triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5. Como podemos classificar

esse triângulo quanto aos lados e quanto aos ângulos.

2) Qualquer outro triângulo euclidiano de lados 3,4 e 5 será congruente ao

primeiro triângulo desenhado? Justifique sua resposta.

3) Considere o triângulo de vértices A(2,1), B(3,3) e C(6,2). Calcule a medida

de cada lado desse triângulo. Ligue os pontos A, B e C, seguindo a malha

quadriculada, para formar o triângulo ABC. Observe que cada lado do

triângulo é um conjunto de segmentos de reta, coincidentes com as linhas da

malha quadriculada. Há apenas uma maneira de se ligar esses pontos? O

triângulo com esses vértices tem sempre a mesma forma? Justifique a sua

resposta através de figuras.

4) Considere, agora, o triângulo de vértices M(2,1), N(5,1) e P(4,4).Calcule a

medida dos lados desse triângulo. O triângulo MNP tem a mesma forma dos

triângulos formados no item anterior? Seus lados têm a mesma medida? Eles

são congruentes?

5) Na geometria táxi vale o caso de congruência LLL, isto é, dois triângulos que

têm os lados respectivamente congruentes são congruentes?

6) Marque, em um referencial cartesiano, os pontos A(1,1), B(4,10) e C(

11,10). Ligue esses pontos, seguindo a malha quadriculada, para formar o

triângulo ABC.

7) Determine a medida dos lados desse triângulo.

8) No triângulo que você desenhou, verifica-se a desigualdade triangular

euclidiana?

9) Crie dois triângulos táxi: no primeiro a desigualdade triangular não deve

se verificar e, no segundo ela deverá se verificar. Dê as coordenadas dos

vértices desses triângulos. Faça a figura.

103

APÊNDICE F – ATIVIDADE 6

1- Desenhe um quadrado táxi de vértices A(1,1), B(1,9), C(4,5) e D(9,1). Qual é a

medida do lado desse quadrado?

2- Com os mesmos pontos do item anterior desenhe um outro quadrado táxi. Ao

mudar a forma da figura a medida dos lados mudou? Justifique sua resposta.

3- Calcule o número de quadrados diferentes que podemos desenhar com os

vértices nos quatro pontos do item 1.

4- Na geometria euclidiana, um quadrado cujo lado mede 8u.c. tem a diagonal

medindo 28 u.c..

5- Determine a medida de cada diagonal dos dois quadrados que você desenhou.

Elas têm a mesma medida?

6- Crie um quadrado que tem uma diagonal medindo 8u.c.. Qual é a medida do lado

desse quadrado? Esse problema tem solução única? Comprove sua resposta

através de uma figura.

7- Crie um quadrado táxi que tenha as duas diagonais com a mesma medida.

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APÊNDICE G – ATIVIDADE 7

1) Uma empresa de construção deseja construir um prédio de apartamentos que

atenda às seguintes condições : esse prédio deverá ficar a, no máximo, 6

quarteirões do supermercado S=(-3,0) e a, no máximo, 4 quarteirões do clube

de tênis(2,2). Onde esse prédio poderá ser construído?

2) Houve um acidente na ponto A(-1,4). Há duas ambulâncias na região: uma no

ponto M(2,1) e outra no ponto P(-3,-2). Se considerarmos apenas a menor

distância, como critério de escolha da ambulância a ser chamada, qual das

duas deverá ir ao local do acidente? Dê uma razão para a ambulância mais

distante ser a melhor a ser chamada, considerando que ambas estão

funcionando normalmente e têm os mesmos equipamentos.

3) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal

modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da

cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um

orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para

atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada.

4) Uma companhia telefônica deseja instalar alguns telefones públicos de tal

modo que toda pessoa que more a menos de 12 quarteirões do centro da

cidade tenha que caminhar, no máximo, 4 quarteirões para encontrar um

orelhão. Calcule o número mínimo de orelhões que devem ser instalados, para

atender a essa condição. Dê a localização deles em uma malha quadriculada

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